精品解析：北京市第二十中学2025-2026学年八年级上学期期中数学试题

北京市第二十中学八年级第一学期期中练习1 数学 一、单项选择题（下列各题均为四个选项，其中只有一个选项符合题意，共30分，每小题3分） 1. 中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产名录，下面四幅作品分别代表二十四节气中的“立春”“谷雨”“芒种”“白露”，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据轴对称图形的概念进行判断即可． 本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：A原图不是轴对称图形，故本选项不符合题意； B.原图是轴对称图形，故本选项符合题意； C.原图既不是轴对称图形，故本选项不合题意； D.原图不是轴对称图形，故本选项不合题意． 故选：B． 2. 已知等腰三角形的一边长为4，另一边长为8，则它的周长是（ ） A. B. C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质及三角形三边关系；对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论． 因为等腰三角形的两边分别为4和8，但没有明确哪是底边，哪是腰，所以有两种情况，需要分类讨论． 【详解】解：当4为底时，其它两边都为8，则4、8、8可以构成三角形，周长为20； 当4为腰时，其它两边为4和8，因为，所以不能构成三角形，故舍去． 故选：C． 3. 如图，将直尺和角的三角尺叠放在一起，则和之间的关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形外角性质，延长交于点，由平行线的性质得，进而由得，即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，延长交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， 即， 故选：． 4. 下列运算式中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据合并同类项、同底数幂相乘、积的乘方以及幂的乘方法则进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、，故该选项是错误的； B、，故该选项是正确的； C、，故该选项是错误的； D、，故该选项是错误的； 故选：B 【点睛】本题考查了合并同类项、同底数幂相乘、积的乘方以及幂的乘方法则，难度较小，如果两个单项式，它们所含的字母相同，并且相同字母的指数也分别相同，那么就称这两个单项式为同类项． 5. 如图，点在同一直线上，若，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，由全等三角形的性质得，，进而根据线段的和差关系即可求解，掌握基本性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴， 故选：． 6. 如图，，于D，于，下列结论错误的是（　　） A. B. 平分 C. D. 垂直平分 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，角平分线性质，全等三角形的性质和判定的应用，由角平分线的性质定理可得，再证明，进而可得，；而，是无法证明是相等的，于是答案可得，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等． 【详解】解：∵，，， ∴，故A正确； ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，，故C正确， ∴平分，故B正确； 根据已知不能推出，， ∴不一定垂直平分，故D错误； 故选：D． 7. 在课堂上，陈老师布置了一道画图题：画一个，使，它的两条边分别等于两条已知线段，小明和小强两位同学先画出了之后，后续画图的主要过程分别如图所示． 那么小明和小强两位同学作图确定三角形的依据分别是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】分别根据全等三角形的判定定理进行解答即可． 【详解】解：∵小明同学先确定的是直角三角形的两条直角边， ∴确定依据是SAS定理； ∵小强同学先确定的是直角三角形的一条直角边和斜边， ∴确定依据是HL定理． 故选：A． 【点睛】本题考查的是作图-复杂作图，解题的关键是熟知全等三角形的判定定理． 8. 如图在中，边，的垂直平分线交于点P，连结，，若，则（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，三角形外角的性质，等腰三角形的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 连接，延长交于D，根据线段垂直平分线的性质及等腰三角形的性质证得，，根据三角形外角的性质即可求出． 【详解】解：连接，延长交于D， ， ∵点P是，的垂直平分线的交点， ， ，， ， 故选：A． 9. 已知单项式，满足，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了单项式乘以多项式，熟练掌握相关运算法则是解题关键．根据等式左边利用单项式乘多项式法则计算，利用多项式相等的条件确定出、，即可求解． 【详解】解：， ∴， ∴． 故选：A． 10. 如图，是等边三角形，D是线段上一点（不与点B，C重合），连接，点E，F分别在线段的延长线上，且，点D从B运动到C的过程中，周长的变化规律是（ ） A. 不变 B. 一直变小 C. 先变大后变小 D. 先变小后变大 【答案】D 【解析】 【分析】先根据等边三角形的性质可得，从而可得，再根据等腰三角形的性质、角的和差可得，然后根据三角形全等的判定定理与性质可得，从而可得周长为，最后根据点到直线的距离即可得出答案． 【详解】是等边三角形， ， ， ， ， 又， ， ， ， ， 在和中，， ， ， 则周长为， 在点D从B运动到C的过程中，长不变，长先变小后变大，其中当点D运动到的中点位置时，最小， 在点D从B运动到C的过程中，周长的变化规律是先变小后变大， 故选：D． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、等边三角形的性质、三角形全等的判定定理与性质等知识点，正确找出两个全等三角形是解题关键． 二、填空题（共18分，每小题3分） 11. 已知点，关于轴对称的点的坐标为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查关于坐标轴对称的点的坐标特征，解题的关键是掌握：关于轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于轴对称的点的纵坐标相同，横坐标互为相反数．据此解答即可． 【详解】解：点关于轴对称的点的坐标为． 故答案为：． 12. 如图，AB=AC，要使ABE≌ACD，应添加的条件是_____（添加一个条件即可）． 【答案】AE=AD 【解析】 【详解】要使△ABE≌△ACD，已知AB=AC，∠A=∠A， 则可以添加AE=AD，利用SAS来判定其全等； 或添加∠B=∠C，利用ASA来判定其全等； 或添加∠AEB=∠ADC，利用AAS来判定其全等． 故答案为：AE=AD（答案不唯一）． 13. 将一个含角的直角三角板与直尺按如图方式放置，三角板的斜边与直尺的一边平行，直尺的上下两边恰好经过0和4刻度．则直尺的宽度是______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了含角的直角三角形的性质，由含角的直角三角形的性质即可得解，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图， 由题意可得：，，， ∴， 作于，则， ∴，即直尺的宽度是， 故答案为：． 14. 如图，在等边中，点分别在边上，且，与交于点．则______度． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的外角性质，由等边三角形的性质可得，，即可得，得到，再根据三角形的外角性质即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，， 即， 又∵， ∴， ∴， ∵为的一个外角， ∴， 故答案为：． 15. 已知，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂乘法和幂的乘方的逆运算，熟练掌握知识点是解题的关键． 利用同底数幂乘法和幂的乘方的逆运算将 转化为 ，再代入已知数值计算即可求解． 【详解】解：∵ ， ， ∴， 故答案为：． 16. 已知一张三角形纸片（如图甲），其中．将纸片沿过点的直线折叠，使点落到边上的点处，折痕为（如图乙）．再将纸片沿过点的直线折叠，点恰好与点重合，折痕为（如图丙）．原三角形纸片中，的大小为______ 【答案】##72度 【解析】 【分析】本题主要考查了折叠的性质以及等腰三角形的性质．设，由折叠的性质得到，根据三角形外角的性质得到，再利用内角和定理即可求出，便可求出答案． 【详解】解：设， ，， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 三、解答题（共52分，其中17题4分，18题5分，19-24题6分，25题7分） 17. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算化简求值，先根据整式的运算法则进行化简，再把代入到化简后的结果中计算即可求解，掌握整式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ， 当时， 原式 ． 18. 已知：如图中，． 求作：点P，使得点P在上，且点P到的距离等于． 作法：以点B为圆心，以任意长为半径作弧，分别交射线、于点D、E； 分别以点D、E为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内部交于点F； 作射线交于点P． 则点P即为所求． （1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面证明． 证明：连接、 在和中 （_______________）（填推理的依据） ，点P在上 作于点Q 点P在上 （_______________）（_______________）（填推理的依据）． 【答案】（1） 如图所示： （2）（或三边对应相等的两个三角形全等），，角平分线上的点到角两边的距离相等 【解析】 【分析】本题考查作图-复杂作图、角平分线的性质定理、全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本作图，灵活运用所学知识解决问题． （1）按照题目中的已知作法作图即可； （2）先根据得出，根据全等三角形的对应边相等得出，再根据角平分线的性质即可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 如图，已知点、、、在直线上，点、在直线的异侧，连接、、、、、，且，，． （1）试说明：； （2）试说明：． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵，， ∴； （2） 证明：∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质与判定，熟练掌握知识点、推理证明是解题的关键． （1） 根据“两直线平行，内错角相等”，得出，再结合，，利用证明即可； （2）由，得，推出，根据“两直线平行，内错角相等”，得出，推出，利用证明，得出，根据“内错角相等，两直线平行”，即可证明． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 如图，在△ABC中，AE是∠BAC的平分线，交BC于点E，交AC于点D． （1）求证：； （2）若，，求AC的长． 【答案】 （1）证明：∵AE是∠BAC的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）12 【解析】 【分析】（1）由题意易得，，进而问题可得证； （2）由题意易得，则有∠C+∠CAE=90°，∠CED+∠DEA=90°，由（1）可证DE=CD，进而问题可求解． 【详解】证明：（1）略 （2）∵，AE是∠BAC的平分线， ∴， ∴∠C+∠CAE=90°，∠CED+∠DEA=90°， 由（1）得，∠CAE=∠DEA，AD=DE， ∴∠C=∠CED， ∴DE=CD， ∴AD=DE=CD， ∵DE=6， ∴AC=AD+CD=12． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质与判定，熟练掌握等腰三角形的性质与判定是解题的关键． 21. 如图，于点E，于点F，求证：． 【答案】 证明：如解图，连接， 在和中，， ∴， ∴，即平分， ∵， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质定理，解题的关键是正确添加辅助线构造全等三角形． 连接，先由证明，则得到平分，再由角平分线性质定理求证即可． 【详解】略 22. 如图，在正方形网格中，的顶点A，B，C均在格点上． （1）画出关于直线对称的（点，，分别为点A，B，C的对应点）； （2）若D为直线上一点，则_______；（填“>”“<”或“=”） （3）在直线上找一点P，使得最小．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】（1） 轴对称的原理：对称点连线垂直轴，对称点与轴等距，画图如下： 则即为所求． （2）= （3） 根据点A关于的对称点，连接，交于点P， 则点P即为所求． 【解析】 【分析】（1）根据对称点与对称轴是垂直等距原理画图即可； （2）根据线段垂直平分线上的点到线段的两个端点距离相等，解答即可； （3）根据点A关于的对称点，连接，交于点P，点P即为所求． 本题考查了坐标的对称问题，线段和最小作图计算，熟练掌握对称的原理，正确作图是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：根据线段垂直平分线上的点到线段的两个端点距离相等， 得, 故答案为：=． 【小问3详解】 略 23. 在探索有关整式的乘法法则时，可以借助几何图形来解释某些法则． （1）观察图①的面积关系，写出一个数学公式_____； （2）请写出图②中的几何图形所表示的代数恒等式_____； （3）画出一个几何图形，使它的面积表示，其中． 【答案】（1） （2） （3）解：如图所示， 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式、多项式乘以多项式与几何图形的面积关系； 【小问1详解】 解：根据图1可得， 故答案为：． 【小问2详解】 解：根据图形可得， 故答案为：． 【小问3详解】 略 24. 如图，中，点D是的中点，点E是上一点，与的延长线交于点F，． （1）__________； （2）判断并证明和的数量关系． 【答案】（1） （2） 解：， 证明如下：如图，延长至H，使，连接， ∵点D是的中点， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解本题的关键． （1）可证明，利用等角对等边即可得出； （2）延长至H，使，连接，由可证，可得，结合，可证，可得结论． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 略 25. 在中，，，为的中线，点E是射线上一动点，连接，作，射线与射线交于点F． （1）如图1，当点E与点D重合时，求证：； （2）如图2，当点E在线段上，且与点A，D不重合时， ①依题意，补全图形； ②用等式表示线段之间的数量关系，并证明． （3）当点E在线段的延长线上，且时，直接写出用等式表示的线段之间的数量关系． 【答案】 （1）证明：∵， ∴是等腰三角形， ∵， ∴,， ∵为的中线， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴； （2）如图： ，证明： 如图2，在线段上取点G，使， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∵是等腰三角形，为的中线， ∴，， ∴，即， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴； （3）当时，,当时， 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形三线合一的性质得，，从而可得在中，，进而即可求解； （2）画出图形，在线段AB上取点G，使，再证明，进而即可得到结论； （3）分两种情况：当时，当时，分别画出图形，证明或，进而即可得到结论． 【详解】（1）略 （2）略 （3）当时，如图3所示： 与（2）同理：在线段上取点H，使， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∵是等腰三角形，为的中线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图4所示：当重合时， ∵，， ∴是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理：， ∴， ∴， ∴当时， 在线段的延长线上取点N，使， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵ ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及等边三角形的判定与性质，根据题意做出辅助线找全等三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市第二十中学八年级第一学期期中练习1 数学 一、单项选择题（下列各题均为四个选项，其中只有一个选项符合题意，共30分，每小题3分） 1. 中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产名录，下面四幅作品分别代表二十四节气中的“立春”“谷雨”“芒种”“白露”，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知等腰三角形的一边长为4，另一边长为8，则它的周长是（ ） A. B. C. D. 或 3. 如图，将直尺和角的三角尺叠放在一起，则和之间的关系为（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算式中，正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，点在同一直线上，若，则等于（ ） A. B. C. D. 6. 如图，，于D，于，下列结论错误的是（　　） A. B. 平分 C. D. 垂直平分 7. 在课堂上，陈老师布置了一道画图题：画一个，使，它的两条边分别等于两条已知线段，小明和小强两位同学先画出了之后，后续画图的主要过程分别如图所示． 那么小明和小强两位同学作图确定三角形的依据分别是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 8. 如图在中，边，的垂直平分线交于点P，连结，，若，则（　　） A. B. C. D. 9. 已知单项式，满足，则等于（ ） A. B. C. D. 10. 如图，是等边三角形，D是线段上一点（不与点B，C重合），连接，点E，F分别在线段的延长线上，且，点D从B运动到C的过程中，周长的变化规律是（ ） A. 不变 B. 一直变小 C. 先变大后变小 D. 先变小后变大 二、填空题（共18分，每小题3分） 11. 已知点，关于轴对称的点的坐标为__________． 12. 如图，AB=AC，要使ABE≌ACD，应添加的条件是_____（添加一个条件即可）． 13. 将一个含角的直角三角板与直尺按如图方式放置，三角板的斜边与直尺的一边平行，直尺的上下两边恰好经过0和4刻度．则直尺的宽度是______． 14. 如图，在等边中，点分别在边上，且，与交于点．则______度． 15. 已知，则______． 16. 已知一张三角形纸片（如图甲），其中．将纸片沿过点的直线折叠，使点落到边上的点处，折痕为（如图乙）．再将纸片沿过点的直线折叠，点恰好与点重合，折痕为（如图丙）．原三角形纸片中，的大小为______ 三、解答题（共52分，其中17题4分，18题5分，19-24题6分，25题7分） 17. 先化简，再求值：，其中． 18. 已知：如图中，． 求作：点P，使得点P在上，且点P到的距离等于． 作法：以点B为圆心，以任意长为半径作弧，分别交射线、于点D、E； 分别以点D、E为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内部交于点F； 作射线交于点P． 则点P即为所求． （1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面证明． 证明：连接、 在和中 （_______________）（填推理的依据） ，点P在上 作于点Q 点P在上 （_______________）（_______________）（填推理的依据）． 19. 如图，已知点、、、在直线上，点、在直线的异侧，连接、、、、、，且，，． （1）试说明：； （2）试说明：． 20. 如图，在△ABC中，AE是∠BAC的平分线，交BC于点E，交AC于点D． （1）求证：； （2）若，，求AC的长． 21. 如图，于点E，于点F，求证：． 22. 如图，在正方形网格中，的顶点A，B，C均在格点上． （1）画出关于直线对称的（点，，分别为点A，B，C的对应点）； （2）若D为直线上一点，则_______；（填“>”“<”或“=”） （3）在直线上找一点P，使得最小．（不写作法，保留作图痕迹） 23. 在探索有关整式的乘法法则时，可以借助几何图形来解释某些法则． （1）观察图①的面积关系，写出一个数学公式_____； （2）请写出图②中的几何图形所表示的代数恒等式_____； （3）画出一个几何图形，使它的面积表示，其中． 24. 如图，中，点D是的中点，点E是上一点，与的延长线交于点F，． （1）__________； （2）判断并证明和的数量关系． 25. 在中，，，为的中线，点E是射线上一动点，连接，作，射线与射线交于点F． （1）如图1，当点E与点D重合时，求证：； （2）如图2，当点E在线段上，且与点A，D不重合时， ①依题意，补全图形； ②用等式表示线段之间的数量关系，并证明． （3）当点E在线段的延长线上，且时，直接写出用等式表示的线段之间的数量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $