精品解析：广东省广州市天河区汇景实验学校2025-2026学年上学期九年级数学期中试卷

2025学年第一学期期中质量检测卷初三年级 数学试题 本试卷分第1卷和第II卷两部分，共120分．考试时间120分钟． 第1卷（选择题和填空题共48分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考号等信息填写在答题纸上． 2．答案必须填写在答题纸的相应位置上，答案写在试题卷上无效． 3．考试结束后，将答题卡交回． 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1. 下列函数一定是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数定义：一般地，形如的函数（a，b，c是常数，），叫做二次函数．根据二次函数的定义逐个判断即可． 【详解】解：A、不是二次函数，故本选项不符合题意； B、是二次函数，故本选项符合题意； C、分母含有字母，不是二次函数，故本选项不符合题意； D、是一次函数，故本选项不符合题意； 故选：B． 2. 已知反比例函数图象经过点，则反比例函数解析式是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了用待定系数法求反比例函数的解析式，设反比例函数的解析式为，然后把点代入求出的值即可，掌握反比例函数的性质是解题的关键． 【详解】解：设反比例函数的解析式为， ∵反比例函数图象经过点， ∴， ∴， ∴反比例函数的解析式为：， 故选：． 3. 如图，图案由三个叶片组成，且其绕点O旋转后可以和自身重合，若三个叶片的总面积为24平方厘米，且，则图中阴影部分的面积之和为（ ）平方厘米． A. 14 B. 12 C. 10 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查旋转对称图形，根据图示，将不规则图形面积转化是解题的关键． 根据旋转可得一个叶片的总面积，进而可得答案. 【详解】解：∵三个叶片的总面积为， ∴一个叶片的面积为8平方厘米， ∵， ∴阴影部分的面积之和为一个叶片的面积即8平方厘米， 故选：D． 4. 抛物线，的共同性质是（ ） A. 开口向上 B. 都有最大值 C. 对称轴都是轴 D. 顶点都是原点 【答案】D 【解析】 【分析】根据抛物线的性质解答即可． 本题考查了抛物线的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：抛物线，开口向上，有最小值，对称轴是y轴，顶点在原点； 开口向下，有最大值，对称轴是y轴，顶点在原点； ∴两个函数的共同性质是顶点在原点，对称轴是y轴． 故选：D． 5. 是方程的两个根，则（ ） A. B. C. 3 D. 13 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据题意得到，，然后将代数式化为，然后整体代入解答即可． 【详解】解：∵是方程的两个根， ∴，， ∴， 故选：D． 6. 如果关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（ ） A. 且 B. 且 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的情况与判别式的关系：方程有两个不相等的实数根；方程有两个相等的实数根；方程没有实数根．注意到二次项系数不等于0这一条件是解题的关键． 方程有两个不相等的实数根，则，由此建立关于k的不等式，然后就可以求出k的取值范围． 【详解】解：方程有两个不相等的实数根，则，， 解得：且 故选：A． 7. 如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，点为轴负半轴上一点，以为边作面积为的，若反比例函数的图象恰好经过的中点，则反比例函数的表达式为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了求反比例函数的几何意义，三角形中线的性质，连接，根据题意易求的面积为，进而得到，再结合图形可得，即可解答． 【详解】解：如图，连接， ∵面积为，点为的中点， ∴的面积为， ∴， ∵反比例函数图象在第二象限， ∴， ∴， ∴反比例函数的表达式为． 故选：D． 8. 如图，在中，顶点在轴的负半轴上，，，将绕点逆时针旋转，每秒旋转，则第2025秒旋转结束时，点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质、勾股定理的应用和全等三角形的判定和性质，找到第2025秒旋转结束时的图形是解决本题的关键． 先求出第2025秒旋转结束时的图形，并画出图象，过作轴的垂线交x轴于点D，证明可得，再运用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴第2025秒旋转结束时，绕点逆时针旋转了，过作轴的垂线交x轴于点D，如下图， 由旋转可得，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 根据题意可得，， ∴， ∴， ∴点的坐标为， 故选C． 9. 在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与二次函数的图象，解题的关键是对参数和进行分类讨论．分当，时，当，时，当，时，当，时，四种情况讨论即可． 【详解】解：对于一次函数和二次函数的图象， ①当，时，一次函数的图象过第一、二、三象限，二次函数的图象开口向上，对称轴在轴左侧，没有选项符合； ②当，时，一次函数的图象过第一、三、四象限，二次函数的图象开口向下，对称轴在轴左侧，没有选项符合； ③当，时，一次函数的图象过第一、二、四象限，二次函数的图象开口向上，对称轴在轴右侧，选项B符合； ④当，时，一次函数的图象过第二、三、四象限，二次函数的图象开口向下，对称轴在轴右侧，没有选项符合； 故选：B． 10. 抛物线的部分图象如图所示，对称轴为直线，直线与抛物线都经过点．下列说法：①；②；③若与是抛物线上的两个点，则；④方程的两根为，；⑤当时，函数有最大值．其中正确的个数是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，一次函数的性质，二次函数与一元二次方程的联系，利用图象的信息与已知条件求得，的关系式是解题的关键． 利用图象的信息与已知条件求得，的关系式，利用待定系数法和二次函数的性质对每个结论进行逐一判断即可得出结论． 【详解】解：∵抛物线的开口方向向下， ∴， ∵抛物线的对称轴为直线， ， ∴， ∵， ∴，故①的结论正确； ∵抛物线经过点， ∴， ∴， ∴，故②的结论正确； ∵抛物线的对称轴为直线， ∴点)关于直线对称的对称点为 ， ∴当时，随的增大而减小. ， ，故③的结论不正确； ∵抛物线的对称轴为直线：，抛物线经过点， ∴抛物线一定经过点， ∴抛物线与x轴的交点的横坐标为，， ∴方程的两根为故④的结论正确； ∵直线经过点， ， ， ， ， ， ， ∴函数， ， ∴当时， 函数有最大值，故⑤的结论不正确. 综上，结论正确的有：①②④， 故选： B． 二、填空题（本大题共6小题，总分18分） 11. 把一元二次方程化成一般形式是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，掌握一元二次方程一般形式是解题的关键．一元二次方程的一般形式是：（，，是常数且），在一般形式中叫二次项，叫一次项，是常数项．其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．根据题意将一元二次方程化为一般形式即可． 【详解】解： 一元二次方程化成一般形式是， 故答案为：． 12. 把函数的图象向上平移1个单位得到的二次函数解析式为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据“上加下减常数项，左加右减自变量”求解即可 【详解】解：函数的图象向上平移1个单位得到的二次函数解析式为； 故答案为： 【点睛】本题考查了二次函数的平移，解题关键是明确函数平移变化规律，准确解答． 13. 如图，直线与双曲线交于点和点，则不等式的解集是________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，根据两条直线的交点求不等式的解集，求反比例函数解析式，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 先利用点在双曲线的图象上，求出反比例函数解析式，再求出点的横坐标，从而可结合图象求出不等式的解集． 【详解】解：∵点在双曲线的图象上， ∴， ∴双曲线的解析式为， ∵点在双曲线的图象上， ∴，解得：， ∴， 当时，在第一象限内点的左边符合，此时； 在第三象限内点的左边符合，此时， 综上所述，不等式的解集是或， 故答案为：或． 14. 已知方程2x2﹣3x﹣5=0两根为，﹣1，则抛物线y=2x2﹣3x﹣5与x轴两个交点间距离为_________． 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：根据一元二次方程与二次函数的关系可知抛物线与x轴两交点的横坐标，再根据距离公式即可得出答案. 解：∵方程2x2﹣3x﹣5=0两根为，﹣1， ∴抛物线y=2x2﹣3x﹣5与x轴两个交点的横坐标分别为，﹣1， ∴两个交点间距离为. 故答案为. 15. 如图，将绕点逆时针方向旋转到，连接，若，，则图中阴影部分的面积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，延长交于点E，求出，证明是等边三角形． 垂直平分，得，，由，得，即得． 【详解】解：如图，连接，延长交于点E， ∵，． ∴． 由旋转知，，， ∴是等边三角形． ∴． ∴点在的垂直平分线上． ∵， ∴点C在的垂直平分线上， ∴垂直平分． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形旋转．熟练掌握等腰直角三角形的判定和性质，旋转的性质，等边三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质，勾股定理，三角形面积公式，添加辅助线，是解题的关键． 16. 已知直线和直线，其中为不小于2的自然数．当时． ①求与的交点坐标是___________． ②设直线与轴围成的三角形的面积分别为，，，，，则的值为___________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】该题考查了一次函数的图象和性质，通过联立两条直线的方程求解交点坐标；分别求两条直线与x轴的交点，计算交点距离作为底边，利用交点纵坐标作为高，计算三角形面积；将面积求和，利用裂项相消法化简． 【详解】解：联立方程：， 整理得：， 解得：， 则， 所以交点坐标为． 对于 ，令 ，则，解得：， 所以 与x轴交点为 ； 对于 ，令 ，则，解得：， 所以 与x轴交点为 ； 两交点之间的距离：， 三角形的高为交点纵坐标的绝对值，即， 面积：， 当时， 则． 故答案为：；． 第II卷（解答题共72分） 三、解答题（本大题共9小题，总分72分） 17. 解一元二次方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解法，利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】解：， 解得：，． 18. 如图，在中，是的中点，是上一点，连接并延长到点，使．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的性质和判定，掌握相关知识是解决问题的关键．由是的中点，得到，结合已知条件可证，则可得，所以． 【详解】证明：是的中点， ， 在与中， ， ， ， ； 19. 如图，一次函数的图象与反比例函数（k为常数，且）的图象交于，B两点． （1）求反比例函数的表达式； （2）若将直线向下平移个单位长度后与反比例函数的图象有且只有一个公共点，求m的值． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、一次函数图象的平移、一元二次方程根与系数的关系： （1）先将代入求出b的值，再将代入求出k的值； （2）先表示出平移后的一次函数解析式，再与反比例函数联立成方程组求解，消去y得到关于x的一元二次函数，再根据判别式的意义得到关于m的方程，最后解方程求出m的值． 【小问1详解】 解：将代入，得：， ， 将代入，得：， 解得， 反比例函数的表达式为； 【小问2详解】 解：直线向下平移个单位长度后的解析式为， 将与联立，得：， 整理得：， 由题意知有两个相同的解， ， 解得或． 20. 已知关于的一元二次方程，其中、、分别为三边的长． （1）如果是方程的根，试判断的形状，并说明理由； （2）如果是等边三角形，试求这个一元二次方程的根． 【答案】（1）等腰三角形，理由见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）将代入方程，进行整理即可判断的形状； （2）根据等边三角形三边相等，用表示，解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：为等腰三角形，理由如下： 将代入方程，得：， 整理，得：， 即：， ∴， ∴为等腰三角形． 【小问2详解】 解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴，即：， ， 解得：． 【点睛】本题考查一元二次方程的解，以及解一元二次方程，同时考查了等腰三角形的判定和等边三角形的性质．熟练掌握相关知识点，是解题的关键． 21. 如图，已知点在第一象限的平分线上，且，点在轴上，点在轴上． （1）求点的坐标； （2）当绕点旋转时，值是否发生变化？若变化，求出其变化范围；若不变，求出这个定值． 【答案】（1） （2）不发生变化，10 【解析】 【分析】（1）根据第一象限的角平分线上的点的横坐标与纵坐标相等列方程求解即可； （2）过点作轴于，于，，由角平分线的性质可得，由得到，证明得到，最后由即可得到答案． 【小问1详解】 解：点在第一象限的角平分线上， ， ， ； 【小问2详解】 解：过点作轴于，于， ， 则， 平分，，， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定与性质、角平分线的性质、坐标与图形，熟练掌握第一象限的角平分线上的点的横坐标与纵坐标相等是解题的关键． 22. 如图，某跳水运动员进行10米跳台跳水训练，水面边缘点的坐标为．将运动员看成一点在空中运动的路线是经过原点的抛物线．在跳某个规定动作时，运动员在空中最高处点的坐标为，正常情况下运动员必须完成规定的翻腾、打开动作，并调整好入水姿势，运动员入水后，运动路线为另一条抛物线． （1）求运动员在空中运动时对应抛物线的解析式，并求出入水处点的坐标； （2）在该运动员入水点的正前方有点D，且，该运动员入水后运动路线对应的抛物线顶点距水面5米，若该运动员出水经过点，求出水时的抛物线解析式． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，正确求出函数解析式是解题的关键． （1）设抛物线的解析式为，代入解析式，得，进而可得空中运动时对应抛物线的解析式为，令，则，求出满足要求的，进而可得点坐标； （2）先求出点坐标，即可由对称性求出对称轴，即可求出顶点坐标，再设顶点式求解． 【小问1详解】 解：设抛物线的解析式为， 将代入解析式，得， 空中运动时对应抛物线的解析式为， ∵， 令，则， 解得（舍去），， 的坐标为； 【小问2详解】 解：由题意得，，即， ∵， ∴新抛物线对称轴为直线， ∴顶点，即， ∴设出水时的抛物线解析式为， 代入，则， 解得， ∴出水时的抛物线解析式为． 23. 受新冠肺炎疫情的影响，运城市某化工厂从2020年1月开始产量下降．借此机会，为了贯彻“发展循环经济，提高工厂效益”的绿色发展理念；管理人员对生产线进行为期5个月的升级改造，改造期间的月利润与时间成反比例函数；到5月底开始恢复全面生产后，工厂每月的利润都比前一个月增加10万元．设2020年1月为第1个月，第个月的利润为万元，其图象如图所示，试解决下列问题： （1）分别写出该化工厂对生产线进行升级改造期间以及改造后与的函数表达式；（不用写出自变量取值范围） （2）到第几个月时，该化工厂月利润才能再次达到100万元？ （3）当月利润少于50万元时，为该化工厂的资金紧张期，问该化工厂资金紧张期共有几个月？ 【答案】（1） （2）到第13个月时，该化工厂月利润再次达到100万元 （3）该化工厂资金紧张期共有5个月 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，一次函数的应用，正确的理解题意是解题的关键． （1）根据题意利用待定系数法即可得到函数解析式； （2）把代入即可得到结论； （3）对于，当时，得，得到时，，对于，当时，得到，于是得到结论． 【小问1详解】 解：当时，由月利润与时间成反比例函数，设函数解析式为：， 由图可知：在函数图像上， ， ， 当时， 当时，设函数为， 由从6月初开始恢复全面生产后，工厂每月的利润都比前一个月增加10万元， ， 由图可知，过点， ， ， ， 综上：， 【小问2详解】 解：在函数中，令，得， 解得：， 答：到第13个月时，该化工厂月利润再次达到100万元． 【小问3详解】 解：在函数中， 当时，， ∵，y随x的增大而减小， ∴当时，， 在函数中， 当时，得 解得： ∴且x为整数； ∴x可取3，4，5，6，7；共5个月． 答：该化工厂资金紧张期共有5个月 24. 综合与实践：如图1，在菱形中，，，，分别是边上任意点，且． （1）若设的长为，的面积为，请求出与之间的函数关系； （2）①的面积记为，的面积记为，求出的最小值． ②在①的条件下，连接分别交于点I、G，若将绕着点D逆时针旋转，试问在旋转过程中是否存在的边与菱形的边平行，若存在请直接写出旋转的度数？ 【答案】（1） （2）①3；②当逆时针旋转时， ，，当逆时针旋转时，，，当逆时针旋转时，， 【解析】 【分析】（1）连接，根据菱形，得，，，，，，结合，则和是等边三角形，可证，则，利用三角函数表示出，而，则可以写出函数关系式； （2）①由（1）可表示，因为为等边三角形，可证明其面积为，则可表示，则可表示，其化简后为，令，利用二次函数求最值，再利用分式的性质即可求出最小值； ②在①条件下，，则为中点，可证明为等边三角形，则分类讨论三角形各边与菱形的边平行即可． 【小问1详解】 解：连接，过点作，交的延长线于点， 四边形是菱形， ，，，，， ， ， 和是等边三角形， ， ∵的长为，则， ， ， 和中， ， ， ， ， ， ，， ， 由的面积为， 故与之间的函数关系为； 【小问2详解】 ①根据（1）的解答， ， ∵为等边三角形，作， ∴， ， ， 令， 则，当取得最大值时，取得最小值，就是取得最小值， ，且， 有最大值， 当时，取最大值，且， 当时，取得最小值，且为， 故的最小值为3； ②如图，在①条件下，，则为中点， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ， ， 又∵， ∴为等边三角形， 当逆时针旋转时， ，， 当逆时针旋转时，，， 当逆时针旋转时，，． 【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，分式的性质，二次函数的最值，锐角三角函数，旋转，掌握相关知识是解题的关键． 25. 定义：把抛物线（其中）与抛物线称为“关联抛物线”，例如，抛物线的“关联抛物线”为．已知抛物线的“关联抛物线”为． （1）求抛物线的对称轴； （2）直线上有一点，且点到轴和轴的距离相等，将沿直线平移个单位后得到新的抛物线，若与交轴于点，在的对称轴上存在一个点，当取最大值时，求点的坐标． （3）当时，的最大值与最小值的差为，请求出的值． 【答案】（1）直线 （2）点P的坐标为或 （3）或 【解析】 【分析】（1）根据二次函数的性质求解即可； （2）先求出与坐标轴的交点，再结合三角函数求出平移量，然后分两种情况求解即可； （3）根据题意，分三种情形讨论，根据点距离对称轴的远近确定最值，然后建立方程，解方程求解即可． 【小问1详解】 解：∵ ∴抛物线的对称轴是直线； 【小问2详解】 解：设直线分别与轴、轴交于点N、M， 则当时，；当时，，， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴将沿直线平移个单位后得到新的抛物线， ∴横向平移量为：，纵向平移量为：． ∵， ∴， ①当向左下平移时：， 当时，， ， ∵与交轴于点， ∴， ∴， ∴ ∴， ∵点到轴和轴的距离相等， ∴点A在第二象限的角平分线上， ∴， ∴． 设，作点A关于直线的对称点，则， 则， ∴当点，E，P共线时，取最大值， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴， 当时，， ∴． ②当向右上平移时，， 当时，， ， ∵与交轴于点， ∴， 设，作点A关于直线的对称点，则， 则， ∴当点，E，P共线时，取最大值， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴， 当时，， ∴． 综上，当取最大值时，点P的坐标为或； 【小问3详解】 解：的解析式， ， ∴顶点为，对称轴为， ， ， ①当时，即时， 则函数的最大值为，最小值为， 的最大值与最小值的差为， ， ， ， 解得（，舍去）， ， ②当时，且，即时， 函数的最大值为，最小值为， 的最大值与最小值的差为， ， ， ， 解得（，舍去）， ． ③当时，即时，抛物线开口向上，对称轴右侧随的增大而增大， 函数的最大值为，最小值为， 的最大值与最小值的差为， ， 即， ， 即， 解得（舍去）， 综上所述，或． 【点睛】本题考查了新定义，二次函数的图象与性质，待定系数法求一次函数解析式，一次函数与坐标轴的交点，二次函数的平移，解直角三角形，二次函数的最值问题，分类讨论是解题的关键，本题难度较大，属中考压轴题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第一学期期中质量检测卷初三年级 数学试题 本试卷分第1卷和第II卷两部分，共120分．考试时间120分钟． 第1卷（选择题和填空题共48分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考号等信息填写在答题纸上． 2．答案必须填写在答题纸的相应位置上，答案写在试题卷上无效． 3．考试结束后，将答题卡交回． 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1. 下列函数一定是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知反比例函数图象经过点，则反比例函数解析式（　　） A. B. C. D. 3. 如图，图案由三个叶片组成，且其绕点O旋转后可以和自身重合，若三个叶片的总面积为24平方厘米，且，则图中阴影部分的面积之和为（ ）平方厘米． A. 14 B. 12 C. 10 D. 8 4. 抛物线，的共同性质是（ ） A. 开口向上 B. 都有最大值 C. 对称轴都是轴 D. 顶点都是原点 5. 是方程的两个根，则（ ） A. B. C. 3 D. 13 6. 如果关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（ ） A. 且 B. 且 C. D. 7. 如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，点为轴负半轴上一点，以为边作面积为的，若反比例函数的图象恰好经过的中点，则反比例函数的表达式为（　　） A B. C. D. 8. 如图，在中，顶点在轴的负半轴上，，，将绕点逆时针旋转，每秒旋转，则第2025秒旋转结束时，点的坐标为（ ） A. B. C. D. 9. 在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 10. 抛物线的部分图象如图所示，对称轴为直线，直线与抛物线都经过点．下列说法：①；②；③若与是抛物线上的两个点，则；④方程的两根为，；⑤当时，函数有最大值．其中正确的个数是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 二、填空题（本大题共6小题，总分18分） 11. 把一元二次方程化成一般形式是__________． 12. 把函数的图象向上平移1个单位得到的二次函数解析式为______． 13. 如图，直线与双曲线交于点和点，则不等式的解集是________． 14. 已知方程2x2﹣3x﹣5=0两根为，﹣1，则抛物线y=2x2﹣3x﹣5与x轴两个交点间距离为_________． 15. 如图，将绕点逆时针方向旋转到，连接，若，，则图中阴影部分的面积为__________． 16. 已知直线和直线，其中为不小于2的自然数．当时． ①求与的交点坐标是___________． ②设直线与轴围成的三角形的面积分别为，，，，，则的值为___________． 第II卷（解答题共72分） 三、解答题（本大题共9小题，总分72分） 17. 解一元二次方程：． 18. 如图，在中，是中点，是上一点，连接并延长到点，使．求证：． 19. 如图，一次函数的图象与反比例函数（k为常数，且）的图象交于，B两点． （1）求反比例函数的表达式； （2）若将直线向下平移个单位长度后与反比例函数的图象有且只有一个公共点，求m的值． 20. 已知关于一元二次方程，其中、、分别为三边的长． （1）如果是方程的根，试判断的形状，并说明理由； （2）如果是等边三角形，试求这个一元二次方程的根． 21. 如图，已知点在第一象限的平分线上，且，点在轴上，点在轴上． （1）求点的坐标； （2）当绕点旋转时，的值是否发生变化？若变化，求出其变化范围；若不变，求出这个定值． 22. 如图，某跳水运动员进行10米跳台跳水训练，水面边缘点坐标为．将运动员看成一点在空中运动的路线是经过原点的抛物线．在跳某个规定动作时，运动员在空中最高处点的坐标为，正常情况下运动员必须完成规定的翻腾、打开动作，并调整好入水姿势，运动员入水后，运动路线为另一条抛物线． （1）求运动员在空中运动时对应抛物线的解析式，并求出入水处点的坐标； （2）在该运动员入水点的正前方有点D，且，该运动员入水后运动路线对应的抛物线顶点距水面5米，若该运动员出水经过点，求出水时的抛物线解析式． 23. 受新冠肺炎疫情的影响，运城市某化工厂从2020年1月开始产量下降．借此机会，为了贯彻“发展循环经济，提高工厂效益”的绿色发展理念；管理人员对生产线进行为期5个月的升级改造，改造期间的月利润与时间成反比例函数；到5月底开始恢复全面生产后，工厂每月的利润都比前一个月增加10万元．设2020年1月为第1个月，第个月的利润为万元，其图象如图所示，试解决下列问题： （1）分别写出该化工厂对生产线进行升级改造期间以及改造后与的函数表达式；（不用写出自变量取值范围） （2）到第几个月时，该化工厂月利润才能再次达到100万元？ （3）当月利润少于50万元时，为该化工厂的资金紧张期，问该化工厂资金紧张期共有几个月？ 24. 综合与实践：如图1，在菱形中，，，，分别是边上任意点，且． （1）若设的长为，的面积为，请求出与之间的函数关系； （2）①的面积记为，的面积记为，求出的最小值． ②在①的条件下，连接分别交于点I、G，若将绕着点D逆时针旋转，试问在旋转过程中是否存在的边与菱形的边平行，若存在请直接写出旋转的度数？ 25. 定义：把抛物线（其中）与抛物线称为“关联抛物线”，例如，抛物线的“关联抛物线”为．已知抛物线的“关联抛物线”为． （1）求抛物线的对称轴； （2）直线上有一点，且点到轴和轴的距离相等，将沿直线平移个单位后得到新的抛物线，若与交轴于点，在的对称轴上存在一个点，当取最大值时，求点的坐标． （3）当时，的最大值与最小值的差为，请求出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $