微专题03 二次函数的应用问题六大题型（专项训练）数学华东师大版九年级下册

null 微专题03 二次函数的应用问题六大题型 题型一 二次函数的应用之增长率、销售问题 一、解题方法总结（2点） 1. 增长率问题：核心模型为y=a(1± x)n（a为初始量，x为平均增长率/降低率，n为次数），根据“初始量×(1±变化率)ⁿ=最终量”列方程，求解后舍去负根。 2. 销售问题：依据“总利润=(售价-成本)×销量”，设涨价/降价为x，转化为二次函数y=ax²+bx+c，通过配方法或顶点公式求利润最值。 二、解题技巧总结（2点） 1. 简化变量设定：增长率直接设“x”，销售问题设“涨/降金额x”，无初始量时将基数看作1，减少复杂计算。 2. 结合实际验根：变量需符合实际（增长率为正、销量非负），顶点横坐标超出取值范围时，取端点值为最优解。 1．（25-26九年级上·甘肃庆阳·期中）文旅发展促进经济增长的同时，也带动了电器销售．一电器商场销售某品牌空调，该空调每台进价为2500元，已知该商场6月份售出75台空调，8月份售出108台空调． (1)求该商场7，8两个月售出空调数的月平均增长率； (2)调查发现，当该空调售价为3000元时，平均每天能售出8台；售价每降低50元，平均每天能多售出4台，该商场如何定价能使每天的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)空调定价为2800元时，每天的利润最大，为7200元 【分析】（1）设月平均增长率为x，列出方程即可求解． （2）列出利润关于降价金额的二次函数，利用顶点式即可求解． 【详解】（1）解：设月平均增长率为x， 依题意，得：， 解得：，（舍）， 商场7、8两个月售出空调的月平均增长率为． （2）设该商场每台空调降价m元，则每天可多售台，每天的利润为w元， ， 当时，， ∴空调定价为2800元时，每天的利润最大，为7200元． 【点睛】本题考查了一元二次方程与二次函数的应用，解题关键是理解题意，正确列出方程和函数关系式，会利用顶点式求出函数的最大值． 2．（25-26九年级上·天津河北·阶段练习）近年来越来越多的商家向互联网转型发展，“直播带货”已经成为商家销售产品的重要途径，为了在店庆期间扩大销量，某商家在直播间销售一种高档水果，将售价从原来的每千克元经两次降价后，调至每千克元． (1)若该商家两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率； (2)现在店庆结束了，商家准备适当涨价，如果现在每千克盈利元，每天可售出千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克每涨价元，日销量将减少千克，则商品涨价多少元时，商家每天销售该商品获得的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1) (2)商品涨价元时，商家每天销售该商品获得的利润最大，最大利润是元 【分析】本题考查一元二次方程的应用、二次函数的应用，运用方程思想和二次函数性质是解题的关键． （1）通过设降价百分率列一元二次方程求解； （2）设商品涨价元，根据题意列出与的函数关系式，再利用二次函数的性质即可解答． 【详解】（1）解：设每次降价的百分率为． 根据题意得，， 解得，（不符合题意，舍去）， 答：每次降价的百分率为； （2）设商品涨价元，则每千克盈利元，日销量为千克． 根据题意得，， 因为， 所以当时，有最大值， 答：商品涨价元时，商家每天销售该商品获得的利润最大，最大利润是元． 3．（25-26九年级上·黑龙江佳木斯·期中）某超市销售一种商品，每件成本为30元，经调查发现：销售单价为40元时，每月可售出200件；销售单价每上涨1元，每月少售出10件．设销售单价为元（），每月销售量为件． (1)求与的函数关系式； (2)求每月利润与的函数关系式； (3)当销售单价定为多少元时，每月利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2) (3)当售价定为45元时，月销售利润最大，最大利润是2250元． 【分析】本题考查了二次函数的应用，理解题意，正确得出二次函数的解析式是解此题的关键． （1）根据售价每上涨1元，月销量减少10件，原来月销量为200件，设销售单价为元，即可得月销量（件）； （2）设售价上涨元，则单件利润为，销量为，再根据月利润每件商品的利润每月销售量即可得解； （3）根据二次函数的性质即可得解． 【详解】（1）解：已知售价每上涨1元，月销量减少10件，原来月销量为200件，销售单价为元， 所以月销量（件） （2）解：由题意得； （3）解：∵，， ∴当时，有最大值为， 故当售价定为45元时，月销售利润最大，最大利润是2250元． 4．（25-26九年级上·四川眉山·阶段练习）某水果商场经销一种高档水果，原价每千克50元，连续两次降价后每千克32元，若每次下降的百分率相同． (1)求每次下降的百分率； (2)若每千克盈利15元，每天可售出1000千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价1元，日销售量将减少40千克． ①现该商场要保证每天盈利15000元，每千克应涨价多少元； ②设每天的总利润为W元，当每千克应涨价多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)每次下降的百分率为； (2)①该商场要保证每天盈利15000元，每千克应涨价0元或10元；②当每千克应涨价5元时，每天的利润最大，最大利润是16000元 【分析】本题考查一元二次方程的应用、二次函数的应用，解答本题的关键是找到等量关系，列出相应的方程和写出相应的函数解析式，利用二次函数的性质求最值． （1）设每次下降百分率为，得，求解即可． （2）①根据销售盈利=销售量×每千克盈利，列出方程求解即可． ②根据题意，可以写出利润和涨价的函数关系式，然后利用二次函数的性质，即可求得当每千克应涨价多少元时，每天的利润最大，最大利润是多少元． 【详解】（1）解：设每次下降的百分率为x， 由题意可得：， 解得，舍去， 答：每次下降的百分率为； （2）①设每千克应涨价a元， 由题意可得：， 解得，， 答：该商场要保证每天盈利15000元，每千克应涨价0元或10元； ②设每千克应涨价m元， 由题意可得，， 当时，W取得最大值，此时， 答：当每千克应涨价5元时，每天的利润最大，最大利润为16000元． 5．（25-26九年级上·黑龙江牡丹江·期中）喜迎元旦，某中学开展“摊”玩计划，万事大“集”校园创意市集活动，小华负责的摊位主题是：“探趣科学·科技改变未来”．活动开展前，小华到科技园区了解到一款独特的AI交互功能智能摆件，根据以下素材，完成探索任务： 背景素材 素材1 每个智能摆件的成本为60元，当售价为100元时，平均每天可以售出20件． 素材2 当售价每降低1元时，平均每天就能多售出2件． 问题解决 任务1 当降价8元时，填空：平均每天售出智能摆件______件，每天的利润是______元； 任务2 当每天获得的利润达到1050元并且优惠力度最大时，求智能摆件的销售单价； 任务3 若智能摆件的销售单价为偶数，在保证盈利的前提下，当优惠力度最大时，求此时每天获得的利润． 【答案】任务1：36，1152；任务2：75元；任务3：1248元 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，找准数量关系，正确列出一元二次方程是解此题的关键． 任务1根据降价8元计算销售量和利润； 任务2通过建立一元二次方程求解利润为1050元时的降价额，并选择降价额最大的解； 任务3在销售单价为偶数的条件下，选择优惠力度最大（即销售单价最低）时的利润． 【详解】解：任务1：降价8元，售价为元．销售量增加件， 故销售量为件． 每件利润为元， 总利润为元． 任务2：设降价x元，则售价为元，销售量为件，每件利润为元．则 ． 解得或． 而优惠力度最大即降价最多，则， 所以，售价为元． 任务3：设降价x元，每天的利润为y元，则 ∵， ∴二次函数图象开口向下，在对称轴处取得最大值, 又因为销售单价为偶数，销售单价为，所以为偶数，则x为偶数， 要优惠力度最大，即x尽可能大,且x为偶数，所以取， 当时，元， 即当优惠力度最大时，每天获得的利润为1248元 题型二 二次函数的应用之拱桥问题 一、解题方法总结（2点） 1. 建立坐标系：以拱桥顶点为原点（或桥面中点为原点），竖直方向为y轴、水平方向为x轴，将已知点坐标代入二次函数y=ax²+bx+c（或顶点式y=ax²），求出函数解析式。 2. 求解实际问题：根据所求问题（如求高度、跨度），代入对应x值求y值，或代入y值求x值，结合坐标系含义转化为实际答案。 二、解题技巧总结（2点） 1. 巧选原点简化计算：优先选顶点为原点，使解析式为y=ax²，减少未知数，降低运算难度。 2. 精准转化坐标：将实际长度（如跨度、拱高）准确转化为坐标值，注意单位统一，避免因坐标错误导致结果偏差。 1．（25-26九年级上·黑龙江佳木斯·期中）如图，一座古桥的桥拱截面为抛物线，，是桥墩，桥的跨径为，水位在处时，桥拱最高点P离水面，水面以上的桥墩，都为．以所在直线为x轴、所在直线为y轴建立平面直角坐标系． (1)求此桥拱截面所在抛物线的表达式； (2)当水位上涨时，一艘宽的游船能否从桥洞下通过？请说明理由． 【答案】(1)； (2)能，理由见解析 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，正确理解题意求出抛物线解析式是解题的关键． （1）先求出点A，点B，点P的坐标，再设出抛物线解析式代入求解即可得到答案； （2）将水位上涨时的y代入解析式求出当时x的值，然后计算出两个对应的x的值之间的差值即可得到答案； 【详解】（1）解：设抛物线表达式为， 由题意得，，， 代入得， 解得， ∴表达式为； （2）解：水位上涨后， 得， 解得，， 则水面宽为， ∴故游船能通过． 2．（25-26九年级上·陕西商洛·期中）如图是某个拱型彩灯门的横截面示意图，其由抛物线和垂直于地面的两条相等的线段，构成，以地面所在直线为轴，过抛物线的最高点M 且垂直于的直线为y轴，建立平面直角坐标系．已知，，，O为的中点． (1)求该抛物线的函数解析式； (2)为支撑拱型彩灯门的结构，在抛物线上的点E，F处，制作三条撑杆，，，且，，均垂直于地面，求这三条撑杆长度和的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是正确求出二次函数解析式． （1）由题意可知，顶点，设抛物线的函数解析式为，将代入求解即可； （2）设，则，，然后表示出这三条撑杆的长度和，然后根据二次函数得性质求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知，顶点， ∵O为的中点，，， ∴点， 设抛物线的函数解析式为， 将代入，得，解得， 故该抛物线的函数解析式为； （2）解：设，则， 则这三条撑杆的长度和， ∴当时，所需撑杆长度和的最大值为． 3．（25-26九年级上·北京延庆·期中）小明遇到这样一个问题： 如图，一个单向隧道的断面，隧道顶是一条抛物线的一部分．经测量，隧道顶的跨度，最高处到地面的垂直距离，两侧的墙高，．今有宽为的卡车在隧道的正中间行驶，如果卡车载物后的最高点E到隧道顶面对应的点D的距离应不小于，那么卡车载物后的限高应是多少？（精确到）    小明为了解决这个问题，以的中点O为原点，长为一个单位长度，建立平面直角坐标系． 请帮助小明解决以下问题：    (1)点M的坐标是 ； (2)求隧道顶的抛物线表达式； (3)求卡车载物后的限高应是多少？（精确到） 【答案】(1) (2)隧道顶的抛物线表达式为 (3)卡车载物后的限高约为米 【分析】本题主要考查了二次函数图象和性质，待定系数法求函数表达式，求函数值，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质． （1）根据建立的坐标系以及线段的长度求出点的坐标即可； （2）利用待定系数法求解即可； （3）利用自变量的值求出函数值即可． 【详解】（1）解：根据所建坐标系， ∵，， ∴点M的坐标是， 故答案为：； （2）解：∵， ∴设抛物线的表达式为． ∵它经过点， ∴． ∴． ∴隧道顶的抛物线表达式为； （3）解：当时，， ∴． 根据实际情况，当大于时，点E到隧道顶面对应的点D的距离小于， ∴精确到，取值为， ∴卡车载物后的限高约为米． 4．（25-26九年级上·河南商丘·阶段练习）某市一处十字路口立交桥的横断面如图所示，桥拱的部分为一段抛物线，顶点的高度为米，它两侧和是高为米的支柱，和为两个方向的机动车通行区，宽都为米，线段和为两段对称的上桥斜坡，且．以所在直线为轴，横断面的对称轴为轴建立平面直角坐标系． (1)求桥拱所在抛物线的解析式及的长； (2)和为支撑斜坡的立柱，其高都为米，相应的和为两个方向的行人及非机动车通行区，若，求的宽度； (3)按规定，汽车通过该桥下时，载货最高处和桥拱之间的距离不得小于米．今有一大型运货汽车，装载某大型设备后，其宽为米，车载大型设备的顶部与地面的距离均为米．它能否从桥下区域安全通过？请说明理由． 【答案】(1)桥拱所在抛物线的解析式为，的宽为米； (2)的宽为米； (3)该大型运货汽车可以从桥下区域安全通过，理由见解析． 【分析】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求解析式，掌握知识点的应用是解题的关键． （）设桥拱所在抛物线的解析式为，由题意得，，然后代入即可求解； （）根据题意求出米，然后通过线段和差即可求解； （）在抛物线中当时，，然后与比较即可． 【详解】（1）解：设桥拱所在抛物线的解析式为， 由题意得，，， ∴，解得， ∴桥拱所在抛物线的解析式为， ∵，， ∴（米）， ∴（米）， 答：的长为米； （2）解：∵，米， ∴（米）， ∴（米）， 答：的宽为米； （3）解：该大型运货汽车可以从桥下区域安全通过，理由， 当时，， ∵， ∴该大型运货汽车可以从桥下区域安全通过． 5．（2025九年级上·全国·专题练习）某校想将新建图书楼的正门设计为一个抛物线型门，并要求所设计的拱门的跨度与拱高之积为，还要兼顾美观、大方，和谐、通畅等因素，设计部门按要求设计出了两个设计方案，现把这两个方案中的拱门图形放入平面直角坐标系中，如图所示： 方案一，抛物线型拱门的跨度，拱高其中，点在轴上，． 方案二，抛物线型拱门的跨度，拱高其中，点在轴上，． 要在拱门中设置高为的矩形框架，其面积越大越好（框架的粗细忽略不计），方案一中，矩形框架的面积记为，点、在抛物线上，边在上；方案二中，矩形框架的面积记为，点在抛物线上，边在上，现知，小华已正确求出方案二中，当时，，请你根据以上提供的相关信息，解答下列问题： (1)求方案一中抛物线的函数表达式； (2)在方案一中，当时，求矩形框架的面积并比较的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，拱桥问题(实际问题与二次函数)，解题的关键是读懂题意，求出函数关系式． （1）由题意知抛物线的顶点，设顶点式用待定系数法可得方案一中抛物线的函数表达式； （2）令可得或，故，；再比较、的大小即可． 【详解】（1）解：由题意知，，， 方案一中抛物线的顶点， 设抛物线的函数表达式为， 把代入，得，， 解得：， ， 方案一中抛物线的函数表达式为； （2）在中， 令得：； 解得或， ， ， ， ． 题型三 二次函数的应用之投球问题 一、解题方法总结（2点） 1. 建立函数模型：以抛出点或地面为原点，水平为x轴、竖直为y轴，设二次函数为y=ax²+bx+c（或顶点式），代入已知点（如抛出点、最高点、落地点）坐标，求出解析式。 2. 解决核心问题：求最大高度用顶点纵坐标，求飞行时间/水平距离代入y=0解方程，求特定高度对应的水平位置代入y值求x值。 二、解题技巧总结（2点） 1. 优先用顶点式：已知最高点时，设顶点式y=a(x-h)²+k，快速求出a值，简化计算。 2. 注意实际意义：舍去负的x值（时间/水平距离非负），统一单位，避免因坐标含义混淆出错。 1．（25-26九年级上·广西南宁·阶段练习）投壶，源于射礼，是中国古代宴饮时做的一种投掷游戏．投壶的规则：由游戏者轮流站在离壶一定距离的地方，用手把箭投向壶中并计算得分．箭在空中飞行的轨迹可以近似看成抛物线．同学们受游戏启发，将箭抽象为一个动点，并建立了如图所示的平面直角坐标系（单位长度为1m）．某同学将箭从处抛出，箭的飞行轨迹为抛物线的一部分，且当箭的最大高度为时，距离投出点的水平距离为．把壶近似看作矩形，已知壶口的宽度，壶的高度． (1)求抛物线L的表达式； (2)若箭刚好由点G处擦边投入壶中，求人离壶的距离． 【答案】(1) (2)米 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，待定系数法求二次函数解析式，掌握相关知识是解题的关键． （1）由题可知抛物线的顶点为，则，将点代入，即可求函数的解析式即可； （2）令，求出，则米． 【详解】（1）解：箭的最大高度为时，距离投出点的水平距离为， 抛物线的顶点为， ， 抛物线经过点， ， 解得， ； （2）令， 解得或（舍， （米， 人离壶的距离为米． 2．（25-26九年级上·吉林长春·期中）掷实心球是长春市初中学业水平体育与健康学科考试的选考项目一男生在抛掷实心球的过程中，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度与水平距离之间的函数关系如图所示，已知该男生掷球时的起点高度是，当水平距离为时，实心球行进至最高点处． (1)求y关于x的函数表达式． (2)根据长春市2025年初中学业水平体育与健康学科考试项目评分标准（男生），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离不小于，则此项考试得分为满分，按此评分标准，该生在此项考试中能否得满分，请说明理由． 【答案】(1) (2)能得到满分，理由见解析 【分析】本题考查二次函数的实际应用，待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是正确求出二次函数解析式． （1）根据题意设二次函数的表达式为顶点式，代入起始点的坐标即可求解； （2）令，求出落地点坐标与进行比较，从而作出判断． 【详解】（1）解：由题可知抛物线的顶点为， ∴设关于的函数表达式为， 把起始点代入表达式，得，解得 ； （2）解：该男生在此项考试中能得到满分． 理由如下： 令，即， 解得，（负值舍去）． 该男生在此项考试中能得到满分． 3．（2024·陕西·模拟预测）在一次足球训练中，小明练习射门，球射向球门的路线呈抛物线． 如图所示，小明从球门底部正前方的处射门，现以为原点，以所在直线为轴，以球门高所在直线为轴建立平面直角坐标系．当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球离地面 ．已知球门高为． (1)求抛物线的函数表达式，并通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）； (2)对本次训练结果进行分析，若球射向球门的路线的形状、最大高度均保持不变，则当时他应该带球向正后方移动多少米射门，才能让足球经过点正上方处射进球门？ 【答案】(1)，不能射进球门 (2) 【分析】（）由题意可知抛物线的顶点坐标为，设抛物线的表达式为，利用待定系数法可得，再把代入求出的值即可判断求解； （）小明带球向正后方移动，则移动后的抛物线为，把点代入计算即可求解； 本题考查了二次函数的应用，理解题意，列出函数解析式是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意可知，抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的表达式为， 将点代入，得， 解得 ， ， 当时，， ∴球不能射进球门； （2）解：设小明带球向正后方移动，则移动后的抛物线为， 将点代入，得， 解得（不合题意，舍去），， ∴当时他应该带球向正后方移动射门，才能让足球经过点正上方处射进球门． 4．（25-26九年级上·广东广州·阶段练习）如图1为北京冬奥会“雪飞天”滑雪大跳台赛道的横截面示意图．取水平线为x轴，铅垂线为y轴，建立平面直角坐标系．运动员以速度从D点滑出，运动轨迹近似抛物线．某运动员7次试跳的轨迹如图2．在着陆坡上设置点K（与相距）作为标准点，着陆点在K点或超过K点视为成绩达标． (1)求线段的函数表达式（写出x的取值范围）． (2)当时，着陆点为P，求P的横坐标并判断成绩是否达标． (3)在试跳中发现运动轨迹与滑出速度v的大小有关，进一步探究，测算得7组a与v2的对应数据，在平面直角坐标系中描点如图3． ①猜想a关于的函数类型，并用一个比较接近的函数关系式来表达它们的函数． ②当v为多少时，运动员的成绩恰能达标？ 【答案】(1) (2)的横坐标为22.5，成绩未达标 (3)①a与成反比例函数关系，；②当时，运动员的成绩恰能达标 【分析】本题考查二次函数的应用，二次函数与一次函数综合问题，解题的关键在于熟练掌握二次函数的性质，并能灵活运用二次函数与一次函数的性质解决问题． （1）根据图像得出点的坐标，直接利用待定系数法即可求出解析式； （2）将代入二次函数解析式，由解出x的值，比较即可得出结果； （3）由图像可知，a与成反比例函数关系，代入其中一个点即可求出解析式，根据CE的表达式求出K的坐标，代入即可求出a，再代入反比例函数即可求出v的值． 【详解】（1）解：由图2可知：， 设的解析式为：， 将代入，得： ，解得， ∴线段的函数表达式为． （2）当时，，由题意得， 解得（舍去），                             ∴的横坐标为22.5． ∵， ∴成绩未达标． （3）①猜想a与成反比例函数关系． ∴设 将代入得解得， ∴． 将代入，验证：， ∴； ②由K在线段上，得，代入得，得， 由得， 又∵， ∴， ∴当时，运动员的成绩恰能达标． 5．（25-26九年级上·北京·阶段练习）如图，小林和小伟在玩沙包游戏．沙包（看成点）抛出后，在空中的运动轨迹可看作抛物线的一部分，小林和小伟分别站在点和点处，测得距离为．若以点为原点，所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，小伟在距离地面的点处将沙包抛出，小林在点处接住，运动轨迹如图中；然后小林跳起将沙包回传，运动轨迹如图中．轨迹中，测得沙包的水平距离（单位：）与竖直高度（单位：）的几组数据如下： 水平距离 0 2 4 6 8 竖直高度 1.0 2.5 3.0 2.5 1.0 请根据以上数据，解决问题： (1)①抛物线中，沙包运行的最高点距离地面的高度是______； ②求与满足的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）； (2)已知小林跳起将沙包回传的运动轨迹近似满足函数关系式：．小伟在轴上方的高度上，且到点水平距离不超过的范围内接到了沙包，则的取值范围是______． 【答案】(1)（1）①3；② (2) 【分析】本题主要考查了二次函数的图像和性质，熟练掌握二次函数的图像和性质是解题的关键． （1）①根据表中数据即可得到结论；②设抛物线的解析式为，把代入解方程即可得到结论； （2）根据题意得到接球位置的坐标范围是，把这两点代入函数解析式分别得到和，于是得到结论． 【详解】（1）解：①由表中数据可得抛物线的最高点坐标为， ∴抛物线中，沙包运行的最高点距离地面的高度是3m， 故答案为：3； ②设抛物线的解析式为， 把代入得， 解得， ∴抛物线的解析式为； 故与满足的函数解析式． （2）∵小伟在x轴上方1m的高度上，且到点A水平距离不超过1m的范围内接到了沙包， ∴此时，接球位置的坐标范围是， 当经过点，， 解得：， 当经过点时，， 解得：， ∴b的取值范围是． 故答案为：． 题型四 二次函数的应用之喷水问题 一、解题方法总结（2点） 1. 构建函数解析式：以喷水起点或地面中点为原点，水平为x轴、竖直为y轴，设二次函数为y=ax²+bx+c（或顶点式），代入已知点（如起点、最高点、落地点）坐标，求解解析式。 2. 解决实际问题：求最大喷高用顶点纵坐标，求喷水最远距离代入y=0解方程，求特定高度的喷水宽度则代入y值求x值，计算两点间距离。 二、解题技巧总结（2点） 1. 巧选坐标系简化计算：优先以喷水起点为原点，使c=0，解析式简化为y=ax²+bx，减少未知数。 2. 聚焦关键数据：重点提取“起点高度、最大高度、落地点距离”等核心条件，忽略无关信息，避免干扰；结果需统一单位。 1．（2025·陕西·模拟预测）某公园要修建一个喷泉景观，喷射水柱呈抛物线型，如图所示，线段表示水平地面，以为坐标原点，以所在直线为轴，以过点且垂直于轴的直线为轴，建立平面直角坐标系．已知：为安装的m高的花形柱子，并在柱子顶端处安置喷头向外喷水．为使水流形状较为美观，设计成水流在距的水平距离为1m时达到最大高度，此时离地面m． (1)求满足设计要求的抛物线的函数表达式； (2)若李师傅计划在线段上的点处竖立一座雕像，雕像高米，若想雕像不碰到水柱，请求出线段的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求解析式，根据题意求得函数解析式是解题的关键． （1）设抛物线的函数表达式为，将代入，即可求解． （2）求出时的横坐标，根据图像即可得出结论． 【详解】（1）解：∵距的水平距离为1m时达到最大高度，此时离地面m． ∴抛物线的顶点， 可设抛物线的解析式为， 把代入，得， 抛物线的解析式为． （2）解：，令，代入抛物线的解析式， 得，， 线段的取值范围为． 2．（25-26九年级上·陕西安康·阶段练习）小红观察到一处喷水景观喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：喷水装置竖立在地面上，建立如图所示的平面直角坐标系，其中一条水柱距地面的高度y（m）与水柱距喷水头的水平距离x（m）之间满足关系式． (1)求喷头P与地面的距离OP； (2)已知身高的小红现直立在距离喷水装置的水柱正下方的点B处，此时她的头顶并未接触到水柱，小红想要继续沿方向直立行走，当她的头顶恰好接触到水柱时，距离点B多远？ 【答案】(1) (2)离点远 【分析】利用本题重点考查​二次函数的性质与实际应用​，​理解二次函数表达式各参数的意义，并将实际问题转化为数学问题求解是解题的关键​． （1）令，求出即得答案； （2）计算当，求出，再用结果减去3即得答案． 【详解】（1）当时，， 答：喷头P与地面的距离为0.4m． （2）将代入得：， 解得（舍），， ， 答：当小红的头顶恰好接触到水柱时，距离点B 3m远． 3．（2026九年级·贵州·专题练习）综合与实践：为了提升高楼火灾灭火技能，某消防大队选择了一个废弃的高楼进行演练，以大楼起火侧面所在直线为y轴，水平地面为x轴建立如图所示的平面直角坐标系．已知消防车喷水口在距离大楼起火侧面16米、高4米的点G处，喷出的水流形状是抛物线的一部分． (1)求a的值； (2)若该楼距离地面21米处出现一个起火点，此时喷出的水流能否灭掉该起火点？若不能，则消防车需再向前（靠近高楼）行进多少米才能快速灭掉这个起火点？ (3)由于火势蔓延到距离地面36米处，于是消防车打算采用伸长伸缩臂GH的方法灭火，阻止火势进一步蔓延，已知伸缩臂与水平方向的夹角为，且，伸缩臂伸长后不超过10米，且喷出的水流形状与原来一样，则伸缩臂伸长后应为多少米？（提示：伸长伸缩臂相当于将喷水口G先向左平移，再向上平移） 【答案】(1) (2)不能，消防车需要再向前行进米或米才能灭掉该起火点 (3)伸缩臂伸长后应为米 【分析】（1）将代入抛物线解析式即可； （2）将起火点高度代入抛物线解析式，求解即可； （3）通过伸缩臂伸长量与坐标变化的关系，设伸长伸缩臂后，将出水口先向左平移了米，再向上平移了米，建立新的抛物线方程，当时，，代入求解，与进行比较即可求出． 【详解】（1）解：根据题意得喷水口在抛物线上， 代入抛物线得：， 解得：； （2）解：不能． ， ， 该楼距离地面米处出现一个起火点， 将代入， 得， 解得， ， ， 消防车需要再向前行进米或米才能灭掉该起火点； （3）解：， 设伸长伸缩臂后，将喷水口先向左平移了米，再向上平移了米， 则， 当时，， 即， 解得，， 当时，，伸缩臂长为．，符合题意． 当时，，伸缩臂长为．，不符合题意，舍去． 故伸缩臂伸长后应为米． 【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，待定系数法求解析式，勾股定理，解直角三角形，熟练掌握这些知识点是解题关键． 4．（25-26九年级上·广东东莞·阶段练习）随着生活水平发展，小车已进入千家万户．洗车时喷水器喷出的水抽象而成抛物线，如图，抛物线是某喷水器喷出的水抽象而成（AB是最近点，是最远点），抛物线由抛物线向左平移得到，把汽车横截面抽象为矩形，其中米，米，米，抛物线表达式为，且点均在坐标轴上． (1)若，求抛物线表达式，并指出的取值范围； (2)求抛物线表达式并指出的取值范围； (3)在条件（1）下，要使喷水器喷出的水能洒到整个汽车，记长为米，的取值范围_____（直接写出结果）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次函数的实际应用； （1）把和点代入解析式，待定系数法求解析式，令，求得点的坐标，进而求得的范围； （2）设抛物线由抛物线向左平移个单位代入得出，求得平移后的抛物线的解析式，再令，即可求得的坐标，进而求得的范围； （3）由（1）得，则，根据，即可求解． 【详解】（1）解：把代入，得： 把代入， 解得， 抛物线表达式：， 当时，即， 解得：， ， 抛物线表达式：； （2）设抛物线由抛物线向左平移个单位得到， 将代入，得， 解得：（舍去）， 抛物线是由抛物线向左平移4米得到的， 把代入，得： 解得（舍去）， ， 抛物线表达式为： （3）由（1）得，把代入， 得（舍去）， ， ， ； 5．（25-26九年级上·湖北·阶段练习）小明家新买了一个高度为的长方体玻璃鱼缸，为打造流水景观，他在鱼缸侧面连续注水，保证鱼缸始终盛满水（水面离鱼缸底部高度即为鱼缸高度）．当在鱼缸侧面离水面竖直距离为（单位：）的位置开一个小孔时，从小孔射出水的射程（水流落地点离小孔的水平距离）（单位：）与的关系满足关系式：，其中为水面离地面的高度（此处即鱼缸高度）． (1)请写出与的函数关系式，并回答：当为何值时，射程达到最大值？最大射程是多少？ (2)小明想在鱼缸侧面开两个小孔，使得两个小孔射出水的射程相等．若第一个小孔离水面的竖直距离为，第二个小孔离水面的竖直距离为，求与之间的关系式； (3)为了让流水景观更美观，小明打算在鱼缸下方垫一个木质底座．若垫高后，射出水的最大射程比原来增加了，则垫高后小孔离水面的竖直距离为_____． 【答案】(1)，当时，射程最远为； (2)或 (3) 【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确的求出二次函数的解析式，是解题的关键： （1）把代入函数关系式，即可得出与的关系式，利用二次函数求最值即可； （2）根据两孔射出水的射程相同，得到，利用因式分解变形即可得出答案； （3）设垫高的高度为，列出函数关系式，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，， ∵， ∴当时，函数值最大为900， ∴的最大值为； 故当时，射程最远为； （2）由（1）知：， 由题意，得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∴或； （3）设垫高的高度为，由题意，得， ∴当时，最大为，此时最大为， ∴， ∴， 故答案为：． 题型五 二次函数的应用之图形问题 一、解题方法总结（2点） 1. 构建函数解析式：设图形中关键边长、高或平移距离为x，结合面积、周长、体积等公式，用x表示所求量（如面积、长度），转化为二次函数y=ax²+bx+c。 2. 求解实际问题：求最值（最大/最小面积）用顶点坐标，求特定值（面积相等、边长相等）代入函数列方程，结合图形边长非负取舍答案。 二、解题技巧总结（2点） 1. 数形结合分析：画出图形标注已知条件，直观梳理线段、面积关系，避免抽象思维偏差，快速找到等量关系。 2. 限定变量范围：根据图形边长、长度非负，确定自变量x的取值范围，顶点若超出范围，取端点值作为实际最优解。 1．（24-25九年级上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）如图某农场要建一个矩形的养鸡场，鸡场的一边靠墙(墙长)，另外三边由长的栅栏围成．设矩形空地中，垂直于墙的边，面积为(如图)． (1)求与之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； (2)若矩形空地的面积为，求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了列二次函数关系式，一元二次方程的应用． （1）根据矩形的面积公式计算即可； （2）构建方程即可解决问题，注意检验是否符合题意． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵墙长， ∴， 即， 解得， ∴与之间的函数关系式为，自变量的取值范围为． （2）解：由题意：， 解得，， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意，舍去； ∴的值为． 2．（25-26九年级上·全国·期中）如图，在中，，．是上任意一点(点与点，不重合)，的顶点，分别在，上．设，的面积为． (1)求关于的函数表达式． (2)上述函数有最大或最小值吗？若有，求当取何值时，有最大或最小值；若没有，请说明理由． 【答案】(1) (2)有最大值，当时，有最大值，最大值为 【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质，二次函数求最值问题，熟练掌握以上性质是做题的关键． （1）由四边形是平行四边形，可得，，则可证出和，然后根据相似三角形面积比等于相似比的平方，得出，同理可得：，最后根据即可得出与的函数关系式； （2）先把（1）中得到的与的函数关系式化成顶点式，然后由，可得当时，有最大值即可解答． 【详解】（1）解：四边形为平行四边形， ，． ，， ，即， 同理，， ， 即． （2）解：y有最大值，理由如下， ， ， ∴当时，有最大值，最大值为． 3．（25-26九年级上·北京延庆·期中）如图所示，有一直角梯形的苗圃，它的两邻边借用了成的墙角（墙足够长），另外两边由总长为的篱笆围成． (1)苗圃的面积y（单位：）是的长x（单位：m）的函数，求该函数的表达式，并写出自变量x的取值范围； (2)判断苗圃的面积能否达到，并说明理由． 【答案】(1) (2)苗圃的面积不能达到，理由见解析 【分析】本题考查了二次函数的实际应用． （1）过点D作于E，求得，利用梯形的面积公式即可求解； （2）利用二次函数的性质求得当时，y的最大值是600，苗圃的面积不能达到． 【详解】（1）由题意，． 过点D作于E， ∴，， ∴， ∴． ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． （2）判断：苗圃的面积不能达到． 理由如下： ． ∴当时，y的最大值是600． ∴苗圃的面积不能达到 ． 4．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用长的栅栏围成一个矩形花园（栅栏只围，两边），设，花园的面积为． (1)当为何值时，花园面积有最大值？最大值为多少？ (2)若在墙角处有一棵树与墙，的距离分别是和，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），当花园面积最大时，的长为多少？ 【答案】(1)当时，花园面积最大，为100平方米； (2)当花园面积最大时，的长为8米． 【分析】本题考查二次函数的应用，理解题意，列出函数关系式是解题关键． （1）利用矩形的面积公式列出关系式，然后化为顶点式即可求解； （2）根据题意，求出的取值范围，利用二次函数的性质进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得：， ∴当时，花园面积最大，为100平方米； （2）由题意，得， 解得； ∵， ∴时，随着的增大而增大， ∴当时，有最大值， ∴当花园面积最大时，的长为8米． 5．（25-26九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，为美化环境，某小区计划在一块长为，宽为的长方形空地上修建一个长方形花圃，并将花圃四周余下的空地修建同样宽的通道，设通道的宽为． (1)用含a的式子表示花圃的面积． (2)若通道面积与花圃面积之比等于时，求此时通道的宽． (3)已知某园林公司修建通道的造价为80元，花圃的造价为100元，如果小区物业决定由该公司承建此项目，并要求修建的通道的宽度不少于2米且不超过6米，则通道宽为多少米时，修建通道和花圃的总造价最低，最低总造价为多少元？ 【答案】(1) (2) (3)通道宽为6米时，修建通道和花圃的总造价最低，最低总造价为371680元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用和二次函数的应用，解题关键是根据题意列出一元二次方程和二次函数解析式． （1）用含a的式子先表示出花圃的长和宽后利用矩形面积公式列出式子即可； （2）根据通道面积与花圃面积之比等于，列出方程进行计算即可； （3）列出总费用的关系式，根据修理的通道的宽度不少于2米且不超过6米，确定最小值即可． 【详解】（1）解：， 即花圃的面积为； （2）解：∵通道面积与花圃面积之比等于， ∴， 整理得：， 解得：（舍去）， 即此时通道的宽； （3）解：设修建通道和花圃的总造价为w元，根据题意得： ， ∵修建的通道的宽度不少于2米且不超过6米， ∴， ∵， ∴当时，w随a的增大而减小， ∴当时，w取得最小值，最小值为， 即通道宽为6米时，修建通道和花圃的总造价最低，最低总造价为371680元． 题型六 二次函数的应用之图形运动问题 一、解题方法总结（2点） 1. 建立函数关系：设运动时间为t，用t表示图形中线段长度（如边长、高），结合图形面积、周长等公式，转化为二次函数y=ax²+bx+c。 2. 求解核心问题：求最值（最大/最小面积）用顶点坐标，求特定值（面积相等、线段相等）代入函数列方程，结合运动范围取舍答案。 二、解题技巧总结（2点） 1. 动态转化静态：截取运动中关键时刻（起点、终点、顶点对应时刻），画出静态图形，直观分析线段关系，减少思维难度。 2. 明确变量范围：根据图形边长非负、运动时间非负，确定t的取值范围，避免因忽略范围导致错解。 1．（24-25九年级上·甘肃酒泉·阶段练习）如图，中，，，，、两点同时分别从、出发，点以每秒个单位的速度沿着向点运动，点以每秒个单位的速度沿着向点运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动． (1)求经过几秒，的长为； (2)设的面积为，点、的运动时间为秒，求与的函数解析式，并写出的取值范围； (3)当点、的运动时间为秒时，求的面积． 【答案】(1)经过秒或秒时，的长为 (2)， (3)当点、的运动时间为秒时，的面积为 【分析】此题主要考查了勾股定理，三角形的面积公式，一元二次方程的解法，用方程的思想解决问题是解本题的关键． 由与，利用勾股定理求出的长，进而表示出，以及，利用勾股定理列出关于的方程，求出方程的解得到的值，即可得到结果； 由三角形的面积等于与乘积的一半，表示出与的函数解析式，并求出的范围即可； 将代入中得出的函数解析式中求解，即可求出答案． 【详解】（1）解：在中，，， ， 设点、的运动时间为秒， 由运动知，，， ， 若时，则，即， 解得，， 经检验，均符合题意， 经过秒或秒时，的长为； （2）解：由知，，， ，的取值范围是； （3）解：由知，， 当时，， 即当点、的运动时间为秒时，的面积为． 2．（25-26九年级上·吉林·阶段练习）如图，在中，，，矩形的边在边上，边在边上，点与点重合，，矩形从点的位置出发，以每秒的速度沿着的方向做匀速直线运动，当点与点重合时停止运动．设矩形运动的时间为，矩形与重叠部分的面积为． (1)当点落在边上时，求的值； (2)求与之间的函数关系式； (3)当时，直接写出的值． 【答案】(1)2 (2) (3) 【分析】（1）根据题意可得三角形是等腰直角三角形，根据几何关系求得的长，则可求出矩形的运动时间； （2）分4种情况：当时，此时重叠部分图形为矩形本身；当时，此时重叠部分图形为矩形减去一个三角形，求出三角形面积即可；当时，此时重叠部分图形为梯形，求出梯形的上底和下底即可求得梯形面积；当时，此时重叠部分为三角形，由三角形面积公式易得，最后综合即可； （3）将代入所求函数解析式中即可求得的值． 本题考查了求动点问题的函数关系式，等腰三角形的判定与性质，解一元二次方程等，注意分类讨论． 【详解】（1）解：∵在矩形中，， ， ∴， ∵在中，，， ∴， ∴如图1当点落在边上时，三角形是等腰直角三角形， ∴，， ∵矩形速度为每秒， ∴， ∴当点落在边上时，的值为2． （2）①当时，如图1，； ②当时，如图2，设交于点，交于点， 由（1）得三角形是等腰直角三角形， ∴， ∴ 又在矩形中， ∴三角形是等腰直角三角形，， 又，， ∴； ③当时，如图3，设交于点， 在矩形中，， ∴四边形是直角梯形， ，， ∴； ④当时，如图4，设交于点， 在矩形中，， 又∵ ∴三角形是等腰直角三角形， ∵， ∴； 综上所述，与之间的函数关系式为． （3）当时，， 整理得， 解得，（舍去）， 随着矩形的移动，矩形与重叠部分的面积越来越小，故当时，． 3．（25-26九年级上·吉林白城·阶段练习）如图，在中，，，动点P，Q同时从点出发，分别沿射线和射线的方向均以的速度匀速运动，连接，以为边向下作正方形，设点运动的时间为，正方形与重叠部分的面积为．（注：无重叠时，重叠部分面积看作） (1)当点落在线段上时，求的值． (2)求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围． 【答案】(1) (2)当时，；当时，；当时，． 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，动点问题，求二次函数关系式，正方形的性质，勾股定理，理解题意，作出图形是解答关键． （1）当点M落在线段上时，求出，，根据勾股定理求出，最后利用列出方程求解． （2）根据题意分三种情况：当时，时，当时，利用等腰直角三角形的性质求解． 【详解】（1） ∵在中，，， ∴， 当点M落在线段上时，四边形是正方形， 根据题意得， 在等腰直角三角形中， 由题意可得和、是等腰直角三角形， ∴， 在中，， ， ∵， ∴， ∴； （2）①当时，正方形完全在内部，此时重叠部分面积就是正方形的面积， ∴正方形面积； ②当时， 设与交于点E，与交于点F， 此时正方形与重叠部分为矩形， 和为等腰直角三角形，即，， ∵， ∴， 在中由勾股定理得， 即， ∴， ∴矩形面积； ③当时，正方形与无重叠，所以； 综上所述，当时，；当时，；当时，． 4．（2024九年级下·广东·专题练习）综合运用 在中，，D为边上一点，，动点P以每秒1个单位长度的速度从点C出发，在三角形的三边上沿匀速运动，到达点A时停止，以为边作正方形．设点P的运动时间为，正方形的面积为S，试探究S与t的关系． (1)如图1，当点P由点C运动到点B时，求S关于t的函数表达式． (2)当点P由点B运动到点A时，经探究发现S是关于t的二次函数，并绘制成如图2所示的图象．请根据图象信息，求S关于t的函数表达式及线段的长． (3)若存在3个时刻，，（）对应的正方形的面积均相等． ①求的值； ②当时，求正方形的面积． 【答案】(1) (2)， (3)①4；② 【分析】本题主要考查了二次函数与图形运动问题，待定系数法求函数解析式，勾股定理等等，正确理解题意利用数形结合的思想求解是解题的关键． （1）先求出，进而求出，则； （2）先由函数图象可得当点P运动到B点时，，由此求出当时，，可设S关于t的函数解析式为，利用待定系数法求出，进而求出当时，求得t的值即可得答案； （3）①根据题意可得可知函数可以看作是由函数向右平移四个单位得到的，设是函数上的两点，则，是函数上的两点，由此可得，则，根据题意可以看作，则；②由（3）①可得，再由，得到，继而得答案． 【详解】（1）解：∵动点P以每秒1个单位的速度从C点出发，在上匀速运动， ∴， ∵，， ∴， ∵四边形是正方形，且其面积为S， ∴； （2）解：由图2可知当点P运动到B点时，， ∴， 解得或（舍去）； ∴当时，， 由图2可知，对应的二次函数的顶点坐标为， ∴可设当点P由点B运动到点A时，S关于t的函数解析式为， 把代入中得：， 解得， ∴当点P由点B运动到点A时，S关于t的函数解析式为， 在中，当时，解得或（舍去）， ∴，且， ∴，； （3）解：①∵点P在上运动时，，点P在上运动时， ∴可知函数可以看作是由函数向右平移4个单位长度得到的， 设是函数上的两点，则点和点是函数上的两点， ∴，， ∴， ∵存在3个时刻（）对应的正方形的面积均相等． ∴可以看作， ∴； ②由（3）①得， ∵， ∴， ∴， ∴．    5．（2025·江苏南京·一模）在平面直角坐标系中，是等腰直角三角形，，，点在轴的负半轴上，点在第二象限，矩形的顶点，点在轴的正半轴上，点在轴的正半轴上．将沿轴向右平移，得到，点的对应点分别为，，． (1)如图，当经过点时，求直线的函数表达式； (2)设，与矩形重叠部分的面积为； ①如图，当与矩形重叠部分为五边形时，与相交于点，分别与，交于点，用含有的式子表示 ；直接写出的取值范围 ； ②请直接写出满足的所有的值 ． 【答案】(1)直线的解析式为 (2)①，；②或5 【分析】（1）根据平移的性质可得是等腰直角三角形，根据矩形的性质可得，从而得到，最后用待定系数法即可求得答案； （2）①根据，即可求得，再结合题意列不等式组即可求得； ②分五种情况讨论：当时，与矩形重叠部分为三角形；当时，与矩形重叠部分为四边形梯形；当时，重叠部分为梯形；当时，与矩形重叠部分为五边形；当时，重叠部分为矩形，分别画出图形，结合图形建立方程求解即可． 【详解】（1）解：如图①，当经过点时， 矩形的顶点， ， 由平移的性质可得：为等腰直角三角形， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 设直线的解析式为， 将代入得：， 解得：， 直线的解析式为：； （2）解：①如图②，当与矩形重叠部分为五边形时， 矩形中，， 四边形是矩形， 设，则， ，， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， 故答案为：，； ②分以下五种情况讨论： 当时，与矩形重叠部分为三角形，如图， 重叠部分的面积为：， ， ， 解得：， ， 不符合题意，此时重叠部分面积不可能为； 当时，与矩形重叠部分为四边形梯形，如图， 则， ， ， 解得：， ， 符合题意； 当时，重叠部分为梯形，为定值，不能等于； 当时，与矩形重叠部分为五边形， 由①知：， ， 解得：舍去，； 当时，重叠部分为矩形，如图， ， ， 当时，，不符合题意； 综上所述，满足的所有的值为或． 故答案为：或． 【点睛】本题是矩形综合题，考查了矩形性质，等腰直角三角形的判定和性质，平移变换的性质，三角形、梯形、矩形面积等，解题关键是运用数形结合思想和分类讨论思想． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $