轴对称专题复习01将军饮马模型（知识点总结+10模型6大题型举一反三+同步练习）压轴培优讲义2025-2026学年人教版数学八年级上册

将军饮马 【类型一】：两定一动型 【模型1：两定点在直线异侧（求最小）】 1、问题描述: 已知两定点、在直线异侧，在直线上找一点，使的值最小。 2、模型解读: 直接连接两定点、，线段与直线的交点即为所求点。 3、原理证明： 假设直线上存在另一点(非与的交点)。 根据“两点之间线段最短”，。 而，故，即为使最小的点。 【模型2：两定点在直线同侧(求最小)】 1、问题描述: 已知两定点、在直线同侧，在直线上找一点，使的值最小。 2、模型解读: 作其中一个定点关于直线的对称点，连接对称点与另一定点，线段与直线的交点即为所求点(以作关于的对称点为例)。 3、原理证明： 作关于直线的对称点，连接交于点，连接。 由轴对称性质可知，，故。 假设直线上存在另一点，则，。 根据“两点之间线段最短”，，故，即为所求点。 【例题1】．（25-26八年级上·辽宁营口·期中）如图，在正方形网格中有，两点，在直线上求一点，使最短，则点应选在直线上的点 ． 【变式题1-1】．（24-25八年级上·广东·期末）如图，在的正方形网格中，直线a外，有A，B两点．在直线a上求一点P，使最短，则点P的位置应选在点 处，（填图中的字母） 【变式题1-2】．（24-25七年级下·广东清远·期末） “白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李顾《古从军行》里的一句诗，由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”问题． (1)如图1，若点A和点B分别在直线l的两侧，请作出示意图，在直线l上找到点C，使得有最小值，并说明作图依据： ； (2)如图2，若点A和点B在直线l的同侧，请在直线l上作出点P，使得有最小值，并说明理由． 【变式题1-3】．（2024八年级上·江苏·专题练习）阅读下列材料并完成任务： “最短路径问题”是数学中一类具有挑战性的问题．其实，数学史上也有不少相关的故事，如下即为其中较为经典的一则：古希腊有一位久负盛名的学者，名叫海伦．他精通数学、物理，聪慧过人．有一天，一位将军向他请教一个问题：如图1，将军从甲地骑马出发，要到河边让马饮水，然后再回到乙地的马棚，为使马走的路程最短，应该让马在什么地方饮水？ 海伦认为以河边为镜面，画出甲地的镜像点（垂直河边的等距离点），然后连接乙地和甲地的镜像点，会跟河边相交一点，这个点就是马饮水的地方，马走的路程最短（两点之间直线距离最短）． 任务： 请你帮海伦在图1的位置完成作图，并标出马饮水的地点（画出草图即可）； 【类型二：两动一定型】 【模型3：求周长最小】 1、问题描述: 点在内部，在边上找一点，在边上找一点，使的周长最小。 2、模型解读: 作点关于的对称点，关于的对称点，连接，分别交、于、，则、为所求点。 3、原理证明： 由轴对称性质，，，的周长。 假设、上存在其他点、，则周长。 根据“两点之间线段最短”，，故此时周长最小。 【例题2】．（22-23八年级上·广东珠海·期末）已知，在内有一定点P，点M，N分别是，上的动点，若的周长最小值为3，则的长为（　　） A． B．3 C． D． 【变式题2-1】．（25-26八年级上·黑龙江佳木斯·期中）如图，点是 内一定点，点，分别在边、上运动，若， ，则 的周长的最小值为 ． 【变式题2-2】．（24-25八年级上·福建泉州·期中）如图，锐角△中，，，△的面积是6，，，分别是三边上的动点，则△周长的最小值是 ． 【变式题2-3】．（25-26八年级上·辽宁大连·期中）综合与实践：如图1，数学活动课上，李老师带领学生在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：直线l同侧有两个定点A，B，在直线l上存在点C，使得的值最小． 小明的作法是：如图2，作点B关于直线l的对称点，连接，则与直线l的交点即为点C，且的最小值为的长． 如图3，为了证明点C的位置即为所求，小明经探究发现，在直线上另外取点，连接，，，证明即可． (1)请完成图3中小明的证明； (2)如图4，在中，直线m是边的垂直平分线，点P是直线m上的动点．若，，，则周长的最小值为________； (3)如图5，已知，P为内一定点，上有一点A，上有一点B，当的周长取最小值时，的大小为________度． 【模型4：求四边形周长最小】 1、问题描述: 点、在内部，在边上找一点，在边上找一点，使四边形的周长最小。 2、模型解读: 作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接，分别交、于、，则、为所求点。 3、原理证明： 由轴对称性质，，，四边形的周长(假设为隐含定点，补全四边形闭合逻辑)。 当、、、共线时，为最小值。 故此时四边形周长最小，、为所求点。 【例题3】．（24-25八年级上·江西上饶·阶段练习）如图，从点A到射线上一点M，再从M到射线上一点N，最后从点N到点B，找到最短时M、N点的位置．（不写作法，保留作图痕迹） 【变式题3-1】．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，，M，N分别为，上的点，，P，Q分别为，上的动点，则的最小值为 ． 【变式题3-2】．（24-25八年级上·福建莆田·期中）如图，在五边形中，，，在直线，上分别找一点，，使得的周长最小，此时的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式题3-3】．（24-25八年级上·山西大同·阶段练习）马仑草原坐落于山西省宁武县境内管涔山之巅，最高海拔2712米．当你身临其境地站在马仑草原上与芦芽山遥遥相望的时候，你一定会惊叹于大自然的神奇壮美．如图，牧马人从A地出发，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到B处，请画出最短路径． 【模型5：求最小】 1、问题描述: 点在内部，在边上找一点，在边上找一点，使的值最小。 2、模型解读: 作点关于的对称点，过作于，交于，则、为所求点。 3、原理证明： 由轴对称性质，，故。 因为，根据“垂线段最短”，。 当且仅当在上时，等号成立，故此时最小。 【例题4】．（25-26八年级上·全国·期中）如图，在中，，平分，，点P，Q分别为边，上的动点，连接，，则的最小值为 ．    【变式题4-1】．（24-25八年级上·四川内江·期中）如图，等边三角形的边长为4，是边上的中线，是边上的动点，是边上一点．若，当取得最小值时，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式题4-2】．（25-26八年级上·全国·期中）如图，在 中，，D，E 分别是上的点，则 的最小值为（    ） A．6 B．8 C．9 D． 【变式题4-3】．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段练习）请根据以下素材，完成探究任务． 【背景材料】 背景1：中国西汉时期（公元前2世纪），《淮南万毕术》记载：“取大镜高悬，置水盆于其下，则见四邻矣．”这一装置利用平面镜与水面的组合反射，实现了视野的扩展，被视为早期光学探索的重要实践． 背景2：古希腊数学家海伦（公元1世纪）在《反射光学》中通过几何方法证明，光在镜面反射时遵循入射角等于反射角的规律，且该路径为几何最短距离．17世纪，法国数学家费马提出费马原理，指出光在传播时总是选择耗时最短的路径（在均匀介质中即路径最短），从更普遍的物理原理上解释了海伦的结论，并将最短路径思想推广至折射等领域． 【任务1：证明反射路径最短】 （1）如图①，直线代表平面镜，点代表一实物，点代表眼睛，作实物关于平面镜的对称点，连接，交平面镜于点，连接，则为入射光线，为反射光线．求证：最短．请在横线上填写内容． 如图，在平面镜上任意找与点不重合的一点，连接，，， 在中，（_____）， 实物与点关于平面镜对称， 垂直平分， _____，（_____）． ，， ． 【任务2：确定挡板反射范围】 （2）如图②，若从点发出的光线经平面镜反射后通过空隙落到挡板上，试确定反射光线在上的最高点和最低点．（简单说明作图） 【任务3：计算最短】 （3）如图③，一面镜子斜固定在地面上，且，点为距离地面为的一个光源，光线射出经过镜面处反射到地面点，当光线经过的路径长最短为时，的长为_____． 【类型三：两定点一定长】 【模型6：直线上找定长线段(求最小)】 1、问题描述: 在直线上找两点、(在左)，使最小，且(为定长)。 2、模型解读: 将点向右平移个单位长度得到，连接，交直线于，将向左平移个单位长度得到，则、为所求点。 3、原理证明： 由平移性质，，，故。 因为、平移得到，(两点之间线段最短)。 若存在其他点、，则，故此时最小。 【模型7：平行线间找垂直定长线段(求最小)】 1、问题描述: 已知，与间距离为，在上找，在上找，使，且最小。 2、模型解读: 将点向下平移个单位长度(与两直线距离相等且垂直于)得到，连接，交于，过作交于，则、为所求点。 3、原理证明： 由平移性质，，(两直线距离)，故。 因为，且平移后与的连线垂直于，(两点之间线段最短)。 故此时最小，、为所求点。 【例题5】．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图A，B两城镇在河流的异侧，架一座桥连通两岸，选择一个架桥点使从A到B距离最短，架桥点选在何处，请在图中画出． 【变式题5-1】．（25-26八年级上·福建厦门·期中）如图，A，B两地在一条河的两岸，现要在河上架一座桥，若河岸平行，与河岸垂直，要想使路径最短，下面有四种设计方案，你认为最合适的是（    ） A． B． C． D． 【变式题5-2】．（24-25八年级下·甘肃张掖·期中）尺规作图如图，甲乙两个单位分别位于一条封闭式街道的两旁，现准备合作修建一座过街天桥，使甲、乙到天桥桥头的距离相等．（注意：天桥必须与街道垂直．） 【变式题5-3】．（25-26八年级上·全国·课后作业）综合与实践 【提出问题】唐朝诗人李颀的诗《古从军行》中“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”里隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马．如图①，将军从山脚下的点A出发，到一条笔直的河边l饮马后再回到点B宿营，他时常想，怎么走才能使他每天走的路程之和最短呢？ 【分析问题】 （1）小亮：如图②，作点B关于l的对称点，连接与l交于点C，点C就是饮马的地方，此时按路线走的路程就是最短的． 小慧：你能详细解释原因吗？ 小亮：如图③，在l上另取一点，连接，只要证明即可．请写出小亮的证明过程． 【解决问题】 （2）任务一：如图④，将军牵马从军营P处出发，先到河边饮马，再到草地牧马，最后回到P处，试分别在和上各找一点，使得将军走过的路程最短（保留画图痕迹，辅助线用虚线，最短路径用实线）； （3）任务二：如图⑤，在P，Q两村之间有两条河，且每条河的宽度处处相等，从P村前往Q村，要经过这两条河．现在要在这两条河上分别造一座垂直于河岸的桥，则这两座桥造在何处可使由P村到Q村的路程最短（要求在图上标出道路和大桥的位置）？ 【补充模型：线段差最值问题】 【模型8：两定点同侧(求最大)】 1、问题描述: 两定点、在直线同侧，在直线上找一点，使的值最大。 2、模型解读: 延长线段，交直线于点，则为所求点。 3、原理证明： 假设直线上存在另一点，根据“三角形两边之差小于第三边”，。 当在延长线上时，，故此时最大。 【模型9：两定点异侧(求最大)】 1、问题描述: 两定点、在直线异侧，在直线上找一点，使的值最大。 2、模型解读: 作点关于直线的对称点，延长交直线于点，则为所求点。 3、原理证明： 由轴对称性质，，故。 延长交于，此时(三点共线时差值最大)。 假设存在其他点，则，故为所求点。 【模型10：两定点同侧(求最小)】 1、问题描述: 两定点、在直线同侧，在直线上找一点，使的值最小。 2、模型解读: 作线段的垂直平分线，交直线于点，则为所求点(此时)。 3、原理证明： 由垂直平分线性质，垂直平分线上的点到线段两端距离相等，故，即。 任何实数的绝对值均大于等于，故此时最小。 【例题6】．（24-25七年级下·江苏无锡·期末）如图，已知在直角三角形中，为直角，把沿翻折得到，点P、E分别是线段上的动点，有下列结论：①中边上的高是；②的最小值是8；③若，则的最大是2.5．其中正确的结论有（    ） A．② B．①② C．①②③ D．①③ 【变式题6-1】．（25-26八年级上·辽宁鞍山·期中）如图1，直线l及同侧两点A，B，要在直线l上找一点C，使 最大，其做法为：连接并延长，交直线l于点C，可证点C即为所求．如图2，直线l及两侧两点A，B，在直线l上找一点C，使最大．下列图中所画点C的位置正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式题6-2】．（24-25八年级上·贵州·期末）在一条公路旁有A，B两个工厂，要在公路旁修一个汽车站，请分别按如下要求确定汽车站M的位置： (1)在图①中，要求车站M到两厂的距离相等； (2)在图②中，要求车站M到两厂的距离之和最短； (3)在图③中，要求车站M到两厂的距离之差最大． 【变式题6-3】．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，平面直角坐标系中有两点，． (1)在y轴上画出一点M，使得的值最小； (2)在x轴上画出一点N，使得的值最大． 同步练习 一、单选题 1．（24-25八年级上·广东广州·期末）唐诗《古从军行》中“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，隐含了一个有趣的数学问题——“将军怎样走才能使总路程最短”？如图，在平面直角坐标系中，将军从出发，先到山脉m的任意位置望烽火，再到河岸n的任意位置饮马后返回到A点，且m与n的夹角为，则将军所走的最短总路程为（　　） A．4 B．6 C．8 D．12 2．（24-25七年级上·山东济南·期中）如图，等腰的底边，面积为，腰的垂直平分线分别交、于点E、F，若D为边的中点，M为线段上一动点，则周长的最小值是（    ）． A．8 B．10 C．12 D．14 3．（23-24八年级上·辽宁盘锦·期中）如图，直线是一条河，、 是两个新农村定居点，欲在上的某点处修建一个水泵站，由水泵站直接向 、两地供水，现有如下四种管道铺设方案，图中实线表示铺设的供水管道，则铺设管道最短的方案是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·湖北随州·期中）如图，在中，，，直线垂直平分线段，若点D为边的中点，点G为线段上一动点，则周长的最小值为（    ） A．12 B．13 C．14 D．15 5．（25-26八年级上·北京西城·期中）如图，点，在内部，其中，，，为射线上的一个动点，为射线上的一个动点．若的最小值为，则的度数是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（22-23八年级上·北京·期中）如图，在中，，边的垂直平分线分别交，于点，，点是边的中点，点是上任意一点，连接，，若，，当周长取到最小值时，，之间的数量关系是 ． 7．（23-24八年级上·贵州遵义·阶段练习）如图，在三角形中，，，是边上的高，为边上一点，为上一动点，若，则的最小值为 ． 8．（23-24七年级上·吉林长春·期末）“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李颀《古从军行》里的一句诗．由此引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”．如图，将军在图中点A处，现在他要带马去河边喝水，之后返回军营B处，问：将军怎么走能使得路程最短？将实际问题转化成数学问题，即：在直线上找一点P使得最小． 解决方法是：作点A关于直线的对称点，连接，则，所以，连接，则线段的长度即为的最小值，这样做依据的基本事实是 ． 9．（23-24八年级上·全国·期末）如图，是等边的边上的中线，是边上的动点，是边上动点，当取得最小值时，则的度数为 ． 10．（24-25八年级上·内蒙古呼和浩特·期中）如图，等腰底边的长为，面积是，腰的垂直平分线交于点，交于点，若为边上的中点，为线段上一动点，则的周长最小值为 ． 三、解答题 11．（24-25七年级下·河南周口·期末）如图，已知． (1)尺规作图：作线段的垂直平分线，分别交于点D，E；（保留作图痕迹，不写作法） (2)若，的周长是17，F为直线上一动点，求周长的最小值． 12．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在中，平分，分别是上的动点，连接，若，求的最小值． 13．（25-26八年级上·全国·期末）如图，在中，已知，的垂直平分线交于点，交于点，连接． (1)若，求 的度数． (2)若，的周长是． ①求的长度； ②若点为直线上一点，请你直接写出周长的最小值． 14．（24-25七年级下·福建三明·期中）已知：等腰中，． (1)如图1，若是的高，是的角平分线，与交于点．当的大小变化时，的形状也随之改变． ①设，求角度的变量与的关系式； ②当是等腰三角形时，求的度数． (2)如图2，若的面积是是的高，点分别是线段上的点，直接写出的最小值． 15．（24-25七年级下·宁夏银川·期末）如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A、B、C在小正方形的顶点上． (1)在图中画出与关于直线成轴对称的； (2)在直线上找一点，使的长最短． 16．（24-25七年级下·广东深圳·期末）综合实践：数学课上，王老师以“两条线段和的最小值”为题，把“两点之间，线段最短”以及“垂线段最短”两个知识融合在一起展开一节探究活动课． 【活动一】情境再现，明晰原理 示例1：将最短路径问题（有人称“将军饮马”问题）转化为数学问题．如图①，用直线表示河岸，将军从山脚下的点出发，到达河岸点饮马后回到点宿营，怎样走使他每天所走路程的和最短？ 作法是：如图1②，作点关于直线的对称点，连接与直线交于点，则点即为饮马的地方，此时将军从点走到点，再回到点所走的总路程最短． 示例2，如图1③，要在河岸上建一座水泵房，修建引水渠PQ，使得到村庄的跑离最短．施工人员的做法是：过点作于点，将水泵房建在处，这样修建引水渠PQ最短，即省人力又省物力．示例1中所经含的数学原理是（   ） A．两点之间，线段最短        B．垂线段最短 【活动二】感悟方法，尝试应用 如图2，在等边三角形中，是的中线． ①直接写出与的数量关系__________________： ②若．点为边的中点，点为上一点，当的值最小时，在图2上标注点的位置，并求出的最小值； 【活动三】迁移拓展，综合应用 如图3，在中，，点在斜边上，且，是的角平分线，点，点分别为，上一点，求的最小值． 17．（2025七年级下·河南·专题练习）【提出问题】 唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”中隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马。如图1，将军从山脚下的点A出发，到达河岸饮马后再回到点B宿营，他时常想，怎么走才能使每天走的路程之和最短呢？ 【分析问题】 小亮：作B关于直线l的对称点，连接与直线l交于点C，点C就是饮马的地方，此时所走的路程之和就是最短的（如图2）． 小慧：你能详细解释为什么吗？ 小亮：如图3，在直线l上另取任意一点，连接，，，我只要说明即可．因为直线l是点B，的对称轴，点C，在l上，所以______，______，所以______． 在中，因为，所以______，即最小． 请完善小亮的说明过程． 本问题实际上是利用转化的思想，把在直线同侧的A，B转化在直线的两侧，从而利用“______”及“三角形两边之和大于第三边”加以解决（在连接A，两点的线中，线段最短）． 【解决问题】 如图4，牧马人从A地出发，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到B处，请画出最短路径． 学科网（北京）股份有限公司 $ 将军饮马 【类型一：两定一动型】 【模型1：两定点在直线异侧（求最小）】 1、问题描述: 已知两定点、在直线异侧，在直线上找一点，使的值最小。 2、模型解读: 直接连接两定点、，线段与直线的交点即为所求点。 3、原理证明： 假设直线上存在另一点(非与的交点)。 根据“两点之间线段最短”，。 而，故，即为使最小的点。 【模型2：两定点在直线同侧(求最小)】 1、问题描述: 已知两定点、在直线同侧，在直线上找一点，使的值最小。 2、模型解读: 作其中一个定点关于直线的对称点，连接对称点与另一定点，线段与直线的交点即为所求点(以作关于的对称点为例)。 3、原理证明： 作关于直线的对称点，连接交于点，连接。 由轴对称性质可知，，故。 假设直线上存在另一点，则，。 根据“两点之间线段最短”，，故，即为所求点。 【例题1】．（25-26八年级上·辽宁营口·期中）如图，在正方形网格中有，两点，在直线上求一点，使最短，则点应选在直线上的点 ． 【答案】C 【分析】本题主要考查了利用轴对称求最短路径问题． 利用轴对称的性质，将其中一点关于直线对称，根据“两点之间线段最短”确定点的位置． 【详解】解：①作对称点： 作点关于直线l的对称点． ②确定点： 连接，与直线交于点，由“两点之间线段最短”可知，此时最短．观察图形可知，点应选在点处． 故答案为：． 【变式题1-1】．（24-25八年级上·广东·期末）如图，在的正方形网格中，直线a外，有A，B两点．在直线a上求一点P，使最短，则点P的位置应选在点 处，（填图中的字母） 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称的最短路径问题，掌握轴对称的性质并正确作图是解题的关键．根据轴对称的性质作图即可求解． 【详解】解：如图：作点B关于直线a的对称点N，连接，则交直线a于点C， 由对称性可得，， ， 当三点共线时，最短， 点P的位置应选在点C处． 故答案为：C． 【变式题1-1】．（24-25七年级下·广东清远·期末） “白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李顾《古从军行》里的一句诗，由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”问题． (1)如图1，若点A和点B分别在直线l的两侧，请作出示意图，在直线l上找到点C，使得有最小值，并说明作图依据： ； (2)如图2，若点A和点B在直线l的同侧，请在直线l上作出点P，使得有最小值，并说明理由． 【答案】(1)两点之间线段最短 (2)见解析 【分析】本题考查作图﹣应用与设计作图，轴对称﹣最短问题. （1）根据两点之间线段最短解决问题； （2）利用轴对称解决最短问题，作点A关于直线l的对称点，连接交直线l于点P，连接，点P即为所求． 【详解】（1）解：如图1中，点C即为所求，依据是两点之间线段最短． 故答案为：两点之间线段最短； （2）如图2中，点P即为所求． 理由：在直线l上任意取一点，连接， ． ∵A，关于直线l对称， ∴，， ∵， ∴点P即为所求的点P． 【变式题1-3】．（2024八年级上·江苏·专题练习）阅读下列材料并完成任务： “最短路径问题”是数学中一类具有挑战性的问题．其实，数学史上也有不少相关的故事，如下即为其中较为经典的一则：古希腊有一位久负盛名的学者，名叫海伦．他精通数学、物理，聪慧过人．有一天，一位将军向他请教一个问题：如图1，将军从甲地骑马出发，要到河边让马饮水，然后再回到乙地的马棚，为使马走的路程最短，应该让马在什么地方饮水？ 海伦认为以河边为镜面，画出甲地的镜像点（垂直河边的等距离点），然后连接乙地和甲地的镜像点，会跟河边相交一点，这个点就是马饮水的地方，马走的路程最短（两点之间直线距离最短）． 任务： 请你帮海伦在图1的位置完成作图，并标出马饮水的地点（画出草图即可）； 【答案】见解析 【分析】此题主要考查了最短路线问题，涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．根据在河边上的同侧有两个点A、B，在直线上有到A、B的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线l的对称点，对称点与另一点的连线与河边线的交点就是所要找的点． 【详解】解：如答图1即为所作图形． 【类型二：两动一定型】 【模型3：求周长最小】 1、问题描述: 点在内部，在边上找一点，在边上找一点，使的周长最小。 2、模型解读: 作点关于的对称点，关于的对称点，连接，分别交、于、，则、为所求点。 3、原理证明： 由轴对称性质，，，的周长。 假设、上存在其他点、，则周长。 根据“两点之间线段最短”，，故此时周长最小。 【例题2】．（22-23八年级上·广东珠海·期末）已知，在内有一定点P，点M，N分别是，上的动点，若的周长最小值为3，则的长为（　　） A． B．3 C． D． 【答案】B 【分析】根据题意画出符合条件的图形，求出，得出等边三角形，求出，求出的周长，即可求出答案． 【详解】解：作P关于的对称点D，作P关于的对称点E，连接交于M，交于N，连接，则此时的周长最小， 连接， ∵P、D关于对称， ∴， 同理， ∴， ∵P、D关于对称， ∴， ∵， ∴， 同理， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵的周长是， ∴ 故选：B． 【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，等边三角形的判定与性质，关键是画出符合条件的图形． 【变式题2-1】．（25-26八年级上·黑龙江佳木斯·期中）如图，点是 内一定点，点，分别在边、上运动，若， ，则 的周长的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查轴对称的性质、等边三角形的判定与性质，最短路线问题，解决本题的关键是根据轴对称的性质作出点关于，的对称点，，连接，，根据两点之间线段最短可知的周长最短值是线段的长度，根据可知是等边三角形且边长为，则的周长最小值为． 【详解】解：如下图所示， 作点关于，的对称点，，连接，，， 当，是与，的交点时，的周长最短，最短的值是的长． 点关于的对称点为， ，，； 点关于的对称点为， ，，， ， ， 是等边三角形， ， 的周长的最小值． 【变式题2-2】．（24-25八年级上·福建泉州·期中）如图，锐角△中，，，△的面积是6，，，分别是三边上的动点，则△周长的最小值是 ． 【答案】2 【分析】根据对称性质，将周长转换为一条直线，如图所示（见详解），作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接，，，三角形是等边三角形，周长，即最小就是的值最小，的面积是，，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接，，， ∴，即是的垂直平分线，是的垂直平分线，且，； ∵， ∴， 即， ∴当点在一条直线上时，三角形是等边三角形， ∴， ∴周长，即的最小值就是的最小值， 根据垂线段最短，可知当时，最小，即此时周长最小， ∵的面积是，， 即， ∴，即周长最小， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查点的对称性找最短路径，垂直平分线的性质，等边三角形的性质，理解和掌握垂直平分线的性质，对称轴的性质找最短路径的方法是解题的关键． 【变式题2-3】．（25-26八年级上·辽宁大连·期中）综合与实践：如图1，数学活动课上，李老师带领学生在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：直线l同侧有两个定点A，B，在直线l上存在点C，使得的值最小． 小明的作法是：如图2，作点B关于直线l的对称点，连接，则与直线l的交点即为点C，且的最小值为的长． 如图3，为了证明点C的位置即为所求，小明经探究发现，在直线上另外取点，连接，，，证明即可． (1)请完成图3中小明的证明； (2)如图4，在中，直线m是边的垂直平分线，点P是直线m上的动点．若，，，则周长的最小值为________； (3)如图5，已知，P为内一定点，上有一点A，上有一点B，当的周长取最小值时，的大小为________度． 【答案】(1)证明见解析 (2)11 (3)110 【分析】（1）由轴对称的性质可知，，，则，，可得，进而结论得证； （2）连接，则B是C关于m的对称点，当B、P、A三点共线时，即当P是与的交点时，的周长最小； （3）分别作关于、的对称点、，连接、，当、、四点共线时，的周长取最小值，根据轴对称的性质解题即可． 本题考查“将军饮马”问题的探究、轴对称性的应用． 【详解】（1）证明：由轴对称的性质可知，，， ∴，， ∴，， ∴当三点共线时，值最小， ∴点的位置即为所求； （2）解：如图，连接， ∵m是边的垂直平分线， ∴， ∴的周长为， 当且仅当B、P、A三点共线时，等号成立， 即当P是与的交点时，的周长最小，最小为11， 故答案为：11； （3）解：如图，分别作关于、的对称点、，连接、，当、、四点共线时，的周长取最小值， 根据对称性可知，， ∴， ， ， ， ， 故答案为：110． 【模型4：求四边形周长最小】 1、问题描述: 点、在内部，在边上找一点，在边上找一点，使四边形的周长最小。 2、模型解读: 作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接，分别交、于、，则、为所求点。 3、原理证明： 由轴对称性质，，，四边形的周长(假设为隐含定点，补全四边形闭合逻辑)。 当、、、共线时，为最小值。 故此时四边形周长最小，、为所求点。 【例题3】．（24-25八年级上·江西上饶·阶段练习）如图，从点A到射线上一点M，再从M到射线上一点N，最后从点N到点B，找到最短时M、N点的位置．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【分析】本题考查轴对称的性质，根据轴对称的性质，对称轴是对应点连线的垂直平分线以及根据两点之间线段最短，可知最短． 【详解】解：如图，M、N即为所求， 【变式题3-1】．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，，M，N分别为，上的点，，P，Q分别为，上的动点，则的最小值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查轴对称－最短路线问题，等边三角形的判定与性质，轴对称的性质，能用一条线段的长表示出三条线段的和的最小值是解题的关链． 作点关于的对称点，点关于的对称点，连接交于点，交于点，连接，根据轴对称的性质，得到的最小值为，推出为等边三角形，进一步得出结果． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，点关于的对称点，连接交于点，交于点，连接， 则， ， 的最小值为， 由轴对称的性质得，，，， ， ∵， 为等边三角形， ， 即的值最小为3； 故答案为：3． 【变式题3-2】．（24-25八年级上·福建莆田·期中）如图，在五边形中，，，在直线，上分别找一点，，使得的周长最小，此时的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查中垂线的判定和性质，等边对等角，延长至点，延长至点，连接，推出垂直平分，垂直平分，得到，进而得到的周长，得到当四点共线时，的周长最小，根据等边对等角，三角形的内角和定理，求出的度数即可． 【详解】解：延长至点，延长至点，连接， 则：， ∵， ∴垂直平分，垂直平分， ∴， ∴的周长， ∴当四点共线时，的周长最小， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 故选A． 【变式题3-2】．（24-25八年级上·山西大同·阶段练习）马仑草原坐落于山西省宁武县境内管涔山之巅，最高海拔2712米．当你身临其境地站在马仑草原上与芦芽山遥遥相望的时候，你一定会惊叹于大自然的神奇壮美．如图，牧马人从A地出发，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到B处，请画出最短路径． 【答案】详见解析 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，轴对称-最短路线问题等知识点，作出点A的关于草地的对称点，点B的关于河岸的对称点，连接两个对称点，交于草地点C，交河边于点D，连接，，则是最短路线．能正确画图和根据画图条件进行推理是解此题的关键． 【详解】解：如图，作出点A的关于草地的对称点，点B的关于河岸的对称点，连接两个对称点，交于草地点C，交河边于点D，连接，， ∴，， ∴， 根据“两点之间，线段最短”知，此时是最短为， ∴所走路线即为． 【模型5：求最小】 1、问题描述: 点在内部，在边上找一点，在边上找一点，使的值最小。 2、模型解读: 作点关于的对称点，过作于，交于，则、为所求点。 3、原理证明： 由轴对称性质，，故。 因为，根据“垂线段最短”，。 当且仅当在上时，等号成立，故此时最小。 【例题4】．（25-26八年级上·全国·期中）如图，在中，，平分，，点P，Q分别为边，上的动点，连接，，则的最小值为 ．    【答案】 【分析】本题考查了角平分线的性质，垂线段最短及直角三角形的性质，先利用角平分线的性质进行转化，再分析何时取得最小值，最终求得最小值为的长度即可． 【详解】解：如图，过点B作交于点E，交于点P，过点P作于Q，    ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴当点B，P，E三点共线时，，此时的值最小， ∵，， ∴的最小值为， 故答案为：4． 【变式题4-1】．（24-25八年级上·四川内江·期中）如图，等边三角形的边长为4，是边上的中线，是边上的动点，是边上一点．若，当取得最小值时，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称最短路线问题、等边三角形的性质，解决本题的关键是准确找到点的位置． 根据对称性和等边三角形的性质，过点B作交于点F，连接，此时取得最小值，借助等边三角形的性质得，，即可求解． 【详解】解：过点B作交于点F，连接， ∵等边三角形的边长为4， ∴， ∴， ∴， ∵是边上的中线， ∴， ∴， 故选：C． 【变式题4-2】．（25-26八年级上·全国·期中）如图，在 中，，D，E 分别是上的点，则 的最小值为（    ） A．6 B．8 C．9 D． 【答案】C 【分析】本题考查了含度角的直角三角形的性质：度角所对的直角边是斜边的一半，以及等边三角形的性质；作点C 关于 的对称点 F，过点 F 作于点，交 于点，根据 ，得出当时， 的值最小．即：当点 D，E 分别在点处时， 的值最小．由条件推出，，为等边三角形，得到， ，根据，得到，即可求解； 【详解】解：作点C 关于 的对称点 F，过点 F 作于点，交 于点， ∵ ， ∴当时， 的值最小． 即：当点 D，E 分别在点处时， 的值最小． 由对称可知：垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴为等边三角形， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故 的最小值为9， 故选：C 【变式题4-3】．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段练习）请根据以下素材，完成探究任务． 【背景材料】 背景1：中国西汉时期（公元前2世纪），《淮南万毕术》记载：“取大镜高悬，置水盆于其下，则见四邻矣．”这一装置利用平面镜与水面的组合反射，实现了视野的扩展，被视为早期光学探索的重要实践． 背景2：古希腊数学家海伦（公元1世纪）在《反射光学》中通过几何方法证明，光在镜面反射时遵循入射角等于反射角的规律，且该路径为几何最短距离．17世纪，法国数学家费马提出费马原理，指出光在传播时总是选择耗时最短的路径（在均匀介质中即路径最短），从更普遍的物理原理上解释了海伦的结论，并将最短路径思想推广至折射等领域． 【任务1：证明反射路径最短】 （1）如图①，直线代表平面镜，点代表一实物，点代表眼睛，作实物关于平面镜的对称点，连接，交平面镜于点，连接，则为入射光线，为反射光线．求证：最短．请在横线上填写内容． 如图，在平面镜上任意找与点不重合的一点，连接，，， 在中，（_____）， 实物与点关于平面镜对称， 垂直平分， _____，（_____）． ，， ． 【任务2：确定挡板反射范围】 （2）如图②，若从点发出的光线经平面镜反射后通过空隙落到挡板上，试确定反射光线在上的最高点和最低点．（简单说明作图） 【任务3：计算最短】 （3）如图③，一面镜子斜固定在地面上，且，点为距离地面为的一个光源，光线射出经过镜面处反射到地面点，当光线经过的路径长最短为时，的长为_____． 【答案】（1）见详解（2）见详解（3）4 【分析】本题主要考查轴对称的性质、三角形三边关系等相关知识，等边三角形的判定和性质等知识． （1）利用三角形三边关系及轴对称性质证明反射路径最短即可． （2）通过作对称点确定反射光线在挡板上的最高和最低位置； （3）过点P作的对称点，过点作于点E，交于点D，通过轴对称的性质得出，过点P作于F， 进而可得出，由光入射角等于反射角的规律可得出进一步得出是等边三角形，由等边三角形的性质即可得出答案． 【详解】解：（1）在平面镜上任意找与点不重合的一点，连接，，， 在中，（三角形两边之和大于第三边）， 实物与点关于平面镜对称， 垂直平分， ，（线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等）． ，， ． 故答案为∶三角形两边之和大于第三边；；线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等． （2）如图所示，作A关于的对称点，连接并延长交于点Q，连接并延长交为P，则点P和点Q即为所求； （3）如图，过点P作的对称点，过点作于点E，交于点D， ∴， 则 过点P作于F， ∵， ∴， ∴， ∵光线射出经过镜面D处反射到地面E点， ∴，     又∵， ∴． ∴是等边三角形， ∴， ∴， 故答案为∶4． 【类型三：两定点一定长】 【模型6：直线上找定长线段(求最小)】 1、问题描述: 在直线上找两点、(在左)，使最小，且(为定长)。 2、模型解读: 将点向右平移个单位长度得到，连接，交直线于，将向左平移个单位长度得到，则、为所求点。 3、原理证明： 由平移性质，，，故。 因为、平移得到，(两点之间线段最短)。 若存在其他点、，则，故此时最小。 【模型7：平行线间找垂直定长线段(求最小)】 1、问题描述: 已知，与间距离为，在上找，在上找，使，且最小。 2、模型解读: 将点向下平移个单位长度(与两直线距离相等且垂直于)得到，连接，交于，过作交于，则、为所求点。 3、原理证明： 由平移性质，，(两直线距离)，故。 因为，且平移后与的连线垂直于，(两点之间线段最短)。 故此时最小，、为所求点。 【例题5】．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图A，B两城镇在河流的异侧，架一座桥连通两岸，选择一个架桥点使从A到B距离最短，架桥点选在何处，请在图中画出． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查最短路径问题，熟练掌握两点之间直线最短进行解答即可．过点作垂直于河岸，且使的长等于河宽，连接与河岸相交于点E，过点E作垂直河岸于点F，则为所建桥的位置． 【详解】解：如图所示，即为所作． 【变式题5-1】．（25-26八年级上·福建厦门·期中）如图，A，B两地在一条河的两岸，现要在河上架一座桥，若河岸平行，与河岸垂直，要想使路径最短，下面有四种设计方案，你认为最合适的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，两点之间线段最短的应用，解题的关键是掌握两点之间线段最短． 根据平行线的性质得出内错角相等，证明，得出，然后根据两点之间线段最短进行求解即可． 【详解】解：选项D符合题意，利用如下： 如图，连接， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 根据两点之间线段最短，且为定值，此时，值最小， 即此时路径最短， 故选：D． 【变式题5-2】．（24-25八年级下·甘肃张掖·期中）尺规作图如图，甲乙两个单位分别位于一条封闭式街道的两旁，现准备合作修建一座过街天桥，使甲、乙到天桥桥头的距离相等．（注意：天桥必须与街道垂直．） 【答案】作图见解析 【分析】本题考查作图的应用和设计，解题的关键是根据平移的性质和轴对称的性质是作图即可． 【详解】解：如图，先把乙村和相邻的一街旁进行平移一个街宽，乙到处，再作关于街道的对称点，连接与甲处，作它们的垂直平分线，与街道靠近甲的一侧相交于点，作垂直街道于点， ∴点到甲的距离等于，，点到乙的距离等于， 则过点点建桥即可． 【变式题5-3】．（25-26八年级上·全国·课后作业）综合与实践 【提出问题】唐朝诗人李颀的诗《古从军行》中“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”里隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马．如图①，将军从山脚下的点A出发，到一条笔直的河边l饮马后再回到点B宿营，他时常想，怎么走才能使他每天走的路程之和最短呢？ 【分析问题】 （1）小亮：如图②，作点B关于l的对称点，连接与l交于点C，点C就是饮马的地方，此时按路线走的路程就是最短的． 小慧：你能详细解释原因吗？ 小亮：如图③，在l上另取一点，连接，只要证明即可．请写出小亮的证明过程． 【解决问题】 （2）任务一：如图④，将军牵马从军营P处出发，先到河边饮马，再到草地牧马，最后回到P处，试分别在和上各找一点，使得将军走过的路程最短（保留画图痕迹，辅助线用虚线，最短路径用实线）； （3）任务二：如图⑤，在P，Q两村之间有两条河，且每条河的宽度处处相等，从P村前往Q村，要经过这两条河．现在要在这两条河上分别造一座垂直于河岸的桥，则这两座桥造在何处可使由P村到Q村的路程最短（要求在图上标出道路和大桥的位置）？ 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析 【分析】本题考查将军饮马问题，熟练掌握轴对称的性质，是解题的关键： （1）根据成轴对称的性质，结合三角形的三边关系即可得出结论； （2）分别作点P关于的对称点C，D，连接，分别交于点E，F，则路线即为所求； （3）分别过点P和点Q作的垂线，垂足分别为A，B，在上截取等于靠近P村的河的宽，在上截取等于靠近Q村的河的宽，连接分别交于点E，M，分别过点E，M作的垂线，垂足分别为F，N，连接，则路线即为所求． 【详解】（1）解：∵点关于l对称， ， ， ， ， ∴作点B关于l的对称点，连接与l交于点C，点C就是饮马的地方，此时按路线走的路程是最短的． （2）任务一：如答图①所示，路线即为所求． （3）任务二：如答图②所示，路线即为所求． 【补充模型：线段差最值问题】 【模型8：两定点同侧(求最大)】 1、问题描述: 两定点、在直线同侧，在直线上找一点，使的值最大。 2、模型解读: 延长线段，交直线于点，则为所求点。 3、原理证明： 假设直线上存在另一点，根据“三角形两边之差小于第三边”，。 当在延长线上时，，故此时最大。 【模型9：两定点异侧(求最大)】 1、问题描述: 两定点、在直线异侧，在直线上找一点，使的值最大。 2、模型解读: 作点关于直线的对称点，延长交直线于点，则为所求点。 3、原理证明： 由轴对称性质，，故。 延长交于，此时(三点共线时差值最大)。 假设存在其他点，则，故为所求点。 【模型10：两定点同侧(求最小)】 1、问题描述: 两定点、在直线同侧，在直线上找一点，使的值最小。 2、模型解读: 作线段的垂直平分线，交直线于点，则为所求点(此时)。 3、原理证明： 由垂直平分线性质，垂直平分线上的点到线段两端距离相等，故，即。 任何实数的绝对值均大于等于，故此时最小。 【例题6】．（24-25七年级下·江苏无锡·期末）如图，已知在直角三角形中，为直角，把沿翻折得到，点P、E分别是线段上的动点，有下列结论：①中边上的高是；②的最小值是8；③若，则的最大是2.5．其中正确的结论有（    ） A．② B．①② C．①②③ D．①③ 【答案】D 【分析】本题考查折叠的性质，轴对称求最短距离，等腰三角形的判定与性质，利用三角形面积公式即可判断①；过点B作，作点E关于的对称点，连接，先证明三角形是等腰三角形，由对称的性质结合垂线段最短可得当三点共线，且时，有最小值，最小值为的长，即可判断②；根据题意求出，利用，即可判断③． 【详解】解：设中边上的高是， ∵直角三角形中，为直角， 由折叠的性质得， ∴， ∵， ∴，故①正确； 如图，过点B作，作点E关于的对称点，连接， 由折叠的性质得， ∴是等腰三角形， ∴垂直平分， ∴， ∴， 当三点共线，且时，有最小值，最小值为的长， 同理①得， ∴的最小值是，故②错误； ∵，， ∴， ∵， ∴当点P与点A重合时，有最大值， 此时，故③正确； 故选：D． 【变式题6-1】．（25-26八年级上·辽宁鞍山·期中）如图1，直线l及同侧两点A，B，要在直线l上找一点C，使 最大，其做法为：连接并延长，交直线l于点C，可证点C即为所求．如图2，直线l及两侧两点A，B，在直线l上找一点C，使最大．下列图中所画点C的位置正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是轴对称的性质，三角形的三边关系的应用，如图，作关于直线的对称点，作直线交直线于，即可得到结论． 【详解】解：如图，作关于直线的对称点，作直线交直线于，连接， 则， ∴， 此时最大． 故选：B 【变式题6-2】．（24-25八年级上·贵州·期末）在一条公路旁有A，B两个工厂，要在公路旁修一个汽车站，请分别按如下要求确定汽车站M的位置： (1)在图①中，要求车站M到两厂的距离相等； (2)在图②中，要求车站M到两厂的距离之和最短； (3)在图③中，要求车站M到两厂的距离之差最大． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了基本作图——垂直平分线、轴对称求最短距离，三角形的三边关系，灵活运用相关知识正确作图是解题关键． （1）作线段的垂直平分线交直线于M，此时，点即为所求； （2）作点B关于直线l的对称点，连接与直线交于点M，此时最小； （3）作点B关于直线l的对称点，连接且延长交直线于点M，此时最大． 【详解】（1）解：如图①，点即为所求作； （2）解：如图②，点即为所求作； （3）解：如图③，点即为所求作． 【变式题6-3】．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，平面直角坐标系中有两点，． (1)在y轴上画出一点M，使得的值最小； (2)在x轴上画出一点N，使得的值最大． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】此题主要考查轴对称-最短路线问题，要灵活运用对称性解决此类问题． （1）作关于轴的对称点，则与轴的交点就是； （2）连接并延长，与轴的交点就是． 【详解】（1）解：如图，点就是所求的点； （2）解：如图，点就是所求的点． 同步练习 一、单选题 1．（24-25八年级上·广东广州·期末）唐诗《古从军行》中“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，隐含了一个有趣的数学问题——“将军怎样走才能使总路程最短”？如图，在平面直角坐标系中，将军从出发，先到山脉m的任意位置望烽火，再到河岸n的任意位置饮马后返回到A点，且m与n的夹角为，则将军所走的最短总路程为（　　） A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】A 【分析】此题考查了轴对称的性质、等边三角形的判定和性质等知识．作点A关于直线m、n的对称点D、E，连接，交m、n于B、C，则，得到的周长，此时的周长最小值为的长，再证明是等边三角形，得到即可． 【详解】解：作点A关于直线m、n的对称点D、E，连接，交m、n于B、C，则， ∴的周长， ∴此时的周长最小值为的长， 则：， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 即的周长最小值为， 故选：A． 2．（24-25七年级上·山东济南·期中）如图，等腰的底边，面积为，腰的垂直平分线分别交、于点E、F，若D为边的中点，M为线段上一动点，则周长的最小值是（    ）． A．8 B．10 C．12 D．14 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，最短线段问题，将的最小值转化为的长是解题关键．连接、，根据等腰三角形三线合一的性质，求出，再根据垂直平分线的性质，得到，从而得出的最小值为的长，即可求出周长的最小值． 【详解】解：如图，连接、， 等腰的底边，D为边的中点， ，， 面积为， ， ， 垂直平分， ， ， 的最小值为的长， 周长的最小值是， 故选：C． 3．（23-24八年级上·辽宁盘锦·期中）如图，直线是一条河，、 是两个新农村定居点，欲在上的某点处修建一个水泵站，由水泵站直接向 、两地供水，现有如下四种管道铺设方案，图中实线表示铺设的供水管道，则铺设管道最短的方案是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了最短路径的数学问题；利用对称的性质，通过等线段代换，将所求路线长转化为两定点之间的距离． 【详解】解：作关于的对称点，连接交直线于点，如图所示， 则 根据两点之间，线段最短，可知选项D铺设的管道，则所需管道最短． 故选：D． 4．（25-26八年级上·湖北随州·期中）如图，在中，，，直线垂直平分线段，若点D为边的中点，点G为线段上一动点，则周长的最小值为（    ） A．12 B．13 C．14 D．15 【答案】B 【分析】本题考查轴对称—最短路线问题，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，两点之间线段最短，三角形面积公式，能够推出三角形周长的最小值为是解题的关键． 连接，推出周长的最小值为，证明，再利用三角形的面积公式列方程求出即可解决问题． 【详解】解：连接， ∵ 直线垂直平分线段， ， ∵点为边的中点，， ， 周长 ， 周长的最小值为， ∵，点为边的中点， ， ∵，， ， 解得， 周长的最小值为， 故选B． 5．（25-26八年级上·北京西城·期中）如图，点，在内部，其中，，，为射线上的一个动点，为射线上的一个动点．若的最小值为，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了轴对称-最短路径问题、等边三角形的判定与性质，熟练掌握利用轴对称转化线段以及等边三角形的判定是解题的关键． 通过作对称点，将折线转化为直线，利用两点之间线段最短找到最小值的情况，再结合等边三角形的性质求解角度． 【详解】解：分别作点关于的对称点，点关于的对称点，连接，与、分别交于点、，此时取得最小值，即． ∵点与关于对称， ∴，． ∵点与关于对称， ∴，． ∴，且， ∴是等边三角形， ∴． 又∵，， ∴， 解得． 故选：． 二、填空题 6．（22-23八年级上·北京·期中）如图，在中，，边的垂直平分线分别交，于点，，点是边的中点，点是上任意一点，连接，，若，，当周长取到最小值时，，之间的数量关系是 ． 【答案】 【分析】如图，连接．根据垂直平分，推出，，所以，当、、在同一直线上时，最小，最小值为．据此解答即可．本题考查了轴对称最短路线问题，熟练运用垂直平分线的性质是解题的关键． 【详解】解：如图，连接． 垂直平分， ，， ， 当、、在同一直线上时，最小，最小值为． 周长最小值． ，点是边的中点， ， ， ， 即． 故答案为：． 7．（23-24八年级上·贵州遵义·阶段练习）如图，在三角形中，，，是边上的高，为边上一点，为上一动点，若，则的最小值为 ． 【答案】10 【分析】本题考查轴对称求最短距离，等边三角形的判定与性质，先证明三角形是等边三角形，连接，与交于点，此时最小，由等边三角形的性质有，所以的最小值为的长，求出即可． 【详解】解：∵，， ∴三角形是等边三角形，即：， 如图，连接，与交于点，此时最小， 是等边三角形，， ∴， ， ， 即就是的最小值， ，点是边的中点， ∴， ∵，， ， 的最小值是10． 故答案为：10． 8．（23-24七年级上·吉林长春·期末）“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李颀《古从军行》里的一句诗．由此引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”．如图，将军在图中点A处，现在他要带马去河边喝水，之后返回军营B处，问：将军怎么走能使得路程最短？将实际问题转化成数学问题，即：在直线上找一点P使得最小． 解决方法是：作点A关于直线的对称点，连接，则，所以，连接，则线段的长度即为的最小值，这样做依据的基本事实是 ． 【答案】两点之间，线段最短． 【分析】本题考查了两点之间，线段最短，解决问题的关键是熟练掌握“将军饮马”等模型．依据是两点之间线段最短得出答案． 【详解】解：由题意得：这样做依据的基本事实是两点之间，线段最短． 故答案为：两点之间，线段最短． 9．（23-24八年级上·全国·期末）如图，是等边的边上的中线，是边上的动点，是边上动点，当取得最小值时，则的度数为 ． 【答案】/30度 【分析】本题考查最短路径问题——垂线段最短，等边三角形的性质，根据垂线段最短找到点E、F是解题的关键．过点B作于点E，交于点F，连接，根据垂线段最短可知此时取得最小值，再利用等边三角形的性质求解即可． 【详解】解：如图， 过点B作于点E，交于点F，连接， 根据垂线段最短可知此时取得最小值， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∵是等边的边上的中线， ∴， ∴． 故答案为：． 10．（24-25八年级上·内蒙古呼和浩特·期中）如图，等腰底边的长为，面积是，腰的垂直平分线交于点，交于点，若为边上的中点，为线段上一动点，则的周长最小值为 ． 【答案】7 【分析】本题考查的是等腰三角形三线合一的性质，轴对称−最短路线问题连接，由于是等腰三角形，点是边的中点，故，再根据三角形的面积公式求出的长，再根据是线段的垂直平分线可知，点关于直线的对称点为点，故的长为的最小值，由此即可得出结论． 【详解】连接， 是等腰三角形，点是边的中点， ， ， 解得， 是线段的垂直平分线， 点关于直线的对称点为点， 的长为的最小值， 的周长最短． 故答案为：． 三、解答题 11．（24-25七年级下·河南周口·期末）如图，已知． (1)尺规作图：作线段的垂直平分线，分别交于点D，E；（保留作图痕迹，不写作法） (2)若，的周长是17，F为直线上一动点，求周长的最小值． 【答案】(1)见解析 (2)的周长的最小值为11． 【分析】本题考查作图—基本作图，线段垂直平分线的性质，轴对称—最短问题，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据要求作出图形； （2）根据垂直平分线的性质和三角形的三边关系可知，当点F与E重合时，的周长最小，最小值． 【详解】（1）解：图形如图所示； ； （2）解：∵垂直平分，F为直线上一动点， ∴， ∴， ∴当点F与E重合时，的周长最小， 最小值， ∵，的周长是17， ∴， ∴的周长的最小值为11． 12．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在中，平分，分别是上的动点，连接，若，求的最小值． 【答案】4 【分析】本题考查了含的直角三角形的性质，轴对称的性质，垂线段最短，过点P作关于的对称点，连接，，证明，即可解答． 【详解】解：如图，过点P作关于的对称点，连接，， ． ∵平分， ． 在和中， ， ， ， ∴要求的最小值，只要求出的最小值，即的最小值， ∴当时，的值最小，即点Q与点D重合，点与点B重合，最小值为的长． ∵在中，， ， 的最小值为4． 13．（25-26八年级上·全国·期末）如图，在中，已知，的垂直平分线交于点，交于点，连接． (1)若，求 的度数． (2)若，的周长是． ①求的长度； ②若点为直线上一点，请你直接写出周长的最小值． 【答案】(1) (2)①；②最小值为 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形的三边关系掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． （1）根据等腰三角形的性质和线段垂直平分线的性质即可求解； （2）①根据线段垂直平分线的性质可得，然后求出的周长，再代入数据进行计算即可得解；②当点与重合时，周长的值最小，据此解答即可求解； 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵的垂直平分线交于点， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：①∵是的垂直平分线， ∴， ∴的周长， ∵，的周长是， ∴； ②当点与重合时，周长的值最小， 理由：∵，， ∴与重合时，，此时最小， ∴周长的最小值． 14．（24-25七年级下·福建三明·期中）已知：等腰中，． (1)如图1，若是的高，是的角平分线，与交于点．当的大小变化时，的形状也随之改变． ①设，求角度的变量与的关系式； ②当是等腰三角形时，求的度数． (2)如图2，若的面积是是的高，点分别是线段上的点，直接写出的最小值． 【答案】(1)①；②或 (2) 【分析】本题考查了三角形内角和定理的应用，三角形外角的性质，等腰三角形的性质，轴对称的性质求线段和的最值，熟练掌握以上知识是解题的关键； （1）①根据三角形内角和定理分别表示出，根据三角形的外角的性质得出，即可求解； ②先表示出的三个内角，然后根据等腰三角形的性质，分类讨论，列出方程，解方程，即可求解； （2）过点作，垂足为，交于点，连接，当重合时，的最小值为，进而根据三角形的面积公式求得的长，即可求解． 【详解】（1）解：①设 ∵ ∴ ∵是的高，是的角平分线， ∴， ∴ ∴； ②∵是的高， ∴ ∵ ∴ ∵是等腰三角形时 当时， ∴ 解得：即 当时， ∴ 解得：即 当时， ∴ s解得：（不合题意，舍去） 综上所述，或 （2）解：如图，过点作，垂足为，交于点，连接， ∵，是的高， ∴是的对称轴， ∴，当重合时取得最小值，即的最小值为 ∵的面积是， ∴ ∴的最小值是 15．（24-25七年级下·宁夏银川·期末）如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A、B、C在小正方形的顶点上． (1)在图中画出与关于直线成轴对称的； (2)在直线上找一点，使的长最短． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了作图—轴对称变换，熟练掌握轴对称的性质是解此题的关键． （1）分别作出点关于直线的对称点，再顺次连接即可； （2）由点C与点F关于直线对称，则，根据两点之间线段最短即可求作． 【详解】（1）解：如图，即为所作： （2）解：如图，点P即为所求． 16．（24-25七年级下·广东深圳·期末）综合实践：数学课上，王老师以“两条线段和的最小值”为题，把“两点之间，线段最短”以及“垂线段最短”两个知识融合在一起展开一节探究活动课． 【活动一】情境再现，明晰原理 示例1：将最短路径问题（有人称“将军饮马”问题）转化为数学问题．如图①，用直线表示河岸，将军从山脚下的点出发，到达河岸点饮马后回到点宿营，怎样走使他每天所走路程的和最短？ 作法是：如图1②，作点关于直线的对称点，连接与直线交于点，则点即为饮马的地方，此时将军从点走到点，再回到点所走的总路程最短． 示例2，如图1③，要在河岸上建一座水泵房，修建引水渠PQ，使得到村庄的跑离最短．施工人员的做法是：过点作于点，将水泵房建在处，这样修建引水渠PQ最短，即省人力又省物力．示例1中所经含的数学原理是（   ） A．两点之间，线段最短        B．垂线段最短 【活动二】感悟方法，尝试应用 如图2，在等边三角形中，是的中线． ①直接写出与的数量关系__________________： ②若．点为边的中点，点为上一点，当的值最小时，在图2上标注点的位置，并求出的最小值； 【活动三】迁移拓展，综合应用 如图3，在中，，点在斜边上，且，是的角平分线，点，点分别为，上一点，求的最小值． 【答案】活动一：B；活动二：①；②见解析，4；活动三：的最小值为． 【分析】活动一：根据两点之间，线段最短求解即可； 活动二：①根据三线合一得到，，即可得到； ②连接交于点F，连接，得到当点E，F，C三点共线时，的值最小，即的长度，然后根据等边三角形三线合一性质求解即可； 活动三：如图所示，在上取点使，，连接，证明出，得到，然后得到当时，最小，求出，进而求解即可． 【详解】活动一：示例1中所经含的数学原理是两点之间，线段最短 故选：B； 活动二：①∵在等边三角形中，是的中线 ∴， ∴； ②如图所示，点F即为所求； ∵点为上一点 ∴ ∴当点E，F，C三点共线时，的值最小，即的长度 ∵在等边三角形中，是的中线，点为边的中点， ∴； 活动三：如图所示，在上取点使，，连接 ∵是的角平分线 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴当点，G，D三点共线时，有最小值，即的长度 ∴当时，最小 ∵ ∴ ∴ ∵ ∴． ∴的最小值为． 【点睛】此题考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质和判定，三线合一性质，轴对称的性质，含30度角直角三角形的性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 17．（2025七年级下·河南·专题练习）【提出问题】 唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”中隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马。如图1，将军从山脚下的点A出发，到达河岸饮马后再回到点B宿营，他时常想，怎么走才能使每天走的路程之和最短呢？ 【分析问题】 小亮：作B关于直线l的对称点，连接与直线l交于点C，点C就是饮马的地方，此时所走的路程之和就是最短的（如图2）． 小慧：你能详细解释为什么吗？ 小亮：如图3，在直线l上另取任意一点，连接，，，我只要说明即可．因为直线l是点B，的对称轴，点C，在l上，所以______，______，所以______． 在中，因为，所以______，即最小． 请完善小亮的说明过程． 本问题实际上是利用转化的思想，把在直线同侧的A，B转化在直线的两侧，从而利用“______”及“三角形两边之和大于第三边”加以解决（在连接A，两点的线中，线段最短）． 【解决问题】 如图4，牧马人从A地出发，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到B处，请画出最短路径． 【答案】解：【分析问题】        两点之间，线段最短 【解决问题】图见解析． 【分析】本题考查了轴对称之将军饮马模型，掌握轴对称变换和两点之间线段最短是解题的关键． （1）通过作对称点，将将军饮马问题转化为两点之间线段最短的问题，利用轴对称性质得到相等线段，再结合三角形三边关系证明路径最短； （2）作点关于草地的对称点，作点关于河的对称点，连接即为最短路径． 【详解】（1）∵直线l是点B，的对称轴，点C，在l上， ∴，， ∴，， 由两点之间线段最短可知，， ∴， 本问题实际上是利用转化的思想，把在直线同侧的转化在直线的两侧，从而利用“两点之间线段最短”及“三角形两边之和大于第三边”加以解决（在连接两点的线中，线段最短）。 故答案为：        两点之间，线段最短； （2）如图，即为最短路径． 学科网（北京）股份有限公司 $