期中专项突破之一元二次方程2025-2026学年冀教版九年级数学上册

期中专项突破之一元二次方程2025-2026学年 冀教版九年级上册 板块一：一元二次方程的相关概念 1.下列方程中，一定是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 2.将方程化为一元二次方程的一般形式，其中二次项系数为1，一次项系数，常数项分别是（   ） A． B． C． D．2，10 3.已知是关于的一元二次方程的一个根，则的值为（　　） A． B． C．5 D．7 4.关于x的方程（a﹣1）x2﹣3x+3＝0是一元二次方程，则a的取值范围是 　 　． 5.如果a是一元二次方程的根，则代数式的值为 ． 板块二：解一元二次方程 1.用公式法解方程时，二次项系数、一次项系数和常数项的值依次是（   ） A．0，， B．1，， C．1，3， D．1，， 2.若关于x的方程有实数根，则的值为（    ） A．－4 B．2 C．－4或2 D．4或－2 3.矩形ABCD的一条对角线长为6，边AB的长是方程的一个根，则矩形ABCD的面积为（    ） A． B．12 C． D．或 4.方程x2﹣2x﹣3＝0化成（x+m）2＝n的形式，则m+n的值是 　 　． 5.按要求解一元二次方程 （1）4x2﹣8x+1=0（配方法）（2）7x（5x+2）=6（5x+2）（因式分解法） （3）3x2+5（2x+1）=0（公式法）（4）x2﹣2x﹣8=0．（因式分解法） 6.用适当的方法解下列方程： (1)；(2)． 板块三：根判别式 1.下列一元二次方程中，有实数根的是（　　） A．x2+2x+1＝0 B．x2+x+1＝0 C．x2+1＝0 D．x2﹣x+1＝0 2.一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个相等的实数根 B．两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 3.若关于x的一元二次方程有实数根，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C．且 D． 4．一元二次方程的根的判别式的值是______． 5.已知关于的一元二次方程． (1)求证：不论k为何值，该方程总有两个实数根； (2)若该方程有一个根是负数，求k的取值范围． 6.已知关于x的方程 （1）当该方程的一个根为1时，求a的值及该方程的另一根； （2）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． 板块四：一元二次方程与系数的关系 1.已知m、n是一元二次方程的两个根，则的值为（ ） A. 0 B. －10 C. 3 D. 10 2．已知一元二次方程x2﹣kx﹣3＝0的一根为2，则另一个根为（ ） A．1 B． C． D． 3．如果、是方程的两个根，那么等于（ ） A．5 B． C．4 D． 4．设、是方程的两个根，则________． 5.已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+3）x+3m＝0． （1）求证：无论m取何值，该方程总有两个实数根； （2）若Rt△ABC的两直角边AB，AC的长恰好是该方程的两个实数根，且斜边BC的长为4，求m的值． 6.已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+m+1＝0有两个不相等的实根． （1）求m的取值范围． （2）若该方程的两个实数根x1，x2满足x1+x2＝2x1•x2，求m的值． 板块五：一元二次方程的应用 1.某校八年级组织一次篮球赛，各班均组队参赛，赛制为单循环形式（每两班之间都赛一场），共需安排36场比赛，则八年级班级的个数为(     ) A．6 B．9 C．7 D．8 2.有一人患了流感，经过两轮传染后共有100人患了流感，那么每轮传染中平均一个人传染的人数为（    ） A．8人 B．9人 C．10人 D．11人 3.一个同学经过培训后会做某项实验，回到班级后第一节课他教会了若干个同学，第二节课会做的同学每人又教会了同样多的同学，这样全班共有36人会做这项实验，若设1人每次能教会x名同学，则可列方程为（       ） A．x＋（x＋1）x＝36 B．（x＋1）2＝36 C．1＋x＋x2＝36 D．x＋（x＋1）2＝36 4.如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长35米、宽20米的矩形，为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为600平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为米，则根据题意，列方程为(     ) A．35×20-35-20+22=600 B．35×20-35-2×20=600 C．(35-2)(20-)=600 D．(35-)(20-)=600 5.九年级文学小组的同学在举行的图书共享仪式上互赠图书，每名同学都把自己的图书向本组其他成员赠送一本，全组共互赠了132本图书，则全组共有______名同学． 6.某种型号的电脑，原售价7200元/台，经连续两次降价后，现售价为4608元/台，则平均每次降价的百分率为________． 7.《九章算术》是我国古代数学的经典著作，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系，其“勾股”章中记载了一个数学问题：“今有户高多于广六尺，两隅相去适一丈，问户高、广各几何？”译文为：“已知有一扇矩形门的高比宽多6尺，门的对角线长为1丈（1丈＝10尺），那么门的高和宽各是多少？”如果设门的宽为x尺，则可列方程为______． 8.某水果商场经销一种高档水果，原价每千克50元．连续两次降价后每千克32元，若每次下降的百分率相同． (1)求每次下降的百分率； (2)若每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，那么每千克应涨价多少元？ 【答案】 期中专项突破之一元二次方程2025-2026学年 冀教版九年级上册 板块一：一元二次方程的相关概念 1.下列方程中，一定是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 2.将方程化为一元二次方程的一般形式，其中二次项系数为1，一次项系数，常数项分别是（   ） A． B． C． D．2，10 【答案】A 3.已知是关于的一元二次方程的一个根，则的值为（　　） A． B． C．5 D．7 【答案】C 4.关于x的方程（a﹣1）x2﹣3x+3＝0是一元二次方程，则a的取值范围是 　 　． 【答案】a≠1． 5.如果a是一元二次方程的根，则代数式的值为 ． 【答案】2025 板块二：解一元二次方程 1.用公式法解方程时，二次项系数、一次项系数和常数项的值依次是（   ） A．0，， B．1，， C．1，3， D．1，， 【答案】C 2.若关于x的方程有实数根，则的值为（    ） A．－4 B．2 C．－4或2 D．4或－2 【答案】B 3.矩形ABCD的一条对角线长为6，边AB的长是方程的一个根，则矩形ABCD的面积为（    ） A． B．12 C． D．或 【答案】D 4.方程x2﹣2x﹣3＝0化成（x+m）2＝n的形式，则m+n的值是 　 　． 【答案】3． 5.按要求解一元二次方程 （1）4x2﹣8x+1=0（配方法）（2）7x（5x+2）=6（5x+2）（因式分解法） （3）3x2+5（2x+1）=0（公式法）（4）x2﹣2x﹣8=0．（因式分解法） 【答案】解：（1）4x2﹣8x+1=0（配方法） 移项得，x2﹣2x=﹣， 配方得，x2﹣2x+1=﹣+1， （x﹣1）2=， ∴x﹣1=± ∴x1=1+，x2=1﹣． （2）7x（5x+2）=6（5x+2）（因式分解法） 7x（5x+2）﹣6（5x+2）=0， （5x+2）（7x﹣6）=0， ∴5x+2=0，7x﹣6=0， ∴x1=﹣，x2=； （3）3x2+5（2x+1）=0（公式法） 整理得，3x2+10x+5=0 ∵a=3，b=10，c=5，b2﹣4ac=100﹣60=40， ∴x===， ∴x1=，x2=； （4）x2﹣2x﹣8=0． （x+4）（x﹣2）=0， ∴x+4=0，x﹣2=0， ∴x1=﹣4，x2=2． 6.用适当的方法解下列方程： (1)；(2)． 【答案】（1） 解： 或 解得： （2） 解： 则 所以 板块三：根判别式 1.下列一元二次方程中，有实数根的是（　　） A．x2+2x+1＝0 B．x2+x+1＝0 C．x2+1＝0 D．x2﹣x+1＝0 【答案】A 2.一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个相等的实数根 B．两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【答案】B 3.若关于x的一元二次方程有实数根，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C．且 D． 【答案】C 4．一元二次方程的根的判别式的值是______． 【答案】13 5.已知关于的一元二次方程． (1)求证：不论k为何值，该方程总有两个实数根； (2)若该方程有一个根是负数，求k的取值范围． 【答案】(1)见解析(2) 【详解】（1）证明：∵方程， ，，， ， ∴无论为何值，该方程总有两个实数根． （2）解：由方程得， ∴或， ，， ∵方程有一个根为负数， ． ∴． ∴的取值范围是． 6.已知关于x的方程 （1）当该方程的一个根为1时，求a的值及该方程的另一根； （2）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． 【答案】（1），；（2）证明见解析 【详解】解：（1）设方程的另一根为x1， ∵该方程的一个根为1， ∴， 解得． ∴a的值为，该方程的另一根为． （2）∵， ∴不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． 板块四：一元二次方程与系数的关系 1.已知m、n是一元二次方程的两个根，则的值为（ ） A. 0 B. －10 C. 3 D. 10 【答案】A 2．已知一元二次方程x2﹣kx﹣3＝0的一根为2，则另一个根为（ ） A．1 B． C． D． 【答案】D 3．如果、是方程的两个根，那么等于（ ） A．5 B． C．4 D． 【答案】C 4．设、是方程的两个根，则________． 【答案】 5.已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+3）x+3m＝0． （1）求证：无论m取何值，该方程总有两个实数根； （2）若Rt△ABC的两直角边AB，AC的长恰好是该方程的两个实数根，且斜边BC的长为4，求m的值． 【答案】（1）证明：Δ＝（m+3）2﹣4×3m＝m2﹣6m+9＝（m﹣3）2≥0， ∴方程总有两个实数根； （2）解：x1+x2＝m+3，x1x2＝3m， 又∵Rt△ABC的斜边BC＝4， ∴， ∴， 即（m+3）2﹣2×3m＝16m2＝7， 解得，， ∵x1，x2为两个正根， ∴舍去， ∴． 6.已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+m+1＝0有两个不相等的实根． （1）求m的取值范围． （2）若该方程的两个实数根x1，x2满足x1+x2＝2x1•x2，求m的值． 【答案】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣4x+m+1＝0有两个不相等的实根． ∴Δ＝（﹣4）2﹣4（m+1）＝16﹣4m﹣4＞0， 解得：m＜3． （2）∵该方程的两个实数根为x1、x2， ∴x1+x2＝4，x1•x2＝m+1． ∵x1+x2＝2x1•x2， ∴2（m+1）＝4， 解得：m＝1． 板块五：一元二次方程的应用 1.某校八年级组织一次篮球赛，各班均组队参赛，赛制为单循环形式（每两班之间都赛一场），共需安排36场比赛，则八年级班级的个数为(     ) A．6 B．9 C．7 D．8 【答案】B 2.有一人患了流感，经过两轮传染后共有100人患了流感，那么每轮传染中平均一个人传染的人数为（    ） A．8人 B．9人 C．10人 D．11人 【答案】B 3.一个同学经过培训后会做某项实验，回到班级后第一节课他教会了若干个同学，第二节课会做的同学每人又教会了同样多的同学，这样全班共有36人会做这项实验，若设1人每次能教会x名同学，则可列方程为（       ） A．x＋（x＋1）x＝36 B．（x＋1）2＝36 C．1＋x＋x2＝36 D．x＋（x＋1）2＝36 【答案】B 4.如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长35米、宽20米的矩形，为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为600平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为米，则根据题意，列方程为(     ) A．35×20-35-20+22=600 B．35×20-35-2×20=600 C．(35-2)(20-)=600 D．(35-)(20-)=600 【答案】C 5.九年级文学小组的同学在举行的图书共享仪式上互赠图书，每名同学都把自己的图书向本组其他成员赠送一本，全组共互赠了132本图书，则全组共有______名同学． 【答案】12 6.某种型号的电脑，原售价7200元/台，经连续两次降价后，现售价为4608元/台，则平均每次降价的百分率为________． 【答案】20% 7.《九章算术》是我国古代数学的经典著作，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系，其“勾股”章中记载了一个数学问题：“今有户高多于广六尺，两隅相去适一丈，问户高、广各几何？”译文为：“已知有一扇矩形门的高比宽多6尺，门的对角线长为1丈（1丈＝10尺），那么门的高和宽各是多少？”如果设门的宽为x尺，则可列方程为______． 【答案】x2+（x+6）2＝102 8.某水果商场经销一种高档水果，原价每千克50元．连续两次降价后每千克32元，若每次下降的百分率相同． (1)求每次下降的百分率； (2)若每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，那么每千克应涨价多少元？ 【答案】（1）解：设每次下降的百分率为x， 依题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． ∴每次下降的百分率为． （2）解：设每千克应涨价a元，由题意，得：， 整理，得， 解得：，， 又∵采取适当的涨价措施， ∴，即涨价5元． 学科网（北京）股份有限公司 $