精品解析：吉林长春市2025—2026学年第二学期（八）年级期中考试（数学）试题（五四）

2025-2026学年第二学期（八）年级期中考试 数学试题（五四） 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内． 2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效． 3．本试卷包括三道大题，共24道小题，共8页，满分120分，考试时间为120分钟．考试结束后，将本试题和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 我国古代的《九章算术》在世界数学史上首次正式引入负数．若气温零上记作，则气温零下记作（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算中，结果正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 四月的长春，繁花盛开，春意满满，伊通河樱花岛成为一道迷人的风景线．已知每片樱花重约0.000018克，数据0.000018用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 4. 在平面直角坐标系中，点到轴的距离是1，到轴的距离是3，且在第四象限，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 5. 将函数的图象向上平移3个单位长度后经过点，则b的值为（ ） A. 1 B. 3 C. 4 D. 7 6. 关于x的一元二次方程x2﹣2（m﹣2）x+m2＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围为（　　） A. m＞1 B. m＜1 C. m＞﹣1 D. m＜﹣1 7. 如图，从一个大正方形中裁去面积为和的两个小正方形，则余下部分的面积为（    ） A. B. C. D. 8. 如图，点在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象和的图象之间，且轴，则点B的坐标可能是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9. 分解因式：____________． 10. 点关于x轴的对称点的坐标为_______________． 11. 如图，在矩形中，对角线与相交于点O，若，则的长为______． 12. 若关于x的一元二次方程x2﹣2x+k=0无实数根，则实数k的取值范围是________． 13. 在平行四边形ABCD中，∠A＋∠C＝240°，则∠B＝______°． 14. 如图，在矩形中，，连接，分别以点A和点C为圆心，大于一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点M和点N，直线分别交于点E、F，连接．给出下面四个结论：①；②四边形是菱形；③；④．上述结论中，所有正确结论的序号是 __________． 三、解答题（本大题共10小题，共78分） 15. 计算： （1） （2） 16. 先化简，再求值：，其中． 17. 某公司自使用豆包后，每小时比原来多完成100件作品，且使用豆包完成600件作品所用时间与原来完成300件作品所用时间相等．问该公司使用豆包后每小时能完成多少件作品？ 18. 已知：在中，，于点F，四边形中，，．连接交于点M，连接交于点N，D为的中点． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求的值 19. 如图，图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，正方形的四个顶点均在格点上，为正方形的对角线．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求画图，保留必要的作图痕迹． （1）在图①中，点M是边上的格点，，画出线段的中点； （2）在图②中，点E是边上的格点，，点F是边上的格点，，在线段上确定一点O，连接、，使得． （3）在图③中，点P在边上且不是格点，满足，在线段上确定一点Q，使得． 20. 近年来，人工智能的迅速崛起，极大地提高了人们的工作效率．某公司计划从 A，B两个人工智能产品中选择一个使用．该公司对A，B两个人工智能产品的语言交互能力、分析能力和学习能力进行了测试（每项测试满分均为10分），每项能力均进行10次测试，取10次测试得分的平均数作为该项的测试成绩． 测试结束后，小李和小张分别对测试成绩进行如下整理： ①小李将A，B两个人工智能产品语言交互能力10次测试得分整理成如下折线统计图： ②小张将A，B两个人工智能产品的三项的能力测试成绩整理如下表： 人工智能产品 测试成绩/分 语言交互能力 分析能力 学习能力 A 9 8 B 7.5 8 9 请认真阅读上述信息，回答下列问题： （1）填空： ； （2）请从“中位数”评价哪个人工智能产品的语言交互能力更强？ （3）如果规定语言交互能力、分析能力、学习能力按的比例计算最终成绩，那么该公司应该选择使用哪个人工智能产品？ 21. 知识小提示：要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角一般要满足．（参考数据：，，，，，，，，）如图，现有一架长4m的架子AB斜靠在一竖直的墙AO上． （1）当人安全使用这架梯子时，求梯子顶端A与地面距离的最大值； （2）当梯子底端B距离墙面1.64m时，计算等于多少度？并判断此时人是否能安全使用这架梯子？ 22. 如图，无人机甲和无人机乙同时分别从地面的点A处和楼顶B处起飞竖直上升，其中点B距离楼顶边缘点D的水平距离为，从地面点A处测得楼顶端D的仰角为（点B，D，C，A在同一平面内）．两架无人机距离地面的高度h（单位：m）与上升时间t（单位：s）之间的函数图象如图2． （1）求起飞前无人机甲和无人机乙之间的水平距离（结果保留整数，） （2）求两架无人机距离地面的高度与无人机上升的时间之间的函数关系式； （3）求一架无人机观察另一架无人机的仰角不超过的时长． 23. 综合与探究 问题情境：在初中数学“相似三角形的性质与综合应用”主题探究课上，老师带领同学们以“三角形中的平行线与中线的关联性质”为核心，设计了分层递进的探究任务．基础图形设定为：如图1，在任意中，点D、E分别在边、上，且满足，点F是边的中点，连接中线，线段与交于点G．同学们围绕该图形，从“基础性质猜想、深度拓展计算、综合模型应用”三个维度展开探究，请你完成下列所有探究任务： 猜想证明： （1）探究初期，有同学提出猜想：点G是线段的中点，即．请你判断该猜想是否成立，并写出完整的证明过程． 深入探究： （2）如图2，在（1）的结论基础上，同学们对图形进行拓展延伸：连接、，已知，平分，且，，．①求证：为等腰三角形；②求的值；③直接写出与的面积之比． 拓展应用 （3）如图3，在平行四边形中，，对角线与相交于点O，E为线段上一点，交于点G，交于点F，连接．若，平分，，，则的长为__________． 24. 如图，在平行四边形中，，，为锐角，且． 图1 图2 备用图 （1）如图1，求边上的高的长，以及平行四边形的面积； （2）P是边上的一动点，点C、D同时绕点P按逆时针方向旋转得到点、，连接、、， ①如图2，当点恰好落在射线上时，求的长； ②当是直角三角形时，请直接写出所有满足条件的的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期（八）年级期中考试 数学试题（五四） 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内． 2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效． 3．本试卷包括三道大题，共24道小题，共8页，满分120分，考试时间为120分钟．考试结束后，将本试题和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 我国古代的《九章算术》在世界数学史上首次正式引入负数．若气温零上记作，则气温零下记作（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵气温零上记作，说明规定零上为正， ∴与零上意义相反的零下为负，即气温零下记作． 2. 下列运算中，结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据整式的运算法则分别判断即可． 【详解】解：A．，故本选项错误； B．，故本选项错误； C．，故本选项正确； D．，故本选项错误． 3. 四月的长春，繁花盛开，春意满满，伊通河樱花岛成为一道迷人的风景线．已知每片樱花重约0.000018克，数据0.000018用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查科学记数法，用科学记数法表示小于1的数，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：， 故选：B． 4. 在平面直角坐标系中，点到轴的距离是1，到轴的距离是3，且在第四象限，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了点的坐标，熟记点到x轴的距离等于纵坐标的长度，到y轴的距离等于横坐标的长度是解题的关键．根据第四象限内点的横坐标是正数，纵坐标是负数，点到x轴的距离等于纵坐标的长度，到y轴的距离等于横坐标的长度求解即可． 【详解】解：∵点A在第四象限，到x轴的距离为1，到y轴的距离为3， ∴点A的横坐标为3，纵坐标为， ∴点A的坐标为． 故选：D． 5. 将函数的图象向上平移3个单位长度后经过点，则b的值为（ ） A. 1 B. 3 C. 4 D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】直接利用一次函数平移规律得出平移后解析式，进而将代入求出答案． 【详解】解：∵一次函数的图象向上平移3个单位， ∴， 把代入得：， 解得：． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了一次函数与几何变换，正确掌握一次函数平移规律是解题关键． 6. 关于x的一元二次方程x2﹣2（m﹣2）x+m2＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围为（　　） A. m＞1 B. m＜1 C. m＞﹣1 D. m＜﹣1 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程的根的判别式，建立关于m的不等式，求出m的取值范围． 【详解】解：因为关于x的一元二次方程x2﹣2（m﹣2）x+m2＝0有两个不相等的实数根． 所以△＝4（m﹣2）2﹣4m2＞0 解之得m＜1． 故选B． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用． 总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系： （1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根； （2）△＝0⇔方程有两个相等的实数根； （3）△＜0⇔方程没有实数根． 7. 如图，从一个大正方形中裁去面积为和的两个小正方形，则余下部分的面积为（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，利用二次根式的性质进行计算是解答本题的关键． 先利用二次根式的性质计算出两小正方形的边长，则可得到大正方形的边长，然后用大正方形的面积分别减去两小正方形的面积得到留下部分的面积． 【详解】由条件可知两个阴影小正方形的边长是，， 大正方形的边长是， 大正方形的面积是， 余下部分的面积=大正方形的面积-阴影部分的面积． 故选：A． 8. 如图，点在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象和的图象之间，且轴，则点B的坐标可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据点A的坐标可排除选项A和B，根据时，，可排除选项D，从而可确定选项C符合题意． 【详解】解：点在反比例函数的图象上，轴， ∴点B的横坐标=点A的横坐标，点B的纵坐标>点A的纵坐标1，故选项A，B不符合题意； 当时，， ∴点B的纵坐标，故选项D不符合题意； ∴点B的横坐标为2，纵坐标大于1且小于，故选项C符合题意． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9. 分解因式：____________． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再利用平方差公式逐步分解因式即可． 【详解】解： ． 10. 点关于x轴的对称点的坐标为_______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形变化——轴对称，解题关键是掌握关于x轴对称的坐标规律并能熟练运用求解． 根据点关于x轴对称的性质，横坐标不变，纵坐标互为相反数，以此求解即可． 【详解】解∶点关于x轴对称时，横坐标不变，纵坐标的相反数为5，故对称点坐标为． 故答案为∶． 11. 如图，在矩形中，对角线与相交于点O，若，则的长为______． 【答案】18 【解析】 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴． 12. 若关于x的一元二次方程x2﹣2x+k=0无实数根，则实数k的取值范围是________． 【答案】k＞1. 【解析】 【详解】试题分析：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+k=0无实数根，∴△=（-2）2-4×1×k=4-4k＜0，解得k＞1. 考点：一元二次方程根的判别式. 13. 在平行四边形ABCD中，∠A＋∠C＝240°，则∠B＝______°． 【答案】60 【解析】 【分析】根据平行四边形的对角相等即可求出∠A的度数，再根据平行四边形的邻角互补求出∠B的度数． 【详解】解：在▱ABCD中，∠A＝∠C， ∵∠A＋∠C＝240°， ∴∠A＝∠C＝120° ∴∠B＝180°−∠A＝180°−120°＝60°． 故答案为：60． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的对角线相等，邻角互补的性质，比较简单，熟记性质是解题的关键． 14. 如图，在矩形中，，连接，分别以点A和点C为圆心，大于一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点M和点N，直线分别交于点E、F，连接．给出下面四个结论：①；②四边形是菱形；③；④．上述结论中，所有正确结论的序号是 __________． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的判定和性质，矩形的性质，尺规作图．根据矩形的性质，可得，可判断①，由作法可得垂直平分，从而得到，进而得到四边形是菱形，可判断②；再由菱形的面积公式可判定③；再由三角形外角的性质，可判断④． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，故①正确； ∴， 由作法得：垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形，故②正确； ∴，故③错误； ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴，故④正确； 故答案为：①②④ 三、解答题（本大题共10小题，共78分） 15. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 16. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，． 【解析】 【分析】先根据分式的混合运算法则化简，然后将代入计算即可． 【详解】解： ． 当时，原式． 17. 某公司自使用豆包后，每小时比原来多完成100件作品，且使用豆包完成600件作品所用时间与原来完成300件作品所用时间相等．问该公司使用豆包后每小时能完成多少件作品？ 【答案】使用豆包后每小时完成 200 件 【解析】 【分析】设使用豆包后每小时完成件，则原来每小时件，根据题意列出分式方程，解方程即可得出结果． 【详解】解：设使用豆包后每小时完成件，则原来每小时件． 由题意可得：， 解得： 经检验，是所列分式方程的解，且符合题意， 故使用豆包后每小时完成 200 件． 18. 已知：在中，，于点F，四边形中，，．连接交于点M，连接交于点N，D为的中点． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求的值 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先判断，然后根据三线合一的性质并结合已知可得出，则可证明四边形 是平行四边形，然后根据矩形的判定即可得证； （2）根据勾股定理求出，取中点G，连接，则， 根据三角形中位线定理得出，，则，然后在中，根据正切的定义求解即可. 【小问1详解】 证明：∵ ， ∴ ， ∵ ，， ∴ ， ∵ ， ∴， ∴ 四边形 是平行四边形． 又， ∴ 四边形是矩形； 【小问2详解】 解：∵ ，， ∴ ， 在中，， 取中点G，连接， 则， ∵ 是中点， ∴，， ∴， . 19. 如图，图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，正方形的四个顶点均在格点上，为正方形的对角线．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求画图，保留必要的作图痕迹． （1）在图①中，点M是边上的格点，，画出线段的中点； （2）在图②中，点E是边上的格点，，点F是边上的格点，，在线段上确定一点O，连接、，使得． （3）在图③中，点P在边上且不是格点，满足，在线段上确定一点Q，使得． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】（1）取格点，连接交于点，证明，即可得出； （2）连接交于点，连接、，证明，即可得出； （3）连接、交于点，连接并延长交于点，证明，再根据正切的定义并结合正方形的性质得出，从而可得． 【小问1详解】 解：如图，取格点，连接交于点， 由题意可得：，， ∴，， ∴， ∴， ∴点为线段的中点； 【小问2详解】 解：如图，连接交于点，连接、， ∵四边形为正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如图，连接、交于点，连接并延长交于点， ∵四边形为正方形， ∴垂直平分，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 20. 近年来，人工智能的迅速崛起，极大地提高了人们的工作效率．某公司计划从 A，B两个人工智能产品中选择一个使用．该公司对A，B两个人工智能产品的语言交互能力、分析能力和学习能力进行了测试（每项测试满分均为10分），每项能力均进行10次测试，取10次测试得分的平均数作为该项的测试成绩． 测试结束后，小李和小张分别对测试成绩进行如下整理： ①小李将A，B两个人工智能产品语言交互能力10次测试得分整理成如下折线统计图： ②小张将A，B两个人工智能产品的三项的能力测试成绩整理如下表： 人工智能产品 测试成绩/分 语言交互能力 分析能力 学习能力 A 9 8 B 7.5 8 9 请认真阅读上述信息，回答下列问题： （1）填空： ； （2）请从“中位数”评价哪个人工智能产品的语言交互能力更强？ （3）如果规定语言交互能力、分析能力、学习能力按的比例计算最终成绩，那么该公司应该选择使用哪个人工智能产品？ 【答案】（1）7 （2）B人工智能产品的语言交互能力更强 （3）该公司应该选择使用A人工智能产品 【解析】 【分析】熟练掌握平均数、加权平均数、中位数的计算方法是解答本题的关键． （1）利用平均数的计算公式，结合折线统计图中数据计算求解，即可解题； （2）分别求出A，B两个人工智能产品语言交互能力的中位数，再进行比较，即可解题； （3）利用加权平均数的计算公式，结合题干条件计算，再进行比较，即可解题． 【小问1详解】 解：（分）． 【小问2详解】 解：B人工智能产品的语言交互能力更强，理由如下： ∵A的成绩从小到大排列：5，6，6，7，7，7，7，8，8，9， ∴中位数是7， ∵B的成绩从小到大排列：6，6，6，6，7，8，8，9，9，10， ∴中位数是， ∵， ∴B人工智能产品的语言交互能力更强． 【小问3详解】 解：（分）． （分）． ∵， ∴该公司应该选择使用A人工智能产品． 21. 知识小提示：要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角一般要满足．（参考数据：，，，，，，，，）如图，现有一架长4m的架子AB斜靠在一竖直的墙AO上． （1）当人安全使用这架梯子时，求梯子顶端A与地面距离的最大值； （2）当梯子底端B距离墙面1.64m时，计算等于多少度？并判断此时人是否能安全使用这架梯子？ 【答案】（1）3.8m （2），能安全使用 【解析】 【分析】（1）根据的取值范围得出，当时，取得最大值，利用三角函数求出此时的值即可； （2）根据得出函数值，判断出的度数，再根据角度得出结论即可． 【小问1详解】 解：∵，当时，取最大值， 在中，， （米， 梯子顶端与地面的距离的最大值为3.8米； 【小问2详解】 解：在中，， ， ， ∵， 人能安全使用这架梯子． 【点睛】本题主要考查解直角三角形的知识，熟练掌握解三角函数的知识是解题的关键． 22. 如图，无人机甲和无人机乙同时分别从地面的点A处和楼顶B处起飞竖直上升，其中点B距离楼顶边缘点D的水平距离为，从地面点A处测得楼顶端D的仰角为（点B，D，C，A在同一平面内）．两架无人机距离地面的高度h（单位：m）与上升时间t（单位：s）之间的函数图象如图2． （1）求起飞前无人机甲和无人机乙之间的水平距离（结果保留整数，） （2）求两架无人机距离地面的高度与无人机上升的时间之间的函数关系式； （3）求一架无人机观察另一架无人机的仰角不超过的时长． 【答案】（1） （2）， （3） 【解析】 【分析】本题主要考查解直角三角形及一次函数的应用，掌握求一次函数的解析式是解题的关键． （1）根据在中，，，求出结论即可； （2）用待定系数法分别求出表达式即可； （3）首先得出当两架无人机垂直距离为时，下面的一架无人机观察另一架无人机的仰角刚好，即，解出t的值，求出范围即可． 【小问1详解】 解：由题意得：在中，， 由图（2）知：无人机乙刚起飞时离地面的高度， ， ， ∴起飞前无人机甲和无人机乙之间的水平距离为； 【小问2详解】 解：由图（2），设无人机甲距离地面的高度与无人机上升的时间之间的函数关系式为， 把代入，则， 解得：， ； 设无人机乙距离地面的高度与无人机上升的时间之间的函数关系式为， 把代入，则， 解得：， ； 【小问3详解】 解：∵起飞前无人机甲和无人机乙之间的水平距离为， ∴当两架无人机垂直距离为时，下面的一架无人机观察另一架无人机的仰角刚好， 即， ， 解得：或， ， ∴一架无人机观察另一架无人机的仰角不超过的时长为． 23. 综合与探究 问题情境：在初中数学“相似三角形的性质与综合应用”主题探究课上，老师带领同学们以“三角形中的平行线与中线的关联性质”为核心，设计了分层递进的探究任务．基础图形设定为：如图1，在任意中，点D、E分别在边、上，且满足，点F是边的中点，连接中线，线段与交于点G．同学们围绕该图形，从“基础性质猜想、深度拓展计算、综合模型应用”三个维度展开探究，请你完成下列所有探究任务： 猜想证明： （1）探究初期，有同学提出猜想：点G是线段的中点，即．请你判断该猜想是否成立，并写出完整的证明过程． 深入探究： （2）如图2，在（1）的结论基础上，同学们对图形进行拓展延伸：连接、，已知，平分，且，，．①求证：为等腰三角形；②求的值；③直接写出与的面积之比． 拓展应用 （3）如图3，在平行四边形中，，对角线与相交于点O，E为线段上一点，交于点G，交于点F，连接．若，平分，，，则的长为__________． 【答案】（1）猜想成立；证明见解析 （2）①见解析；②；③ （3） 【解析】 【分析】（1）先证明，，由相似三角形的性质可得，，从而得出，由题意可得，即可得证； （2）①由（1）可得，结合题意可得垂直平分，即可得出，从而得证；②由①可得，则，由，得出，从而可得，再由相似三角形的性质即可得出结果；③由②可得，，，则，，求出，，即可得出结果； （3）延长交于，连接，过点作于点，由平行四边形的性质可得，，，则，由（1）可得，由线段垂直平分线的性质可得，求出，从而可得，，解直角三角形得出，即可得出结果． 【小问1详解】 解：猜想成立，证明如下： ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∵点F是边的中点， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：①由（1）可得， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴为等腰三角形； ②∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ③由②可得，，， ∴，， ∴， 由（1）可得， ∴， ∵点F是边的中点， ∴， ∴， ∴与的面积之比为：； 【小问3详解】 解：如图，延长交于，连接，过点作于点， ， ∵四边形为平行四边形， ∴，，， ∴， ∵，且， ∴由（1）可得：， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】两个相似三角形的面积比等于相似比的平方；两个相似三角形的对应边成比例． 24. 如图，在平行四边形中，，，为锐角，且． 图1 图2 备用图 （1）如图1，求边上的高的长，以及平行四边形的面积； （2）P是边上的一动点，点C、D同时绕点P按逆时针方向旋转得到点、，连接、、， ①如图2，当点恰好落在射线上时，求的长； ②当是直角三角形时，请直接写出所有满足条件的的长． 【答案】（1）， （2）①；② 【解析】 【分析】（1）由平行四边形的性质可得，解直角三角形可得，由勾股定理可得，再由平行四边形的面积公式计算即可得出结果； （2）①作于点，由（1）可得，，则，作交的延长线于点，由旋转的性质可得，，证明，得出，，设，则，，再证明，由相似三角形的性质计算即可得出结果；②分三种情况：当以点为顶点时；当以为直角顶点时；当以点为直角顶点时；分别求解即可得出结果． 【小问1详解】 解：∵在平行四边形中，，， ∴， ∵为边上的高， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ∴； 【小问2详解】 解：①如图：作于点， 由（1）可得：，， ∴， 作交的延长线于点， ∴， ∴， 由旋转的性质可得，， ∴， ∴， ∴， ∴，， 设，则，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴； ②∵C、D同时绕点P按逆时针方向旋转得到点、， ∴，，，，， ∵， ∴， ∵是直角三角形， ∴当以点为顶点时，如图： ， ∵， ∴点落在线段的延长线上， ∵， ∴， 由（1）可得：，； 当以为直角顶点时，如图： ， 设与射线的交点为，作于点， 由（1）可得：，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， 设，则，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 整理可得：， ∵， ∴该方程无实数根，不符合题意； 当以点为直角顶点时， ∵，， ∴点、、、共线， ∴点落在的延长线上，不符合题意； 综上所述，． 【点睛】旋转的性质：对应边相等；两个相似三角形的对应边成比例；采用分类讨论与数形结合的思想是解此题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $