专题11 线段的和与差及中点问题的四类综合题型（压轴题专项训练）数学苏科版2024七年级上册

专题11 线段的和与差及中点问题的四类综合题型 目录 典例详解 类型一、线段的和与差的计算问题 类型二、线段中的单中点的计算问题 类型三、线段中的双中点的计算问题 类型四、线段中的多中点的计算问题 压轴专练 类型一、线段的和与差的计算问题 如下图，有AB+BC=AC，或AC=a+b；AD=AB-BD 例1．（24-25七年级上·江苏连云港·阶段练习）在直线上，线段， 线段， 则线段的长为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了线段的和差，解题的关键在于能够讨论C的位置进行求解．、、在同一条直线上，则可能在线段上，也可能在的延长线上，应分两种情况进行讨论． 【详解】解：①如图，当在线段上时： ； ②如图，当在的延长线上时， ； 故答案为：或． 【变式1-1】（24-25七年级下·内蒙古乌海·期末）若点，，在同一条直线上，如果线段，线段，那么，两点之间距离是 ． 【答案】或 【分析】本题考查两点间距离，分析两种情况求解：点可能在线段上，也可能在线段的延长线上，进而即可求解．根据题意画出图形是解题的关键，同时渗透了分类讨论的数学思想． 【详解】解：若点在线段上，如图， ∵，， ∴； 若点在线段的延长线上，如图， ∵，， ∴， 综上所述，，两点之间距离是或． 故答案为：或． 【变式1-2】（24-25七年级上·广东深圳·期中）在直线上截取线段，，使，，则线段的长为 ． 【答案】4或2 【分析】本题考查了线段的和差，两点间的距离，根据题意，分两种情况：①当点在点的右侧时；②当点在点的左侧时．根据线段的和差计算即可得出答案．掌握线段的和差计算，两点间的距离是解题的关键． 【详解】解：分两种情况： ①如图所示，当点在点的右侧时， ，， ； ②如图所示，当点在点的左侧时， ，， ， 综上所述，线段的长为或． 故答案为：4或2． 【变式1-3】（24-25七年级上·全国·期末）如图，B、C、D依次为线段AE上的三个点．已知，，． (1)求的长； (2)求图中所有线段长度的和． 【答案】(1)2 (2) 【分析】本题考查了线段的和与差，关键是分析出线段间的关系． （1）分析出占整条线段的比例求出长度； （2）列出以A、C、D、B、E这5个点为端点的所有线段，然后根据整合为已知两线段的长求解． 【详解】（1）解：， ． ， ． ． （2）解：由（1）知．图中共有10条线段，分别为，，，，，，，，，，它们的长度之和为： ． 类型二、线段中的单中点的计算问题 把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点．如下图，有： 例2．（24-25七年级上·河南驻马店·阶段练习）已知点C在直线上，若，E为线段的中点，则的长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了线段的和差计算，线段中点的意义，熟练掌握知识点是解题的关键． 分两种情况讨论，点在线段上或点在线段延长线上，利用线段和差和线段中点的意义进行求解即可． 【详解】解：当点在线段上时，如图： ∵ ∴， ∵E为线段的中点， ∴； 当点在线段延长线上时，如图： ∵ ∴， ∵E为线段的中点， ∴； 综上：的长为或， 故答案为：或． 【变式2-1】（24-25六年级下·山东烟台·期末）已知线段，直线上有一点，，为的中点，则的长为 ． 【答案】9或 【分析】本题考查了两点间的距离，可知道符合题意的点C有两种情况，也有两种可能，分别计算的长即可． 【详解】解：如图， ∵线段，直线上有一点C，且， ∴， ∴， ∴， ∵D为的中点， ∴， ∴； 如图， ∵线段，直线上有一点C，且， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵D为的中点， ∴， ∴， 综上所述，的长为9或． 故答案为：9或． 【变式2-2】（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）点C、点D在线段上，． (1)如图1，请判断和的数量关系，并说明理由； (2)如图2，点M是的中点，，，求线段的长度． 【答案】(1) (2)7 【分析】本题考查了线段中点的有关计算，线段的和与差，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）利用线段的和求解； （2）先利用线段中点的意义得出，利用线段的和差得出，再得出，然后结合，，得出，从而可得，求得，再求得线段的长度． 【详解】（1）解：∵点C、点D在线段上，， ∴， 即； （2）解：∵点M是的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，解得：， ∵，， ∴， ∴，解得：， ∴，解得：， 即． 【变式2-3】（24-25七年级上·湖南长沙·阶段练习）已知点C在线段上，，，点D，E在线段上，点D在点E的左侧，点E在点C的右侧，，线段在线段上移动． (1)求的长 (2)如图，当E为的中点时，求的长； (3)在（2）的条件下，如果在线段上取一点F，使得，此时点F是线段的几等分点？请说明理由． 【答案】(1)16 (2)24 (3)五 【分析】本题考查了两点间的距离，线段中点的性质，熟知各线段之间的和、差及倍数关系是解答此题的关键． （1）根据题意得，即可求出； （2）求出，再由E为中点求出，由求出，再根据求出结论即可； （3）首先求出，再求出，求出结论即可． 【详解】（1）∵ ∴ ∵ ∴， ∴； （2）， ∴ 又E为中点 ∴ ∵ ∴ 又 ∴； （3）∵ ∴ ∵ ∴ ∴点F是线段的五等分点． 类型三、线段中的双中点的计算问题 两线段在同一直线上且有一个共同的端点，求这两条线段的中点距离的模型我们称之为线段的双中点模型 条件：点M、N分别为线段AB、BC的中点，结论：. 证明：①当点B在线段AC上，如图1， 图1 ∵M、N分别为AB、BC的中点， ∴（中点定义）；（中点定义）； ∵MN=BM+BN， ∴； ②当点B在线段AC的延长线上，如图2， 图2 ∵M、N分别为AB、BC的中点， ∴（中点定义）；（中点定义）； ∵MN=BM-BN， ∴； ③当点B在线段CA的延长线上 图3 ∵M、N分别为AB、BC的中点， ∴（中点定义）；（中点定义）； ∵MN=BN-BM， ∴； 例3．（24-25七年级上·湖南株洲·期末）如图所示，已知点在线段上，分别是的中点． (1)图中有______条线段； (2)若，求的长度 【答案】(1)10 (2)9 【分析】本题考查了线段条数的问题，线段中点的性质以及线段的和差计算； （1）分别以为端点，数出线段的条数，即可求解； （2）根据线段中点的性质得出，进而根据，即可求解． 【详解】（1）解：依题意，图中线段有，，，，共（条） 故答案为：． （2）解：点、分别为、的中点， ，， ． 【变式3-1】（24-25七年级上·湖南衡阳·期末）如图，已知点为线段上一点，，，、分别是、的中点．求： (1)求的长度； (2)求的长度； (3)求的长度； 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了关于线段的中点的计算，线段的和与差的计算，读懂题意熟练运用线段的和差倍分是解本题的关键． （1）直接根据是的中点可得答案； （2）先求出的长，然后根据E是的中点求出， （3）根据即可求出． 【详解】（1）解：∵，点D是的中点， ∴； （2）∵，， ∴， ∵E是的中点， ∴， （3）∵， ∴． 【变式3-2】（24-25七年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，点B、C在线段上，且． (1)如图（Ⅰ）若点M为的中点，且．则 ， ． (2)如图（Ⅱ）若点M、N分别为的中点，且，求（用m、n表示）． 【答案】(1)4，4 (2) 【分析】本题考查列代数式、两点间的距离、线段和差，弄清线段长度之间的数量关系是解题的关键． （1）根据与的数量关系求出，从而求出，再由中点的定义求出，根据求出即可； （2）根据与的数量关系分别将用含 n的代数式表示出来，从而将用含n的代数式表示出来，进而由中点的定义分别将用含n的代数式表示出来，再根据将用含m和n的代数式表示出来即可． 【详解】（1）解：∵ ∴ ∴， ∴， ∵点M为的中点， ∴， ∴． 故答案为：4，4； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵点M、N分别为的中点， ∴， ∵， ∴． 【变式3-3】（24-25七年级上·陕西咸阳·阶段练习）【问题背景】 如图，已知线段，点是线段的中点，点是线段的中点． 【问题探究】 （1）如图1，求线段的长； （2）如图2，点是线段上的一点，且满足， ①求线段的长； ②若点是线段上的一点，，求的长． 【答案】（1）4；（2）①10，②7或1 【分析】本题考查了两点间的距离，线段中点的有关计算，线段的和差，关键是注意分类讨论． （1）根据线段中点进行求解即可； （2）①根据已知先得到，再利用求出最后结果； ②分M点在C点左边、M点在C点右边两种情况讨论． 【详解】解：（1），点是的中点， ． 点是线段的中点， ． （2）①，， ， ， ． ②，， ． 当点在点左边时，，， ． 当点在点右边时，，， ． 综上可得的长为7或1． 类型四、线段中的多中点的计算问题 条件：如图，点M在线段的延长线上，且线段，第1次操作：分别取线段和的中点、﹔第2次操作：分别取线段和的中点，﹔第3次操作：分别取线段和的中点，；…连续这样操作n次，结论：． 证明：∵、是和的中点 ∴，， ∴， ∵、是和的中点， ∴，， ∴， ∵，是和的中点， ∴，， ∴，……发现规律：， 例4．已知线段，点C，D是线段上的点，且，点D是线段的三等分点，则 ． 【答案】或 【知识点】线段n等分点的有关计算 【分析】本题考查了线段的计算，由题意可知或，再结合线段和差关系即可求解，明确线段三等分点的意义，正确分类计算是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴，则， ∵点D是线段的三等分点， ∴或， 当时，； 当时，； 综上，或， 故答案为：或． 【变式4-1】如图，图中数轴的单位长度为．若原点为的四等分点，则点代表的数为 ．    【答案】或或 【知识点】用数轴上的点表示有理数、线段n等分点的有关计算、数轴上两点之间的距离 【分析】根据线段的四等分点有个，分三种情况并结合图形即可得出答案． 【详解】解：∵图中数轴的单位长度为， ∴， ①如图，当点靠近点时， ∵原点为的四等分点， ∴， ∴点代表的数为；    ②如图，当点恰好是线段的中点时， ∵原点为的四等分点， ∴， ∴点代表的数为；    ③如图，当点靠近点时， ∵原点为的四等分点， ∴， ∴点代表的数为；    综上所述，点代表的数为或或， 故答案为：或或． 【点睛】本题考查线段的四等分点，用数轴上的点表示有理数，数轴上两点之间的距离，运用了分类讨论的思想．解题的关键是掌握线段的四等分点的定义：把一条线段平均分成份． 【变式4-2】小明在学习了比较线段的长短时对下面一道问题产生了探究的兴趣： 如图1，点C在线段AB上，M，N分别是AC，BC的中点．若AB＝12，AC＝8，求MN的长． (1)根据题意，小明求得MN＝___________； (2)小明在求解（1）的过程中，发现MN的长度具有一个特殊性质，于是他先将题中的条件一般化，并开始深入探究． 设AB＝a，C是线段AB上任意一点（不与点A，B重合），小明提出了如下三个问题，请你帮助小明解答． ①如图1，M，N分别是AC，BC的中点，则MN＝______________； ②如图2，M，N分别是AC，BC的三等分点，即，，求MN的长； ③若M，N分别是AC，BC的n等分点，即，，则MN＝___________； 【答案】(1)6 (2)①；②；③ 【知识点】线段中点的有关计算、线段n等分点的有关计算、两点间的距离 【分析】（1）由AB=12，AC=8，得BC=AB-AC=4，根据M，N分别是AC，BC的中点，即得CM=AC=4，CN=BC=2，故MN=CM+CN=6； （2）①由M，N分别是AC，BC的中点，知CM=AC，CN=BC，即得MN=AC+BC=AB，故MN=a； ②由AM=AC，BN=BC，知CM=AC，CN=BC，即得MN=CM+CN=AC+BC=AB，故MN=a； ③由AM=AC，BN=BC，知CM=AC，CN=BC，即得MN=CM+CN=AC+BC=AB，故MN=a． 【详解】（1）解：∵AB=12，AC=8， ∴BC=AB-AC=4， ∵M，N分别是AC，BC的中点， ∴CM=AC=4，CN=BC=2， ∴MN=CM+CN=6； 故答案为：6； （2）解：①∵M，N分别是AC，BC的中点， ∴CM=AC，CN=BC， ∴MN=AC+BC=AB， ∵AB=a， ∴MN=a； 故答案为：a； ②∵AM=AC，BN=BC， ∴CM=AC，CN=BC， ∴MN=CM+CN=AC+BC=AB， ∵AB=a， ∴MN=a； ③∵AM=AC，BN=BC， ∴CM=AC，CN=BC， ∴MN=CM+CN=AC+BC=AB， ∵AB=a， ∴MN=a， 故答案为：a． 一、单选题 1．（23-24七年级下·山东淄博·期中）如图，点D是线段上一点，点C是线段的中点，则下列等式不成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查线段的中点平分线段，熟练找到线段间的关系是解题的关键． 根据点D是线段上一点，得到、，再根据点C是线段的中点，得到，由点D不一定是线段的中点，所以不一定成立，据此逐项判断即可． 【详解】解： 点D是线段上一点 、 因此A、B不符合题意； 点C是线段的中点 因此C不符合题意； 点D不一定是线段的中点 不一定成立 因此D符合题意． 故选：D． 2．（24-25七年级上·宁夏银川·期末）已知在一直线上有A、B、C三个点，且线段，，点M是线段的中点，则线段的长为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了线段中点的有关计算； 分点在点的左侧和右侧两种情况，分别求出，再根据线段中点的定义计算即可． 【详解】解：如图，当点在点左侧时，可有， ∵点是线段的中点， ∴； 如图，当点在点右侧时，可有， ∵点是线段的中点， ∴； 综上：的长为或； 故选：C． 3．（24-25七年级上·辽宁鞍山·期末）如图，点，在线段上，且，，下列结论正确的是（   ） A．点是线段的中点 B．点是线段的中点 C．点是线段的三等分点 D．点是线段的三等分点 【答案】D 【分析】本题考查了线段中点的定义，线段等分点的计算．根据线段中点的定义可以得出点是线段的中点，点是线段的中点，即可判断A选项和B选项说法错误；根据线段等分点的定义，可以得出点是线段的三等分点，点是线段的四等分点，即可判断C选项说法错误，D选项说法正确． 【详解】解：∵点在线段上，且， ∴点是线段的中点，故B选项说法错误； ∵点在线段上，且， ∴点是线段的中点，故A选项说法错误； 即， ∴， ∴，， 即点是线段的三等分点，故D选项说法正确； 点是线段的四等分点，故C选项说法错误． 故选：D． 4．（23-24七年级上·全国·期末）如图所示，在线段上，且是线段的中点，是的三等分点（靠近），则下列结论：①；②；③；④，其中正确结论的有（　　） A．①② B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】本题考查了线段的比例关系、中点及三等分点的性质，解决本题的关键是通过代数方法验证几何结论． 先通过设定的长度为，将各线段长度用表示，再明确点D（中点）、点E（三等分点）的位置，再通过代数计算，判断各结论是否成立即可． 【详解】解：设，则， 故， 点D是的中点， 故， 点E是的三等分点， 故，， ∴，此时，结论①成立； ，而，故，结论②成立； ，，故，结论③不成立； ，故，结论④成立， ∴正确的结论为①②④． 故选：B ． 5．（23-24七年级上·陕西西安·阶段练习）已知线段，点P在直线上，直线上共有三条线段：，和．若其中有一条线段的长度是另一条线段长度的两倍，则称P为线段的“奇妙点”，那么线段的“奇妙点”的个数是（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】C 【分析】根据“奇妙点”的定义即可求解．本题主要考查了新定义，以及线段的数量关系，正确理解题意是解答本题的关键． 【详解】解：线段的个三等分点与线段的中点都是线段的“奇妙点”，同理，在线段延长线和反向延长线也分别有个“奇妙点”． 线段的“奇妙点”的个数是个． 故选：C． 6．（25-26七年级上·重庆·阶段练习）已知有理数a，b满足：，如图，在数轴上，点O是原点，点A所对应的数是a，线段在直线上运动（点B在点C的左侧），． 下列结论： ①； ②当点B与点O重合时，； ③当点C与点A重合时，若点P是线段延长线上的点，则； ④在线段运动过程中，若M为线段的中点，N为线段的中点，则线段的长度不变．其中正确的是（   ） A．①③ B．①④ C．①②③④ D．①③④ 【答案】D 【分析】本题考查绝对值，完全平方非负性，数轴上两点间距离等，根据以上知识解答即可． 【详解】解：∵， ∴，解得：，即①正确， ∵点O是原点，点A所对应的数是a， ∴点A所对应的数是4， ∵， ∴， ∵当点B与点O重合时， ∴点表示的数为， ∵线段在直线上运动（点B在点C的左侧）， ∴表示的数为，即，即②不正确， ∵当点C与点A重合时， ∴点表示的数为4， ∵点B在点C的左侧，， ∴点B表示的数为2， ∵点P是线段延长线上的点， ∴，， ∴，即③正确； ∵M为线段的中点，N为线段的中点， ∴， 分为四种情况： 第一种情况：当在左侧时，如图： ，； 第二种情况：当、在两侧时，如图： ，； 第三种情况：当、在线段上时，如图： ，； 第四种情况：当和都在右边时，如图： ，， ∴在线段运动过程中，若M为线段的中点，N为线段的中点，则线段的长度不变，即④正确， 故选：D． 二、填空题 7．（2025七年级上·全国·专题练习）如图，点在线段上，点是线段的中点．若，，则的长是 ． 【答案】7 【分析】本题主要考查线段中点和差关系，掌握其相关知识点是解题的关键． 根据题意得，结合即可求得． 【详解】解：∵点是线段的中点，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：7． 8．（25-26七年级上·全国·单元测试）如图，，为线段上两点，，且，则 ． 【答案】9 【分析】本题考查线段的和差，解题的关键是数形结合，列出方程；由题意得方程，解方程即可． 【详解】解：∵， ∴ ∴ 解得：． 故答案为：9． 9．（24-25九年级下·甘肃·课后作业）已知线段． （1）若点C是线段AB上一点，，则BC的长为 ； （2）若点C是AB的中点，则AC的长为 ． 【答案】 6 4 【分析】本题考查了线段的和差关系与线段中点的定义，掌握线段的和差运算以及线段中点将线段平分是解题的关键． （1）本题根据结合已知条件，即可求出的长度； （2）本题根据中点将线段平分为两段，，即可求出的长度． 【详解】解：（1）根据题意： ∵， ∴． 故答案为：． （2）根据题意： ∵点是的中点， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 10．（24-25九年级上·全国·课后作业）已知线段． (1)若点是线段上一点，，则的长为 ； (2)若点是线段的中点，则的长为 ； (3)若点是线段的一个三等分点，则的长为 ． 【答案】(1)7 (2)4.5 (3)3或6 【分析】本题考查线段的和差，线段中点、以及三等分点的特点，解题的关键在于利用分类讨论的思想解决问题． （1）根据线段的和差计算即可； （2）根据线段中点的特点计算即可； （3）根据点为的三等分点分两种情况讨论：①点靠近点；②点靠近点，结合线段的和差计算即可． 【详解】（1）解：； 故答案为：． （2）解：点是线段的中点， ； 故答案为：4.5． （3）解：点是线段的一个三等分点， ①当点靠近点时， ； ②当点靠近点时， ； 综上所述，的长为3或6． 故答案为：3或6． 11．（24-25七年级上·湖北武汉·期末）在直线l上有A、B、C、D四点，其中点B是线段的三等分点，点C是线段的中点，点E是线段延长线上一点，且，则的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了线段的和差关系，中点的性质，线段n等分点的计算，设，根据题意可得，再根据点B的位置分情况讨论即可． 【详解】解：设， 点C是线段的中点， ， 如图，当点B是靠近A的线段的三等分点时， 则，， ， ， ， ； 如图，当点B是靠近D的线段的三等分点时， 则，， ， ， ， ， 故答案为：或． 12．（25-26七年级上·全国·期末）如图，有一根木棒放置在数轴上，它的两端C，D分别落在点A，B上，将木棒在数轴上水平移动，当的中点移动到点B时，点D 所对应的数为，当的四等分点（不含中点）移动到点A 时，点 C 所对应的数为，则木棒的长度为 ． 【答案】4或 【分析】本题考查了数轴上的点坐标、线段的中点与四等分点的性质，以及一元一次方程的应用，熟练掌握数轴上点的位置关系与线段分割比例，以及通过建立方程求解几何问题是解题的关键．根据木棒移动时中点或四等分点与特定点重合的条件，设木棒长度为，利用长度建立方程，分两种情况讨论求解． 【详解】 解：如解图，设， 由题意可知，， 如解图①，当的左四等分点移动到点A时，此时， ∵点对应的数为，点对应的数为， ∴，解得， ∴； 如解图②，当的右四等分点移动到点A 时，此时， ∵点对应的数为，点对应的数为， ∴，解得， ∴． 综上所述，木棒的长度为4或． 三、解答题 13．（24-25七年级上·黑龙江佳木斯·期末）如图，已知，是线段上的两点，，是的中点，，求的长． 【答案】 【分析】本题主要考查线段中点和线段的和与差，一元一次方程的应用，能够表示出线段的和与差是解题的关键． 先设，，，根据中点表示出，再由线段和差得到，求出，再由求解即可． 【详解】解：， 设，，， ， ∵是的中点， ， ， ， ， ． 14．（24-25七年级上·山西太原·阶段练习）如图，E为线段的中点，且 (1)若，求线段的长． (2)若，求线段的长． 【答案】(1)12 (2)18 【分析】本题考查了两点间的距离，熟练掌握两点间的距离的定义是解题的关键． （1）根据线段的和差求出，再根据中点定义求解即可； （2）结合图形及线段中点的定义，求出，，进而求出，，，再根据线段的和差求解即可． 【详解】（1）解：，， ， 为线段的中点， ； （2）解：为线段的中点， ， ，， ，， ， ， ，， ． 15．（24-25七年级上·陕西渭南·期末）如图，、、、四点在同一直线上． (1)如图1，若，，且，求的长； (2)如图2，若线段被点、分成了三部分，且的中点和的中点之间的距离是，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查两点间的距离，线段之间的数量关系， （1）利用线段的和差计算即可； （2）利用线段之间的比例关系，以及线段中点的定义，即可求出线段的长； 解题的关键是掌握线段的加减，线段中点的定义． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴， ∴， 即的长为； （2）设，则，， ∴， ∵点是的中点，点是的中点，， ∴，， ∴， 解得：， ∴， 即的长为． 16．（24-25七年级上·河南南阳·期末）如图，已知点C在线段上，点D、E分别在线段、上， （1）观察发现：若D、E分别是线段、的中点，且，则_______； （2）拓展探究；若，，且，求线段的长； （3）数学思考：若，（k为正数），则线段与的数量关系是________． 【答案】（1）6；（2）；（3） 【分析】（1）根据中点的定义，结合线段的和、差计算即可 （2）利用线段之间的和、差关系倍数关系计算即可 （3）结合（2）的求解，再利用线段之间的和、差关系倍数关系计算即可 【详解】（1）、为线段AC，BC的中点 （2） ， （3） ， 【点睛】本题考查了线段等分点的有关计算，掌握线段之间和、差倍数关系是解题关键． 17．（24-25七年级上·辽宁沈阳·期中）如图，点C在线段AB上，，线段DE在直线AB上移动（点D，E不与点A，B重合，且点D在点E的左侧）． (1)若，求线段AC和BC的长． (2)若，，线段DE在线段AB上移动． ①当E为线段BC的中点时，求AD的长； ②点F（不与点A，B，C重合）在线段AB上，，，求线段AE的长． 【答案】(1)， (2)①；②或． 【分析】本题考查了线段的和差，两点间的距离，掌握线段和差的计算，利用数形结合思想是解题的关键． （1）观察图形可知，，由已知，可得出，即可求出的长，进而得出的长； （2）①根据题意，画出图形，同（1）方法求出，，根据点是的中点，可得出，由可计算出长，再根据计算即可得出结果；②根据题意，分两种情况，画出图形，（）当点在点左侧时，（）当点在点的右侧时，利用线段的和差倍分计算即可． 【详解】（1）解：因为， 所以，即， 所以，所以． （2）①如图①，因为， 所以， 所以． 因为为线段的中点，所以． 因为，所以， 所以． ②分两种情况： a．如图②，当点在点右侧时． 因为， 所以． 因为，所以， 因为，所以； b．如图③，当点在点左侧时． 因为，所以． 因为，所以， 所以． 综上所述，的长为或． 18．（24-25七年级上·广东东莞·阶段练习）如图，已知A，B，C是数轴上的三点，点C表示的数是6，，． (1)写出数轴上点A，点B表示的数； (2)点M为线段的中点，，求的长； (3)动点P，Q分别从A，C同时出发，点P以每秒6个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点Q以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，求t为何值时，原点O恰好为线段的中点． 【答案】(1)A表示的数是，B表示的数是2 (2)7或13 (3)当时，原点O为的中点 【分析】本题主要考查数轴上的点与有理数，线段的和与差，线段中点，掌握数轴上的点与有理数的关系，能够表示出线段的和与差并分情况讨论，理解线段中点的含义是解题的关键． （1）根据点C表示的数和B，C之间的距离可求出B表示的数，然后再根据A，B之间的距离即可求出A表示的数； （2）根据M是的中点，求出的长度，然后分N点在C的左侧和右侧两种情况，当N在C左侧时，，当N在C右侧时，，最后利用即可得出答案； （3）原点O为的中点时，，分别用含t的代数式表示出，，然后建立方程，解方程即可求出t的值． 【详解】（1）解：如图，∵点C表示的数是6，， ∴B表示的数是． ∵， ∴A表示的数是， ∴A表示的数是，B表示的数是2； （2）解：∵，M是的中点． ∵， 因为， 当点N在点C的左侧时，，此时； 当点N在点C的右侧时，，此时； 综上，的长7或13； （3）解：∵A表示的数是， ∴ ∵C表示的数是6， ∴， ∵点P、点Q同时出发，且运动的时间为t秒， ∴，， ∴，， 当原点O为的中点时，， ∴．解得， 故当时，原点O为的中点． 19．（25-26七年级上·全国·单元测试）问题提出 （1）数轴上，点、点表示的数分别为，则线段的长为 ，线段的中点表示的数为 ； 问题探究 （2）如图，直线上顺次有四个点，，．点是的中点，点是的中点．若线段以每秒的速度沿直线向右运动，同时，线段以每秒的速度沿直线向左运动．在运动的过程中，记的中点为，的中点为．设运动时间为秒． 求在运动过程中时的值； 在运动过程中是否存在，使得的值最小？若存在，求出满足的条件，并求出的最小值；若不存在，说明理由． 【答案】（），；（）或；最小值，理由见解析． 【分析】本题考查了列一元一次方程解决问题，线段中点，绝对值的几何意义等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识． （）利用数轴可求得，点表示的数为； （）以为原点，建立数轴，分别表示出点的坐标，进而根据列出方程，进一步得出结果； 表示出，进而根据其几何意义得出结果． 【详解】解：（），点表示的数为， 故答案为：，； （）∵，， ∴，，， 以为原点，建立数轴，运动前：点：，：，：，：， 运动后，：，：，：，：， 此时，：，：，：，：， 由得出， ， ∴或； ， 其意义是数到，，，的距离之和， 当时，即时，最小值为． 20．（24-25七年级上·河南周口·期末）学习了线段的中点之后，小明利用数学软件做了次取线段中点实验：如图，该线段．第次，取的中点；第次，取的中点；第次，取的中点，第次，取的中点；… (1)请完成下列表格数据． 次数 线段的长 第次 第次 第次 第次 第次 ________ ________ … … … (2)小明对线段的表达式进行了如下化简： 因为， 所以． 两式相加，得． 所以． 请你参考小明的化简方法，化简的表达式． (3)类比猜想：________，________，随着取中点次数的不断增大，的长最终接近的值是________． 【答案】(1)， (2) (3)，， 【分析】本题考查规律型：图形的变化类，找出规律是解答本题的关键． （1）根据表中的规律可求出，根据可得出答案； （2）参照小明对线段的表达式的化简可得的表达式； （3）根据类比猜想可得答案． 【详解】（1）解：，， 故答案为：，； （2）解：因为， 所以， 两式相加，得， 所以； （3）解：，，随着取中点次数的不断增大，的长最终接近的值是， 故答案为：，，． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题11线段的和与差及中点问题的四类综合题型 目录 典例详解 类型一、线段的和与差的计算问题 类型二、线段中的单中点的计算问题 类型三、线段中的双中点的计算问题 类型四、线段中的多中点的计算问题 压轴专练 业 典例详解 类型一、线段的和与差的计算问题 如下图，有AB+BC=AC,或AC=a+b;AD=AB-BD 例1.(24-25七年级上江苏连云港阶段练习)在直线上，线段AB=5,线段BC=3,则线段AC的长 为】 【变式1-1】(24-25七年级下·内蒙古乌海期末)若点A,B,C在同一条直线上，如果线段AB=7cm,线 段BC=4cm,那么A,C两点之间距离是 【变式1-2】(24-25七年级上·广东深圳期中)在直线1上截取线段AB,BC,使AB=3cm,BC=1cm, 则线段AC的长为 cm. 【变式1-3】(24-25七年级上·全国期末)如图，B、C、D依次为线段AE上的三个点.己知AE=8, AB=3BC,CE=4CD. (I)求BD的长； (2)求图中所有线段长度的和. 1/10 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 类型二、线段中的单中点的计算问题 把 条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点。如下图，有：4M=MB=号4 例2.(24-25七年级上·河南驻马店·阶段练习)已知点C在直线AB上，若AC=4cm,BC=6cm,E为线段 AB的中点，则AE的长为」 【变式2-1】(24-25六年级下山东烟台期末)己知线段AB=10,直线AB上有一点C,AC:BC=1:4,D 为AC的中点，则BD的长为」 【变式2-2】(24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试)点C、点D在线段AB上，AD=BC. A C DB A C M DB 图1 图2 (①)如图1，请判断AC和BD的数量关系，并说明理由： (2)如图2，点M是AD的中点，BM=4AC,CM=2,求线段AB的长度. 【变式2-3】(24-25七年级上·湖南长沙阶段练习)已知点C在线段AB上，AC=2BC,AB=48,点D, E在线段AB上，点D在点E的左侧，点E在点C的右侧，DE=I6,线段DE在线段AB上移动. A (I)求BC的长 (②)如图，当E为BC的中点时，求AD的长； (3)在(2)的条件下，如果在线段AD上取一点F,使得DF=DE,此时点F是线段AE的几等分点？请说明 理由. 类型三、线段中的双中点的计算问题 两线段在同一直线上且有一个共同的端点，求这两条线段的中点距离的模型我们称之为线段的双中点模 型 条件：点M、N分别为线段AB、BC的中点，结论：MN=二AC 证明：①当点B在线段AC上，如图1， 2/10 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 M B N 图1 :M、N分别为AB、BC的中点， =。AB(中点定义)：BN=BC(中点定义 :MN=BM什BN, Mw-4B+8c-48+8c-号4c: ②当点B在线段AC的延长线上，如图2， ✉B 图2 :M、N分别为AB、BC的中点， BM=4B(中点定义：BN=号8C(申点定义： MN=BM-BN, .MN-AB-BC-(AR-BC)-4C: ③当点B在线段CA的延长线上 C M AN 图3 :M、N分别为AB、BC的中点， :BM=AB(中点定义)：BN=BC(中点定义)： MN=BN-BM, :MN=-BC-14B-(BC-BA)-TAC: 2 例3.(2425七年级上·湖南株洲期末)如图所示，已知点C在线段AB上，M,N分别是AC,BC的中点. A M CNB (1)图中有 条线段： (②)若AC=10,BC=8,求MN的长度 【变式3-1】(24-25七年级上湖南衡阳·期末)如图，己知点C为线段AB上一点，AC=12cm,CB=8cm, D、E分别是AC、AB的中点.求： D E C (1)求AD的长度； 3/10 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (2)求AE的长度； (3)求DE的长度； 【变式3-2】(24-25七年级上浙江杭州阶段练习)如图，点B、C在线段AD上，且 AB 3BC,CD 2BC. M M B C D B C D (I) () 1)如图(I)若点M为AC的中点，且AD=24.则BC=-,BM=-· (2)如图(IⅡ)若点M、N分别为AC、BD的中点，且AD=m,BC=n,求MN(用m、n表示). 【变式3-3】(24-25七年级上·陕西咸阳·阶段练习)【问题背景】 如图，己知线段AB=I6,点C是线段AB的中点，点D是线段BC的中点. D BA N C D B 图1 图2 【问题探究】 (1)如图1，求线段CD的长； (2)如图2，点N是线段AC上的一点，且满足CN=3AW, ①求线段DN的长； ®若点M是线段AB上的一点，CMAN,求DM的长 类型四、线段中的多中点的计算问题 条件：如图，点M在线段AN的延长线上，且线段MN=2a,第1次操作：分别取线段AM和AN的中点 M,、N,;第2次操作：分别取线段AM,和AN的中点M2,N2;第3次操作：分别取线段AM2和AN2的 中点M,N:连续这样操作n次，结论：M-得a A NMNM N M N M 证明：：M1、N,是AM和AN的中点 M=2AM,4W,=74N, 2 :M:N,-TAM-TAN-IMN-a, 2 4/10 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :M2、N2是AM和AW1的中点， AM,=24M,MN=24N, 六M,N,=2AM,-24W=2M,N=2a, 2 2 :M3,N,是AM2和AN2的中点， AM=AM,N,=号4N, 2 1.12 2 2 例4.已知线段48=9m,点C,D是线段AB上的点，且4C=号4B,点D是线段4C的三等分点，则 BD= 【变式4-1】如图，图中数轴的单位长度为1.若原点0为AB的四等分点，则C点代表的数为 B 【变式4-2】小明在学习了比较线段的长短时对下面一道问题产生了探究的兴趣： 如图1，点C在线段AB上，M,N分别是AC,BC的中点.若AB=12,AC=8,求MN的长. M C N BA M NB 图1 图2 (I)根据题意，小明求得MN= (2)小明在求解(1)的过程中，发现MN的长度具有一个特殊性质，于是他先将题中的条件一般化，并开始 深入探究。 设AB=α，C是线段AB上任意一点（不与点A,B重合），小明提出了如下三个问题，请你帮助小明解答. ①如图1，M,N分别是AC,BC的中点，则MN=】 ②如图2，M,N分别是AC,BC的三等分点，即AM=AC,BN=BC,求MN的长； ⑧若M,N分别是AC,BC的n等分点，即AM=IAC,BN=IBC,则MN= 5/10 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 0 压轴专练 一、单选题 1.(23-24七年级下山东淄博期中)如图，点D是线段AC上一点，点C是线段AB的中点，则下列等式 不成立的是() A D C B A.AD+BD=AB B.BD-CD=CB C.AB=2AC D.40=4c 2.(24-25七年级上宁夏银川期末)己知在一直线上有A、B、C三个点，且线段AB=8cm,BC=6cm,点 M是线段AC的中点，则线段AM的长为() A.Icm B.7cm C.lcm或7cm D.5cm或7cm 3.(24-25七年级上辽宁鞍山期末)如图，点C,D在线段AB上，且AC=CB,CD=DB,下列结论正 确的是() D B A.点D是线段AB的中点 B.点C是线段AD的中点 C.点D是线段AB的三等分点 D.点C是线段AD的三等分点 4.(23-24七年级上·全国期末)如图所示，B在线段AC上，且BC=3AB,D是线段AB的中点，E是BC的 三等分点(E靠近C),则下列结论：①EC=4E:②DE=5BD:@BE=E+BC:④ AE=(BC-AD),其中正确结论的有() ADB E A.①② B.①②④ C.②③④ D.①②③④ 5.(23-24七年级上陕西西安·阶段练习)己知线段AB,点P在直线AB上，直线AB上共有三条线段： AB,PA和PB.若其中有一条线段的长度是另一条线段长度的两倍，则称P为线段AB的“奇妙点”，那么 线段AB的“奇妙点”的个数是() A.3 B.6 C.9 D.12 6.(25-26七年级上重庆阶段练习)已知有理数a,b满足：a-2b+(2-b)2=0,如图，在数轴上，点O是 6/10 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 原点，点A所对应的数是a,线段BC在直线OA上运动（点B在点C的左侧），BC=b, 下列结论： ①a=4,b=2; ②当点B与点O重合时，AC=3; ③当点C与点A重合时，若点P是线段BC延长线上的点，则PO+PA=2PB; ④在线段BC运动过程中，若M为线段OB的中点，N为线段AC的中点，则线段MN的长度不变.其中正 确的是() 01 A.①③ B.①④ C.①②③④ D.①③④ 二、填空题 7.(2025七年级上全国专题练习)如图，点D在线段AC上，点C是线段AB的中点，若AB=8,CD=3 ,则BD的长是 AD C B 8.(25-26七年级上全国单元测试)如图，C,D为线段AB上两点，4C+BD=12,且AD+BC=1” ,则CD=一 C D B 9.(24-25九年级下.甘肃·课后作业)已知线段AB=8. (1)若点C是线段AB上一点，AC=2,则BC的长为 (2)若点C是AB的中点，则AC的长为 10.(24-25九年级上·全国·课后作业)已知线段AB=9。 (I)若点C是线段AB上一点，AC=2,则BC的长为一： (2)若点C是线段AB的中点，则AC的长为： (3)若点C是线段AB的一个三等分点，则BC的长为 11.(24-25七年级上·湖北武汉·期末)在直线1上有A、B、C、D四点，其中点B是线段AD的三等分点， 点C是线段AD的中点，点E是线段AD延长线上一点，且AE+BE=2AD,则E的值为一 CE 12.(25-26七年级上·全国·期末)如图，有一根木棒CD放置在数轴上，它的两端C,D分别落在点A,B 7/10 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 上，将木棒在数轴上水平移动，当CD的中点移动到点B时，点D所对应的数为-2，当CD的四等分点（不 含中点)移动到点A时，点C所对应的数为-9，则木棒CD的长度为」 D A B 0 三、解答题 13.(24-25七年级上·黑龙江佳木斯期末)如图，已知C,D是线段AB上的两点，AC:CD:BD=2:4:3, E是AB的中点，DE=3,求CE的长 A C E D B 14.(24-25七年级上山西太原阶段练习)如图，E为线段AB的中点，且EC=12 A E D B C (I)若AC=18,求线段AB的长。 (②若BD=AB=CD,求线段AC的长。 3 15.(24-25七年级上陕西渭南期末)如图，A、B、C、D四点在同一直线上. A B CD AMB CND 图1 图2 ①如图，若AB=CD,BC=≥4C,且4C=16cm,求AD的长； (2)如图2，若线段AD被点B、C分成了3：4：5三部分，且AB的中点M和CD的中点N之间的距离是32Cm ,求AD的长。 16.(24-25七年级上河南南阳期末)如图，已知点C在线段AB上，点D、E分别在线段AC、BC上， A D C E B (1)观察发现：若D、E分别是线段AC、BC的中点，且AB=12,则DE=: (2)拓展探究；若AD=2DC,BE=2CE,且AB=10,求线段DE的长； (3)数学思考：若AD=kDC,BE=kCE(k为正数)，则线段DE与AB的数量关系是 17.(24-25七年级上·辽宁沈阳·期中)如图，点C在线段AB上，AC=2BC,线段DE在直线AB上移动（点 D,E不与点A,B重合，且点D在点E的左侧). D CE B 8/10 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (I)若AB=24,求线段AC和BC的长. (2)若AB=15,DE=6,线段DE在线段AB上移动. ①当E为线段BC的中点时，求AD的长； ②点F(不与点A,B,C重合)在线段AB上，AF=3AD,CF=3,求线段AE的长. 18.(24-25七年级上广东东莞阶段练习)如图，已知A,B,C是数轴上的三点，点C表示的数是6， BC=4,AB=12. 0B七→ (I)写出数轴上点A,点B表示的数： (2)点M为线段AB的中点，CN=3,求MN的长； (3)动点P,Q分别从A,C同时出发，点P以每秒6个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点Q以每秒3 个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，求t为何值时，原点O恰好为线段P⑨的中点， 19.(25-26七年级上全国·单元测试)问题提出 (1)数轴上，点A、点B表示的数分别为-28，则线段AB的长为_，线段AB的中点M表示的数为一； 问题探究 (2)如图，直线1上顺次有A、B、C、D四个点，AD=18cm,AB:BC:CD=2:3:4.点M是AB的中点， 点N是CD的中点.若线段AB以每秒6cm的速度沿直线I向右运动，同时，线段CD以每秒2cm的速度沿直 线I向左运动.在运动的过程中，记BC的中点为E,AD的中点为F,设运动时间为t秒. ①求在运动过程中MN=EF时的t值； ②在运动过程中是否存在t,使得AE+BF+CF+DE的值最小？若存在，求出t满足的条件，并求出 AE+BF+CF+DE的最小值；若不存在，说明理由. AMB C N D 20.(24-25七年级上·河南周口期末)学习了线段的中点之后，小明利用数学软件GeoGebra做了n次取线 段中点实验：如图，该线段OP=1.第1次，取OP的中点P;第2次，取PP的中点D;第3次，取PP的 中点乃，第4次，取B的中点P； PP 0 PP:Ps (1)请完成下列表格数据. 次数 PP 线段OP的长 9/10 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 第1次 RR=2 0R=0R-RR=-月 第2次 BP 1 0B=0R+PB=1-+J -222 1 第3次 P,R=2 OB=0R-BB=1-1+1-1 2+222 第4次 PR 0R=0明+R=1++ 第5次 … (2)小明对线段OP,的表达式进行了如下化简： 因为0明1-分+女， 1,11,1 11,1 所以20那=212+22+22-1+22+2· 两式相加，得30P=2+2交· 1 21 所以OP=2+ 33×24 请你参考小明的化简方法，化简OP的表达式， (3)类比猜想：PP=，OR= ,随着取中点次数的不断增大，OP的长最终接近的值是 10/10