精品解析： 广东省广州市天河区天河中学初中部2025-2026学年八年级上学期期中考试数学试卷

广州市天河中学初中部2025学年第一学期期中考试 初二数学试卷 第I卷（80分） 一、单项选择题（本题有10个小题，每小题3分，共30分，每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的．） 1. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知三角形两边长分别为和，则第三边的长可以是（ ） A. B. C. D. 3. 计算的结果为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，，则的度数是（　　） A. B. C. D. 5. 下列各式中，添括号正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，已知，从下列条件中选一个，不能得到的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，是的边上的高．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，为的角平分线，于点，，，则的面积是（ ） A. 5 B. 7 C. 7．5 D. 10 9. 如图，在中，的平分线与的外角，的平分线，相交于点，则和的关系是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在和中，，，，．连接，交于点，连接．下列结论正确的是（ ）． ① ② ③平分 ④平分 A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③④ 二、填空题（本题有5个小题，每小题3分，共15分．） 11 _____． 12. 如果等腰三角形两边长分别是和，那么它的周长是__________． 13. 如图，，点，分别在，上，，交于点，根据“”证明，还需添加的一个条件是：_____． 14. 如果规定表示单项式，，表示多项式，则计算的结果是_____． 15. 如图，在长方形中，，，延长到点E，使，连接，动点P从点A出发，以每秒3个单位的速度沿运动，设点P的运动时间为t秒，当t的值为______秒时，与全等． 三、解答题（本大题有5小题，共35分，解答要求写出文字说明，证明过程或计算步骤．） 16. 计算： （1） （2） 17 如图，已知 （1）画出边上的高，垂足为点； （2）尺规作图（保留作图痕迹）：作的角平分线，交于点； （3）若，求度数． 18. 如图，点A．C．F．D在同一直线上，AF=DC，AB=DE，BC=EF． 证明： （1）△ABC≌△DEF； （2）ABDE 19. 先化简，再求值：，其中，． 20. 如图，四边形中，，平分，于点，于点． （1）求证：； （2）若，，计算的长度． 第Ⅱ卷（40分） 四、解答题（本大题有4小题，共40分，解答要求写出文字说明，证明过程或计算步骤．） 21. 一个大正方形和四个全等的小正方形按图①，②两种方式摆放（图②是小正方形在大正方形内部）．则下列说法不正确的是（ ） A. 小正方形的边长为 B. 大正方形的边长为 C. 图②的大正方形中未被4个小正方形覆盖部分的面积为 D. 若把图②的4个小正方形剪掉，剩余部分折成一个无盖长方体，则该长方体的体积为 22. （1）同学们开展了数学综合实践活动，提出了如下问题：若满足，求的值．创新小组思路是：如果设，，则，，要求的式子就是求的值．请你按这种思路，运用乘法公式，求的值． （2）如图，在长方形中，，，，是，上的点，且，分别以，为边在长方形外侧作正方形和，若长方形的面积为40，请用第（1）小题的方法，求图中阴影部分的面积和． 23. 如图①，是的平分线，点是上任意一点，用圆规分别在，上截取，连接，，则． 请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题： 如图②，在中，，，，分别是，的平分线，，相交于点． （1）的度数为_____； （2）写出与之间的数量关系，并说明理由； （3）如图③，若不是直角，其他条件不变，则（）中所得结论是否仍然成立？请说明理由． 24. 在平面直角坐标系中，已知点，，且，满足． （1）求、两点的坐标； （2）如图1，以为斜边构造等腰直角，求点的坐标； （3）如图2，已知是等腰直角三角形，，，点是线段上的一点（不与重合），，垂足为点，当点在线段上运动时，的大小是否发生变化？若改变，求出它的最大值；若不改变，求出这个定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广州市天河中学初中部2025学年第一学期期中考试 初二数学试卷 第I卷（80分） 一、单项选择题（本题有10个小题，每小题3分，共30分，每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的．） 1. 下列计算正确是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法与除法、积的乘方、幂的乘方，解题的关键是正确掌握各计算法则． 根据同底数幂的乘法与除法、积的乘方、以及幂的乘方的运算法则计算各项并判断，即可解题． 【详解】解：A. ，选项A计算错误，不符合题意； B ，选项B计算错误，不符合题意； C. ，选项C计算错误，不符合题意； D. ，选项D计算正确，符合题意； 故选：D． 2. 已知三角形的两边长分别为和，则第三边的长可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先确定第三边的取值范围，后根据选项计算选择． 【详解】设第三边的长为x， ∵ 角形的两边长分别为和， ∴3cm＜x＜13cm, 故选C． 【点睛】本题考查了三角形三边关系定理，熟练确定第三边的范围是解题的关键． 3. 计算的结果为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了多项式除以单项式，熟练掌握运算法则是解题的关键．多项式除以单项式，需将多项式的每一项分别除以单项式，然后相加，据此作答即可． 【详解】解： 故选：C． 4. 如图，，则的度数是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，掌握全等三角形的对应角相等是解题关键．由全等三角形的性质得到，再结合三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：，， ， ， ， 故选：A． 5. 下列各式中，添括号正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了添括号法则，熟练掌握知识点是解题的关键．通过检查每个选项添括号后的式子是否与原式相等，根据添括号规则（括号前是负号时，括号内各项变号）进行判断． 【详解】解：添括号时，若括号前是负号，则括号内各项符号改变； A．，错误； B．，错误； C．，正确； D．，错误； 故选：C． 6. 如图，已知，从下列条件中选一个，不能得到的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定定理，根据题意可得，，再根据全等三角形的判定定理逐一判断即可． 【详解】解：添加条件，结合条件，，可以根据证明，故A不符合题意； 添加条件，结合条件，，可以根据证明，故B不符合题意； 添加条件，结合条件，，不可以根据证明，故C符合题意； 添加条件，结合条件，，可以根据证明，故D不符合题意； 故选：C． 7. 如图，是的边上的高．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据高的定义求出的度数，所以可求，利用三角形的外角即可求出的度数． 【详解】解：∵是的边上的高， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，故B正确． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了高线的定义和三角形外角的性质，熟练掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，是解题的关键． 8. 如图，为的角平分线，于点，，，则的面积是（ ） A. 5 B. 7 C. 7．5 D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】过点D作DF⊥AB，垂足为F，由角平分线的性质，得，然后求出的面积即可． 【详解】解：过点D作DF⊥AB，垂足为F，如图： ∵为的角平分线，于点， ∴， ∴的面积为：； 故选：A 【点睛】本题考查了角平分线的性质定理，解题的关键是正确的作出辅助线，从而进行计算． 9. 如图，在中，的平分线与的外角，的平分线，相交于点，则和的关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查的是三角形内角与外角的关系，角平分线的性质，熟练应用角平分线的性质是解题关键． 根据为的角平分线，为的平分线，结合三角形外角的性质得到，解得． 【详解】解：因为平分，所以； 因为平分，所以， ，， 将代入， 得：， 又因为， 因此：， 两边同时减去，得：， 综上，和的关系是． 故选：A． 10. 如图，在和中，，，，．连接，交于点，连接．下列结论正确的是（ ）． ① ② ③平分 ④平分 A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的判定，三角形内角和定理，对顶角相等，熟练掌握知识点是解题的关键．通过证明，根据全等三角形的性质可得②；利用三角形内角和定理和对顶角相等，可判断①，过点O分别作，垂足分别为E，F，根据全等三角形对应边的高相等可得，进而可判断③④． 【详解】解：∵， ∴，即， ∵，， ∴， ∴，故②正确； ， 设和交于点N， ∵， ∴，即，故①正确； 过点O分别作，垂足分别E，F， ∵， ∴， ∴平分，故③错误，④正确； 综上，正确的有①②④， 故选：B． 二、填空题（本题有5个小题，每小题3分，共15分．） 11. _____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了零指数幂，根据零指数幂法则直接计算即可，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 如果等腰三角形的两边长分别是和，那么它的周长是__________． 【答案】##22厘米 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形的三边关系．熟练掌握三角形的三边关系确定第三边的长是解题的关键． 分两种情况讨论：当腰长为或当腰长为，根据三角形三边关系进行判断能否组成三角形，再求解三角形周长． 【详解】解：当腰长为，则三边为， 此时，不能组成三角形，舍去； 当腰长为，则三边为， 此时，能组成三角形，符合题意， ∴它的周长是， 故答案为：． 13. 如图，，点，分别在，上，，交于点，根据“”证明，还需添加的一个条件是：_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理的应用，能理解全等三角形的判定定理是解此题的关键． 由题目得到一对等边和一对等角，根据“”判定定理，还需一组夹边的另一组角相等． 【详解】解：要根据“”（两角及其夹边对应相等）证明， 结合已知条件，（一组边），（公共角）， 根据“”判定定理，还需一组夹边的另一组角相等， 即； 在和中， ． 故答案为：． 14. 如果规定表示单项式，，表示多项式，则计算的结果是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了单项式乘以多项式，根据新定义和单项式乘以多项式法则计算即可． 先分别表示三角形和矩形所代表的单项式和多项式，再进行计算． 【详解】解：根据题意，三角形表示单项式的形式，即把三角形内的字母、、代入，得：， 矩形表示多项式， 因此对矩形计算得：， 将两个结果相乘并展开得， 综上，计算结果为． 故答案为：． 15. 如图，在长方形中，，，延长到点E，使，连接，动点P从点A出发，以每秒3个单位的速度沿运动，设点P的运动时间为t秒，当t的值为______秒时，与全等． 【答案】或5 【解析】 【分析】此题考查了全等三角形的性质和判定， 根据题意分两种情况：和，然后根据全等三角形的性质求解即可． 【详解】如图所示，当时， ∴ ∵在长方形中，，， ∴ ∴ ∴ ∵点P的运动时间为每秒3个单位 ∴（秒）； 如图所示，当时， ∴ ∴ ∴ ∴（秒） 综上所述，当t的值为或5秒时，与全等． 故答案为：或5． 三、解答题（本大题有5小题，共35分，解答要求写出文字说明，证明过程或计算步骤．） 16. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了积的乘方，同底数幂相乘，多项式乘以多项式，合并同类项，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先算积的乘方，同底数幂相乘，再合并同类项即可； （2）直接根据多项式乘以多项式运算法则求解即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 17. 如图，已知 （1）画出边上的高，垂足为点； （2）尺规作图（保留作图痕迹）：作的角平分线，交于点； （3）若，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查基本作图方法，角平分线的性质，三角形内角和定理，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． （1）根据要求作出图形即可； （2）根据角平分线的作图方法作图； （3）根据三角形内角和定理，角平分线的定义求解即可． 【小问1详解】 解：如图所示，延长，以点为圆心，适当长度为半径画弧，交延长线于两点；再分别以这两点为圆心，大于两点间距离一半的长度画弧，两弧交于一点；过点与该交点作直线，与相交于，则为垂足，即为边上的高． 【小问2详解】 如图所示，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交、于点、；分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于一点；过点和该交点作射线，交于点，则即为的角平分线． 【小问3详解】 因为是边上的高，所以（高的定义）， 又因为是的角平分线，且， 所以（角平分线的定义）， 在中，根据三角形内角和为，可得：． 18. 如图，点A．C．F．D在同一直线上，AF=DC，AB=DE，BC=EF． 证明： （1）△ABC≌△DEF； （2）ABDE 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）先用AF=DC得出AC＝DF，再用SSS即可判定△ABC≌△DEF； （2）由全等三角形对应角相等得到∠A=∠D即可证得结论． 【小问1详解】 证明：∵AF=DC， ∴AF－CF=DC－CF， ∴AC=DF， 在△ABC和△DEF中， ， ∴△ABC≌△DEF（SSS）． 【小问2详解】 证明：由（1）知△ABC≌△DEF， ∴∠A=∠D， ∴ABDE． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键． 19. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了整式的化简求值，先根据平方差公式和完全平方公式去括号，再计算加减，最后代入数值求解即可． 【详解】解：原式 ， 当，时，原式． 20. 如图，四边形中，，平分，于点，于点． （1）求证：； （2）若，，计算的长度． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（）由角平分线的性质得，进而根据“”可证明； （）先证明，得到，再根据得，即得，进而得到，即可求解； 本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【小问1详解】 证明：∵平分，于点，于点， ∴，， 在和中， ， ∴； 【小问2详解】 解：在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 第Ⅱ卷（40分） 四、解答题（本大题有4小题，共40分，解答要求写出文字说明，证明过程或计算步骤．） 21. 一个大正方形和四个全等的小正方形按图①，②两种方式摆放（图②是小正方形在大正方形内部）．则下列说法不正确的是（ ） A. 小正方形的边长为 B. 大正方形的边长为 C. 图②的大正方形中未被4个小正方形覆盖部分的面积为 D. 若把图②的4个小正方形剪掉，剩余部分折成一个无盖长方体，则该长方体的体积为 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算，观察两个图发现，①图中大正方形的边长等于a减去两个小正方形的变形，②图中大正方形的边长等于b加上两个小正方形的变形，据此可求出大、小正方形的边长，然后用大正方形的面积减去4个小正方形的面积，即可求出图②的大正方形中未被4个小正方形覆盖部分的面积；根据长方体的体积公式即可求出图②的4个小正方形剪掉，剩余部分折成一个无盖长方体的体积． 【详解】解：根据题意，得小正方形的边长为，大正方形的边长为，图②的大正方形中未被4个小正方形覆盖部分的面积为，若把图②的4个小正方形剪掉，剩余部分折成一个无盖长方体，则该长方体的体积为， 故选项A、C、D正确，选项B错误， 故选：B． 22. （1）同学们开展了数学综合实践活动，提出了如下问题：若满足，求的值．创新小组思路是：如果设，，则，，要求的式子就是求的值．请你按这种思路，运用乘法公式，求的值． （2）如图，在长方形中，，，，是，上的点，且，分别以，为边在长方形外侧作正方形和，若长方形的面积为40，请用第（1）小题的方法，求图中阴影部分的面积和． 【答案】（1）10；（2）96 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键． （1）设，，得出，，利用代入计算即可； （2）根据题意得，再根据（1）的方法求出的值即可． 【详解】解：（1）设，，则，， ∴ ； （2）∵，，， ∴，， ∵长方形的面积为40， ∴， 设，， 则，， ∴， ∴， ∵四边形和均为正方形， ∴图中阴影部分的面积和是：． 23. 如图①，是的平分线，点是上任意一点，用圆规分别在，上截取，连接，，则． 请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题： 如图②，在中，，，，分别是，的平分线，，相交于点． （1）的度数为_____； （2）写出与之间的数量关系，并说明理由； （3）如图③，若不是直角，其他条件不变，则（）中所得结论是否仍然成立？请说明理由． 【答案】（1） （2），理由见解析 （3）()中的结论仍然成立，理由见解析 【解析】 【分析】（）由直角三角形的性质可得，再根据角平分线的定义得到，，进而根据三角形的外角性质即可求解； （）在上截取，连接，可证，得到，，再证明，得到，即可求证； （）在上截取，连接，同理（）解答即可求解． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∵，分别是，的平分线， ∴，， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：，理由如下： 如图，在上截取，连接， ∵是的平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：()中的结论仍然成立，理由如下： 如图，在上截取，连接， 同理（）可得， ∴，， ∵， ∴， ∵，分别是，的平分线， ∴， ∴， 同理（）可证， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质，角平分线的定义，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理及外角性质，正确作出辅助线是解题的关键． 24. 在平面直角坐标系中，已知点，，且，满足． （1）求、两点的坐标； （2）如图1，以为斜边构造等腰直角，求点的坐标； （3）如图2，已知是等腰直角三角形，，，点是线段上的一点（不与重合），，垂足为点，当点在线段上运动时，的大小是否发生变化？若改变，求出它的最大值；若不改变，求出这个定值． 【答案】（1） （2）或 （3）的大小不变，总为，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据绝对值的非负性及平方的非负性可得，，进而可得，． （2）分类讨论：当点C在上方时和当点C在下方时，通过一线三垂直模型构造全等三角形求解即可； （3）作于M，交延长线，证明，则，进而可得是的角平分线，据此可得结论． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图所示，当点C在上方时，过点作轴于F，轴于E，如图所示：     ∴， ∵， ∴， ∴， ，， ， 在和中， ， ， ，， ∵， ，即：， 解得：， ，， ． 当点C在下方时，过点作轴于F，轴于E，如图：    同理可证明， ，， ∵， ∴， ∴，即：， 解得：， ， ， 综上所述：点的坐标为：或； 【小问3详解】 解：的大小不变，总为，理由如下： 作于M，交延长线，如图所示：     ， ∵， ∴， 和中， ， ， ， 是的角平分线， ． 【点睛】本题考查了坐标与图形、全等三角形的判定及性质、等腰直角三角形的性质、角平分线的性质及绝对值和平方的非负性，熟练掌握基础知识，借助适当的辅助线解决问题是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $