微专题05 二次函数中的等腰三角形、直角三角形存在性问题三大题型（专项训练）数学华东师大版九年级下册

品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 微专题05二次函数中的等腰三角形、直角三角形 存在性问题三大题型 题型一二次函数中的等腰三角形存在性问题 二次函数中的等腰三角形、直 题型二二次函数中的直角三角形存在性问题 角三角形存在性问题三大题型 题型三二次函数中的等腰直角三角形存在性问题 德点免硝 题型一二次函数中的等腰三角形存在性问题 方法 1解题思路：先设动点坐标（含参数），结合二次函数表达式确定顶点、交点等关键坐标；再分三种情况（两 腰为已知边、一动一静边、两动边)讨论等腰三角形构成。 2.解题技巧：用两点间距离公式将边长转化为含参数的代数式，简化计算；利用二次函数对称性减少分类， 结合图形范围验根防漏解。 3解题方法：以代数方程法为主，列边长相等的方程求解参数；辅以几何法（如垂直平分线性质)快速定位 可能点，最后结合函数定义域确定有效解。 1.(24-25九年级上·广东广州期中)如图，抛物线y=-x2+2x+3与x轴交于A,B两点，与y轴交于C点. B (1I)求出A,B,C点的坐标： (2)在抛物线的对称轴上是否存在点Q,使△BCQ是等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的Q点坐标； 若不存在，请说明理由 2.(25-26九年级上黑龙江佳木斯阶段练习)如图，己知抛物线y=a(x-h)+k与x轴的一个交点为 1/6 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A-1,0),另一个交点为B,与y轴的交点为C(0,-3),其顶点为D,对称轴为直线x=1. B (1)求抛物线的解析式： (2)求△BCD的面积； (3)在y轴上是否存在一点M，,使CDM为等腰三角形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，说 明理由。 3.(2025九年级上浙江·专题练习)如图，抛物线y=ax2+bx-3与x轴交于A(-3,0),B(1,0)两点，与y 轴交于点C. (①)求抛物线的解析式： (②)若点E为线段AC上一动点，过点E的直线EF平行于y轴并交抛物线于点F,当线段EF最大时，在x 轴上是否存在这样的点P,使得以点E、B、P为顶点的三角形是以EB为腰的等腰三角形？若存在，请求出 所有点P的坐标；若不存在，请说明理由 4.(24-25九年级上·安徽准南阶段练习)如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于A4,0),B(-2,0), 7 与y轴交于点C,点 5,4 在抛物线上. B 4 4 M 备用图 2/6 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (1)求抛物线的解析式. (2)若点M在抛物线上，且它的横坐标为(0<t<4),M0与4C交于点N,当ON 的值最小时，求点M的 N 坐标 (3)在抛物线的对称轴上是否存在点P,使得△PBC是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在， 请说明理由， 题型二二次函数中的直角三角形存在性问题 啸方法 1解题思路：先确定抛物线与坐标轴交点等定点（如A、B),设抛物线上动点P(x,),分∠A=90°、∠B=90 、∠P=90°三类讨论直角顶点。 2.解题技巧：用勾股定理(PA2+PB2=AB2等)或斜率乘积为-1（垂直)列方程，借抛物线表达式消y,结合 x范围验根。 3.解题方法：代数法为主，列坐标方程求解；辅以几何法（过A、B作垂线交抛物线得P),结合图形验证直 角合理性。 1.(2025·安微模拟预测)抛物线的对称轴为直线x=-1,与x轴交于点B,且经过A(1,0),C(0,3)两点. (I)求直线BC和抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴x=-1上找一点M,使MA+MC的值最小，求点M的坐标： (3)设P为抛物线的对称轴x=-1上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点P的坐标. 2.（25-26九年级上·云南昭通期中)已知，如图所示，抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于点A(-1,0)和 B(3,0),与y轴交于点C. 0 备用图 (1)抛物线的对称轴是 (②)在抛物线的对称轴上，是否存在点P,使PA+PC的值最小？如果存在，请求出点P的坐标，如果不存在， 请说明理由. 3/6 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (3)设点M在抛物线的对称轴上，当△MAC是直角三角形时，求点M的坐标. 3.（24-25九年级上广西梧州期末)如图，已知抛物线y=ax2+bx+5与x轴相交于A-1,0),B(5,0)两点， 与y轴相交于点C. VA (1)求抛物线的表达式： (②)点P为抛物线上的一个动点，且在直线BC的上方，试求△PBC面积的最大值； (3)点E是线段BC上异于B,C的动点，过点E的直线EN⊥x轴于点N,交抛物线于点M.当aECM为直 角三角形时，求点M的坐标 4.(25-26九年级上·天津武清·阶段练习)如图，已知抛物线y=-x2+bx+c与一条直线相交于 A(-1,0),C(2,3)两点，与y轴交于点N,其顶点为D. (1)求抛物线及直线AC的函数表达式： (2)点P为对称轴上一动点，求当PA+PN最小时点P坐标，并求出最小值. (3)在抛物线对称轴上是否存在一点M,使以A,N,M为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写 出M点的坐标.若不存在，请说明理由. 题型三二次函数中的等腰直角三角形存在性问题 4/6 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 啸方法 1.解题思路：确定抛物线定点（如A、B),设动点P,分∠A、∠B、∠P为直角顶点三类，每类需满足“直 角”+“两直角边相等”。 2.解题技巧：用坐标表边长，结合勾股定理（直角）与距离相等（等腰）列方程，借抛物线消y;利用斜率 (垂直时积为-1)简化计算，结合图形限x范围。 3.解题方法：代数法联立直角与等腰方程求解；几何法构造全等（如过P作横纵垂线，使直角边等长），验 证交点合理性。 1.(25-26九年级上湖南长沙阶段练习)如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴相交于点A(-1,0)和点B(2,0). (1)求抛物线的解析式、对称轴和顶点坐标； (2)在抛物线上有一点P,过点P作x轴的垂线交x轴于点Q,若△APQ是等腰直角三角形，求点P的坐标. 2.（25-26九年级上安徽合肥阶段练习)如图，抛物线y=x2+bx+c(b,c为常数)与x轴交于A(-1,0), B两点，与y轴交于点C(O,-4),作直线BC.若点P在线段BC上运动（点P不与点B,C重合），过点P 作x轴的垂线，分别交抛物线于点E,交x轴于点F. 备用图 (1)求该抛物线的表达式： (2)若PE=PF,求此时点P的坐标； (3)连接CE,若△CPE是等腰直角三角形，求点P的坐标. 4 3.(24-25九年级下·广东湛江阶段练习)如图，抛物线C:y=ax2+二x+c的图象经过点D(1,-1),与x轴 3 2 交于点A,点B,抛物线对称轴为x= 5 5/6 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B 备用图 (1)求抛物线C的表达式： (2)将抛物线G向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到抛物线C,，求抛物线C的表达式并判断点D是 否在抛物线C,上 (3)在x轴上方的抛物线C,上，是否存在点P,，使△PBD是等腰直角三角形.若存在，请求出点P的坐标： 若不存在，请说明理由， 4.(24-25九年级上山东济宁，期末)如图，抛物线y=ax2+bx+c交x轴于点A(3,0和B-1,0),交y轴于 点C0,3. 备用图 (1)求抛物线的表达式； 2是直线1C上方抛物线上一可点，接ow交4C于点水当%的值最大时，求点M的坐标， (3)点P是抛物线对称轴上的一点且位于x轴下方，点Q是对称轴左侧抛物线上的一点，当△PQB是以PB为 腰的等腰直角三角形时，请直接写出所有点Q的坐标. 6/6 微专题05 二次函数中的等腰三角形、直角三角形存在性问题三大题型 题型一 二次函数中的等腰三角形存在性问题 1.解题思路：先设动点坐标（含参数），结合二次函数表达式确定顶点、交点等关键坐标；再分三种情况（两腰为已知边、一动一静边、两动边）讨论等腰三角形构成。 2.解题技巧：用两点间距离公式将边长转化为含参数的代数式，简化计算；利用二次函数对称性减少分类，结合图形范围验根防漏解。 3.解题方法：以代数方程法为主，列边长相等的方程求解参数；辅以几何法（如垂直平分线性质）快速定位可能点，最后结合函数定义域确定有效解。 1.（24-25九年级上·广东广州·期中）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求出，，点的坐标； (2)在抛物线的对称轴上是否存在点，使是等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)、、； (2)或或或或． 【分析】本题考查的是二次函数综合运用，等腰三角形的性质，勾股定理； （1）对于，当时，，令，则或，即可求解； （2）当时，则，即可求解；当或时，同理可解． 【详解】（1）解：对于，当时，，令，则或， 即，，点的坐标分别为：、、； （2）存在，理由： 由抛物线的表达式知，其对称轴为直线，设点， 由、、的坐标得，，，， 当时，则，则， 即点或； 当或时， 同理可得：或，则或， 即点或或； 综上，或或或或． 2.（25-26九年级上·黑龙江佳木斯·阶段练习）如图，已知抛物线与轴的一个交点为，另一个交点为，与轴的交点为，其顶点为，对称轴为直线． (1)求抛物线的解析式； (2)求的面积； (3)在轴上是否存在一点，使为等腰三角形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)3 (3)存在，点M的坐标为或或或 【分析】（1）根据抛物线的对称轴为直线，得到，再把点，代入解析式，求出a，k的值，即可解答； （2）根据二次函数的图象及对称性得到顶点D的坐标为，与x轴的另一个交点为B的坐标为，根据两点间距离公式求出，，，得到，从而是直角三角形，根据三角形的面积公式求解即可； （3）分三种情况讨论：①当时，②当时，③当时，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为直线，， ∴， ∵抛物线过点，， ∴，解得， ∴抛物线的解析式为． （2）解：∵抛物线的解析式为， ∴顶点D的坐标为， ∵抛物线对称轴为直线，与轴的一个交点为， ∴抛物线与x轴的另一个交点为B的坐标为， ∵，，， ∴， ， ， ∴， ∴是直角三角形， ∴． （3）解：存在，理由如下，分三种情况讨论： ①当时，为等腰三角形， ∵， ∴， ∵， ∴或． ②当时，为等腰三角形， 过点D作轴于点H， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ③当时，为等腰三角形， 设， ∵，， ∴， ， ∵， ∴， 解得， ∴． 综上所述，在轴上是否存在一点，使为等腰三角形，点M的坐标为或或或． 3．（2025九年级上·浙江·专题练习）如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)若点E为线段上一动点，过点E的直线平行于y轴并交抛物线于点F，当线段最大时，在x轴上是否存在这样的点P，使得以点E、B、P为顶点的三角形是以为腰的等腰三角形？若存在，请求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)P点的坐标为或或 【分析】（1）将，代入，即可求解； （2）求出直线的解析式，设，则，求出，可得当时，有最大值，此时，由勾股定理可得，再分和两种情况，分别讨论即可． 【详解】（1）解：将，代入， 得， 解得， ∴； （2）解：存在点P，以为腰的等腰三角形，理由如下： 令，则， ∴， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， 当时，的最大值为， 此时， 又， ∴， ①当时， ， ∴P点坐标为或； ②当时，P点与关于直线对称， ∴P点坐标为； 综上所述：P点的坐标为或或． 4．（24-25九年级上·安徽淮南·阶段练习）如图，抛物线与轴交于，，与轴交于点，点在抛物线上． (1)求抛物线的解析式． (2)若点在抛物线上，且它的横坐标为，与交于点，当的值最小时，求点的坐标． (3)在抛物线的对称轴上是否存在点，使得是等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或或 【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）过点作轴交于点，则，由题意可知，，则，当时，有最小值，此时； （3）设，求出，，，分三种情况讨论：当时，；当时，，无解；当时，或． 【详解】（1）解：将点，，点代入中， ， 解得， ； （2）当时，， ， 设直线的解析式为， ， 解得， ， 过点作轴交于点， ， 点横坐标为， ，， 当时，有最小值，此时； （3）存在点，使得是等腰三角形，理由如下： ， 对称轴为直线， 设， ，，， 当时，，解得， ； 当时，，无解； 当时，，解得或， 或； 综上所述：点坐标为或或． 题型二 二次函数中的直角三角形存在性问题 1.解题思路：先确定抛物线与坐标轴交点等定点（如A、B），设抛物线上动点P(x,y)，分∠A=90°、∠B=90°、∠P=90°三类讨论直角顶点。 2.解题技巧：用勾股定理（PA²+PB²=AB²等）或斜率乘积为-1（垂直）列方程，借抛物线表达式消y，结合x范围验根。 3.解题方法：代数法为主，列坐标方程求解；辅以几何法（过A、B作垂线交抛物线得P），结合图形验证直角合理性。 1．（2025·安徽·模拟预测）抛物线的对称轴为直线，与x轴交于点B，且经过，两点． (1)求直线和抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上找一点M，使的值最小，求点M的坐标； (3)设P为抛物线的对称轴上的一个动点，求使为直角三角形的点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点P的坐标为或或或 【分析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、勾股定理、点的对称性等知识． （1）用待定系数法即可求解； （2）设直线与对称轴的交点为M，则此时的值最小，进而求解； （3）分点B为直角顶点、点C为直角顶点、P为直角顶点三种情况，分别求解即可． 【详解】（1）抛物线的对称轴为直线，且抛物线经过， ∴， 设抛物线的表达式为， 将代入上式得：，解得， ∴抛物线的解析式为：； 设直线的解析式为， 把，代入得： ，解得， ∴直线的解析式为； （2）设直线与对称轴的交点为M，则此时的值最小， 把代入直线得，故， 即当点M使时，M的坐标为； （3）设， ∵，， ∴， 若点B为直角顶点时，则， 即， 解得； 若点C为直角顶点时，则， 即 解得， 若P为直角顶点时，则， ∴， 解得， 综上，点P的坐标为或或或． 2．（25-26九年级上·云南昭通·期中）已知，如图所示，抛物线与轴交于点和，与轴交于点． (1)抛物线的对称轴是____________． (2)在抛物线的对称轴上，是否存在点，使的值最小？如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由． (3)设点在抛物线的对称轴上，当是直角三角形时，求点的坐标． 【答案】(1)直线 (2)存在，点的坐标为 (3)点的坐标为或 【分析】考查知识点：二次函数的对称轴、轴对称的最短路径问题、直角三角形的分类讨论（勾股定理）．利用抛物线与x轴交点求对称轴；通过轴对称转化线段和，结合一次函数求最短路径点；对直角三角形分三种情况，用勾股定理列方程求解．解题关键：熟练掌握抛物线对称轴公式，灵活运用轴对称性质解决最短路径问题，准确分类直角三角形的直角顶点并应用勾股定理．易错点：求对称轴时忽略公式应用；最短路径问题中找不到对称点的转化关系；直角三角形分类讨论时漏解． （1）根据抛物线与x轴交点、，利用对称轴公式，直接计算得对称轴为直线． （2）因为A、B关于对称轴对称，所以，则．连接，其与对称轴的交点P即为使最小的点．先求，再求直线的解析式，将代入得． （3）设，分别表示出、、的长度．分、、三种情况，根据勾股定理列方程求解，得到点M的坐标． 【详解】（1），， ， ∴直线． （2）连接交抛物线对称轴于点，此时取最小值，如图1所示． 当时，有， 点的坐标为． 设直线的解析式为， 将代入中，得：， 解得， 直线的解析式为． 抛物线的对称轴为直线． 当时，， 当的值最小时，点的坐标为． （3）解：设点的坐标为， 则， 分三种情况考虑： ①当时，有， 即， 解得：， 点的坐标为或； ②当时，有， 即， 解得：， 点的坐标为； ③当时，有， 即， 解得：， 点的坐标为． 综上所述：当是直角三角形时， 点的坐标为或． 3.（24-25九年级上·广西梧州·期末）如图，已知抛物线与x轴相交于两点，与y轴相交于点C． (1)求抛物线的表达式； (2)点P为抛物线上的一个动点，且在直线的上方，试求面积的最大值； (3)点E是线段上异于B，C的动点，过点E的直线轴于点N，交抛物线于点M．当为直角三角形时，求点M的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题主要考查了求二次函数关系式、求二次函数的最值、等腰直角三角形的判定，二次函数的性质等知识点，正确用坐标差表示线段的长是解题的关键． （1）将点代入关系式求得a、b的值即可解答； （2）如图1：过点P作轴，垂足为M，交于点D，设点P的横坐标为m，则，求出，再根据二次函数的最值即可； （3）分和两种情况，分别根据等腰直角三角形的性质以及二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：抛物线与x轴相交于两点， 则，解得：， ∴抛物线的关系式为． （2）解：∵抛物线与y轴相交于点C，即当时，， ∴点． 设直线的关系为， 将点B，点C的坐标分别代入得： ，解得：， ∴． 如图1：过点P作轴，垂足为M，交于点D， 设点P的横坐标为m，则， ∴， ∴ ， ∵， ∴抛物线开口向下， ∴当时，的最大值为． （3）解： 如图2，当时，轴， ∴点C与点M关于对称轴直线对称， ∴点． 如图3，当，过点M作轴，垂足为F， ∵， ∴， ∴， ∴． 设，则点， ∴，解得：（不合题意，舍去），， ∴点． 综上所述，点M的坐标为或． 4.（25-26九年级上·天津武清·阶段练习）如图，已知抛物线与一条直线相交于两点，与轴交于点，其顶点为． (1)求抛物线及直线的函数表达式； (2)点P为对称轴上一动点，求当最小时点P坐标，并求出最小值． (3)在抛物线对称轴上是否存在一点，使以为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标．若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)的最小值为，此时点P的坐标为 (3)或或或 【分析】本题主要考查了二次函数综合，待定系数法求函数解析式，勾股定理，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）根据（1）所求，可得，则可求出；由抛物线的对称性可得，则当P、B、N三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长；求出直线解析式为，对称轴为直线，据此可得答案； （3）分是斜边、是斜边、是斜边三种情况，结合勾股定理列方程，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与一条直线相交于两点， ∴， 解得 ∴抛物线的函数表达式为． 设直线的函数表达式为， 将、分别代入中可得， 解得， ∴直线的函数表达式为． （2）解：设抛物线与x轴的另一个交点为B， 在中，当时，， 当时，，解得或， ∴， ∴， ∴； 如图所示，连接， 由抛物线的对称性可得， ∴， ∴当P、B、N三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长； 同理可得直线解析式为， ∵抛物线解析式为， ∴对称轴为直线， 在中，当时，， ∴的最小值为，此时点P的坐标为； （3）解：由（2）可知对称轴为直线， 设点， ∵，，， ∴，， ． 当是斜边时，则，解得； 当是斜边时，可得：或2； 当是斜边时，可得：． ∴点的坐标为或或或． 题型三 二次函数中的等腰直角三角形存在性问题 1.解题思路：确定抛物线定点（如A、B），设动点P，分∠A、∠B、∠P为直角顶点三类，每类需满足“直角”+“两直角边相等”。 2.解题技巧：用坐标表边长，结合勾股定理（直角）与距离相等（等腰）列方程，借抛物线消y；利用斜率（垂直时积为-1）简化计算，结合图形限x范围。 3.解题方法：代数法联立直角与等腰方程求解；几何法构造全等（如过P作横纵垂线，使直角边等长），验证交点合理性。 1.（25-26九年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，抛物线与轴相交于点和点． (1)求抛物线的解析式、对称轴和顶点坐标； (2)在抛物线上有一点，过点作轴的垂线交轴于点，若是等腰直角三角形，求点的坐标． 【答案】(1)，抛物线的对称轴是直线，顶点坐标为； (2)点的坐标为或． 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，等腰三角形的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （）利用待定系数法求出解析式，然后配成顶点式即可； （）由是等腰直角三角形，则有，设点的坐标为，则点，则，，得出，然后解方程即可． 【详解】（1）∵抛物线与轴相交于点和点， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为， ∵； ∴抛物线的对称轴是直线，顶点坐标为； （2）解：如图，∵轴于点， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∵点在抛物线上， ∴设点的坐标为，则点， ∴，， ∴， ∴或， 即或， 当时， 解得或（舍去）， 此时； 当时， 解得或（舍去）， 此时， 综上，点的坐标为或． 2.（25-26九年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，抛物线（b，c为常数）与x轴交于，B两点，与y轴交于点，作直线．若点P在线段上运动（点P不与点B，C重合），过点P作x轴的垂线，分别交抛物线于点E，交x轴于点F．      (1)求该抛物线的表达式； (2)若，求此时点P的坐标； (3)连接，若是等腰直角三角形，求点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点P的坐标为或 【分析】（1）利用待定系数法计算即可得解； （2）求出，从而即可求出直线的表达式为， 设点，则，，表示出，．再根据，得出方程，求解即可； （3）设点，分两种情况：当时，；当时，过点C作于点H，则有，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线过点，点， ∴， 解得． ∴该抛物线的表达为； （2）解：由（1）得：抛物线的表达式为． 当时，，解得，， ∴， 设直线的表达式为， 代入和，得． 解得． ∴直线的表达式为， 设点，则，． ∴，． ∵， ∴， 整理，得，解得，（舍去）． 当时，． ∴点P的坐标为； （3）解：∵，， ∴． ∴． ∵轴， ∴轴． ∴． 由（2）知直线的表达式为， 设点． 如答图1．当时，． ∴，即，解得，（舍去）． ∴此时； 如答图2，当时，过点C作于点H，则有， ∴，解得，（舍去）． ∴此时． 综上，点P的坐标为或． 3．（24-25九年级下·广东湛江·阶段练习）如图，抛物线：的图象经过点，与轴交于点，点，抛物线对称轴为． (1)求抛物线的表达式； (2)将抛物线向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到抛物线，求抛物线的表达式并判断点是否在抛物线上． (3)在轴上方的抛物线上，是否存在点，使是等腰直角三角形．若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)，点在抛物线上 (3)存在，点的坐标为：或 【分析】本题主要考查了求二次函数的解析式、二次函数与几何的综合、二次函数图像的平移等知识点，灵活利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来成为解题的关键． （1）先利用抛物线对称轴求出a的值，将点D的坐标代入抛物线表达式，求得c的值即可； （2）由题意得：，当时，，即可判断点是否在抛物线上； （3）分为直角、为直角、为直角三种情况，分别运用全等三角形的判定与性质，进而确定点E的坐标，进而确定点P的坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线对称轴为， ∴， ∴， 将点的坐标代入抛物线表达式得：， 解得：， 则抛物线的表达式为：； （2）解：由题意得：， 当时，， 故点在抛物线上． （3）解：存在，理由如下： ①当为直角时，如图1，过点作且，则为等腰直角三角形， ，， ， ， ， ∴，， ∴点， 当时，，即点在抛物线上， ∴点即为点； ②当为直角时，如图2， 同理可得：， ∴，， ∴点， 当时，， ∴点在抛物线上， ∴点即为点； ③当为直角时，如图3， 设点， 同理可得：， ∴且，解得：且， ∴点， 当时，， 即点不在抛物线上； 综上，点的坐标为：或． 4．（24-25九年级上·山东济宁·期末）如图，抛物线交x轴于点和，交y轴于点． (1)求抛物线的表达式； (2)M是直线上方抛物线上一动点，连接交于点N，当的值最大时，求点M的坐标； (3)点P是抛物线对称轴上的一点且位于x轴下方，点Q是对称轴左侧抛物线上的一点，当是以为腰的等腰直角三角形时，请直接写出所有点Q的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）先利用待定系数法求出直线的解析式，设，求出，通过证明，得到，再利用二次函数的性质即可求解； （3）由是以为腰的等腰直角三角形，分2种情况讨论：①当，过点作轴交于点，通过证明得到，设，列出方程求出的值可得出点的坐标；②当，此时点在轴下方，过点作交于点，通过证明得到，设，列出方程求出的值可得出点的坐标，即可得出答案． 【详解】（1）解： 将、、代入得：， 解得：， 抛物线的表达式为． （2）解：如图，过点M作轴，交于点H， 设直线的解析式为， 将、代入，得， 解得：， 直线的解析式为， 设，则， ， 轴， ， ， 当时，有最大值， 此时， 点M的坐标为． （3）解：由题意得，抛物线对称轴为， 设抛物线对称轴与轴交于点，则， 是以为腰的等腰直角三角形， 或； ①当，过点作轴交轴于点，令对称轴交轴于E，如图： 轴， ， ， ， ，即， 又，， ， ， 设，则， 若点在轴上方，则， 解得：，（舍去）， ； 若点在轴下方， 则， 解得：，（舍去）， ； ②当，此时点在轴下方，过点作交于点，如图： ， ， ， ， ， ，即， 又，， ， ，， ， 设，则， ， 解得：，（舍去）， 此时， ； 综上所述，点Q的坐标为或或． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $