微专题06 二次函数中的特殊四边形存在性问题四大题型（专项训练）数学华东师大版九年级下册

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 微专题06二次函数中的特殊四边形存在性问题四大题型 题型一二次函数中的平行四边形存在性问题 题型二二次函数中的矩形存在性问题 二次函数中的特殊四边形存 在性问题四大题型 题型三二次函数中的菱形存在性问题 题型四二次函数中的正方形存在性问题 点烫璃 题型一二次函数中的平行四边形存在性问题 啸方法 1解题思路：确定抛物线定点（如A、B),设动点P、Q,分以AB为边或对角线两类，利用平行四边形对 边平行且相等或对角线互相平分性质分析。 2解题技巧：用中点坐标公式（对角线中点重合）列方程，结合抛物线表达式消元；借向量平行（坐标差相 等)简化关系，注意动点范围。 3解题方法：代数法联立中点或向量方程求解；辅以几何法（平移定点得动点轨迹），验证四点不共线及图 形合理性。 1.(25-26九年级上山东东营阶段练习)二次函数y=x2+bx+c的图象过A-1,0),B(3,0)两点，与y轴相 交于点C 图1 备用图 (1)求二次函数的解析式； (2)若点P是第四象限内抛物线上的一动点，当点P到直线BC的距离最大时，求点P的坐标； 1/9 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (3)若点M是平面内一点，是否存在以A,C,B,M为顶点的平行四边形，若存在，请求出点M的坐标，若 不存在，请说明理由。 2.(25-26九年级上·天津滨海新·期中)如图，抛物线y=ax2+bx+3(a<0)的图象与x轴交于点A(-3,0)和 点B(I,O),与y轴交于点C,抛物线的顶点为D. B (①)求该抛物线的解析式和点D的坐标. (②)连接AC,若线段AC上方的抛物线上有一点E,线段AC上有一点F,且EF∥y轴，求EF的最大值， 并求出此时点E的坐标 (3)若点P在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点Q,使以A,B,P,Q为顶点的四边形为平行四边形？若 存在，请直接写出满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由， 3.(25-26八年级上·重庆云阳月考)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于 两点A2,0),B(6,0),与y轴交于点C(0,6. A 图1 图2 (1)求抛物线解析式， (2)在直线BC下方抛物线上有一点P,当△PBC的面积最大时，求点P的坐标及△PBC面积的最大值， (3)将该抛物线向左平移4个单位，得到新抛物线y,新抛物线y与原抛物线的交点为E(2,0),点F是新抛 物线对称轴上一点，在(2)的条件下，在新抛物线上是否存在点Q,使得以点P,E,F,Q为顶点的四 边形是平行四边形，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由， 4.(24-25九年级上广东中山期中)抛物线y=ax2-2x+c(a≠0)与x轴交于点A-3,0),B两点，与y轴 2/9 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 交于点C(0,3),点P是抛物线上的一个动点. V O B OB\ 图1 图2 (1)求抛物线的函数解析式和直线AC的解析式： (2)如图1，点P在线段AC上方的抛物线上运动（不与A,C重合），过点P作PD⊥AB，,垂足为D,PD交 AC于点E.若点P的横坐标为x,请用x的式子表示PE,并求PE的最大值； (3)如图2，点M是抛物线的对称轴上的一个动点，抛物线上存在一点N,使得以点A,C,M,N为顶点的 四边形是平行四边形，请求写出所有符合条件的点M的坐标. 题型二二次函数中的矩形存在性问题 啸方法 1解题思路：确定抛物线定点（如A、B),设动点P、Q,分以AB为边或对角线，利用矩形“对角线互相 平分且相等”或“平行四边形+一角为直角”的性质分析。 2.解题技巧：用中点坐标公式（对角线中点重合）和勾股定理（对角线等长）列方程，借抛物线表达式消元； 结合斜率（垂直时积为1）验直角，限定动点范围。 3解题方法：代数法联立对角线条件方程求解；先证平行四边形再验证直角（斜率法），结合图形验合理性。 1.(2025湖北模拟预测)如图，抛物线y=x2+6x+5经过A、B两点，顶点为M,对称轴1与x轴交于点 D,与直线AC交于点E. 3/9 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (I)将抛物线沿直线AB平移，使得点A落在点B处记为，此时点C的对应点为C,求点C的坐标，判断 四边形AA'CC'的形状，并说明理由 (②)设G是坐标平面内一点，当以A、C、G、M为顶点的四边形是平行四边形时.求点G的坐标. (3)设G是抛物线上的对称轴上一点，K是坐标平面内一点，是否存在点G,使得以A、C、G、K为顶点的 四边形是矩形，若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由 2.(25-26九年级上四川成都·期中)如图，抛物线与轴交于A(-1,0),B3,0),C(0,-3)顶点为D B (1)抛物线的解析式是 顶点D的坐标是 ，对称轴是 (2)M为抛物线上一点，当LCAM=45°时，求M点坐标. (3)点E是y轴上的一个动点，点F是坐标平面内一个动点，是否存在这样的点E,F使得四边形BDEF是 矩形？若存在，求出E,F的坐标；若不存在，说明理由， 3.(2025·辽宁模拟预测)如图，矩形ABCD在平面直角坐标系中，A-1,0),B(3,0,C(3,3),抛物线 少=x+bx+c经过点A和点B. YA B 备用图 (1)求抛物线的解析式： (②)点E在x轴上方的抛物线上，当S.4cE=4S%形cn时，求点E的坐标， (3)点P在抛物线的对称轴上，点Q在坐标平面内，以A,C,P,Q为顶点的四边形为矩形，请直接写出点 Q的坐标。 4.(2024湖南模拟预测)如图，已知关于x的抛物线y=ax2+bx+c与直线y=c+d交于A-3,0)、 4/9 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B(0,3)两点（其中a,b,c,k,d均为常数），且与x轴交于另一点C(1,0). (1)求此抛物线和直线的解析式： (2)若有关于x的二次函数y=ax2+bx+c,则称y2=ay2+by,+c为y=ax2+bx+c的孪生函数，求(1)中 二次函数的自变量x取何值时，它的李生函数y取得最大值； (3)若点P为(1)中抛物线上一动点，点Q为平面内一动点，请直接写出以点A、B、P、Q四点能构成矩 形的点P的横坐标. 题型三二次函数中的菱形存在性问题 啸方法 1.解题思路：确定抛物线定点（如A、B),设动点P、Q,分以AB为边（邻边相等）或对角线（对角线垂 直平分)两类，利用菱形“四边相等”或“平行四边形+邻边相等”性质分析。 2解题技巧：用距离公式表边长（四边相等），中点坐标公式（对角线平分），斜率乘积1（对角线垂直)列 方程，结合抛物线消元，限定动点范围。 3解题方法：代数法联立平行四边形与邻边相等方程；先证平行四边形，再验四边相等或对角线垂直，结合 图形验合理性。 1.(2025湖北二模)如图.二次函数y=x2+bx+c的图象交x轴于点A,B,交y轴于点C,点B的坐标 为1,0)，对称轴是直线x=-1,点P是x轴上一动点，PM⊥x轴，交直线AC于点M,交抛物线于点N. 5/9 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 M (①)求这个二次函数的解析式： (2)若点P在线段AO上运动（点P与点A,点O不重合），求四边形ABCN面积的最大值.并求出此时点P的 坐标； (3)若点P在x轴上运动，则在y轴上存在点Q,使以M、N、C、Q为顶点的四边形是菱形.请直接写出 所有满足条件的点Q的坐标， 2.(25-26九年级上广东·阶段练习)如图，二次函数y=-x2+3x+m的图象与x轴的一个交点为B(4,0), 另一个交点为A,且与y轴相交于C点. B B 备用图 (1)求m的值及C点坐标. (②)P为抛物线上一点，它关于直线BC的对称点为Q,当四边形PBOC为菱形时，求点P的坐标. (3)连接BC,在直线BC上方的抛物线上是否存在一点M,使得四边形ABMC的面积最大，若存在，求出此 时M点坐标；若不存在，请简要说明理由 3.(2526九年级上广东清远月考)如图，在平面直角坐标系x0y中，二次函数y=-2+x+c的图象经 2 过点A1,0),且当x=0和r=5时所对应的函数值相等，一次函数y=-x+3与二次函数y=-x+b+c的 图象分别交于B,C两点，点B在第一象限， 6/9 高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 VA (1)求二次函数y= 2r+bc+c的表达式， (2)连接AB,AC,试判断ABC的形状，并说明理由： (3)点M是线段AC的中点，二次函数的图象上是否存在点N,使得四边形BMCN是菱形？若存在，请求出 点N的坐标；若不存在，请说明理由. 4.(2025·内蒙古乌海.一模)如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A,B 两点，B点的坐标为3V3,0,与y轴交于点C(0,-3),动点M、N分别在线段BC、OB上，点P是直线BC 下方抛物线上的一个动点. (①)求二次函数解析式： (②)连接PO,PC,并将△POC沿y轴对折，得到四边形POP'C.是否存在点P,使四边形POP'℃为菱形？ 若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由； (3)当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积： (4)若CN+MN的值最小，求点M、N的坐标. 题型四 二次函数中的正方形存在性问题 啸方法 1解题思路：确定抛物线定点（如A、B),设动点P、Q,分以AB为边（邻边等且垂直）或对角线（对角 线等且垂直平分)，利用正方形“四边等+四角直”或“菱形+矩形”性质分析。 2解题技巧：用距离公式（边等）、斜率积-1（垂直)、中点重合（对角线平分）列方程，借抛物线消元，结 7/9 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 合图形限动点范围。 3解题方法：代数法联立邻边等与垂直方程；先证矩形再验邻边等，或先菱形再验直角，结合图形验合理性 1.(24-25九年级上福建莆田·阶段练习)如图，在平面直角坐标系中，点A2,4)在抛物线y=ax2上，过点 A作y轴的垂线，交抛物线于另一点B,点C,D在线段AB上，分别过点C,D作x轴的垂线，交抛物线 于E,F两点. 0 (1)求抛物线对应的函数解析式； (2)当四边形CDFE为正方形时，求线段CD的长， 2.(2025西藏模拟预测)如图，直线y=-3x+3与x轴、y轴分别交于A、B两点，抛物线y=a(x-2)2+k经 过A、B两点，并与x轴交于另一点C. o* (I)求此抛物线的函数解析式： (2)若抛物线的对称轴上有一点Q,使得△ABQ是以AB为底边的等腰三角形，求点Q的坐标； (3)在抛物线及其对称轴上分别取点M,N,使得以A,C,M,N为顶点的四边形为正方形，求此正方形的边长， 3.(25-26九年级上江苏南通阶段练习)已知二次函数y=a(x-1)2+k的图象经过点A(0,3)和点B(3,0)· (①)求这个二次函数的表达式： (2)若点C(x,m)、D(x2,m)都在这个二次函数的图象上，且1≤x-x2≤3，求m的取值范围； (3)若点P,Q在直线AB上，问：在该二次函数图象上是否存在点M、N,使得四边形PQMN是正方形？若 存在，请直接写出P的长；若不存在，请说明理由 8/9 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 4.（2025辽宁模拟预测)如图，已知抛物线y=ax2+bx-3与x轴交于点A(1,0),B3,0),与y轴交于点C. 备用图 (1)求抛物线的解析式： (2)点D是x轴上方抛物线上的一点，过点D作x轴的垂线，交直线BC于点E,求四边形ADBE的面积最大 值及此时点D的坐标； (3)点F在直线BC上，点P在抛物线上，点Q在坐标平面内，以B,F,P,Q为顶点的四边形为正方形， 请直接写出点Q的坐标. 9/9 微专题06 二次函数中的特殊四边形存在性问题四大题型 题型一 二次函数中的平行四边形存在性问题 1.解题思路：确定抛物线定点（如A、B），设动点P、Q，分以AB为边或对角线两类，利用平行四边形对边平行且相等或对角线互相平分性质分析。 2.解题技巧：用中点坐标公式（对角线中点重合）列方程，结合抛物线表达式消元；借向量平行（坐标差相等）简化关系，注意动点范围。 3.解题方法：代数法联立中点或向量方程求解；辅以几何法（平移定点得动点轨迹），验证四点不共线及图形合理性。 1.（25-26九年级上·山东东营·阶段练习）二次函数的图象过，两点，与y轴相交于点C． (1)求二次函数的解析式； (2)若点是第四象限内抛物线上的一动点，当点到直线的距离最大时，求点的坐标； (3)若点是平面内一点，是否存在以为顶点的平行四边形，若存在，请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】（1）利用待定系数法求解； （2）作于点Q，作于点N，交于点M，先求出直线的解析式为，设点，则点，，利用面积法可得，化为顶点式，即可求出取最大值时t的值，将t的值代入二次函数解析式即可求出点P的坐标； （3）分三种情况：当为对角线时，当为对角线时，当为对角线时，利用中点坐标公式，列出方程组，解方程组即可． 【详解】（1）解：二次函数的图象过，两点， ， 解得：， 二次函数的解析式为； （2）解：如图所示，作于点Q，作于点N，交于点M， 由（1）知二次函数的解析式为， 令，得， 点C的坐标为， 设直线的解析式为，将，代入， 得：， 解得， 直线的解析式为． 设点，则点， ， ， ，， ， ， ， ， 当时，取最大值， 此时，， 点P的坐标为； （3）解：设，，，， 当为对角线时，， 解得：， ∴此时； 当为对角线时，， 解得：， ∴此时； 当为对角线时，， 解得：， ∴此时； 综上可知，点M的坐标为或或． 2．（25-26九年级上·天津滨海新·期中）如图，抛物线的图象与x轴交于点和点，与轴交于点，抛物线的顶点为． (1)求该抛物线的解析式和点的坐标． (2)连接，若线段上方的抛物线上有一点，线段上有一点，且轴，求的最大值，并求出此时点的坐标． (3)若点在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点，使以为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)， (3)存在满足条件的点的坐标有． 【分析】本题考查了二次函数综合题，利用待定系数法求函数解析式，利用平行四边形的性质，根据平行四边形对角线中点坐标相同求点的坐标是解题的关键． ()根据待定系数法，即可求得抛物线的解析式； ()先求出直线解析式，设点的坐标为，点的坐标为，且轴，得的解析式，即可求解； ()分类讨论：当为对角线，当为对角线，当为对角线，三种情况根据平行四边形对角线中点坐标相同进行求解即可． 【详解】（1）解：将点和点的坐标分别代入抛物线， 得， 解得， ∴抛物线的解析式为， ∵， ∴顶点的坐标为； （2）∵抛物线与轴交于点， ∴点的坐标为， 设直线的解析式为， 将点和的坐标代入， 得， 解得， ∴直线的解析式为 ∵点在抛物线上且在线段上方，点在线段上，且轴， ∴设点的坐标为，点的坐标为， ∴， ∴当时，有最大值， ∴， 此时，点的坐标为； （3）∵抛物线解析式， ∴抛物线对称轴为直线，设， ①如图，当为对角线时，由平行四边形对角线中点坐标相同可得： ， ∴， 在中，当时，， ∴， ②当且时，可得： ， ∴或， 在中， 当时，，当时，， ∴或； 综上所述，存在满足条件的点的坐标有． 3．（25-26八年级上·重庆云阳·月考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，，与轴交于点． (1)求抛物线解析式． (2)在直线下方抛物线上有一点，当的面积最大时，求点的坐标及面积的最大值． (3)将该抛物线向左平移4个单位，得到新抛物线，新抛物线与原抛物线的交点为，点是新抛物线对称轴上一点，在（2）的条件下，在新抛物线上是否存在点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点的坐标为，的最大值为 (3)点的坐标为或或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先利用待定系数法求出一次函数的解析式，然后设点的坐标为，过点作轴交于点，则点的坐标为，然后将，用的代数式表示出来，最后根据二次函数的性质求出面积的最大值； （3）根据平移规律求出抛物线，分情况讨论平行四边形的存在性：以为边或以为对角线两种情况讨论求解． 【详解】（1）解：设抛物线的交点式为， 将点代入上式，得， 解得，， ，即； （2）设直线的解析式为，将代入，得， 解得， 直线的解析式为， 设点的坐标为过点作轴交于点，则点的坐标为， ， ， 当时，的最大值， 此时，点的纵坐标为，即； （3）原抛物线向左平移4个单位后，所得新抛物线，即， 抛物线的对称轴为轴， 设，， 情况1：以为边，四边形为平行四边形，根据中心对称的性质，得 ，解得， 点的坐标为; 以为边，四边形为平行四边形，根据中心对称的性质，得 解得， 点的坐标为; 以为对角线，四边形是平行四边形，根据中心对称的性质，得 解得， 点的坐标为; 综上所述，点 的坐标为 或 或  ． 4．（24-25九年级上·广东中山·期中）抛物线与轴交于点，两点，与轴交于点，点是抛物线上的一个动点． (1)求抛物线的函数解析式和直线的解析式； (2)如图，点在线段上方的抛物线上运动（不与重合），过点作，垂足为，交于点．若点的横坐标为，请用的式子表示，并求的最大值； (3)如图，点是抛物线的对称轴上的一个动点，抛物线上存在一点，使得以点为顶点的四边形是平行四边形，请求写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】(1)， (2)；最大值为 (3)或或 【分析】（）利用待定系数法解答即可求解； （）由题意可知，，，进而可得，再根据二次函数的性质解答即可求解； （）分为平行四边形的边和对角线两种情况，分别画出图形，利用平行四边形的性质解答即可求解； 本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的几何应用，平行四边形的性质，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】（1）解：把和代入得， ， 解得， ∴抛物线的函数解析式为， 设直线的解析式为，把和代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为； （2）解：若点的横坐标为，则，， ∴， ∵， ∴当时，取最大值，最大值为； （3）解：①当为平行四边形的边，点在对称轴右侧时，如图，则有，且，过点作对称轴的垂线，垂足为，设交对称轴于点， 则， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴点到对称轴的距离为， 又∵， ∴抛物线对称轴为直线， 设点，则， 解得 或（不合，舍去）， 当时，， ∴， ∴； ②当为平行四边形的边，点在对称轴左侧时，如图，则有，且，过点作对称轴的垂线，垂足为，设交对称轴于点， 同理①可证， ∴，， ∴点到对称轴的距离为， 设点，则， 解得或（不合，舍去）， 当时，， ∴， ∴ ③当为平行四边形的对角线时，如图，设的中点为， ∵，， ∴， ∵点在对称轴上， ∴点的横坐标为， 设点的横坐标为，根据中点公式得， ∴， 把代入，得， ∴， ∵， ∴点在轴上， ∴； 综上所述，点的坐标为或或． 题型二 二次函数中的矩形存在性问题 1.解题思路：确定抛物线定点（如A、B），设动点P、Q，分以AB为边或对角线，利用矩形“对角线互相平分且相等”或“平行四边形+一角为直角”的性质分析。 2.解题技巧：用中点坐标公式（对角线中点重合）和勾股定理（对角线等长）列方程，借抛物线表达式消元；结合斜率（垂直时积为-1）验直角，限定动点范围。 3.解题方法：代数法联立对角线条件方程求解；先证平行四边形再验证直角（斜率法），结合图形验合理性。 1.（2025·湖北·模拟预测）如图，抛物线经过A、B两点，顶点为M，对称轴l与x轴交于点D，与直线交于点E． (1)将抛物线沿直线平移，使得点A落在点B处记为，此时点的对应点为C，求点的坐标，判断四边形的形状，并说明理由． (2)设G是坐标平面内一点，当以A、C、G、M为顶点的四边形是平行四边形时．求点G的坐标． (3)设G是抛物线上的对称轴上一点，K是坐标平面内一点，是否存在点G，使得以A、C、G、K为顶点的四边形是矩形，若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)四边形是平行四边形，理由见解析； (2)或或； (3)存在，或或或 【分析】此题考查了二次函数综合题，熟练掌握二次函数的图象和性质是关键． （1）证明，即可得到是平行四边形； （2）①若为的对角线时，则与互相平分，② 若为的对角线，则与互相平分，③ 若为的对角线，则与互相平分，分三种情况进行解答即可； （3）要使以A、C、G、K为顶点的四边形是矩形，则一定是直角三角形，分三种情况进行解答即可． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形，理由如下： ∵抛物线与y轴交于点C， 令，则， ∴点， 令，则， 解得， ∴，， ∴由平移的性质可知， ∵， ∴是平行四边形； （2）∵抛物线的解析式为， ∴点， 设点， ∵，， ①若为的对角线时，则与互相平分， ∴    ∴ 解得   ∴ ② 若为的对角线，则与互相平分， ∴    ∴ 解得   ∴ ③ 若为的对角线，则与互相平分 ∴    ∴ 解得   ∴ 综上所述，点G的坐标为或或； （3）存在， 要使以A、C、G、K为顶点的四边形是矩形，则一定是直角三角形， ∵点G在对称轴上， ∴设点G的坐标为， 由勾股定理，得，， ①若，则 即， 得， 此时点G的坐标为， ② 若，则， 解得， 此时点G的坐标为， ③ 若，则， 解得， 此时点G的坐标为或， 综上可知，点G的坐标为或或或． 2．（25-26九年级上·四川成都·期中）如图，抛物线与轴交于，，顶点为． (1)抛物线的解析式是___________，顶点D的坐标是___________，对称轴是___________． (2)为抛物线上一点，当时，求M点坐标． (3)点E是y轴上的一个动点，点F是坐标平面内一个动点，是否存在这样的点E，F使得四边形是矩形？若存在，求出E，F的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)，顶点D的坐标是，对称轴是直线； (2)； (3)， 【分析】（）利用待定系数法解答即可求解； （）如图，把绕着点逆时针旋转到位置，过点作轴于点，可证，得到，，即可得，过点作的垂线交于点，交抛物线于点，可知，，利用中点坐标公式可得，再利用待定系数法求出直线的函数解析式，最后联立两函数解析式解方程组即可求解； （）先求出顶点的坐标，设，，画出图形，利用矩形的性质和勾股定理解答即可求解． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为，把代入得， ， 解得， ∴抛物线的解析式为， ∴顶点D的坐标是，对称轴是直线； （2）解：如图，把绕着点逆时针旋转到位置，过点作轴于点，则，，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， 过点作的垂线交于点，交抛物线于点， ∵，， ∴，， 即点为的中点， ∴， 即， 设直线的函数解析式为，把、代入得， ， 解得， ∴直线的函数解析式为， 由，解得，， ∴； （3）解：存在． ∵， ∴， 设，， 如图， ∵， ∴， 整理得，， ∴， ∴， ∴对角线交点的坐标为， ∴，， ∴，， ∴． 3．（2025·辽宁·模拟预测）如图，矩形在平面直角坐标系中，，抛物线经过点A和点B． (1)求抛物线的解析式； (2)点E在轴上方的抛物线上，当时，求点E的坐标； (3)点P在抛物线的对称轴上，点Q在坐标平面内，以A，C，P，Q为顶点的四边形为矩形，请直接写出点Q的坐标． 【答案】(1)； (2)或或； (3)，，，． 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式、二次函数与面积的综合、二次函数与矩形的综合、勾股定理逆定理等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）直接运用待定系数法求解即可； （2）如图：过E作轴，交直线于点F，交x轴于点H，设点E的坐标为，根据已知条件可得、、，再求得直线的解析式为，则点F的坐标为，；再根据求得，然后分两种情况求得m的值即可解答； （3）由题意可得对称轴为，设，结合分为矩形的对角线、为矩形的边、为矩形的对角线三种情况，分别根据矩形的对角线相互平分以及一个角为直角的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵在抛物线， ∴，解得：， ∴抛物线的解析式为． （2）解：如图：过E作轴，交直线于点F，交x轴于点H， 设点E的坐标为， ∵，矩形， ∴， ， 设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线的解析式为， ∵轴， ∴点F的坐标为， ， ∴ ， ， ∴， ∴， ①时，整理得：， 解得：或， ∴点E的坐标为或． ②时，整理得：， 解得：或（不合题意、舍弃）， ∴点E的坐标为； 综上，点E的坐标为或或． （3）解：∵抛物线的解析式为， ∴对称轴为直线， 设，， ①如图：当为矩形的对角线， 由中点坐标公式得： ，解得：， 又∵， ∴， ∴， 解得：或4， ∴或 ∴，； ②如图：当为矩形的边时， 由中点坐标公式得： ，解得：， 又∵， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴； ③若为矩形的对角线， 由中点坐标公式得：，， ，解得：， 又∵， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴． 综上，点Q的坐标为，，，． 4．（2024·湖南·模拟预测）如图，已知关于x的抛物线与直线交于、两点（其中a，b，c，k，d均为常数），且与轴交于另一点．    (1)求此抛物线和直线的解析式； (2)若有关于x的二次函数，则称为的孪生函数，求（1）中二次函数的自变量取何值时，它的孪生函数取得最大值； (3)若点P为（1）中抛物线上一动点，点Q为平面内一动点，请直接写出以点A、B、P、Q四点能构成矩形的点P的横坐标． 【答案】(1)抛物线的解析式为，直线的解析式为； (2)二次函数的自变量或时，它的孪生函数取得最大值； (3)以点A、B、P、Q四点能构成矩形的点P的横坐标为，或，或，或． 【分析】（1）把、代入，可得，，从而可得直线的解析式，把、、代入，可得，，，从而可得抛物线的解析式； （2）写出的孪生函数的表达式，可知当时取最大值，令，解方程即可； （3）设，根据题意可知，满足题意的点可能在第一象限、第二象限、第四象限，分类讨论，构造直角三角形，由矩形的性质，结合等角的正切值相等，列方程求解，即可得点的横坐标． 【详解】（1）解：∵、两点在直线上， ∴， 解得， ∴， ∵、、在抛物线上， ∴， 解得， ∴， ∴抛物线的解析式为，直线的解析式为． （2）解：由（1）得， ∴， ∴当时，取最大值，最大值为， ∴， 解得或， ∴二次函数的自变量或时，它的孪生函数取得最大值． （3）解：∵、， ∴，， 设， 如图1，四边形为矩形， ∴， 作轴于点，则， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴点的横坐标为；    如图2，四边形为矩形， ∴， 作轴于点，作轴于点，则，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴点的横坐标为；    如图3，四边形为矩形， ∴， 作轴，轴，则，，， ∴， ∴，， ∴， ∴点的横坐标为；    如图4，四边形为矩形， ∴， 又∵， ∴， ∴， 作轴于点，则， ∴， ∴点的横坐标为； ∴以点A、B、P、Q四点能构成矩形的点P的横坐标为，或，或，或．    题型三 二次函数中的菱形存在性问题 1.解题思路：确定抛物线定点（如A、B），设动点P、Q，分以AB为边（邻边相等）或对角线（对角线垂直平分）两类，利用菱形“四边相等”或“平行四边形+邻边相等”性质分析。 2.解题技巧：用距离公式表边长（四边相等），中点坐标公式（对角线平分），斜率乘积-1（对角线垂直）列方程，结合抛物线消元，限定动点范围。 3.解题方法：代数法联立平行四边形与邻边相等方程；先证平行四边形，再验四边相等或对角线垂直，结合图形验合理性。 1.（2025·湖北·二模）如图．二次函数的图象交轴于点，，交轴于点，点的坐标为，对称轴是直线，点是轴上一动点，轴，交直线于点．交抛物线于点． (1)求这个二次函数的解析式； (2)若点在线段上运动（点与点，点不重合），求四边形面积的最大值．并求出此时点的坐标； (3)若点在轴上运动，则在轴上存在点，使以、、、为顶点的四边形是菱形．请直接写出所有满足条件的点的坐标． 【答案】(1) (2)四边形面积的最大值是，此时 (3)存在，点的坐标为或或 【分析】（1）由抛物线对称轴是直线，可求出，再根据点的坐标为，求出，即可求解； （2）连接，设，则，可得，再求出点，，得到，，，由可得，根据二次函数的性质可得答案； （3）求出直线的解析式为，设，，则，，由知，，是菱形的一组对边；分两种情况：①当、为对角线时，、的中点重合，且，②当、为对角线时，、的中点重合，且，分别列出方程组，即可解得答案． 【详解】（1）解：二次函数的对称轴是直线， ， ， 点的坐标为， ， ， 二次函数的解析式为； （2）解：如图，连接， 设，则， ， 在中，令，则，令，则， 解得：或， ，， ，， ， ， ， ， 当时，四边形的面积取最大值，四边形面积的最大值是，此时； （3）解：在轴上存在点，使以、、、为顶点的四边形是菱形，理由如下： 设直线的解析式为，将，代入得： ， 解得：， 直线的解析式为， 设，，则，， ， 当以、、、为顶点的四边形是菱形时，，是一组对边； ①当、为对角线时，、的中点重合，且， ， 解得：（此时、与重合，舍去）或， ； ②当、为对角线时，、的中点重合，且， ， 解得：（舍去）或 或， 或； 综上所述，点的坐标为或或． 2.（25-26九年级上·广东·阶段练习）如图，二次函数的图象与x轴的一个交点为，另一个交点为A，且与y轴相交于C点．    (1)求m的值及C点坐标． (2)为抛物线上一点，它关于直线的对称点为Q，当四边形为菱形时，求点P的坐标． (3)连接，在直线上方的抛物线上是否存在一点M，使得四边形的面积最大，若存在，求出此时M点坐标；若不存在，请简要说明理由． 【答案】(1)，； (2)或 (3) 【分析】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数、一次函数的解析式． （1）用待定系数法求出抛物线解析式； （2）先判断出四边形是菱形时，点P是线段的垂直平分线，利用该特殊性建立方程求解． （3）设点，首先推导出，即可求解． 【详解】（1）解：将代入， 解得，， 二次函数解析式为， 令，得， ； （2）解：如图，   点P在抛物线上， 设， 当四边形是菱形时，点P在线段的垂直平分线上， ，， 线段的垂直平分线的解析式为， ， ， 或； （3）解：过点M作y轴的平行线交于点H，如图，    令，解得或， ， ． ． ， 所以当的面积有最大值时，则四边形的面积最大， 设直线的解析式为 将点B、C的坐标代入得：， 解得 直线的解析式为， 设点，则点， ， 故当时，有最大值，此时四边形的面积最大值为， 故点 3．（25-26九年级上·广东清远·月考）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，且当和时所对应的函数值相等．一次函数与二次函数的图象分别交于B，C两点，点在第一象限． (1)求二次函数的表达式； (2)连接，，试判断的形状，并说明理由； (3)点是线段的中点，二次函数的图象上是否存在点，使得四边形是菱形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)直角三角形，理由见解析 (3) 【分析】（1）根据当和时所对应的函数值相等，可得，根据待定系数法，可得函数解析式； （2）联立抛物线与直线，可得方程组，根据解方程组，可得B、C点坐标，根据勾股定理的逆定理求解即可； （3）首先得到，然后得到当四边形是平行四边形时，四边形是菱形，求出，设点N的横坐标为n，然后根据平行四边形的性质求解即可． 【详解】（1）∵当和时所对应的函数值相等 ∴对称轴为直线 ∴ ∴ 将代入得， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）如图所示，连接，， 联立抛物线与直线，得， 解得或， ∴，， ∵ ∴， ∴， ∴是直角三角形； （3）如图所示， 由（2）得， ∴ ∵点是线段的中点， ∴， ∴当四边形是平行四边形时，四边形是菱形 ∵，， ∴，即， 设点N的横坐标为n， ∵ ∴ ∴ ∴将代入 ∴． 4．（2025·内蒙古乌海·一模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，B点的坐标为，与y轴交于点，动点M、N分别在线段上，点P是直线下方抛物线上的一个动点． (1)求二次函数解析式； (2)连接，，并将沿轴对折，得到四边形．是否存在点，使四边形为菱形？若存在，求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)当点运动到什么位置时，四边形的面积最大？求出此时点的坐标和四边形的最大面积； (4)若的值最小，求点M、N的坐标． 【答案】(1) (2)存在， (3)点运动到点时，四边形的面积最大，其最大值为 (4)， 【分析】本题考查了二次函数与几何综合，菱形的性质，轴对称的性质，三角函数，正确作出辅助线是解题的关键． （1）先根据点坐标求出，再将点坐标代入二次函数解析式中求出，即可得出结论； （2）连接交轴于，根据菱形的性质判断出点是的中点，进而求出点的纵坐标，最后代入二次函数解析式中求解，即可得出结论； （3）设出点的坐标，进而利用梯形的面积三角形的面积得出相关解析式，即可得出结论； （4）作点关于轴的对称点，连接，当三点共线，且时，最小，利用一次函数的性质即可解答． 【详解】（1）解：二次函数与轴的交点， ， 二次函数的解析式为， 点在二次函数图象上， ， ， 二次函数的解析式为； （2）解：存在，理由：如图1， 连接交轴于， 四边形为菱形， ，， 点， ， ， 点的纵坐标为， 由（1）知，二次函数的解析式为， ， 或， 点在直线下方的抛物线上， ， 点； （3）解：如图2，过点作轴于，交于点， 由（1）知，二次函数的解析式为， 令，则， 或， ， 设直线的解析式为， 把代入直线， 可得， 解得，， 直线的解析式为， 设，， ， ， 当时，四边形的面积最大，最大值为，此时，， 即点运动到点时，四边形的面积最大，其最大值为； （4）解：如图，作点关于轴的对称点，连接，则， ， 则可得， ， 当三点共线，且时，最小， ， ， ，即， ， ， ， 设直线的解析式为， 把，代入直线解析式可得， ， 解得， 所以直线的解析式为， 联立方程， 解得， ， ∴当的值最小，，． 题型四 二次函数中的正方形存在性问题 1.解题思路：确定抛物线定点（如A、B），设动点P、Q，分以AB为边（邻边等且垂直）或对角线（对角线等且垂直平分），利用正方形“四边等+四角直”或“菱形+矩形”性质分析。 2.解题技巧：用距离公式（边等）、斜率积-1（垂直）、中点重合（对角线平分）列方程，借抛物线消元，结合图形限动点范围。 3.解题方法：代数法联立邻边等与垂直方程；先证矩形再验邻边等，或先菱形再验直角，结合图形验合理性。 1.（24-25九年级上·福建莆田·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点在抛物线上，过点作轴的垂线，交抛物线于另一点，点，在线段上，分别过点，作轴的垂线，交抛物线于，两点． (1)求抛物线对应的函数解析式； (2)当四边形为正方形时，求线段的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次函数图像上点的坐标及正方形边长相等等知识点，熟练掌握二次函数的图像及性质是解决本题的关键． （1）将点代入抛物线中求出解析式为； （2）设，进而求得E点坐标为，代入中即可求解． 【详解】（1）将点代入抛物线中，得 解得， ∴抛物线解析式为； （2）设、分别与轴交于点M和点N， 当四边形为正方形时，设，则，， ∴E点坐标为，代入抛物线中， 得到：， 解得，（负值舍去）， ∴． 2.（2025·西藏·模拟预测）如图，直线与轴、轴分别交于两点，抛物线经过A、B两点，并与轴交于另一点． (1)求此抛物线的函数解析式； (2)若抛物线的对称轴上有一点，使得是以为底边的等腰三角形，求点的坐标； (3)在抛物线及其对称轴上分别取点，使得以为顶点的四边形为正方形，求此正方形的边长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据一次函数的解析式求出A、B坐标，代入抛物线的解析式即可求出a、k，进而得到答案； （2）过点作对称轴于点，设，根据并结合勾股定理求出t即可； （3）作出图象，可知以为顶点的四边形为正方形时，和分别为对角线，利用对称性和勾股定理即可求解． 本题考查了一次函数与坐标轴的交点、待定系数法求二次函数解析式、勾股定理解三角形、正方形的性质等，作出合理的辅助线是解题关键． 【详解】（1）解：直线与轴、轴分别交于两点， 当时，； 当时，． 抛物线经过点， ∴，解得， ， 即抛物线的函数解析式为； （2）解：如图1，过点作对称轴于点， 设抛物线的对称轴与轴交于点，则， 设，则， 解得 ； （3）解：如图2， 由正方形的性质可知，且平分， 易求， ， 解得， 即正方形的边长为． 3．（25-26九年级上·江苏南通·阶段练习）已知二次函数的图象经过点和点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)若点、都在这个二次函数的图象上，且，求m的取值范围； (3)若点P，Q在直线上，问：在该二次函数图象上是否存在点M、N，使得四边形是正方形？若存在，请直接写出的长；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)是，的长为或 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，待定系数法求函数解析式，对称轴及对称点的特征，二次函数与几何图形的综合，利用一元二次方程解决几何问题等内容，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质． （1）利用待定系数法求函数解析式即可； （2）根据二次函数的顶点式，得出对称轴，然后根据对称点的横坐标之差求解即可； （3）分类讨论，假设正方形的边长为，利用正方形的性质以及勾股定理，表示出相关线段的长度，然后联立解析式进行求解即可． 【详解】（1）解：将点和点代入得， ， 解得， ∴二次函数的表达式为； （2）解：由得，抛物线的对称轴为直线， 由点、得，两点是关于对称轴的对称点， 当时，， 此时； 当时，， 此时； ∴m的取值范围为； （3）解：是，的长为或，理由如下： 如图，此时四边形PQMN是正方形，点与点重合，直线在直线上方，直线平行于直线， 假设正方形的边长为， 由点和点可知，是等腰直角三角形， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 假设直线的解析式为， 将点和点代入解析式得， ， 解得， ∴直线的解析式为， ∴直线的解析式为， 联立得， ， ∴， ∴根据勾股定理及等腰三角形的三边关系得， ， 解得或（舍去）， ∴； 当直线在直线下方时， 同理，得 解得或（舍去）， ∴； 综上，的长为或． 4．（2025·辽宁·模拟预测）如图，已知抛物线与轴交于点，，与轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)点D是轴上方抛物线上的一点，过点D作轴的垂线，交直线于点E，求四边形的面积最大值及此时点D的坐标； (3)点F在直线上，点P在抛物线上，点Q在坐标平面内，以B，F，P，Q为顶点的四边形为正方形，请直接写出点Q的坐标． 【答案】(1) (2)的最大值为； (3)Q点为、、、 【分析】本题考查二次函数的图象与性质以及动点问题，待定系数法求解析式，正方形的性质； （1）抛物线解析式中有两个待定的系数a、b，又已知抛物线上的两个点，，将这两个点的坐标代入解析式中即可求出； （2）利用，先求出直线的解析式为，由轴得出点D、点E的横坐标相同，可设出两点的坐标，，即可表示出面积，从而利用二次函数求出最大值； （3）以B，F，P，Q为顶点的四边形为正方形则等腰直角三角形，分类讨论，在①中利用抛物线和直线解析式，设出P点的坐标，再利用正方形的性质求出P点坐标，进而求出Q点坐标；②③④可根据①的结论进行画图推导得出． 【详解】（1）解：抛物线与轴交于点，， 将，代入解析式得 解得 ∴抛物线解析式为：． （2）解：∵抛物线与轴交于点， 可令，则 ∴， 设直线的解析式为：， 将，代入得 解得 ∴直线的解析式为：， ∵，， ∴， ∵轴， ∴点D、点E的横坐标相同， 设点D、点E在的横坐标为m， ∵点D在抛物线上方， ∴， ∵点D在抛物线上方，点E在直线上， ∴由抛物线解析式和直线解析式可知点，， ∴， ∴， ， ∵，， ∴当时，有最大值，最大值为， ∴. （3）解：∵点P在抛物线上，抛物线解析式为， ∴设P的坐标为， ∵以B，F，P，Q为顶点的四边形为正方形， ∴等腰直角三角形， ①当B为直角顶点，即，，F在B的左侧，如图1，交x轴于E， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，轴， ∴， 解得或， ∵时P、B重合， ∴舍去， ∴P点为， ∵轴，且点F在直线上， ∴F点为， ∴， ∵四边形为正方形， ∴，互相垂直平分， ∴Q点为， ②当B为直角顶点，即，，F在B的右侧，如图2，交于E，作轴， 同理点P为， ∵， ∴轴， ∴F点纵坐标为1，且在直线上， ∴F点为， ∴， ∵四边形为正方形， ∴，互相垂直平分， ∴Q点为， ③当F为直角顶点，即，如图3，此时为图1中P、Q两点交换位置所得， ∴Q点为， ④当P为直角顶点，即，如图4， 此时P点坐标为，B点坐标为，F点坐标为， ∴，且， ∵四边形为正方形， ∴， ∴Q点为， 综上所述：Q点为、、、 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $