专题14 线段上的动点探究问题的四类综合题型（压轴题专项训练）数学苏科版2024七年级上册

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题14线段上的动点探究问题的四类综合题型 目录 典例详解 类型一、线段上含动点求线段长问题 类型二、线段上含动点求定值问题 类型三、线段上含动点求时间问题 类型四、线段上含动点的新定义型问题 压轴专练 典例详解 类型一、线段上含动点求线段长问题 、 核心解题方法（分两点） 1.坐标法：设线段所在直线为数轴，定线段端点坐标，用字母（如）表示动点坐标，根据“数轴上两点 距离=坐标差绝对值”列关系式，代入条件求解。 2.分类讨论法：根据动点运动方向（向左/向右）、与定端点的位置关系（在线段上/延长线）分类，避免 漏解，每类单独列等式计算。 二、关键解题技巧（分两点） 1.抓“不变量”与“变量”：固定线段长度、动点速度为不变量，用变量t表示运动时间，推导动点位置， 建立长度与t的关联。 2.画动态示意图：分阶段画出动点不同位置的图形，标注已知与未知线段，直观梳理数量关系，减少思 维混乱。 例1.(24-25七年级上·广西河池期末)如图，已知线段AB=acm,点C为线段AB上的一个动点，点D, E分别是AC和BC的中点， I D C E B (I)求DE的长（用含a的式子来表示）： (2)若AB=12cm,AD=2,求CE的长， 【变式1-1】(24-25七年级上湖北武汉阶段练习)如图，AB=12,C为线段AB上一动点，点D在线段 CB上且满足CD:DB=1:2. A B 1/11 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (I)当C为线段AB的中点时，求CD的长 (2)若E为线段AD的中点，当DE=2CE时，求AC的长. 【变式1-2】(24-25七年级上陕西安康期末)如图，A,B是数轴上的两点，对应的数分别是a,b,原 点O是线段AB上的一点.己知AB=6,且OB=2OA.M为数轴上的一个动点，其对应的数为x. A 0 B 0 (1)求点A,B对应的数a,b的值： (2)若MA=3MB,求点M对应的数x的值 【变式1-3】如图，P是线段AB上一点，AB=18cm,C,D两动点分别从点P,B同时出发沿射线BA向 左运动，到达点A处即停止运动， A C P D B (1)若点C,D的速度分别是1cms,2cms. ①若2cm<AP<14cm,当动点C,D运动了2s时，求AC+PD的值； ②若点C到达AP中点时，点D也刚好到达BP的中点，求AP:PB; (2)若动点C,D的速度分别是1cm/s,3cms,点C,D在运动时，总有PD=3AC,求AP的长度. 类型二、线段上含动点求定值问题 一、 核心解题方法（分两点） 1.代数建模法：设数轴定端点坐标，用含t(运动时间)的式子表示动点坐标，根据距离公式列线段长度 表达式，化简后消去，证明结果为常数。 2.中点性质法：若涉及中点，利用“中点坐标=两端点坐标和的一半”推导线段关系，结合线段和差，直 接得出定值结论。 二、关键解题技巧（分两点） 1.聚焦“消参”核心：化简表达式时，重点消去变量，若结果与t无关，即为定值，避免陷入复杂计算 2.特殊值验证法：取动点不同时刻的位置（如0、1），计算目标线段长，初步判断定值，再严谨推导， 提高效率。 例2.(24-25七年级上·黑龙江双鸭山期末)如图，线段AB=24,动点P从点A出发，以每秒2个单位长 度的速度沿射线AB运动，点M为AP的中点，设点P运动的时间为t秒. A M P B MB N P (1)用含t的代数式表示PB的长 2/11 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (②)当点P在射线AB上运动时，出发多少秒后PB=2AM? (3)当点P在线段AB的延长线上运动时，点N为BP的中点，有下列两个结论：①MN的长度不变；② MA+PN的值不变.请判断哪个结论是正确的，并说明理由 【变式2-1】(24-25七年级上·安徽安庆期末)如图，己知数轴上的点A对应的数为6，B是数轴上的一点， 且AB=10,动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿着数轴向左匀速运动，设运动时间为t秒 (1>0). 中 01 6 (①)数轴上点B对应的数是 点P对应的数是 (用含t的式子表示)： (2)动点Q从点B与点P同时出发，以每秒4个单位长度的速度沿着数轴向左匀速运动，试问：运动多少时间 点P可以追上点？？ (3)M是AP的中点，N是PB的中点，点P在运动过程中，线段MN的长度是否发生变化？若有变化，请说 明理由；若没有变化，请你画出图形，并求出MN的长。 【变式2-2】(23-24七年级上·河南南阳期末)如图，己知线段AB=16,C、D是线段AB上的两个动点（点 C在点D的左侧，且都不与端点A、B重合)，CD=2,E为BC的中点. A E B 图1 E B 图2 B 备用图 (1)如图1，当AC=4时，求DE的长； (2)如图2，F为AD的中点. ①点C、D在线段AB上移动过程中，线段EF的长度是否会发生变化，若会，请说明理由；若不会，请仅 以图2为例求出EF的长； ②当CF=0.5时，请直接写出线段DE的长. 3/11 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 类型三、线段上含动点求时间问题 一、 核心解题方法（分两点） 1.距离等式法：设运动时间为，用“速度×时间”表示动点移动距离，结合线段和差或中点关系，列关 于t的一元一次方程求解。 2.坐标方程法：建立数轴，用含t的式子表示动点坐标，根据“两点距离=坐标差绝对值”列方程，解方 程得t的值。 二、关键解题技巧（分两点） 1.明确运动细节：标注动点速度、方向及线段初始长度，避免因方向混淆导致列错方程。 2.分类讨论避漏解：根据动点相遇、在线段上/延长线等不同位置情况分类，每类列方程求解，验证结果 合理性。 例3.(2425七年级上湖北阶段练习)如图，点C是线段AB上的一点，线段AC=8,BC=3AC,点D 为线段AB的中点. A CD B CD B 备用图 (①I)直接写出线段AB和CD的长； (2)若动点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿直线AB向右运动，动点Q从点B出发，以每秒4个单 位的速度沿直线BA向左运动，当点Q到达点A时立即掉头沿直线AB向右运动，当点Q再次回到点B时， 动点P,Q同时停止运动.设运动时间为t秒. ①当为何值时，点P与点Q重合？ ②若点M,N分别为线段AP,AQ的中点，MN=5,求t的值. 【变式3-1】(24-25七年级上河南南阳·阶段练习)如图，己知A、B、C是数轴上三点，点B表示的数为 5,AB=10,BC=4.动点P从点C出发以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，同时动点Q从 点A出发以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设点P的运动时间为(1>0)秒， B (I)点A表示的数是 点C表示的数是 (②)若点O为线段AB的中点，点D为线段BC的中点，则线段OD的长度为 (3)①求当t为何值时，BP=1. ②请直接写出当P,Q相遇时t的值为 ,此时P,Q在数轴上表示的数为 【变式3-2】(24-25七年级上·江苏无锡阶段练习)如图，0为原点，在数轴上点A表示的数为a,点B表 示的数为b,且a,b满足a+2+(3a+b)2=0. 4/11 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A 0 B B 备用图 (1)a= b= (2)若点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动的时间为t(秒). ①当点P运动到线段OB上，且PO=2PB时，求t的值； ②先取OB的中点E,当点P在线段OE上时，再取4P的中点F,试探究4BOP的值是否为定值？若是， EF 求出该定值；若不是，请用含t的代数式表示 ③若点P从点A出发，同时，另一动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，到达点O 后立即原速返回向右匀速运动，点Q运动到点B停止.当PQ=1时，求t的值. 类型四、线段上含动点的新定义型问题 一、核心解题方法（分两点） 1.定义转化法：精读新定义，将“自定义概念”（如“中点衍生概念”“距离新规则”）转化为线段和差、 坐标关系等已知数学语言，建立解题桥梁。 2.方程建模法：设运动时间为t,用含t的式子表示动点位置，结合转化后的定义条件，列一元一次方程 或绝对值方程求解。 二、关键解题技巧（分两点） 1.举例验证定义：取特殊值（如0）代入新定义，快速理解其本质，避免误解题意。 2.分类讨论位置：根据动点运动方向、与定线段的位置关系分类，结合新定义列方程，确保覆盖所有可 能情况。 例4.(24-25七年级上湖南湘潭·期末)如图1，点C在线段AB上，图中共有3条线段：AB,AC和BC, 若其中有一条线段的长度是另一条线段长度的两倍，则称点C是线段AB的“巧点”. A B B b 图1 图2 (1)一条线段的中点 这条线段的“巧点”；（填“是“或“不是”） (2)如图2，数轴上A、B两点分别对应数a、b,且a、b满足关系式a+40+b-20=0. ①若C是线段AB的“巧点”，则C点表示的数是多少？ ②动点P从点A出发，以每秒2cm的速度沿AB向终点B匀速移动.点Q从点B出发，以每秒3cm的速度 沿BA向终点A匀速移动，点P,Q同时出发，当其中一点到达终点时两动点同时运动停止，若设移动的时 间为t秒，求当t为何值时，点Q恰好是线段AP的巧点”. 【变式4-1】(24-25七年级上江苏无锡·阶段练习)如图①，点M在线段AB上，图中共有三条线段AB, 5/11 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 AM和BM,若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点M是线段AB的“二倍点”. B 6 ① ② B ③ (1)一条线段的中点_这条线段的“二倍点”（填“是”或“不是”）； (2)如图②，若CD=6a,点N是线段CD的二倍点，则CN=_;(用含a的代数式表示) (3)如图③，己知AB=20cm,动点P从点A出发，以2cm/s的速度沿AB向点B匀速移动，点Q从点B出 发，以1cm/s的速度沿BA向点A匀速移动，点P,Q同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也停止移 动，设移动的时间为s,求当为何值时，点Q恰好是线段AP的二倍点 【变式4-2】(24-25七年级上·辽宁盘锦·期末)点C是直线AB上一动点，当CA=2CB时，我们称点C是点 A与点B的衍生点，记作CA&B), yX 【定义理解】 问题(1)若点C在线段AB上时，A表示-3，B表示6时，则C(A&B)表示的数是_ 【深入研究】 当点C是点A与点B的衍生点时，分别取线段AC,BC的中点M,N,发现线段CM、CN、AB之间存在 着一种特殊的数量关系，小明同学觉得若想探寻此问题，需要分两种情况讨论：①点C在线段AB上时；② 点C在线段AB的延长线上时. 问题(2)请任意选择①，②中的一种情况，画出图形，猜想线段CM,CN,AB之间满足的数量关系，并说 明理由； 【拓展提升】 问题(3)若点C在线段AB上，线段AB=20cm,BC=8cm,动点P、Q分别从A、B两端同时出发，点P 以2cm/s的速度沿AB向右运动，终点为B,点Q以3cm/s的速度沿BA向左运动，到达A点后立即返回，终 点是B.当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动，请求出运动多少秒时，点C是点P与点Q的衍生 点 6/11 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 物章 压轴专练 一、单选题 1.(2425七年级上贸州铜仁期未)已知点M是线段B上一点，若AM=44B,点N是直线4B上的- 动点，且AN-BN=MN,则MN的() AB A B. C.1或 2.(24-25七年级上江苏无锡期末)已知线段AB=16,C、D是线段AB上的两个动点，则下列结论：① 若C是B的中点，点D在线段CB上，08=3.则cD-5:@若4C+DCD,则cD=号.③若 CD=4,且AC:BD=1:2,则AC=4;④若D是BC的中点，AC=6+aa>0),则AC>BD.其中正 确的为() A.①③ B.②④ C.①②③ D.①②④ 3.(24-25七年级上·江苏无锡·期末)如图，线段AB=24cm,动点P从A出发，以2cms的速度沿AB运动， M为AP的中点，N为BP的中点.以下说法正确的是() ①运动4s后，PB=2AM; ②PM+MN的值随着运动时间的改变而改变； ③2BM-BP的值不变； ④当AW=6PM时，运动时间为2.4s. AM P N B A.①② B.②③ C.①②③ D.②③④ 二、填空题 4.(24-25七年级上安徽蚌埠阶段练习)已知线段AB=6,点P是射线AB上的一个动点，点M是线段 AP的中点，点N是线段MB的中点.当MN=1.6时，AP的长为 5.(24-25七年级上·广东深圳期末)如图，已知数轴上的点C表示的数为6，点A表示的数为-4，点B是 AC的中点，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，运动时间为t秒(t>0 ,另一动点Q,从B出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，且P,Q同时出发，当t为 7/11 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 秒时，点P与点Q之间的距离为2个单位长度. A B 6.(24-25七年级上·全国·单元测试)(1)如图，己知AB=12cm,点C为线段AB上的一个动点，D、E分 别是AC、BC的中点； ①若点C恰为AB的中点，则DE= cm; ②若AC=4cm,则DE=_ cm; (2)如图，点C为线段AB上的一个动点，D、E分别是AC、BC的中点；若AB=Q,则 DE= AD C E B 三、解答题 7.(24-25七年级上·全国·单元测试)已知线段AB=6,点P是射线AB上的一个动点，点M是线段AP的中 点，点N是线段MB的中点， (I)当AP=2.4时，求MN的长： (2)当MN=1.6时，求AP的长 8.(24-25七年级上湖南湘西·期末)如图，已知线段AB=16cm,点C为线段AB上的一个动点，点D,E 分别是AC和BC的中点. DC E B (I)若点C恰为AB的中点，求DE的长； (2)若AC=6cm,求DE的长： (3)试说明不论AC取何值（不超过16cm),DE的长不变 9.(24-25七年级上·河北沧州期末)如图，已知线段AB=24cm,点C是线段AB上任意一点（不与点A、 B重合)，点D和点E分别是线段AC、BC的中点. D (I)线段DB-CE是图中哪条线段的长度； (2)若AC=18cm,求线段DE的长度； (3)若点C为线段AB的中点，则线段AD与线段AB的数量关系是 ； (④)试说明，无论点C如何移动，线段DE的长度为定值，并求出这个定值 8/11 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 10.(24-25九年级下·河北沧州阶段练习)如图，在单位长度为1cm的数轴上，设A、B、C、D四点在数轴 上对应的数分别为a、b、c、d,其中a<b<0<c<d,a=-12,d=15,线段AB、CD的长度分别为 AB =a-b=3cm,CD=c-d|=1cm. AB CD 山》 0 (1)请求出线段BC的长度： (②)若线段AB、CD分别以每秒1cm、2cm的速度同时开始向右匀速运动.设线段AC、BD的中点分别为M、N 点，运动时间为t秒，其中0<t<24. ①当运动时间t为何值时，点B与点M恰好重合？ ②在线段AB、CD的运动过程中，线段MN的长是否为某一固定值？如果是，试求出这个值；如果不是，请 说明理由， 11.(2024七年级上全国专题练习)如图，P是线段AB上一点，AB=18cm,C,D两动点分别从点P, B同时出发沿射线BA向左运动，到达点A处即停止运动. A C P D B (1)若点C,D的速度分别是lcm/s,2cm/s. ①若2cm<AP<14cm,当动点C,D运动了2s时，求AC+PD的值； ②若点C到达AP中点时，点D也刚好到达BP的中点，求AP:PB; (2)若动点C,D的速度分别是lcm/s,3cm/s,点C,D在运动时，总有PD=3AC,求AP的长度 12.(24-25七年级上江苏苏州阶段练习)如图，已知数轴上点A表示的数为8，B是数轴上位于点A左侧 一点，且AB=20,动点P从A点出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为 t(t>0)秒 B 0 0 8 (I)写出数轴上点B表示的数_；点P表示的数_（用含t的代数式表示） (2)动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，若点P、Q同时出发，问多少秒 时P、Q之间的距离恰好等于2？ (3)动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发，问多少秒 时P、Q之间的距离恰好又等于2？ (4)若M为AP的中点，N为BP的中点，在点P运动的过程中，线段MN的长度是否发生变化？若变化，请 9/11 高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 说明理由，若不变，请你画出图形，并求出线段MN的长， 13.(24-25六年级下·黑龙江哈尔滨期中)如图，已知A、B、C是数轴上三点，O为原点，点A、点B在 原点的右侧，点C在原点左侧，点A表示的数为m,若关于x的多项式-x3+12x2-3mx2-2x+4不含x2, 且AB=6,AC=24. C 0AB→ OAB→ 备用图 (1)求点B、点C在数轴上所表示的数； (②)动点P从点C出发，以每秒6个单位的速度沿数轴的正方向运动，同时动点Q从点B出发，以每秒3个 单位的速度沿数轴的正方向运动，M为AP的中点，点N在BQ上，且QN=2BQ,设运动时间为tt>0)秒， 请用含t的式子表示点M、点N在数轴上所表示的数； (3)在(2)的条件下，若R为P2的中点，求t为何值时，满足20M+20R=ON. 14.(24-25七年级上辽宁铁岭期末)已知点C在线段AB上，若AC=5BC或BC=5AC,则称点C是线 段AB的“五美点”. 【理解定义】 (1)若线段AB=6,C是线段AB的五美点”，则AC=: 【解决问题】 (2)如图，E在射线0M上，OE=12. FE M 0 E M (备用图) ①若点D、F均为线段OE的“五美点”，且OD<OF,又K为线段DE的中点，求线段KF的长度： ②点P从点O出发，以每秒5个单位长度的速度沿射线0M向右运动，同时点Q从点E出发，以每秒2个 单位长度的速度也沿射线OM向右运动，运动时间为t秒，点P追上点Q时，两点同时停止运动，请问当P、 E、Q三点中某一点为其余两点所构成线段的五美点”时，t的值是多少？请直接写出答案，不必写过程. 15.(2025七年级上全国.专题练习)【新知理解】 点C在线段AB上，若BC=2AC或AC=2BC,则称点C是线段AB的优点”，线段AC,BC称作互为“优 点”伴侣线段. A C B 图1 10/11 专题14 线段上的动点探究问题的四类综合题型 目录 典例详解 类型一、线段上含动点求线段长问题 类型二、线段上含动点求定值问题 类型三、线段上含动点求时间问题 类型四、线段上含动点的新定义型问题 压轴专练 类型一、线段上含动点求线段长问题 一、核心解题方法（分两点） 1.坐标法：设线段所在直线为数轴，定线段端点坐标，用字母（如t）表示动点坐标，根据“数轴上两点距离=坐标差绝对值”列关系式，代入条件求解。 2.分类讨论法：根据动点运动方向（向左/向右）、与定端点的位置关系（在线段上/延长线）分类，避免漏解，每类单独列等式计算。 二、关键解题技巧（分两点） 1.抓“不变量”与“变量”：固定线段长度、动点速度为不变量，用变量t表示运动时间，推导动点位置，建立长度与t的关联。 2.画动态示意图：分阶段画出动点不同位置的图形，标注已知与未知线段，直观梳理数量关系，减少思维混乱。 例1．（24-25七年级上·广西河池·期末）如图，已知线段，点C为线段上的一个动点，点D，E分别是和的中点． (1)求的长（用含a的式子来表示）； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了线段中点的意义，线段的和差计算，熟练运用相关的性质认真计算是解题的关键． （1）根据线段中点的意义得到，，再由线段和差得到，即，即可求解； （2）由（1）可知，而，则，代入即可求解． 【详解】（1）解：∵点D是的中点 ∴， ∵点E是的中点， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解： 由（1）可知， 而， ∴， ∴． 【变式1-1】（24-25七年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，，C为线段上一动点，点D在线段上且满足． (1)当C为线段的中点时，求的长． (2)若E为线段的中点，当E时，求的长． 【答案】(1)2 (2)6 【分析】本题考查了两点间的距离，解题的关键是正确的识别图形． （1）根据线段中点的性质计算即可； （2）根据线段中点的性质和给出的数据，结合图形计算． 【详解】（1）解：∵点C为中点， ∴， ∵ ∴； （2）解：如图， ∵E为中点， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式1-2】（24-25七年级上·陕西安康·期末）如图，，是数轴上的两点，对应的数分别是，，原点是线段上的一点．已知，且．为数轴上的一个动点，其对应的数为． (1)求点，对应的数，的值； (2)若，求点对应的数的值． 【答案】(1) (2)或7 【分析】本题考查了线段的和差、数轴、一元一次方程的应用，熟练掌握数轴的性质是解题关键． （1）先根据线段的和差可得，，再根据数轴的性质即可得； （2）分两种情况：①当点在线段上时，②当点在点的右侧时，先利用数轴的性质求出，再根据建立方程，解方程即可得． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， 则结合数轴可知，． （2）解：①如图1，当点在线段上时， 则，， ∵， ∴， 解得； ②如图2，当点在点的右侧时， 则，， ∵， ∴， 解得， 综上，点对应的数的值为或7． 【变式1-3】如图，是线段上一点，，，两动点分别从点，同时出发沿射线向左运动，到达点处即停止运动． (1)若点，的速度分别是，． ①若，当动点，运动了时，求的值； ②若点到达中点时，点也刚好到达的中点，求； (2)若动点，的速度分别是，，点，在运动时，总有，求的长度． 【答案】(1)；； (2)． 【知识点】与线段有关的动点问题、线段中点的有关计算、线段的和与差 【分析】（）先计算，再计算即可；利用中点的性质求解即可； （）设运动时间为，则，，得到，又由，得到，进而得到即可求解； 本题考查了线段上动点问题、求线段的长度，充分利用中点和线段的倍数关系是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得：，， ； ∵点到达中点时，点也刚好到达的中点，设运动时间为， 则：，， ； （2）解：设运动时间为，则，， ， ， ． 类型二、线段上含动点求定值问题 一、核心解题方法（分两点） 1.代数建模法：设数轴定端点坐标，用含t（运动时间）的式子表示动点坐标，根据距离公式列线段长度表达式，化简后消去t，证明结果为常数。 2.中点性质法：若涉及中点，利用“中点坐标=两端点坐标和的一半”推导线段关系，结合线段和差，直接得出定值结论。 二、关键解题技巧（分两点） 1.聚焦“消参”核心：化简表达式时，重点消去变量t，若结果与t无关，即为定值，避免陷入复杂计算。 2.特殊值验证法：取动点不同时刻的位置（如t=0、t=1），计算目标线段长，初步判断定值，再严谨推导，提高效率。 例2．（24-25七年级上·黑龙江双鸭山·期末）如图，线段，动点从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线运动，点为的中点，设点运动的时间为秒． (1)用含的代数式表示的长______． (2)当点在射线上运动时，出发多少秒后？ (3)当点在线段的延长线上运动时，点为的中点，有下列两个结论：①的长度不变；②的值不变．请判断哪个结论是正确的，并说明理由． 【答案】(1)或 (2)当点在射线上运动时，出发秒后 (3)①结论正确，见解析 【分析】（1）先表示出，再根据点的位置分别表示出的长即可； （2）根据题意得，根据点的位置分两种情况讨论，分别列方程求解即可； （3）当点在线段的延长线上运动时，根据线段中点，得到，，再计算线段的和差即可． 【详解】（1）解：设点运动的时间为秒，则， 当点在线段上时，， 当点在的延长线上时，， 综上可知，的长为或． 故答案为：或； （2）解：，点为的中点， ， ①当点在线段上时，此时，， ， ， ； ②当点在的延长线上时，此时，， ，此方程无解； 即当点在射线上运动时，出发秒后； （3）解：当点在线段的延长线上运动时， ，， 点为的中点，点为的中点， ，， ， ， 的长度不变，①结论正确； ，， ， 的值是变的，②结论错误． 【变式2-1】（24-25七年级上·安徽安庆·期末）如图，已知数轴上的点对应的数为，是数轴上的一点，且，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿着数轴向左匀速运动，设运动时间为秒．    (1)数轴上点对应的数是_____，点对应的数是_____用含的式子表示； (2)动点从点与点同时出发，以每秒个单位长度的速度沿着数轴向左匀速运动，试问：运动多少时间点可以追上点？ (3)是的中点，是的中点，点在运动过程中，线段的长度是否发生变化？若有变化，请说明理由；若没有变化，请你画出图形，并求出的长． 【答案】(1)， (2)运动5秒，点可以追上点 (3)点在运动过程中，线段的长度不发生变化，的长为，图见解析 【分析】本题考查了数轴、一元一次方程的应用、线段的中点等知识，熟练掌握数轴的性质是解题关键． （1）根据数轴的性质即可得点表示的数和点对应的数； （2）根据点运动距离减去点运动距离等于的长，建立方程，解方程即可得； （3）分两种情况：①当点在点之间运动时，则，②当点在点左侧运动时，则，先根据线段中点可得，再线段的和差求解即可得． 【详解】（1）解：由题意得：点表示的数是， 点对应的数是， 故答案为：，． （2）解：由题意得：， 解得， 答：运动5秒，点可以追上点． （3）解：线段的长度不发生变化，画图求解如下： ①如图，当点在点之间运动时，则，    ∵是的中点，是的中点， ∴， ∴； ②如图，当点在点左侧运动时，则，    ∵是的中点，是的中点， ∴， ∴； 综上，点在运动过程中，线段的长度不发生变化，的长为． 【变式2-2】（23-24七年级上·河南南阳·期末）如图，已知线段，、是线段上的两个动点（点在点的左侧，且都不与端点、重合），，为的中点． (1)如图1，当时，求的长； (2)如图2，为的中点． ①点在线段上移动过程中，线段的长度是否会发生变化，若会，请说明理由；若不会，请仅以图为例求出的长； ②当时，请直接写出线段的长． 【答案】(1) (2)①不会发生变化，的长是；②或 【分析】本题考查两点间的距离， （1）先求出，再根据线段中点的定义得到，最后根据可得答案； （2）①根据可得结论；②分两种情况讨论即可； 熟练掌握线段中点的定义与线段的和差是解题关键． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴的长为； （2）①∵是的中点，是的中点，，， ∴，， ∴ ， ∴线段的长度不会发生变化，； ②当点在点的左侧时， ∵，， ∴， 由①知：， ∴； 当点在点的右侧时， ∵，CD=2， ∴， 由①知：， ∴， 综上所述，当时，线段的长为或． 类型三、线段上含动点求时间问题 一、核心解题方法（分两点） 1. 距离等式法：设运动时间为t，用“速度×时间”表示动点移动距离，结合线段和差或中点关系，列关于t的一元一次方程求解。 2. 坐标方程法：建立数轴，用含t的式子表示动点坐标，根据“两点距离=坐标差绝对值”列方程，解方程得t的值。 二、关键解题技巧（分两点） 1. 明确运动细节：标注动点速度、方向及线段初始长度，避免因方向混淆导致列错方程。 2. 分类讨论避漏解：根据动点相遇、在线段上/延长线等不同位置情况分类，每类列方程求解，验证结果合理性。 例3．（24-25七年级上·湖北·阶段练习）如图，点C是线段上的一点，线段，，点D为线段的中点． (1)直接写出线段和的长； (2)若动点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿直线向右运动，动点从点B出发，以每秒4个单位的速度沿直线向左运动，当点到达点时立即掉头沿直线向右运动，当点再次回到点B时，动点，同时停止运动．设运动时间为秒． ①当为何值时，点与点重合？ ②若点，分别为线段，的中点，，求的值． 【答案】(1)， (2)①4或；②2或10 【分析】本题考查了线段中点的定义、线段的和差、一元一次方程的应用，运用分类讨论思想是解题的关键． （1）根据线段的和差以及线段中点的定义即可求解； （2）①由题意得，点到达点所需时间为秒，点再次回到点B所需时间为秒，分2种情况讨论：当、时，分别表示出、的长，结合点与点重合，列出方程求出的值，即可解答；②分2种情况讨论：当、时，利用线段中点的定义表示出、的长，结合，列出方程求出的值，即可解答． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∵点D为线段的中点， ∴， ∴， ∴综上所述，，； （2）解：①点到达点所需时间为秒，点再次回到点B所需时间为秒， 依题意得，当时，， 则， ∵点与点重合， ∴，即， 解得：； 当时，，， 则， ∵点与点重合， ∴，即， 解得：； ∴当为4或时，点与点重合； ②当时，，， ∵点，分别为线段，的中点， ∴，， ∵， ∴，即， 解得：或（舍去）， ∴； 当，，， ∵点，分别为线段，的中点， ∴，， ∵， ∴，即， 解得：（舍去）或， ∴； ∴综上所述，时，的值为2或10． 【变式3-1】（24-25七年级上·河南南阳·阶段练习）如图，已知、、是数轴上三点，点表示的数为，，．动点从点出发以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，同时动点从点出发以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设点的运动时间为秒． (1)点表示的数是__________，点表示的数是__________； (2)若点为线段的中点，点为线段的中点，则线段的长度为__________； (3)①求当为何值时，． ②请直接写出当，相遇时的值为__________，此时，在数轴上表示的数为__________． 【答案】(1)， (2) (3)①或；②， 【分析】本题考查了数轴上的动点问题，一元一次方程的应用，线段中点的性质以及线段和差的计算； （1）根据点所表示的数，以及、的长度，即可写出点、表示的数； （2）根据线段中点的性质得出，进而即可求解； （3）①根据题意表示出点表示的数为：，根据列方程即可得到答案； ②依题意，点表示的数为，根据当，相遇时，点表示的数相同，列方程即可得到答案． 【详解】（1）解：∵点表示的数为，，，点在点的左侧，点在店的右侧， ∴点表示的数是，点表示的数是； 故答案为：，． （2）解：∵点为线段的中点，点为线段的中点， ∴ ∴ （3）解：①点的运动时间为秒， 依题意，点表示的数为：， ∵ ∴， 解得：或； 故答案为：或． ②依题意，点表示的数为 当，相遇时 解得： 此时 故答案为：，． 【变式3-2】（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，为原点，在数轴上点表示的数为，点表示的数为，且满足． (1)________，_________； (2)若点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动的时间为（秒）． ①当点运动到线段上，且时，求的值； ②先取的中点，当点在线段上时，再取的中点，试探究的值是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请用含的代数式表示． ③若点从点出发，同时，另一动点从点出发，以每秒个单位长度的速度向左匀速运动，到达点后立即原速返回向右匀速运动，点运动到点停止．当时，求的值． 【答案】(1)； (2)①；②是，定值；③的值为或或或或 【分析】（1）根据非负数的性质即可求出、的值； （2）①先表示出运动秒后点对应的数为，再根据两点间的距离公式得出，，利用建立方程，求解即可； ②根据中点坐标公式分别表示出点、点表示的数，再计算即可； ③分三种情况：相遇前；相遇后；点返回到，；分别求解即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， ∴， ， 故答案为：；； （2）①由（1）知：点表示的数为，点表示的数为， ∵点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动， ∴运动秒后点对应的数为， ∵点运动到线段上， ∴，， 当时，有， 解得：， ∴的值为； ②当点在线段上时， ∵点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为， ∴的中点表示的数是，，， 又∵的中点表示的数是，+ ∴， ∴， 即的值是定值，定值为； ③∵点从点出发，同时，另一动点从点出发，以每秒个单位长度的速度向左匀速运动，到达点后立即原速返回向右匀速运动，点运动到点停止， ∴运动秒后，点对应的数为， 当时，点在线段上向左运动，点对应的数为， 当时，点在线段上向右运动，点对应的数为， 当相遇前时，， 解得：； 当相遇后且点在线段上向左运动时，， 解得：； 当相遇后且点在线段上向右运动时，， 解得：或（舍去）； 点返回到，， 当点在点的左边时，； 当点在点的右边时，； 综上所述，当时，的值为或或或或． 类型四、线段上含动点的新定义型问题 一、核心解题方法（分两点） 1.定义转化法：精读新定义，将“自定义概念”（如“中点衍生概念”“距离新规则”）转化为线段和差、坐标关系等已知数学语言，建立解题桥梁。 2.方程建模法：设运动时间为t，用含t的式子表示动点位置，结合转化后的定义条件，列一元一次方程或绝对值方程求解。 二、关键解题技巧（分两点） 1.举例验证定义：取特殊值（如t=0）代入新定义，快速理解其本质，避免误解题意。 2.分类讨论位置：根据动点运动方向、与定线段的位置关系分类，结合新定义列方程，确保覆盖所有可能情况。 例4．（24-25七年级上·湖南湘潭·期末）如图1，点C在线段上，图中共有3条线段：，和，若其中有一条线段的长度是另一条线段长度的两倍，则称点C是线段的“巧点”． (1)一条线段的中点______这条线段的“巧点”；（填“是“或“不是”） (2)如图2，数轴上A、B两点分别对应数a、b，且a、b满足关系式． ①若C是线段的“巧点”，则C点表示的数是多少？ ②动点P从点A出发，以每秒的速度沿向终点B匀速移动．点Q从点B出发，以每秒的速度沿向终点A匀速移动，点P，Q同时出发，当其中一点到达终点时两动点同时运动停止，若设移动的时间为t秒，求当t为何值时，点Q恰好是线段的“巧点”． 【答案】(1)是 (2)①或或 ②或或 【分析】（1）若点是中点，则有成立，满足“巧点”定义，由此即可得出答案； （2）①由及绝对值非负性可得，，解方程即可求出、的值，若C是线段的“巧点”，则分三种情况讨论：）当时；）当时；）当时；分别求解，即可求出点表示的数；②当移动的时间为t秒时，点表示的数为，点表示的数为，当点Q恰好是线段的“巧点”时，分三种情况讨论：）当时；）当时；）当时；分别列方程求解即可． 【详解】（1）解：如图，若点是中点，则有成立，满足“巧点”定义， 一条线段的中点是这条线段的“巧点”， 故答案为：是； （2）解：①， ，， 解得：，， 若C是线段的“巧点”，则分三种情况讨论： ）当时， 此时， 点表示的数是：； ）当时， 此时， 点表示的数是：； ）当时， 此时， 点表示的数是：； 综上，点表示的数是或或， 答：点表示的数是或或； ②如图， 当移动的时间为t秒时，点表示的数为，点表示的数为， 当点Q恰好是线段的“巧点”时，分三种情况讨论： ）当时， ， 解得：； ）当时， ， 解得：； ）当时， ， 解得：； 综上，当或或时，点Q恰好是线段的“巧点”． 【变式4-1】（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）如图①，点M在线段上，图中共有三条线段，和，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点M是线段的“二倍点”． (1)一条线段的中点 这条线段的“二倍点”（填“是”或“不是”）； (2)如图②，若，点N是线段的二倍点，则 ；（用含a的代数式表示） (3)如图③，已知，动点P从点A出发，以的速度沿向点B匀速移动，点Q从点B出发，以的速度沿向点A匀速移动，点P，Q同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也停止移动，设移动的时间为，求当t为何值时，点Q恰好是线段的二倍点． 【答案】(1)是 (2)或或 (3)为或时，点恰好是线段的二倍点 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、列代数式以及两点间的距离，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键. （1）利用中点及“二倍点”的定义，即可得出一条线段的中点是这条线段的“二倍点”； （2）设，则，根据点是线段的二倍点，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论； （3）利用时间路程速度，可求出点到达点及点与点相遇所需时间，当时，表示，，的长，根据点是线段的二倍点，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论. 【详解】（1）解：根据题意得：一条线段的中点是这条线段的“二倍点”， 故答案为：是； （2）解：设，则， 当时，， 解得：； 当时，， 解得：； 当时，， 解得：， 综上所述，或或， 故答案为：或或； （3）解：(秒)，(秒)， 当时，，，， 当时，， 解得：； 当时，， 解得：； 当时，， 解得（不符合题意，舍去）， 答：当为或时，点恰好是线段的二倍点． 【变式4-2】（24-25七年级上·辽宁盘锦·期末）点C是直线上一动点，当时，我们称点C是点A与点B的衍生点，记作， 【定义理解】 问题（1）若点C在线段上时，A表示，B表示6时，则表示的数是 ． 【深入研究】 当点C是点A与点B的衍生点时，分别取线段，的中点M，N，发现线段之间存在着一种特殊的数量关系，小明同学觉得若想探寻此问题，需要分两种情况讨论：①点C在线段上时；②点C在线段的延长线上时． 问题（2）请任意选择①，②中的一种情况，画出图形，猜想线段之间满足的数量关系，并说明理由； 【拓展提升】 问题（3）若点C在线段上，线段，动点P、Q分别从A、B两端同时出发，点P以的速度沿向右运动，终点为B，点Q以的速度沿向左运动，到达A点后立即返回，终点是B．当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动，请求出运动多少秒时，点C是点P与点Q的衍生点． 【答案】（1）3（2）①②（3）当运动时间为或或秒时，点C是点P与点Q的衍生点 【分析】本题主要考查了线段的和差，线段中点的性质，线段中的动点问题，解题的关键是掌握分类讨论的数学思想． （1）根据新定义，确定线段的长度，然后求点表示的数即可； （2）①利用线段的中点性质和线段的和差表示数量关系即可； ②利用线段的中点性质和线段的和差表示数量关系即可； （3）采用分类讨论的思想，根据动点的运动轨迹，结合新定义下的线段长度关系，列方程求解即可． 【详解】解：（1）， 根据题意得，， ∴表示的数是； （2）①点C在线段上时， 如图所示， ∵线段，的中点分别为点M，N， ∴， 又， ∴； ②点C在线段的延长线上时，当时，， 如图所示，此时，点是线段的中点，即点与点重合， ∵点为线段的中点， ∴， ∴； （3）点运动到终点所需时间为秒，点运动到终点所需时间是秒，设运动时间为秒，讨论如下： ①如图所示，当时，根据题意得， ， 解得； ②如图所示，当时，根据题意得， 解得； ③如图所示，当时，根据题意得， 解得（舍去）； ④如图所示，当点到达点折返回来后，时，根据题意得， 解得； 综上，当运动时间为或或秒时，点C是点P与点Q的衍生点． 一、单选题 1．（24-25七年级上·贵州铜仁·期末）已知点M是线段AB上一点，若，点N是直线AB上的一动点，且，则的（    ） A． B． C．1或 D．或2 【答案】C 【分析】根据N在线段AB上和线段AB外分情况讨论，再结合线段关系即可解题． 【详解】当N在射线BA上时，，不合题意 当N在射线AB上时，，此时 当N在线段AB上时， 由图可知 ∴， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 故选：C． 【点睛】本题考查线段和差计算，解题的关键是画出图形根据图像找到线段直接的和差关系． 2．（24-25七年级上·江苏无锡·期末）已知线段，C、D是线段上的两个动点，则下列结论：①若C是的中点，点D在线段上，，则；②若，则；③若， 且，则；④若是的中点，，  则．其中正确的为（   ） A．①③ B．②④ C．①②③ D．①②④ 【答案】D 【分析】本题考查了线段的和差运算以及与线段的中点有关的计算，正确掌握相关性质内容是解题的关键．分别作图以及运用线段的和差关系进行逐个情况分析列式，要注意分类讨论的运用，即可作答． 【详解】解：∵线段，C、D是线段上的两个动点，C是的中点， ∴， ∵点D在线段上，， ∴． 故①是正确的； ∵，线段，C、D是线段上的两个动点，且， ∴， 即， ∴． 故②是正确的； ∵，线段，C、D是线段上的两个动点， ∴当点在线段上时，如图所示： 此时， ∵， ∴； ∴当点在线段上时，如图所示： 此时， ∵， ∴； 综上：或， 故③是错误的； ∵，且线段，C、D是线段上的两个动点， ∴， ∵是的中点， ∴， 则． ∵， ∴， 即， ∴， 故④是正确的 故选：D． 3．（24-25七年级上·江苏无锡·期末）如图，线段，动点P从A出发，以的速度沿运动，M为的中点，N为的中点．以下说法正确的是（  ） ①运动后，；             ②的值随着运动时间的改变而改变； ③的值不变；                 ④当时，运动时间为．    A．①② B．②③ C．①②③ D．②③④ 【答案】D 【分析】本题考查两点间的距离，动点问题，线段的和差问题，根据题意，分别用代数式表示出的长，根据线段之间和差倍关系逐一判断即可． 【详解】解：运动后，，， M为的中点， ， ，故①错误； 设运动t秒，则，， M为的中点，N为的中点， ， ， 的值随着运动时间的改变而改变，故②正确； ，， ， 的值不变，故③正确； ，， ， 解得：，故④正确； 故选：D 二、填空题 4．（24-25七年级上·安徽蚌埠·阶段练习）已知线段，点P是射线上的一个动点，点M是线段的中点，点N是线段的中点．当时，的长为 ． 【答案】或 【分析】分两种情况讨论，①点P在直线AB之内，利用线段中点性质，得到，，再根据线段和差即可计算的长；②点P在直线AB之外，同理可得的长． 【详解】解：点P是射线上的一个动点， ①点P在直线AB之内，如图1， 点是线段的中点， ， 点是线段的中点， ， ， ， ， ， ； ②点P在直线AB之外，如图2， ，， ， ， ， 综上所述，的长为或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了线段的和差计算，线段中点的计算，利用分类讨论的思想，准确找出先点之间的数量关系是解题关键． 5．（24-25七年级上·广东深圳·期末）如图，已知数轴上的点C表示的数为6，点A表示的数为，点B是的中点，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，运动时间为t秒，另一动点Q，从B出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，且P，Q同时出发，当t为 秒时，点P与点Q之间的距离为2个单位长度． 【答案】1或 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，两点间的距离，数轴，进行分类讨论是解题关键．先根据线段中点坐标公式求出点B表示的数，再分别表示出运动t秒时两点表示的数，然后分P在Q的左边与P在Q的右边两种情况进行讨论，根据列方程，求解即可． 【详解】解：∵点C表示的数为6，点A表示的数为， ∴点B表示的数是， 依题意可知，运动t秒时，P表示的数为：，Q表示的数为：， 点P与点Q之间的距离为2个单位长度时，分两种情况： ①P在Q的左边， ， ， 解得； ②P在Q的右边， ， ， 解得， 综上所述：当t为1或秒时，点P与点Q之间的距离为2个单位长度． 故答案为：1或． 6．（24-25七年级上·全国·单元测试）（1）如图，已知，点C为线段上的一个动点，D、E分别是、的中点； ①若点C恰为的中点，则 cm； ②若，则 cm； （2）如图，点C为线段上的一个动点，D、E分别是的中点；若，则 ；    【答案】 6 6 / 【分析】本题考查了两点间的距离，注意同一条直线上的两条线段的中点间的距离等于这两条线段和的一半．根据线段的中点性质，可得线段的中点分线段相等，根据线段的和差，可得答案． 【详解】解：（1）①∵，点C恰为的中点， ∴, ∵D、E分别是、的中点, ∴,, ∴， ②∵，， ∴, ∵D、E分别是、的中点, ∴,, ∴， 故答案为：6，6； （2）DE的长度与点C的位置无关； 因为点D、E分别是、的中点， ∴， ∴． 故答案为：． 三、解答题 7．（24-25七年级上·全国·单元测试）已知线段，点是射线上的一个动点，点是线段的中点，点是线段的中点． (1)当时，求的长； (2)当时，求的长． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）分根据线段中点的定义求出的长，进而求出的长，再根据相等中点的定义求出的长即可； （2）分点P在线段上、点P在线段外，两种情况根据线段中点的定义讨论求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，∵，点是线段的中点， ∴， ∵， ∴， ∵点是线段的中点， ∴； （2）解：当点在线段上时，如图①所示， ∵点是线段的中点， ∴， ∵点是线段的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 当点在线段之外，如图②所示， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 综上所述，的长为或． 【点睛】本题考查线段的计算，解题的关键是分类讨论点P的位置，根据线段之间的等量关系，进行计算． 8．（24-25七年级上·湖南湘西·期末）如图，已知线段，点C为线段上的一个动点，点D，E分别是和的中点． (1)若点C恰为的中点，求的长； (2)若，求的长； (3)试说明不论取何值（不超过），的长不变． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】本题考查了线段中点的性质，线段的和差计算，熟练掌握线段中点的概念是解题的关键． （1）根据线段中点的性质求出，，，进而求解即可； （2）首先求出，然后根据线段中点的概念求出，，进而求解即可； （3）根据线段中点的性质求解即可． 【详解】（1）解：若点C是中点，则， ∵点D、E分别是和的中点， ∴，， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵点D、E分别是和的中点， ∴，， ∴； （3）解：∵点D、E分别是和的中点， ∴，， ∴． ∴不论取何值（不超过），的长不变． 9．（24-25七年级上·河北沧州·期末）如图，已知线段，点是线段上任意一点（不与点、重合），点和点分别是线段、的中点． (1)线段是图中哪条线段的长度； (2)若，求线段的长度； (3)若点为线段的中点，则线段与线段的数量关系是______； (4)试说明，无论点如何移动，线段的长度为定值，并求出这个定值． 【答案】(1) (2) (3) (4)，理由见解析 【分析】本题考查了线段的中点，线段的和差，数形结合是解答本题的关键． （1）由线段中点定义得，，然后根据可得答案； （2）由线段中点定义得，然后根据即可求解； （3）由（2）得，结合点为线段的中点即可求解； （4）利用（2）的过程即可解答． 【详解】（1）解：∵点是线段的中点， ∴， ∴； （2）解：∵点和点分别是线段、的中点， ∴， ∴； （3）解：由（2）得， ∵点为线段的中点， ∴， ∴． 故答案为：； （4）解：由（2）得，． 10．（24-25九年级下·河北沧州·阶段练习）如图，在单位长度为的数轴上，设A、B、C、D四点在数轴上对应的数分别为a、b、c、d，其中，，线段的长度分别为，． (1)请求出线段的长度； (2)若线段分别以每秒的速度同时开始向右匀速运动．设线段的中点分别为M、N点，运动时间为t秒，其中． ①当运动时间t为何值时，点B与点M恰好重合？ ②在线段的运动过程中，线段的长是否为某一固定值？如果是，试求出这个值；如果不是，请说明理由． 【答案】(1)线段的长度为 (2)①不存在t的值，使点B与点M恰好重合；②线段的长是固定值，线段的长为定值2 【分析】本题主要考查的是数轴上两点之间的距离、整式的加减运算、一元一次方程的应用、数轴上的动点问题等知识点，弄清各点表示的数成为解题的关键． （1）由，点A在数轴上表示的数是，求出点B在数轴上表示的数是；由，点D在数轴上表示的数是15，求出点C在数轴上表示的数是，即可得线段的长度为； （2）①当运动t秒时，点A表示的数为，点B表示的数为，点C表示的为，可得点M对应的数为，根据点B与点M恰好重合，得，解得，而，故不存在t的值，使点B与点M恰好重合；②求出点M对应的数为，点N对应的数为，可得． 【详解】（1）解：∵，点A在数轴上表示的数是， ∴点B在数轴上表示的数是； ∵，点D在数轴上表示的数是15， ∴点C在数轴上表示的数是， ∴； ∴线段的长度为． （2）解：①当运动t秒时，点A表示的数为，点B表示的数为，点C表示的数为， ∵点M为中点， ∴点M对应的数为， ∵点B与点M恰好重合时， ∴， ∵， ∴不存在t的值，使点B与点M恰好重合； ②在线段的运动过程中，线段的长是固定值，理由如下： 由①知，点A表示的数为，点C表示的数为，点M对应的数为， 当运动时间为t秒时，点B表示的为，点D表示的数为， ∵点N为中点， ∴点N对应的数为， ∴． ∴在线段的运动过程中，线段的长为定值2． 11．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，是线段上一点，，，两动点分别从点，同时出发沿射线向左运动，到达点处即停止运动． (1)若点，的速度分别是，． ①若，当动点，运动了时，求的值； ②若点到达中点时，点也刚好到达的中点，求； (2)若动点，的速度分别是，，点，在运动时，总有，求的长度． 【答案】(1)；； (2)． 【分析】（）先计算，再计算即可；利用中点的性质求解即可； （）设运动时间为，则，，得到，又由，得到，进而得到即可求解； 本题考查了线段上动点问题、求线段的长度，充分利用中点和线段的倍数关系是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得：，， ； ∵点到达中点时，点也刚好到达的中点，设运动时间为， 则：，， ； （2）解：设运动时间为，则，， ， ， ． 12．（24-25七年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，已知数轴上点A表示的数为8，B是数轴上位于点A左侧一点，且，动点P从A点出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． (1)写出数轴上点B表示的数 ；点P表示的数 （用含t的代数式表示） (2)动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，若点P、Q同时出发，问多少秒时P、Q之间的距离恰好等于2？ (3)动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发，问多少秒时P、Q之间的距离恰好又等于2？ (4)若M为的中点，N为的中点，在点P运动的过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由，若不变，请你画出图形，并求出线段的长． 【答案】(1)， (2)2.25或2.75秒 (3)9或11秒 (4)图见解析，线段MN的长度不发生变化，其值为10 【分析】本题考查数轴上的动点问题，两点间距离，一元一次方程的应用，线段的和差关系等，注意分情况讨论是解题的关键． （1）根据点B在点A的左侧，且，可得点B表示的数；根据点P的初始位置及运动速度、方向，可得点P表示的数； （2）分点P、Q相遇之前，相遇之后两种情况，分别列一元一次方程，即可求解； （3）设点P运动秒时，P、Q之间的距离恰好等于2．分两种情况：点P、Q相遇之前，相遇之后，分别列方程，即可求解； （4）分两种情况：点P在点A、B两点之间运动，点P运动到点B的左侧，画出图形，根据线段之间的和差关系求解． 【详解】（1）解：数轴上点B表示的数：， 点P表示的数：， 故答案为：，； （2）解：若点P、Q同时出发，设t秒时P、Q之间的距离恰好等于2．分两种情况： ①点P、Q相遇之前， 由题意得，解得； ②点P、Q相遇之后， 由题意得，解得． 答：若点P、Q同时出发，2.25或2.75秒时P、Q之间的距离恰好等于2； （3）解：设点P运动秒时，P、Q之间的距离恰好等于2．分两种情况： ①点P、Q相遇之前， 则， 解得：， ②点P、Q相遇之后， 则， 解得：， 答：若点P、Q同时出发，9或11秒时P、Q之间的距离恰好又等于2； （4）解：线段的长度不发生变化，都等于10；理由如下： ①当点P在点A、B两点之间运动时： ， ②当点P运动到点B的左侧时： ， ∴线段的长度不发生变化，其值为10． 13．（24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，已知A、B、C是数轴上三点，O为原点，点A、点B在原点的右侧，点C在原点左侧，点A表示的数为，若关于的多项式不含，且． (1)求点B、点C在数轴上所表示的数； (2)动点P从点C出发，以每秒6个单位的速度沿数轴的正方向运动，同时动点Q从点B出发，以每秒3个单位的速度沿数轴的正方向运动，M为的中点，点N在上，且，设运动时间为秒，请用含的式子表示点M、点N在数轴上所表示的数； (3)在（2）的条件下，若R为的中点，求为何值时，满足． 【答案】(1)点B所表示的数是10；点C所表示的数是 (2)点M所表示的数是；点N所表示的数是 (3)或 【分析】本题主要考查了数轴、绝对值方程、两点间距离等知识点，理解题意，学会构建绝对值方程解决问题是解题的关键． （1）根据题意求出的值即可解答； （2）先表示出点P表示的数为：，点Q表示的数为：，再根据题意可得点M在数轴上所表示的数为，点N在数轴上所表示的数为即可； （3）由题意可得点R表示的数为、点M在数轴上所表示的数为，点N在数轴上所表示的数为，易得，再根据列绝对值方程求解即可． 【详解】（1）解：∵关于的多项式不含， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点B所表示的数是10；点C所表示的数． （2）解：由题意可得：点P表示的数为：，点Q表示的数为：， ∵M为的中点，点N在上，且， ∴点M在数轴上所表示的数为，点N在数轴上所表示的数为． （3）解：∵点P表示的数为：，点Q表示的数为：，R为的中点，、 ∴点R表示的数为， ∵点M在数轴上所表示的数为，点N在数轴上所表示的数为， ∴， ∵， ∴， ①当时，，解得：， ②当时，，解得：， ③当时，，解得：（舍弃）． 综上所述，或． 14．（24-25七年级上·辽宁铁岭·期末）已知点C在线段上，若或，则称点C是线段的“五美点”． 【理解定义】 （1）若线段，C是线段的“五美点”，则______； 【解决问题】 （2）如图，E在射线上，． ①若点D、F均为线段的“五美点”，且，又K为线段的中点，求线段的长度； ②点P从点O出发，以每秒5个单位长度的速度沿射线向右运动，同时点Q从点E出发，以每秒2个单位长度的速度也沿射线向右运动，运动时间为t秒，点P追上点Q时，两点同时停止运动，请问当P、E、Q三点中某一点为其余两点所构成线段的“五美点”时，t的值是多少？请直接写出答案，不必写过程． 【答案】（1）5或1，（2）①；②t=或t=或t=或t= 【分析】本题主要考查了线段的和差，两点之间的距离，中点的定义， 对于（1），先根据，结合C是线段的“五美点”，可得或，然后根据的长度得出答案； 对于（2）①，先根据点D、F均为线段的“五美点”，且，可得，，即可得，再根据K为线段的中点得出，然后根据得出答案； ②先根据点P，点Q在数轴上表示的数，及点P追上点Q时，求出， 分两种情况：点E是线段的“五美点”，可得或，再列出方程，求出解即可；点P是线段的“五美点”，可得或，再列出方程，求出解即可. 【详解】解：（1）∵C在线段上， ∴． ∵C是线段的“五美点”， ∴或，即或． ∴或． 又∵， ∴或1． 故答案为：5或1； （2）①∵点D、F均为线段的“五美点”，且， ∴，， ∴， ∵K为线段的中点， ∴， ∴； ②由题意得：点P在数轴上表示的数为，点Q在数轴上表示的数为，点P追上点Q时， ， 解得：， Ⅰ、点E是线段的“五美点”，则或， ∴或， 解得：或； Ⅱ、点P是线段的“五美点”，则或， 或， 解得：或， 综上：或或或 15．（2025七年级上·全国·专题练习）【新知理解】 点在线段上，若或，则称点是线段的“优点”，线段，称作互为“优点”伴侣线段． 例如，图1，线段的长度为6，点在上，的长度为2，则点是线段的其中一个“优点”． （1）若点为图1中线段的“优点”，且，则__________； （2）若点也是图1中线段的“优点”（不同于点），则_______（填“”“ ”或“”） 【解决问题】 如图2，数轴上有，两点，其中点表示的数为1，点表示的数为4； （3）若点在点的左侧，且，均为线段的“优点”，则线段的长为____________； （4）若点在线段的延长线上，且线段与互为“优点”伴侣线段，则点表示的数为___________． 【答案】（1）9；（2）；（3）；（4）或10 【分析】本题主要查了线段的和与差： （1）根据“优点”的定义解答，即可求解； （2）根据“优点”的定义解答，即可求解； （3）根据“优点”的定义可得，即可求解； （4）根据题意可得，再由“优点”伴侣线段的定义解答，即可求解． 【详解】解：（1）∵点为图1中线段的“优点”，且， ∴， ∴； 故答案为：9 （2）∵点也是图1中线段的“优点”（不同于点）， ∴， ∴， ∴； 故答案为： （3）∵点表示的数为4， ∴， ∵点在点的左侧，且，均为线段的“优点”， ∴， ∴； 故答案为： （4）∵点表示的数为1，点表示的数为4， ∴， ∵线段与互为“优点”伴侣线段， 当时，， ∴点G表示的数为， 当时，， ∴点G表示的数为10， 综上，点G表示的数为或10． 故答案为：或10 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $