期中备考——解方程与韦达定理 基础训练 2025-2026学年人教版数学九年级上册

期中备考——解方程与韦达定理 基础训练 （一）解方程练习 1．解方程： （1）x2﹣x﹣2＝0； （2）3x（2x+1）＝4x+2． 2．按要求解下列方程． （1）x2﹣5x＝0．（因式分解法） （2）x2﹣4x﹣3＝0．（公式法） 3．解方程： （1）x2﹣5x+6＝0； （2）3x2+4x﹣2＝0（用公式法）． 4．解方程 （1）x（x﹣1）＝1﹣x； （2）2x2﹣4x﹣5＝0； 5．解方程： （1）； （2）（3x+2）（x+3）＝4（x+1）． 6．解方程： （1）x2﹣2x﹣3＝0； （2）2x2+x﹣2＝0． 7．解方程： （1）x2﹣3x﹣28＝0； （2）2x（5x﹣1）＝15x﹣3； （3）x2﹣7x+11＝0； （4）3x2+5x+7＝0． 8．选择适当方法解下列方程： （1）（2x+1）2＝9； （2）2x2﹣4x﹣5＝0． 9．解方程： （1）x2﹣4x﹣5＝0； （2）． 10．解关于x或y的方程： （1）x2﹣x﹣12＝0； （2）2y（2+y）＝﹣（y+2）． （二）韦达定理运用 11．阅读理解材料：已知实数m，n满足m2﹣m﹣1＝0，n2﹣n﹣1＝0，且m≠n，求的值． 解：由题意知m，n是方程x2﹣x﹣1＝0的两个不相等的实数根， 根据一元二次方程根与系数的关系得m+n＝1，mn＝﹣1， ∴． 解决以下问题： （1）方程x2﹣4x﹣3＝0的两个实数根为x1，x2，则x1+x2　 　 ，x1x2＝ 　 　 ． （2）已知实数m，n满足m2﹣3m+1＝0，n2﹣3n+1＝0，且m≠n，求的值． 12．已知关于x的一元二次方程x2+5x﹣2m＝0有两个不相等的实数根． （1）求m的取值范围； （2）若m＝2，求． 13．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+1＝0 （1）若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围； （2）若x＝3是方程的一个根，求证：k4﹣2k2+1＝20k2﹣48． 14．已知关于x的一元二次方程ax2+2x﹣a﹣2＝0（a≠0）． （1）求证：该方程总有实数根； （2）若方程的两个根分别为x1，x2，则（x1﹣1）（x2﹣1）的值是 　 　 ． 15．阅读材料： 材料1：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根为x1，x2，则，； 材料2：已知一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根分别为m，n，求m2n+mn2的值． 解：∵一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根分别为m，n， ∴m+n＝1，mn＝﹣1， 则m2n+mm2＝mn（m+n）＝﹣1×1＝﹣1 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： （1）材料理解：一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0的两个根为x1，x2，则x1+x2＝　 　 ，x1x2＝　 　 ． （2）初步体验：已知一元二次方程x2﹣3x﹣1＝0的两根分别为m、n，求的值． （3）类比应用：已知实数s、t满足s2﹣3s﹣1＝0，t2﹣3t﹣1＝0，且s≠t，求的值． 16．已知关于x的一元二次方程x2+（m+4）x+m+3＝0． （1）求证：无论m取何值，方程总有实数根； （2）若x1，x2是方程的两根，且2x1+2x2＝3x1x2+3，求m的值． 17．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k﹣3）x+k2﹣2＝0有实数根． （1）求k的取值范围． （2）若方程的两个实数根为x1，x2，且，求k的值． 18．已知关于x的方程x2﹣（k+4）x+2k+4＝0． （1）求证：无论k为何值，方程总有实数根； （2）若方程的两个实数根为x1，x2，求代数式（x1﹣2）（x2﹣2）的值． 19．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+m﹣2＝0． （1）求证：不论m取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程有两个实数根为x1，x2，且x1+x2+3x1x2＝1，求m的值． 20．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m+3）x+m2+2＝0． （1）若方程有实数根，求实数m的取值范围； （2）若方程两实数根分别为x1、x2，且满足，求实数m的值． （参考结论：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根为x1，x2，则，） 参考答案 1．解：（1）x2﹣x﹣2＝0， 因式分解可得（x﹣2）（x+1）＝0， 解得x1＝2，x2＝﹣1； （2）3x（2x+1）＝4x+2， 移项可得：3x（2x+1）﹣（4x+2）＝0， 因式分解可得3x（2x+1）﹣2（2x+1）＝0， （2x+1）（3x﹣2）＝0， 解得． 2．解：（1）x2﹣5x＝0， x（x﹣5）＝0， ∴x＝0或x﹣5＝0， x1＝0，x2＝5； （2）x2﹣4x﹣3＝0， ∵a＝1，b＝﹣4，c＝﹣3， ∴b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×1×（﹣3）＝16+12＝28＞0， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴，． 3．解：（1）x2﹣5x+6＝0， ∴（x﹣2）（x﹣3）＝0， ∴x﹣2＝0或x﹣3＝0， 解得x＝2或x＝3； （2）∵a＝3，b＝4，c＝﹣2， ∴Δ＝42﹣4×3×（﹣2）＝40， ∴， 解得． 4．解：（1）x（x﹣1）＝1﹣x， x（x﹣1）+（x﹣1）＝0， （x﹣1）（x+1）＝0， 则x﹣1＝0或x+1＝0， 所以x1＝1，x2＝﹣1． （2）2x2﹣4x﹣5＝0， Δ＝（﹣4）2﹣4×2×（﹣5）＝56＞0， 则x， 所以，． 5．解：（1）原方程可化为：， ∴， 即， 即， ∴，； （2）方程整理得：3x2+7x+2＝0， ∴b2﹣4ac＝72﹣4×3×2＝25＞0， ∴， ∴x1＝﹣2，． 6．解：（1）原方程分解因式可得（x+1）（x﹣3）＝0， 解得x1＝﹣1，x2＝3； （2）∵a＝2，b＝1，c＝﹣2， ∴b2﹣4ac＝12﹣4×2×（﹣2）＝17， ∴， ∴，． 7．解：（1）x2﹣3x﹣28＝0， （x﹣7）（x+4）＝0， 解得：x1＝7，x2＝﹣4； （2）2x（5x﹣1）＝15x﹣3， 2x（5x﹣1）﹣3（5x﹣1）＝0， （5x﹣1）（2x﹣3）＝0， 解得：，； （3）a＝1，b＝﹣7，c＝11， b2﹣4ac＝（﹣7）2﹣4×1×11＝5， ， 解得：，； （4）a＝3，b＝5，c＝7， b2﹣4ac＝52﹣4×3×7＝﹣59＜0， ∴方程无解． 8．解：（1）由题意得，2x+1＝±3， ∴x1＝1，x2＝﹣2； （2）由题意得，2x2﹣4x＝5， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，． 9．解：（1）x2﹣4x﹣5＝0， （x+1）（x﹣5）＝0， x+1＝0或x﹣5＝0， 解得x1＝﹣1，x2＝5； （2）， ， ， ， ， 解得，． 10．解：（1）x2﹣x﹣12＝0， （x﹣4）（x+3）＝0， 解得x1＝4，x2＝﹣3． （2）2y（2+y）＝﹣（y+2）， 移项得2y（2+y）+（y+2）＝0， （2y+1）（2+y）＝0， 解得，y2＝﹣2． 11．解：（1）∵方程x2﹣4x﹣3＝0的两个实数根为x1，x2， ∴，． 故答案为：4，﹣3； （2）∵m2﹣3m+1＝0，n2﹣3n+1＝0，且m≠n， ∴m+n＝3＞0，mn＝1＞0． ∴m，n均为正数， ∴． ∴． 12．解：（1）Δ＝b2﹣4ac＝52﹣4×1×（﹣2m）＝25+8m＞0， 解得． （2）当m＝2时，方程为x2+5x﹣4＝0， ∴x1+x2＝﹣5，x1x2＝﹣4， ∴． 13．解：（1）由条件可知Δ＝[﹣（2k+1）]2﹣4（k2+1）＞0，即4k﹣3＞0， 解得， 故k的取值范围为； （2）证明：由条件可知32﹣3（2k+1）+k2+1＝0，则k2﹣6k＝﹣7，k2＝6k﹣7， ∴k4﹣2k2+1＝（k2﹣1）2 ＝（6k﹣8）2 ＝36k2﹣96k+64 ＝36（6k﹣7）﹣96k+64 ＝216k﹣252﹣96k+64 ＝120k﹣188， 20k2﹣48＝20（6k﹣7）﹣48 ＝120k﹣140﹣48 ＝120k﹣188， ∴k4﹣2k2+1＝20k2﹣48． 14．（1）证明：∵Δ＝22﹣4a（﹣a﹣2） ＝4a2+8a+4 ＝4（a+1）2≥0， ∴该方程总有实数根； （2）解：根据根与系数的关系得x1+x2，x1x2， （x1﹣1）（x2﹣1）＝x1x2﹣（x1+x2）+1（）+1＝﹣11＝0． 故答案为：0． 16．（1）证明：由题意得，Δ＝（m+4）2﹣4（m+3） ＝m2+8m+16﹣4m﹣12 ＝m2﹣4m+4 ＝（m﹣2）2≥0， ∴无论m取何值，方程总有实数根； （2）解：由条件可得x1+x2＝﹣（m+4）＝﹣m﹣4，x1x2＝m+3， ∵2x1+2x2＝3x1x2+3， ∴2（x1+x2）＝3x1x2+3， ∴2（﹣m﹣4）＝3（m+3）+3， 解得m＝﹣4． 17．解：（1）由题意，∵方程x2﹣（2k﹣3）x+k2﹣2＝0有实数根， ∴Δ＝[﹣（2k﹣3）]2﹣4（k2﹣2） ＝4k2﹣12k+9﹣4k2+8 ＝﹣12k+17≥0． ∴． （2）由题意得，， ∵， ∴ ＝4k2﹣12k+9﹣2k2+4＝3． ∴k1＝1，k2＝5． ∵， ∴k＝1． 18．（1）证明：Δ＝[﹣（k+4）]2﹣4（2k+4） ＝k2+8k+16﹣8k﹣16 ＝k2， ∵k2≥0， ∴Δ≥0， ∴该方程总有两个实数根； （2）解：∵该方程的两个实数根为x1，x2， ∴x1+x2＝k+4，x1•x2＝2k+4， ∴（x1﹣2）（x2﹣2） ＝x1•x2﹣2x1﹣2x2+4 ＝x1•x2﹣2（x1+x2）+4 ＝2k+4﹣2（k+4）+4 ＝2k+4﹣2k﹣8+4 ＝0． 19．（1）证明：∵Δ＝[﹣（2m+1）]2﹣4×1×（m﹣2） ＝4m2+4m+1﹣4m+8 ＝4m2+9＞0， ∴无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根； （2）解：由根与系数的关系，得x1+x2＝2m+1，x1x2＝m﹣2， 由x1+x2+3x1x2＝1，得2m+1+3（m﹣2）＝1， 解得m． 20．解：（1）根据题意得（2m+3）2﹣4（m2+2）≥0， 解得； （2）∵， ∴，即， ∴（2m+3）2﹣3（m2+2）﹣31＝0， 整理得m2+12m﹣28＝0， 解得m1＝﹣14，m2＝2，而； 所以m＝2． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/11/4 23:50:11；用户：18665925436；邮箱：18665925436；学号：24335353 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $