精品解析：北京市昌平一中学教育集团2025-2026学年九年级上学期11月期中考试数学试卷

昌平一中教育集团2025-2026学年第一学期期中联合质量检测 初三数学试卷2025.11 本试卷共5页，三道大题，29个小题，满分110分．考试时间120分钟． 一、选择题（共8道小题，每小题2分，共16分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 在设计人体雕像时，使雕像的上部与下部的高度比，等于下部与全身的高度比，可以增加视觉美感，按此比例，如果雕像的高为，设它的下部的高度应设计为，则满足的关系式为（ ） A. B. C. D. 2. 将二次函数化成的形式，下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在平面直角坐标系中，是反比例函数图象上的一点，则的面积为（ ） A. B. C. D. 4. 如果 ，则下列各式不成立的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列四个1×5的正方形网格中，均有两个涂色的三角形，其中在同一网格中的两个三角形相似的是（ ） A. B. C. D. 6. 下列关于二次函数的说法正确的是( ) A. 它的图象经过点 B. 当时，有最大值为0 C. 它的图象的对称轴是直线 D. 当时，随的增大而减小 7. 如图①，区间测速是指检测机动车在两个相邻测速监控点之间的路段（测速区间）上平均速度的方法．小聪发现安全驾驶且不超过限速的条件下，汽车在某一高速路的限速区间段的平均行驶速度与行驶时间是反比例函数关系（如图②），已知高速公路上行驶的小型载客汽车最高车速不得超过，最低车速不得低于，小聪的爸爸按照此规定通过该限速区间段的时间可能是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于，两点，直线与双曲线的另一个交点为．现给出下面个结论： ①； ②一定是直角三角形； ③存在实数，，使得； ④对于任意的正数，都存在，使得． 上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①③ B. ①②③ C. ①②④ D. ②③④ 二、填空题（共8道小题，每小题2分，共16分） 9. 二次函数的顶点坐标是_____． 10. 已知反比例函数的图象在第二、四象限，请写出一个符合题意的值是_____． 11. 如图，在中，D，E分别是边的中点，则与的面积比_____ 12. 如图，直线交于点O，．若，，．则的值为______． 13. 已知，，是二次函数的图象上的三个点，则，，的大小关系为_____． 14. 若抛物线的顶点在轴上，则的值为_____． 15. 在平面直角坐标系中，点在双曲线上，点在双曲线上，则的值为______． 16. 如图，抛物线与x轴正半轴交于点A，点B为y轴上一点，将线段绕点B逆时针旋转得到线段，若点C恰好落在抛物线上，则点C的坐标为______． 三、解答题（共78分，第17-18题5分，第19题6分，第20题5分，第21题6分，第22题5分，第23题6分，第24-25题5分，第26题6分，第27-28题每题7分，第29题10分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程. 17. 已知，且，求x，y，m的值． 18. 已知抛物线． （1）求拋物线的顶点坐标、对称轴； （2）抛物线可以由抛物线经过平移得到，任写出一种平移方法． 19. 如图，在平行四边形中，为边上一点，连接，为线段上一点，且． （1）求证：； （2）若，，，求的长． 20. 如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+2x＋c的部分图象经过点A(0，－3)，B(1，0) ． (1)求该抛物线的解析式； (2)结合函数图象，直接写出y＜0时，x的取值范围． 21. 如图，在中，、分别为的两条高，且交于点． （1）图中有_____对相似三角形； （2）连接，试判断与是否相似，若相似，请给予证明；若不相似，请说明理由． 22. 在平面直角坐标系中，点是函数的图象与函数的图象的交点． （1）求的值和函数的表达式； （2）若函数的值大于函数的值，直接写出的取值范围． 23. 深圳市民中心广场上有旗杆如图①所示，某学校兴趣小组测量了该旗杆的高度，如图②，某一时刻，旗杆的影子一部分落在平台上，另一部分落在斜坡上，测得落在平台上的影长为米，落在斜坡上的影长为米，；同一时刻，太阳光线与水平面的夹角为米的标杆竖立在斜坡上的影长为米，求旗杆的高度． 24. 某校数学小组开展以“羽毛球飞行路线”为主题的综合实践活动． 【研究背景】羽毛球飞行路线所在的平面与球网垂直． 【收集数据】某次羽毛球飞行的高度（单位：m）与距发球点的水平距离（单位：m）的对应值如下表（不考虑空气阻力）． 水平距离x/m 0 2 3 5 6 … 高度y/m 1.1 2.3 2.6 2.6 2.3 … 【探索发现】数学小组借助计算机画图软件，建立平面直角坐标系、描点、连线（如图），发现羽毛球飞行路线是抛物线的一部分． 【建立模型】 （1）求与的函数表达式（不要求写自变量取值范围）． （2）羽毛球在此次飞行过程中，飞行的高度能否达到？请说明理由． 25. 我国著名科学家钱学森于20世纪40年代提出了一种新型导弹弹道设想，即“助推-滑翔”弹道，这种弹道可以让导弹在大气层中“打水漂”（如下图），从而达到节省燃料，增加射程的目的，而且钱学森弹道在俯冲的最后阶段，弹速可达音速的20倍，雷达几乎无法捕捉. 小明借鉴灵感改装了模型飞机.设飞机飞行时间为秒，对应飞行高度为米，测量数据得： 0 1 2 3 4 8 16 40 41 42 43 44 0 5 8 9 8 4 2 0.8 0.75 0.6 0.35 0 （1）根据所给数据，画出与的函数图像； （2）利用初中所学的函数知识分析图像，那么该函数图像可以分为______段来研究； （3）请你选择（2）中的一段图像，用解析式法来表示与的函数关系，并注明自变量范围. 26. 抛物线与x轴交于、B两点，点C是抛物线顶点． （1）求抛物线的解析式及点B的坐标； （2）点是x轴上的动点，过点D作轴交直线于点E，交抛物线于点F． ①若，直接写出的长； ②若，求线段长度的最大值． 27. 在等腰中，，，点D在线段上，点E在线段上，将线段绕点D顺时针旋转得到线段． （1）依题意补全图1； （2）求证：； （3）点M为中点，射线交于点N，探究与的数量关系，并说明理由． 28. 已知点为图形上一点，点为图形上一点(不重合)，若一点能使得点为线段的中点，则称点为图形关于图形的“二倍点”．若图形上每一点都是图形关于图形的“二倍点”，且图形关于图形的“二倍点”都在图形上，则图形为图形关于图形的“二倍图”．在平面直角坐标系中，点． （1）在点中，点___________是点关于线段的“二倍点”； （2）若图形为线段关于线段的“二倍图”，则图形的面积为___________； （3）点是轴上一动点，正方形的各顶点坐标为，，线段上任一点都为正方形关于正方形的“二倍点”，直接写出的取值范围． 29. 已知抛物线与轴交于A，B两点（A在的左侧），与轴交于点，连结，D是线段上一动点，以为一边向右侧作菱形，且，连结．若，． （1）求抛物线的表达式； （2）求的度数； （3）当点沿轴正方向移动到点时，点也随着运动，请直接写出长的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 昌平一中教育集团2025-2026学年第一学期期中联合质量检测 初三数学试卷2025.11 本试卷共5页，三道大题，29个小题，满分110分．考试时间120分钟． 一、选择题（共8道小题，每小题2分，共16分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 在设计人体雕像时，使雕像的上部与下部的高度比，等于下部与全身的高度比，可以增加视觉美感，按此比例，如果雕像的高为，设它的下部的高度应设计为，则满足的关系式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出比例方程，设它的下部的高度应设计为，则上部高为，根据题意得，解题的关键是根据比例关系正确列出等式． 【详解】解：设它的下部的高度应设计为，则上部高为， 根据题意得， 故选：． 2. 将二次函数化成的形式，下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的三种形式的转化，熟练掌握和运用配方法是解题的关键． 把右边加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，然后再减去一次项系数的一半的平方，以使式子的值不变，把一般式转化为顶点式． 【详解】解：， 所以； 故选：C． 3. 如图，在平面直角坐标系中，是反比例函数图象上的一点，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、该点向该坐标轴作的垂线所围成的直角三角形的面积是定值为，所以即可知道． 【详解】根据题意可知：． 故选：B． 【点睛】本题考查反比例函数中k的几何意义，理解k的几何意义并利用数形结合的思想是解答本题的关键． 4. 如果 ，则下列各式不成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查比例的性质，熟练掌握比例的性质是银题的关键． 根据比例的基本性质，可分别设出x和y，分别代入各选项进行计算即可得出结果． 【详解】解：∵ ∴设，， A、，不成立，故此选项符合题意； B、，成立，故此选项不符合题意； C、，成立，故此选项不符合题意； D、，成立，故此选项不符合题意； 故选：A． 5. 下列四个1×5的正方形网格中，均有两个涂色的三角形，其中在同一网格中的两个三角形相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定，理解并掌握相似三角形的判定定理是解题关键．根据正方形网格的特点和勾股定理，计算出对应的角度或者边长即可判定相似三角形． 【详解】解：．由图可知，两个三角形中都有一个的夹角，且该角的两边比例为，那么，两个涂色的三角形相似，该选项正确，符合题意； ．第一个三角形为等腰三角形，且边长为，第二个三角形边长分别为和3，那么，两个涂色的三角形不相似，该选项错误，不符合题意； ．第一个三角形三边长为1，和，第二个三角形边长分别为和3，那么，两个涂色的三角形不相似，该选项错误，不符合题意； ．第一个三角形三边长为1，2和，第二个三角形边长分别为和3，那么，两个涂色的三角形不相似，该选项错误，不符合题意； 故选：A． 6. 下列关于二次函数的说法正确的是( ) A. 它的图象经过点 B. 当时，有最大值为0 C. 它的图象的对称轴是直线 D. 当时，随的增大而减小 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的基本性质，包括对称轴、最值和增减性．二次函数的二次项系数为正，图像开口向上，对称轴为轴(即)，在对称轴左侧随增大而减小． 【详解】解： ∵二次函数， ∴，图像开口向上，对称轴为． 对于选项A：当时，，∴A错误． 对于选项B：当时，，为最小值，不是最大值，∴B错误． 对于选项C：对称轴为，不是，∴C错误． 对于选项D：当时，随增大而减小，∴D正确． 故选：D． 7. 如图①，区间测速是指检测机动车在两个相邻测速监控点之间的路段（测速区间）上平均速度的方法．小聪发现安全驾驶且不超过限速的条件下，汽车在某一高速路的限速区间段的平均行驶速度与行驶时间是反比例函数关系（如图②），已知高速公路上行驶的小型载客汽车最高车速不得超过，最低车速不得低于，小聪的爸爸按照此规定通过该限速区间段的时间可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的实际应用，解题的关键在于熟练掌握反比例函数的关系式和图像性质以及路程公式． 根据反比例函数的图像性质和路程与速度时间之间的关系，分别求出最高车速时的时间以及最低车速的时间，即可求出答案． 【详解】解：由题图②得，限速区间段的总路程为， ∵最高车速为， ∴在最高车速下的行驶时间， 同理可得，在最低车速下的行驶时间为， ∴通过段限速区间的行驶时间应该在之间． ， ∴选项符合题意． 故选：B． 8. 如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于，两点，直线与双曲线的另一个交点为．现给出下面个结论： ①； ②一定是直角三角形； ③存在实数，，使得； ④对于任意的正数，都存在，使得． 上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①③ B. ①②③ C. ①②④ D. ②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查反比例函数与几何综合，一元二次方程根与系数的关系，等腰直角三角形的判定及性质，熟练掌握反比例函数的性质是解决问题的关键．连接，令与轴，轴分别交于，，联立两个解析式，可得，进而求得，，由此可得，可知，由反比例函数图象的性质可知点与点关于原点对称，得，即可判断①，，进而求得，即可判断②；由直线，可得，可知为等腰直角三角形，由三角形外角可知，，即可判断③；可知，，求得，，进而可得，可知，当时，关于的方程都有解，即可判断④． 【详解】解：连接，令与轴，轴分别交于，， 联立，整理得， 解得：，， 则，， ∴， 则， ∴， ∵直线与双曲线的另一个交点为C， 则点与点关于原点对称， ∴，故①正确； 则， ∵， ∴， ∴为直角三角形，故②正确； 对于直线，当时，，当时，，则， ∴为等腰直角三角形， ∴， 由三角形外角可知，， ∴一定不是等腰直角三角形，故③不正确； ∵，， ∴ ， 由， ∴， 则， 当时，关于的方程都有解， ∴对于任意的正数k，都存在b，使得，故④正确； 综上所述，正确的有①②④． 故选：C． 二、填空题（共8道小题，每小题2分，共16分） 9. 二次函数的顶点坐标是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，掌握其性质是解题的关键．利用二次函数性质求二次函数的顶点坐标即可． 【详解】解：二次函数 顶点坐标为． 故答案为 ：． 10. 已知反比例函数的图象在第二、四象限，请写出一个符合题意的值是_____． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象性质．对于反比例函数，（1）当时，反比例函数图象在一、三象限；（2）当时，反比例函数图象在第二、四象限内． 根据反比例函数的图象在第二、四象限，列出不等式，求得m的取值范围，然后在m的取值范围内任取一个m值． 【详解】解：∵反比例函数的图象在第二、四象限， ∴， ∴， ∴m可以取， 故答案为：（答案不唯一）． 11. 如图，在中，D，E分别是边的中点，则与的面积比_____ 【答案】 【解析】 【分析】根据中位线点性质及相似三角形的面积比等于相似比的平方即可得答案． 【详解】∵D，E分别是边的中点， ∴DE是三角形的中位线， ∴， ∴∽， ∴． 故答案为： 【点睛】本题考查相似三角形的性质及中位线性质，熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题关键． 12. 如图，直线交于点O，．若，，．则的值为______． 【答案】##0.75 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例．根据平行线分线段成比例，可得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 故答案为：． 13. 已知，，是二次函数的图象上的三个点，则，，的大小关系为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，掌握其性质是解题的关键．通过求二次函数的对称轴，比较各点到对称轴的距离，结合开口方向判断函数值大小． 【详解】解：二次函数的二次项系数，因此抛物线开口向下． 对称轴为． 点和点到对称轴的距离均为和，关于对称轴对称， 故． 点到对称轴的距离为，距离最大，由于开口向下，函数值最小， 故． 因此，． 故答案为：． 14. 若抛物线的顶点在轴上，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练掌握顶点坐标公式． 抛物线顶点在x轴上，则顶点纵坐标为0，且二次项系数不为零，据此即可求解． 【详解】解：由题意得，， 解得 故答案为：． 15. 在平面直角坐标系中，点在双曲线上，点在双曲线上，则的值为______． 【答案】0 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数解析式，代数式求值．熟练掌握反比例函数解析式，代数式求值是解题的关键． 由题意知，，，然后代值求解即可． 【详解】解：∵点在双曲线上，点在双曲线上， ∴，， ∴， 故答案为：0． 16. 如图，抛物线与x轴正半轴交于点A，点B为y轴上一点，将线段绕点B逆时针旋转得到线段，若点C恰好落在抛物线上，则点C的坐标为______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质． 过B作轴，于N，于M，进而证明，求的C点的值，把C点的坐标代入解析式，即可求得C点坐标． 【详解】解：如图，过B作轴，于N，于M， 当时，， 解得：或， ∴， 由旋转的性质可得，，， ， ， ，，， ， 设，， ， 将代入 得， 解得，或， 点坐标为或  故答案为：或 三、解答题（共78分，第17-18题5分，第19题6分，第20题5分，第21题6分，第22题5分，第23题6分，第24-25题5分，第26题6分，第27-28题每题7分，第29题10分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程. 17. 已知，且，求x，y，m的值． 【答案】，， 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，设，，，根据得出，即可求解． 【详解】解：∵， ∴设，，， ， 解得， ，，. 18. 已知抛物线． （1）求拋物线的顶点坐标、对称轴； （2）抛物线可以由抛物线经过平移得到，任写出一种平移方法． 【答案】（1）顶点坐标为、对称轴是直线 （2） ， ∴由抛物线先向右平移2个单位，再向下平移5个单位可得抛物线或抛物线先向下平移5个单位，再向右平移2个单位可得抛物线． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，以及待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握二次函数性质是解本题的关键． （1）先将抛物线的一般式转化为顶点式，然后根据二次函数的性质即可； （2）按“上加下减常数项，左加右减自变量”的规律平移解答即可． 【小问1详解】 解：， ∴拋物线的顶点坐标为、对称轴是直线； 【小问2详解】 解：略． 19. 如图，在平行四边形中，为边上一点，连接，为线段上一点，且． （1）求证：； （2）若，，，求的长． 【答案】（1） 证明：四边形是平行四边形， ，． ，， ， ； （2）12 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质得到，，根据题意得到，根据相似三角形的判定定理证明； （2）根据相似三角形的性质列出比例式，代入计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 四边形是平行四边形， ， ， ， ． 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质、平行四边形的性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 20. 如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+2x＋c的部分图象经过点A(0，－3)，B(1，0) ． (1)求该抛物线的解析式； (2)结合函数图象，直接写出y＜0时，x的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求抛物线解析式，将坐标代入解析式得出解方程组即可； （2）先求抛物线与x轴的交点，转化求方程的解，再根据函数y＜0，函数图像位于x轴下方，在两根之间即可． 【详解】解：(1) 抛物线经过点A(0，－3)，B(1，0) 代入坐标得： ， 解得， 所求抛物线的解析式是． (2) 当y=0时，， 因式分解得：， ∴， ∴， 当y＜0时，函数图像在x轴下方， ∴y＜0时，x的取值范围为-3＜x＜1． 【点睛】本题考查待定系数法求抛物线解析式，利用图像法解不等式，解一元二次方程，方程组，掌握待定系数法求抛物线解析式，利用图像法解不等式，解一元二次方程，方程组是解题关键． 21. 如图，在中，、分别为的两条高，且交于点． （1）图中有_____对相似三角形； （2）连接，试判断与是否相似，若相似，请给予证明；若不相似，请说明理由． 【答案】（1） （2）相似， 如图， ∵、分别为的两条高， ， ∵， ∴， ， ， ∵． ∴． 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定； （1）根据两角相等判定相似三角形，即可求解； （2）根据得出，进而根据两组对应边的夹角相等，即可得证 【小问1详解】 解：图中有对相似三角形 ∵、分别为的两条高， ， 又∵，， ∴，， ∵， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴共6对相似三角形， 故答案为：． 【小问2详解】 略 22. 在平面直角坐标系中，点是函数的图象与函数的图象的交点． （1）求的值和函数的表达式； （2）若函数的值大于函数的值，直接写出的取值范围． 【答案】（1），函数的表达式为 （2）或 【解析】 【分析】本题考查了一次函数和反比例函数的图象与性质，熟练掌握一次函数和反比例函数的图象与性质是解题的关键． （1）根据交点，代入代入函数，求出的值，得出点的坐标为，再把代入，求出的值，即可得出函数的表达式； （2）由（1）得函数的表达式为，联立函数表达式，整理得出方程，求解得出函数的图象与函数的图象的交点，画出两函数的图象，根据图象，函数的值大于函数的值，即函数的图象在函数的图象上方时，得出的取值范围即可． 【小问1详解】 解：∵点是函数的图象与函数的图象的交点， ∴把点代入函数得：， 解得：， ∴点的坐标为， 把代入得：， ∴， ∴函数的表达式为； 【小问2详解】 解：∵由（1）得函数的表达式为， ∴联立函数表达式得：， 整理得方程：， 解得：，， ∴，；，， ∴函数的图象与函数的图象的交点是和， 如图，画出两函数的图象， ∵函数的值大于函数的值， ∴或． 23. 深圳市民中心广场上有旗杆如图①所示，某学校兴趣小组测量了该旗杆的高度，如图②，某一时刻，旗杆的影子一部分落在平台上，另一部分落在斜坡上，测得落在平台上的影长为米，落在斜坡上的影长为米，；同一时刻，太阳光线与水平面的夹角为米的标杆竖立在斜坡上的影长为米，求旗杆的高度． 【答案】20米. 【解析】 【分析】如图作CM∥AB交AD于M，MN⊥AB于N，根据，求出CM，在RT△AMN中利用等腰直角三角形的性质求出AN即可解决问题． 【详解】如图作交于，于． ∵， ∴，即，（米）， 又∵，， ∴四边形是矩形， ∴米，米． ∵在直角中，， ∴米， ∴米． 【点睛】本题考查相似三角形的应用、影长等知识，解题的关键是正确添加辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型． 24. 某校数学小组开展以“羽毛球飞行路线”为主题的综合实践活动． 【研究背景】羽毛球飞行路线所在的平面与球网垂直． 【收集数据】某次羽毛球飞行的高度（单位：m）与距发球点的水平距离（单位：m）的对应值如下表（不考虑空气阻力）． 水平距离x/m 0 2 3 5 6 … 高度y/m 1.1 2.3 2.6 2.6 2.3 … 【探索发现】数学小组借助计算机画图软件，建立平面直角坐标系、描点、连线（如图），发现羽毛球飞行路线是抛物线的一部分． 【建立模型】 （1）求与的函数表达式（不要求写自变量取值范围）． （2）羽毛球在此次飞行过程中，飞行的高度能否达到？请说明理由． 【答案】（1） （2） 解：不能达到，理由如下： ， ， 当时，有最大值，最大值为2.7， ， 羽毛球在此次飞行过程中，飞行的高度不能达到2.8m． 【解析】 【分析】本题主要考查了求二次函数关系式，二次函数的最大值， 对于（1），将两个点的坐标代入关系式得出方程组，求出解即可； 对于（2），先将关系式配方，再根据最大值判断． 【小问1详解】 解：把，代入得： ， 解得． ； 【小问2详解】 略 25. 我国著名科学家钱学森于20世纪40年代提出了一种新型导弹弹道设想，即“助推-滑翔”弹道，这种弹道可以让导弹在大气层中“打水漂”（如下图），从而达到节省燃料，增加射程的目的，而且钱学森弹道在俯冲的最后阶段，弹速可达音速的20倍，雷达几乎无法捕捉. 小明借鉴灵感改装了模型飞机.设飞机飞行时间为秒，对应飞行高度为米，测量数据得： 0 1 2 3 4 8 16 40 41 42 43 44 0 5 8 9 8 4 2 0.8 0.75 0.6 0.35 0 （1）根据所给数据，画出与的函数图像； （2）利用初中所学的函数知识分析图像，那么该函数图像可以分为______段来研究； （3）请你选择（2）中的一段图像，用解析式法来表示与的函数关系，并注明自变量范围. 【答案】（1） 解：与的函数图像，如图所示： （2）3 （3）（写出其中一个即可） 【解析】 【分析】（1）先根据表格中的数据描点，然后再连线，画出函数图像即可； （2）根据画出的函数图像进行分析即可得出答案； （3）根据待定系数法求出函数关系式即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：根据函数图像可知，当时，该函数图像为二次函数图像， 当时，该函数图像为反比例函数图像， 当时，该函数图像为二次函数图像， 因此该函数图像可以分为3段来研究； 故答案为：3； 【小问3详解】 解：当时，设该函数图像的关系式为，，，分别代入得： ，解得， ∴此时函数解析式为； ∴此时函数解析式为； 当时，设该函数图像的关系式为，把代入得：， ∴此时函数解析式为； 当时，设该函数图像的关系式为，把把，，分别代入得： ，解得， ∴此时函数解析式． ∴． 【点睛】本题主要考查了画函数图像，求函数解析式，解题的关键是熟练掌握待定系数法，准确计算． 26. 抛物线与x轴交于、B两点，点C是抛物线顶点． （1）求抛物线的解析式及点B的坐标； （2）点是x轴上的动点，过点D作轴交直线于点E，交抛物线于点F． ①若，直接写出的长； ②若，求线段长度的最大值． 【答案】（1）, （2）①；②5 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与图象的综合知识，待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的最大值问题，解题时注意运用数形结合的思想解决问题． （1）利用待定系数法求解即可； （2）①先求得直线的表达式为，求出当时的点E、F坐标，进而可求解； ②由题意，，，分当时和当时两种情况，利用二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：将代入中，得， 解得， ∴抛物线的解析式为， 令，由得，， ∴； 【小问2详解】 解：①， ∴顶点C的坐标为， 设直线的表达式为， 将点B、C的坐标代入，得，解得， ∴直线的表达式为， 由题意，，则，， ∴； ②由题意，，， 当时， ， ∵， ∴当时，最大，最大值为4； 当时， ， ∵， ∴当时，最大，最大值为； ∵， ∴线段长度的最大值为5． 27. 在等腰中，，，点D在线段上，点E在线段上，将线段绕点D顺时针旋转得到线段． （1）依题意补全图1； （2）求证：； （3）点M为中点，射线交于点N，探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1） 如下图所示： （2） 证明：∵是等腰， ∴， ∴， ∵， ∴ （3） ，理由如下： 过点F作，交的延长线于点H，的延长线交射线于点G， 由（2）知，即，且，， ∴， ∴， ∵点M为中点， ∴，且， ∴，即是等腰直角三角形， ∴，且， ∴，且， ∴，且，， ∴， ∴， ∴ 【解析】 【分析】（1）根据题意，过点D作，并且是沿线段绕点D顺时针旋转所作，使得即可 （2）在中，，而，即可得 （3）过点F作，交的延长线于点H，的延长线交射线于点G，可得，且是等腰直角三角形，即可得，所以，即可得到 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 略． 【点睛】本题考查了旋转作图、等腰三角形的性质和直角三角形的判定、全等三角形的判定和性质，能够按照题意作出辅助线是解决问题的关键 28. 已知点为图形上一点，点为图形上一点(不重合)，若一点能使得点为线段的中点，则称点为图形关于图形的“二倍点”．若图形上每一点都是图形关于图形的“二倍点”，且图形关于图形的“二倍点”都在图形上，则图形为图形关于图形的“二倍图”．在平面直角坐标系中，点． （1）在点中，点___________是点关于线段的“二倍点”； （2）若图形为线段关于线段的“二倍图”，则图形的面积为___________； （3）点是轴上一动点，正方形的各顶点坐标为，，线段上任一点都为正方形关于正方形的“二倍点”，直接写出的取值范围． 【答案】（1）F （2）12 （3）或 【解析】 【分析】（1）先求出直线的解析式为，根据题意可知：若点P是点关于线段的“二倍点”， 则的中点在线段上，再分别验证OE，OF、OG的中点是否在线段AB上即可； （2）根据题意推导图形是一个平行四边形，分别求出四个顶点的坐标，再用割补法求面积即可； （3）根据题意可知正方形关于正方形的“二倍图”如途中阴影部分所示，它是由一个与正方形共对角线的交点即点T且边长为6且各边都与坐标轴垂直或平行的正方形去除正方形的内部所得到的．分别求出四个临界情况时t的值，从而得解． 【小问1详解】 解：设直线的解析式是：， 将点A，B的坐标代入解析式得： ，解得：， ∴直线的解析式是：， 由题意可知：若点P是点关于线段的“二倍点则的中点在线段上， 对于点，的中点是：点， 当时，， ∴点不在线段上，即点不是点关于线段的“二倍点”； 同理：的中点在线段上，即点是点关于线段的“二倍点”； 的中点不在线段上，即点不是点关于线段的“二倍点”； 故答案为：F； 【小问2详解】 解：由题意可知：如下图所示：点关于线段的“二倍图”，就是以这条线段为中位线的第三边，下图中点O关于线段的“二倍图”即为，此时是三角形的中位线， 由中位线定理可知：，即当长度不变时，的长度不变， ∴线段关于线段的“二倍图”就是线段平移产生的图形，这个图形是线段或者平行四边形， 如下图所示，图形为线段关于线段的“二倍图”是平行四边形， 其中点A关于线段的“二倍图”是，点B关于线段的“二倍图”是， 则C是的中点，设点G为， 又∵ ∴ 解得：，即， 同理可得：，，， ∴阴影部分面积等于长方形面积减去四个直角三角形的面积， 即图形的面积为：， 故答案为：12； 【小问3详解】 或，理由如下： 如下图所示：正方形的边长为2． 正方形关于正方形的“二倍图”如途中阴影部分所示，它是由一个与正方形共对角线的交点即点T且边长为6且各边都与坐标轴垂直或平行的正方形去除正方形的内部所得到的． 所以点T到阴影部分的外边界与x轴的交点的距离是3，到阴影部分的内边界与x轴的交点的距离是1， 要使得线段上任一点都为正方形关于正方形的“二倍点”，只需阴影部分包括线段即可． ①如图，当外边界与x轴的右交点是点A时， ， 所以， ②如图，当点与在线段上时， 将点，代入直线的解析式得：， 解得：， ③如图，当内边界与x轴的左交点是点A时， ， 所以， ④如图，当点B与在阴影部分的左边界线上时， 结合以上四种情况可知：的取值范围是：或． 【点睛】本题考查中位线定理，中点坐标公式，正方形的性质，割补法求面积，待定系数法，平行四边形的判定等知识，审清题意找出“二倍图”是解题的关键． 29. 已知抛物线与轴交于A，B两点（A在的左侧），与轴交于点，连结，D是线段上一动点，以为一边向右侧作菱形，且，连结．若，． （1）求抛物线的表达式； （2）求的度数； （3）当点沿轴正方向移动到点时，点也随着运动，请直接写出长的取值范围． 【答案】（1） （2）120° （3） 【解析】 【分析】对于（1），先确定抛物线是关于y轴对称可得关系式为，再根据面积相等求出c，进而得出答案； 对于（2），先说明是等边三角形，再根据菱形的性质得出是等边三角形，然后根据“边角边”证明，可得； 对于（3），由（2）知点在射线上，当点D与点O重合时， 求出，再根据勾股定理求出，结合点A的坐标求出，然后根据勾股定理求出；当点D与点B重合时， 求出，进而求出，再根据勾股定理求出，则此题可解． 【小问1详解】 解：由，可知此抛物线的对称轴是轴，即， ， ∴抛物线的关系式为， 当时，， ∴点，， 由， 解得， 抛物线表达式为； 【小问2详解】 解：由，，， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ． 连接， 菱形中，，且， 是等边三角形，则， ∴， ∴， ， ； 【小问3详解】 解：． 由（2）知，点在射线上， 当点沿轴正方向移动到点时， 当点D与点O重合时，， ∴， 则， 根据勾股定理，得． ∵点， ∴， ∴． 在中，； 当点D与点B重合时，， ∴． 在中，，， 则． ∵点， ∴， ∴． 在中，， ∴长的取值范围是． 【点睛】本题主要考查了求二次函数关系式，等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，勾股定理，作出辅助线得出点E的运动轨迹是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $