专题04：简易方程（一）（解决问题讲义）数学沪教版五年级上册

沪教版五年级数学上册解决问题 专题04：简易方程（一） （方法点拨+典例分析+变式训练+分层练习） 考点01：用字母表示数、数量关系 1、考点解读：本考点核心是理解字母的“代换意义”，能用字母表示未知量、运算定律、计算公式及实际情境中的数量关系，是方程学习的基础。需掌握字母表示数的书写规范，能清晰表达数量间的逻辑关联，为后续列方程解题铺垫。 2、类型：表示未知量、表示运算定律与公式、表示实际数量关系。 3、核心思路 （1）确定需表示的量：区分已知量和未知量，用字母（常用x、y、a、b）表示未知量。 （2）分析数量关系：根据“多、少、倍、乘、除”等关键词，确定字母与已知量的运算关系。 （3）遵循书写规范：将数量关系转化为含字母的式子，确保格式正确。 【名师点拨】书写规范不混淆：字母与数字相乘，数字在前；带分数需化为假分数；1或- 1与字母相乘，1省略。 考点02：含有字母式子的化简与求值 1、考点解读：本考点核心是掌握含字母式子的化简方法（合并同类项）和求值步骤，能通过化简简化计算，根据字母的具体数值求出式子结果，培养代数运算能力。 2、类型：化简含字母式子、求含字母式子的值。 3、核心思路 （1）化简 ①识别同类项：找出所含字母相同且相同字母指数也相同的项。 ②合并同类项：同类项的系数相加，字母和指数不变（非同类项不能合并）。 ③整理结果：按“数字在前、字母在后”的顺序整理式子。 （2）求值 ①先化简：复杂式子先化简，减少计算量。 ②代入数值：将字母的具体值代入式子，还原省略的乘号。 【名师点拨】 （1）非同类项不强行合并，避免错误化简。 （2）代入数值带括号：字母值为负数、分数或小数时，代入需加括号。 考点03：等式的认识及列等量关系式 1、考点解读：本考点核心是从文字描述、实际场景或数量关系中，提取相等关系，并用含有数字、字母和运算符号的式子表示，是列方程解决实际问题的关键步骤，直接影响方程的正确性。 2、类型：文字描述类、实际场景类、数量关系类。 3、核心思路 （1）找“关键词”锁定关系：从题目中提取“等于、是、占、比…… 多、比…… 少、倍、共、总和、剩余”等关键词，明确数量间的相等关联（如“比…… 多”对应“+”，“倍”对应“×”，“剩余”对应“-”）。 （2）确定“单位1”或“标准量”：对于含“倍、多、少”的关系，先确定标准量，再围绕标准量构建相等关系。 （3）梳理逻辑顺序：按文字描述的逻辑顺序，将数量关系转化为式子，必要时用括号明确运算顺序。 （4）结合公式或常识：涉及几何、行程、价格等问题时，运用固定公式或生活常识构建等量关系。 4、常用关键词对应运算（核心规则） （1）加法：和、共、总和、比……多、增加、加上。 （2）减法：差、剩余、比……少、减少、减去。 （3）乘法：倍、是……的几倍、每、平均。 （4）除法：商、平均分、占。 （4）等于关系：是、等于、相当于。 【名师点拨】 （1）不遗漏隐藏条件：实际场景中，有些等量关系是隐藏的（如“相遇问题”中“甲走的路程 + 乙走的路程 = 总路程”），需结合场景提炼。 （2）运算顺序与括号：当描述中涉及“和的倍”“差的倍”时，需用括号明确先算加减。 考点04：列方程解决实际问题 1、考点解读：本考点是方程应用的基础，核心是找出实际问题中的等量关系，设未知数，列出一步或两步方程并求解。需掌握“设、找、列、解、验、答”的完整步骤，能解决简单的和差倍、行程、价格等问题。 2、类型：和差问题、倍数问题、年龄问题、行程问题、鸡兔同笼、经济问题等。 3、核心思路 （1）设未知数：通常设“要求的量”为x（直接设元），设句需带单位。 （2）找等量关系：根据题目关键词（和、差、倍、是、占）或公式，找出数量间的相等关系。 （3）列方程：根据等量关系，将文字转化为含未知数的等式。 （4）解方程：运用等式性质求出x的值，解后不带单位。 （5）检验与答：将x代入等量关系验证，确认符合实际后完整作答。 【名师点拨】 （1）等量关系要准确：避免因等量关系错误导致方程列错。 （2）设未知数带单位：设句需完整。 （3）解方程步骤规范：先写“解：”，再按等式性质逐步变形，不能直接写结果。 （4）检验不可少：不仅验证方程左右相等，还需检查结果是否符合实际。 考点1：用字母表示数 【典型例题】学校买来6个篮球，每个m元；又买来n个足球，每个85元。那么“买篮球和足球一共花去多少元”表示为（ ），85＋m表示（ ）。 【答案】 （6m＋85n） 买一个足球和一个篮球需要多少钱 【分析】单价×数量＝总价，篮球单价×个数＋足球单价×个数＝买篮球和足球花的总钱数，据此用字母表示出“买篮球和足球一共花去多少元”；足球单价＋篮球单价＝买一个足球和一个篮球需要多少钱，据此分析。 【详解】学校买来6个篮球，每个m元；又买来n个足球，每个85元。那么“买篮球和足球一共花去多少元”表示为（6m＋85n），85＋m表示买一个足球和一个篮球需要多少钱。 【练习1】淘气用20元买了x支铅笔，每支铅笔4.1元，还剩（ ）元。 【答案】20－4.1x 【分析】总价＝单价×数量。由题意得，可以先用铅笔的单价乘上数量得到要花的钱数，然后再用20减去要花的钱得到还剩的钱数。 【详解】20－4.1×x＝（20－4.1x）元 故淘气用20元买了x支铅笔，每支铅笔4.1元，还剩（20－4.1x）元。 【练习2】小明今年m岁，比叔叔小13岁，叔叔的年龄用式子表示为（ ）岁。 【答案】m＋13/13＋m 【分析】小明今年m岁，比叔叔小13岁，那么叔叔就比小明大13岁。求叔叔多少岁，用加法计算。 【详解】叔叔的年龄：（m＋13）或（13＋m）岁 故小明今年m岁，比叔叔小13岁，叔叔的年龄用式子表示为（m＋13）或（13＋m）岁。 考点2：化简与求值 【典型例题】小军在去游乐场的路上，上坡用了5分钟，平均每分钟走a米；下坡用了4分钟，平均每分钟走b米。 （1）用含有字母的式子表示小军一共走了多少米？ （2）当a＝30，b＝40时，小军一共走了多少米？ 【答案】（1）（5a＋4b）米；（2）310米 【分析】（1）已知上坡用了5分钟，平均每分钟走a米，根据路程＝速度×时间，上坡的路程为上坡速度×上坡时间，下坡用了4分钟，平均每分钟走b米，下坡的路程为下坡速度×下坡时间，那么小军一共走的路程就是上坡路程与下坡路程之和，据此解答。 （2）当a＝30，b＝40时，代入式子计算即可。 【详解】（1）5×a＋4×b ＝（5a＋4b）米 答：小军一共走了（5a＋4b）米。 （2）当a＝30，b＝40时； 5×30＋4×40 ＝150＋160 ＝310（米） 答：小军一共走了310米。 【练习1】仓库里有货物96吨，运走了12车，每车运b吨。 （1）用式子表示仓库里剩下的吨数。 （2）利用这个式子，求当b＝5时，仓库里剩下的货物有多少吨？ 【答案】（1）（96－12b）吨；（2）36吨 【分析】（1）剩下的货物吨数＝原有货物吨数－每车运的吨数×运的车数； （2）将b＝5代入字母表示的算式，求值即可。 【详解】（1）96－b×12＝（96－12b）吨 答：仓库里剩下的货物吨数用式子表示为：（96－12b）吨。 （2）96－12b ＝96－12×5 ＝96－60 ＝36（吨） 答：仓库里剩下的货物有36吨。 【练习2】妈妈买了8千克苹果，每千克x元，付出100元，应找回（ ）元。当x＝7时，应找回（ ）元。 【答案】 100－8x 44 【分析】由题可知，应找回的钱数＝付出的钱－苹果的单价×数量，据此代入数据解答；再把x＝7代入计算出结果。 【详解】100－8×x＝（100－8x）（元） 当x＝7时， 100－8x ＝100－8×7 ＝100－56 ＝44（元） 应找回（100－8x）元，当x＝7时，应找回44元。 考点3：等式的认识及列等量关系式 【典型例题】先写出等量关系式，再列方程。     （1）一条长600m的马路，每天修xm，40天修完。 等量关系式： 方程： （2）商店运来450箱苹果，卖出x箱，还剩下200箱。 等量关系式： 方程： （3）汽车每小时行驶90km，x小时共行驶120km。 等量关系式： 方程： 【答案】 每天修的长度×修的天数＝马路总长度 40x＝600 卖出的箱数＋剩下的箱数＝运来的箱数 x＋200＝450 速度×时间＝路程 90x＝120 【分析】（1）用每天修的长度乘修的天数，得到马路的总长。据此写出等量关系式，并由此列方程； （2）剩下的箱数加上卖出的，等于运来的箱数。据此写出等量关系式，并由此列方程； （3）根据速度乘时间等于路程，列出等量关系式及方程。 【详解】（1）等量关系式：每天修的长度×修的天数＝马路总长度 方程：40x＝600 （2）等量关系式：卖出的箱数＋剩下的箱数＝运来的箱数 方程：x＋200＝450 （3）等量关系式：速度×时间＝路程 方程：90x＝120 【练习1】先完成数量关系，再列出方程。 （1）实验小学六年级有300名学生收看宇航员王亚平太空授课的视频，六年级收看视频的学生人数比一年级的2倍还多20名，一年级有x名学生收看宇航员王亚平太空授课的视频。 数量关系：（ ）×（ ）＋（ ）＝（ ）。 方程：（ ）。 （2）儿子今年x岁，爸爸今年33岁，比儿子的年龄的5倍少2岁。 数量关系：（ ）×（ ）﹣（ ）＝（ ）。 方程：（ ）。 【答案】 一年级收看视频的人数 2 20 300 2x＋20＝300 儿子的岁数 5 2 33 5x﹣2＝33 【分析】求一个数的几倍是多少，用乘法。根据题意要求找出数量关系，列方程即可。 【详解】（1）数量关系：一年级收看视频的人数×2＋20＝300 设一年级有x名学生收看宇航员王亚平太空授课的视频。列方程如下： 2x＋20＝300 （2）数量关系：儿子的岁数×5﹣2＝33 设儿子今年x岁，列方程如下： 5x﹣2＝33 【练习2】先写出等量关系式，再列出方程。 （1）食堂原有面粉千克，用去32千克，还剩18千克。 － 剩下的质量 方程：       （2）学校舞蹈队有学生45人，其中女生人数是男生人数的2倍，男生有人。 ＋ 方程： 【答案】 原有的质量 用去的质量 女生人数 男生人数 总人数 【分析】（1）由题意可知，用食堂原有面粉质量减去用去的质量等于还剩的质量，据此列方程x－32＝18； （2）由题意可知，女生人数加上男生的人数就等于舞蹈队的学生总数；女生的人数是男生的2倍，把男生看成x人，女生就是2x人。据此列方程。 【详解】（1）原有的质量－用去的质量＝剩下的质量 方程：x－32＝18。 （2）女生人数＋男生人数＝总人数； 方程：2x＋x＝45。 考点4：列方程解决问题 【典型例题】甲、乙两地间的路程是432千米，A车和B车同时从两地开出，相向而行，行了2小时后，两车还相距36千米未行。已知A车速为98千米，则B车速是多少？ 【答案】100千米/时 【分析】根据“速度和×时间＝路程”可得出等量关系：（A车的速度＋B车的速度）×行驶时间＋未行的路程＝甲、乙两地的全程，据此列出方程，并求解。 【详解】解：设B车速是千米/时。 （98＋）×2＋36＝432 196＋2＋36＝432 232＋2＝432 232＋2－232＝432－232 2＝200 2÷2＝200÷2 ＝100 答：B车速是100千米/时。 【练习1】世界上最小的海是马尔马拉海，面积为11000平方千米。比我们国家太湖面积的4倍多1400平方千米。求太湖的面积是多少平方千米？（列方程解答） 【答案】2400平方千米 【分析】根据题意，马尔马拉海的面积等于太湖面积的4倍加上1400平方千米。马尔马拉海的面积＝太湖面积×4＋1400平方千米。设太湖面积为x平方千米，也就是4x＋1400＝11000相等，然后利用等式的性质1和2进行解方程即可。 【详解】解：设太湖面积为x平方千米。 4x＋1400＝11000 4x＋1400－1400＝11000－1400 4x＝9600 4x÷4＝9600÷4 x＝2400 答：我国太湖的面积约是2400平方千米。 【练习2】科技小组有34人，比足球小组人数的2倍少6人，足球小组有多少人？（用方程解） 【答案】20人 【分析】设足球小组有x人；科技小组人数比足球小组人数的2倍少6人，即足球小组人数×2－6人＝科技小组人数，列方程：2x－6＝34，解方程，即可解答。 【详解】解：设足球小组有x人。 2x－6＝34 2x－6＋6＝34＋6 2x＝40 2x÷2＝40÷2 x＝20 答：足球小组有20人。 夯实基础 1．刘强今年a岁，比李斌大12岁，再过C年后，他们年龄相差（     ）岁。 A．C B．12 C．A－12＋C 【答案】B 【分析】根据题意，刘强今年的年龄比李斌大12岁，由此可知，他们的年龄差是12岁；不管过去多少年，年龄差是不变的；据此解答。 【详解】根据分析可知，刘强今年a岁，比李斌大12岁，再过C年后，他们年龄相差12岁。 故答案为：B 2．如图，现在买2辆自行车需要多少元？正确的列式是（     ）。 A． B． C． 【答案】B 【分析】现在1辆自行车降价50元，a减50为现在一辆的价格，再乘2即为2辆自行车现在的价格。 【详解】现在买2辆需要（a－50）×2元。 故答案为：B 3．永州到长沙的距离约300km，甲乙两辆货车同时从两地相向开出，甲车每小时行80km，乙车每小时行70km，经过（     ）小时两车相遇。 A．3 B．2.5 C．2 【答案】C 【分析】速度×时间＝路程，设经过x小时两车相遇，根据甲车速度×相遇时间＋乙车速度×相遇时间＝总路程，列出方程求出x的值即可。 【详解】解：设经过x小时两车相遇。 80x＋70x＝300 150x＝300 150x÷150＝300÷150 x＝2 经过2小时两车相遇。 故答案为：C 4．郑州奥林匹克体育中心总建筑面积为58.4万平方米，相当于16个郑州航海体育场的建筑面积。航海体育场的建筑面积是多少？下面能表示题中数量关系的式子是（     ）。 A．奥体中心面积航海体育场面积 B．航海体育场面积＝奥体中心面积 C．航海体育场面积奥体中心面积 【答案】B 【分析】郑州奥林匹克体育中心（奥体中心）总建筑面积为58.4万平方米，相当于16个郑州航海体育场的建筑面积，也就是奥体中心是体育场的16倍。 【详解】因为奥体中心是体育场的16倍，所以体育场面积×16＝奥体中心面积。 故答案为：B。 5．爸爸读《战争与和平》，全书共计3208页。他坚持每天读40页，一段日子过去了，还剩45页没有读。这本名著爸爸已经读了多少天？以下所写等量关系，不符合题意的是（     ）。 A．总页数－每天读40页×已读天数＝还剩45页 B．总页数－还剩45页＝每天读40页×已读天数 C．每天读40页×已读天数＝总页数 【答案】C 【分析】总页数－已读页数＝还剩页数，据此列出等量关系为总页数－每天读40页×已读天数＝还剩45页。 用总页数减去还剩的页数，求得的差为爸爸读书的总页数。用每天读书的页数乘已读天数，求得的积为爸爸读书的总页数。据此列出等量关系为总页数－还剩45页＝每天读40页×已读天数。 【详解】根据题意可列出等量关系式为：总页数－每天读40页×已读天数＝还剩45页；总页数－还剩45页＝每天读40页×已读天数。 不符合题意的是：每天读40页×已读天数＝总页数。 故答案为： C 6．妹妹有a本图书，哥哥的图书比妹妹的2倍多8本，哥哥有图书（ ）本。 【答案】2a＋8 【分析】根据题意，哥哥的图书比妹妹的2倍多8本，即妹妹的图书本数×2＋8本＝哥哥图书本数，据此解答。 【详解】a×2＋8＝（2a＋8）本 妹妹有a本图书，哥哥的图书比妹妹的2倍多8本，哥哥有图书（2a＋8）本。 7．科技是核心竞争力，我国自主研发的电子产品越来越受到人们的喜爱。一大型商场第一周卖出国产某品牌手机230部，第二周卖出320部，已知每部手机a元，这两周一共卖出（ ）元，第一周比第二周少卖出（ ）元。 【答案】 550a 90a 【分析】用字母表示数：字母可以表示任意的数，也可以表示特定含义的公式，用字母将数量关系表示出来。 （1）用字母表示表示数时，数字与字母，字母与字母之间的乘号可以省略，也可以用小圆点“·”表示。 （2）字母与数字相乘时，省略乘号，并且把数字放在字母的前面。当数字是“1”时，“1”常常省略不写。多个字母相乘时，一般按字母顺序书写。 （3）常用分数表示除式，系数是带分数的，带分数常要化成假分数形式。 （4）该加括号的要加括号，注意运算顺序 根据单价×数量＝总价，第一周卖出的部数＋第二周卖出的部数求出一天一共卖出多少部，再乘单价就是两周一共卖出的钱数；用第二周卖出的部数－第一周卖出的求出第一周比第二周少卖出的部数，再乘单价就是第一周比第二周少卖的钱数。 【详解】（230＋320）×a ＝550×a ＝550a（元） （320－230）×a ＝90×a ＝90a（元） 这两周一共卖出550a元，第一周比第二周少卖出90a元。 8．工厂里原有货物56吨，每车运走y吨，运走9车，运走了（ ）吨，工厂里还剩货物（ ）吨；当y＝5时，还剩货物（ ）吨。 【答案】 9y 56－9y 11 【分析】用每车运走的吨数乘运走的9车，可得运走的吨数；需要注意的是字母与数字相乘时要简写，省略乘号，把数字放在字母的前面； 用原有货物的吨数－已经运走的吨数，可得剩下的货物吨数； 将y＝5代入第二空的关系式，计算即可求出还剩货物的吨数。 【详解】由分析可得： 运走了：y×9＝9y（吨） 还剩：（56－9y）吨 当y＝5时， 56－9y ＝56－9×5 ＝56－45 ＝11（吨） 综上所述：工厂里原有货物56吨，每车运走y吨，运走9车，运走了9y吨，工厂里还剩货物56－9y吨；当y＝5时，还剩货物11吨。 9．文文录一份2000字的稿件，平均每分钟打85个字，她打了x分钟后，剩下（ ）个字没录；当x＝20时，剩下（ ）个字没录。 【答案】 2000－85x 300 【分析】文文平均每分钟打85个字，则x分钟打85x个字，总工作量减去已完成量等于剩余的工作量，据此列式；当x＝20时，代入式子计算即可。 【详解】由分析可知，剩余工作量列式为：2000－85x 当x＝20时 2000－85x ＝2000－85×20 ＝2000－1700 ＝300（个） 即文文录一份2000字的稿件，平均每分钟打85个字，她打了x分钟后，剩下（2000－85x）个字没录；当x＝20时，剩下300个字没录。 10．一本书a页，小明每天看页，看了4天，还剩（ ）页没看；当a＝128，＝18时，还剩（ ）页。 【答案】 a－4 56 【分析】根据题意可得出数量关系：总页数－每天看的页数×看的天数＝剩下的页数，据此用含字母的式子表示还剩的页数； 然后把a＝128，＝18代入式子中，计算出得数即可。 【详解】还剩：a－×4＝（a－4）页 当a＝128，＝18时 a－4 ＝128－4×18 ＝128－72 ＝56（页） 一本书a页，小明每天看页，看了4天，还剩（a－4）页没看；当a＝128，＝18时，还剩56页。 11．五一班男生有x人，比女生多6人，女生有（ ）人，五一班一共有（ ）人。 【答案】 x－6 2x－6 【分析】由题意可知，五一班有男生x人，比女生人数多6人，则女生有（x－6）人；再用女生人数加上男生人数即可求出一共有多少人。 【详解】由分析可知： 五一班有男生x人，比女生人数多6人，女生有（x－6）人； x－6＋x ＝x＋x－6 ＝（2x－6）人 则五一班一共有（2x－6）人。 12．一个排球75元，比一个篮球贵12元，它们之间的等量关系是（ ）。 【答案】75元－一个篮球的价格＝12元 【分析】一个排球75元，比一个篮球贵12元，即排球与篮球的价格差是12元，据此可以写出等量关系式。 【详解】根据分析关系式应为：75元－一个篮球的价格＝12元。 13．我国首艘国产航母“山东舰”于2019年12月17日入列以来，已成功完成一系列海上训练项目。这艘可以搭载36架飞机的航母，甲板长315米，比宽多240米，整个甲板的面积相当于3个足球场那么大。根据以上信息，写出等量关系式：（ ）。 【答案】甲板长＝甲板宽＋240米或甲板面积＝足球场面积×3 【分析】由题干可知，甲板的宽加上240米就是甲板的长度，3个足球场的面积就是甲板的面积，据此分析。 【详解】由甲板长315米，比宽多240米，则可写出等量关系式：甲板长＝甲板宽＋240米；由整个甲板的面积相当于3个足球场那么大，可写出等量关系式：甲板的面积＝足球场的面积×3。 14．一个长方形草坪的周长是98米，宽是20米，求草坪的长。如果设草坪的长x米，根据等量关系列方程是（ ）。 【答案】98＝（x＋20）×2 【分析】长方形的周长＝（长＋宽）×2，其中周长是98米，长是x米，宽是20米，代入长方形的周长公式中即可。 【详解】如果设草坪的长x米，根据等量关系列方程是98＝（x＋20）×2。 故答案为：98＝（x＋20）×2。 15．把等量关系式补充完整，再列方程。 水星距离地球7700万千米，比月亮距离地球的200倍还多100万千米，月亮距离地球有x万千米。 （ ）＝水星距离地球的距离     方程：（ ） 【答案】 月亮距离地球的距离的200倍＋100万千米 200x＋100＝7700 【分析】月亮距离地球有x万千米，月亮距离地球的200倍为：200x（万千米），等量关系式：月亮距离地球的距离的200倍＋100万千米＝水星距离地球的距离，据此列方程。 【详解】根据分析可知，月亮距离地球的距离的200倍＋100万千米＝水星距离地球的距离，列方程：200x＋100＝7700。 16．把等量关系式补充完整，再列方程。 学校运动会前夕，五（1）班为了活跃气氛，准备了花环和彩球各15个，共花去班费120元。彩球每个4.5元，花环每个x元。 （1）（ ）的总价＋（ ）的总价＝花去的班费     方程：（ ） （2）（ ）×15＝花去的班费    方程：（ ） 【答案】 花环 彩球 15x＋4.5×15＝120 1个花环和1个彩球的价钱之和 （4.5＋x）×15＝120 【分析】根据题意可知，（1）数量关系式：花环的总价＋彩球的总价＝花去的班费；彩球每个4.5元，花环每个x元，数量各15个，根据单价×数量＝总价，求出花环的总价和彩球的总价，据此列方程。 （2）数量关系式：1个花环和1个彩球的价钱之和×15＝花去的班费，据此列方程。 【详解】根据分析可知，（1）数量关系式：花环的总价＋彩球的总价＝花去的班费，列方程：15x＋4.5×15＝120。 （2）数量关系式：1个花环和1个彩球的价钱之和×15＝花去的班费，列方程：（4.5＋x）×15＝120。 17．把等量关系式补充完整，再列方程。 小芳买了12支彩笔，每支彩笔x元，付给售货员20元，找回了2元。 （ ）＋（ ）＝20元     列方程：（ ） 【答案】 买彩笔的钱 找回的钱 12x＋2＝20 【分析】每支彩笔的价格×只数＝买彩笔的钱，等量关系式：买彩笔的钱＋找回的钱＝20元，据此列方程为：12x＋2＝20。 【详解】根据分析可知，买彩笔的钱＋找回的钱＝20元，列方程：12x＋2＝20。 故答案为：买彩笔的钱；找回的钱；12x＋2＝20 18．华华今年5岁，妈妈今年31岁。（ ）年后妈妈的年龄是华华的3倍。 【答案】8 【分析】根据题意可知，“（华华今年的年龄＋年数）×3＝妈妈今年的年龄＋年数”，据此列方程解答即可。 【详解】解：设x年后妈妈的年龄是华华的3倍； 3（5＋x）＝31＋x 15＋3x＝31＋x 2x＝16 x＝8 19．光的速度是30万千米/秒，相当于1秒绕地球赤道约7圈还多2万千米，地球赤道的周长约是（ ）万千米。 【答案】4 【分析】根据题意可知，“地球赤道的长度×7＋2＝光的速度”，据此列方程解答即可。 【详解】解：设地球赤道的周长为x万千米。 7x＋2＝30 7x＝28 x＝4 20．一次答题比赛共有10题，规定答对一题加10分，答错一题扣5分，每题必答。小明在比赛中共得了70分。小明在这次比赛中答错了（ ）题。 【答案】2 【分析】这道题我们用方程解答，设打错了x道题，一共10道题，一道题10分，一共100分，打错一大题不得分，还扣5分，打错一题就要扣10＋5分，即15分，小明扣了15x分，总得分数－小明错题扣的分数＝比赛共得的分数，根据等量关系列方程，即可解答。 【详解】解设：小明做错了x道题 10×10－（10＋5）x＝70 100－15x＝70 15x＝100－70 15x＝30 x＝30÷15 x＝2 21．天平的一端放着一袋食用盐，另一端放着袋盐和250克的砝码，这时天平恰好平衡，整袋盐的重量是（ ）克。 【答案】375 【分析】根据“天平平衡”可得出等量关系：一袋食用盐的重量＝袋盐的重量＋砝码的重量，据此列出方程，并求解。 【详解】解：设整袋盐的重量是克。 ＝＋250 －＝＋250－ ＝250 ÷＝250÷ ＝250× ＝375 整袋盐的重量是375克。 培优拔高 22．刘老师第一次到体育用品商店买了24套运动服，第二次又买了同样的运动服30套，第二次比第一次多付了510元。每套运动服多少元？（用方程解） 【答案】85元 【分析】设每套运动服x元；第一次买了24套运动服，24套运动服需要24x元，第二次买了30套运动服，30套运动服需要30x元，第二次比第一次多付了510元，即第二次买运动服的钱数－第一次买运动服的钱数＝510元，列方程：30x－24x＝510，解方程，即可解答。 【详解】解：设每套运动服x元。 30x－24x＝510 6x＝510 6x÷6＝510÷6 x＝85 答：每套运动服85元。 23．在“阳光体育”活动中，小丽和小华在踢毽子，她们一共踢了140下，小华踢的个数是小丽的1.5倍。小丽和小华各踢了多少个？（用方程解） 【答案】小丽踢了56个，小华踢了84个 【分析】根据题意可知，可以假设小丽踢了x个，小华踢的个数是小丽的1.5倍，则小华踢的数量是1.5x个，两者相加等于140个，依此列方程解答即可。 【详解】解：设小丽踢了x个 x＋1.5x＝140 2.5x＝140 2.5x÷2.5=140÷2.5 x=56 小华：1.5×56=84（个） 答：小丽踢了56个，小华踢了84个。 24．1928年国际天文学联合会把天空精确划分为88个星座，根据88个星座在地球上的不同位置和恒星的出没情况，又分为五大区域。其中南天星座最多，有42个，比北天星座的2倍还多4个，北天星座有多少个？（列方程解答） 【答案】19个 【分析】根据数量关系列方程解答，北天星座的个数×2＋多的4个＝南天星座的个数。 【详解】解：设北天星座有x个。 2x＋4＝42 2x＋4－4＝42－4 2x＝38 2x÷2＝38÷2 x＝19 答：北天星座有19个。 25．甲乙两地相距420千米，一辆客车和一辆货车同时从两地出发相向而行，3.5小时两车相遇。客车每小时行65千米，货车每小时行多少千米？ 【答案】55千米 【分析】由题意可知，设货车每小时行x千米，然后根据相遇问题中，速度和×相遇时间＝相遇路程，据此列方程解答即可。 【详解】解：设货车每小时行x千米。 （65＋x）×3.5＝420 （65＋x）×3.5÷3.5＝420÷3.5 65＋x＝120 65＋x－65＝120－65 x＝55 答：货车每小时行55千米。 26．甲、乙两个工程队同时挖一条长1120米的隧道，两队各从一端开始挖，相向施工，70天打通整条隧道。如果乙工程队每天挖7.8米，那么甲工程队每天挖多少米？ 【答案】8.2米 【分析】设甲工程队每天挖x米，根据甲工程队每天挖的长度×天数＋乙工程队每天挖的长度×天数＝总长度，列出方程解答即可。 【详解】解：设甲工程队每天挖x米。 70x＋7.8×70＝1120 70x＋546＝1120 70x＋546－546＝1120－546 70x＝574 70x÷70＝574÷70 x＝8.2 答：甲工程队每天挖8.2米。 27．小强现在的体重是33.5千克，比他出生时体重的9.5倍还多1.2千克。小强出生时的体重是多少千克？ 【答案】3.4千克 【分析】设小强出生时的体重是x千克，现在的体重比他出生时体重的9.5倍还多1.2千克，即出生时的体重×9.5＋1.2千克＝现在的体重，列方程：9.5x＋1.2＝33.5，解方程，即可解答。 【详解】解：设小强出生时的体重是x千克。 9.5x＋1.2＝33.5 9.5x＝33.5－1.2 9.5x＝32.3 x＝32.3÷9.5 x＝3.4 答：小强出生时的体重是3.4千克。 思维拓展 28．甲、乙两位同学带着同样多的钱去买日记本，乙买了8本，剩下的钱全部借给了甲，刚好使甲买到了12本，回家后甲还给乙6元钱，问：日记本每本多少钱？ 【答案】3元 【分析】本题考查了列方程解应用问题，由于乙买了8本，剩下钱的钱借给甲，后面甲又还给乙6元，所以乙借给甲6元，根据等量关系：8本日记本的价钱元本日记本的价钱元，列方程求解即可。 【详解】解：设日记本每本x元。    答：日记本每本3元。 29．五年级同学乘车去博物馆参观。如果租5辆车，则有10名同学没有座位；如果租6辆车，则多出32个座位。 （1）每辆车上有多少个座位？（列方程解答） （2）一共有多少名同学去博物馆参观？ 【答案】（1）42个；（2）220名 【分析】（1）根据题意可知，乘车去博物馆参观的总人数一定，等量关系：每辆车可乘坐的人数×5＋10＝每辆车可乘坐的人数×6－32，据此列出方程，并求解。 （2）把上一题求出的每辆车可乘坐的人数代入方程左边或右边，即可求出总人数。 【详解】（1）解：设每辆车上有个座位。 5＋10＝6－32 5＋10－5＝6－32－5 10＝－32 －32＋32＝10＋32 ＝42 答：每辆车上有42个座位。 （2）5×42＋10 ＝210＋10 ＝220（名） 答：一共有220名同学去博物馆参观。 30．乐乐今年8岁，妈妈今年36岁。乐乐多少岁时，妈妈的年龄是乐乐年龄的3倍？（用方程解答） 【答案】14岁 【分析】年龄问题中，乐乐和妈妈的年龄差一直不变，即等量关系式为： 3倍时候妈妈年龄－乐乐的年龄＝今年妈妈的年龄－今年乐乐的年龄，据此列出方程即可求解。 【详解】解：设乐乐x岁时，妈妈的年龄是乐乐的3倍。 3x－x＝36－8 2x＝28 2x÷2＝28÷2 x＝14 答：当乐乐14岁时，妈妈的年龄是乐乐的3倍。 31．老师买来一些铅笔奖给三好学生，如果其中二人每人分4支，其余每人分2支，则多出4支；如果其中一人分6支，其余每人分4支，则又缺12支。老师买来多少支铅笔？班上一共有多少名三好学生？ 【答案】26支；9名 【分析】两种发放方式的铅笔的数量相等，所以（三好学生人数－2）×2＋4×2＋4＝（三好学生人数－1）×4＋6－12，设三好学生有x名，根据等量关系式列出方程，求出三好学生人数，再求铅笔的支数，据此即可解答。 【详解】解：设三好学生有x名。 （x－2）×2＋4×2＋4＝（x－1）×4＋6－12 2x－4＋12＝4x－4－6 2x＋8＝4x－10 2x＋8＋10＝4x－10＋10 2x＋18＝4x 4x－2x＝18 2x＝18 x＝9 （9－2）×2＋4×2＋4 ＝7×2＋8＋4 ＝14＋12 ＝26（支） 答：老师买来26支铅笔，班上一共有9名三好学生。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 沪教版五年级数学上册解决问题 专题04：简易方程（一） （方法点拨+典例分析+变式训练+分层练习） 考点01：用字母表示数、数量关系 1、考点解读：本考点核心是理解字母的“代换意义”，能用字母表示未知量、运算定律、计算公式及实际情境中的数量关系，是方程学习的基础。需掌握字母表示数的书写规范，能清晰表达数量间的逻辑关联，为后续列方程解题铺垫。 2、类型：表示未知量、表示运算定律与公式、表示实际数量关系。 3、核心思路 （1）确定需表示的量：区分已知量和未知量，用字母（常用x、y、a、b）表示未知量。 （2）分析数量关系：根据“多、少、倍、乘、除”等关键词，确定字母与已知量的运算关系。 （3）遵循书写规范：将数量关系转化为含字母的式子，确保格式正确。 【名师点拨】书写规范不混淆：字母与数字相乘，数字在前；带分数需化为假分数；1或- 1与字母相乘，1省略。 考点02：含有字母式子的化简与求值 1、考点解读：本考点核心是掌握含字母式子的化简方法（合并同类项）和求值步骤，能通过化简简化计算，根据字母的具体数值求出式子结果，培养代数运算能力。 2、类型：化简含字母式子、求含字母式子的值。 3、核心思路 （1）化简 ①识别同类项：找出所含字母相同且相同字母指数也相同的项。 ②合并同类项：同类项的系数相加，字母和指数不变（非同类项不能合并）。 ③整理结果：按“数字在前、字母在后”的顺序整理式子。 （2）求值 ①先化简：复杂式子先化简，减少计算量。 ②代入数值：将字母的具体值代入式子，还原省略的乘号。 【名师点拨】 （1）非同类项不强行合并，避免错误化简。 （2）代入数值带括号：字母值为负数、分数或小数时，代入需加括号。 考点03：等式的认识及列等量关系式 1、考点解读：本考点核心是从文字描述、实际场景或数量关系中，提取相等关系，并用含有数字、字母和运算符号的式子表示，是列方程解决实际问题的关键步骤，直接影响方程的正确性。 2、类型：文字描述类、实际场景类、数量关系类。 3、核心思路 （1）找“关键词”锁定关系：从题目中提取“等于、是、占、比…… 多、比…… 少、倍、共、总和、剩余”等关键词，明确数量间的相等关联（如“比…… 多”对应“+”，“倍”对应“×”，“剩余”对应“-”）。 （2）确定“单位1”或“标准量”：对于含“倍、多、少”的关系，先确定标准量，再围绕标准量构建相等关系。 （3）梳理逻辑顺序：按文字描述的逻辑顺序，将数量关系转化为式子，必要时用括号明确运算顺序。 （4）结合公式或常识：涉及几何、行程、价格等问题时，运用固定公式或生活常识构建等量关系。 4、常用关键词对应运算（核心规则） （1）加法：和、共、总和、比……多、增加、加上。 （2）减法：差、剩余、比……少、减少、减去。 （3）乘法：倍、是……的几倍、每、平均。 （4）除法：商、平均分、占。 （4）等于关系：是、等于、相当于。 【名师点拨】 （1）不遗漏隐藏条件：实际场景中，有些等量关系是隐藏的（如“相遇问题”中“甲走的路程 + 乙走的路程 = 总路程”），需结合场景提炼。 （2）运算顺序与括号：当描述中涉及“和的倍”“差的倍”时，需用括号明确先算加减。 考点04：列方程解决实际问题 1、考点解读：本考点是方程应用的基础，核心是找出实际问题中的等量关系，设未知数，列出一步或两步方程并求解。需掌握“设、找、列、解、验、答”的完整步骤，能解决简单的和差倍、行程、价格等问题。 2、类型：和差问题、倍数问题、年龄问题、行程问题、鸡兔同笼、经济问题等。 3、核心思路 （1）设未知数：通常设“要求的量”为x（直接设元），设句需带单位。 （2）找等量关系：根据题目关键词（和、差、倍、是、占）或公式，找出数量间的相等关系。 （3）列方程：根据等量关系，将文字转化为含未知数的等式。 （4）解方程：运用等式性质求出x的值，解后不带单位。 （5）检验与答：将x代入等量关系验证，确认符合实际后完整作答。 【名师点拨】 （1）等量关系要准确：避免因等量关系错误导致方程列错。 （2）设未知数带单位：设句需完整。 （3）解方程步骤规范：先写“解：”，再按等式性质逐步变形，不能直接写结果。 （4）检验不可少：不仅验证方程左右相等，还需检查结果是否符合实际。 考点1：用字母表示数 【典型例题】学校买来6个篮球，每个m元；又买来n个足球，每个85元。那么“买篮球和足球一共花去多少元”表示为（ ），85＋m表示（ ）。 【练习1】淘气用20元买了x支铅笔，每支铅笔4.1元，还剩（ ）元。 【练习2】小明今年m岁，比叔叔小13岁，叔叔的年龄用式子表示为（ ）岁。 考点2：化简与求值 【典型例题】小军在去游乐场的路上，上坡用了5分钟，平均每分钟走a米；下坡用了4分钟，平均每分钟走b米。 （1）用含有字母的式子表示小军一共走了多少米？ （2）当a＝30，b＝40时，小军一共走了多少米？ 【练习1】仓库里有货物96吨，运走了12车，每车运b吨。 （1）用式子表示仓库里剩下的吨数。 （2）利用这个式子，求当b＝5时，仓库里剩下的货物有多少吨？ 【练习2】妈妈买了8千克苹果，每千克x元，付出100元，应找回（ ）元。当x＝7时，应找回（ ）元。 考点3：等式的认识及列等量关系式 【典型例题】先写出等量关系式，再列方程。     （1）一条长600m的马路，每天修xm，40天修完。 等量关系式： 方程： （2）商店运来450箱苹果，卖出x箱，还剩下200箱。 等量关系式： 方程： （3）汽车每小时行驶90km，x小时共行驶120km。 等量关系式： 方程： 【练习1】先完成数量关系，再列出方程。 （1）实验小学六年级有300名学生收看宇航员王亚平太空授课的视频，六年级收看视频的学生人数比一年级的2倍还多20名，一年级有x名学生收看宇航员王亚平太空授课的视频。 数量关系：（ ）×（ ）＋（ ）＝（ ）。 方程：（ ）。 （2）儿子今年x岁，爸爸今年33岁，比儿子的年龄的5倍少2岁。 数量关系：（ ）×（ ）﹣（ ）＝（ ）。 方程：（ ）。 【练习2】先写出等量关系式，再列出方程。 （1）食堂原有面粉千克，用去32千克，还剩18千克。 － 剩下的质量 方程：       （2）学校舞蹈队有学生45人，其中女生人数是男生人数的2倍，男生有人。 ＋ 方程： 考点4：列方程解决问题 【典型例题】甲、乙两地间的路程是432千米，A车和B车同时从两地开出，相向而行，行了2小时后，两车还相距36千米未行。已知A车速为98千米，则B车速是多少？ 【练习1】世界上最小的海是马尔马拉海，面积为11000平方千米。比我们国家太湖面积的4倍多1400平方千米。求太湖的面积是多少平方千米？（列方程解答） 【练习2】科技小组有34人，比足球小组人数的2倍少6人，足球小组有多少人？（用方程解） 夯实基础 1．刘强今年a岁，比李斌大12岁，再过C年后，他们年龄相差（     ）岁。 A．C B．12 C．A－12＋C 2．如图，现在买2辆自行车需要多少元？正确的列式是（     ）。 A． B． C． 3．永州到长沙的距离约300km，甲乙两辆货车同时从两地相向开出，甲车每小时行80km，乙车每小时行70km，经过（     ）小时两车相遇。 A．3 B．2.5 C．2 4．郑州奥林匹克体育中心总建筑面积为58.4万平方米，相当于16个郑州航海体育场的建筑面积。航海体育场的建筑面积是多少？下面能表示题中数量关系的式子是（     ）。 A．奥体中心面积航海体育场面积 B．航海体育场面积＝奥体中心面积 C．航海体育场面积奥体中心面积 5．爸爸读《战争与和平》，全书共计3208页。他坚持每天读40页，一段日子过去了，还剩45页没有读。这本名著爸爸已经读了多少天？以下所写等量关系，不符合题意的是（     ）。 A．总页数－每天读40页×已读天数＝还剩45页 B．总页数－还剩45页＝每天读40页×已读天数 C．每天读40页×已读天数＝总页数 6．妹妹有a本图书，哥哥的图书比妹妹的2倍多8本，哥哥有图书（ ）本。 7．科技是核心竞争力，我国自主研发的电子产品越来越受到人们的喜爱。一大型商场第一周卖出国产某品牌手机230部，第二周卖出320部，已知每部手机a元，这两周一共卖出（ ）元，第一周比第二周少卖出（ ）元。 8．工厂里原有货物56吨，每车运走y吨，运走9车，运走了（ ）吨，工厂里还剩货物（ ）吨；当y＝5时，还剩货物（ ）吨。 9．文文录一份2000字的稿件，平均每分钟打85个字，她打了x分钟后，剩下（ ）个字没录；当x＝20时，剩下（ ）个字没录。 10．一本书a页，小明每天看页，看了4天，还剩（ ）页没看；当a＝128，＝18时，还剩（ ）页。 11．五一班男生有x人，比女生多6人，女生有（ ）人，五一班一共有（ ）人。 12．一个排球75元，比一个篮球贵12元，它们之间的等量关系是（ ）。 13．我国首艘国产航母“山东舰”于2019年12月17日入列以来，已成功完成一系列海上训练项目。这艘可以搭载36架飞机的航母，甲板长315米，比宽多240米，整个甲板的面积相当于3个足球场那么大。根据以上信息，写出等量关系式：（ ）。 14．一个长方形草坪的周长是98米，宽是20米，求草坪的长。如果设草坪的长x米，根据等量关系列方程是（ ）。 15．把等量关系式补充完整，再列方程。 水星距离地球7700万千米，比月亮距离地球的200倍还多100万千米，月亮距离地球有x万千米。 （ ）＝水星距离地球的距离     方程：（ ） 16．把等量关系式补充完整，再列方程。 学校运动会前夕，五（1）班为了活跃气氛，准备了花环和彩球各15个，共花去班费120元。彩球每个4.5元，花环每个x元。 （1）（ ）的总价＋（ ）的总价＝花去的班费     方程：（ ） （2）（ ）×15＝花去的班费    方程：（ ） 17．把等量关系式补充完整，再列方程。 小芳买了12支彩笔，每支彩笔x元，付给售货员20元，找回了2元。 （ ）＋（ ）＝20元     列方程：（ ） 18．华华今年5岁，妈妈今年31岁。（ ）年后妈妈的年龄是华华的3倍。 19．光的速度是30万千米/秒，相当于1秒绕地球赤道约7圈还多2万千米，地球赤道的周长约是（ ）万千米。 20．一次答题比赛共有10题，规定答对一题加10分，答错一题扣5分，每题必答。小明在比赛中共得了70分。小明在这次比赛中答错了（ ）题。 21．天平的一端放着一袋食用盐，另一端放着袋盐和250克的砝码，这时天平恰好平衡，整袋盐的重量是（ ）克。 培优拔高 22．刘老师第一次到体育用品商店买了24套运动服，第二次又买了同样的运动服30套，第二次比第一次多付了510元。每套运动服多少元？（用方程解） 23．在“阳光体育”活动中，小丽和小华在踢毽子，她们一共踢了140下，小华踢的个数是小丽的1.5倍。小丽和小华各踢了多少个？（用方程解） 24．1928年国际天文学联合会把天空精确划分为88个星座，根据88个星座在地球上的不同位置和恒星的出没情况，又分为五大区域。其中南天星座最多，有42个，比北天星座的2倍还多4个，北天星座有多少个？（列方程解答） 25．甲乙两地相距420千米，一辆客车和一辆货车同时从两地出发相向而行，3.5小时两车相遇。客车每小时行65千米，货车每小时行多少千米？ 26．甲、乙两个工程队同时挖一条长1120米的隧道，两队各从一端开始挖，相向施工，70天打通整条隧道。如果乙工程队每天挖7.8米，那么甲工程队每天挖多少米？ 27．小强现在的体重是33.5千克，比他出生时体重的9.5倍还多1.2千克。小强出生时的体重是多少千克？ 思维拓展 28．甲、乙两位同学带着同样多的钱去买日记本，乙买了8本，剩下的钱全部借给了甲，刚好使甲买到了12本，回家后甲还给乙6元钱，问：日记本每本多少钱？ 29．五年级同学乘车去博物馆参观。如果租5辆车，则有10名同学没有座位；如果租6辆车，则多出32个座位。 （1）每辆车上有多少个座位？（列方程解答） （2）一共有多少名同学去博物馆参观？ 30．乐乐今年8岁，妈妈今年36岁。乐乐多少岁时，妈妈的年龄是乐乐年龄的3倍？（用方程解答） 31．老师买来一些铅笔奖给三好学生，如果其中二人每人分4支，其余每人分2支，则多出4支；如果其中一人分6支，其余每人分4支，则又缺12支。老师买来多少支铅笔？班上一共有多少名三好学生？ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $