第6章 平面图形的初步认识（知识清单）数学苏科版2024七年级上册

第六章 平面图形的初步认识 知识点1：直线、射线、线段 一、直线表示方法 1.直线的基本事实： 确定一条直线． 2.直线的特性：三个“无”：① 无 ；②无 ；③两个方向无限 。 3.直线的表示方法： 表示方法 图示 几何符号表示 方法1： 用直线上的表示两个点的 字母表示 直线AB(或直线BA) 方法2： 用一个 表示 直线 4.基本事实运用：至少用 钉子才能固定住一根木条． 5.点与直线的位置关系： （1）点在直线上，如图所示，点A在直线m上，也可以说：直线m经过点A． （2）点在直线外，如图，点B在直线m外，也可以说：直线m不经过点B． 二、射线的概念和表示方法 1.概念：直线上一点和它一侧的部分叫射线，这个点叫射线的端点． 如图所示，直线l上点A和它一旁的部分是一条射线，点A是端点． 2.特性：“一有二不” （1）只有一个端点；（2）不可以度量，不可以比较长短． 3.射线的表示方法： 表示方法 图示 几何符号表示 方法1：用两个大写英文字母表示，其中一个是射线的端点，另一个是射线上除端点外的任意一点，端点写在前面 射线AB 方法2：用一个小写英文字母表示 射线 三、线段的概念和表示方法 1.线段概念：直线上两点和 的部分叫做线段． 2.表示方法： 表示方法 图示 几何符号表示 方法1：用表示它两个端点的两个大写英文字母来表示 线段AB或线段BA 方法2：用一个小写英文字母来表示 线段a 3.基本性质：两点的所有连线中， 最短．简记为： ． 如图所示，在A，B两点所连的线中，线段AB的长度是最短的． 4. “作一条线段等于已知线段”的两种方法： 法一：用圆规作一条线段等于已知线段 法二：用刻度尺作一条线段等于已知线段．例如：可以先量出线段a的长度，再画一条等于这个长度的线段． 名师点拨 （1）线段是直的，它有两个端点，它的长度是有限的，可以度量，可比较长短． （2）连接两点间的线段的长度，叫做这两点的距离． 5.线段的比较： （1） ：用刻度尺量出两条线段的长度，再比较长短． （2） ：利用直尺和圆规把线段放在同一条直线上，使其中一个端点重合，另一个端点位于重合端点同侧，根据另一端点与重合端点的远近来比较长短． 6.线段的中点：把一条线段分成两条 的点，叫做线段的中点．如图所示，点C是线段AB的中点，则 ，或 ． 几何语言： 四、直线、射线、线段的区别与联系 1.直线、射线、线段之间的联系 （1）射线和线段都是直线上的一部分，即整体与部分的关系．在直线上任取一点，则可将直线分成两条射线；在直线上取两点，则可将直线分为一条线段和四条射线． （2）将射线反向延伸就可得到直线；将线段一方延伸就得到射线；将线段向两方延伸就得到直线． 2．三者的区别与联系具体如下表 直线 射线 线段 区别 图形 表示 方法 直线AB或直线BA或直线l 射线AB或射线l 线段AB或线段BA或线段l 特性 两点确定一条直线 两点之间，线段最短 端点 个数 0 1 2 延伸 向两个方向无限延伸 向一个方向无限延伸 不能延伸 度量 不能度量 不能度量 可以度量 联系 知识点2：角 一、角的概念 1.角的定义1：有 的 组成的图形叫做角，这个公共端点是角的 ，这两条射线是角的两条边．如图1所示，角的顶点是点O，边是射线OA、OB． 静态定义 动态定义 2.角的定义2：一条射线绕着它的 旋转而形成的图形，射线旋转时经过的平面部分是 ．如图所示，射线OA绕它的端点O旋转到OB的位置时，形成的图形叫做角，起始位置OA是角的始边，终止位置OB是角的终边． 平角与周角：如图1所示射线OA绕点O旋转，当终止位置OB和起始位置OA成一条直线时，所形成的角叫做平角，如图2所示继续旋转，OB和OA重合时，所形成的角叫做周角． 二、角的表示方法 1.角的表示法：角的几何符号用“∠”表示，角的表示法通常有以下四种： 角的表示方法 图示 记法 适用条件 ①三个大写字母 任何情况都适用 ②一个大写字母 该角的顶点处只有一个角 ③数字 任何情况都适用，但需要提前在图中标注 ④希腊字母 任何情况都适用，但需要提前在图中标注 名师指点 用数字或小写希腊字母表示角时，要在靠近角的顶点处加上弧线，且注上阿拉伯数字或小写希腊字母． 2.角的画法： （1）用三角板可以画出30°、45°、60°、90°等特殊角． （2）用量角器可以画出任意给定度数的角． （3）利用尺规作图可以画一个角等于已知角． 三、角的度量 1.角的度量单位是 ，把一个周角平均分成360等份，每一份就是1°的角，1°的为1分，记作“1′”，1′的为1秒，记作“1″”．这种以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制． 2.角的单位换算：1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″． 名师指点 四、角的大小比较 角的大小比较方法：角的大小比较与线段的大小比较相类似，方法有两种． 方法1： ．先用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小． 方法2： ．把其中的一个角移到另一个角上作比较． 如比较∠AOB和∠A′O′B′的大小： 如下图，由图（1）可得∠AOB＜∠A′O′B′；由图(2)可得∠AOB＝；由图(3)可得∠AOB＞． 五、角的分类 角按照大小可分为 六、角的和差计算 如图所示，∠AOB是∠1与∠2的和，记作：∠AOB＝∠1+∠2；∠1是∠AOB与∠2的差，记作：∠1＝∠AOB-∠2． 七、角平分线 角平分线的概念： 文字语言：从一个角的顶点出发，把这个角分成 的两个角的射线，叫做这个角的平分线． 图形语言： 几何语言： 如图所示，OC是∠AOB的角平分线， ∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC，∠AOC＝∠BOC =∠AOB． 八、余角和补角 1、余角： （1）定义：一般地，如果两个角的和等于 (直角)，就说这两个角互为 ，即其中一个角是另一个角的 ． （2）性质： ． 2、补角： （1）定义：如果两个角的和等于 ，就说这两个角互为 ， 即其中一个角是另一个角的补角． （2）性质： ． 九、对顶角与邻补角 1. 对顶角： （1）定义：由两条直线相交构成的 中，有 没有 (相对)的两个角，互为对顶角． （2）性质： ．上图中：， 2．邻补角：如果两个角有一条 ，并且它们的另一边互为 ，那么具有这种关系的两个角叫做互为邻补角．例如下图中 知识点3：垂线 1. 垂直定义: 两条直线相交所成的 中，有一个角是 时，就说这两条直线 ，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫 ． 2.垂直表示方法： (1)记法：直线与垂直，记作：； 直线和垂直于点，记作：于点. (2) 垂直的定义具有二重性，既可以作垂直的判定，又可以作垂直的性质，即有： ． 3．垂线的画法： 作图工具：三角板、圆规、量角器、方格纸 过一点画已知直线的垂线，可通过直角三角板来画，具体方法是使直角三角板的一条直角边和已知直线重合，沿直线左右移动三角板，使另一条直角边经过已知点，沿此直角边画直线，则所画直线就为已知直线的垂线(如图所示)． 名师指点 (1)如果过一点画已知射线或线段的垂线时，指的是它所在直线的垂线，垂足可能在射线的反向延长线上，也可能在线段的延长线上． (2)过直线外一点作已知直线的垂线，这点与垂足间的线段为垂线段． 4．垂线的性质： （1）基本事实：在同一平面内，过一点有且只有 与已知直线垂直． （2）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中， 最短．简单说成： ． 名师指点 （1）性质（1）成立的前提是在“同一平面内”，“有”表示存在，“只有”表示唯一，“有且只有”说明了垂线的存在性和唯一性． （2）性质（2）是“连接直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短．”实际上，连接直线外一点和直线上各点的线段有无数条，但只有一条最短，即垂线段最短．在实际问题中经常应用其“最短性”解决问题． 5．点到直线的距离： 定义：直线外一点到这条直线的 ，叫做点到直线的距离．例如：下图中点到直线的距离为线段的长度。 知识点4：平行线 一、同位角、内错角、同旁内角 同位角、内错角、同旁内角位置特征及形状特征 角的名称 图示 位置特征 记忆方法 同位角 在两条被截直线同侧，并且在截线同侧 F 内错角 在两条被截直线之间，并且在截线异侧 Z 同旁内角 在两条被截直线之间，并且在截线同侧 U 二、平行线的概念与表示 1、 平行线的定义：在同一平面内， 的两条直线叫做平行线． 2、平行线的表示方法： 三、平行线的判定方法 1、平行线的判定方法： 方法1： 文字语言： 相等，两直线 ． 图形语言： 几何语言： 方法2： 文字语言： 相等，两直线 ． 图形语言： 几何语言： 方法3： 文字语言： 互补，两直线平行． 图形语言： 几何语言： 方法4： 文字语言：平行于 的两直线互相平行． 图形语言： 几何语言： 方法5： 文字语言： 同一直线的两直线互相平行． 图形语言： 几何语言： 2、基本事实：过直线 有且 直线与这条直线平行。 3、平行线间的距离 （1）定义：同时垂直于两条平行线，并且夹在这两条平行线的线段的长度，叫做这两条平行线的距离． （2）性质：两平行线间的距离处处相等，夹在两平行线间的 相等． 四、平行线的性质 性质1： 文字语言：两直线平行， 相等． 图形语言： 几何语言： 性质2： 文字语言：两直线平行， 相等． 图形语言： 几何语言： 性质3： 文字语言：两直线平行， ． 图形语言： 几何语言： 知识点5：多边形 一、多边形的概念 1．多边形的概念：在平面内，不在同一直线上的一些线段 所组成的图形叫做多边形． 2．相关元素： 边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边． 顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点． 内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角，一个n边形有n个内角。 外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。 对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线． 3. 多边形的分类: 根据多边形边的数量，多边形可以分为三角形、四边形、五边形……等； 4. 多边形的表示方法: 先写出多边形的名称，然后按顶点逆时针或顺时针的顺序写出表示它的各顶点的字母。 如上图，它们的命名分别为：. 二、多边形的外角与相邻内角的关系 1．多边形的外角：多边形的边与它的 组成的角叫做多边形的外角。 2. 多边形的外角与相邻内角的关系：互补关系，即和为180度。 三、正多边形 1．正多边形的概念： 相等， 也相等的多边形叫作 。 2.常见的正多边形实例： 正三角形 正四边形 五边形 正六边形 易错点1 “平行线的性质”和“平行线的判定” 错误：平行线的性质与判定易混淆． 注意：平行线的性质和判定内容相似，极易混淆，它们的条件和结论是互换的，不少同学不知什么时候用“两直线平行，同位角相等”，不知道什么时候用“同位角相等，两直线平行”，其他类似。其实很好判断，看你需要啥，如果你需要得到平行，也就是事先我不知道这两条直线是不是平行，我需要判定它两平行，我想得到它们平行，那就用判定，此时“平行”作为结论在“后面”，其它情况类似。 例题1 如图，点分别在的边上，点在线段上，且，． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)若平分，求． 例题2 如图，在四边形中，平分，交于点E，，F是延长线上一点，连接，交于点G，若． (1)试说明：； (2)吗？请说明理由； (3)若，试说明与的位置关系． 易错点2 线段中点与线段的和差计算 错误：当线段很多时，求某线段的长度，不知是用线段的和表示，还是用线段的差表示． 注意：线段的和差与线段的中点看似很简单，但很多同学在求一些线段的长度时，不知使用线段的和表示，还是用线段的差表示，此时怎么办呢？关键是我们要抓住我们的所求线段，一切表示方法都要朝着目标靠近，向已知条件转化。 例题3 如图，线段上依次有，，三点，，是的中点，． (1)求证：； (2)求线段的长． 例题4 如图，点B、C在线段上，且． (1)如图（Ⅰ）若点M为的中点，且．则 ， ． (2)如图（Ⅱ）若点M、N分别为的中点，且，求（用m、n表示）． 易错点3 互余与互补 错误：认为“只要几个角的和等于90度，这几个角就是互余，互补与互余类似”． 注意： 首先要明白的是互余和互补都是两个角之间的关系，不能出现3个及以上的角；对互余和互补的概念要理解透彻，抓住关键词，不能稀里糊涂的 例题5 如图，点O在直线上，在直线上方，且． (1)若在的内部，与互余，求的度数； (2)若平分，且与互补，求的度数． 例题6．【实践活动】如图1，将一副三角板的直角顶点重合摆放． （1）判断与的大小关系，并说明理由； （2）探索与之间的数量关系，并说明理由； 【拓展探究】 （3）如图2，若，且，探索与之间的数量关系，并说明理由． 易错点4 角平分线与角的和差计算 错误：当图形中出现很多角时，不知将所求角表示成角的和还是差． 注意： 角的计算与线段的长度很类似，抓住目标，刚开始表示所求角时，表示成什么都无所谓，一步一步的将不要的角度换成已知条件中所给的角，或者向已知条件靠近，最终都会表示成已知条件中所给的角度。 例题7 如图，点在直线上，． (1)若平分，，则________． (2)若为锐角，，请说明平分． 例题8．如图①，是内部的一条射线，、分别平分，． (1)若，，求 ； (2)与的大小有什么关系，写出你的结论并说明理由； (3)如图②，如果是外部的一条射线，、分别平分，．那么（2）中与的大小关系还成立吗？请说明理由． 易错点5 利用平行线的性质和判定探究多个角之间的关系 错误：不会探究多个角之间的关系． 注意： 期中期末考试中常见一种压轴题——利用平行线的性质和判定探究多个角之间的关系。这种题目之所以难，是因为很多同学不懂得处理这种问题的策略，简单说就一个词“换角”，遇到不想要的角，就找其他角替换，朝着已知和需要的角去换，一般替换三到五次基本上都能解决。 例题9 如图，直线，连接，直线及线段把平面分成①、②、③、④四个部分，规定：线上各点不属于任何部分．当动点落在某个部分时，连接，构成，三个角．（提示：有公共端点的两条重合的射线所组成的角是角） (1)当动点落在第①部分时，之间满足怎样的数量关系？并加以证明； (2)当动点落在第②部分时，第一问的结论还成立吗？若不成立，请求出之间又满足怎样的数量关系？并加以证明； (3)当动点落在第③部分时，之间又满足怎样的关系，直接写出最后的结论． 例题10．如图，直线，点A，点D在直线b上，射线交直线a于点，于点C，交射线于点，，，为射线上一动点，P从A点开始沿射线方向运动，速度为，设点P运动时间为t秒，M为直线a上一定点，连接，． (1)若使的值最小，求t的值； (2)若点P在左侧运动时，探究与的关系，并说明理由； (3)若点P在右侧运动时，写出与的关系，并说明理由． 1．（1）如图1，点C为线段上一点，与长度之比为3:5，D为线段中点． ①若，求的长． ②点E为线段的中点，若，求的长（用含m的代数式表示）． （2）如图2，点M为线段中点，点N为线段中点，若，，请用含a，b的代数式直接表示出的长． 2．如图，点是线段上一点，，，分别是，的中点， (1)图中共有_______条线段 (2)求线段的长度 (3)若点分别从两点出发，分别以每秒和的速度都向点B的方向运动，经过多长时间P，Q两点相遇？ 3．已知锐角，点为平面内一点，，分别平分和． (1)如图，点为内一点，求证：； (2)如图，点为外一点，其他条件不变，（1）中的结论还成立吗？若不成立，请说明理由；若成立，请证明； (3)当点在平面内其他位置时，与之间还存在其他的数量关系吗？请画图并直接写出结论． 4．已知点在直线上，是直角，平分．     (1)如图1，若，求的度数______； (2)将图1中的绕顶点顺时针旋转至图2的位置，其它条件不变，试探究和度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由． (3)将图1中的绕顶点逆时针旋转至图3的位置，其它条件不变，若，则的度数为______（用含有的式子表示），不必说明理由． 5．如图，为直线上一点，，是的角平分线，是直角 (1)图中与互余的角是______； (2)是否平分，并说明理由． 6．如图，为直线上一点，在的上方依次引射线，，，且． (1)当时，是的平分线吗？试说明理由． (2)若，． ①求的度数． ②现射线绕着点以每秒的速度逆时针方向旋转到，再原速返回到时停止，同时绕着以相同的速度顺时针方向旋转到与重合，再原速返回到与重合时停止，在此运动过程中，当为固定值时，求时间的范围． 7．如图，已知，点E在直线之间． (1)求证：； (2)若平分，将线段沿平移至． ①如图2，若平分，求的度数； ②如图3，若平分，试判断与的数量关系并说明理由． 8．综合与实践 【问题情境】 在数学综合与实践课上，同学们以“一副直角三角板和两条平行线”为背景开展数学活动．已知直线，在直角三角板与中，，，． 【操作发现】 （1）如图1，直角三角板的顶点B在和之间，在绕点B转动三角板的过程中，两直角边分别与，交于点M，N，且夹角分别是和，经过反复操作，发现和之间存在固定的数量关系，这个数量关系是______． 【深入探究】 （2）如图2所示，将图1中的三角板的直角顶点B放在上，与交于点P，与的夹角为，与的夹角为，试探究和的数量关系并说明理由． 【拓展延伸】 （3）如图3，固定三角板，使边与直线重合，将三角板固定点C（点C在的延长线上），且在两条平行线，之间任意摆放，设的度数为，试探究：在摆放的过程中，当x为何值时，三角板的边与三角板的一条边平行？直接写出所有符合条件的x的值． 9．已知点O在直线上，在直线的同侧，作射线，，平分．（注：，，不重合） (1)，，的位置如图1所示． ①若，，补全求的度数的过程； 解：∵， ∴________________． ∵平分， ∴________________， ∴________________． ②已知条件Ⅰ：；条件Ⅱ：．请选择其中一个条件，并说明在此条件下； (2)已知，如图2所示．若和互为余角，直接写出的度数．（用含a的代数式表示） 10．如图1，点O为直线上一点，过点O作射线，是直角三角形，，平分． (1)填空：与互为余角的角是 ； (2)延长至点F，射线平分吗？为什么？ (3)将图1中的绕点O运动至图2所示位置，在的内部．若，则与之间是否存在一定的数量关系？若存在，写出它们之间的数量关系，并说明理由；若不存在，请举出反例． 2 / 23 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第六章 平面图形的初步认识 知识点1：直线、射线、线段 一、直线表示方法 1.直线的基本事实：两点确定一条直线． 2.直线的特性：三个“无”：① 无端点；②无长短；③两个方向无限延伸。 3.直线的表示方法： 表示方法 图示 几何符号表示 方法1： 用直线上的表示两个点的大写英文字母表示 直线AB(或直线BA) 方法2： 用一个小写英文字母表示 直线 4.基本事实运用：至少用两个钉子才能固定住一根木条． 5.点与直线的位置关系： （1）点在直线上，如图所示，点A在直线m上，也可以说：直线m经过点A． （2）点在直线外，如图，点B在直线m外，也可以说：直线m不经过点B． 二、射线的概念和表示方法 1.概念：直线上一点和它一侧的部分叫射线，这个点叫射线的端点． 如图所示，直线l上点A和它一旁的部分是一条射线，点A是端点． 2.特性：“一有二不” （1）只有一个端点；（2）不可以度量，不可以比较长短． 3.射线的表示方法： 表示方法 图示 几何符号表示 方法1：用两个大写英文字母表示，其中一个是射线的端点，另一个是射线上除端点外的任意一点，端点写在前面 射线AB 方法2：用一个小写英文字母表示 射线 三、线段的概念和表示方法 1.线段概念：直线上两点和它们之间的部分叫做线段． 2.表示方法： 表示方法 图示 几何符号表示 方法1：用表示它两个端点的两个大写英文字母来表示 线段AB或线段BA 方法2：用一个小写英文字母来表示 线段a 3.基本性质：两点的所有连线中，线段最短．简记为：两点之间，线段最短． 如图所示，在A，B两点所连的线中，线段AB的长度是最短的． 4. “作一条线段等于已知线段”的两种方法： 法一：用圆规作一条线段等于已知线段 法二：用刻度尺作一条线段等于已知线段．例如：可以先量出线段a的长度，再画一条等于这个长度的线段． 名师点拨 （1）线段是直的，它有两个端点，它的长度是有限的，可以度量，可比较长短． （2）连接两点间的线段的长度，叫做这两点的距离． 5.线段的比较： （1）度量法：用刻度尺量出两条线段的长度，再比较长短． （2）叠合法：利用直尺和圆规把线段放在同一条直线上，使其中一个端点重合，另一个端点位于重合端点同侧，根据另一端点与重合端点的远近来比较长短． 6.线段的中点：把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点．如图所示，点C是线段AB的中点，则，或AB＝2AC＝2BC． 几何语言： 四、直线、射线、线段的区别与联系 1.直线、射线、线段之间的联系 （1）射线和线段都是直线上的一部分，即整体与部分的关系．在直线上任取一点，则可将直线分成两条射线；在直线上取两点，则可将直线分为一条线段和四条射线． （2）将射线反向延伸就可得到直线；将线段一方延伸就得到射线；将线段向两方延伸就得到直线． 2．三者的区别与联系具体如下表 直线 射线 线段 区别 图形 表示 方法 直线AB或直线BA或直线l 射线AB或射线l 线段AB或线段BA或线段l 特性 两点确定一条直线 两点之间，线段最短 端点 个数 0 1 2 延伸 向两个方向无限延伸 向一个方向无限延伸 不能延伸 度量 不能度量 不能度量 可以度量 联系 知识点2：角 一、角的概念 1.角的定义1：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．如图1所示，角的顶点是点O，边是射线OA、OB． 静态定义 动态定义 2.角的定义2：一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，射线旋转时经过的平面部分是角的内部．如图所示，射线OA绕它的端点O旋转到OB的位置时，形成的图形叫做角，起始位置OA是角的始边，终止位置OB是角的终边． 平角与周角：如图1所示射线OA绕点O旋转，当终止位置OB和起始位置OA成一条直线时，所形成的角叫做平角，如图2所示继续旋转，OB和OA重合时，所形成的角叫做周角． 二、角的表示方法 1.角的表示法：角的几何符号用“∠”表示，角的表示法通常有以下四种： 角的表示方法 图示 记法 适用条件 ①三个大写字母 任何情况都适用 ②一个大写字母 该角的顶点处只有一个角 ③数字 任何情况都适用，但需要提前在图中标注 ④希腊字母 任何情况都适用，但需要提前在图中标注 名师指点 用数字或小写希腊字母表示角时，要在靠近角的顶点处加上弧线，且注上阿拉伯数字或小写希腊字母． 2.角的画法： （1）用三角板可以画出30°、45°、60°、90°等特殊角． （2）用量角器可以画出任意给定度数的角． （3）利用尺规作图可以画一个角等于已知角． 三、角的度量 1.角的度量单位是度（）、分（）、秒（），把一个周角平均分成360等份，每一份就是1°的角，1°的为1分，记作“1′”，1′的为1秒，记作“1″”．这种以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制． 2.角的单位换算：1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″． 名师指点 四、角的大小比较 角的大小比较方法：角的大小比较与线段的大小比较相类似，方法有两种． 方法1：度量法．先用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小． 方法2：叠合法．把其中的一个角移到另一个角上作比较． 如比较∠AOB和∠A′O′B′的大小： 如下图，由图（1）可得∠AOB＜∠A′O′B′；由图(2)可得∠AOB＝；由图(3)可得∠AOB＞． 五、角的分类 角按照大小可分为 六、角的和差计算 如图所示，∠AOB是∠1与∠2的和，记作：∠AOB＝∠1+∠2；∠1是∠AOB与∠2的差，记作：∠1＝∠AOB-∠2． 七、角平分线 角平分线的概念： 文字语言：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线． 图形语言： 几何语言： 如图所示，OC是∠AOB的角平分线， ∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC，∠AOC＝∠BOC =∠AOB． 八、余角和补角 1、余角： （1）定义：一般地，如果两个角的和等于90°(直角)，就说这两个角互为余角，即其中一个角是另一个角的余角． （2）性质：同角（等角）的余角相等． 2、补角： （1）定义：如果两个角的和等于180°(平角)，就说这两个角互为补角， 即其中一个角是另一个角的补角． （2）性质：同角（等角）的补角相等． 九、对顶角与邻补角 1. 对顶角： （1）定义：由两条直线相交构成的四个角中，有公共顶点没有公共边(相对)的两个角，互为对顶角． （2）性质：两直线相交，对顶角相等．上图中：， 2．邻补角：如果两个角有一条公共边，并且它们的另一边互为反向延长线，那么具有这种关系的两个角叫做互为邻补角．例如下图中 知识点3：垂线 1. 垂直定义: 两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足． 2.垂直表示方法： (1)记法：直线与垂直，记作：； 直线和垂直于点，记作：于点. (2) 垂直的定义具有二重性，既可以作垂直的判定，又可以作垂直的性质，即有： ． 3．垂线的画法： 作图工具：三角板、圆规、量角器、方格纸 过一点画已知直线的垂线，可通过直角三角板来画，具体方法是使直角三角板的一条直角边和已知直线重合，沿直线左右移动三角板，使另一条直角边经过已知点，沿此直角边画直线，则所画直线就为已知直线的垂线(如图所示)． 名师指点 (1)如果过一点画已知射线或线段的垂线时，指的是它所在直线的垂线，垂足可能在射线的反向延长线上，也可能在线段的延长线上． (2)过直线外一点作已知直线的垂线，这点与垂足间的线段为垂线段． 4．垂线的性质： （1）基本事实：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． （2）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．简单说成：垂线段最短． 名师指点 （1）性质（1）成立的前提是在“同一平面内”，“有”表示存在，“只有”表示唯一，“有且只有”说明了垂线的存在性和唯一性． （2）性质（2）是“连接直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短．”实际上，连接直线外一点和直线上各点的线段有无数条，但只有一条最短，即垂线段最短．在实际问题中经常应用其“最短性”解决问题． 5．点到直线的距离： 定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．例如：下图中点到直线的距离为线段的长度。 知识点4：平行线 一、同位角、内错角、同旁内角 同位角、内错角、同旁内角位置特征及形状特征 角的名称 图示 位置特征 记忆方法 同位角 在两条被截直线同侧，并且在截线同侧 F 内错角 在两条被截直线之间，并且在截线异侧 Z 同旁内角 在两条被截直线之间，并且在截线同侧 U 二、平行线的概念与表示 1、 平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线． 2、平行线的表示方法： 三、平行线的判定方法 1、平行线的判定方法： 方法1： 文字语言：同位角相等，两直线平行． 图形语言： 几何语言： 方法2： 文字语言：内错角相等，两直线平行． 图形语言： 几何语言： 方法3： 文字语言：同旁内角互补，两直线平行． 图形语言： 几何语言： 方法4： 文字语言：平行于同一直线的两直线互相平行． 图形语言： 几何语言： 方法5： 文字语言：垂直于同一直线的两直线互相平行． 图形语言： 几何语言： 2、基本事实：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行。 3、平行线间的距离 （1）定义：同时垂直于两条平行线，并且夹在这两条平行线的线段的长度，叫做这两条平行线的距离． （2）性质：两平行线间的距离处处相等，夹在两平行线间的平行线段相等． 四、平行线的性质 性质1： 文字语言：两直线平行，同位角相等． 图形语言： 几何语言： 性质2： 文字语言：两直线平行，内错角相等． 图形语言： 几何语言： 性质3： 文字语言：两直线平行，同旁内角互补． 图形语言： 几何语言： 知识点5：多边形 一、多边形的概念 1．多边形的概念：在平面内，不在同一直线上的一些线段首尾顺次相接所组成的图形叫做多边形． 2．相关元素： 边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边． 顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点． 内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角，一个n边形有n个内角。 外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。 对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线． 3. 多边形的分类: 根据多边形边的数量，多边形可以分为三角形、四边形、五边形……等； 4. 多边形的表示方法: 先写出多边形的名称，然后按顶点逆时针或顺时针的顺序写出表示它的各顶点的字母。 如上图，它们的命名分别为：. 二、多边形的外角与相邻内角的关系 1．多边形的外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。 2. 多边形的外角与相邻内角的关系：互补关系，即和为180度。 三、正多边形 1．正多边形的概念：各边相等，各内角也相等的多边形叫作正多边形。 2.常见的正多边形实例： 正三角形 正四边形 五边形 正六边形 易错点1 “平行线的性质”和“平行线的判定” 错误：平行线的性质与判定易混淆． 注意：平行线的性质和判定内容相似，极易混淆，它们的条件和结论是互换的，不少同学不知什么时候用“两直线平行，同位角相等”，不知道什么时候用“同位角相等，两直线平行”，其他类似。其实很好判断，看你需要啥，如果你需要得到平行，也就是事先我不知道这两条直线是不是平行，我需要判定它两平行，我想得到它们平行，那就用判定，此时“平行”作为结论在“后面”，其它情况类似。 例题1 如图，点分别在的边上，点在线段上，且，． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)若平分，求． 【答案】(1)，理由见解析； (2)． 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线判定与性质求角度、根据平行线判定与性质证明 【分析】本题考查平行线的判定和性质，角平分线定义． （1）由平行线的性质得，从而得，从而； （2）由邻补角的性质得到，由角平分线定义求出，于是得到． 【详解】（1），理由如下： ，， ，， ∴； （2）， ， 平分， ， 由（1）知． 例题2 如图，在四边形中，平分，交于点E，，F是延长线上一点，连接，交于点G，若． (1)试说明：； (2)吗？请说明理由； (3)若，试说明与的位置关系． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3) 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线判定与性质证明 【分析】（1）利用平分，得，结合题意得，即可证明； （2）利用，得，再结合，得，即可证明； （3）利用，得，再利用，得出，结合，得，可得，得，即可证明． 【详解】（1）解：由题意可得：． ∵， ∴． ∴． （2）解：． ∵， ∴． ∵， ∴． （3）解：∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． 【点睛】本题考查平行线的判定与性质，角平分线的定义，平角，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键． 易错点2 线段中点与线段的和差计算 错误：当线段很多时，求某线段的长度，不知是用线段的和表示，还是用线段的差表示． 注意：线段的和差与线段的中点看似很简单，但很多同学在求一些线段的长度时，不知使用线段的和表示，还是用线段的差表示，此时怎么办呢？关键是我们要抓住我们的所求线段，一切表示方法都要朝着目标靠近，向已知条件转化。 例题3 如图，线段上依次有，，三点，，是的中点，． (1)求证：； (2)求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)10 【知识点】线段的和与差、线段中点的有关计算、线段之间的数量关系 【分析】本题主要考查了线段和差倍分，线段中点的性质，解题的关键是掌握线段和差倍分的计算． （1）利用线段的倍分关系即可证明； （2）利用线段中点性质得出，利用线段的倍分关系求出长度，然后利用线段的和差即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵是的中点， ∴, 由（1）得， ∴， ∴， ∴线段的长为． 例题4 如图，点B、C在线段上，且． (1)如图（Ⅰ）若点M为的中点，且．则 ， ． (2)如图（Ⅱ）若点M、N分别为的中点，且，求（用m、n表示）． 【答案】(1)4，4 (2) 【知识点】线段的和与差、线段中点的有关计算 【分析】本题考查列代数式、两点间的距离、线段和差，弄清线段长度之间的数量关系是解题的关键． （1）根据与的数量关系求出，从而求出，再由中点的定义求出，根据求出即可； （2）根据与的数量关系分别将用含 n的代数式表示出来，从而将用含n的代数式表示出来，进而由中点的定义分别将用含n的代数式表示出来，再根据将用含m和n的代数式表示出来即可． 【详解】（1）解：∵ ∴ ∴， ∴， ∵点M为的中点， ∴， ∴． 故答案为：4，4； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵点M、N分别为的中点， ∴， ∵， ∴． 易错点3 互余与互补 错误：认为“只要几个角的和等于90度，这几个角就是互余，互补与互余类似”． 注意： 首先要明白的是互余和互补都是两个角之间的关系，不能出现3个及以上的角；对互余和互补的概念要理解透彻，抓住关键词，不能稀里糊涂的． 例题5 如图，点O在直线上，在直线上方，且． (1)若在的内部，与互余，求的度数； (2)若平分，且与互补，求的度数． 【答案】(1) (2) 【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算、与余角、补角有关的计算、同(等)角的余(补)角相等的应用 【分析】本题主要考查了角的和差．熟练掌握角平分线定义，余角、补角定义，角的和差倍分关系，是解题的关键． （1）根据，即可得； （2）根据角平分线定义得，根据、都与互补，得，得，根据，即得． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵平分， ∴， ∵，且， ∴， ∴， ∵， ∴． 例题6．【实践活动】如图1，将一副三角板的直角顶点重合摆放． （1）判断与的大小关系，并说明理由； （2）探索与之间的数量关系，并说明理由； 【拓展探究】 （3）如图2，若，且，探索与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）∠ACE=∠BCD，理由见解析；（2）∠ACB+∠DCE=180°，理由见解析；（3）∠ACB+∠DCE=180°，理由见解析． 【知识点】三角板中角度计算问题、同(等)角的余(补)角相等的应用 【分析】此题主要考查了角的计算，同角的余角相等，准确识图，理解同角的余角相等，熟练掌握角的计算是解决问题的关键． （1）依题意得，，进而得，，然后根据同角的余角相等可得出答案； （2）由，得，，则，然而；据此可得与之间的数量关系； （3）先由得，进而得，据此可得与之间的数量关系． 【详解】解：（1），理由如下： 依题意得：，， ，， ． （2）与之间的数量关系：，理由如下： ，， ，， ， ， 又， ； （3）与之间的数量关系是：，理由如下： ，， 又， ， 即：， ． 易错点4 角平分线与角的和差计算 错误：当图形中出现很多角时，不知将所求角表示成角的和还是差． 注意：角的计算与线段的长度很类似，抓住目标，刚开始表示所求角时，表示成什么都无所谓，一步一步的将不要的角度换成已知条件中所给的角，或者向已知条件靠近，最终都会表示成已知条件中所给的角度。 例题7 如图，点在直线上，． (1)若平分，，则________． (2)若为锐角，，请说明平分． 【答案】(1) (2)见解析 【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算 【分析】本题考查了垂直的定义，角平分线的定义，角的和差，解题的关键是掌握相关知识． （1）根据垂直的定义和，可得，再根据角平分线的定义求出，最后根据，即可求解； （2）由垂直的定义可得：，由平角的定义可得，结合，即可证明． 【详解】（1）解：， ， ， ， 平分， ， ， 故答案为：； （2）解：， ， ， ， ， ， ， ， 平分． 例题8．如图①，是内部的一条射线，、分别平分，． (1)若，，求 ； (2)与的大小有什么关系，写出你的结论并说明理由； (3)如图②，如果是外部的一条射线，、分别平分，．那么（2）中与的大小关系还成立吗？请说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)成立，理由见解析 【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算 【分析】本题考查了角平分线，灵活利用角平分线的定义是解题的关键． （1）由角平分线的定义得出，进而即可求得； （2）由角平分线的定义得出，即； （3）由角平分线的定义得出，根据，，进而即可求解． 【详解】（1）解：、分别平分，， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）解：，理由如下： 、分别平分，， ， ， ， ； （3）解：成立，理由如下， 、分别平分，， ， ， ． 易错点5 利用平行线的性质和判定探究多个角之间的关系 错误：不会探究多个角之间的关系． 注意： 期中期末考试中常见一种压轴题——利用平行线的性质和判定探究多个角之间的关系。这种题目之所以难，是因为很多同学不懂得处理这种问题的策略，简单说就一个词“换角”，遇到不想要的角，就找其他角替换，朝着已知和需要的角去换，一般替换三到五次基本上都能解决。 例题9 如图，直线，连接，直线及线段把平面分成①、②、③、④四个部分，规定：线上各点不属于任何部分．当动点落在某个部分时，连接，构成，三个角．（提示：有公共端点的两条重合的射线所组成的角是角） (1)当动点落在第①部分时，之间满足怎样的数量关系？并加以证明； (2)当动点落在第②部分时，第一问的结论还成立吗？若不成立，请求出之间又满足怎样的数量关系？并加以证明； (3)当动点落在第③部分时，之间又满足怎样的关系，直接写出最后的结论． 【答案】(1) (2) (3)当动点P落在直线右侧时，；当动点P落在直线左侧时，． 【知识点】平行公理的应用、根据平行线的性质探究角的关系、根据平行线判定与性质证明 【分析】(1) 过点P作，得到，，由此得到； (2) 过点P作，得到，，由此得到； (3) 过点P作，当动点P落在第③部分时且在直线右侧时，得到，由此得；当动点P落在第③部分时且在直线左侧时， 得，，由，得． 【详解】（1）解：． 证明：过点P作， 则． ∵， ∴． ∴． ∴ ． ∴． （2）解：． 证明：过点P作， 则． ∵，， ∴． ∴． ∴． ∴． （3）解：当动点P落在第③部分时且在直线右侧时，． 理由：过点P作， ∵， ， ∴． ∴． ∵， ∴． 当动点P落在第③部分时且在直线左侧时， ． 理由：过点P作， 则． ∵，， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． 综上，当动点P落在直线右侧时，；当动点P落在直线左侧时，． 【点睛】此题考查了平行线，熟练掌握平行公理，平行线的判定和性质正确掌握平行线的性质，添加辅助线构建平行线，分类讨论，是解题的关键． 例题10．如图，直线，点A，点D在直线b上，射线交直线a于点，于点C，交射线于点，，，为射线上一动点，P从A点开始沿射线方向运动，速度为，设点P运动时间为t秒，M为直线a上一定点，连接，． (1)若使的值最小，求t的值； (2)若点P在左侧运动时，探究与的关系，并说明理由； (3)若点P在右侧运动时，写出与的关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)或，理由见解析 【知识点】根据平行线的性质探究角的关系、根据平行线判定与性质证明 【分析】本题主要考查平行线的性质和平行公理的推论，熟练掌握平行线的性质，正确作出辅助线，构造平行线，分类讨论思想是解题的关键． （1）根据两点之间，线段最短可知，当P、C、D三点共线时，即点P与点E重合时，的值最小，解答即可； （2）当点P在左侧运动时，点P在上，过点P作，利用平行公理的推论和平行线的性质可得结论； （3）当点P在右侧运动时，根据点P在上和点P在线段的延长线上，过点P作，对这两种情况分别讨论，利用平行公理的推论和平行线的性质可得结论． 【详解】（1）解：由两点之间，线段最短可知，当P，C，D在同一条直线上，即点P与点E重合， 此时最小，, ，， ， ， 秒时，有最小值． （2）解：当点P在左侧运动时，点P在上，过点P作，如图所示， 又 ， ， ，， ， ， ． （3）解：当点P在右侧运动时， ① 点P在上，过点P作，如图所示， 又 ， ， ，， ， 又 ， ． ② 点P在线段的延长线上，过点P作，如图所示， 又 ， ， ， ， ， ， 又 ， ， 综上所述：当点P在右侧运动时， 或． 1．（1）如图1，点C为线段上一点，与长度之比为3:5，D为线段中点． ①若，求的长． ②点E为线段的中点，若，求的长（用含m的代数式表示）． （2）如图2，点M为线段中点，点N为线段中点，若，，请用含a，b的代数式直接表示出的长． 【答案】（1）①；②；（2） 【知识点】线段的和与差、线段中点的有关计算 【分析】本题主要考查两点间的距离，利用了线段中点的性质，线段的和差求解线段的长是解题的关键． （1）①由设，，根据可求解值，即可得，的长，结合中点的定义可求解；②根据题意画出图形，由设，，则，利用线段的和差，结合中点的定义可求解，由，进而可求解的长． （2）根据中点定义得到，即可求出． 【详解】（1）解：①由设，， ∵，， ， 解得， ，， 为线段的中点， ， ． ②解：如图所示． 由设，， ∴， 为线段的中点， ， ， 为的中点， ， ， ， ， 解得， ． （2）∵点M为线段中点，点N为线段中点， ∴ ∵，， ∴ ∴ ∴ 2．如图，点是线段上一点，，，分别是，的中点， (1)图中共有_______条线段 (2)求线段的长度 (3)若点分别从两点出发，分别以每秒和的速度都向点B的方向运动，经过多长时间P，Q两点相遇？ 【答案】(1)10 (2) (3) 【知识点】行程问题(一元一次方程的应用)、线段的和与差、直线、线段、射线的数量问题、线段中点的有关计算 【分析】本题主要考查了线段的和差，线段中点的性质，列一元一次方程解决行程问题，解题的关键是掌握线段中点的性质及找出等量关系列方程． （1）通过图形即可得出线段条数； （2）利用线段中点的性质以及线段的和差即可得出结果； （3）假设经过P，Q两点相遇，根据得，，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：由图可知，图中的线段有、、、、、、、、、， 共有10条线段， 故答案为：10； （2）解：∵点是的中点，， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴ ； （3）解：假设经过，P，Q两点相遇，根据得，， ∴， 解得， 所以经过，P，Q两点相遇． 3．已知锐角，点为平面内一点，，分别平分和． (1)如图，点为内一点，求证：； (2)如图，点为外一点，其他条件不变，（1）中的结论还成立吗？若不成立，请说明理由；若成立，请证明； (3)当点在平面内其他位置时，与之间还存在其他的数量关系吗？请画图并直接写出结论． 【答案】(1)见解析 (2)（1）中的结论结成立．证明见解析 (3)存在，画图见解析，数量关系为． 【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算 【分析】本题考查的是角平分线的定义，角的和差运算； （1）先证明，，可得，进一步可得结论； （2）先证明，，可得，进一步可得结论； （3）先构建图形，证明，，可得，进一步可得结论； 【详解】（1）证明：，分别平分和， ，． ． ， ． （2）证明：（1）中的结论结成立． ，分别平分和， ，． ． ， ． （3）解：存在，如图所示，； 理由如下：，分别平分和， ，． ， ∵， ∴． 4．已知点在直线上，是直角，平分．     (1)如图1，若，求的度数______； (2)将图1中的绕顶点顺时针旋转至图2的位置，其它条件不变，试探究和度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由． (3)将图1中的绕顶点逆时针旋转至图3的位置，其它条件不变，若，则的度数为______（用含有的式子表示），不必说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算、与余角、补角有关的计算 【分析】本题考查了几何图形中的角度计算，角平分线的定义，互余互补的计算，数形结合，找准各个角之间的关系是解决问题的关键． （1）根据邻补角定义，由得到，再由平分得到，由是直角得到； （2）根据邻补角定义得到，再由平分得到，由是直角得到； （3）根据邻补角定义得到，即，再由平分得到，由是直角得到． 【详解】（1）解：是直线上一点，， ， 平分， ， 是直角， ， 故答案为：； （2）解：是直线上一点， ， 平分， ， 是直角， ； ； （3）解：是直线上一点， ， ， ， 平分， ， 是直角， ， 故答案为：． 5．如图，为直线上一点，，是的角平分线，是直角 (1)图中与互余的角是______； (2)是否平分，并说明理由． 【答案】(1) (2)平分．见解析 【知识点】角平分线的有关计算、与余角、补角有关的计算 【分析】本题考查了角的计算、角平分线的定义，解决本题的关键是利用角平分线的定义． （1）根据角平分线的定义求的度数，即可得到其余角； （2）根据已知条件进行角的计算即可得平分． 【详解】（1）解：∵，是的角平分线， ∴， ∵是直角， ∴，即， ∴， ∴ 故答案为：； （2）平分，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∴平分． 6．如图，为直线上一点，在的上方依次引射线，，，且． (1)当时，是的平分线吗？试说明理由． (2)若，． ①求的度数． ②现射线绕着点以每秒的速度逆时针方向旋转到，再原速返回到时停止，同时绕着以相同的速度顺时针方向旋转到与重合，再原速返回到与重合时停止，在此运动过程中，当为固定值时，求时间的范围． 【答案】(1)是的平分线，理由见解析 (2)①；②或或． 【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算、同(等)角的余(补)角相等的应用 【分析】此题考查了角平分线的相关计算、角的和差、余角的性质等知识，分类讨论是解题的关键． （1）根据题意得到，，由等角的余角相等即可得到答案； （2）①先求出，得到，利用平角即可得到答案；②分情况讨论即可得到答案． 【详解】（1）解：是的平分线，理由如下： ∵为直线上一点，且． ∴，， ∵， ∴， ∴是的平分线； （2）①∵，， ∴， ∴， ∴， 答：的度数为． ②∵， ∴当时，在的内部，是固定值， 当时，如图，沿着逆时针方向旋转，未与重合，绕着点顺时针方向旋转，，， ∴ 当时，与重合，，， 当时，绕点逆时针旋转，绕着点逆时针方向旋转，两者旋转速度相同， ∴的大小不变， ∴的固定值为， 当时，绕着点顺时针方向旋转，绕点逆时针旋转，， 当时，与重合， 当时， 在内部，的固定值为， 综上所述，当为固定值时，或或． 7．如图，已知，点E在直线之间． (1)求证：； (2)若平分，将线段沿平移至． ①如图2，若平分，求的度数； ②如图3，若平分，试判断与的数量关系并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)①；②，理由见解析 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线的性质探究角的关系、根据平行线的性质求角的度数、根据平行线判定与性质证明 【分析】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质作出辅助线以及设参数求解是解本题的关键． （1）过E作，可得，利用平行于同一条直线的两直线平行得到与平行，再得到一对内错角相等，进而得出答案； （2）①平分，设，根据平行线的性质可以得到的度数； ②设，根据角平分线的定义以及平行线的性质即可得到与的数量关系． 【详解】（1）证明：如图1，过点E作直线， ， ， ， ； （2）解：平分， ①平分，设， 又， ， 又， ， 如图2，过点H作， 则， ； ②设， 平分， ， 由（1）知， 如图3，过点H作， 易证， 即，则， ． 8．综合与实践 【问题情境】 在数学综合与实践课上，同学们以“一副直角三角板和两条平行线”为背景开展数学活动．已知直线，在直角三角板与中，，，． 【操作发现】 （1）如图1，直角三角板的顶点B在和之间，在绕点B转动三角板的过程中，两直角边分别与，交于点M，N，且夹角分别是和，经过反复操作，发现和之间存在固定的数量关系，这个数量关系是______． 【深入探究】 （2）如图2所示，将图1中的三角板的直角顶点B放在上，与交于点P，与的夹角为，与的夹角为，试探究和的数量关系并说明理由． 【拓展延伸】 （3）如图3，固定三角板，使边与直线重合，将三角板固定点C（点C在的延长线上），且在两条平行线，之间任意摆放，设的度数为，试探究：在摆放的过程中，当x为何值时，三角板的边与三角板的一条边平行？直接写出所有符合条件的x的值． 【答案】（1）；（2）；（3）x的值为30，75，120 【知识点】三角板中角度计算问题、根据平行线的性质探究角的关系、根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题考查了根据平行线判定与性质求角度，三角板中角度计算问题，根据平行线的性质求角的度数，平行公理，解题关键是利用平行线的性质证明相关角相等． （1）过点作，则，则，再由等量代换求解； （2）过点作，则，那么，再由，等量代换即可求解； （3）分“”、“”、“”三种情况，根据平行线的性质分别求出即可． 【详解】解：（1）数量关系为：， 过点作， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴数量关系为：； （2）数量关系为：， 过点作， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴数量关系为：； （3）①当时， ∵，即， ∵， ∴， 又∵点C在的延长线上 ∴点C，B，E，D在同一条直线上， ∴， ∴； ②当时， ∵ ∴， 又∵， ∴， ∴， ， ∴， ∴； ③当时， ∴， ∴， ∴； 综上，在摆放的过程中，当或或时，三角板的边与三角板的一条边平行． 9．已知点O在直线上，在直线的同侧，作射线，，平分．（注：，，不重合） (1)，，的位置如图1所示． ①若，，补全求的度数的过程； 解：∵， ∴________________． ∵平分， ∴________________， ∴________________． ②已知条件Ⅰ：；条件Ⅱ：．请选择其中一个条件，并说明在此条件下； (2)已知，如图2所示．若和互为余角，直接写出的度数．（用含a的代数式表示） 【答案】(1)①；；；；；；②见解析 (2)或 【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算、与余角、补角有关的计算 【分析】本题主要考查了几何图形中角度计算、角平分线、余角等知识，确定各角度之间的关系是解题关键． （1）①首先确定，结合角平分的定义可知，进而可得； ②选条件Ⅰ：易得，然后结合即可证明结论；选条件Ⅱ：首先由角平分线的定义可得，结合易得，进而可知，即可证明结论； （2）分当在左侧时和当在右侧时两种情况讨论，分别求解即可． 【详解】（1）解：①若，补全求的度数的过程． ∵， ∴． ∵平分， ∴， ∴． 故答案为：；；；；；； ②选条件Ⅰ，理由如下： ∵平分，， ∴， ∴； 选条件Ⅱ，理由如下： ∵平分， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． （2）的度数为或． 分两种情况讨论： ①如下图，当在左侧时， ∵和互为余角，， ∴，， ∴， ∴； ②如下图，当在右侧时， ∵和互为余角，， ∴， ∴ ∴． 10．如图1，点O为直线上一点，过点O作射线，是直角三角形，，平分． (1)填空：与互为余角的角是 ； (2)延长至点F，射线平分吗？为什么？ (3)将图1中的绕点O运动至图2所示位置，在的内部．若，则与之间是否存在一定的数量关系？若存在，写出它们之间的数量关系，并说明理由；若不存在，请举出反例． 【答案】(1)， (2)射线平分，理由见解析 (3)与之间存在一定的数量关系，，理由见解析 【知识点】角平分线的有关计算、与余角、补角有关的计算 【分析】本题主要考查了余角、邻补角、角平分线等知识，熟练掌握相关定义是解题关键． （1）根据余角的定义，即可获得答案； （2）首先根据题意，可得，，进而可知，再证明，由等量代换可知，即可证明结论； （3）根据题意可知，进而可得，即可获得答案． 【详解】（1）解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴，即与互余， ∴与也互余， 又∵， ∴与互为余角的角是，． 故答案为：，． （2）射线平分，理由如下： ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴射线平分． （3）与之间存在一定的数量关系，． 理由如下：∵， ∴， ∴． 2 / 43 学科网（北京）股份有限公司 $$