21.2.2解一元二次方程：公式法（题型专练）数学人教版九年级上册

21.2.2解一元二次方程：公式法 题型一、一元二次方程求根公式的认识 1．（2024秋•梁山县期末）用公式法解一元二次方程时，化方程为一般式，当中的，，依次为　　 A．3，，8 B．3，4，8 C．3，4， D．3，， 2．（2024秋•确山县校级月考）下列各项中，以为根的一元二次方程可能是　　 A． B． C． D． 3．（2025春•淄川区期中）若可以表示某个一元二次方程的根，则这个一元二次方程为　　 A． B． C． D． 题型二、用公式法解一元二次方程 4．用公式法解方程： （1）； （2）； （3）． 5．用公式法解下列方程： （1）； （2）； （3）． 6．用公式法解下列方程． （1）； （2）； （3）． 题型三、不解一元二次方程判断根的情况 7．（2024秋•吴桥县期末）一元二次方程的根的情况为　　 A．没有实数根 B．有两个相等实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法判断 8．（2024秋•赛罕区期中）下列一元二次方程中，有两个相等的实数根的方程是　　 A． B． C． D． 9．（2025•商水县一模）关于的方程的根的情况是　　． A．没有实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．无法确定 题型四、已知一元二次方程根的情况求参数范围 10．（2024•昂仁县一模）若关于的方程无实数根，则实数的取值范围为　　 A． B． C． D． 11．（2024秋•天府新区期末）已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为 　　． 12．（2025•中原区校级三模）若关于的方程有两个实数根，则的取值范围为 　　 ． 题型五、判别式的有关计算与证明 13．（2024秋•沁水县期末）关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程有一个根为1，求的值． 14．（2023•西城区二模）关于的方程有实数根，且为正整数，求的值及此时方程的根． 15．（2024秋•和县期末）已知关于的一元二次方程． （1）若是方程的一个根，求实数的值； （2）求证：方程总有两个不相等的实数根． 16．（2023春•延庆区期末）关于的方程有两个实数根． （1）求的取值范围； （2）当为正整数时，求此时方程的根． 题型一、在用判别式时，二次项系数含有参数 17．（2024秋•赵县月考）已知关于的方程． （1）求证：无论取何值，方程总有实数根． （2）若方程的根为整数，求的值． 18．（2024秋•市北区校级月考）已知关于的一元二次方程有实数根，求的取值范围． 19．（2023春•建邺区校级期末）若关于的方程有实数根．求的取值范围． 20．（2024秋•赣州期末）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）若为正整数，求此时方程的根． 题型二、判别式与几何问题 21．（2024秋•越秀区校级期中）若关于的一元二次方程． （1）若方程有两个实数根，求的取值范围． （2）已知等腰三角形的一边长是1，另两边长是该方程的两根，求的周长． 22．（2024春•丰城市校级期中）已知关于的一元二次方程，其中，，分别是的三边的长度． （1）如果是等边三角形，求这个一元二次方程的根； （2）如果是以为斜边的直角三角形，判断这个一元二次方程根的情况，并说明理由． 23．（2025春•济宁期中）已知关于的方程． （1）求证：无论取何值，此方程总有实数根； （2）若等腰△的一边长，另两边、恰好是这个方程的两个根，求这个等腰三角形的周长是多少？ 24．（2024秋•鄄城县期中）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围　　 A． B．且 C．且 D． 25．（2024春•莱西市月考）若关于的方程有实数根，则的取值范围是　　 A． B．且 C． D．且 26．（2024秋•榆阳区校级期中）已知关于的一元二次方程．求证：无论取何值，这个方程总有实数根． 27．（2024•望奎县模拟）关于的方程有两个不相等的实数根，求的取值范围． 28．（2025春•新泰市期中）已知关于的一元二次方程，其中，，分别为△三边的长． （1）若该△是等边三角形，求该方程的根； （2）若该一元二次方程有两个相等的实数根，判断△的形状，并说明理由． 29．（2024秋•天河区期末）关于的一元二次方程有实数根． （1）求的取值范围； （2）如果是符合条件的最大整数，且一元二次方程与方程有一个相同的根，求此时的值． 30．（2023春•丰城市校级期末）已知关于的一元二次方程． （1）求证：该一元二次方程总有两个不相等的实数根； （2）若该方程的两个根，是一个矩形的一边长和对角线的长，且矩形的另一边长为5，试求的值． 31．（2024秋•中宁县校级期末）已知关于的方程． （1）求证：方程一定有两个实数根； （2）若方程的两个实数根都是整数，求正整数的值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 21.2.2解一元二次方程：公式法 题型一、一元二次方程求根公式的认识 1．（2024秋•梁山县期末）用公式法解一元二次方程时，化方程为一般式，当中的，，依次为　　 A．3，，8 B．3，4，8 C．3，4， D．3，， 【答案】 【分析】整理为一般式即可得出答案． 【详解】， ， 则，，． 故选：． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，解题的关键是掌握如何找二次项系数，一次项系数和常数项． 2．（2024秋•确山县校级月考）下列各项中，以为根的一元二次方程可能是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】利用公式法求解即可． 【详解】利用公式法可知： ．，故不符合题意． ．，故不符合题意． ．，故不符合题意． ．，故符合题意． 故选：． 【点睛】本题考查公式法求一元二次方程，解题的关键是求根公式． 3．（2025春•淄川区期中）若可以表示某个一元二次方程的根，则这个一元二次方程为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据一元二次方程的求根公式，即可解答． 【详解】可以表示一元二次方程的根， ，，， 这个一元二次方程可以是， 故选：． 【点睛】本题考查了解一元二次方程公式法，熟练掌握一元二次方程的求根公式是解题的关键． 题型二、用公式法解一元二次方程 4．用公式法解方程： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1），； （2）方程没有实数解； （3），． 【分析】（1）先计算出根的判别式的值得到△，然后利用求根公式得到方程的解； （2）先把方程化为一般式，再计算出根的判别式的值得到△，然后利用根的判别式的意义判断方程没有实数解； （3）先把方程化为一般式，再计算出根的判别式的值得到△，然后利用求根公式得到方程的解． 【详解】（1）， ，，， △， ， ，； （2）， 方程化为一般式为， ，，， △， 方程没有实数解； （3）， 方程化为一般式为， ，，， △， ， ，． 【点睛】本题考查了解一元二次方程公式法：熟练掌握用公式法解一元二次方程的一般步骤是解决问题的关键．也考查了直接开平方法解一元二次方程． 5．用公式法解下列方程： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）； （2）； （3），． 【分析】（1）把，，代入求根公式计算即可； （2）把，，代入求根公式计算即可； （3）把，，代入求根公式计算即可． 【详解】（1）， ，，， △， ， ； （2）， ，，， △， ， ； （3）， ，，， △， ， ，． 【点睛】本题考查利用公式法解一元二次方程，熟练掌握求根公式是解本题的关键，属基础题． 6．用公式法解下列方程． （1）； （2）； （3）． 【分析】（1）去括号，移项方程化为一般式为：，然后把，，代入求根公式计算即可； （2）把，，代入求根公式计算即可； （3）把，，代入求根公式计算即可． 【详解】（1）去括号，移项方程化为一般式为：， ，，， ， ，； （2），，， ， ， ，； （3），，， ， ， ，． 【点睛】本题考查了一元二次方程，，，为常数）的求根公式：． 题型三、不解一元二次方程判断根的情况 7．（2024秋•吴桥县期末）一元二次方程的根的情况为　　 A．没有实数根 B．有两个相等实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法判断 【答案】 【分析】当△时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当△时，一元二次方程有两个相等的实数根；当△时，一元二次方程没有实数根．求出根的判别式即可得出结论． 【详解】由条件可知△， 方程没有实数根． 故选：． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式△与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键． 8．（2024秋•赛罕区期中）下列一元二次方程中，有两个相等的实数根的方程是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】判断方程的根的情况，只要看根的判别式△的值的符号就可以了．有两个相等实数根的一元二次方程就是判别式的值是0的一元二次方程． 【详解】、△，该方程有两个不相等的实数根．故本选项不符合题意； 、△，该方程有两个相等的实数根．故本选项符合题意； 、△，该方程无实数根．故本选项不符合题意； 、△，该方程有两个不相等的实数根．故本选项不符合题意； 故选：． 【点睛】此题主要考查了根的判别式．总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△方程有两个不相等的实数根；（2）△方程有两个相等的实数根；（3）△方程没有实数根． 9．（2025•商水县一模）关于的方程的根的情况是　　． A．没有实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．无法确定 【答案】 【分析】根据一元二次方程根的判别式可得，再根据结果可得结论． 【详解】由条件可得， 这个一元二次方程有两个不相等的实数根． 故选：． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握该知识点是关键． 题型四、已知一元二次方程根的情况求参数范围 10．（2024•昂仁县一模）若关于的方程无实数根，则实数的取值范围为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】由关于的方程无实数根，可得△，即，即可解得答案． 【详解】关于的方程无实数根， △，即， 解得； 故选：． 【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程无实数根的条件：△． 11．（2024秋•天府新区期末）已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为 　　． 【答案】． 【分析】根据二次方程的定义以及判别式的值，构建方程求解． 【详解】关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ， 解得． 故答案为：． 【点睛】本题考查根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程的根与△有如下关系： ①当△时，方程有两个不相等的两个实数根； ②当△时，方程有两个相等的两个实数根； ③当△时，方程无实数根． 12．（2025•中原区校级三模）若关于的方程有两个实数根，则的取值范围为 　且　 ． 【答案】且． 【分析】根据一元二次方程的定义个根的判别式的意义得到且△，然后求出两个不等式的公共部分即可． 【详解】根据题意得且△， 解得且， 即的取值范围为且． 故答案为：且． 【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与△有如下关系：当△时，方程有两个不相等的实数根；当△时，方程有两个相等的实数根；当△时，方程无实数根． 题型五、判别式的有关计算与证明 13．（2024秋•沁水县期末）关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程有一个根为1，求的值． 【分析】（1）求出△，再根据根的判别式得出答案即可； （2）把代入方程得出，再求出方程的解即可． 【解答】（1）证明：， △， 不论为何值，， △， 方程总有两个实数根； （2）把代入关于的一元二次方程，得． 解得． 【点睛】本题考查了根的判别式：已知一元二次方程、、为常数，，①当△时，方程有两个不相等的实数根，②当△时，方程有两个相等的实数根，③当△时，方程没有实数根． 14．（2023•西城区二模）关于的方程有实数根，且为正整数，求的值及此时方程的根． 【答案】，． 【分析】直接利用根的判别式得出的取值范围，求得，进而解方程得出答案． 【详解】关于的方程有实数根， ， ， 解得：， 为正整数， ， 原方程可化为， 解得：，． 【点睛】此题主要考查了根的判别式，正确得出的值是解题关键． 15．（2024秋•和县期末）已知关于的一元二次方程． （1）若是方程的一个根，求实数的值； （2）求证：方程总有两个不相等的实数根． 【答案】（1）； （2）证明过程见解答． 【分析】（1）把方程的一个根代入，计算即可求的值； （2）根据关于的一元二次方程的根的判别式△的符号来判定该方程的根的情况． 【解答】（1）解：将代入原式，得； 解得； （2）证明：△， 原方程总有两个不相等的实数根； 【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义，根的判别式．一元二次方程，，，为常数）的根的判别式为△．当△，方程有两个不相等的实数根；当△，方程有两个相等的实数根；当△，方程没有实数根． 16．（2023春•延庆区期末）关于的方程有两个实数根． （1）求的取值范围； （2）当为正整数时，求此时方程的根． 【答案】（1）； （2）． 【分析】（1）由方程有两个实数根可知△，代入计算即可求解； （2）根据为正整数结合（1）中的结论，可得，再解方程即可． 【详解】（1）关于的方程有两个实数根， △， 解得：； （2）由（1）可知，， 为正整数， ， 原方程为， 解得：． 【点睛】本题主要考查根的判别式、解一元二次方程，解题关键是熟知一元二次方程的根与△有如下关系：①当△时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△时，方程有两个相等的两个实数根；③当△时，方程无实数根． 题型一、在用判别式时，二次项系数含有参数 17．（2024秋•赵县月考）已知关于的方程． （1）求证：无论取何值，方程总有实数根． （2）若方程的根为整数，求的值． 【答案】（1）见解答； （2）或或． 【分析】（1）首先此题的方程并没有明确是一次方程还是二次方程，所以要分类讨论： ①，此时方程为一元一次方程，经计算可知一定有实数根； ②，此时方程为一元二次方程，可利用根的判别式，结合非负数的性质进行证明． （2）求出方程的两个根，再讨论即可． 【详解】（1）当时，方程为，此时方程有根． 当时，原方程为一元二次方程． △， 此时方程有两个实数根． 综上所述，无论为任何实数，方程总有实数根； （2）△， ， ，． 方程的根为整数， 是整数， 或或． 【点睛】本题考查根的判别式和解一元二次方程的应用，解答中涉及分类讨论思想，能正确运用相关知识是解题的关键． 18．（2024秋•市北区校级月考）已知关于的一元二次方程有实数根，求的取值范围． 【分析】当且△，然后解两个不等式求出它们的公共部分即可． 【详解】当且△时，方程有两个实数根，解得且， 即的取值范围为且． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式△：当△，方程有两个不相等的实数根；当△，方程有两个相等的实数根；当△，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义． 19．（2023春•建邺区校级期末）若关于的方程有实数根．求的取值范围． 【答案】见试题解答内容 【分析】要分类讨论：若，而，原方程变为一元一次方程，有解；当，且△，即△，方程有实数根，得到且，最后综合得到的取值范围． 【详解】当，即，并且，所以原方程变为一元一次方程，有解，满足条件； 当，且△，即△，方程有实数根， 解两个不等式得且； 综上所述，的取值范围为． 【点睛】本题考查了一元二次方程，，，为常数）根的判别式△．当△，方程有两个不相等的实数根；当△，方程有两个相等的实数根；当△，方程没有实数根．同时考查了一元一次方程和一元二次方程的定义以及分类讨论思想的运用． 20．（2024秋•赣州期末）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）若为正整数，求此时方程的根． 【答案】（1）且；（2），． 【分析】（1）由关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义可得且△，即，两个不等式的公共解即为的取值范围； （2）求出的值，解方程即可解答． 【详解】（1）由题意得△且， 所以且； （2），且，为正整数， ， 方程为， △ ，． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式△：当△，方程有两个不相等的实数根；当△，方程有两个相等的实数根；当△，方程没有实数根；也考查了解一元二次方程． 题型二、判别式与几何问题 21．（2024秋•越秀区校级期中）若关于的一元二次方程． （1）若方程有两个实数根，求的取值范围． （2）已知等腰三角形的一边长是1，另两边长是该方程的两根，求的周长． 【答案】（1）． （2）5． 【分析】（1）根据根的判别式△，即可求出的取值范围； （2）分1为腰与1为底两种情况，求出方程的解，即可求出周长． 【详解】（1）方程有两个实数根， △， ， 的取值范围． （2）若1是腰，则为已知方程的解， 将代入方程得：，即方程为， 解得：或， 此时三角形三边为1，1，3，不合题意，舍去； 若1是底时，另两边长是该方程的两根， 即，方程为， 解得：， 此时三角形三边长为1，2，2， 周长为． 【点睛】此题考查了根的判别式，熟练掌握根的判别式的意义是解本题的关键． 22．（2024春•丰城市校级期中）已知关于的一元二次方程，其中，，分别是的三边的长度． （1）如果是等边三角形，求这个一元二次方程的根； （2）如果是以为斜边的直角三角形，判断这个一元二次方程根的情况，并说明理由． 【答案】（1），； （2）原方程有两个不相等的实数解，理由见解析． 【分析】（1）根据是等边三角形，得出，进而解一元二次方程，即可求解； （2）根据勾股定理得出，进而计算一元二次方程根的判别式，即可求解． 【详解】（1）是等边三角形， ， ， 即， 解得：，； （2）原方程有两个不相等的实数解 理由：是以为斜边的直角三角形， ，， ， △ 原方程有两个不相等的实数解 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，勾股定理； 23．（2025春•济宁期中）已知关于的方程． （1）求证：无论取何值，此方程总有实数根； （2）若等腰△的一边长，另两边、恰好是这个方程的两个根，求这个等腰三角形的周长是多少？ 【答案】（1）见解答； （2）10． 【分析】（1）先计算判别式的值得到△，配方得到△，根据非负数的性质易得△，则根据判别式的意义即可得到结论； （2）分类讨论：当时，则△，解得，然后解方程得到，根据三角形三边关系可判断这种情况不符合条件；当或时，把代入方程可解得的值，则代入方程可解答． 【解答】（1）证明：△ ， ， ，即△， 无论取何值，此方程总有实数根； （2）解：①当时，△， 解得， 方程化为，解得， ， 此种情况不成立； ②当或时，把代入方程得， 解得：， 方程化为，解得，， 即三边为4，4，2，能够成三角形， 则周长， 所以这个等腰三角形的周长是10． 【点睛】本题考查了根的判别式：用一元二次方程根的判别式△判断方程的根的情况：当△时，方程有两个不相等的两个实数根；当△时，方程有两个相等的两个实数根；当△时，方程无实数根．也考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系． 24．（2024秋•鄄城县期中）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围　　 A． B．且 C．且 D． 【答案】 【分析】根据关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，得△，从而可以列出关于的不等式，求解即可，还要考虑二次项的系数不能为0． 【详解】由题意可得：△，且， 解得，且， 故选：． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握根的判别式是解题的关键． 25．（2024春•莱西市月考）若关于的方程有实数根，则的取值范围是　　 A． B．且 C． D．且 【答案】 【分析】分和且△两种情况讨论，据此求解即可． 【详解】当时，方程为，解得，方程有实数根； 当时，关于的一元二次方程有实数根， △， 解得． 综上，时，关于的方程有实数根． 故选：． 【点睛】本题考查了根的判别式，掌握根的判别式是关键． 26．（2024秋•榆阳区校级期中）已知关于的一元二次方程．求证：无论取何值，这个方程总有实数根． 【答案】见解析． 【分析】计算根的判别式的值得到△，利用非负数的意义得到△，然后根据判别式的意义得到结论； 【解答】证明：△ ， 不论为何值时，方程总有实数根． 【点睛】本题主要考查根的判别式，一元二次方程的根与△有如下关系： ①当△时，方程有两个不相等的实数根； ②当△时，方程有两个相等的实数根； ③当△时，方程无实数根． 27．（2024•望奎县模拟）关于的方程有两个不相等的实数根，求的取值范围． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据一元二次方程的根的判别式，建立关于的不等式，求出的取值范围． 【详解】，，，方程有两个不相等的实数根， △， ． 又二次项系数不为0， 即且． 【点睛】本题考查了根的判别式：（1）一元二次方程根的情况与判别式△的关系： ①△方程有两个不相等的实数根； ②△方程有两个相等的实数根； ③△方程没有实数根． （2）一元二次方程的二次项系数不为0 28．（2025春•新泰市期中）已知关于的一元二次方程，其中，，分别为△三边的长． （1）若该△是等边三角形，求该方程的根； （2）若该一元二次方程有两个相等的实数根，判断△的形状，并说明理由． 【答案】（1），； （2）直角三角形，理由见解析． 【分析】（1）根据等边三角形的性质可得，继而可将方程化简，再进行求解即可； （2）根据题意可知根的判别式的值为0，再根据勾股定理的逆定理即可求解． 【详解】（1）当△是等边三角形时，， 原方程可化为：，即， ， ， ，； （2）是直角三角形，理由如下： 方程有两个相等的实数根， △， ， ，即， △是直角三角形． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，勾股定理的逆定理，因式分解法解一元二次方程等，熟练掌握以上知识是解题的关键． 29．（2024秋•天河区期末）关于的一元二次方程有实数根． （1）求的取值范围； （2）如果是符合条件的最大整数，且一元二次方程与方程有一个相同的根，求此时的值． 【分析】（1）利用根的判别式的意义得到△，然后解不等式即可； （2）先求出的值，再代入方程，求出或，把或代入方程求出的值即可． 【详解】（1）根据题意得△， 解得； （2）是符合条件的最大整数， 当时的最大整数值是2， 则关于的方程是， 解得：，， 一元二次方程与方程有一个相同的根， 当时，， 解得； 而，所以舍去， 当时，， 解得， 的值为． 【点睛】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的解等知识，熟练掌握根的判别式是解题的关键． 30．（2023春•丰城市校级期末）已知关于的一元二次方程． （1）求证：该一元二次方程总有两个不相等的实数根； （2）若该方程的两个根，是一个矩形的一边长和对角线的长，且矩形的另一边长为5，试求的值． 【分析】（1）计算方程的根的判别式，若△，则证明方程总有两个不相等的实数根； （2）根据根与系数的关系以及矩形的面积，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出值，再结合（1）的结论即可确定的值． 【详解】（1）， 整理得：， ，，， △； 该一元二次方程总有两个不相等的实数根； （2）， ，， ， 为对角线， ， 解得：． 【点睛】本题考查了根的判别式，矩形的性质，也考查了解一元二次方程和一元二次方程的解． 31．（2024秋•中宁县校级期末）已知关于的方程． （1）求证：方程一定有两个实数根； （2）若方程的两个实数根都是整数，求正整数的值． 【分析】（1）先计算判别式的值，然后根据判别式的意义判断方程一定有两个实数根； （2）利用求根公式求出，，然后利用整除性确定的值． 【解答】（1）证明：， △， 方程一定有两个实数根； （2）解：， ，， 方程的两个实数根都是整数， 正整数或3． 【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与△有如下关系：当△时，方程有两个不相等的两个实数根；当△时，方程有两个相等的两个实数根；当△时，方程无实数根． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$