精品解析：云南省红河州个旧市第十五中学2025--2026学年上学期九年级期中质量监测数学试卷

个旧十五中2025-2026学年上学期期中学业质量监测九年级数学试题卷 （全卷共三个大题，含27个小题，共8页；满分100分，考试用时120分钟） 注意事项： 本卷为试题卷.考生必须在答题卷上解题作答，答案应书写在答题卡相应位置上，在试题卷、草稿纸上作答无效. 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题（本大题共15小题，每小题只有一个正确答案，每小题2分，满分30分） 1. 下列函数中，y是x的二次函数的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的定义：“一般地，形如（是常数，且）的函数叫做二次函数”，熟记定义是解题关键．根据二次函数的定义逐项判断即可得． 【详解】解：A、不是二次函数，则此项不符合题意； B、是正比例函数，不是二次函数，则此项不符合题意； C、是二次函数，则此项符合题意； D、是一次函数，不是二次函数，则此项不符合题意； 故选：C． 2. 下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查轴对称及中心对称的定义，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念，要注意：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合． 根据轴对称图形与中心对称图形的概念逐选项判断即可． 【详解】解：根据轴对称图形与中心对称图形的概念可知： A选项是轴对称图形而不是中心对称图形； B选项既是轴对称图形也是中心对称图形； C选项是轴对称图形而不是中心对称图形； D选项不是中心对称图形而是轴对称图形； 故选：B． 3. 二次函数的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（　　） A. 2，0， B. 2，2， C. 2，2，1 D. 2，0，1 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的一般式，掌握二次函数的一般式是解题的关键． 根据二次函数的一般式（，为常数）即可求解． 【详解】解：二次函数的二次项系数、一次项系数、常数项分别为2，0，， 答案：A． 4. 抛物线的顶点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了抛物线的顶点式，抛物线的顶点式为，其顶点坐标为，据此解答即可. 【详解】解：，对照顶点式， 得：，， ∴顶点为. 故选：B. 5. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查求关于原点对称的点的坐标，根据点关于原点对称的点的坐标为求解即可． 【详解】解：在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是， 故选B． 6. 一元二次方程 的根的情况是（  ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 只有一个实数根 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的情况与判别式的关系，，一元二次方程有两个不相等的实数根；，一元二次方程有两个相等的实数根；，一元二次方程无实数根，熟练掌握此知识点是解决问题的关键． 根据一元二次方程根的情况与判别式的关系，求出一元二次方程的判别式，确定有两个相等的实数根即可得到答案． 【详解】解：， ，， ， 一元二次方程有两个相等的实数根， 故选：B． 7. 已知，是方程的两个实数根，则（ ） A. 25 B. 20 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根，，．直接利用根与系数的关系求解． 【详解】解：∵，是方程的两个实数根， ∴根据根与系数的关系得． 故选：D． 8. 如图，，分别为的半径，点A在圆上，连接，．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解决本题的关键． 根据圆周角定理，即同弧或等弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，由此求解即可． 【详解】解：∵， 根据圆周角定理，可得． 故选：C ． 9. 如图，，，，是上的点．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查同弧所对的圆周角的关系，解题的关键是掌握：同弧所对的圆周角相等．据此解答即可． 【详解】解：∵在中，，， ∴． 故选：B． 10. 已知二次函数的图像如图所示，直线l是图像的对称轴．那么a、b、c的符号为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，数形结合是关键．根据的图象的开口向下，得出，抛物线的对称轴在x的正半轴，得，整理得，因为函数与y轴的交点在正半轴，得，即可作答． 【详解】解：由图象的开口向下可知， ∵抛物线的对称轴在x的正半轴， ∴对称轴， ∴，， ∵函数与y轴的交点在正半轴， ∴， 故选：C． 11. 如图，已知是的直径，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查圆的基础知识，掌握同弧所对圆周角相等，直径所对的圆周角是，直角三角形的两锐角互余的知识是解题的关键． 根据直径所对圆周角为直角，，结合直角三角形两锐角互余，可求出的度数，根据同弧所对圆周角相等即可求解． 【详解】解：∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 12. 一条排水管的截面如图所示，已知排水管的截面圆的半径，水面宽AB是16dm，则截面水深CD是 A. 3dm B. 4dm C. 5dm D. 6dm 【答案】B 【解析】 【分析】由题意知OD⊥AB，交AB于点C，由垂径定理可得出BC的长，在Rt△OBC中，根据勾股定理求出OC的长，由CD＝OD﹣OC即可得出结论． 【详解】解：由题意知OD⊥AB，交AB于点E， ∵AB＝16， ∴BC＝AB＝×16＝8， 在Rt△OBC中， ∵OB＝10，BC＝8， ∴OC＝ ＝6， ∴CD＝OD﹣OC＝10﹣6＝4． 故选B． 【点睛】本题垂考查径定理的应用，解题的关键是根据题意在直角三角形运用勾股定理列出方程． 13. 据省统计局公布的数据，合肥市2021年第一季度GDP总值约为2.4千亿元人民币，若我市第三季度GDP总值为y千亿元人民币，平均每个季度GDP增长的百分率为x，则y关于x的函数表达式是（　　） A. y＝2.4（1+2x） B. y＝2.4（1-x）2 C. y＝2.4（1+x）2 D. y＝2.4+2.4（1+x）+2.4（1+x）2 【答案】C 【解析】 【分析】根据平均每个季度GDP增长的百分率为x，第二季度季度GDP总值约为2.4（1+x）元，第三季度GDP总值为2.4（1+x）2元，则函数解析式即可求得． 【详解】解：设平均每个季度GDP增长的百分率为x， 则y关于x的函数表达式是：y=2.4（1+x）2． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，正确理解增长率问题是解题关键． 14. 已知点P在圆外，它到圆的最近距离是1cm，到圆的最远距离是7cm，则圆的半径为（　　） A. 3cm B. 4cm C. 3cm或4cm D. 6cm 【答案】A 【解析】 【分析】圆外一点，直径所在直线经过此点， 直径的远端点与此点的距离最远，近端点与此点距离最近． 【详解】解：P为圆外一点，且P点到圆上点的最近距离为1cm，到圆上点的最远距离为7cm，则圆的直径是（cm），因而半径是3cm． 故选：A． 【点睛】本题考查了圆外一点与圆上点的距离问题，理解何时距离最远、最近是解题的关键． 15. 如图，二次函数的部分图象与x轴的一个交点的横坐标是，顶点坐标为，则下列说法正确的是（ ） A. 二次函数图象的对称轴是直线 B. 二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标是2 C. 当时，y随x的增大而减小 D. 二次函数图象与y轴的交点的纵坐标是3 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式，利用二次函数的性质，对称性，增减性判断选项A、B、C，利用待定系数法求出二次函数的解析式，再求出与y轴的交点坐标即可判定选项D． 【详解】解∶ ∵二次函数的顶点坐标为， ∴二次函数图象的对称轴是直线，故选项A错误； ∵二次函数的图象与x轴的一个交点的横坐标是，对称轴是直线， ∴二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标是1，故选项B错误； ∵抛物线开口向下， 对称轴是直线， ∴当时，y随x的增大而增大，故选项C错误； 设二次函数解析式为， 把代入，得， 解得， ∴， 当时，， ∴二次函数图象与y轴的交点的纵坐标是3，故选项D正确， 故选D． 二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，满分8分） 16. 若关于的方程有两个相等的实数根，则实数的取值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．利用判别式的意义得到，然后解关于的方程即可． 【详解】根据题意得，， 解得， 故答案为：． 17. 如图：把绕点逆时针旋转得到，若，，三点共线，，则旋转的度数为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．由旋转的性质可得，即可求解． 【详解】解：，，三点共线， ， 又， ， 则旋转的度数为， 故答案为：． 18. 如图，要用一个半径为扇形纸片围成一个无底盖的圆锥（接缝处忽略不计），若该圆锥的底面圆半径长为，则这个扇形的圆心角的度数为________． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查的是求解圆锥展开图的圆心角，根据弧长等于底面圆周长列方程计算即可得到答案． 【详解】解：设扇形的圆心角为， ∵圆锥的底面圆周长为，母线长为， ∴， 解得， 即扇形的圆心角为． 故答案为：． 19. 如图，在平面直角坐标系中，正六边形边长是6，点、分别在轴、轴的正半轴上，则它的外接圆的圆心的坐标是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查正多边形外接圆的问题，熟练掌握正多边形的性质，灵活运用三角形相关知识解决边角关系是本题的关键． 连接，过点P作于点G，由正六边形推出为等边三角形，进而求出的长度即可求得P点坐标． 【详解】解：如图所示，连接，过点P作于点G，则， ∵多边形为正六边形， ∴， ∵， ∴为等边三角形， 又∵， ∴平分， ∴， 又∵， ∴， ∴由勾股定理得：， ∴的坐标是， 故答案为： 三、解答题（本大题共8小题，满分62分） 20. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程． （1）根据因式分解法解一元二次方程，即可求解； （2）根据公式法解一元二次方程，即可求解． 【小问1详解】 解：， ∴ ∴或， 解得，． 【小问2详解】 解：， ∴， ∴，，， ∴， ， 解得，． 21. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为（每个方格的边长均为1个单位长度）． （1）请画出 ，使 与 关于 轴对称； （2）将 绕点 逆时针旋转 ，画出旋转后得到的 ，并直接写出点，的坐标； （3）求点 旋转到 所经过的路线的长度． 【答案】（1）如图，即为所求； （2）如图，即为所求， （3） 【解析】 【分析】（1）根据关于 轴对称的点的特征，找出点、、关于轴的对称点的坐标，然后顺次连接即可； （2）分别找出点、、绕点逆时针旋转的对应点、、的位置，然后顺次连接即可， （3）观察可知点所经过的路线是半径为，圆心角是的弧长，然后根据弧长公式进行计算即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：点旋转到点所经过的路线是半径为，圆心角是的弧长， 点旋转到点所经过的路径长为：． 故点旋转到点所经过的路径长是． 22. 如图，抛物线与轴交于 （1）求该抛物线的解析式； （2）求该抛物线的对称轴及顶点坐标； （3）点是抛物线上一点，且．求的坐标． 【答案】（1） （2）抛物线的对称轴直线，顶点坐标 （3）在该抛物线上的坐标为或或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的解析式求解、将一般式写成顶点式等知识点，掌握二次函数的相关性质是解题关键． （1）将两点代入即可求解； （2）将一般式写成顶点式即可求解； （3）根据可求出点的纵坐标，即可求解 ． 【小问1详解】 解：将，两点代入得： ， 解得： ∴抛物线的解析式为： 【小问2详解】 解：， ∴抛物线的对称轴为直线；顶点坐标为： 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∵， ， 把代入解析式得，， 解得，， 把代入解析式得，， 解得， 综上所述，的坐标为或或． 23. 如图1是博物馆展出的古代车轮实物，《周礼·考工记》记载：“……故兵车之轮六尺有六寸，田车之轮六尺有三寸……”据此，我们可以通过计算车轮的半径来验证车轮类型，请将以下推理过程补充完整． 如图2所示，在车轮上取A，B两点，设所在圆的圆心为O，半径为． 作弦AB的垂线OC，D为垂足，则___________． 经测量，，则___________；用含r的代数式表示___________． 在中，由勾股定理可列出关于r的方程：___________．解得． 通过换算，车轮直径约为六尺六寸，可验证此车轮为___________之轮．（填“兵车”或“田车”） 【答案】，，，，兵车 【解析】 【分析】根据垂径定理，进行作答即可． 【详解】解：根据垂直弦的直径平分弦可知：， ∵， ∴，， ∴， 解得：， ∴此车轮为：兵车之轮； 故答案为：，，，，兵车． 【点睛】本题考查垂径定理．熟练掌握：垂直于弦的直径，平分弦，是解题的关键． 24. 我国南宋数学家杨辉所著《田亩比类乘除算法》中记载了这样一道题：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何．”其大意为：一个长方形的面积为864平方步，长和宽共60步，问长比宽多多少步？请你解答上面的问题． 【答案】长比宽多12步 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设长为x步，则宽为步，根据矩形的面积公式结合矩形田地的面积为864平方步，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较大值，再将其代入中即可求出结论． 【详解】解：设矩形的长为x步，列方程得 ． 解得，． ∴矩形的长为36步，宽24步， (步)． 答：长比宽多12步． 25. 如图，已知是外一点，交于点，，弦，，连接． （1）求的长； （2）求证：是的切线． 【答案】（1） （2） 证明： ∵，由（1）知，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵点在上， ∴是的切线． 【解析】 【分析】本题主要考查了圆有关性质．熟练掌握垂径定理，等边三角形判定和性质，等腰三角形判定和性质，圆切线的判定，是解决问题的关键． （1）根据垂径定理得到，得到是等边三角形，得到； （2）证明，得到．得到，得到， 即得是的切线． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∴． ∵， ∴是等边三角形， ∴． 【小问2详解】 略． 26. 在杭州举办的亚运会令世界瞩目，吉祥物“琮琮”、“莲莲”、“宸宸”家喻户晓，其相关产品成为热销产品．某商店购进了一批吉祥物毛绒玩具，进价为每个元．若毛绒玩具每个的售价是元时，每天可售出个；若每个售价提高元，则每天少卖个． （1）设该吉祥物毛绒玩具每个售价定为元，求该商品销售量与之间的函数关系式； （2）如果每天的利润要达到元，并且尽可能让利于顾客，每个毛绒玩具售价应定为多少元？ （3）若获利不得高于进价的，每个毛绒玩具售价定为多少元时，每天销售玩具所获利润最大，最大利润是多少元？ 【答案】（1） （2） （3）定为元时，每天销售毛绒玩具所获利润最大，最大利润是元 【解析】 【分析】本题考查一次函数、二次函数及一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式．（1）根据题意列出函数解析式即可；（2）利润为元，求的值；（3）求出利润函数解析式，根据二次函数性质求出最值． 【小问1详解】 解：根据题意，得， 与之间的函数关系式：； 【小问2详解】 根据题意，得， 解得， 尽可能让利于顾客， ， 答：每个毛绒玩具售价应定为元； 【小问3详解】 ， 获利不得高于进价的，， ， ， 当时，随着的增大而增大， 当时，最大，此时． 答：每个售价定为元时，每天销售毛绒玩具所获利润最大，最大利润是元． 27. 已知是常数，函数，记． （1）若，，求的值； （2）若，，比较与的大小． 【答案】（1）的值为； （2）当时，；当时，． 【解析】 【分析】本题考查了分式求值，等式的性质，函数求值，掌握知识点的应用是解题的关键． （）把，代入函数即可求解； （）将，代入函数整理得，然后分当时，即和当时两种情况求解即可． 【小问1详解】 解：把，代入函数得， ， ∴的值为； 【小问2详解】 解：将，代入函数得， ， 整理得：， 当时，即， ∴， 当时，， 则有，， ， ∴ ， 综上可知：当时，；当时，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 个旧十五中2025-2026学年上学期期中学业质量监测九年级数学试题卷 （全卷共三个大题，含27个小题，共8页；满分100分，考试用时120分钟） 注意事项： 本卷为试题卷.考生必须在答题卷上解题作答，答案应书写在答题卡相应位置上，在试题卷、草稿纸上作答无效. 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题（本大题共15小题，每小题只有一个正确答案，每小题2分，满分30分） 1. 下列函数中，y是x的二次函数的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 二次函数的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（　　） A. 2，0， B. 2，2， C. 2，2，1 D. 2，0，1 4. 抛物线的顶点坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 6. 一元二次方程 的根的情况是（  ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 只有一个实数根 7. 已知，是方程的两个实数根，则（ ） A. 25 B. 20 C. D. 8. 如图，，分别为的半径，点A在圆上，连接，．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，，，，是上的点．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 10. 已知二次函数的图像如图所示，直线l是图像的对称轴．那么a、b、c的符号为（ ） A. B. C. D. 11. 如图，已知是的直径，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 12. 一条排水管的截面如图所示，已知排水管的截面圆的半径，水面宽AB是16dm，则截面水深CD是 A. 3dm B. 4dm C. 5dm D. 6dm 13. 据省统计局公布的数据，合肥市2021年第一季度GDP总值约为2.4千亿元人民币，若我市第三季度GDP总值为y千亿元人民币，平均每个季度GDP增长的百分率为x，则y关于x的函数表达式是（　　） A. y＝2.4（1+2x） B. y＝2.4（1-x）2 C. y＝2.4（1+x）2 D. y＝2.4+2.4（1+x）+2.4（1+x）2 14. 已知点P在圆外，它到圆的最近距离是1cm，到圆的最远距离是7cm，则圆的半径为（　　） A. 3cm B. 4cm C. 3cm或4cm D. 6cm 15. 如图，二次函数的部分图象与x轴的一个交点的横坐标是，顶点坐标为，则下列说法正确的是（ ） A. 二次函数图象的对称轴是直线 B. 二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标是2 C. 当时，y随x的增大而减小 D. 二次函数图象与y轴的交点的纵坐标是3 二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，满分8分） 16. 若关于的方程有两个相等的实数根，则实数的取值为______． 17. 如图：把绕点逆时针旋转得到，若，，三点共线，，则旋转的度数为_____． 18. 如图，要用一个半径为扇形纸片围成一个无底盖的圆锥（接缝处忽略不计），若该圆锥的底面圆半径长为，则这个扇形的圆心角的度数为________． 19. 如图，在平面直角坐标系中，正六边形边长是6，点、分别在轴、轴的正半轴上，则它的外接圆的圆心的坐标是_____． 三、解答题（本大题共8小题，满分62分） 20. 解方程： （1）； （2）． 21. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为（每个方格的边长均为1个单位长度）． （1）请画出 ，使 与 关于 轴对称； （2）将 绕点 逆时针旋转 ，画出旋转后得到的 ，并直接写出点，的坐标； （3）求点 旋转到 所经过的路线的长度． 22. 如图，抛物线与轴交于 （1）求该抛物线的解析式； （2）求该抛物线的对称轴及顶点坐标； （3）点是抛物线上一点，且．求的坐标． 23. 如图1是博物馆展出的古代车轮实物，《周礼·考工记》记载：“……故兵车之轮六尺有六寸，田车之轮六尺有三寸……”据此，我们可以通过计算车轮的半径来验证车轮类型，请将以下推理过程补充完整． 如图2所示，在车轮上取A，B两点，设所在圆的圆心为O，半径为． 作弦AB的垂线OC，D为垂足，则___________． 经测量，，则___________；用含r的代数式表示___________． 在中，由勾股定理可列出关于r的方程：___________．解得． 通过换算，车轮直径约为六尺六寸，可验证此车轮为___________之轮．（填“兵车”或“田车”） 24. 我国南宋数学家杨辉所著《田亩比类乘除算法》中记载了这样一道题：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何．”其大意为：一个长方形的面积为864平方步，长和宽共60步，问长比宽多多少步？请你解答上面的问题． 25. 如图，已知是外一点，交于点，，弦，，连接． （1）求的长； （2）求证：是的切线． 26. 在杭州举办的亚运会令世界瞩目，吉祥物“琮琮”、“莲莲”、“宸宸”家喻户晓，其相关产品成为热销产品．某商店购进了一批吉祥物毛绒玩具，进价为每个元．若毛绒玩具每个的售价是元时，每天可售出个；若每个售价提高元，则每天少卖个． （1）设该吉祥物毛绒玩具每个售价定为元，求该商品销售量与之间的函数关系式； （2）如果每天的利润要达到元，并且尽可能让利于顾客，每个毛绒玩具售价应定为多少元？ （3）若获利不得高于进价的，每个毛绒玩具售价定为多少元时，每天销售玩具所获利润最大，最大利润是多少元？ 27. 已知是常数，函数，记． （1）若，，求的值； （2）若，，比较与的大小． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $