精品解析：山东省菏泽市鄄城县第一中学2025-2026学年高二上学期第四次定时训练数学试题

2024级高二第四次定时训练 数学试题 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的一个方向向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据方向向量的定义判断即可. 【详解】因为的斜率，可知直线的一个方向向量为. 故选：D. 2. 实数m变化时，方程表示的曲线不可以是（ ） A. 直线 B. 圆 C. 椭圆 D. 双曲线 【答案】B 【解析】 【分析】根据的取值分类讨论说明． 【详解】时方程化为，为直线，时，方程化为，为椭圆， 时，方程化为，为双曲线， 而，因此曲线不可能是圆． 故选：B． 3. 圆与圆的公共弦的长为（ ） A. B. C. 4 D. 【答案】D 【解析】 【分析】先利用两圆方程相减得公共弦方程，再结合垂径定理求解弦长即可. 【详解】因为，， 所以两圆方程相减得公共弦方程为，且圆心， 而到公共弦的距离为，所以所求弦长为. 故选：D 4. 设抛物线的焦点为点A在C上，过A作的准线的垂线，垂足为B.若直线BF的方程为，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】先由直线求出焦点和即抛物线的方程，进而依次得抛物线的准线方程和点B，从而可依次求出和，再由焦半径公式即可得解. 【详解】对，令，则， 所以，即抛物线，故抛物线的准线方程为， 故，则，代入抛物线得. 所以. 故选：C 5. 直线与双曲线相交于，两点，且，两点的横坐标之积，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由对称性设出点的坐标，利用横坐标之积求出坐标，代入双曲线方程求出a，进一步求出离心率. 【详解】由A，B两点在直线上，设， 由对称性可知，两点关于原点对称，所以， 由A，B两点的横坐标之积为，得， 解得，所以， 代入双曲线方程得，解得， 所以，所以离心率为. 故选：C. 6. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线与C交于A，B两点，若面积是面积的2倍，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先联立直线方程与椭圆方程，利用，求出范围，再根据三角形面积比得到关于的方程，解出即可. 【详解】将直线与椭圆联立，消去可得， 因为直线与椭圆相交于点，则，解得， 设到的距离到距离，易知， 则，， ，解得或（舍去）， 故选：C. 7. 下列说法正确的是（ ） A. 过点的直线分别与轴，轴的正半轴交于两点，若取最小值时，直线的方程为 B. 直线的倾斜角的取值范围是 C. “直线与直线互相平行”是“”的充分不必要条件 D. 已知，若直线与线段有公共点，则 【答案】A 【解析】 【分析】A选项设直线，表示，利用基本不等式求出最小值以及取等号时的，即可求此时的直线方程；B选项先求出斜率的取值范围，再根据斜率与倾斜角的关系求出倾斜角的范围即可；C选项由两直线平行，求得，即可判断；D选项先得出直线过定点，再结合图像分析临界情况，得出的范围即可. 【详解】对于A中，根据题意设直线，可得， 所以， 当且仅当时成立，此时直线的方程为，所以A正确； 对于B中，由直线，可得，所以斜率， 设倾斜角为，可得，因为，所以， 所以B不正确； 对于C中，若两直线平行，可得，解得，经检验满足题意， 所以“直线与直线互相平行”是“”的必要不充分条件， 所以C错误； 对于D中，由直线可化为， 所以直线恒过定点，因为， 结合图象可知，直线的斜率，故D不正确. 故选：A 8. 设计一条美丽的丝带，其造型可以看作图中的曲线C的一部分.已知C过坐标原点O.且C上的点满足:横坐标大于，到点的距离与到定直线的距离之积为4，则下列选项错误的是（ ） A. B. 点在C上 C. C在第一象限的点的纵坐标的最大值为1 D. 当点在C上时， 【答案】C 【解析】 【分析】根据题设将原点代入曲线方程后可求a，故可判断A的正误，结合曲线方程可判断B的正误，利用特例法可判断C的正误，将曲线方程化简后结合不等式的性质可判断D的正误. 【详解】对于A：设曲线上的动点，则且， 因为曲线过坐标原点，故，解得，故A正确. 对于B：又曲线方程为，而， 故. 当时，， 故在曲线上，故B正确. 对于C：由曲线的方程可得，取， 则，而，故此时， 故在第一象限内点的纵坐标的最大值大于1，故C错误. 对于D：当点在曲线上时，由C的分析可得， 故，故D正确. 故选：C. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知等腰直角三角形的直角顶点为，点的坐标为，则点的坐标可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据三角形为等腰直角三角形列方程组，即可求解. 【详解】设，由题意可得 ，可化为， 解得:或，即或． 故选：AC 10. 某颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心为一个焦点的椭圆，如图所示，已知它的近地点（离地面最近的点）距地面千米，远地点（离地面最远的点）距地面千米，并且三点在同一直线上，地球半径约为千米，设该椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为，则 A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据条件数形结合可知，然后变形后，逐一分析选项，得到正确答案. 【详解】因为地球的中心是椭圆的一个焦点， 并且根据图象可得 ，（*） ，故A正确； ，故B正确； （*）两式相加，可得，故C不正确； 由（*）可得 ，两式相乘可得 ， ，故D正确. 故选ABD 【点睛】本题考查圆锥曲线的实际应用问题，意在考查抽象，概括，化简和计算能力，本题的关键是写出近地点和远地点的方程，然后变形化简. 11. 双曲线的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为，以为直径的圆与C的一条渐近线交于M，N两点，且，则（ ） A. B. C. C的离心率为 D. 当时，四边形的面积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】由平行四边形的性质判断A；由且结合在渐近线上可求的坐标，从而可判断B的正误，或者利用三角函数定义和余弦定理也可判断；由中线向量结合B的结果可得，计算后可判断C的正误，或者利用并结合离心率变形公式即可判断；结合BC的结果求出面积后可判断D的正误. 【详解】不妨设渐近线为，在第一象限，在第三象限， 对于A，由双曲线的对称性可得为平行四边形，故， 故A正确； 对于B，方法一：因为在以为直径的圆上，故且， 设，则，故，故， 由A得，故即，故B错误； 方法二：因为，因为双曲线中，， 则，又因为以为直径的圆与的一条渐近线交于、，则， 则若过点往轴作垂线，垂足为，则，则点与重合，则轴，则，则为直角三角形，且，则， 方法三：在利用余弦定理知，， 即，则， 则为直角三角形，且，则，故B错误； 对于C，方法一：因为，故， 由B可知， 故即， 故离心率，故C正确； 方法二：因为，则，则，故C正确； 对于D，当时，由C可知，故， 故，故四边形为， 故D正确， 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知圆的圆心与抛物线的焦点重合，且两曲线在第一象限的交点为，则点A的坐标为____________. 【答案】 【解析】 【分析】先求出圆心坐标，从而可求，再联立圆和抛物线方程，求出点A的坐标即可. 【详解】由题意得圆的圆心为，故，即解得， 由，可得， 故解得或（舍），此时，故， 故答案为： 13. 设点，若直线关于对称的直线与圆有公共点，则a的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】首先求出点关于对称点的坐标，即可得到直线的方程，根据圆心到直线的距离小于等于半径得到不等式，解得即可； 【详解】解：关于对称的点的坐标为，在直线上， 所以所在直线即为直线，所以直线为，即； 圆，圆心，半径， 依题意圆心到直线的距离， 即，解得，即； 故答案为： 14. 已知椭圆，C的上顶点为A，两个焦点为，，离心率为．过且垂直于的直线与C交于D，E两点，，则的周长是________________． 【答案】13 【解析】 【分析】利用离心率得到椭圆的方程为，根据离心率得到直线的斜率，进而利用直线的垂直关系得到直线的斜率，写出直线的方程：，代入椭圆方程，整理化简得到：，利用弦长公式求得，得，根据对称性将的周长转化为的周长，利用椭圆的定义得到周长为. 【详解】∵椭圆的离心率为，∴，∴，∴椭圆的方程为，不妨设左焦点为，右焦点为，如图所示，∵，∴，∴为正三角形，∵过且垂直于的直线与C交于D，E两点，为线段的垂直平分线，∴直线的斜率为，斜率倒数为， 直线的方程：，代入椭圆方程，整理化简得到：， 判别式， ∴， ∴ ， 得， ∵为线段的垂直平分线，根据对称性，，∴的周长等于的周长，利用椭圆的定义得到周长为. 故答案为：13. 四、解答题：本题共5小题，第15题13分，第16、17题分别15分，第18、19题分别17分，共77分. 15. 已知的顶点，AB边上的中线CM所在直线方程为，AC的边上的高BH所在直线方程为． （1）求顶点C的坐标； （2）求直线BC的一般式方程． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）设，利用点C在AB边上的中线CM上和直线AC与高线BH垂直求解； （2）设，利用点B在BH上和AB的中点M在直线CM上求解； 【小问1详解】 设，AB边上的中线CM所在直线方程为， AC边上的高BH所在直线方程为， ∴，解得， ∴． 【小问2详解】 设，则，解得， ∴，则． ∴直线BC的方程为，即为. 16. 已知圆，直线，直线与圆交于点M，N. （1）求证：直线过定点； （2）若直线所过定点为，满足，求此时直线的方程； 【答案】（1） 证明：将直线的方程整理为， 当时，式子为与无关， 所以，解得， 因此直线恒过定点. （2）或 【解析】 【分析】（1）证明直线过定点：将直线方程整理为含参数的线性组合形式，令参数的系数与常数项分别为0，解方程组即可得到定点坐标. （2）求直线方程：先确定定点的位置（圆内），由向量关系，设，结合弦长公式得到圆心到直线的距离，再通过点到直线的距离公式建立关于的方程，求解得到直线方程. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知. 圆，则圆心，半径， ， 设，则， 过作交于， ，， ，即， 解得， 即圆心到直线的距离， ，解得， 此时直线方程为或. 17. 已知动点到定点的距离和到定直线的距离的比是，记动点的轨迹为曲线. （1）求曲线的方程； （2）若动点在轴右侧，点，求的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接法求轨迹方程，由题意得出，化简即可； （2）设点到直线的距离为，由题干知，根据图像可得当点三点共线时，点到直线的距离即为最小值. 【小问1详解】 ， 点到直线的距离， 由题意可知，， 化简得：，即曲线的方程为：； 【小问2详解】 设点到直线的距离为，因为，所以， 所以， 因为点在轴右侧，即点在双曲线的右支，过点向直线作垂线，垂足为， 所以， 当点三点共线时，取得最小值， 且最小值为点到直线的距离，即为：， 所以的最小值为. 18. 已知抛物线，点在抛物线上. （1）求抛物线的方程； （2）不过原点的直线与抛物线交于不同两点，若以线段为直径的圆过原点，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将点代入抛物线方程即可求得的值，进而可求出抛物线的方程； （2）联立直线与抛物线方程，利用韦达定理，结合由题意推得的，得到关于的方程，解之即可． 【小问1详解】 因为点在抛物线上， 所以，即， 故抛物线的方程为. 【小问2详解】 设，， 联立，消去，得， 所以，，，则， 因为以线段为直径的圆过原点，所以，则， 所以，解得或， 当时，直线为，显然直线过原点，不满足题意，舍去； 当，满足，且有，即，满足题意； 综上：的值为． 19. 已知椭圆的离心率是，点在上． （1）求的方程； （2）过点的直线交于两点，直线与轴的交点分别为，证明：线段的中点为定点． 【答案】（1） （2）证明如下： 由题意可知：直线的斜率存在，设， 联立方程，消去y得：， 则，解得， 可得， 因为，则直线， 令，解得，即, 同理可得， 则 ， 所以线段的中点是定点. 【解析】 【分析】（1）根据题意列式求解，进而可得结果； （2）设直线的方程，进而可求点的坐标，结合韦达定理验证为定值即可. 【小问1详解】 由题意可得，解得， 所以椭圆方程为. 【小问2详解】 略 【点睛】方法点睛：求解定值问题的三个步骤 （1）由特例得出一个值，此值一般就是定值； （2）证明定值，有时可直接证明定值，有时将问题转化为代数式，可证明该代数式与参数(某些变量)无关；也可令系数等于零，得出定值； （3）得出结论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024级高二第四次定时训练 数学试题 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的一个方向向量为（ ） A. B. C. D. 2. 实数m变化时，方程表示的曲线不可以是（ ） A. 直线 B. 圆 C. 椭圆 D. 双曲线 3. 圆与圆的公共弦的长为（ ） A. B. C. 4 D. 4. 设抛物线的焦点为点A在C上，过A作的准线的垂线，垂足为B.若直线BF的方程为，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 5. 直线与双曲线相交于，两点，且，两点的横坐标之积，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 6. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线与C交于A，B两点，若面积是面积的2倍，则（ ）． A. B. C. D. 7. 下列说法正确的是（ ） A. 过点的直线分别与轴，轴的正半轴交于两点，若取最小值时，直线的方程为 B. 直线的倾斜角的取值范围是 C. “直线与直线互相平行”是“”的充分不必要条件 D. 已知，若直线与线段有公共点，则 8. 设计一条美丽的丝带，其造型可以看作图中的曲线C的一部分.已知C过坐标原点O.且C上的点满足:横坐标大于，到点的距离与到定直线的距离之积为4，则下列选项错误的是（ ） A. B. 点在C上 C. C在第一象限的点的纵坐标的最大值为1 D. 当点在C上时， 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知等腰直角三角形的直角顶点为，点的坐标为，则点的坐标可能为（ ） A. B. C. D. 10. 某颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心为一个焦点的椭圆，如图所示，已知它的近地点（离地面最近的点）距地面千米，远地点（离地面最远的点）距地面千米，并且三点在同一直线上，地球半径约为千米，设该椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为，则 A. B. C. D. 11. 双曲线的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为，以为直径的圆与C的一条渐近线交于M，N两点，且，则（ ） A. B. C. C的离心率为 D. 当时，四边形的面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知圆的圆心与抛物线的焦点重合，且两曲线在第一象限的交点为，则点A的坐标为____________. 13. 设点，若直线关于对称的直线与圆有公共点，则a的取值范围是________． 14. 已知椭圆，C的上顶点为A，两个焦点为，，离心率为．过且垂直于的直线与C交于D，E两点，，则的周长是________________． 四、解答题：本题共5小题，第15题13分，第16、17题分别15分，第18、19题分别17分，共77分. 15. 已知的顶点，AB边上的中线CM所在直线方程为，AC的边上的高BH所在直线方程为． （1）求顶点C的坐标； （2）求直线BC的一般式方程． 16. 已知圆，直线，直线与圆交于点M，N. （1）求证：直线过定点； （2）若直线所过定点为，满足，求此时直线的方程； 17. 已知动点到定点的距离和到定直线的距离的比是，记动点的轨迹为曲线. （1）求曲线的方程； （2）若动点在轴右侧，点，求的最小值. 18. 已知抛物线，点在抛物线上. （1）求抛物线的方程； （2）不过原点的直线与抛物线交于不同两点，若以线段为直径的圆过原点，求的值. 19. 已知椭圆的离心率是，点在上． （1）求的方程； （2）过点的直线交于两点，直线与轴的交点分别为，证明：线段的中点为定点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $