微专题02 二次函数图象和性质与系数问题六大题型（专项训练）数学华东师大版九年级下册

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 微专题02二次函数图象和性质与系数问题四大题型 题型一二次函数中含参数的图像和性质 题型二一次函数、反比例函数、二次函数 二次函数图象和性质与系 图象综合判断问题 数问题四大题型 题型三二次函数图象与各项系数符号问题 题型四二次函数中含参数的综合问题 /0o 德点硝 题型一二次函数中含参数的图像和性质 螺方法 1.参数对图象形状与位置的影响：二次项系数a决定开口方向(a>0向上，a<0向下)和宽窄(a越大越窄)； 次项系数b和a共同影响对称轴(x号)：常数项c决定图象与y轴交点(0，c)。 2.参数与函数性质的关联：结合a、b、c可确定顶点坐标（号，），进而分析最值(>0有最小值， 4▣ a<0有最大值)及增减区间（以对称轴为界）。 3.含参问题的常见类型：含参二次函数与坐标轴交点问题（判别式△=b2-4aC的应用）、区间最值讨论（需 考虑对称轴与区间位置关系)等。 1.(2025·四川成都模拟预测)关于x的二次函数y=ax2-2ax+c,下列说法错误的是（) A.函数图象的对称轴是直线x=1 B.当x>1时，y的值随x值的增大而增大 C.函数图象一定经过点(0，c D.当c=0时，函数图象与x轴一定有两个交点 2.在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2-(a+2)x+2经过点A(-2,),B(m,p).则下列说法错误的是() 4.若1=0，抛物线的对称轴为直线x=月 B.若t=0且p<0,则m的取值范围为m<-2或m>1 C.若t<0,则抛物线的开口向下 1/8 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D.若t<0,点C(n,q)在该抛物线上，m<n且5m+5n<-13,则有p>9 3.已知二次函数y=mx2-4mx+2+m(m≠0)，下列结论正确的是（) A.当m=-1时，函数图象的顶点坐标为(2，-3) B.当x>2时，y的值随x的增大而增大 C.当m=1,y≤3时，x的取值范围是0<x<4 D.当-1≤x≤4时，y的最大值为8，则m=1或m=-2 4.(24-25九年级上·天津河北期末)已知二次函数y=ax+x-m(a为非零常数，1<m<2),当 x<-1时，y随x的增大而增大，则下列结论正确的是() ①当x>2时，y随x的增大而减小； ②若图象经过点(0,1，则-1<a<0: ③若(-2025，y),(2025y2)是函数图象上的两点，则y<y2; ④若图象上两点 存小，（任+）对一切正数总有>，则1<m号 A.①② B.①③ C.①②③ D.①③④ 题型二一次函数、反比例函数、二次函数图象综合判断问题 嫦方法 1.各函数图象特征：一次函数y=+b(k≠0)是直线，k定倾斜方向（正增负减），b定与y轴交点；反比例 函数yk/x(k≠0)是双曲线，k正分布一三象限，负分布二四象限；二次函数y=a2+bx+c(a≠0)是抛物 线，α定开口，对称轴和顶点影响位置。 2.参数关联性判断：同一坐标系中多函数共存时，需通过参数符号（如k、α正负)匹配图象位置，排除矛 盾情况（如k正的一次函数与k负的反比例函数同存）。 3.交点与范围分析：利用函数交点坐标满足多解析式，结合图象高低判断函数值大小关系，辅助验证图象 正确性。 1.(24-25九年级上湖南岳阳阶段练习)一次函数y=+b与反比例函数y=C在同平面直角坐标系中的 图象如图所示，则二次函数y=ax2+bx+c的图象在平面直角坐标系中的位置可能是() 2/8 高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 2.(24-25九年级下·山东潍坊·期末)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则反比例函数 y=a与一次函数y=cx-b在同一平面直角坐标系内的图象可能是（） 茶平 3.(24-25九年级下.安徽安庆阶段练习)在平面直角坐标系中，直线y=abx+c(a,b,c是常数且a≠0 ,b≠0，c≠0)的位置如图，则抛物线y=ax2+bx+c和双曲线y=ac在同一坐标系中的图象可能为(). VA 的 3/8 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 4.(24-25九年级下广东梅州开学考试)在同一平面直角坐标系中，函数y=-b(a≠0)和y=二(c≠0)的 大致图象如图所示，则函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象大致为() 4.(2025山东青岛模拟预测)已知一次函数y=-bx+a的图象如图所示，则反比例函数y=C和二次函数 y=ax2+bx-c在同一坐标系中的图象可能是() 题型三二次函数图象与各项系数符号问题 城方法 1.单个系数符号判断：α由抛物线开口方向决定（上正下负）：c是抛物线与y轴交点纵坐标（交y轴正半轴 为正，负半轴为负)；b的符号需结合对称轴x会与α的符号判断（对称轴在y轴左，a、b同号；右则异 号)。 2.特殊点与系数关系：当x=1时，ya+b+c,其值正负对应抛物线在(1，y)的位置；x=-1时，y=a-b+c,同理可 判断该表达式符号。 3.判别式与交点关系：判别式△=b24aC的符号决定抛物线与x轴交点个数（△>0有两个，=0一个，<0无)， 4/8 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 间接反映系数间关系。 1.(2025九年级·全国.专题练习)如图，抛物线y=ax2+bx+c过点(-1,0)和点(3,0)，则下列说法正确的是 () A.bc<0 B.a+b+cx0 C.2a+b=0 D.3b+c=0 2 2.(25-26九年级上·山东临沂·期中)已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论：①abc<0; ②a+b+c>0;③a-b+c>0;④2a-b=0;⑤8a+c<0,其中正确的结论有()个. 1023龙 A.2 B.3 C.4 D.5 3.(25-26九年级上·河南安阳·阶段练习)抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=-1,与x轴的一 个交点在(-3,0)和(-2,0)之间，其部分图象如图，则下列结论：①b<0;②4ac-b2<0;③a-b+c<0;④ 3a+c<0;⑤ak2+bk≤a-b(k为任意实数)；⑥若(-3，y),(1,2)是抛物线上两点，则y,>y2·正确结论的 个数是() B.4 C.5 D.6 5/8 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 4.(25-26九年级上·甘肃武威期中)二次函数y=ax2+bx+ca≠0)的部分图象如图所示，对称轴为直线 x=2,则下列判断中，正确的个数是() X=2 ①abc>c;②关于x的方程axr2+bx+c+k=0(k>0)一定有两个不相等的实数根；③c<3a;④若点 M(b-2,),N(b-1,y)在该抛物线上.则y>y2() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 5.(25-26九年级上·吉林期中)二次函数y=ax2+bx+c(a<0)的图象如图所示，其对称轴是直线x=2,图 象上点A的坐标是(L,2),下面几个结论：①c>0;②4a+b=0;③方程ax2+bx+c=-1没有实数根；④ a-b+c<0,其中正确的结论有 (请写出所有正都结论的序号). y片 A 1234主 6.(25-26九年级上·湖北武汉·阶段练习)二次函数y=ax2+bx+ca≠0)的图象如图所示，对称轴是直线 x=1,下列结论：①abc<0;②方程ax2+bx+c=0(a≠0必有一个根大于2且小于3；③若0，y,), 3 是抛物线上的两点，那么乃<2：④11a+2c>0;⑤对于任意实数m,都有mam+b)≤a+b,其中 正确结论的序号是 6/8 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 题型四二次函数中含参数的综合问题 嫦方法 1.参数对图象与性质的影响：含参二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中，a、b、c的符号决定开口方向、对称轴 位置、顶点坐标及与坐标轴交点，需结合参数分析增减性、最值等。 2.分类讨论与转化思想：针对参数取值范围，讨论对称轴与给定区间的位置关系（同侧、异侧），确定区间 最值；将含参问题转化为方程（如交点问题）或不等式（如取值范围）求解。 3.综合应用与关联知识：常结合一次函数、几何图形（如三角形、四边形面积），利用函数交点坐标、韦达 定理及数形结合，解决存在性、最值等综合问题。 1.(24-25九年级上山东德州阶段练习)在平面直角坐标系x0y中，已知抛物线y=ax2-4ax+1a>0). (1)抛物线的对称轴为 (2)当3≤x≤5时求抛物线最大值（用含a的字母表示) (3)若当1≤x≤5时，y的最小值是-1，求当1≤x≤5时，y的最大值： 2.(2025贵州遵义·模拟预测)己知二次函数y=ax2-2ax+1 (①)求该抛物线的对称轴； (②)在平面直角坐标系xOy中，己知点M(m,1),若a<0且线段0M与该抛物线恰有一个交点，请直接写出 m的取值范围； ③当1≤x多时，y有最小值为，求a的凰 3.(25-26九年级上·福建福州·开学考试)在平面直角坐标系x0y中，已知抛物线y=mx(x-2m)(m≠0). (1)当m=1时，求抛物线的顶点坐标； (2)已知M(x,y)和N(x2,y2)是抛物线上的两点. ①若对于x=-2,x2=3,有y=y2,求m的值； ②若对于x=2m,1≤x2≤2，都有y<2,求m的取值范围. 4.(23-24九年级上，安微期中)已知抛物线y=-x2+4x+m-1. (I)若该抛物线与x轴有交点，求实数m的取值范围； (②)当m=6时，若该抛物线与x轴交于点A和点B(点A在点B的左侧). ①求A,B两点的坐标； ②若该抛物线的顶点为D,且与y轴的交点为C，,试判断△BCD是否是直角三角形，并说明理由. 5.(25-26九年级上江苏期中)己知二次函数y=x2-(2a+2)x+4a(a是常数). 7/8 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (1)当a=1时，求二次函数的对称轴 (2)若点A(b-2,p),B(b+2,p都在二次函数的图象上. ①证明：b=a+1. ②求p的最大值. 6.(25-26九年级上浙江杭州·开学考试)已知抛物线y=ax2+bx-a+b(a,b为常数，且a≠0). (1)当a=-1,b=2时，直接写出顶点坐标；当a=2,b=4时，直接写出顶点坐标 (2)抛物线的顶点坐标随a、b的取值而改变，若a<0,当抛物线的顶点在最低位置时： ①求a与b满足的关系式： ②抛物线上有两点(2，s),（m,t),当s<t时，求m的取值范围. 8/8 微专题02 二次函数图象和性质与系数问题四大题型 题型一 二次函数中含参数的图像和性质 1.参数对图象形状与位置的影响：二次项系数a决定开口方向（a>0向上，a<0向下）和宽窄（|a|越大越窄）；一次项系数b和a共同影响对称轴（x=-）；常数项c决定图象与y轴交点（0,c）。 2.参数与函数性质的关联：结合a、b、c可确定顶点坐标（-，），进而分析最值（a>0有最小值，a<0有最大值）及增减区间（以对称轴为界）。 3.含参问题的常见类型：含参二次函数与坐标轴交点问题（判别式Δ=b²-4ac的应用）、区间最值讨论（需考虑对称轴与区间位置关系）等。 1．（2025·四川成都·模拟预测）关于x的二次函数，下列说法错误的是（   ） A．函数图象的对称轴是直线 B．当时，y的值随x值的增大而增大 C．函数图象一定经过点 D．当时，函数图象与x轴一定有两个交点 【答案】B 【分析】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，由题意得，函数图象的对称轴是直线；若，则当时，y的值随x值的增大而增大，若，则当时，y的值随x值的增大而减小；由题意可知函数图象一定经过点，当时，根据，可知函数图象与x轴一定有两个交点，即可得出答案． 【详解】解：函数图象的对称轴是直线， 故A选项正确，不符合题意； 若，则当时，y的值随x值的增大而增大，若，则当时，y的值随x值的增大而减小， 故B选项不正确，符合题意； 将代入，得， ∴函数图象一定经过点， 故C选项正确，不符合题意； ∵， ∴当时，， ∴此时函数图象与x轴一定有两个交点， 故D选项正确，不符合题意． 故选：B． 2.在平面直角坐标系中，拋物线经过点，．则下列说法错误的是（    ） A．若，抛物线的对称轴为直线 B．若且，则的取值范围为或 C．若，则抛物线的开口向下 D．若，点在该拋物线上，且，则有 【答案】D 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质： 若，把点代入，求出a的值，可求出抛物线解析式，再把解析式化为顶点式，即可求解；求出抛物线与x轴的另一个交点为，再根据二次函数的图象，即可求解； 若，把点代入可得，再由，可得，，从而得到抛物线开口向下，抛物线的对称轴为直线，然后根据，可得，再根据，可得到对称轴的距离大于对称轴的距离，即可求解． 【详解】解：当时，点， 把点代入得：， 解得：， ∴该函数解析式为， ∵， ∴抛物线的对称轴为直线；选项A说法正确，不符合题意； 令，则， 解得：， ∴抛物线与x轴的另一个交点为， ∵， ∴抛物线开口向下， ∴当时，m的取值范围为或；选项B说法正确，不符合题意； 若， 把点代入得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴抛物线开口向下，选项C说法正确，不符合题意； 抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴到对称轴的距离大于对称轴的距离， ∴．选项D说法错误，符合题意； 故选：D． 3.已知二次函数，下列结论正确的是（    ） A．当时，函数图象的顶点坐标为 B．当时，的值随的增大而增大 C．当，时，的取值范围是 D．当时，的最大值为8，则或 【答案】D 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键．根据条件和二次函数的性质，逐项分析判断原说法的正误即可． 【详解】解：A、当时，，顶点坐标是，故原说法错误，不符合题意； B、当时，，当时，的值随的增大而增大，但前提条件没有说，故原说法错误，不符合题意； C、当时，，当时，，解得，故原说法错误，不符合题意； D、抛物线对称轴是直线． 若，则时，的最大值为8， ∴， ∴； 若，则时，的最大值为8， ∴， ∴． ∴当时，的最大值为8，则或，正确，符合题意； 故选：D． 4．（24-25九年级上·天津河北·期末）已知二次函数（a为非零常数，），当时，y随x的增大而增大，则下列结论正确的是（   ） ①当时，y随x的增大而减小； ②若图象经过点，则； ③若，是函数图象上的两点，则； ④若图象上两点，对一切正数n，总有，则. A．①② B．①③ C．①②③ D．①③④ 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：①：∵二次函数（a为非零常数，）， ∴，，， 又∵当时，y随x的增大而增大， ∴，开口向下， ∴当时，y随x的增大而减小， 故①正确； ②：∵二次函数（a为非零常数，），当时，y随x的增大而增大， ∴， 若图象经过点，则，得， ∵，， ∴ ， 故②错误； ③：又∵对称轴为直线，， ∴ ， ∴若，是函数图象上的两点，2025离对称轴近些，则， 故③正确； ④若图象上两点，对一切正数n，总有，， 则满足 ， 解得 ， 故④正确； ∴①③④正确；②错误． 故选：D． 题型二 一次函数、反比例函数、二次函数图象综合判断问题 1.各函数图象特征：一次函数y=kx+b（k≠0）是直线，k定倾斜方向（正增负减），b定与y轴交点；反比例函数y=k/x（k≠0）是双曲线，k正分布一三象限，负分布二四象限；二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）是抛物线，a定开口，对称轴和顶点影响位置。 2.参数关联性判断：同一坐标系中多函数共存时，需通过参数符号（如k、a正负）匹配图象位置，排除矛盾情况（如k正的一次函数与k负的反比例函数同存）。 3.交点与范围分析：利用函数交点坐标满足多解析式，结合图象高低判断函数值大小关系，辅助验证图象正确性。 1．（24-25九年级上·湖南岳阳·阶段练习）一次函数与反比例函数在同平面直角坐标系中的图象如图所示，则二次函数的图象在平面直角坐标系中的位置可能是（   ） A．B．C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了根据一次函数和反比例函数图象经过的象限求参数，二次函数图象与其系数的关系，根据一次函数与反比例函数图象经过的象限可得，，则可得到二次函数的图象开口向下，与y轴交于正半轴，且对称轴在y轴右侧，据此结合函数图象可得答案． 【详解】解：∵一次函数的图象经过第一、二、四象限， ∴， ∵反比例函数的图象分布在第一、三象限， ∴， ∴二次函数的图象开口向下，与y轴交于正半轴， ∵对称轴为直线， ∴二次函数的对称轴在y轴右侧， ∴四个选项中，只有C选项中的函数图象符合题意， 故选：C． 2．（24-25九年级下·山东潍坊·期末）已知二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一平面直角坐标系内的图象可能是（ ） A．B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数图象，一次函数图象，反比例函数图象，首先根据二次函数图象与y轴的交点可得，根据抛物线开口向下可得，由对称轴在y轴右边可得a、b异号，故，再根据反比例函数的性质与一次函数图象与系数的关系画出图象可得答案． 【详解】解：根据二次函数图象与y轴的交点可得，根据抛物线开口向下可得，由对称轴在y轴右边可得a、b异号，故， 则反比例函数的图象在第二、四象限， 一次函数经过第一、三、四象限， 故选：A． 3．（24-25九年级下·安徽安庆·阶段练习）在平面直角坐标系中，直线（，，是常数且，，）的位置如图，则抛物线和双曲线在同一坐标系中的图象可能为（     ）． A．B．C．D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数、二次函数和反比例函数的图象与系数的关系.先根据一次函数的图象判断a，b，c的范围，再判断反比例函数的图象，最后再利用抛物线的图象即可得到答案. 【详解】直线的函数图象经过二、三、四象限， ， ， ∴双曲线的图象经过第一、三象限，故A和C错误. ∵，所以抛物线的图象与y轴相交于其负半轴，B选项错误. 故选：D. 4．（24-25九年级下·广东梅州·开学考试）在同一平面直角坐标系中，函数和的大致图象如图所示，则函数的图象大致为（   ） A．B．C．D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的图象、一次函数的图象、二次函数的图象，根据反比例函数图象与系数的关系、一次函数图象与系数的关系、二次函数图象与系数的关系进行解答即可，熟练掌握相关函数图象与其系数的关系是关键． 【详解】解：一次函数图象经过第一、二、四象限， ，即， 反比例函数的图象在第二四象限， ， ，，， 函数图象开口向下，对称轴为直线，在轴左侧，与轴交点在负半轴，选项A符合． 故选：A． 4．（2025·山东青岛·模拟预测）已知一次函数的图象如图所示，则反比例函数和二次函数在同一坐标系中的图象可能是（     ） A．B．C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象性质，一次函数的图象性质，二次函数的图象性质．根据一次函数的性质得到，，得到抛物线开口向上，对称轴在轴右边，则排除选项B和C，再根据反比例函数与二次函数的图象性质判断即可； 【详解】解：对于一次函数，由图象知，， ∴，，对于二次函数， ∵，， ∴开口向上，对称轴在轴右边，则排除选项B和C； ∵选项A和D中，二次函数的图象与轴的交点都在原点下方， ∴， ∴， ∴反比例函数的图象经过一、三象限， ∴选项A符合题意， 故选：A． 题型三 二次函数图象与各项系数符号问题 1. 单个系数符号判断：a由抛物线开口方向决定（上正下负）；c是抛物线与y轴交点纵坐标（交y轴正半轴为正，负半轴为负）；b的符号需结合对称轴x=-与a的符号判断（对称轴在y轴左，a、b同号；右则异号）。 2. 特殊点与系数关系：当x=1时，y=a+b+c，其值正负对应抛物线在(1,y)的位置；x=-1时，y=a-b+c，同理可判断该表达式符号。 3. 判别式与交点关系：判别式Δ=b²-4ac的符号决定抛物线与x轴交点个数（Δ>0有两个，=0一个，<0无），间接反映系数间关系。 1．（2025九年级·全国·专题练习）如图，抛物线过点和点，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据图像进行推理，进而对所得结论进行判断. 【详解】解：由题意可得：开口向上， 对称轴为直线, 故选项C正确； 即 图像与y轴的交点为负半轴， 故选项A错误； 由图像可得，当时，图像在y轴的下方，所以故选项B错误； 当时，. 将代入上式可得：, 整理得：故选项D错误. 故选：C. 【点睛】主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，解决问题的关键是熟练掌握二次函数系数之间额关系.. 2．（25-26九年级上·山东临沂·期中）已知二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③；④；⑤，其中正确的结论有（   ）个． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数图象与系数之间的关系，根据函数图象，利用二次函数的图象与性质对每个选项依次进行判断即可． 【详解】解：抛物线开口向下， ， 对称轴，、异号，故，抛物线与轴交点在正半轴，故， ，故①正确； 当时，，故②正确； 抛物线的对称轴为，与轴的一个交点为3，则与轴的另一个交点为， 当时，，故③错误； ， ， ，故④错误； ，， ， ， ，故⑤正确． 故选：B． 3．（25-26九年级上·河南安阳·阶段练习）抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点在和之间，其部分图象如图，则下列结论：①；②；③；④；⑤（k为任意实数）；⑥若是抛物线上两点，则．正确结论的个数是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系、抛物线与轴的交点问题．根据题意和函数图象，利用二次函数的性质，可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：由图象可得，抛物线开口向下，与轴交于正半轴， ， ∵拋物线对称轴为， ∴，故①正确． 该函数图象与轴两个交点，则，即，故②正确． 由图象可知，当时，， ∴，故③错误． ∵抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点在和之间， ∴与轴的另一个交点在和之间， ∴当时，， ， ， ∴，故④正确． ∵当时，取得最大值， ∴，即（为任意实数），故⑤正确． ， ∴点关于抛物线对称轴对称， ∴，故⑥错误． 综上所述，正确的是①②④⑤，共4个． 故选：B． 4．（25-26九年级上·甘肃武威·期中）二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线，则下列判断中，正确的个数是（    ） ①；②关于的方程一定有两个不相等的实数根；③；④若点，在该抛物线上．则（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的性质及图象与系数的关系，能够从图象中准确的获取信息是解题的关键． 根据二次函数图象来判断各项系数的正负，对称轴，函数与轴的交点，再根据对称性得出另一个交点，得到，的关系，再根据对称轴左侧函数值随自变量的增大而减小作出判断． 【详解】解：由图可知，，对称轴为， ； 图象与轴的交点在轴上方， ； 图象与轴的一个交点为，对称轴为， 故图象与轴的另一个交点为； 将，代入函数解析式得，， 解得， 故函数解析式为； ①、若，由于，两边约掉，不等号方向不变，得，而题中，，，故不符合题意； ②、方程根的个数，可以看作函数与函数的交点个数，当时，，两函数不一定有两个交点，故不符合题意； ③、将代入，得，即，故不符合题意； ④、，， 在对称轴左侧时，随的增大而减小， 故对应的函数值大于对应的函数值，即，故符合题意； 综上所述，正确的有1个． 故选：A． 5．（25-26九年级上·吉林·期中）二次函数的图象如图所示，其对称轴是直线，图象上点的坐标是，下面几个结论：①；②；③方程没有实数根；④．其中正确的结论有 （请写出所有正都结论的序号）． 【答案】②④/④② 【分析】①常数项决定二次函数与轴交点的位置，结合二次函数与轴的交点和对称性即可确定二次函数与轴交点的位置，从而判断的正负； ②二次函数的对称轴公式为，将代入对称轴公式即可判断； ③方程是否有实数根，观察直线与二次函数是否有交点即可； ④将代入函数解析式，判断函数值的正负即可； 【详解】解：①函数的对称轴是直线，由图象知抛物线与轴的其中一个交点在和之间，根据二次函数的对称性，另一个交点应在和之间，则抛物线与轴的交点在轴的下方，则，故①错误； ②∵函数的对称轴是直线， ∴， ∴，故②正确； ③由图象得直线与二次函数有2个交点，则方程有2个实数根，故③错误； ④由①知，， ∴当时，， 则当时，，故④正确． 故答案为：②④． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，根据二次函数确定一元二次方程根的情况，熟练掌握二次函数的图象与系数的关系，运用数形结合的思想是解题的关键． 6．（25-26九年级上·湖北武汉·阶段练习）二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，下列结论：①；②方程必有一个根大于2且小于3；③若，是抛物线上的两点，那么；④；⑤对于任意实数，都有，其中正确结论的序号是 ． 【答案】②④/④② 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．①根据图象及对称轴即可判断a、b、c的符号；②设抛物线与轴负半轴的交点横坐标为，与轴另一交点横坐标为，由图得，易得，③由对称轴性质得，当二次函数图象开口向上时，距离对称轴越远的点对应的函数值较大，即可判断；④由对称轴是直线，可求，由图得：当时，，同时结合即可判断；⑤当时，的值最小，可得，据此即可判断． 【详解】①二次函数的图象开口向上， ， 二次函数的图象交y轴的负半轴于一点， ， 对称轴为直线， ， ， ，故①错误； ②设抛物线与轴负半轴的交点横坐标为，与轴另一交点横坐标为， 对称轴是直线， ， 由图象得：， ， ，即， ，故②正确； ③对称轴是直线， ， ， ，故③错误； ④对称轴为直线， ， ， 当时，， ， ， ， ∴， ，故④正确； ⑤当时，的值最小， ， 对于任意实数，都有，故⑤错误； 综上所述，即②④都正确， 故答案为：②④． 题型四 二次函数中含参数的综合问题 1.参数对图象与性质的影响：含参二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）中，a、b、c的符号决定开口方向、对称轴位置、顶点坐标及与坐标轴交点，需结合参数分析增减性、最值等。 2.分类讨论与转化思想：针对参数取值范围，讨论对称轴与给定区间的位置关系（同侧、异侧），确定区间最值；将含参问题转化为方程（如交点问题）或不等式（如取值范围）求解。 3.综合应用与关联知识：常结合一次函数、几何图形（如三角形、四边形面积），利用函数交点坐标、韦达定理及数形结合，解决存在性、最值等综合问题。 1．（24-25九年级上·山东德州·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)抛物线的对称轴为______； (2)当时求抛物线最大值（用含a的字母表示） (3)若当时，的最小值是，求当时，的最大值； 【答案】(1)直线 (2) (3)11 【分析】本题主要考查了二次函数的图像和性质． （1）根据对称轴直线代入求解即可． （2）根据二次函数解析式可得出抛物线开口向上，对称轴为直线，当时，y随着x的增大而增大．进而可得出当时y的值为最大值，代入求解即可． （3）根据二次函数的图像和性质可得出当时，，进而求出a的值，再得出当时，取的最大值，代入计算即可． 【详解】（1）解：抛物线的对称轴为直线． （2）解：∵， ∴抛物线开口向上， 又对称轴为直线， ∴当时，y随着x的增大而增大． ∴当时抛物线的最大值即当时，y的值， 此时 （3）解：∵抛物线开口向上，对称轴为直线， 又当时，的最小值是， ∴当时，， 即， 解得：， ∴抛物线解析式为：， ∵当比当离对称轴直线近， ∴当时，取的最大值， 此时． 2．（2025·贵州遵义·模拟预测）已知二次函数 (1)求该抛物线的对称轴； (2)在平面直角坐标系中，已知点，若且线段与该抛物线恰有一个交点，请直接写出的取值范围； (3)当时，y有最小值为，求的值． 【答案】(1)直线 (2)或 (3)或 【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键； （1）化为顶点式，即可求解； （2）令，求得或，根据当时，抛物线开口向下，线段与该抛物线恰有一个交点，即可求解； （3）分，，根据时，y有最小值为，得出的值，即可求解． 【详解】（1）解： ∴抛物线的对称轴为直线 （2）解：∵当时， ∴ 又∵ ∴或， 当时，抛物线开口向下， ∵点，线段与该抛物线恰有一个交点， ∴或 （3）抛物线的对称轴为直线 ∵， ∴当时，当时取得最小值， 代入得， 解得： 当时，抛物线开口向上，顶点坐标为 ∴， 解得：． 综上所述，或． 3．（25-26九年级上·福建福州·开学考试）在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)当时，求抛物线的顶点坐标； (2)已知和是抛物线上的两点． ①若对于，，有，求m的值； ②若对于，，都有，求m的取值范围． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的性质是解答的关键． （1）将代入求得抛物线的函数表达式，将函数表达式化为顶点式即可求解； （2）①根据抛物线的对称性求解即可； ②分和两种情况，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：当时，则抛物线， ∴当时，抛物线的顶点坐标为； （2）解：①由抛物线得对称轴为直线， ∵和是抛物线上的两点，且对于，有， ∴点关于直线对称， ． ②当时，，则， ∴当时，抛物线的开口向上，且， ∵点关于直线的对称点为， 又时，随的增大而增大，时，随的增大而减小， ∴当时，都有，则， 解得：， ． 当时，抛物线的开口向下，且， ∵点关于直线的对称点为， 又时，随的增大而减小， ∴当时，都有，不符合题意， 综上，满足条件的的取值范围为． 4．（23-24九年级上·安徽·期中）已知抛物线． (1)若该抛物线与轴有交点，求实数的取值范围； (2)当时，若该抛物线与轴交于点和点（点在点的左侧）． ①求，两点的坐标； ②若该抛物线的顶点为，且与轴的交点为，试判断是否是直角三角形，并说明理由． 【答案】(1) (2)①点的坐标为，点的坐标为；②不是直角三角形，见解析 【分析】本题考查了二次函数图像与x轴的交点问题，一元二次方程，勾股定理的逆定理，直角三角形的判定，掌握二次函数图像的性质是解题的关键． （1）先得到关于的一元二次方程有实数根，得到，求解即可． （2）当时，， ①令，得，求出，，即可解答；    ②先求出点的坐标为，抛物线的顶点的坐标为，再分别求出，根据勾股定理的逆定理进行判断即可． 【详解】（1）解：∵该抛物线与轴有交点， ∴关于的一元二次方程有实数根， ∴， 解得． （2）当时，， ①令，得，解得，， ∵点在点的左侧， ∴点的坐标为，点的坐标为；           ②不是直角三角形．理由如下： 当时，， ∴点的坐标为， 又， ∴抛物线的顶点的坐标为． ∵，， ， ∴， ∴不是直角三角形． 5．（25-26九年级上·江苏·期中）已知二次函数（a是常数）． (1)当时，求二次函数的对称轴． (2)若点都在二次函数的图象上． ①证明：． ②求的最大值． 【答案】(1)直线 (2)①证明见解析；②的最大值为4 【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． （1）依据题意，当时，二次函数为，从而可以判断得解； （2）①依据题意，由点都在二次函数的图象上，则对称轴是直线，则，进而可以计算得解； 依据题意可得，，进而根据二次函数的性质即可判断得解． 【详解】（1）解：由题意，当时，二次函数为， 对称轴是直线； （2）证明：由题意，点都在二次函数的图象上， 对称轴是直线． ． ． 由题意可得， ． 当时，的最大值为4． 6．（25-26九年级上·浙江杭州·开学考试）已知抛物线（a，b为常数，且）． (1)当，时，直接写出顶点坐标_______；当，时，直接写出顶点坐标_______． (2)抛物线的顶点坐标随a、b的取值而改变，若，当抛物线的顶点在最低位置时： ①求a与b满足的关系式； ②抛物线上有两点，，当时，求m的取值范围． 【答案】(1)； (2)①；② 【分析】本题考查了二次函数的顶点坐标，利用配方法将二次函数解析式化为顶点式，二次函数的图象与性质等，利用配方法将二次函数解析式化为顶点式是解题的关键． （1）代入a与b的值，利用配方法将二次函数解析式化为顶点式，即可求顶点坐标； （2）①利用配方法将二次函数解析式化为顶点式，进而可得顶点纵坐标为，再结合题中条件推出a与b满足的关系式； ②结合函数图象即可求m的取值范围． 【详解】（1）当，时，抛物线解析式为，顶点坐标为； 当，时，抛物线解析式为，顶点坐标为． （2）①，顶点纵坐标为， 若，则， 当抛物线的顶点在最低位置时，取最小值， ，， a与b满足的关系式为； ②由（1）知，，抛物线的解析式为，对称轴为，作图如下： 由对称性可知，和对应的函数值相同，都等于． 当时，必有． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $