专题04：整数的四则运算（解决问题讲义）数学沪教版四年级上册

沪教版四年级数学上册解决问题 专题04：整数的四则运算 （方法点拨+典例分析+变式训练+分层练习） 考点01：工作效率、工作时间、工作量 1、考点解读：本考点核心是理解“工作效率×工作时间=工作量”的三者关系，能灵活运用公式解决“求工作量”“求工作时间”“求工作效率”的实际问题，适用于工程、生产、任务完成等场景，培养批量计算与逆推思维。 2、类型 （1）求工作量：已知工作效率和工作时间，求总任务量。 （2）求工作时间：已知工作量和工作效率，求完成任务所需时间。 （3）求工作效率：已知工作量和工作时间，求单位时间完成的任务量。 （4）合作问题：已知多个对象的工作效率，求合作完成工作量的时间。 3、核心思路 （1）识别三者关系：明确题目中已知哪两个量，求哪个量（顺推或逆推）。 （2）确定公式方向：顺推用“工作量=工作效率×工作时间”；逆推时，工作时间=工作量÷工作效率，工作效率=工作量÷工作时间。 （3）合作问题：先求“效率和”（各对象工作效率相加），再用“工作量÷效率和=合作时间”。 （4）验证结果：用“工作效率×工作时间”反向验证工作量，确保计算准确。 4、计算公式 （1）核心公式：工作量=工作效率×工作时间 （2）逆推公式：工作时间= 工作量÷工作效率；工作效率=工作量÷工作时间 （3）合作公式：合作时间=工作量÷（甲工作效率+乙工作效率） 【名师点拨】 （1）单位统一是前提：工作效率、工作时间的单位需匹配。 （2）区分“单独效率”与“合作效率”：合作时需先算效率和，不能直接用单个效率乘总时间。 （3）工作量的实际意义：结果需符合场景。 考点02：推理问题 1、考点解读：本考点核心是通过分析题目中的逻辑关系（如数量差、倍数关系、条件限制），结合整数四则运算推导未知量，适用于“还原问题”“和差倍推理”“条件匹配问题”，培养逻辑分析与逆向思维能力。 2、类型 （1）还原问题：已知最终结果，逆推初始量。 （2）和差倍推理：已知两个或多个量的和、差、倍数关系，推导各量大小。 （3）条件匹配推理：根据多个限制条件，筛选符合要求的整数。 3、核心思路 （1）还原问题：按“逆运算”推导——加法逆用减法，乘法逆用除法，从最终结果逐步倒推； 分步记录每一步运算，确保逆运算顺序正确。 （2）和差倍推理：设标准量（小数）为 x，用x的式子表示其他量；根据“和”或“差”列算式，求解后验证关系。 （3）条件匹配推理：列出每个条件的数学表达；枚举符合第一个条件的数，再筛选符合其他条件的最小/唯一解。 4、常用推理方法（公式化思路） （1）还原问题：初始量=（最终结果-加数）÷ 乘数（或类似逆运算组合）。 （2）和倍问题：小数=和÷（倍数+ 1），大数=小数×倍数。 （3）差倍问题：小数=差÷（倍数- 1），大数=小数×倍数。 【名师点拨】 （1）还原问题逆运算顺序：逆推时需按“最后一步运算先逆推”的顺序。 （2）和差倍推理设量准确：避免设大数为标准量，增加计算难度。 （3）枚举法不遗漏：条件匹配时，按从小到大枚举，确保不重复、不遗漏。 （4）验证所有条件：推导结果需满足题目中所有限制条件，避免只满足单一条件。 考点03：文字计算题 1、考点解读：本考点核心是将文字描述的运算关系转化为数学算式，掌握“和、差、积、商”“乘、除、加、减”“除与除以”“多、少、倍”等关键词的含义，能准确判断运算顺序，列出正确算式并计算，培养文字转数学的逻辑能力。 2、核心思路 （1）抓关键词定运算：识别“和（+）、差（-）、积（×）、商（÷）、倍（×）、多（+）、少（-）”等关键词，确定每一步运算。 （2）辨“除”与“除以”：“A除B”表示“B÷A”，“A除以B”表示“A÷B”，避免混淆。 （3）定运算顺序：根据“先乘除后加减，有括号先算括号里”的规则，判断是否需要加括号。 （4）列算式并计算：按运算顺序列出算式，分步或综合计算，确保结果准确。 4、关键词对应运算（核心规则） （1）加法：和、加上、多、增加、一共。 （2）减法：差、减去、少、减少、剩余。 （3）乘法：积、乘、倍数、几个相同加数的和。 （4）除法：商、除以、除、平均分、包含几个。 【名师点拨】 （1）括号的正确使用：需要先算的部分（如“和、差”）必须加括号。 （2）避免关键词混淆：“乘”与“乘以”意义相同（A乘B=A×B），但“除”与“除以”意义相反，需重点区分。 （3）运算顺序不颠倒：两步及以上文字题，严格按“先乘除后加减”或括号指定顺序。 （4）验证算式与文字匹配：列出算式后，反向对照文字描述。 考点04：四则混合运算解决实际问题 1、考点解读：本考点核心是综合运用整数四则混合运算，解决含多步数量关系的实际问题（如购物、行程、生产、分配等），掌握“先分析数量关系，再确定运算顺序，最后计算”的逻辑，培养多步问题的拆解与综合计算能力。 2、核心思路 （1）拆解多步关系：将复杂问题拆分为“第一步算什么（如总价、总人数），第二步算什么（如总花费、车辆数）”，明确每一步的目的。 （2）确定运算顺序：根据数量关系，判断是否需要先算乘除、后算加减，或用括号改变顺序（如“先算总和再平均分”需加括号）。 （3）列算式计算：可先分步计算（清晰明了），再合并为综合算式，确保运算顺序正确。 （4）验证结果：结合实际场景验证结果合理性（如车辆数为整数、钱数不为负数）。 4、运算顺序规则（核心依据） （1）无括号：先算乘除，后算加减。 （2）有括号：先算小括号内的，再算括号外的。 【名师点拨】 （1）括号不可省略：需要先算的部分必须加括号。 （2）分步计算不跳步：多步问题可先分步算出中间结果。 考点1：工作效率、工作时间、工作量 【典型例题】甲、乙两人各要制造同样多的某种零件。甲每小时做15个，4小时正好完成全部零件的一半，乙的工作效率比甲慢，他完成全部零件要10小时，乙每小时比甲少做几个零件？ 【答案】3个 【分析】工作总量＝工作时间×工作效率，据此求出甲4小时完成的零件个数，再乘2就出一共需要制造的零件个数，除以乙的工作时间，求出乙的工作效率，也就是乙每小时做的零件个数，进而解答。 【详解】15×4×2÷10 ＝120÷10 ＝12（个） 15－12＝3（个） 答：乙每小时比甲少做3个零件。 【练习1】填表。 工作效率 工作时间 工作量 每天植树48棵 7天 植树 棵 每小时灌水 升 9小时 灌水612升 小王每分钟做25道口算题 分钟 做了200道 【答案】 336 68 8 【分析】每天植树48棵，7天植树7个48棵，48乘7即可； 9小时灌水612升，612里面有几个9，即为每小时的灌水量，612除以9即可； 每分钟做25道题，做了200道，200里面有几个25就做了几分钟，200除以25即可。 【详解】48×7＝336（棵），植树336棵； 612÷9＝68（升），每小时灌水68升； 200÷25＝8（分钟），做了8分钟。 【练习2】玩具厂要加工1080件玩具，前5天平均每天加工88件，因为部分工人休假，剩下的每天比原来少加工24件，还要（     ）天才能完成任务。 A．4 B．5 C．8 D．10 【答案】D 【分析】根据工作总量＝工作效率×工作时间，计算出前5天共加工玩具的数量；玩具总数量减去前5天共加工的数量是剩下的工作量；前5天平均每天加工88件，剩下的每天比原来少加工24件，剩下的每天加工88－24＝64（件）；用剩下的工作量除以剩下的每天加工的数量即可求出还要多少天才能完成任务。 【详解】（1080－88×5）÷（88－24） ＝640÷64 ＝10（天） 故答案为：D 考点2：正推、倒推问题 【典型例题】一筐梨连筐共重32千克，卖出一半后，连筐共重18千克，筐里原来有梨（     ）千克。 A．28 B．36 C．30 【答案】A 【分析】用32减去18求出一半梨的质量，再用一半梨的质量乘2求出原来梨的质量，据此解答。 【详解】32－18＝14（千克） 14×2＝28（千克） 故答案为：A 【练习1】一块长方形菜地，种黄瓜的面积比菜地面积的一半少5平方米，剩余20平方米种西红柿，这块菜地面积是（     ）平方米。 A．50 B．30 C．25 D．1 【答案】B 【分析】20减5等于菜地一半的面积，再乘2即等于菜地的面积。 【详解】（20－5）×2 ＝15×2 ＝30（平方米） 故答案为：B 【练习2】王老师准备用一块花布给图书馆的桌椅做装饰，做桌布用去花布的一半少40平方分米，其余240平方分米都做了椅垫。这块花布原来的面积有多大？ 【答案】400平方分米 【分析】剩余的花布比花布的一半多40平方分米，则花布的一半面积是（240－40）平方分米，再乘2，求出原来花布的面积。 【详解】（240－40）×2 ＝200×2 ＝400（平方分米） 答：这块花布原来的面积是400平方分米。 考点3：文字计算题 【典型例题】1000被125与8的积除，商是多少？ 【答案】1 【分析】根据题意，计算顺序是，先算乘法，再算除法，所以要求“1000被125与8的积除，商是多少”，列式为：125×8÷1000＝1。 【详解】125×8÷1000 ＝1000÷1000 ＝1 所以，1000被125与8的积除，商是1。 【练习1】288除以6乘158与162的差的积，商是多少？列式正确的是（　 　）。 A． B． C． 【答案】B 【分析】先用162减去158求出差，再用6乘求出的差，得到积，最后用288除以求出的积即可。 【详解】288÷[6×（162－158）] ＝288÷[6×4] ＝288÷24 ＝12 288除以6乘158与162的差的积，商是12，列式正确的是288÷[6×（162－158）]。 故答案为：B 【练习2】一个数比26的3倍少12，这个数是多少？ 【答案】66 【分析】用26乘3，再减去12即可解答。 【详解】26×3－12 ＝78－12 ＝66 考点4：四则混合运算解决实际问题 【典型例题】学校要购买48个足球。甲、乙两家体育用品商店一种足球的原价都是每个33元，这两家商店的优惠方式如下： 甲店：每个足球优惠8元。 乙店：买10个足球免费赠送2个，不足10个不赠送。 请你帮忙算一算，到哪家商店买更便宜？便宜多少钱？ 【答案】到甲店买更便宜，便宜120元。 【分析】分析题意可知：分别求出两店买48个足球的总价，再进行比较即可解答。 【详解】甲店：（33－8）×48 ＝25×48 ＝1200（元） 乙店：买10个赠送2个，买40个赠送8个 33×（48－8） ＝33×40 ＝1320（元） 1320－1200＝120（元） 答：到甲店买更便宜，便宜120元。 【练习1】爸爸去买2支钢笔和3支圆珠笔共付72元，买3支钢笔和2支圆珠笔共付78元，钢笔单价是 元，圆珠笔单价是 元。 【答案】 18 12 【分析】买2支钢笔和3支圆珠笔共付72元，则买6支钢笔和9支圆珠笔共付72×3＝216元；买3支钢笔和2支圆珠笔共付78元，则买6支钢笔和4支圆珠笔共付78×2＝156元，所以可得买5支圆珠笔需216－156＝60元，用除法即可得圆珠笔单价，再求钢笔单价即可。 【详解】（72×3－78×2）÷（3×3－2×2） ＝（216－156）÷（9－4） ＝60÷5 ＝12（元） （72－12×3）÷2 ＝（72－36）÷2 ＝36÷2 ＝18（元） 【练习2】森林公园小火车轨道全长4千米，小火车每分钟行250米，途中共设3个车站（不包括起点站和终点站），每到一站小火车要停5分钟。小火车行完全程（包括3个站点停留的时间），一共需要多少分钟？ 【答案】31分 【分析】先用路程÷速度求出行驶需要的时间，再用3乘5求出站点停留的时间，二者相加即可得到一共需要多少时间。 【详解】4千米＝4000米， 4000÷250＋3×5 ＝16＋15 ＝31（分钟） 答：小火车行完全程一共需要31分钟。 夯实基础 1．乐乐和圆圆比赛写字，乐乐6分钟写了36个字，圆圆8分钟写了56个字。谁写字速度快？（     ） A．乐乐 B．圆圆 C．一样快 【答案】B 【分析】写字的总个数÷写字的时间长＝平均每分钟写字的个数，依此分别计算出乐乐和圆圆平均每分钟写字的个数，然后再进行比较即可。 【详解】36÷6＝6（个） 56÷8＝7（个） 6个＜7个，即圆圆写字速度快。 故答案为：B 2．汽车厂27天生产汽车297辆，比原计划多生产了81辆。原计划每天生产（     ）辆。 A．8 B．9 C．10 【答案】A 【分析】根据题意，先用实际生产的辆数减去实际比原计划多的辆数，求出原计划生产多少辆，再除以生产的天数，即可求出原计划每天生产多少辆。 【详解】（297－81）÷27 ＝216÷27 ＝8（辆） 原计划每天生产8辆。 故答案为：A 3．康乃馨有200枝，比百合花的4倍多40枝，求百合花有多少枝？列式为（     ）。 A．200×4－40 B．（200－40）÷4 C．（200＋40）÷4 【答案】B 【分析】根据题意，百合花的4倍加上40枝等于康乃馨的枝数，用200减去40的差再除以4，求出百合花的枝数。 【详解】由分析得： 列式为：（200－40）÷4 故答案为：B 4．50减去25的差乘20加上13的和，积是多少？正确列式是（     ）。 A． B． C． 【答案】C 【分析】根据题意可知：先用减法求得50和25的差，再用加法求得20和13，最后用乘法求得差与和的积，列式为（50－25）×（20＋13），据此选择即可。 【详解】50减去25的差乘20加上13的和，列式为：（50－25）×（20＋13）； 故答案为：C 5．浩浩每分钟能打27个字，1小时他能打（     ）个字。 A．27 B．270 C．1620 【答案】C 【分析】1小时＝60分钟，用每分钟打字的个数乘60即可解答。 【详解】27×60＝1620（个） 故答案为：C 6．4位师傅加工一批零件，如果每人每天加工85个零件，那么12天刚好加工完。这批零件有（ ）个。 【答案】4080 【分析】用85乘4先求出4位师傅每天加工零件的个数，然后再乘12就是12天加工零件的个数，即这批零件的总个数。 【详解】85×4×12 ＝340×12 ＝4080（个） 7．210除以7的商乘120减去80的差，积是多少？ 关系式是：积＝（ ）×（ ）。 列式计算：（ ） 【答案】 商 差 210÷7×（120－80）＝1200 【分析】最后求积，就找出因数再相乘即可，第一个因数是210除以7的商；第二个因数是120减去80的差，由此解答。 【详解】210除以7的商乘120减去80的差，积是多少？ 关系式是：积＝ （商） × （差） 。 列式计算： 210÷7×（120－80） ＝210÷7×40 ＝30×40 ＝1200 8．150除以6的商乘12，积是多少？ 关系式是：积＝（ ）×（ ） 列式计算：（ ） 【答案】 150除以6的商 12 150÷6×12＝300 【分析】根据题意，先求出150÷6的商，所得的商再乘12，由此解答。 【详解】关系式是：积＝（150除以6的商）×（12）； 列式计算：（150÷6×12＝300）。 9．小朋友，你们玩过扑克牌游戏“24点”吗？它是一种填数游戏，就是运用加、减、乘、除四种运算方法（也可用括号）进行计算，得出24。（牌中A、J、Q、K分别代表数1、11、12、13） 游戏开始： （1） 算法一： 算法二： （2） 算法一： 算法二： 【答案】 （6－5＋2）×8＝24 （5×6）－（8－2）＝24 [8－（11－9）]×4＝24 （11－4）＋8＋9＝24 【分析】（1）在2；8；5；6之间添上＋、－、×、÷符号或括号，只要使结果等于24即可。（2）在11；8；9；4之间添上＋、－、×、÷符号或括号，只要使结果等于24即可。两题均可交换数字的顺序。 【详解】（1）（6－5＋2）×8＝24 （5×6）－（8－2）＝24 （2）[8－（11－9）]×4＝24 （11－4）＋8＋9＝24 10．小强看一本卡通书，第一天看了这本书的一半又5页，第二天看了余下的一半又12页，还有8页没看，问这本卡通书共有（ ）页。 【答案】90 【分析】由“第二天看了余下的一半又12页，还有8页没看”，假设第二天看了余下的一半，则还剩（8＋12）页，那么第一天看完后余下（8＋12）×2＝40（页）；由“第一天看了这本书的一半又5页”，此时还剩40页，假设第一天看了这本书的一半，则还剩40＋5＝45（页），那么这本卡通书共有45×2＝90（页）。据此解答。 【详解】[（8＋12）×2＋5]×2 ＝[20×2＋5]×2 ＝[40＋5]×2 ＝45×2 ＝90（页） 11．淘气家买了一个扫地机器人，5分钟可以打扫12平方米．照这样计算，如果要打扫90平方米，需要（ ）分钟． 【答案】37.5 【分析】此题主要考查了归一问题的应用，先用除法求出每分钟的扫地面积，然后用总面积÷每分钟的扫地面积=需要的时间，据此列式解答. 【详解】90÷（12÷5） =90÷2.4 =37.5（分）. 故答案为37.5 . 12．某数除以5，减去10，再乘2，最后加上20，结果等于40，这个数是（ ）。 【答案】100 【分析】从最后一步推起，“加上20，其结果等于40”可以求出加数：40﹣20＝20；再“乘2”得20，可以求出另一个因数：20÷2＝10；然后“减去10”得10，可以求出被减数：10＋10＝20；最后“某数除以5”得20，某数为20×5＝100.由此即可解决问题。 【详解】[（40﹣20）÷2＋10]×5 ＝[20÷2＋10]×5 ＝[10＋10]×5 ＝20×5 ＝100 培优拔高 13．工程队修一条公路，原计划每天修45米，8天修完。实际提前2天就完成任务了，实际平均每天多修多少米？ 【答案】15米 【分析】原计划每天修的米数乘计划修的天数，再除以实际修的天数等于实际每天修的米数，再减计划每天修的米数即可解答。 【详解】45×8÷（8－2）－45 ＝360÷6－45 ＝60－45 ＝15（米） 答：实际平均每天多修15米。 14．甲乙两队合修一段公路，甲队每天修220米，乙队每天修270米，两队分别同时施工，16天修完，这条公路长多少米？ 【答案】7840米 【分析】用甲队每天修路长度加上乙队每天修路长度，求出两队每天修路长度，再乘修路天数，求出这条公路总长度。 【详解】（220＋270）×16 ＝490×16 ＝7840（米） 答：这条路长7840米。 15．一本故事书共有460页，小红前6天看了120页，照这样的速度，剩下的还要多少天才能看完？ 【答案】17天 【分析】根据“小红前6天看了120页”求出小红每天看的页数，再求出剩下的页数，再除以每天看的页数，列式解答即可。 【详解】（460－120）÷（120÷6） ＝340÷20 ＝17（天） 答：剩下的还要17天才能看完。 16．化肥厂计划每月生产化肥200吨，实际每月多生产40吨，照这样计算，计划全年的任务，实际可以提前几个月完成任务？ 【答案】2个月 【分析】全年12个月，用计划每月的生产量×12，求出计划全年的生产量，除以实际每月生产量，即可求出实际需要几个月，进而即可求解。 【详解】200×12÷（200＋40） ＝2400÷240 ＝10（个） 12－10＝2（个） 答：实际可以提前2个月完成任务。 17．水果店运进香蕉54千克，比苹果少36千克，把这些水果分装在水果篮里，每个篮里有3千克，一共可以装多少篮？ 【答案】48篮 【分析】香蕉的质量加上36千克等于苹果的质量，再加上香蕉的质量等于两种水果的总质量，然后总质量除以每个篮里装水果的质量即可解答。 【详解】（54＋36＋54）÷3 ＝144÷3 ＝48（篮） 答：一共可以装48篮。 18．一个电器厂原计划20天生产洗衣机4800台，实际提前4天完成任务，实际每天生产洗衣机多少台？ 【答案】300台 【分析】计划天数减去提前的天数等于实际生产的天数，再用4800除以实际的天数即可解答。 【详解】4800÷（20－4） ＝4800÷16 ＝300（台） 答：实际每天生产洗衣机300台。 思维拓展 19．拓展题。学校买来4只皮球和24根跳绳，共用去100元，1只皮球比6根跳绳的价钱还贵1元，买一只皮球要（ ）元，一根跳绳要（ ）元。 【答案】 13 2 【分析】根据题意可知，1只皮球的价钱等于6根跳绳的价钱加1元，4只皮球的价钱等于6×4＝24（根）跳绳的价钱加1×4＝4（元），所以24＋24＝48（根）跳绳加4元等于100元，用100减4，再除以48，即等于1根跳绳的价钱，1根跳绳的价钱乘6加1等于1只皮球的价钱。 【详解】（100－1×4）÷（6×4＋24） ＝96÷48 ＝2（元） 2×6＋1 ＝12＋1 ＝13（元） 买一只皮球要13元，一根跳绳要2元。 20．一项工程原计划由36人做，要17天完成，工作3天后，决定要提前2天完成，需要增加多少人？ 【答案】6人 【分析】把每人每天做的工作量看作“1份”，总工作量就为36×17＝612份，工作3天后剩下的工作量为：612－3×36＝504份，提前2天完成需要的人数是：504÷（17－3－2）＝42人，需要增加42－36＝6人。 【详解】（36×17－36×3）÷（17－3－2）－36 ＝（612－108）÷（14－2）－36 ＝504÷12－36 ＝42－36 ＝6（人） 答：需要增加6人。 21．秋天到了，橘子成熟了。小明与爸爸、妈妈一起去果园摘橘子，他们三人一共摘了78个橘子，爸爸比妈妈多摘11个，小明比妈妈少摘2个。他们三人各摘橘子多少个？ 【答案】妈妈摘橘子23个；爸爸摘橘子34个；小明摘橘子21个 【分析】如下图： 78－11＋2就是3倍妈妈摘橘子的数量，再÷3就是妈妈的数量，妈妈的数量＋11就是爸爸的数量，妈妈的数量－2就是小明的数量，由此解答。 【详解】（78－11＋2）÷3 ＝（67＋2）÷3 ＝69÷3 ＝23（个） 爸爸：23＋11＝34（个） 小明：23－2＝21（个） 答：妈妈摘橘子23个，爸爸摘橘子34个，小明摘橘子21个。 22．水果批发市场运来75筐香蕉，如果从每筐香蕉中取出24千克香蕉，那么剩下的香蕉恰好相当于原来39筐香蕉的重量。原来每筐香蕉重多少千克？ 【答案】50千克 【分析】根据题意：运来75筐香蕉，从每筐香蕉中取出24千克香蕉，能求出取出的香蕉总重量；再根据：剩下的香蕉恰好相当于原来39筐香蕉的重量，就是说取出的香蕉总重量是75－39筐重量，最后用除法就能求出原来每筐香蕉重。 【详解】75×24÷（75－39） ＝1800÷36 ＝50（千克） 答：原来每筐香蕉重50千克。 23．工厂加工一批零件，25人做需要12天完成，如果每人每天加工140个零件，问这批零件共有多少个？现在每人每天多加工10个零件，且要求提前2天完成，则应增加多少人？ 【答案】42000个；3人 【分析】根据工作效率×工作时间＝工作量，先求出一人12天加工多少个，再求出这批零件共有多少个；现在每人每天多加工10个零件，也就是现在每人每天加工（140＋10）个，且要求提前2天完成，也就是用（12－2） 天完成任务，根据工作效率＝工作量÷工作时间，用工作量除以现在用的天数求出每天做多少个，再除以现在每人每天做的个数即可求出现在需要多少人完成任务，然后用现在用的人数减去原来的人数即可。 【详解】140×12×25 ＝1680×25 ＝42000（个） 42000÷ （12－2） ÷（140＋10） －25 ＝42000÷10÷150－25 ＝4200÷150－25 ＝28－25 ＝3（人） 答：这批零件共有42000个，应增加3人。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 沪教版四年级数学上册解决问题 专题04：整数的四则运算 （方法点拨+典例分析+变式训练+分层练习） 考点01：工作效率、工作时间、工作量 1、考点解读：本考点核心是理解“工作效率×工作时间=工作量”的三者关系，能灵活运用公式解决“求工作量”“求工作时间”“求工作效率”的实际问题，适用于工程、生产、任务完成等场景，培养批量计算与逆推思维。 2、类型 （1）求工作量：已知工作效率和工作时间，求总任务量。 （2）求工作时间：已知工作量和工作效率，求完成任务所需时间。 （3）求工作效率：已知工作量和工作时间，求单位时间完成的任务量。 （4）合作问题：已知多个对象的工作效率，求合作完成工作量的时间。 3、核心思路 （1）识别三者关系：明确题目中已知哪两个量，求哪个量（顺推或逆推）。 （2）确定公式方向：顺推用“工作量=工作效率×工作时间”；逆推时，工作时间=工作量÷工作效率，工作效率=工作量÷工作时间。 （3）合作问题：先求“效率和”（各对象工作效率相加），再用“工作量÷效率和=合作时间”。 （4）验证结果：用“工作效率×工作时间”反向验证工作量，确保计算准确。 4、计算公式 （1）核心公式：工作量=工作效率×工作时间 （2）逆推公式：工作时间= 工作量÷工作效率；工作效率=工作量÷工作时间 （3）合作公式：合作时间=工作量÷（甲工作效率+乙工作效率） 【名师点拨】 （1）单位统一是前提：工作效率、工作时间的单位需匹配。 （2）区分“单独效率”与“合作效率”：合作时需先算效率和，不能直接用单个效率乘总时间。 （3）工作量的实际意义：结果需符合场景。 考点02：推理问题 1、考点解读：本考点核心是通过分析题目中的逻辑关系（如数量差、倍数关系、条件限制），结合整数四则运算推导未知量，适用于“还原问题”“和差倍推理”“条件匹配问题”，培养逻辑分析与逆向思维能力。 2、类型 （1）还原问题：已知最终结果，逆推初始量。 （2）和差倍推理：已知两个或多个量的和、差、倍数关系，推导各量大小。 （3）条件匹配推理：根据多个限制条件，筛选符合要求的整数。 3、核心思路 （1）还原问题：按“逆运算”推导——加法逆用减法，乘法逆用除法，从最终结果逐步倒推； 分步记录每一步运算，确保逆运算顺序正确。 （2）和差倍推理：设标准量（小数）为 x，用x的式子表示其他量；根据“和”或“差”列算式，求解后验证关系。 （3）条件匹配推理：列出每个条件的数学表达；枚举符合第一个条件的数，再筛选符合其他条件的最小/唯一解。 4、常用推理方法（公式化思路） （1）还原问题：初始量=（最终结果-加数）÷ 乘数（或类似逆运算组合）。 （2）和倍问题：小数=和÷（倍数+ 1），大数=小数×倍数。 （3）差倍问题：小数=差÷（倍数- 1），大数=小数×倍数。 【名师点拨】 （1）还原问题逆运算顺序：逆推时需按“最后一步运算先逆推”的顺序。 （2）和差倍推理设量准确：避免设大数为标准量，增加计算难度。 （3）枚举法不遗漏：条件匹配时，按从小到大枚举，确保不重复、不遗漏。 （4）验证所有条件：推导结果需满足题目中所有限制条件，避免只满足单一条件。 考点03：文字计算题 1、考点解读：本考点核心是将文字描述的运算关系转化为数学算式，掌握“和、差、积、商”“乘、除、加、减”“除与除以”“多、少、倍”等关键词的含义，能准确判断运算顺序，列出正确算式并计算，培养文字转数学的逻辑能力。 2、核心思路 （1）抓关键词定运算：识别“和（+）、差（-）、积（×）、商（÷）、倍（×）、多（+）、少（-）”等关键词，确定每一步运算。 （2）辨“除”与“除以”：“A除B”表示“B÷A”，“A除以B”表示“A÷B”，避免混淆。 （3）定运算顺序：根据“先乘除后加减，有括号先算括号里”的规则，判断是否需要加括号。 （4）列算式并计算：按运算顺序列出算式，分步或综合计算，确保结果准确。 4、关键词对应运算（核心规则） （1）加法：和、加上、多、增加、一共。 （2）减法：差、减去、少、减少、剩余。 （3）乘法：积、乘、倍数、几个相同加数的和。 （4）除法：商、除以、除、平均分、包含几个。 【名师点拨】 （1）括号的正确使用：需要先算的部分（如“和、差”）必须加括号。 （2）避免关键词混淆：“乘”与“乘以”意义相同（A乘B=A×B），但“除”与“除以”意义相反，需重点区分。 （3）运算顺序不颠倒：两步及以上文字题，严格按“先乘除后加减”或括号指定顺序。 （4）验证算式与文字匹配：列出算式后，反向对照文字描述。 考点04：四则混合运算解决实际问题 1、考点解读：本考点核心是综合运用整数四则混合运算，解决含多步数量关系的实际问题（如购物、行程、生产、分配等），掌握“先分析数量关系，再确定运算顺序，最后计算”的逻辑，培养多步问题的拆解与综合计算能力。 2、核心思路 （1）拆解多步关系：将复杂问题拆分为“第一步算什么（如总价、总人数），第二步算什么（如总花费、车辆数）”，明确每一步的目的。 （2）确定运算顺序：根据数量关系，判断是否需要先算乘除、后算加减，或用括号改变顺序（如“先算总和再平均分”需加括号）。 （3）列算式计算：可先分步计算（清晰明了），再合并为综合算式，确保运算顺序正确。 （4）验证结果：结合实际场景验证结果合理性（如车辆数为整数、钱数不为负数）。 4、运算顺序规则（核心依据） （1）无括号：先算乘除，后算加减。 （2）有括号：先算小括号内的，再算括号外的。 【名师点拨】 （1）括号不可省略：需要先算的部分必须加括号。 （2）分步计算不跳步：多步问题可先分步算出中间结果。 考点1：工作效率、工作时间、工作量 【典型例题】甲、乙两人各要制造同样多的某种零件。甲每小时做15个，4小时正好完成全部零件的一半，乙的工作效率比甲慢，他完成全部零件要10小时，乙每小时比甲少做几个零件？ 【练习1】填表。 工作效率 工作时间 工作量 每天植树48棵 7天 植树 棵 每小时灌水 升 9小时 灌水612升 小王每分钟做25道口算题 分钟 做了200道 【练习2】玩具厂要加工1080件玩具，前5天平均每天加工88件，因为部分工人休假，剩下的每天比原来少加工24件，还要（     ）天才能完成任务。 A．4 B．5 C．8 D．10 考点2：正推、倒推问题 【典型例题】一筐梨连筐共重32千克，卖出一半后，连筐共重18千克，筐里原来有梨（     ）千克。 A．28 B．36 C．30 【练习1】一块长方形菜地，种黄瓜的面积比菜地面积的一半少5平方米，剩余20平方米种西红柿，这块菜地面积是（     ）平方米。 A．50 B．30 C．25 D．1 【练习2】王老师准备用一块花布给图书馆的桌椅做装饰，做桌布用去花布的一半少40平方分米，其余240平方分米都做了椅垫。这块花布原来的面积有多大？ 考点3：文字计算题 【典型例题】1000被125与8的积除，商是多少？ 【练习1】288除以6乘158与162的差的积，商是多少？列式正确的是（　 　）。 A． B． C． 【练习2】一个数比26的3倍少12，这个数是多少？ 考点4：四则混合运算解决实际问题 【典型例题】学校要购买48个足球。甲、乙两家体育用品商店一种足球的原价都是每个33元，这两家商店的优惠方式如下： 甲店：每个足球优惠8元。 乙店：买10个足球免费赠送2个，不足10个不赠送。 请你帮忙算一算，到哪家商店买更便宜？便宜多少钱？ 【练习1】爸爸去买2支钢笔和3支圆珠笔共付72元，买3支钢笔和2支圆珠笔共付78元，钢笔单价是 元，圆珠笔单价是 元。 【练习2】森林公园小火车轨道全长4千米，小火车每分钟行250米，途中共设3个车站（不包括起点站和终点站），每到一站小火车要停5分钟。小火车行完全程（包括3个站点停留的时间），一共需要多少分钟？ 夯实基础 1．乐乐和圆圆比赛写字，乐乐6分钟写了36个字，圆圆8分钟写了56个字。谁写字速度快？（     ） A．乐乐 B．圆圆 C．一样快 2．汽车厂27天生产汽车297辆，比原计划多生产了81辆。原计划每天生产（     ）辆。 A．8 B．9 C．10 3．康乃馨有200枝，比百合花的4倍多40枝，求百合花有多少枝？列式为（     ）。 A．200×4－40 B．（200－40）÷4 C．（200＋40）÷4 4．50减去25的差乘20加上13的和，积是多少？正确列式是（     ）。 A． B． C． 5．浩浩每分钟能打27个字，1小时他能打（     ）个字。 A．27 B．270 C．1620 6．4位师傅加工一批零件，如果每人每天加工85个零件，那么12天刚好加工完。这批零件有（ ）个。 7．210除以7的商乘120减去80的差，积是多少？ 关系式是：积＝（ ）×（ ）。 列式计算：（ ） 8．150除以6的商乘12，积是多少？ 关系式是：积＝（ ）×（ ） 列式计算：（ ） 9．小朋友，你们玩过扑克牌游戏“24点”吗？它是一种填数游戏，就是运用加、减、乘、除四种运算方法（也可用括号）进行计算，得出24。（牌中A、J、Q、K分别代表数1、11、12、13） 游戏开始： （1） 算法一： 算法二： （2） 算法一： 算法二： 10．小强看一本卡通书，第一天看了这本书的一半又5页，第二天看了余下的一半又12页，还有8页没看，问这本卡通书共有（ ）页。 11．淘气家买了一个扫地机器人，5分钟可以打扫12平方米．照这样计算，如果要打扫90平方米，需要（ ）分钟． 12．某数除以5，减去10，再乘2，最后加上20，结果等于40，这个数是（ ）。 培优拔高 13．工程队修一条公路，原计划每天修45米，8天修完。实际提前2天就完成任务了，实际平均每天多修多少米？ 14．甲乙两队合修一段公路，甲队每天修220米，乙队每天修270米，两队分别同时施工，16天修完，这条公路长多少米？ 15．一本故事书共有460页，小红前6天看了120页，照这样的速度，剩下的还要多少天才能看完？ 16．化肥厂计划每月生产化肥200吨，实际每月多生产40吨，照这样计算，计划全年的任务，实际可以提前几个月完成任务？ 17．水果店运进香蕉54千克，比苹果少36千克，把这些水果分装在水果篮里，每个篮里有3千克，一共可以装多少篮？ 18．一个电器厂原计划20天生产洗衣机4800台，实际提前4天完成任务，实际每天生产洗衣机多少台？ 思维拓展 19．拓展题。学校买来4只皮球和24根跳绳，共用去100元，1只皮球比6根跳绳的价钱还贵1元，买一只皮球要（ ）元，一根跳绳要（ ）元。 20．一项工程原计划由36人做，要17天完成，工作3天后，决定要提前2天完成，需要增加多少人？ 21．秋天到了，橘子成熟了。小明与爸爸、妈妈一起去果园摘橘子，他们三人一共摘了78个橘子，爸爸比妈妈多摘11个，小明比妈妈少摘2个。他们三人各摘橘子多少个？ 22．水果批发市场运来75筐香蕉，如果从每筐香蕉中取出24千克香蕉，那么剩下的香蕉恰好相当于原来39筐香蕉的重量。原来每筐香蕉重多少千克？ 23．工厂加工一批零件，25人做需要12天完成，如果每人每天加工140个零件，问这批零件共有多少个？现在每人每天多加工10个零件，且要求提前2天完成，则应增加多少人？ 2 / 2 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