专题01 勾股定理（期末真题汇编，江西专用）八年级数学上学期新教材北师大版

学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题01勾股定理 ☆6大高频考点概览 考点01利用股定理求边长 考点02利用勾股定理求解多解问题 考点03勾股定理的验证 考点04勾股定理与折叠问题 考点05勾股定理的应用 考点06判断是否构成直角三角形 目目 考点01 利用勾股定理求边长 1.(24-25八上江西吉安遂川县·期末)在△ABC中，∠C=90°，AB=6,BC=2,则AC2的值为() A.4 B.16 C.32 D.40 2.(24-25八上江西九江期末)如图，点C在线段AB上，∠DAC=∠DCE=∠CBE=90°，DC=CE, AD=6,BE=8,则DE的长为() E D A B A.10 B.82 C.10W2 D.62 3.(24-25八上江西吉安遂川县期末)在△ABC中，∠C=90°，BC=4y2,AB=3AC,则AC的长 为」 4.(24-25八上江西吉安吉安县·期末)如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC,AB=15, AC=9,则点D到AB的距离是 D 1/10 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 5.(24-25八上江西景德镇乐平·期末)对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美” 四边形ABCD,对角线AC,BD交于点O.若AD=4,BC=2,则AB2+CD2=一 D 6.24-25八上江西吉安遂川县期末)如图，在△ABC中，∠B=90°，BC=4V2,BC=2AB,求AC 的长 C B 7.(24-25八上·江西吉安遂川县期末)如图，在△ABC中，∠B=90°，点D在AB边上，若BD=10, BC=5,且AD+AC=BD+BC,求AD的长. 8.(24-25八上江西景德镇期末)如图，在Rt△AOB和Rt△COD中，AB=CD=25,OB=7,AC=4.求 BD的长. A D 9.(24-25八上江西抚州)细心观察下图，认真分析各式，然后解答下列问题： 2/10 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A41 A3 S3 S2 A 01 0A号=(V)2+1=2,S1=誓(S1是Rt△0AA2的面积)： 0A3=(W2)2+1=3,S2=号(S2是Rt△0AAg的面积)： 0A=(52)+1=4,S3=与(S3是Rt△0AA4的面积)： (1)请用含有n(n为正整数)的式子填空：OA品= ，Sn= (2)在线段0A1,0A2,0A3,0A2025,中，长度为正整数的线段共有_条 (3)求3+，+33+3十+·+十m的值： 10.(24-25八上江西抚州)(1)如图1，△ABC是等腰直角三角形，∠C=90°，D为AB中点，E,F 分别为AC,BC边上的点，且DE⊥DF,在探究△DEF的形状时，程思同学是这样做的：连接DC,证明 △DEC≌△DFB.因此可得DE=DF,同时可得：CE=BF,AE=CF,由此可得出线段 AE,BF,EF三者之间满足的等量关系是： E D 图1 (2)如图2，△ABC是非等腰直角三角形，∠C=90°，D为AB中点，E,F分别为AC,BC边上的点， 且DE⊥DF,请问(1)中的结论是否仍然成立，请说明理由； D 图2 (3)在(2)的条件下，若AC=12,BC=5,记AE=x,BF=y. ①求y关于x的函数关系式： ②当DE⊥AB时，AE的长是 3/10 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 目目 考点02 利用勾股定理求解多解问题 1.(24-25八上江西景德镇乐平.期末)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10cm,AC=6cm,动点P 从点B出发沿射线BC以2Cms的速度移动，设运动的时间为t秒，当△ABP为等腰三角形时，t的取值 为 2.(24-25八上江西吉安遂川县期末)如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC=4,点D在BC边上， BD=V2,点P在△ABC的边上，当△ADP为直角三角形（且D为锐角顶点）时，BP的长 为」 3.(24-25八上·江西宜春丰城第九中学期末)己知正方形ABCD的边长为5，点M在边AB上，且AM=1, 动点N从点A出发，沿正方形的边顺时针运动一周，当△BMN是等腰三角形时，线段BN的长为 4.(24-25八上江西抚州)定义：到三角形两边距离相等的点叫做三角形的准内心，己知在Rt△ABC中， ∠C=90°，AC=5,BC=12,点P是△ABC的准内心（不包括顶点），且点P在△ABC的边上， 则CP的长为 5.(24-25八上江西宜春丰城江西丰城中学期末)如图，∠A0B=30,点P在0A上，且0P=V5,M是 OA上的点，在OB上找点N,以PM为边，P,M,N为顶点作正方形，则MN的长为一 B 030 P A 目目 考点03 勾股定理的验证 1.(24-25八上江西吉安永丰县·期末)我国三国时期数学家赵爽为了证明勾股定理，创造了一副弦图”，后 4/10 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 人称其为“赵爽弦图”，如图1所示.在图2中，若正方形ABCD的边长为14，正方形IJKL的边长为2，且 IJ‖AB,则正方形EFGH的边长为 弦 图2 2.(24-25八上江西抚州五校)“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的大正方形.赵 爽为中国古代以形证数形数统一、代数和几何紧密结合、互不可分的独特风格树立了一个典范： 4/H 、B 图1 图2 图3 (1)如图1，某同学制作了一个“赵爽弦图”纸板，设AH=a,BH=b,AB=c. ①请你利用图1验证：a2+b2=c2; ②若大正方形ABCD的边长为13，小正方形EFGH的边长为7，求ab. (2)如图2，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C,河边原有两个取水点A、B,AB=AC,由于某种原因， 由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H(A、H、B在同一条直线 上)，并新修一条路CH,且CH⊥AB.测得CH=0.8千米，HB=0.4千米，求新路CH比原路CA少多 少千米？ (3)已知在△ABC中，AC=10,BC=17,AB=21,求△ABC的面积. 目目 考点04 勾股定理与折叠问题 1.(24-25八上江西抚州)如图，在长方形ABCD中，AB=2,AD=4,将此长方形沿EF折叠，使点D 与点B重合，则AE的长度为 5/10 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 D G 2.(23-24八上江西吉安万安县期末)如图，在R△4BC中，∠A=90°，AB=AC,BC2+1,点M,N分别 是边BC,AB上的动点，沿MN所在的直线折叠∠B,使点B的对应点B始终落在边AC上，若△MBC为 直角三角形，则BM的长为 B M 3.(23-24八上江西吉安万安县期末)如图，将长方形纸片ABCD折叠，使点C与点A重合，折痕EF分别 与AB、DC交于点E和点F. (1)证明：△ADF≌△ABE; (2)若AD=12,DC=18,求△AEF的面积. D C E 目目 考点05 勾股定理的应用 1.(24-25八上江西鹰潭余江区·期末)如图是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，其中阴影部分的 面积是() 6/10 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 12 A.16 B.25 C.144 D.169 2.(24-25八上江西抚州临川区青泥中学期末)如图，所有阴影四边形都是正方形，两个空白三角形均为直 角三角形，且A、B、C三个正方形的面积分别为6、8、5，则正方形D的面积为一 B D 3.(2425八上江西抚州五校)如图，已知圆柱底面的周长为12cm,圆柱高为8cm,在圆柱的侧面上，过 点A和点C嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为 4.(24-25八上江西吉安峡江县期末)如图，圆柱形容器的高为120cm,底面周长为100cm,在容器内壁 离容器底部40cm的点B处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿40cm与蚊子相对的点A 处，则壁虎捕捉蚊子的最短距离为_ 5.(24-25八上·江西鹰潭余江区期末)如图，一架梯子AB斜靠在一竖直的墙0C上，A0为2,4米，B0为0.7 米，A0⊥0B. 7/10 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 C B (1)求梯子AB的长； (2)当梯子的顶端A下滑0.9米时，求梯子的底端向外移动的距离. 6.(2425八上·江西吉安吉安县·期末)消防云梯的作用主要是用于高层建筑火灾等救援任务，它能让消防员 快速到达高层建筑的火灾现场，执行灭火、疏散等救援任务.消防云梯的使用可以大幅提高消防救援的效 率，缩短救援时间，减少救援难度和风险.如图，已知云梯最多只能伸长到25m(即AA=BB=25m), 消防车高4m,救人时云梯伸长至最长，在完成从19m(即AM=19m）高的A处救人后，还要从24m(即 BM=24m)高的B处救人，这时消防车从A处向着火的楼房靠近的距离AB为多少米？ B A 楼 D A消防车 M 地面 目目 考点06 判断是否构成直角三角形 1.(24-25八上江西九江·期末)下列几组数中，是勾股数的是() A.1,2,3 B.3,4,5 C.13,15,20 D.6,8,11 2.(24-25八上江西吉安·期末)下列长度的三条线段能组成直角三角形的是() A.1,1,V2 B.2,3,4 C.4,5,6 D.6,8,11 3.(24-25八上江西宜春丰城第九中学期末)如果线段a,b,c能构成直角三角形，则它的比可能是() A.1:2:4 B.5:12:13 C.1:3:5 D.3:4:7 4.(24-25八上江西景德镇·期末)下列长度的各组线段能组成一个直角三角形的是（) A.3cm,6cm,7cm B.4cm,5cm,8cm C.3cm,4cm,5cm D.3cm,4cm,6cm 8/10 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 5.(24-25八上江西上饶部分学校期末)三角形的三条边分别为a,b,c且满足 a4-3a2+b4-3b2+2a2b2-4=0,c=2,则三角形ABC的形状为() A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形 D.无法确定 6.(24-25八上·江西宜春丰城江西丰城中学期末)△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c,下列条 件中，不能判断△ABC是直角三角形的是() A.a=6b=8,c=10 B.(c+b)(c-b)=a2 C.∠A:∠B:∠C=3:4:5 D.a=9,b=40,c=41 7.(24-25八上江西吉安期末)如图，在2×3的正方形网格中，∠1+∠2=() A.45° B.55o C.60 D.650 8.(24-25八上江西抚州五校)如图是某班的劳动实践基地，经测量∠A=90°，AB=3m,DA=4m: BC=12m,CD =13m. B (I)求BD的长； (2)连接BD,试判断△DBC的形状. 9.(24-25八上江西吉安峡江县期末)如图，在△ABC中，己知AB=8,BC=12,AC18,直线DE是线段 AB的垂直平分线，已知线段DE-3. (1)求CD的长； (2)连接BD,△DBC为何种特殊三角形？并说明理由. C B 10.(24-25八上江西宜春丰城江西丰城中学期末)己知图1是某超市购物车，图2是超市购物车的侧面示 9/10 学科网 www zxxk com 让教与学更高效 意图，现己测得支架 AC=72cm,BC=54cm,两轮轮轴的距离AB=90cm(购物车车轮半径忽略不计)，DG、EH均与地 面平行.（参考数据：V5≈1.732） C D G A∠-------- 图1 图2 (I)猜想两支架AC与BC的位置关系并说明理由： (2)若FG的长度为80cm,∠EHG=60°，求购物车把手F到AB的距离.（结果精确到0.1） 10/10 专题01 勾股定理 6大高频考点概览 考点01 利用勾股定理求边长 考点02 利用勾股定理求解多解问题 考点03 勾股定理的验证 考点04 勾股定理与折叠问题 考点05 勾股定理的应用 考点06 判断是否构成直角三角形 地 城 考点01 利用勾股定理求边长 1．(24-25八上·江西吉安遂川县·期末)在中，，，，则的值为（   ） A．4 B．16 C．32 D．40 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，根据题意利用勾股定理代入计算即可． 【详解】解∶ 在中，，，， ∴， 故选：C 2．(24-25八上·江西九江·期末)如图，点C在线段上，，，，，则的长为（    ） A．10 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、勾股定理、二次根式的化简，正确找出两个全等三角形是解题关键．先证出，根据全等三角形的性质可得，再利用勾股定理可得，然后在中，利用勾股定理求解即可得． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 在中，， 故选：C． 3．(24-25八上·江西吉安遂川县·期末)在中，，，，则的长为 ． 【答案】2 【分析】本题考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．设的长为，则的长为，根据勾股定理直接列方程，求解即可． 【详解】解：设的长为，则的长为， 在直角中，． ∴． ∵， ∴， 解得或（舍去）， ∴． 故答案为2． 4．(24-25八上·江西吉安吉安县·期末)如图，在中，，平分，，，则点D到的距离是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查解平分线的性质，勾股定理．过点D作于点E，由角平分线性质定理得，由勾股定理求出，最后根据三角形面积可求出． 【详解】解：如图，过点D作于点E，    ∵平分， ∴， 在中，由勾股定理得， ， 又， ∴， ∴， 解得，， 即：点D到的距离是， 故答案为：． 5．(24-25八上·江西景德镇乐平·期末)对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点O．若，，则 ． 【答案】20 【分析】本题考查勾股定理的应用．先利用勾股定理求出，，可得，然后由，得出答案． 【详解】解：由题意知， ∴， 根据勾股定理得，，， ∴， 根据勾股定理得，，， ∴， 故答案为：20． 6．(24-25八上·江西吉安遂川县·期末)如图，在中，，，，求的长．    【答案】． 【分析】本题主要考查勾股定理的应用，根据题干得到，利用勾股定理求得即可． 【详解】解：∵，， ∴， 在直角中，， ∴． ∵， ∴，解得（负值舍去）． ∴． 7．(24-25八上·江西吉安遂川县·期末)如图，在中，，点在边上，若，，且，求的长． 【答案】2 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，解题关键是根据勾股定理列出方程并求解． 设，根据题意可知，，再根据勾股定理可知，代入数值求解后即可计算AB的长． 【详解】解：设， ∵，，， ∴，， 再中，，根据勾股定理可知，， 即， 解得， ∴． 8．(24-25八上·江西景德镇·期末)如图，在Rt△AOB和Rt△COD中，，，．求BD的长． 【答案】8 【分析】运用勾股定理分别求出AO、OD，根据BD=OD-OB即可求得． 【详解】解：在Rt△AOB中，，AB＝25，OB＝7， ∴， ∴， 在Rt△COD中，，， ∴， ∴ ， ∴BD的长为8． 【点睛】本题考查了勾股定理．掌握勾股定理是解题的关键． 9．(24-25八上·江西抚州·)细心观察下图，认真分析各式，然后解答下列问题： ，（是的面积）； ，（是的面积）； ，（是的面积）； … (1)请用含有n（n为正整数）的式子填空：______，______； (2)在线段，，，…，中，长度为正整数的线段共有______条 (3)求的值； 【答案】(1)n， (2)45 (3)18 【分析】考查了新定义的理解，二次根式的化简，关键是理解新定义和有关二次根式的化简运算． （1）认真阅读新定义，根据已知内容归纳总结即可； （2）通过分析数据不难发现当边长正好是根号下一个正整数的平方时，出现的就是正整数．分析2025最接近哪个正整数的平方． （3）代入化简整理求值即可； 【详解】（1）观察所给式子：，，，以此类推，可得． 对于，，，所以（n为正整数）． 故答案为：n，． （2）解：∵， ∴ 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， … 当（k为正整数）时，， ∵，， ∴1到2025有45个完全平方数， ∴线段，，，…，中，长度为正整数的线段共有45条． 故答案为：45． （3）解：∵，，， ∴原式 ． 10．(24-25八上·江西抚州·)（1）如图1，是等腰直角三角形，，D为中点，E，F分别为边上的点，且，在探究的形状时，程思同学是这样做的：连接，证明．因此可得，同时可得：，，由此可得出线段三者之间满足的等量关系是：______； （2）如图2，是非等腰直角三角形，，D为中点，E，F分别为边上的点，且，请问（1）中的结论是否仍然成立，请说明理由； （3）在（2）的条件下，若，，记，． ①求y关于x的函数关系式； ②当时，的长是______． 【答案】（1）；（2）成立，理由见解析；（3）①；② 【分析】（1）连接，证，得，，再证，然后由勾股定理得，即可得出结论； （2）延长到使得，连接、，证，得，，再证，则，然后证，即可得出结论； （3）①由勾股定理得，，再由，则，即可得出结论；②如图3，当时，点与点重合，则，得，解方程即可． 【详解】解：（1）线段、、三者之间满足的等量关系是：，理由如下： 如图1，连接，    ∵为等腰直角三角形，点为线段中点， ，，， ， ∵， ， ， ， ， 在与中， ， ， ，， ∵， ， 在中，由勾股定理可得：， ， 故答案为：； （2）（1）中的结论仍然成立，理由如下： 如图2，延长到使得，连接、，    ∵为中点， ， ∵，， ， ，， ∵， ， ， 即， ， ∵，， ， ； （3）①，， ，， ∵， ， ， ∵， ， 整理得：； ②如图3，    当时，点与点重合， ， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． 地 城 考点02 利用勾股定理求解多解问题 1．(24-25八上·江西景德镇乐平·期末)如图，在RtABC中，∠ACB＝90°，AB＝10cm，AC＝6cm，动点P从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒，当ABP为等腰三角形时，t的取值为 ． 【答案】5或8或 【分析】根据等腰三角形的定义分①，②和③三种情况，再利用勾股定理和等腰三角形的性质即可得． 【详解】解：在中，， ， 由题意，分以下三种情况： ①如图1，当时， ，即， （等腰三角形的三线合一）， ， （秒）； ②如图2，当时， （秒）； ③如图3，当时， 设，则， 在中，，即， 解得， 即， 则（秒）； 综上，的值为5或8或， 故答案为：5或8或． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和定义、勾股定理，正确分三种情况讨论是解题关键． 2．(24-25八上·江西吉安遂川县·期末)如图，在中，，点D在边上，，点P在的边上，当为直角三角形（且D为锐角顶点）时，的长为 ． 【答案】或或 【分析】本题主要考查了勾股定理，直角三角形的判定和性质，等腰三角形的判定与性质， 当点在边上时，，根据勾股定理可得答案；当点在边上时，，作，再证明四边形是矩形，然后根据勾股定理可得答案；当点在边上时，，先根据勾股定理求出，再根据等腰三角形的性质得出答案． 【详解】解：如图所示，当点在边上时，， ∵， ∴， ∴， ∴． 根据勾股定理，得， 解得； 当点在边上时，， 过点D作于点E，由（1）知， ∵， ∴四边形是矩形， ∴． 根据勾股定理，得， 解得； 如图所示，当点在边上时，， ∵， ∴． 根据勾股定理，得. ∵， ∴． 综上所述，的长为1或或． 故答案为：1或或． 3．(24-25八上·江西宜春丰城第九中学·期末)已知正方形的边长为，点在边上，且，动点从点出发，沿正方形的边顺时针运动一周，当是等腰三角形时，线段的长为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，分当，当时， 时三种情况分析即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， 如图，当， 由勾股定理得：， ∴； 如图，当时， ∴； 如图，时， 综上可知：的长为或或． 4．(24-25八上·江西抚州·)定义：到三角形两边距离相等的点叫做三角形的准内心，已知在中，，，，点P是的准内心（不包括顶点），且点P在的边上，则的长为 ． 【答案】或或 【分析】分三种情形：①点P在边上，②点P在边上，③点P在边上，分别讨论计算即可． 【详解】解：∵，，， ∴， 如图， 当点在边上时， ∵点是的准内心， ∴，作于，于F， ∵平分， ∴， ∴是等腰直角三角形. ∵， ∴. ∴， ∴； 如图中，当点在边上时，作于，设， ∵点是的准内心， ∴， ∵，， ∴设， 在和中 ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：； 如图中， 当点在边上时，与当点在边上时同样的方法可得； 故答案为：或或. 【点睛】本题考查角平分线的性质、勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形的准内心的定义等知识，解题的关键是理解题意，分类讨论． 5．(24-25八上·江西宜春丰城江西丰城中学·期末)如图，，点P在上，且，M是上的点，在上找点N，以为边，P，M，N为顶点作正方形，则的长为 ． 【答案】或或 【分析】分三种情况，一是正方形以为对角线，则，所以，此时点M在点P的左侧或右侧，的长相同；二是正方形以为对角线，且点M在点P的左侧，则，所以，则；三是正方形以为对角线，且点M在点P的右侧，则，所以 【详解】解：如图，正方形以为对角线，且点M在点P的左侧， ，，， ∴， 根据勾股定理可得：，即， 解得∶， ∴， ∵， ； 当正方形以为对角线，且点M在点P的右侧时，； 如图2，正方形以为对角线，且点M在点P的左侧， ，， ∴， 根据勾股定理可得：，即， 整理得：， ， ， 解得； 如图3，正方形以为对角线，且点M在点P的右侧， ，， ， 解得， 综上所述，的长为或或， 故答案为：或或 地 城 考点03 勾股定理的验证 1．(24-25八上·江西吉安永丰县·期末)我国三国时期数学家赵爽为了证明勾股定理，创造了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，如图1所示．在图2中，若正方形的边长为14，正方形的边长为2，且，则正方形的边长为 ． 【答案】10 【详解】（14×14﹣2×2）÷8=（196﹣4）÷8=192÷8=24 24×4+2×2=96+4=100 =10． 即正方形EFGH的边长为10． 故答案为10． 2．(24-25八上·江西抚州五校·)“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的大正方形．赵爽为中国古代以形证数形数统一、代数和几何紧密结合、互不可分的独特风格树立了一个典范． (1)如图1，某同学制作了一个“赵爽弦图”纸板，设，，． ①请你利用图1验证：； ②若大正方形的边长为13，小正方形的边长为7，求． (2)如图2，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A、B，，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？ (3)已知在中，，，，求的面积． 【答案】(1)①见解析，② (2)新路比原路少千米； (3) 【分析】本题主要考查了勾股定理的弦图、勾股定理的应用等知识点，灵活运用勾股定理成为解题的关键． （1）①用两种不同的方法去求正方形的面积，然后整理即可解答．②利用①中发现的结论求解即可； （2）设千米，则千米，然后运用勾股定理列方程可得，即千米，然后根据线段的和差即可解答； （3）如图：作，垂足为H，设，，然后运用勾股定理列方程求得，即；再运用勾股定理求得，然后根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】（1）①证明：中间小正方形的边长为， 四个直角三角形的面积为：， ， ． ②解：由①可知，， ， ， ， ． （2）解：设千米， 千米， 在中，根据勾股定理得：， ，解得，即千米， （千米）． 答：新路CH比原路CA少0.2千米． （3）解：如图：作，垂足为H， 设， ， ，，，， ∴在中，，在中，， ，即，解得：， ， ， ． 地 城 考点04 勾股定理与折叠问题 1．(24-25八上·江西抚州·)如图，在长方形中，，，将此长方形沿折叠，使点D与点B重合，则的长度为 ．    【答案】 【分析】本题考查勾股定理与折叠问题．折叠得到，设，利用勾股定理进行求解即可，掌握折叠的性质和勾股定理，是解题的关键． 【详解】解：∵将此长方形沿折叠，使点D与点B重合， ∴， 设， ∵在长方形中，，， ∴， 由勾股定理得， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 2．(23-24八上·江西吉安万安县·期末)如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BC=+1，点M，N分别是边BC，AB上的动点，沿MN所在的直线折叠∠B，使点B的对应点始终落在边AC上，若△MC为直角三角形，则BM的长为 【答案】+或1 【分析】①如图1，当∠MC=90°，B′与A重合，M是BC的中点，于是得到结论；②如图2，当∠MB′C=90°，推出△CM是等腰直角三角形，得到CM=M，列方程即可得到结论． 【详解】解：①如图1， 当∠MC=90°，与A重合，M是BC的中点， ∴BM=BC=+； ②如图2，当∠MC=90°， ∵∠A=90°，AB=AC， ∴∠C=45°， ∴△CM是等腰直角三角形， ∴CM=M， ∵沿MN所在的直线折叠∠B，使点B的对应点， ∴BM=M， ∴CM=BM， ∵BC=+1， ∴CM+BM=BM+BM=+1， ∴BM=1， 综上所述，若△MC为直角三角形，则BM的长为+或1， 故答案为：+或1．       3．(23-24八上·江西吉安万安县·期末)如图，将长方形纸片ABCD折叠，使点C与点A重合，折痕EF分别与AB、DC交于点E和点F． （1）证明：△ADF≌△AB′E； （2）若AD=12，DC=18，求△AEF的面积． 【答案】（1）证明见解析（2）78 【详解】试题分析：（1）利用两角夹边对应相等的两个三角形全等即可判定． （2）利用三角形面积公式求解即可. 试题解析：（1）∵四边形ABCD是矩形， ∴∠D=∠C=∠B′=90°，AD=CB=AB′， ∵∠DAF+∠EAF=90°，∠B′AE+∠EAF=90°， ∴∠DAF=∠B′AE， 在△ADF和△AB′E中 ， ∴△ADF≌△AB′E． （2）解：由折叠性质得FA=FC，设FA=FC=x，则DF=DC－FC=18－x， 在Rt△ADF中，AD2+DF2=AF2， ∴． 解得． ∵△ADF≌△AB′E， ∴AE=AF=13． ∴S△AEF===78． 地 城 考点05 勾股定理的应用 1．(24-25八上·江西鹰潭余江区·期末)如图是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，其中阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据勾股定理解答即可． 【详解】解：根据勾股定理得出：AB===5， ∴EF=AB=5， ∴阴影部分面积是25， 故选：B． 2．(24-25八上·江西抚州临川区青泥中学·期末)如图，所有阴影四边形都是正方形，两个空白三角形均为直角三角形，且A、B、C三个正方形的面积分别为6、8、5，则正方形D的面积为 ． 【答案】19 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，设正方形A、B、C、D的边长分别为a、b、c、d，中间阴影正方形的边长为x，根据勾股定理得，，再证明，即可得出结论，确定正方形A、B、C、D面积的数量关系是解题的关键． 【详解】解：设正方形A、B、C、D的边长分别为a、b、c、d，中间阴影正方形的边长为x， ∵两个空白三角形均为直角三角形， ∴，， ∴， ∵A、B、C三个正方形的面积分别为6、8、5， ∴， 即正方形D的面积为19， 故答案为：19． 3．(24-25八上·江西抚州五校·)如图，已知圆柱底面的周长为，圆柱高为，在圆柱的侧面上，过点和点嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平面展开﹣最短路径问题，圆柱的侧面展开图是一个长方形，此长方形的长等于圆柱底面周长，高等于圆柱的高，本题就是把圆柱的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决． 要求丝线的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，根据勾股定理计算即可． 【详解】解：如图，把圆柱的侧面展开，得到矩形，则这圈金属丝的周长最小为的长度． ∵圆柱底面的周长为，圆柱高为， ∴，， ∴， ∴， ∴这圈金属丝的周长最小为， 故答案为：． 4．(24-25八上·江西吉安峡江县·期末)如图，圆柱形容器的高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿与蚊子相对的点处，则壁虎捕捉蚊子的最短距离为 ． 【答案】/130厘米 【分析】本题考查了平面展开-最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力． 将容器侧面展开，建立A关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求． 【详解】解：如图，将容器侧面展开，作A关于的对称点，连接交于F，则即为最短距离． ∵高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点B处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿与蚊子相对的点A处， ∴， ∴在直角中，． 故壁虎捕捉蚊子的最短距离为． 5．(24-25八上·江西鹰潭余江区·期末)如图，一架梯子斜靠在一竖直的墙上，为米，为米，． (1)求梯子的长； (2)当梯子的顶端A下滑米时，求梯子的底端向外移动的距离． 【答案】(1)梯子的长为 (2)梯子的底端向外移动的距离为 【分析】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理，是解题的关键： （1）直接利用勾股定理进行求解即可； （2）根据梯长不变，利用勾股定理求出梯子下滑后，底端到点的距离，再减去的长即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 在中，， 由勾股定理，得：； 答：梯子的长为； （2）如图，由题意，得：，， 在中，， ∴梯子的底端向外移动的距离为：； 答：梯子的底端向外移动的距离为． 6．(24-25八上·江西吉安吉安县·期末)消防云梯的作用主要是用于高层建筑火灾等救援任务，它能让消防员快速到达高层建筑的火灾现场，执行灭火、疏散等救援任务．消防云梯的使用可以大幅提高消防救援的效率，缩短救援时间，减少救援难度和风险．如图，已知云梯最多只能伸长到（即），消防车高，救人时云梯伸长至最长，在完成从（即）高的处救人后，还要从（即）高的处救人，这时消防车从A处向着火的楼房靠近的距离为多少米？ 【答案】这时消防车从处向着火的楼房靠近的距离为 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 由勾股定理求出、的长，即可解决问题． 【详解】解：由题意可知，，点、、三点共线， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， 答：这时消防车从处向着火的楼房靠近的距离为． 地 城 考点06 判断是否构成直角三角形 1．(24-25八上·江西九江·期末)下列几组数中，是勾股数的是（    ） A．1，2，3 B．3，4，5 C．13，15，20 D．6，8，11 【答案】B 【分析】本题考查了勾股数“能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数”，熟记勾股数的定义是解题关键．根据勾股数的定义逐项判断即可得． 【详解】解：A、，则此项不是勾股数，不符合题意； B、，则此项是勾股数，符合题意； C、，则此项不是勾股数，不符合题意； D、，则此项不是勾股数，不符合题意； 故选：B． 2．(24-25八上·江西吉安·期末)下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（ ） A．1，1， B．2，3，4 C．4，5，6 D．6，8，11 【答案】A 【分析】根据勾股定理的逆定理逐项计算可得. 【详解】选项A，12+12=（）2； 选项B，22+32≠42； 选项C，42+52≠62； 选项D，62+82≠112； 根据勾股定理的逆定理，只有选项A符合条件， 故答案选A． 考点：勾股定理的逆定理． 3．(24-25八上·江西宜春丰城第九中学·期末)如果线段能构成直角三角形，则它的比可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据勾股定理的逆定理，得：要能够组成一个直角三角形，则三边应满足：两条较小边的平方和等于最大边的平方． 【详解】解：A、12＋22＝5≠42，故不是直角三角形．故选项错误； B、52＋122＝169＝132，故是直角三角形，故选项正确； C、12＋32＝10≠52，故不是直角三角形．故选项错误； D、32＋42＝9＋16＝25≠72，故不是直角三角形．故选项错误． 故选：B． 【点睛】考查了勾股定理的逆定理，要求能够熟练运用勾股定理的逆定理来判定一个三角形是否为直角三角形． 4．(24-25八上·江西景德镇·期末)下列长度的各组线段能组成一个直角三角形的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理的应用；求证是否为直角三角形，这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可． 【详解】解：A. ∵，∴不能构成直角三角形，故选项错误； B. ∵，∴不能构成直角三角形，故选项错误； C. ∵，∴能构成直角三角形，故选项正确； D. ∵，∴不能构成直角三角形，故选项错误； 故选：C． 5．(24-25八上·江西上饶部分学校·期末)三角形的三条边分别为，，且满足，，则三角形的形状为（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题涉及因式分解和勾股定理逆定理．先对已知等式进行因式分解，再根据判断三角形的形状． 先对等式进行因式分解：即或者（舍去）；再判断三角形形状： ，，，根据勾股定理逆定理，三角形是直角三角形． 【详解】解： ， 或 ，（舍去）， ， ， ， 三角形是直角三角形， 故选：B． 6．(24-25八上·江西宜春丰城江西丰城中学·期末)中，的对边分别为a、b、c，下列条件中，不能判断是直角三角形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理和三角形的内角和定理，解题的关键在于能够熟练掌握勾股定理的逆定理．利用勾股定理的逆定理可以判断AD；根据即可推出即可判断B；利用三角形内角和等于180度，即可求出，即可判断C． 【详解】解：A、∵在中，、、的对边分别为、、， ∴当，，时，， ∴此时是直角三角形，故本选项不符合题意； B、∵， ∴即， ∴此时是直角三角形，故本选项不符合题意； C、∵，， ∴， ∴此时不是直角三角形，故本选项符合题意； D、∵，，， ∴， ∴此时是直角三角形，故本选项不符合题意； 故选：C． 7．(24-25八上·江西吉安·期末)如图，在2×3的正方形网格中，（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理的逆定理、等腰直角三角形等知识点．取格点，连接，利用证明，推出，再根据勾股定理的逆定理证明是直角三角形，再根据可得，进而可得，再利用等量代换即可解答． 【详解】解：如图：取格点，连接，    ∵，，， ∴， ∴， 由题意得：，，， ∴， ∴是直角三角形， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 8．(24-25八上·江西抚州五校·)如图是某班的劳动实践基地，经测量，，，，． (1)求的长； (2)连接，试判断的形状． 【答案】(1) (2)直角三角形． 【分析】本题考查了勾股定理及逆定理的应用，熟记勾股定理是解题的关键． （1）由勾股定理求出的长， （2）根据勾股定理的逆定理得出三角形是直角三角形即可得出结果． 【详解】（1）解：如图，连接， ，，， ； （2）解：由（1）知：， ，， ， 为直角三角形． 9．(24-25八上·江西吉安峡江县·期末)如图，在△ABC中，已知AB=8，BC=12，AC=18，直线DE是线段AB的垂直平分线，已知线段DE=3． （1）求CD的长； （2）连接BD，△DBC为何种特殊三角形？并说明理由． 【答案】（1）DC=13；（2）△BCD是直角三角形；理由见解析． 【分析】（1）根据勾股定理求出AD，然后即可得到CD的长； （2）由DE是线段AB的垂直平分线，求出BD的长，然后根据勾股定理的逆定理即可得到答案． 【详解】解：（1）∵DE是线段AB的垂直平分线，AB=8 ∴AE=EB=4，∠AED=90°； 在直角△ADE中，AE=4，DE=3， ∴； ∵AC=18， ∴DC=AC-AD=13； （2）△BCD是直角三角形． 理由如下： ∵DE是线段AB的垂直平分线， ∴DB=AD=5； 在△BCD中，BD=5，BC=12，CD=13. ∵ ∴ ∴△BCD是直角三角形 【点睛】本题考查了线段的垂直平分线，勾股定理以及勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 10．(24-25八上·江西宜春丰城江西丰城中学·期末)已知图1是某超市购物车，图2是超市购物车的侧面示意图，现已测得支架 ，两轮轮轴的距离（购物车车轮半径忽略不计），、均与地面平行．（参考数据：） (1)猜想两支架与的位置关系并说明理由： (2)若的长度为，，求购物车把手到的距离．（结果精确到0.1） 【答案】(1)，理由见解析 (2)购物车把手到的距离为． 【分析】本题考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理的应用，含度角的直角三角形的性质； （1）根据题意可得，根据勾股定理的逆定理即可得出，即可求解； （2）过点作的垂线，交的延长线分别于点，根据平行线的可得出，在中，勾股定求得，根据等面积法，即可求解． 【详解】（1）解：两支架与为垂直的位置关系，理由如下： 在中． ∵，，且， ∴ ∴， 答：两支架与为垂直的位置关系； （2）解：如图所所示，过点作的垂线，分别交的延长线于点，设点C到的距离为h， ∴ ∵，， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴， 答：购物车把手到的距离为． 试卷第1页，共3页 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $