第6章 平面图形的认识（在三角板中求角度） 专题3：2025-2026学年苏科版数学七年级上册

2025-2026学年苏科版数学七年级上册 第6章平面图形的认识 （单元复习专题3：在三角板中求角度） 【典型例题】 【例1】如图，将三角板的直角顶点放在直尺的一边上．若，则∠2的度数为（    ） A．26° B．44° C．54° D．64° 【例2】将直角三角板与直尺按如图位置摆放，直角顶点落在直尺的一条边上．则图中与的关系是（    ） A．相等 B．互余 C．互补 D．无法确定 【例3】如图，将一副三角尺的直角顶点重合摆放在桌面上，若∠BOC＝33°，则∠AOD＝_____°． 【例4】将直角三角尺与直尺如图放置，则下列结论正确的是 （填序号）． ①；②；③与互余；④与互补 【例5】如图所示，将一副三角板的直角顶点摆放． (1)如果，则 ； (2)如果始终在内部，当的度数发生变化时，请猜想与之间的数量关系，并说明理由． 【例6】探究三角尺中的学问： 已知点C为直线上一点，，． (1)如图1，若，图中与互余的角有_________． (2)如图2，已知射线是的平分线，且．求的度数． (3)如图3，三角尺①固定不动，将三角尺②的直角顶点O与三角尺①的顶点A重合，使三角尺②的一条直角边与边的夹角为摆放．当，直接写出此时三角尺②的另一条直角边与边的夹角的度数． 【举一反三】 【变式1】如图，直线，将一块直角三角尺按如图方式放置，顶点C落在直线b上，已知，，则的度数为（   ） A． B． C． D．不确定 【变式2】把一副直角三角尺按如图所示的方式探放在一起，其中∠E＝90°，∠C＝90°，∠A＝45°，∠D＝30°，则∠1+∠2等于（　　） A．180° B．210° C．240° D．270° 【变式3】如图，将一副三角板重叠放在一起，，，与的顶点重合于点．若，则的度数为 °． 【变式4】一副三角板如图摆放，，，，则 ． 【变式5】如图，将一副三角板的直角顶点重合，摆放在桌面上，当∠AOC＝　　时，AB所在直线与CD所在直线互相垂直． 【变式6】如图，直线，把一块含的三角板按如图位置摆放，直边与直线重合，斜边与直线和直线交于点．点分别是直线和直线上两点．连接，作射线． (1)若，判断与是否平行，并说明理由； (2)若射线平分，求的度数． 【巩固练习】 1.如图，将一副直角三角板的直角顶点重合，按图中位置摆放，可得，下列理由最合理的是（    ） A．等角的余角相等 B．同角的余角相等 C．等角的补角相等 D．同角的补角相等 2.如图，将一副三角板叠在一起使直角顶点重合于点O，（两块三角板可以在同一平面内自由转动），下列结论一定成立的是（   ） A． B． C． D． 3.将一副三角尺按不同位置摆放．下列摆放方式中α与β互补的是（　　） A． B． C． D． 4.如图，已知O为直线AB上一点，将直角三角板MON的直角顶点放在点O处，若OC是∠MOB的平分线，则下列结论正确的是（　　） A．∠AOM＝3∠NOC B．∠AOM＝2∠NOC C．2∠AOM＝3∠NOC D．3∠AOM＝5∠NOC 5.如图，O是直线上一点，将直角三角板的直角顶点放在点O处（点M，N分别在异侧），射线平分．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 6.如图，将一副直角三角板叠在一起，使直角顶点重合于点O，若∠AOB＝160°，则∠COD＝　　． 7.一副三角板如图所示摆放，若∠1＝80°，则∠2的度数是　 ． 8.如图，将一块三角尺的60°角的顶点与另一块三角尺的直角顶点重合．若，则的度数为 ． 9.把一副三角板放在水平桌面上，摆放成如图所示形状，若，则的度数为 ． 10.如图，已知．画直线，与相交于点O．现将一个直角三角尺的直角顶点落在点O处，顶点M、N落在同侧，并使平分．当时，求的度数。 11.如图1，点O为直线AB上的任意一点，过点O作射线OC，现将一直角三角板的直角顶点放在点O处，当三角板的一边OD与射线OB重合时，∠COE＝∠COD． （1）求∠BOC的度数； （2）如图2，在（1）的条件下，绕点O逆时针转动三角板DOE，使边OD与射线OC重合，在这个转动过程中，是否存在∠AOE＝2∠COD？若存在，求∠BOD的度数；若不存在，请说明理由． 12.如图，已知．画直线，与相交于点O．现将一个直角三角尺的直角顶点落在点O处，顶点M、N落在同侧，并使平分． (1)当时，求的度数； (2)画的平分线，那么与有怎样的位置关系？为什么？ 13.如图，点O在直线上，，把直角三角板按如图位置放置，和重合． (1)求的度数． (2)把三角板绕点O逆时针旋转，转速是秒，求旋转5秒时的度数． (3)在（2）的情况下，射线同时以秒的速度逆时针转动，当和第一次重合停止转动，求当时，时间t是多少？ 14.将一副三角板按如图①放置．在中，，，在中，，，点C、A、E在同一条直线上．现保持不动，将绕点A以每秒钟作顺时针旋转，旋转时间为t秒．    (1)如图①， ，如图②，当时， (2)在旋转过程中，若，当时，求t的值； (3)在绕点A旋转过程中，若同时以每秒的速度绕点A顺时针旋转，且，当时，请直接写出t的值． 15.【操作拼图】已知一副直角三角尺先按如图的方式拼接在一起，其中与直线重合，． (1)在上述所拼图形中，的度数为 °． (2)【问题探究】在上述所拼图形基础上，让三角尺固定不动，将三角尺绕着点O以每秒的速度按逆时针方向旋转，且两块三角尺均在直线的上方．设三角尺的旋转时间为，在旋转过程中，请求出当时t的值． (3)【拓展延伸】在按照【操作拼图】要求拼好图后，让三角尺绕着点O以每秒的速度按顺时针方向旋转的同时，三角尺也绕着点O以每秒的速度按顺时针方向旋转．在旋转过程中，两块三角尺均在直线的上方，且当三角尺停止旋转时，三角尺也停止旋转．设三角尺的旋转时间为．在旋转过程中，当与三角尺的某一边平行时，请直接写出的值． 答案解析 【典型例题】 【例1】如图，将三角板的直角顶点放在直尺的一边上．若，则∠2的度数为（    ） A．26° B．44° C．54° D．64° 【答案】D 【例2】将直角三角板与直尺按如图位置摆放，直角顶点落在直尺的一条边上．则图中与的关系是（    ） A．相等 B．互余 C．互补 D．无法确定 【答案】B 【例3】如图，将一副三角尺的直角顶点重合摆放在桌面上，若∠BOC＝33°，则∠AOD＝_____°． 【答案】147 【例4】将直角三角尺与直尺如图放置，则下列结论正确的是 （填序号）． ①；②；③与互余；④与互补 【答案】①②③④ 【例5】如图所示，将一副三角板的直角顶点摆放． (1)如果，则 ； (2)如果始终在内部，当的度数发生变化时，请猜想与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）解：根据题意得：， ∵ ∴， 则； 故答案为：． （2）解：，理由如下： 依题意，设 根据题意得：， ∴， 则 即． 【例6】探究三角尺中的学问： 已知点C为直线上一点，，． (1)如图1，若，图中与互余的角有_________． (2)如图2，已知射线是的平分线，且．求的度数． (3)如图3，三角尺①固定不动，将三角尺②的直角顶点O与三角尺①的顶点A重合，使三角尺②的一条直角边与边的夹角为摆放．当，直接写出此时三角尺②的另一条直角边与边的夹角的度数． 【答案】（1）解：∵， 即， ∴与互余； ∵直角三角形中， 则， 又∵， ∴与互余； （2）解：设，， ∵平分， ∴， ∴； ∵，， ∴， 解得； ∴， ∴； （3）解：分四种情况讨论： ①当与边的夹角，且在下方时，如图： ∵，， ∴， ∵， ∴； ②当与边的夹角，且在上方时，如图： ∵，，， ∴； ③当与边的夹角时，且在下方时，如图： ∵，， ∴， ∵， ∴； ④当与边的夹角时，且在上方时，如图： ∵，，， ∴； 综上所述，另一条直角边与边的夹角可能是或后或． 【举一反三】 【变式1】如图，直线，将一块直角三角尺按如图方式放置，顶点C落在直线b上，已知，，则的度数为（   ） A． B． C． D．不确定 【答案】A 【变式2】把一副直角三角尺按如图所示的方式探放在一起，其中∠E＝90°，∠C＝90°，∠A＝45°，∠D＝30°，则∠1+∠2等于（　　） A．180° B．210° C．240° D．270° 【答案】B 【变式3】如图，将一副三角板重叠放在一起，，，与的顶点重合于点．若，则的度数为 °． 【答案】132 【变式4】一副三角板如图摆放，，，，则 ． 【答案】15 【变式5】如图，将一副三角板的直角顶点重合，摆放在桌面上，当∠AOC＝　　时，AB所在直线与CD所在直线互相垂直． 【答案】105°或75° 【变式6】如图，直线，把一块含的三角板按如图位置摆放，直边与直线重合，斜边与直线和直线交于点．点分别是直线和直线上两点．连接，作射线． (1)若，判断与是否平行，并说明理由； (2)若射线平分，求的度数． 【答案】（1）解：与平行， ， ， ， ， ； （2）解：由三角板可知，， ， 平分， ， ， ． 【巩固练习】 1.如图，将一副直角三角板的直角顶点重合，按图中位置摆放，可得，下列理由最合理的是（    ） A．等角的余角相等 B．同角的余角相等 C．等角的补角相等 D．同角的补角相等 【答案】B 2.如图，将一副三角板叠在一起使直角顶点重合于点O，（两块三角板可以在同一平面内自由转动），下列结论一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 3.将一副三角尺按不同位置摆放．下列摆放方式中α与β互补的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 4.如图，已知O为直线AB上一点，将直角三角板MON的直角顶点放在点O处，若OC是∠MOB的平分线，则下列结论正确的是（　　） A．∠AOM＝3∠NOC B．∠AOM＝2∠NOC C．2∠AOM＝3∠NOC D．3∠AOM＝5∠NOC 【答案】B 5.如图，O是直线上一点，将直角三角板的直角顶点放在点O处（点M，N分别在异侧），射线平分．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 6.如图，将一副直角三角板叠在一起，使直角顶点重合于点O，若∠AOB＝160°，则∠COD＝　　． 【答案】20° 7.一副三角板如图所示摆放，若∠1＝80°，则∠2的度数是　 ． 【答案】65° 8.如图，将一块三角尺的60°角的顶点与另一块三角尺的直角顶点重合．若，则的度数为 ． 【答案】57° 9.把一副三角板放在水平桌面上，摆放成如图所示形状，若，则的度数为 ． 【答案】 10.如图，已知．画直线，与相交于点O．现将一个直角三角尺的直角顶点落在点O处，顶点M、N落在同侧，并使平分．当时，求的度数。 【答案】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴； 11.如图1，点O为直线AB上的任意一点，过点O作射线OC，现将一直角三角板的直角顶点放在点O处，当三角板的一边OD与射线OB重合时，∠COE＝∠COD． （1）求∠BOC的度数； （2）如图2，在（1）的条件下，绕点O逆时针转动三角板DOE，使边OD与射线OC重合，在这个转动过程中，是否存在∠AOE＝2∠COD？若存在，求∠BOD的度数；若不存在，请说明理由． 解：（1）∵∠COD＝∠COD， ∴∠COD＝3x，则∠COE＝2x， ∵∠DOE＝∠COD+∠COE＝90°， ∴3x+2x＝90°，解得x＝18°， ∴∠COD＝3x＝54°．即∠BOC＝54°； （2）存在，理由如下： 由（1）得∠COB＝54°． 设∠BOD＝α，则∠COD＝54°﹣α， ∠AOE＝180°﹣∠DOE﹣∠BOD＝180°﹣90°﹣α＝90°﹣α． ∵∠AOE＝2∠COD， ∴90﹣α＝2×（54°﹣α），解得α＝18°， ∴∠BOD＝18°． 12.如图，已知．画直线，与相交于点O．现将一个直角三角尺的直角顶点落在点O处，顶点M、N落在同侧，并使平分． (1)当时，求的度数； (2)画的平分线，那么与有怎样的位置关系？为什么？ 【答案】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴； （2）解：，理由如下： 过B点作的平分线， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 13.如图，点O在直线上，，把直角三角板按如图位置放置，和重合． (1)求的度数． (2)把三角板绕点O逆时针旋转，转速是秒，求旋转5秒时的度数． (3)在（2）的情况下，射线同时以秒的速度逆时针转动，当和第一次重合停止转动，求当时，时间t是多少？ 【答案】（1）解：∵， ∴； （2）解：由题意得； （3）解：当还没追上时，， 解得； 当追上后，， 解得； 综上所述，或27． 14.将一副三角板按如图①放置．在中，，，在中，，，点C、A、E在同一条直线上．现保持不动，将绕点A以每秒钟作顺时针旋转，旋转时间为t秒．    (1)如图①， ，如图②，当时， (2)在旋转过程中，若，当时，求t的值； (3)在绕点A旋转过程中，若同时以每秒的速度绕点A顺时针旋转，且，当时，请直接写出t的值． 【答案】（1）解：如图①，，， 如图②，当时，；    故答案为：，； （2）解：分两种情况： ①如图1，当在的左边时，由题意得：，    ∵， ∴， ∴； ②如图2，当在的右边时，由题意得：，    ∵， ∴， ∴； 综上，t的值是20或； （3）解：如图，由题意可得：，，   ， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； 如图：由题意可得：，，   ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：； 综上所述，或． 15.【操作拼图】已知一副直角三角尺先按如图的方式拼接在一起，其中与直线重合，． (1)在上述所拼图形中，的度数为 °． (2)【问题探究】在上述所拼图形基础上，让三角尺固定不动，将三角尺绕着点O以每秒的速度按逆时针方向旋转，且两块三角尺均在直线的上方．设三角尺的旋转时间为，在旋转过程中，请求出当时t的值． (3)【拓展延伸】在按照【操作拼图】要求拼好图后，让三角尺绕着点O以每秒的速度按顺时针方向旋转的同时，三角尺也绕着点O以每秒的速度按顺时针方向旋转．在旋转过程中，两块三角尺均在直线的上方，且当三角尺停止旋转时，三角尺也停止旋转．设三角尺的旋转时间为．在旋转过程中，当与三角尺的某一边平行时，请直接写出的值． 【答案】（1）解：∵， ， ∴； 故答案为：75． （2）解：当和重合时，，则， 当和重合时，，则， 当和重合时，，则， ①当时，，， ∴， 解得：； ②当时，， ∴， 解得：； ③当时，， ∴，t无解； 综上所述，或． （3）解：当和重合时，，则， ∴转动过程中，， ①当时，， ∴， ∴， 即， 解得：； ②当时，， ∴， ∴， 即， 解得：； ③当时，， ∴和重合， ∴， 即， 解得：； 当时，，且位于下面，不符合题意，舍去； 综上所述，或15． 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $