精品解析：新疆生产建设兵团第二师八一中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试卷

八一中学2025-2026学年第一学期高二年级期中考试 数学试卷 考试时间：120分钟 满分：150分 预测难度系数：0.75 一、单选题，本大题共有8小题，每小题5分，共计40分，每小题只有一个选项符合题目要求. 1. 已知，，则向量的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】用B点坐标减去A点坐标可得． 【详解】因为，，所以, 故选：A 2. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出直线的斜率，利用直线的斜率与倾斜角的关系可得结果. 【详解】该直线的斜截式方程为，则斜率为，所以该直线的倾斜角为. 故选：D 3. 已知直线的方程为，则直线在轴上的截距为（ ） A. -11 B. -5 C. 5 D. 11 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线的截距式方程特征直接求解即可. 【详解】根据直线的截距式方程可知，直线在轴上的截距为5. 故选：C. 4. 已知空间向量，，若，则的值为（ ） A. B. C. 4 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间向量垂直的坐标表示即可得到方程，解出即可. 【详解】若，则．因为，， 所以，解得． 故选：C． 5 若直线与直线平行，则（ ） A. 0 B. 或0 C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】根据两直线平行的条件列方程求得的值，然后检验，排除两直线重合的情况. 【详解】由题意得,即,解得或. 当时，两直线方程都为，两直线重合，不合题意，舍去； 当时，两直线方程分别为和，此时两直线平行，符合题意. 故选：C. 6. 过点且方向向量为的直线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，求得直线的斜率，结合直线的点斜式方程，即可求解. 【详解】由直线的方向向量为，可得直线的斜率为， 又因为直线过点，所以所求直线方程为，即. 故选：A. 7. 在四棱锥中，，，，则该四棱锥的高为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出平面的一个法向量，利用点到平面距离的向量求法计算可得结果. 【详解】设平面的一个法向量为， 则，令，可得，； 所以， 则点到平面的距离为. 故选：D 8. 已知点，在直线上存在一点P，使最小，则P点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，点在直线的同侧，利用轴对称的性质求出点关于直线的对称点的坐标，可知直线与的交点就是所求的点，进而求得答案． 【详解】设为点关于直线的对称点， 则的中点为， 由轴对称的性质，可得，解得，即． 故直线的方程为，即， 由，解得， 即直线与交于点． 由于，故当点三点共线时， 即直线上的点与重合时，达到最小值， 故满足条件的点坐标为． 故选：C 二、多选题，本大题共有3小题，每题有多个选项符合题目要求，全选对得6分，部分选对得部分分，选错不得分. 9. 下列结论中正确的有（ ） A. 直线倾斜角的范围是 B. 若两条相交直线所成的角为，其方向向量的夹角为，则或 C. 若两条直线相互垂直，则其斜率之积为 D. 每条直线有且只有一个倾斜角与之相对应 【答案】BD 【解析】 【分析】根据直线的倾斜角、直线的夹角、方向向量的夹角、直线垂直等知识确定正确答案. 【详解】直线倾斜角的取值范围是，A选项错误. B选项，根据直线的夹角和方向向量的夹角的知识可知，或，B选项正确. C选项，两条直线相互垂直，可能一条斜率为，另一条斜率不存在，所以C选项错误. D选项，每条直线有且只有一个倾斜角与之相对应，这个结论是正确的，D选项正确. 故选：BD 10. 下列说法中正确有（ ） A. 直线在y轴的截距是2 B. 直线的倾斜角为 C. 直线l的方向向量是，则直线l的斜率是 D. 点在直线上，则直线l方程为． 【答案】BD 【解析】 【分析】A选项，根据截距的定义判断；B选项，先求出直线斜率，根据斜率和倾斜角关系求解；C选项，根据方向向量的定义判断；D选项，根据点在直线上，代入条件，化简判断. 【详解】A选项，令，则，即直线在y轴的截距是，错误； B选项，直线化为，故直线的斜率是， 设倾斜角为，则，则，正确； C选项，若直线l的放向向量是，则根据方向向量的定义可知，直线l的斜率是，错误； D选项，点在直线上，则，即， 直线可化为，正确. 故选：BD 11. 给出下列命题，其中正确的有（ ） A. 若非零空间向量，，满足，，则有 B. 若三个非零向量，，不能构成空间的一个基底，则，，必定共面 C. 若两个非零向量，与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则，共线 D. 已知是空间向量的一个基底，则也是空间向量的一个基底 【答案】BCD 【解析】 【分析】举反例否定选项A；利用空间向量基底定义判断选项B，C，D. 【详解】当非零空间向量，，时， 满足，，但与不平行，A错误； 三个非零向量，，不能构成空间的一个基底，则它们必共面，B正确； 能构成空间的一个基底的向量必须是不共面的三个向量， 由于非零向量，与任何一个向量都不能构成空间的一个基底， 即向量，与任何一个向量均共面，则，必共线，C正确； 若，，共面，则， 可知，，共面，与为空间向量的一个基底相矛盾， 故可以构成空间向量的一个基底，D正确， 故选：BCD． 三、填空题，本大题共有三小题，每小题5分. 12. 已知，，则______. 【答案】 【解析】 【分析】利用空间向量线性运算坐标表示及模长的坐标表示求解. 【详解】向量，，则， 所以. 故答案为： 13. 已知空间向量，则向量在向量上的投影向量的坐标是_____________. 【答案】 【解析】 【分析】根据向量的坐标运算求，的值，进而求投影向量. 【详解】因为， 则，， 所以向量在向量上的投影向量为. 故答案为：. 14. 设点，，若直线与线段没有公共点，则实数的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】由直线方程可判断直线的斜率和经过的定点，结合题意作图，需使成立，解之即得. 【详解】由可知直线的斜率为，且经过定点， 由点，可得直线，的斜率分别为： ，， 作图如下，由图知，要使直线与线段没有公共点， 需使，解得， 故答案为： 四、解答题 15. 某学校兴趣小组为了了解移动支付在大众中的熟知度，对15~65岁的人群进行了随机抽样调查，调查的问题是“你会使用移动支付吗？”其中，会使用移动支付的共有n个人，把这n个人按照年龄分成5组：第1组为[15，25），第2组为[25，35），第3组为[35，45），第4组为[45，55），第5组为[55，65]，然后绘制成如图所示的频率分布直方图，其中，第1组的频数为20． （1）求n和x的值： （2）从第1，3，4组中用分层随机抽样的方法抽取6人，求分别从第1，3，4组中抽取的人数； 【答案】（1）， （2）2，3，1 【解析】 【分析】（1）根据频率直方图中矩形面积之和为1求出x值，根据第1组的频数和频率求出n. （2）根据分层随机抽样定义结合频率直方图中第1，3，4组的频率之比求出各组中抽取人数占比，从而得出对应人数. 小问1详解】 根据频率分布直方图可知：，解得. 根据第1组的频数20和频率0.020，可得：. 【小问2详解】 根据频率直方图可知，第1，3，4组的频率之比为，总份数 ，则从第1组抽取人数为，从第3组抽取人数为，从第4 组抽取人数为. 16. 已知直线：和直线：. （1）求直线恒过的定点，及该定点到直线的距离； （2）若，求两直线与间的距离. 【答案】（1）定点，距离为 （2） 【解析】 【分析】先求出直线的定点，再利用点到直线的距离公式求解即可； （2）利用两条直线平行的条件求出，再利用平行线之间的距离公式即可得到答案. 【小问1详解】 直线：恒过定点， 定点到直线的距离为. 【小问2详解】 由，则，即， 此时：，即，：，满足， 则两直线与间的距离为. 17. 已知甲、乙两队参加知识竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错得零分．假设甲队中每人答对的概率均为，乙队中3人答对的概率分别为，，，且各人回答正确与否相互之间没有影响． （1）分别求甲队总得分为0分和2分的概率； （2）求甲队得2分且乙队得1分的概率． 【答案】（1）甲队总得分为0分和2分的概率分别为. （2）甲队得2分且乙队得1分的概率为. 【解析】 【分析】（1）（2）运用独立事件概率相关知识，可容易解出. 【小问1详解】 设甲队总得分为0分为事件，甲队总得分为2分为事件. 甲队总得分为0分，即甲队三人都回答错误，其概率. 甲队总得分为2分，即甲队三人中有1人答错，其余2人答对，其概率. 【小问2详解】 设乙队得1分为事件，甲队得2分且乙队得1分为事件.则 ， 所以. 综上，(1)甲队总得分为0分和2分的概率分别为；(2)甲队得2分且乙队得1分的概率为. 18. 如图，在直三棱柱中，点是线段上的中点，点，是侧棱上的动点. （1）若，请证明：平面； （2）若，，，，求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的判定定理和性质，结合线面平行的判定定理进行证明即可； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可. 【小问1详解】 如图，取上的中点，连接，. ，分别是和的中点，且. 又，且， 四边形是平行四边形，. 平面，平面.平面. 【小问2详解】 由题意得平面且， 因此以点为原点，，，为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系. 由题易知，平面，所以为平面的法向量. 设平面的法向量为，根据所建立的空间直角坐标系， 可知，，， 有，. 令，则，， 即平面的法向量为. 设平面与平面的夹角为， 则有. 19. 如图所示，已知三角形的三个顶点为，求： （1）边上的中线所在直线的方程； （2）边上的高所在直线的方程； （3）设分别是线段的中点，求直线所在直线的方程. （注意：最后结果统一用一般式表示） 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先求出的中点，进而根据两点式求解或求出斜率，再用点斜式求解即可； （2）先求出直线的斜率，根据可得，进而利用点斜式求解即可； （3）先求出的中点，根据题设易得，进而利用点斜式求解即可. 【小问1详解】 由已知得的中点，即， 解法一：边上的中线的两点式方程为，即； 解法二：边上的中线的斜率为， 所以中线的方程为：，即. 【小问2详解】 因为， 又，则，所以， 则直线的方程为，即. 【小问3详解】 由已知得的中点，即， 因为分别是线段的中点，所以，即， 又，所以， 则直线所在直线的方程为：，即. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八一中学2025-2026学年第一学期高二年级期中考试 数学试卷 考试时间：120分钟 满分：150分 预测难度系数：0.75 一、单选题，本大题共有8小题，每小题5分，共计40分，每小题只有一个选项符合题目要求. 1. 已知，，则向量的坐标是（ ） A. B. C. D. 2. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 3. 已知直线的方程为，则直线在轴上的截距为（ ） A. -11 B. -5 C. 5 D. 11 4. 已知空间向量，，若，则的值为（ ） A. B. C. 4 D. 6 5. 若直线与直线平行，则（ ） A. 0 B. 或0 C. D. 1 6. 过点且方向向量为的直线方程为（ ） A. B. C. D. 7. 在四棱锥中，，，，则该四棱锥的高为（ ） A. B. C. D. 8. 已知点，在直线上存在一点P，使最小，则P点坐标为（ ） A. B. C. D. 二、多选题，本大题共有3小题，每题有多个选项符合题目要求，全选对得6分，部分选对得部分分，选错不得分. 9. 下列结论中正确的有（ ） A. 直线倾斜角的范围是 B. 若两条相交直线所成的角为，其方向向量的夹角为，则或 C. 若两条直线相互垂直，则其斜率之积为 D. 每条直线有且只有一个倾斜角与之相对应 10. 下列说法中正确的有（ ） A. 直线在y轴的截距是2 B. 直线的倾斜角为 C. 直线l的方向向量是，则直线l的斜率是 D. 点在直线上，则直线l方程为． 11. 给出下列命题，其中正确的有（ ） A 若非零空间向量，，满足，，则有 B. 若三个非零向量，，不能构成空间的一个基底，则，，必定共面 C. 若两个非零向量，与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则，共线 D. 已知是空间向量的一个基底，则也是空间向量的一个基底 三、填空题，本大题共有三小题，每小题5分. 12. 已知，，则______. 13. 已知空间向量，则向量在向量上的投影向量的坐标是_____________. 14. 设点，，若直线与线段没有公共点，则实数的取值范围为______. 四、解答题 15. 某学校兴趣小组为了了解移动支付在大众中的熟知度，对15~65岁的人群进行了随机抽样调查，调查的问题是“你会使用移动支付吗？”其中，会使用移动支付的共有n个人，把这n个人按照年龄分成5组：第1组为[15，25），第2组为[25，35），第3组为[35，45），第4组为[45，55），第5组为[55，65]，然后绘制成如图所示的频率分布直方图，其中，第1组的频数为20． （1）求n和x的值： （2）从第1，3，4组中用分层随机抽样的方法抽取6人，求分别从第1，3，4组中抽取的人数； 16 已知直线：和直线：. （1）求直线恒过的定点，及该定点到直线的距离； （2）若，求两直线与间距离. 17. 已知甲、乙两队参加知识竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错得零分．假设甲队中每人答对概率均为，乙队中3人答对的概率分别为，，，且各人回答正确与否相互之间没有影响． （1）分别求甲队总得分为0分和2分的概率； （2）求甲队得2分且乙队得1分的概率． 18. 如图，在直三棱柱中，点是线段上的中点，点，是侧棱上的动点. （1）若，请证明：平面； （2）若，，，，求平面与平面夹角的余弦值. 19. 如图所示，已知三角形的三个顶点为，求： （1）边上的中线所在直线的方程； （2）边上的高所在直线的方程； （3）设分别是线段的中点，求直线所在直线的方程. （注意：最后结果统一用一般式表示） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $