13.4三角形的尺规作图 教案2025-2026学年冀教版八年级数学上册

该教案聚焦三角形尺规作图核心知识，通过复习作线段、作角等基础尺规作图，搭建新旧知识桥梁，引导学生探究已知三边、两边及其夹角、两角及其夹边作三角形的方法，形成完整知识脉络。 资料突出动手操作与逻辑推理结合，如探究活动让学生实践作图并依据全等判定解释合理性，培养几何直观与推理意识，规范作图语言提升表达能力，小组合作与分层练习助力学生掌握，教师教学更高效。

第十三章 全等三角形 13.4三角形的尺规作图   一、教材分析 本节是冀教版八年级数学第十三章第4节，本节课是在学生掌握三角形基本性质、三角形全等判定及简单尺规作图（如作一条线段等于已知线段、作一个角等于已知角）基础上展开的.它是对三角形知识的综合运用与实操拓展，为后续学习复杂几何图形作图、几何证明及解决实际几何问题奠基，是连接理论知识与实践操作的关键环节，也有助于培养学生逻辑推理和空间想象素养.   二、学习目标 1.经历尺规作图实践操作的过程，能用尺规作图：已知三边，两边及其夹角，两角及其夹边作三角形. 2.知道作图的依据，会运用两个三角形全等的条件解释作图的合理性. 3.在实践操作过程中，逐步规范作图语言,能依据规范作图语言作出相应的图形，积累几何探究经验. 4.体会数学作图语言和图形的和谐统一，感受数学知识的严谨性与逻辑性，增强几何学习的自信心.  三、教学重难点 重点：能用尺规作图：已知三边，两边及其夹角，两角及其夹边作三角形. 难点：知道作图的依据，会运用两个三角形全等的条件解释作图的合理性   四、教学过程 · 复习回顾 问题：如何利用直尺和圆规作一条线段等于已知线段？ 如图，求作一条线段等于已知线段AB. 答案：作法：(1)用直尺画一条射线OC. (2) 以O为圆心、AB长为半径画弧，与射线OC交于点D. (3)线段OD即为所求. 问题：如何利用直尺和圆规作一个角等于已知角？ 如图，已知∠AOB，求作∠A'O'B'，使∠A'O'B'=∠AOB. 作法：(1)以点O为圆心,任意长为半径作弧,分别交OA,OB于点C,D； （2）作一条射线 O'A',以点 O'为圆心,OC 为半径作弧,交 O'A'于点C'. （3）以点C'为圆心，CD 为半径作弧，与上一步作的弧相交于点 D'; （4）过点 D'作射线O'B'，则∠A'O'B'=∠AOB. 由三角形全等判定可以得知，利用每一种判定两个三角形全等的条件（_____，_____，_____，_____），都只能作出唯一的三角形. 答案：SSS SAS ASA AAS. 追问：如果已知三角形的三条边（或两边及其夹角，或两角及其夹边），你能利用尺规作出这个三角形吗？ 我们一起来探究吧！ 师生活动：找两名学生板演示范,其他学生在练习本上完成.完成后,请学生试着叙述作法,教师规范学生的语言. 设计意图：通过复习利用尺规作一条线段和作一个角等于已知角,为后面的学习作铺垫；通过对判定两个三角形全等的条件的复习，为本节课的作图提供理论依据；整个复习回顾环节，为新课的讲解奠定了理论基础,使后续的学习比较容易. · 探究新知 活动一：探究已知三边，用尺规作三角形 如图，已知线段a，b，c． 求作：△ABC，使AB＝c，BC＝a，AC＝b. 分析：由作一条线段等于已知线段，能够作出边AB，即A，B两点确定. 因为BC＝a，AC＝b. 所以以点A为圆心，b为半径画弧，以点B为圆心，a为半径画弧，两弧的交点就是点C. 作法: 第一步：作线段AB等于c. 第二步：以点A为圆心，b为半径画弧. 第三步：以点B为圆心，a为半径画弧,两弧交于点C. 第四步：连接AC，BC，△ABC即为所求. 追问：作图的依据是什么? 答案：作图依据：全等三角形的判定方法“SSS”. 师生活动：教师提出问题后学生积极思考，教师引导学生进行，教师示范作图步骤. 设计意图：通过作图验证，将抽象的数学定理转化为具体的实践操作，深化对全等三角形的判定方法“SSS”的理解，同时让学生掌握尺规作图的方法. 活动二：探究已知两边及其夹角，用尺规作三角形 问题：如图，已知线段a，b，∠ .求作△ABC，使BC＝a ，AC＝b，∠ACB＝∠. 分析：由作一个角等于已知角，能够作出∠ACB ＝∠. 再由作一条线段等于已知线段，分别在∠MCN的两边上作出BC ＝ a ，AC＝b，最后连接AB即可. 作法: 第一步:作∠MCN=∠. 第二步:在射线CN，CM上分别截取CB=a，CA=b. 第三步:连接AB.△ABC即为所求. 追问：作图的依据是什么? 答案：作图依据：全等三角形的判定方法“SAS”. 师生活动：学生认真思考，小组之间进行讨论.教师巡回指导，首先选派小组代表阐明作图思路，即分析过程，再继续讨论，尝试写出作法，教师规范作图步骤. 设计意图：在活动一的探究基础上，让学生通过小组讨论自行完成活动二的探究，深刻理解全等三角形的判定方法“SAS”，培养学生分析问题的能力，通过小组讨论，增强团队合作意识. 活动三：探究已知两角及其夹边，用尺规作三角形 问题：如图，已知∠ ,∠,线段 a，求作△ABC，使BC ＝ a ，∠ABC＝∠， ∠ACB ＝∠. 分析：由作一个角等于已知角，能够作出∠DBF＝∠α； 由作一条线段等于已知线段，能够作出边BC＝a；再由作一个角等于已知角，作出以点C为顶点，BC为一边的∠BCE=∠β，进而可得到所求的△ABC. 作法：第一步：作∠DBF＝∠α. 第二步：在射线BF上截取线段BC＝a. 第三步：以点C为顶点，以BC为一边，作∠BCE=∠β，CE交BD于点A. △ABC即为所求作的三角形. 追问：作图的依据是什么？ 答案：作图依据：全等三角形的判定方法“ASA”. 追问：还有不同的作法吗？ 答案：作法：第一步：作线段BC＝a. 第二步：以点B为顶点，以BC为一边，作∠MBC＝∠α. 第三步：以点C为顶点，以BC为一边，作∠BCE=∠β，CE交BM于点A. △ABC即为所求作的三角形. 师生活动：师生共同分析作图思路后，学生动手作图，小组之间进行讨论、比较.教师巡回指导，注意指导作一个角等于已知角的方法，选派小组代表叙述作图过程，教师规范作图步骤. 设计意图：学生通过作图理解全等三角形的判定方法“ASA.,将作图与三角形全等的判定方法紧密联系，完善对三角形全等知识的认识. · 应用新知 例1 已知线段a，b，求作△ABC，使AB=AC=a，BC=b. 解：作法: (1)作线段BC=b; (2)分别以B,C为圆心,a为半径画弧两弧交于点A; (3)连接AB,AC,△ABC即为所求. 总结： 作出符合要求的三角形，关键是根据条件确定三角形的三个顶点的位置.解题时候要根据实际情况判断是否存在多个符合题设条件的△ABC. 师生活动：学生分组讨论，教师巡回指导，最后利用小组评价机制进行加分. 设计意图：让学生运用所学的作图方法进行实际操作，从而巩固对不同条件下三角形尺规作图的掌握，熟练作图步骤和技巧. 例2. 已知线段a，直角和锐角.求作直角三角形ABC，使∠C=∠,∠A=∠,BC=a. 分析：根据直角三角形的两个直角互为余角可以先作出∠β的余角∠. 此题就转化为“已知线段a，直角α和锐角.求作直角三角形ABC，使∠C=∠α，∠B=∠，BC=a.解：作法： 第一步：作出ㄥ的余角记为∠. 第二步：作∠NCM=∠α=90°； 第三步：作CB=a； 第四步：以B为顶点，CB为一边，作∠CBE=∠,CE与NC交于点A，，△ABC即为所求作三角形. 师生活动：本题难度较大，教师引导学生先作出∠的余角∠，学生再自行依据“ASA”作出符合条件的三角形. 设计意图：本题难度稍大,由易到难，循序渐进，让学生掌握三角形的尺规作图的各种题型. · 课堂练习 1.已知线段a，求作△ABC，使AB=BC=AC=a. 答案：作法: 第一步:作线段AB等于a. 第二步:以点A为圆心，a为半径画弧. 第三步:以点B为圆心，a为半径画弧两弧交于点C 第四步:连接AC，BC，△ABC即为所求. 2.已知线段a和∠，求作△ABC，使AB=AC=a，∠A=∠. 解:作法: 第一步:作∠MAN=∠. 第二步:在射线AN，AM上分别截取AC=a，AB=a. 第三步:连接BC.△ABC即为所求. 3.如何作一个三角形与已知三角形全等?请思考作图依据并与同学交流. 解：要作一个与已知三角形全等的三角形，核心是依据全等三角形的判定方法，通过确定三边、两边及夹角或两角及一边的对应相等关系来作图.以下是最常用的3种方法： ①三边法 ②两边夹角法 ③两角夹边法 三边法作图示例如下，作图依据：SSS. 两边夹角法作图示例如下，作图依据：SAS. 两角夹边法作图示例如下，作图依据：ASA. 4.已知：如图所示，已知线段a，用尺规作出△ABC，使AB=a，BC=AC=2a. 作法： (1)先作一条线段等于2a， (2)再作一条线段AB=　　　　；  (3)分别以　　　　、　　　　为圆心，以 为半径画弧，两弧交于C点；  (4)连接　　　　，　　　　,则△ABC就是所求作的三角形. 答案：a； A B  AC BC 5.如图所示，△ABC是不等边三角形，DE=BC，以D，E为两个顶点作位置不同的三角形，使所作三角形与△ ABC全等，这样的三角形最多可以作出(　　) A.2个 B.4个 C.6个 D.8个 分析：分别是以D为圆心，AB长为半径画弧，以E为圆心，AC长为半径画弧，两弧相交于M,N两点，经过连接后可得到2个与△ABC全等的三角形. 再以D为圆心，AC长为半径画弧,以E为圆心，AB长为半径画弧，两弧相交于P，Q两点，经过连接后可得到2个与△ ABC全等的三角形.故选B. 答案：B 6.如图所示，已知∠α，∠β和线段a，求作△ABC，使BC=a，∠B与∠α的补角相等，∠C=∠β. 解：作法： 第一步：作直线MN，并在上面取点B. 第二步：作∠MBP=∠α，则∠NBP与∠α的补角相等. 第三步：在BN上截取线段BC=a. 第四步：作∠BCQ=∠β，射线CQ，BP相交于点A，得到△ABC. 师生活动：学生独立完成，教师巡回，及时把握学生对知识的掌握情况. 设计意图：通过练习，学以致用，及时获知学生对所学知识的掌握程度，调动全体学生学习数学的积极性，使每个学生都能有所收益、有所提高. · 总结归纳 这节课你学到了哪些知识？说说你的体会. 设计意图：通过学生对本节课所学内容的归纳、总结，把零碎的知识点和认知过程形成了一个完整的知识体系. 学科网（北京）股份有限公司 $