26.2.1二次函数 y=ax²的图象与性质精讲及专项训练　2023—2024学年华东师大版数学九年级下册

26. 2 二次函数的图象与性质 26.2.1二次函数 y=ax2的图象与性质 要点一 二次函数 y=ax2(a≠0)的图象的画法 1.二次函数的图象形如物体抛射时所经过的路线，我们把它叫做抛物线，画二次函数（a≠0）的图象，一般用描点法，分列表、描点、连线三步. 2.抛物线（a≠0）关于y轴对称，y轴就是抛物线的对称轴. 例 1. 画出二次函数 y=-x2的图象. 解析:画二次函数 y=-x2的图象,按步骤:列表、描点、连线进行即可. 描点：如图27-2-1-1，以表中各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系中描出相应的点； 图27-2-1-1 图27-2-1-2 连线：如图27-2-1-2，用光滑的曲线顺次连结各点即可得函数y=-x2的图象. 方法指导:x 还可以取比 3 大或比-3 小的数,图象还可以向两端无限延伸,当点画得越多时,图象画得越精确. 要点二 二次函数 y=ax2(a≠0)的性质 一般地,二次函数y＝ax２(a≠０)的图象是顶点在原点,对称轴与y轴重合的抛物线． 当a＞０时,抛物线开口向上,顶点位于抛物线的最低点处,抛物线在x轴的上方(除顶点外);当x＜０时,函数值y随着自变量x的增大而减小;当x＞０时,函数值y随着自变量x的增大而增大. 当a＜０时,抛物线开口向下,顶点位于抛物线的最高点处,抛物线在x轴的下方(除顶点外);当x＜０时,函数值y随着自变量x的增大而增大;当x＞０时,函数值y随着自变量x的增大而减小. 例 2. 已知 y=是关于 x 的二次函数,且当 x>0时,y 随 x 的增大而减小,则 k 的值为___________. 解析：.由题意得： 答案：-3. 规律总结：(1)根据抛物线的开口方向可以确定 y=ax2(a≠0)中 a 的正负,即:开口向上,a>0;开口向下,a<0； (2)判断二次函数 y=ax2(a≠0)的增减性时,要以对称轴为分界线,左、右两边分别讨论. 知识点1 二次函数y=ax2（a≠0)的图象的画法 1.苹果熟了，从树上落下所经过的路程s与下落时间t满足S=gt2（g=9.8），则s与t的函数图象大致是 （　　） A B C D 2.如图27-2-1-3所示，在同一坐标系中，作出①y=3x2②y=x2③y=x2的图象，则图象从里到外的三条抛物线对应的函数依次是_______．（填序号） 图27-2-1-3 3.画出二次函数 y=2x2的图象. 知识点2 二次函数 y=ax2(a≠0)的性质 4.（毕节地区最新中考）抛物线y=2x2，y=-2x2，y＝x2共有的性质是 （　　） A． 开口向下 B．对称轴是y轴 C．都有最高点 D．y随x的增大而增大 5. 若抛物线的开口向上，则m的值为 （　　） 6.如图27-2-1-5,观察二次函数y=x2的图象，并填空．图象与x轴的交点也是它的___顶点 ，这个点的坐标是_______． 图27-2-1-5 7.已知点P（5，25）在抛物线y=ax2上，则当x=1时，y的值为___________. 8.（丽水最新中考）若二次函数y=ax2的图象经过点P（-2，4），则该图象必经过点（　　） A． （2，4） B．（-2，-4） C．（-4，2） D．（4，-2） 9.函数 y=x2与 y=-x2的图象 ( ) A. 关于 x 轴对称 B. 关于 y 轴对称 C. 关于直线 x=1 对称 D. 关于直线 y=1 对称 10. 上，则 （ ） 11.已知二次函数,在其图象对称轴的左侧,y随 x 的增大而增大,则 m 满足( ) 12.如图27-2-1-6，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=8，P是AB上一动点，直线PQ⊥AC于点Q，设AQ=x，则图中△APQ的面积y与x之间的函数关系式的图象是 （　　） 图27-2-1-6 A B C D 13.（长沙最新中考）函数y=与y=ax2（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A B C D 14.关于 y 轴对称的抛物线经过第二象限内一点,且 x<0 时,y 随 x 的增大而减小;x>0 时,y 随 x 的增大而增大. 请写出一个符合条件的关系式:________． 15.如图27-2-1-7，边长为2的正方形ABCD的中心在直角坐标系的原点O，AD∥x轴，以O为顶点且过A、D两点的抛物线与以O为顶点且过B、C两点的抛物线将正方形分割成几部分．则图中阴影部分的面积是__________. 图27-2-1-7 16.已知二次函数 y甲=mx2和 y乙=nx2,若对任意给定的一个 x 值都有 y甲≥y乙,则关于 m、n 的关系下列正确的是________ (填序号). ①m<n<0;②m>0,n<0;③m<0,n>0;④m>n>0. 17.已知函数是二次函数. (1)求 m 的值; (2)画出该函数的图象. 18.已知抛物线 y=ax2经过点 A(-2,-8). (1)求此抛物线的函数解析式; (2)写出这个二次函数图象的顶点坐标、对称轴、开口方向和图象的位置; (3)判断点 B(-1,-4)是否在此抛物线上; (4)求出此抛物线上纵坐标为-6 的点的坐标. 19.先阅读后解答:已知点 A(-1,m),B(-2,n)在二次函数 y = -x2的图象上,比较 m 和 n 的大小. 解:由于当 x<0 时,y= -x2的函数值 y 随 x 的增大而增大,而-1>-2,故 m>n. 利用以上的解答信息解答下面的问题: 已知点 A(a2+1,m)与点 B(-1,n)在二次函数 y=x2的图象上,试比较 m 和 n 的大小. 20. 已知点 A(1,a)在抛物线 y=x2上. (1)求 A 点的坐标; (2)在 x 轴上是否存在点 P,使得△OAP 是等腰三角形?若存在,求出点 P 的坐标;若不存在,请说明理由. 21.如图27-2-1-8，直线l过点A（4，0）和B（0，4）两点，它与二次函数y=ax2的图象在第一象限内交于点P，若S△AOP=，求二次函数关系式. 图27-2-1-8 26. 2 二次函数的图象与性质 26.2.1二次函数 y=ax2的图象与性质 1.B 点拨：∵s=gt2是二次函数的表达式，∴二次函数的图象是一条抛物线．又∵g＞0，∴应该开口向上，∵自变量t为非负数，∴s为非负数．图象是抛物线在第一象限的部分． 2. ①③② 点拨：对于抛物线y=ax2中a的绝对值越大，抛物线的开口越小,因此答案为①③②． 3.解:列表: 在直角坐标系中描点,然后用光滑的曲线顺次连结各点,得到函数 y=2x2的图象,如图D27-2-1-1所示. 图D27-2-1-1 4.B 点拨：y=2x2开口向上，对称轴为y轴，有最低点，顶点为原点；y=-2x2开口向下，对称轴为y轴，有最高点，顶点为原点；y=x2开口向上，对称轴为y轴，有最低点，顶点为原点，因此三个函数共有的性质是对称轴是y轴． 5.A 点拨：m2-3=2， 6. 顶点 （0，0） 7.1 点拨：∵点P（5，25）在抛物线y=ax2上∴25a=25，解得a=1∴此二次函数的解析式为y=x2∴当x=1时，y=1． 8.A点拨：∵二次函数y=ax2的对称轴为y轴，∴若图象经过点P（-2，4），则该图象必经过点（2，4）． 9. A 10.C 11.D点拨:由题意可知二次函数的图象开口向下,故 m<0. 又因为此函数为二次函数,所以 x 的次数为 2 次, 12.A 点拨：根据题意，直线PQ⊥AC，则PQ∥BC，又由AC=4，BC=8，则PQ=2x， 结合二次函数的图象，可得其图象为A． 13.D 点拨：a＞0时，y=的函数图象位于第一三象限，y=ax2的函数图象位于第一二象限且经过原点，a＜0时，y=的函数图象位于第二四象限，y=ax2的函数图象位于第三四象限且经过原点，纵观各选项，只有D选项图形符合． 14.y = 3x2(答案不唯一) 点拨：如y = 2x2 ，只要满足a＞0即可． 15.2点拨：根据图示及抛物线、正方形的性质， 16.②④ 点拨:若 m>0,n<0,则有 y甲≥0,y乙≤0,此时 y甲≥y乙;若m<n<0,则有 y甲≤y乙;若 m<0,n>0,则有 y甲≤y乙;若 m>n>0,则有 y甲≥y乙. 17. 画图如图D27-2-1-2所示， 图D27-2-1-2 18.解:(1)把点 A(-2,-8)代入函数解析式 y=ax2,得-8=a(-2)2,∴ a=-2.故此抛物线的函数解析式为 y=-2x2. (2)顶点坐标为(0,0),对称轴为 y 轴(或 x=0). ∵a<0, ∴这个二次函数图象的开口向下,顶点是图象上的最高点,图象在 x 轴下方. 19. 20.解：（1）∵点A（1，a）在抛物线y=x2上，∴代入得：a=12=1；∴A点的坐标为（1，1）； （2）假设存在点P，根据△OAP是等腰三角形，①如图D27-2-1-3，OA=AP时，此时OP=1+1=2，即P的坐标是（2，0）； ②如图D27-2-1-4，此时AP=0P=1，P的坐标是（1，0）； ③如图D27-2-1-5，OA=OP，此时符合条件的有两点P3，P4，OA=OP3=OP4=， 则P的坐标是（，0）或（-，0）； 故P点坐标为：（，0）；（-，0）；（2，0）；（1，0） 图D27-2-1-3 图D27-2-1-4 图D27-2-1-5 21.解：设直线为：y=kx+b，∵直线l过点A（4，0）和B（0，4）两点，∴4k+b=0，b=4∴y=-x+4， 学科网（北京）股份有限公司 $$