精品解析：山东省聊城市 东阿县实验中学2025-2026学年八年级数学上学期学情检测二 （11月）

2025-2026八年级数学 （上）学情检测二 一、选择题（本题12个小题，每小题4分，共48分．） 1. 下列各式：，，，，其中分式的个数有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 2. 如果，那么下列比例式成立的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知图中的两个三角形全等，则等于（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在和中，已知，添加一个条件，不能判定的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列命题的逆命题是真命题的是（ ） A. 如果两个角是直角，那么它们相等 B. 若，则 C. 两直线平行，内错角相等 D. 对顶角相等 6. 反证法是初中数学中的一种证明方法，在中国古代数学发展的过程中起到了促进作用，比如墨子谈到“学之益也，说在诽者”，是通过证明“学习无益”的命题为假，以此才说明“学习有益”的命题为真，这就是反证法的例子．若我们用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于”，则应先假设（ ） A. 三角形中没有内角大于 B. 三角形中有一个内角大于 C. 三角形中三个内角都大于 D. 三角形中有两个内大于 7. 下列式子从左到右变形一定正确的是（　　 ） A. B. C. D. 8. 下列分式中，最简分式是（ ） A. B. C. D. 9. 如果，那么代数式的值为（ ） A. 1 B. C. D. 10. 若关于的分式方程无解，则的值为（ ） A. 1 B. C. 1或 D. －1或 11. 如图，是的中线，E，F分别是AD和AD延长线上的点，且，连接BF、CE，下列说法： ①和面积相等； ②； ③； ④ ； ⑤． 其中正确的是（　　） A. ①② B. ③⑤ C. ①③④ D. ①④⑤ 12. 如图，在中，，C、D、E三点在同一直线上，连接，以下四个结论：①；②；③；④平分．其中正确的是（　　）． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（本题6个小题，每小题4分，共24分．） 13. 若分式的值为零，则x的值是______． 14. 若，则___________． 15. 已知 则分式 的值是________ 16. 若常数 M， N满足 则 ___________ 17. 如图，，，的延长线交于点，若，则的度数为__________． 18. 观察下列方程： 可以发现它们的解分别是①或2；②或3；③或4，利用上述材料所反映出来的规律，可知关于x的方程 （n为正整数）解___________．（用含n的代数式表示） 三、解答题（本题7个小题，共78分．） 19. 计算： （1） （2） （3） （4） 20. 解分式方程： （1） （2） 21. 化简，再从，，三个数字中选择一个你喜欢的数代入求值． 22. 如图， 点D， E分别在上， 交于点 O， 且，．问： （1）吗?说明理由； （2）吗?说明理由． 23. 有一段全长为720米公路的路面需整改，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时，每天的工作效率比原计划增加，结果提前3天完成这一任务，求原计划每天整改多少米？ 24. 如图，点B、C分别在射线，上，点E，F都在内部的射线上，已知，且． （1）求证：； （2）试判断、、之间的数量关系，并说明理由． 25. 综合与实践 【模型建立】如图1，在正方形中，E，F分别是边上的点，且 ，探究图中线段之间的数量关系． 小明的探究思路如下：延长到点 G，使，连接，先证明，再证明，则之间的数量关系为 ． 【类比探究】如图2，在四边形中， 与 互补，E，F分别是边上的点， 且 那么线段之间具有怎样的数量关系？判断并说明理由． 【拓展应用】如图3，在 中，，D，E在上， 若 那么线段围成的三角形的面积为 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026八年级数学 （上）学情检测二 一、选择题（本题12个小题，每小题4分，共48分．） 1. 下列各式：，，，，其中分式的个数有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了分式的定义．根据分式的定义：即分母中含有字母的式子叫做分式，即可一一判定． 【详解】解：，，都是整式，不是分式， ，是分式，共个； 故选：C． 2. 如果，那么下列比例式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键：如果或，那么，即比例的内项之积与外项之积相等（两内项之积等于两外项之积）；反之，如果，那么或． 将每个选项的比例式转化为等积式，然后逐一判断这些等积式是否与题目中的等式一致即可． 【详解】解：A、 ， ， 故选项符合题意； B、 ， ， 故选项不符合题意； C、， ， 故选项不符合题意； D、， ， 故选项不符合题意； 故选：． 3. 已知图中的两个三角形全等，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，解题的关键是找准对应角． 根据全等三角形的性质进行求解即可． 【详解】解：由图形可知边的夹角的度数为， 根据全等三角形的性质得． 故选：C． 4. 如图，在和中，已知，添加一个条件，不能判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据全等三角形的判定方法对各选项进行判断． 【详解】解：， 当添加时，无法判断，故A选项符合题意； 当添加，则可根据判断，故B选项不符合题意； 当添加，则可根据判断，故C选项不符合题意； 当添加，则，则可根据判断，故D选项不符合题意； 故选：A． 5. 下列命题的逆命题是真命题的是（ ） A. 如果两个角是直角，那么它们相等 B. 若，则 C. 两直线平行，内错角相等 D. 对顶角相等 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了判断命题的真假，分别写出各命题的逆命题，再判断真假即可 【详解】解：如果两个角是直角，那么它们相等的逆命题为：如果两个角相等，那么它们是直角，该命题为假命题，不符合题意； 若，则的逆命题为：若，则；，但，该命题为假命题，不符合题意； 两直线平行，内错角相等的逆命题为：内错角相等，两直线平行；该命题为真命题，符合题意； 对顶角相等的逆命题为：相等的角为对顶角，该命题为假命题，不符合题意； 故选：C 6. 反证法是初中数学中的一种证明方法，在中国古代数学发展的过程中起到了促进作用，比如墨子谈到“学之益也，说在诽者”，是通过证明“学习无益”的命题为假，以此才说明“学习有益”的命题为真，这就是反证法的例子．若我们用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于”，则应先假设（ ） A. 三角形中没有内角大于 B. 三角形中有一个内角大于 C. 三角形中三个内角都大于 D. 三角形中有两个内大于 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了反证法，根据反证法的步骤，然后进行判断即可，解题的关键是掌握反证法的步骤是：（）假设结论不成立；（）从假设出发推出矛盾；（）假设不成立，则结论成立． 【详解】解：用反证法证明“三角形中必有一个内角小于或等于”时，应先假设三角形中每一个内角都不小于或等于，即都大于， 故选：C． 7. 下列式子从左到右变形一定正确的是（　　 ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据分式的基本性质，进行判断即可． 【详解】解：A．，故A选项不符合题意； B．，故B选项不符合题意； C．，故C选项不符合题意； D．，故D选项符合题意， 故选：D． 【点睛】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． 8. 下列分式中，最简分式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用最简分式定义进行分析即可； 【详解】解：、该分式的分子、分母中含有公因式，不是最简分式，故此选项不符合题意； B、该分式的分子、分母中含有公因数，不是最简分式，故此选项不符合题意； C、该分式是最简分式，故此选项符合题意； D、该分式的分子、分母中含有公因式，不是最简分式，故此选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了最简分式的定义：一个分式的分子与分母没有公因式时，这个分式叫做最简分式，解题关键掌握最简分式的定义． 9. 如果，那么代数式的值为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式化简求值，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键． 由可得，根据分式混合运算的顺序，结合式子的特点，先算括号内的加法，再算乘法，然后将分式的计算结果化成最简分式，再将整体代入求值即可． 【详解】解：， ， ， 故选：． 10. 若关于的分式方程无解，则的值为（ ） A. 1 B. C. 1或 D. －1或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了根据分式方程解的情况求参数，分式方程无解的情况有两种：去分母后的整式方程无解，或解出的根是增根．先化简方程，再去分母得到整式方程，然后讨论参数． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 去分母：， 展开：， 移项：， 整理得：． 方程无解时： 当且，即，此时方程左边为0，右边为，整式方程无解； 当解出的根为增根，代入整式方程：，解得． ∴或． 故选C． 11. 如图，是的中线，E，F分别是AD和AD延长线上的点，且，连接BF、CE，下列说法： ①和面积相等； ②； ③； ④ ； ⑤． 其中正确的是（　　） A. ①② B. ③⑤ C. ①③④ D. ①④⑤ 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形中线的定义可得，根据等底等高的三角形的面积相等判断出①正确，然后利用“边角边”证明，根据全等三角形对应边相等可得． 【详解】是的中线， ， ∴和面积相等，故①正确； 在和中， ，故③正确； ，故④正确； 由条件不能得出，故②⑤错误， 正确的结论为：①③④． 故选：C． 【点睛】本题主要考查三角形中线的性质以及全等三角形得到判定与性质，熟练掌握SAS定理判定三角形全等是本题的解题关键． 12. 如图，在中，，C、D、E三点在同一直线上，连接，以下四个结论：①；②；③；④平分．其中正确的是（　　）． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质等知识，正确寻找全等三角形是解题的关键． 先证明，再利用全等三角形的性质逐项判断即可． 【详解】解：∵在中，， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故①正确，，， ∴， ∴，故②正确， ∵， ∴，故③正确， ∵， ∴平分，故④正确． 故选：D． 二、填空题（本题6个小题，每小题4分，共24分．） 13. 若分式的值为零，则x的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】分式的值为零的条件是分子为零且分母不为零，据此求解即可． 【详解】解：∵分式的值为零， ∴且， 解得． 14. 若，则___________． 【答案】## 【解析】 【分析】此题考查了比例的性质，解题的关键是掌握其性质． 根据题意得到，然后代入求解即可． 【详解】解：∵ ∴ ∴． 故答案为：． 15. 已知 则分式 的值是________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，由已知条件 得出 与的关系，再代入所求分式化简求值． 【详解】解：由，得 ，即， ， ， 故答案为：． 16. 若常数 M， N满足 则 ___________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，平方差公式的运用，通过部分分式分解，将右边通分后与左边比较分子，利用系数比较法得到关于M和N的方程组，进而求解的值． 【详解】解：由分式等式 ， 右边通分得：与左边分母相同，故分子相等：， 展开右边：， 因此，得到恒等式：， 比较系数：， 则：， 故答案为：． 17. 如图，，，的延长线交于点，若，则的度数为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质．根据题意证明，得出，结合求得，根据，即可解题． 【详解】解：，， 在与中， ， ， ， ， ， 故答案为：． 18. 观察下列方程： 可以发现它们的解分别是①或2；②或3；③或4，利用上述材料所反映出来的规律，可知关于x的方程 （n为正整数）解___________．（用含n的代数式表示） 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了分式方程，根据题目材料，找出分式方程解的规律是解决本题的关键．通过观察给定方程的解的规律，发现对于方程 ，其解为或，将待解方程中的视为整体，应用上述规律求解即可 【详解】解：，其中， 令，则方程化为， 根据规律，该方程的解为或， 代入，得或，即或， 故答案为：或 三、解答题（本题7个小题，共78分．） 19. 计算： （1） （2） （3） （4） 【答案】（1） （2）a+1 （3）x （4） 【解析】 【分析】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握分式的混合运算规则是解题的关键． （1）先计算积的乘方，再按照分式乘除法即可求解； （2）根据分式乘除法运算法则计算即可； （3）根据分式加减法运算法则计算即可； （4）先对括号里进行通分相减，再把除法运算化为乘法运算，最后计算减法即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 【小问3详解】 解： ； 【小问4详解】 解： ． 20. 解分式方程： （1） （2） 【答案】（1） （2）原分式方程无解 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键，注意验根． （1）根据解分式方程的步骤先去分母，再解整式方程求解即可； （2）根据解分式方程的步骤先去分母，再解整式方程求解即可． 【小问1详解】 解：， 去分母得：， 解得：， 经检验，是原分式方程的解， ∴原分式方程的解为； 【小问2详解】 解：， 去分母得：， 解得：， 经检验，是原分式方程的增根， 所以原分式方程无解． 21. 化简，再从，，三个数字中选择一个你喜欢的数代入求值． 【答案】 当时，原式无意义 当时，原式无意义 当时，原式 【解析】 【分析】本题考查了分式化简求值，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键． 根据分式混合运算的顺序，结合式子的特点，先算括号内的减法，再算除法，将除法转化为乘法后约分即可得出化简结果，然后分别将，，三个数字代入化简结果求值即可． 【详解】解： ， 当时，原式无意义， 当时，原式无意义， 当时，原式． 22. 如图， 点D， E分别在上， 交于点 O， 且，．问： （1）吗?说明理由； （2）吗?说明理由． 【答案】（1）， 证明：在和中， ， ， ； （2），理由如下： ， ， 由（1）知，， 在和中， ， ． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质定理为解题关键． （1）利用证明从而得出结论； （2）利用证明从而得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 23. 有一段全长为720米公路的路面需整改，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时，每天的工作效率比原计划增加，结果提前3天完成这一任务，求原计划每天整改多少米？ 【答案】原计划每天整改40米 【解析】 【分析】本题主要考查了解分式方程的应用，设原计划每天整改米，那么实际每天整改米．根据提前3天完成这一任务为等量关系列出分式方程求解即可得出答案． 【详解】解：设原计划每天整改米，那么实际每天整改米．根据题意得 解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意． 所以，原计划每天整改40米． 24. 如图，点B、C分别在射线，上，点E，F都在内部的射线上，已知，且． （1）求证：； （2）试判断、、之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1） 证明：， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ； （2） 解：，理由如下： 由（1）得：， ，， ， ． 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，线段的和与差等知识点，利用证明是解题的关键． （1）由三角形外角的性质可得，结合，，可得，由三角形外角的性质可得，结合，，可得，结合，利用即可得出结论； （2）由（1）得，于是可得，，由线段之间的和差关系可得，然后利用等量代换即可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 25. 综合与实践 【模型建立】如图1，在正方形中，E，F分别是边上的点，且 ，探究图中线段之间的数量关系． 小明的探究思路如下：延长到点 G，使，连接，先证明，再证明，则之间的数量关系为 ． 【类比探究】如图2，在四边形中， 与 互补，E，F分别是边上的点， 且 那么线段之间具有怎样的数量关系？判断并说明理由． 【拓展应用】如图3，在 中，，D，E在上， 若 那么线段围成的三角形的面积为 ． 【答案】【模型建立】； 【类比探究】；理由如下： 延长至点M，使得，连接，如图2， ∵与互补， ∴． ∵， ， 在和中， ， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ， ∴， ， 在和中， ， ∴， ， ∵， ； 【拓展应用】2 【解析】 【分析】【模型建立】沿着小明的思路，先证，再证，即可得出结论； 【类比探究】延长至点M，使得，连接，先证，再证，即可得出结论； 【拓展应用】将绕点A逆时针旋转得到，连接，则，得，因此，可证得，从而得到，得围成的三角形面积，即可求解． 【详解】解：【模型建立】如图1，延长到点 G，使，连接， ∵四边形是正方形， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 在和中， ， ∴． ∴， ∵， ； 故答案为：； 【类比探究】 略 【拓展应用】将绕点A逆时针旋转得到，连接，如图3， ∴， ∴． ∵， ∴， ∵， ， ∴， ， ∵， ∴围成的三角形面积为的面积． ， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、旋转的性质、正方形的性质以及四边形和三角形面积等知识，解题的关键是添加辅助线，构造全等三角形解决问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $