北京市广渠门中学2025--2026学年九年级上学期期中数学试卷

北京市广渠门中学2025～2026学年度第一学期期中试题 初三年级数学学科 1. 围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有4000多年的历史，2017年5月，世界围棋冠军柯洁与人工智能机器人AlphaGo进行围棋人机大战．截取首局对战棋谱中的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是中心对称的是（ ） A. B. C. D. 2. 用配方法解一元二次方程配方后得到的方程是（ ） A. B. C. D. 3. 在平面直角坐标系中，将抛物线向（ ）平移1个单位，可以得到抛物线． A. 上 B. 下 C. 左 D. 右 4. 我们可以只用圆规将圆等分，例如：将圆六等分，只需在上任取点A，从点A开始，以的半径为半径，在上依次截取点B，C，D，E，F，从而点A，B，C，D，E，F把六等分．下列可以只用圆规将圆等分的是（ ）． ①两等分； ②三等分； ③四等分． A. ② B. ①② C. ①③ D. ①②③ 5. 如图，四边形是的内接四边形，连接，延长至点，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 6. 抖空竹在我国有着悠久的历史，是国家级的非物质文化遗产之一．如图，AC，BD分别与⊙O切于点C，D，延长AC，BD交于点P．若，⊙O的半径为6cm，则图中的长为（ ） A. π cm B. 2π cm C. 3π cm D. 4π cm 7. 已知是关于的二次函数，部分与的对应值如表所示：则当时，的取值范围是 … … … A. B. C. D. 8. 如图，二次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点B，对称轴为直线，下列四个结论：；；；；其中正确结论的个数为（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 二、填空题（每题2分，共16分） 9. 在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点是________． 10. 已知二次函数满足条件：①有最大值；②它的图象经过点，写出一个满足上述所有条件的二次函数的解析式________________． 11. 若关于x的函数的图象与坐标轴有两个交点，则m的取值范围为______． 12. 如图，一块含角的直角三角板绕点C顺时针旋转到，当在射线延长线上时，直线与直线相交所得钝角度数为______°． 13. 如图，、分别切于A、B两点，并与的另一条切线分别相交于C、D两点，已知，则的周长为______． 14. 小明热爱研究鸟类，每年定期去北京各个湿地公园观鸟．从他的观鸟记录年度总结中摘取部分数据如上面表格所示，设小明从2020年到2022年观测鸟类种类数量的年平均增长率为x，可列方程为______． 观鸟记录年度总结 2020年：观测鸟类150种 2021年：观测鸟类 2022年：观测鸟类216种 15. 已知点，，都在二次函数的图象上，则，，的大小关系用“”连接的结果为________． 16. 已知，点满足，作射线，使得，作于点，则长的最大值是______． 三、解答题（共68分） 17. 解方程： （1） （2）． 18. 有一种叫云南的生活：冬日暖阳，倚桥观鸥，滇朴倒影，如诗如画．如图1，大观河上的这座圆弧形拱桥建于上世纪70年代．图2是拱桥的示意图．设所在圆的圆心为，拱桥的拱顶为点，于点．已知此拱桥的跨径长约为16m，拱高约为5m．求此拱桥所在圆的半径． 19. 下面是小芸设计的“过圆外一点作已知圆的切线”的尺规作图过程． 已知：⊙O及⊙O外一点P． 求作：⊙O的一条切线，使这条切线经过点P． 作法：①连接OP，作OP的垂直平分线l， 交OP于点A； ②以A为圆心，AO为半径作圆， 交⊙O于点M； ③作直线PM，则直线PM即为⊙O的切线． 根据小芸设计的尺规作图过程， （1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） （2）完成下面的证明： 证明：连接OM， 由作图可知，A为OP中点， ∴OP为⊙A直径， ∴∠OMP＝　 　°，（　 　）（填推理的依据） 即OM⊥PM． 又∵点M在⊙O上， ∴PM是⊙O的切线．（　 　）（填推理的依据） 20. 如图，已知抛物线经过，B两点． （1）求抛物线的解析式和顶点坐标； （2）当时，直接写出y的取值范围； （3）P为抛物线上一点，若，求出此时点P的坐标． 21. 如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点，，均在格点上，的位置如图所示（每个小方格都是边长1个单位长度的正方形）． （1）画出绕原点逆时针旋转得到的； （2）直接写出线段在（1）的旋转中扫过的面积为多少？ 22. 如图所示的是2025年1月的日历表，用虚线方框按如图所示的方法任意圈出四个数，请解答下列问题． （1）若虚线方框中最大数与最小数的乘积为180，求最小数． （2）虚线方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和能为80吗？若能，请求出最小数；若不能，请说明理由． 23. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若，且该方程的两个实数根的差为，求的值． 24. 如图，，是的弦，平分．过点作的切线交的延长线于点，连接，．延长交于点，交于点，连接，． （1）求证：是的切线； （2）若，求的长． 25. 如图，某广场要建一个圆形喷水池，在池中心O处竖直放置一根水管，在水管的顶端A处安装一个喷水头，喷出的水柱是抛物线的一部分，已知落水点B到池中心O的距离为8米． （1）写出水柱离水面（x轴）的最大高度，并求水管的长度； （2）若在喷水池中竖直放置一盏高为米的景观射灯，且景观射灯的顶端F恰好碰到水柱，求景观射灯与池中心的水平距离； （3）现计划扩建喷水池，升高水管，使落水点到池中心的距离为10米，已知水管升高后，喷水头喷出的水柱形状和对称轴不变，求水管要升高多少米？ 26. 在平面直角坐标系中，抛物线与直线相交于点O和点． （1）请用含a的式子表示m和b； （2）过点作x轴的垂线，交抛物线于点M． ①若，，直接写出的面积； ②已知在点P从点O运动到点的过程中，的面积随的长增大而增大，求a的取值范围． 27. 如图，在中，，是线段延长线上一点，连接，过点作于． （1）求证：； （2）将射线绕点顺时针旋转后，所得的射线与线段的延长线交于点，连接． ①依题意补全图形； ②用等式表示线段之间的数量关系，并证明． 28. 在平面直角坐标系中，的半径为1．对于两点A和B，其中点A在上．给出如下定义：若线段的垂直平分线与相交，且两交点之间的距离为d，则称点B是点A的“d关联点”． （1）如图1，点． ①在点，，中，点______是点A的“d关联点”，其中d=______； ②若点C是点A的“1关联点”，则点C的横坐标的最大值为______； （2）直线与x轴，y轴分别交于点M，N．对于线段MN上任意一点P，都存在上的点Q，使得点P是点Q的“t关联点”，直接写出t的取值范围． 北京市广渠门中学2025～2026学年度第一学期期中试题 初三年级数学学科 【1题答案】 【答案】A 【2题答案】 【答案】D 【3题答案】 【答案】C 【4题答案】 【答案】B 【5题答案】 【答案】D 【6题答案】 【答案】B 【7题答案】 【答案】B 【8题答案】 【答案】C 二、填空题（每题2分，共16分） 【9题答案】 【答案】 【10题答案】 【答案】（答案不唯一） 【11题答案】 【答案】 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 【15题答案】 【答案】 【16题答案】 【答案】## 三、解答题（共68分） 【17题答案】 【答案】（1）， （2），． 【18题答案】 【答案】8.9m 【19题答案】 【答案】（1）补图见解析；（2）证明见解析. 【20题答案】 【答案】（1）， （2） （3）或 【21题答案】 【答案】（1）见解析 （2） 【22题答案】 【答案】（1）最小数为10 （2）方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和不能为80，理由见解析 【23题答案】 【答案】（1）证明见解析 （2） 【24题答案】 【答案】（1）见解析；（2） 【25题答案】 【答案】（1）水管的长度为米 （2）景观射灯与池中心的水平距离为7米 （3）水管要升高米 【26题答案】 【答案】（1）； （2）①；②且 【27题答案】 【答案】（1） 证明：如图1， ∵ ∴， ∵， ∴． （2） ①补全图形如图2． ②， 证明：在上截取，使， ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴ ∵射线绕点顺时针旋转后与线段的延长线交于点，且， ∴． 【28题答案】 【答案】（1）①，；②； （2） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $