第1章推理与证明单元测试卷2025-2026学年青岛版八年级数学 上册

第1章《推理与证明》单元测试卷 一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列语句是命题的是（　　） A．一起向未来！ B．食堂的葱油鸡好吃吗？ C．连接A，B两点 D．﹣1是一个负数 2．下列命题中，真命题是（　　） A．相等的角是对顶角 B．如果a＝b，那么a2＝b2 C．内错角相等 D．同旁内角互补 3．下列选项中可以用作说明“若a＞b，则|a|＞|b|”是假命题的反例是（　　） A．a＝6，b＝5 B．a＝﹣5，b＝﹣6 C．a＝﹣6，b＝5 D．a＝6，b＝﹣5 4．用反证法证明“在三角形中，至少有一个内角不小于60°”时，应先假设这个三角形中（　　） A．内角都不小于60° B．锐角都不大于60° C．内角都小于60° D．锐角都大于60° 5．如图，小明在地图上量得∠1＝∠2，由此判断幸福大街与平安大街互相平行，他判断的依据是（　　） A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行 C．同旁内角互补，两直线平行 D．对顶角相等 6．将一个含30°角的三角尺ABC如图放置，点B，C分别在直线a，b上，a∥b．当∠1＝10°时，∠2的度数为（　　） A．40° B．45° C．50° D．60° 7．物理学中，我们知道光线照射到平面镜镜面时会产生反射现象．如图一个平面镜斜着放在水平面上，在OB上有一点E，从点E射出一束光线（入射光线），经平面镜点D处反射后，反射光线DC刚好与OB平行，已知入射光线和反射光线的夹角∠EDC＝110°，则∠DEB的度数为（　　） A．35° B．55° C．70° D．110° 8．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的高，E是BC的中点，连接AE，则图中的直角三角形共有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 9．如图是一条对边互相平行的礼品包装丝带，若按图所示折叠，已知AB∥DC，DF∥CG，∠FMB＝76°，则∠ABC的度数为（　　） A．76° B．40° C．38° D．36° 10．如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC上两点，将△ABC沿DE折叠，使点A落在点F处，若∠A＝α，∠FDB＝β，则∠FEC的度数是（　　） A．α+β B．α+2β C．2α+β D． 二．填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11．把命题“互为相反数的两个数的和为零”写成“如果…那么…”的形式：　__________________　 ． 12．命题“若两数之积为正数，则这两数为正数”的逆命题是 　___　 （填“真”或“假”）命题． 13．如图，AB∥CD，AE平分∠BAC．若∠1＝40°，则∠AED的度数为　_______　 ． 14．空竹在中国有悠久的历史，明代《帝京景物略》一书中就记载了空竹的玩法和制作方法．抖空竹是靠四肢配合完成的运动项目，被誉为“中华传统体育文化的瑰宝”．2006年5月20日，抖空竹被列入第一批国家级非物质文化遗产名录．小洛在观察抖空竹时发现，可以从运动员某一时刻的姿势中抽象出数学问题：如图，AB∥CD，∠CDE＝87°，∠E＝35°，则∠ABE的度数为　_______　 ． 15．狼人杀是一款策略类游戏，狼人可以在黑夜吞噬一名玩家，其他角色需要在白天通过整理信息、逻辑推理找出狼人．在一场对局中，A、B、C、D分别是狼人、预言家、守卫、平民这四种角色中的一种．A说：“我不是狼人．”B说：“D是狼人．”C说：“B是狼人．”D说：“我不是狼人．” 他们中只有一个人没有说真话，你认为　___　 是狼人． 三．解答题（共8小题，共75分。请写出必要的文字说明、证明过程和验算步骤） 16．如图，现有以下3个论断： ①AB∥CD；②∠B＝∠C；③∠E＝∠F． 请以其中2个论断为条件，另一个论断为结论构造命题． （1）你构造的是哪几个命题？ （2）你构造的命题是真命题还是假命题？请选择其中一个真命题加以证明． 17．一个三位正整数，它的百位数字与个位数字相等，我们把这样的三位正整数叫作“对称数”，如101，232，555等都是“对称数”． 观察：101﹣（1+0+1）＝99＝9×11；232﹣（2+3+2）＝225＝9×25； 555﹣（5+5+5）＝540＝9×60⋯ 猜想：将“对称数”减去其各位数字之和，所得结果能够被 　___　 整除． 验证： （1）若这个“对称数”是979，请通过计算验证小红的猜想； （2）设一个对称数的百位数字与个位数字均为a，十位数字均为b，请你通过推理说明猜想是正确的． 18．（1）如图，在△ABC中，∠A＝70°，BO，CO分别平分∠ABC和∠ACB，求∠BOC的度数． （2）在（1）中去掉∠A＝70°这个条件，请探究∠BOC和∠A之间的数量关系，并说明理由． 19．阅读下列材料，并解答相关问题． 背景 在探究三角形内角和定理的课上，李老师引导同学们根据拼合过程，思考如何作出辅助线证明． 问题初探 嘉嘉经过观察、思考之后，发现过三角形ABC的顶点A作DE∥BC，则由平行线的性质与平角的定义就能证明“三角形三个内角的和等于180°”这个命题． 已知：如图1，在三角形ABC中，过顶点A作DE∥BC． 求证：∠BAC+∠B+∠C＝180°． 证明：∵DE∥BC， ∴∠B＝①　_____　 ，∠C＝②　_____　 ．（③　______________　 ） ∵∠BAC+∠1+∠2＝180°，（平角定义） ∴∠BAC+④　_____　 +⑤　_____　 ＝180°．（等量代换） 类比分析 淇淇将顶点A的位置一般化（如图2），换成三角形ABC边AB上的任意一点P，过顶点P分别作平行于AC，BC的平行线．由平行线的性质与平角的定义，也证明了“三角形三个内角的和等于180°”这个命题． 学以致用 为方便市民绿色出行，我市推出了共享单车服务，图3是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图4是其平面示意图，其中AB，CD都与地面l平行，∠BCD＝70°，∠BAC＝50°，当∠MAC＝　______　 °时，AM∥CE． （1）补全嘉嘉的证明过程中序号所对应的内容． （2）对于淇淇的证明思路，请你先作出辅助线，再完成这个证明． （3）在图4中，当∠MAC＝　_____　 °时，AM∥CE． 20．如图，AB∥DG，∠1+∠2＝180°． （1）求证：AD∥EF； （2）若DG是∠ADC的平分线，∠2＝148°，求∠EFD的度数． 21．如图，D，E，G分别是AB，AC，BC边上的点，∠1+∠2＝180°，∠3＝∠B． （1）求证：AB∥EG； （2）请说明∠ADE＝∠B的理由； （3）若DE平分∠ADC，∠2＝2∠B，判断CD与EG的位置关系． 22．将一副三角板的两个直角顶点重合，记为点O，然后让两个三角板直角所对的边AB和CD平行，已知∠AOB＝∠COD＝90°，∠A＝∠B＝45°，∠C＝60°，∠D＝30°，求此时不同三角板的直角边所形成的最小夹角的度数． （1）某位同学探究时摆放出如图1所示的图形，请帮他求出此时不同三角板的直角边所形成的最小夹角∠AOD的度数； （2）除了（1）中的情况之外，某位同学摆放出如图2所示的另一种情况，请帮他求出此时不同三角板的直角边所形成的最小夹角∠AOC的度数． 23．探究问题：已知∠ABC，画一个角∠DEF，使DE∥AB，EF∥BC，且DE交BC于点P．∠ABC与∠DEF有怎样的数量关系？ （1）我们发现∠ABC与∠DEF有两种位置关系：如图1与图2所示． ①图1中∠ABC与∠DEF数量关系为 　_________________　 ；图2中∠ABC与∠DEF数量关系为 　____________　 ； ②请选择一种情况写出证明过程． ③由①得出如果两个角的两边互相平行，那么这两个角 　________　 ． （2）应用③中的真命题，解决以下问题： 若两个角的两边互相平行，且一个角比另一个角的2倍少60°，求这两个角的度数． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1章《推理与证明》单元测试卷 一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列语句是命题的是（　　） A．一起向未来！ B．食堂的葱油鸡好吃吗？ C．连接A，B两点 D．﹣1是一个负数 【答案】D． 【解析】解：A、一起向未来！是感叹句，没有对事情作出判断，不是命题，不符合题意； B、食堂的葱油饼好吃吗？是疑问句，没有对事情作出判断，不是命题，不符合题意； C、连接A，B两点，是陈述性语句但没有对事情作出判断，不是命题，不符合题意； D、﹣1是一个负数，是命题，符合题意． 故选：D． 2．下列命题中，真命题是（　　） A．相等的角是对顶角 B．如果a＝b，那么a2＝b2 C．内错角相等 D．同旁内角互补 【答案】B． 【解析】解：根据对顶角的定义、平行线的性质，逐项进行判断如下： A，相等的角不一定是对顶角，原说法错误，是假命题，不符合题意； B，如果 a＝b，那么 a2＝b2，原说法正确，是真命题，符合题意； C，内错角不一定相等，原命题错误，不符合题意； D，同旁内角不一定互补，原命题错误，不符合题意． 故选：B． 3．下列选项中可以用作说明“若a＞b，则|a|＞|b|”是假命题的反例是（　　） A．a＝6，b＝5 B．a＝﹣5，b＝﹣6 C．a＝﹣6，b＝5 D．a＝6，b＝﹣5 【答案】B． 【解析】解：A、当a＝6，b＝5时，a＞b，|a|＞|b|，不能说明“若a＞b，则|a|＞|b|”是假命题，不符合题意； B、当a＝﹣5，b＝﹣6时，a＞b，|a|＜|b|，说明“若a＞b，则|a|＞|b|”是假命题，符合题意； C、当a＝﹣6，b＝5时，a＜b，不能说明“若a＞b，则|a|＞|b|”是假命题，不符合题意； D、当a＝6，b＝﹣5时，a＞b，|a|＞|b|，不能说明“若a＞b，则|a|＞|b|”是假命题，不符合题意； 故选：B． 4．用反证法证明“在三角形中，至少有一个内角不小于60°”时，应先假设这个三角形中（　　） A．内角都不小于60° B．锐角都不大于60° C．内角都小于60° D．锐角都大于60° 【答案】C． 【解析】解：用反证法证明“在三角形中，至少有一个内角不小于60°”时，应先假设这个三角形中内角都小于60°， 故选：C． 5．如图，小明在地图上量得∠1＝∠2，由此判断幸福大街与平安大街互相平行，他判断的依据是（　　） A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行 C．同旁内角互补，两直线平行 D．对顶角相等 【答案】B 【解析】解：∵∠1和∠2是内错角，∠1＝∠2， ∴判断幸福大街与平安大街互相平行的依据是：内错角相等，两直线平行． 故选：B． 6．将一个含30°角的三角尺ABC如图放置，点B，C分别在直线a，b上，a∥b．当∠1＝10°时，∠2的度数为（　　） A．40° B．45° C．50° D．60° 【答案】C 【解析】解：如图， 由含30°角的三角尺ABC知：∠ABC＝60°， ∵∠1＝10°， ∴∠3＝60°﹣∠1＝50°， ∵a∥b， ∴∠2＝∠3＝50°． 故选：C． 7．物理学中，我们知道光线照射到平面镜镜面时会产生反射现象．如图一个平面镜斜着放在水平面上，在OB上有一点E，从点E射出一束光线（入射光线），经平面镜点D处反射后，反射光线DC刚好与OB平行，已知入射光线和反射光线的夹角∠EDC＝110°，则∠DEB的度数为（　　） A．35° B．55° C．70° D．110° 【答案】．C 【解析】解：∵DC∥OB， ∴∠EDC+∠DEB＝180°， ∵∠EDC＝110°， ∴∠DEB＝180°﹣110°＝70°， 故选：C． 8．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的高，E是BC的中点，连接AE，则图中的直角三角形共有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C． 【解析】解：因为∠BAC＝90°， 所以△ABC是直角三角形． 因为AD是BC边上的高， 所以∠ADB＝∠ADC＝90°， 所以△ABD、△AED、△ACD都是直角三角形， 所以图中的直角三角形共有4个． 故选：C． 9．如图是一条对边互相平行的礼品包装丝带，若按图所示折叠，已知AB∥DC，DF∥CG，∠FMB＝76°，则∠ABC的度数为（　　） A．76° B．40° C．38° D．36° 【答案】C． 【解析】解：如图， ∵AB∥DC，DF∥CG，∠FMB＝76°， ∴∠GCO＝∠BNG，∠BNG＝∠FMB＝76°， ∴∠GCO＝76°， 由折叠的性质得∠GCB＝∠BCO＝38°， ∵AB∥DC， ∴∠ABC＝∠BCO＝38°， 故选：C． 10．如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC上两点，将△ABC沿DE折叠，使点A落在点F处，若∠A＝α，∠FDB＝β，则∠FEC的度数是（　　） A．α+β B．α+2β C．2α+β D． 【答案】C． 【解析】解：由折叠可得：∠ADE＝∠EDF，∠AED＝∠DEF， ∵∠FDB＝β， ∴∠ADF＝180°﹣∠EDB＝180°﹣β， ∴∠ADE＝（360°﹣∠ADF）＝90°+， ∵∠A＝α， ∴∠AED＝180°﹣∠A﹣∠ADE＝90°﹣﹣α， ∴∠AEF＝∠AED+∠DEF＝2∠AED＝180°﹣2α﹣β， ∴∠FEC＝180°﹣∠AEF＝2α+β． 故选：C． 二．填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11．把命题“互为相反数的两个数的和为零”写成“如果…那么…”的形式：　__________________　 ． 【答案】如果两个数互为相反数，那么这两个数的和为零． 【解析】解：命题“互为相反数的两个数的和为零”写成“如果…那么…”的形式为：如果两个数互为相反数，那么这两个数的和为零， 故答案为：如果两个数互为相反数，那么这两个数的和为零． 12．命题“若两数之积为正数，则这两数为正数”的逆命题是 　___　 （填“真”或“假”）命题． 【答案】假． 【解析】解：∵两数之积为正数，则这两数为正数或负数， ∴命题“若两数之积为正数，则这两数为正数”的逆命题是假命题， 故答案为：假． 13．如图，AB∥CD，AE平分∠BAC．若∠1＝40°，则∠AED的度数为　_______　 ． 【答案】110°． 【解析】解：∵∠1＝40°， ∴∠BAC＝180°﹣∠1＝140°， ∵AE平分∠BAC， ∴∠BAE＝∠BAC＝70°， ∵AB∥CD， ∴∠BAE+∠AED＝180°， ∴∠AED＝110°． 故答案为：110°． 14．空竹在中国有悠久的历史，明代《帝京景物略》一书中就记载了空竹的玩法和制作方法．抖空竹是靠四肢配合完成的运动项目，被誉为“中华传统体育文化的瑰宝”．2006年5月20日，抖空竹被列入第一批国家级非物质文化遗产名录．小洛在观察抖空竹时发现，可以从运动员某一时刻的姿势中抽象出数学问题：如图，AB∥CD，∠CDE＝87°，∠E＝35°，则∠ABE的度数为　_______　 ． 【答案】122°． 【解析】解：过E作EF∥CD，∠CDE＝87°，∠E＝35°， ∴∠DEF＝180°﹣∠D＝180°﹣87°＝93°， ∴∠BEF＝∠DEF﹣∠DEB＝58°， ∵AB∥CD， ∴AB∥EF， ∴∠ABE＝180°﹣∠BEF＝122°． 故答案为：122°． 15．狼人杀是一款策略类游戏，狼人可以在黑夜吞噬一名玩家，其他角色需要在白天通过整理信息、逻辑推理找出狼人．在一场对局中，A、B、C、D分别是狼人、预言家、守卫、平民这四种角色中的一种．A说：“我不是狼人．”B说：“D是狼人．”C说：“B是狼人．”D说：“我不是狼人．” 他们中只有一个人没有说真话，你认为　___　 是狼人． 【答案】B． 【解析】解：已知B说：“D是狼人．”，D说：“我不是狼人．”．这两人对于D是否为狼人给出了完全相反的说法．因为题目中明确只有一个人没有说真话，所以可以确定没有说真话的人就在B和D之中．由于没有说真话的人在B和D之中，那么A和C说的都是真话．而C说：“B是狼人．”，因为C说的是真话，所以可以得出B就是狼人． 故答案为：B． 三．解答题（共8小题，共75分。请写出必要的文字说明、证明过程和验算步骤） 16．如图，现有以下3个论断： ①AB∥CD； ②∠B＝∠C； ③∠E＝∠F． 请以其中2个论断为条件，另一个论断为结论构造命题． （1）你构造的是哪几个命题？ （2）你构造的命题是真命题还是假命题？请选择其中一个真命题加以证明． 【答案】（1）构造3个命题；（2）略． 【解析】解：（1）构造3个命题如下： 条件是：①AB∥CD；②∠B＝∠C；结论是：③∠E＝∠F； 条件是：①AB∥CD；③∠E＝∠F；结论是：②∠B＝∠C； 条件是：②∠B＝∠C；③∠E＝∠F；结论是：①AB∥CD； （2）条件是：①AB∥CD；②∠B＝∠C；结论是：③∠E＝∠F；此命题是真命题， 证明：∵AB∥CD， ∴∠C＝∠BAE， ∵∠B＝∠C， ∴∠B＝∠BAE， ∴AC∥BF， ∴∠E＝∠F； 条件是：①AB∥CD；③∠E＝∠F；结论是：②∠B＝∠C；此命题是真命题， 证明：∵AB∥CD， ∴∠C＝∠BAE， ∵∠E＝∠F， ∴CE∥BF， ∴∠B＝∠BAE， ∴∠B＝∠C； 条件是：②∠B＝∠C；③∠E＝∠F；结论是：①AB∥CD；此命题是真命题， 证明：∵∠E＝∠F， ∴CE∥BF， ∴∠B＝∠BAE， ∵∠B＝∠C， ∴∠C＝∠BAE， ∴AB∥CD． 17．一个三位正整数，它的百位数字与个位数字相等，我们把这样的三位正整数叫作“对称数”，如101，232，555等都是“对称数”． 观察：101﹣（1+0+1）＝99＝9×11；232﹣（2+3+2）＝225＝9×25； 555﹣（5+5+5）＝540＝9×60⋯ 猜想：将“对称数”减去其各位数字之和，所得结果能够被 　___　 整除． 验证： （1）若这个“对称数”是979，请通过计算验证小红的猜想； （2）设一个对称数的百位数字与个位数字均为a，十位数字均为b，请你通过推理说明猜想是正确的． 【答案】猜想 9；（1）略；（2）略． 【解析】解：101﹣（1+0+1）＝99＝9×11； 232﹣（2+3+2）＝225＝9×25； 555﹣（5+5+5）＝540＝9×60． 将“对称数”减去其各位数字之和，所得结果能够被9整除． 故答案为：9．、 （1）979﹣（9+7+9）＝954＝9×106，故将“对称数”减去其各位数字之和，所得结果能够被9整除； （2）（100a+10b+a）﹣（a+b+a）＝99a+9b＝9（11a+b）， ∵a，b为整数， ∴9（11a+b）能被9整除， ∴“对称数”减去其各位数字之和，所得结果能够被9整除． 18．（1）如图，在△ABC中，∠A＝70°，BO，CO分别平分∠ABC和∠ACB，求∠BOC的度数． （2）在（1）中去掉∠A＝70°这个条件，请探究∠BOC和∠A之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）125°；（2）∠BOC＝90°+∠A． 【解析】解：（1）∵∠A＝70°， ∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝180°﹣70°＝110°， ∵BO，CO分别平分∠ABC和∠ACB， ∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB， ∴∠OBC+∠OCB＝（∠ABC+∠ACB）＝×110°＝55°， 在△BCO中，∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣55°＝125°； （2）在△ABC中，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A， ∵BO，CO分别平分∠ABC和∠ACB， ∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB， ∴∠OBC+∠OCB＝（∠ABC+∠ACB）＝×（180°﹣∠A）＝90°﹣∠A， 在△BCO中，∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣（90°﹣∠A）＝90°+∠A， 即∠BOC＝90°+∠A． 19．阅读下列材料，并解答相关问题． 背景 在探究三角形内角和定理的课上，李老师引导同学们根据拼合过程，思考如何作出辅助线证明． 问题初探 嘉嘉经过观察、思考之后，发现过三角形ABC的顶点A作DE∥BC，则由平行线的性质与平角的定义就能证明“三角形三个内角的和等于180°”这个命题． 已知：如图1，在三角形ABC中，过顶点A作DE∥BC． 求证：∠BAC+∠B+∠C＝180°． 证明：∵DE∥BC， ∴∠B＝①　_____　 ，∠C＝②　_____　 ．（③　______________　 ） ∵∠BAC+∠1+∠2＝180°，（平角定义） ∴∠BAC+④　_____　 +⑤　_____　 ＝180°．（等量代换） 类比分析 淇淇将顶点A的位置一般化（如图2），换成三角形ABC边AB上的任意一点P，过顶点P分别作平行于AC，BC的平行线．由平行线的性质与平角的定义，也证明了“三角形三个内角的和等于180°”这个命题． 学以致用 为方便市民绿色出行，我市推出了共享单车服务，图3是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图4是其平面示意图，其中AB，CD都与地面l平行，∠BCD＝70°，∠BAC＝50°，当∠MAC＝　______　 °时，AM∥CE． （1）补全嘉嘉的证明过程中序号所对应的内容． （2）对于淇淇的证明思路，请你先作出辅助线，再完成这个证明． （3）在图4中，当∠MAC＝　_____　 °时，AM∥CE． 【答案】（1）①∠1；②∠2；③两直线平行，内错角相等；④∠B；⑤∠C； （2）略；（3）60． 【解析】（1）证明：∵DE∥BC， ∴∠B＝①∠1，∠C＝②∠2．（③两直线平行，内错角相等） ∵∠BAC+∠1+∠2＝180°，（平角定义） ∴∠BAC+④∠B+⑤∠C＝180°．（等量代换） 故答案为：①∠1；②∠2；③两直线平行，内错角相等；④∠B；⑤∠C； （2）证明：如图，过P作PT∥BC，PK∥AC交BC于K， ∴∠APT＝∠B，∠TPK＝∠BKP，∠BPK＝∠A，∠BKP＝∠C， ∴∠C＝∠TPK， ∵∠BPK+∠TPK+∠APT＝180°， ∴∠A+∠B+∠C＝180°； （3）解：∵AB∥CD∥l， ∴∠BAC+∠ACD＝180°， ∵∠BAC＝50°， ∴∠ACD＝180°﹣50°＝130°， ∵∠BCD＝70°， ∴∠ACB＝130°﹣70°＝60°， ∴当∠MAC＝60°＝∠ACB时， ∴AM∥CE． 故答案为：60． 20．如图，AB∥DG，∠1+∠2＝180°． （1）求证：AD∥EF； （2）若DG是∠ADC的平分线，∠2＝148°，求∠EFD的度数． 【答案】（1）略；（2）∠EFD＝64°． 【解析】（1）证明：∵AB∥DG， ∴∠BAD＝∠1， ∵∠1+∠2＝180°， ∴∠BAD+∠2＝180°， ∴AD∥EF； （2）解：∵∠2＝148°，∠1+∠2＝180°， ∴∠1＝32°， ∵DG是∠ADC的平分线， ∴∠ADC＝2∠1＝64°， ∵AD∥EF， ∴∠EFD＝∠ADC＝64°． 21．如图，D，E，G分别是AB，AC，BC边上的点，∠1+∠2＝180°，∠3＝∠B． （1）求证：AB∥EG； （2）请说明∠ADE＝∠B的理由； （3）若DE平分∠ADC，∠2＝2∠B，判断CD与EG的位置关系． 【答案】（1）略；（2）略；（3）CD⊥EG． 【解析】（1）证明：∵∠GFD＝∠1，∠1+∠2＝180°， ∴∠2+∠DFG＝180°， ∴AB∥EG（同旁内角互补，两直线平行）； （2）证明：∵AB∥EG， ∴∠B＝∠EGC（两直线平行，同位角相等）， ∵∠B＝∠3， ∴∠3＝∠EGC， ∴DE∥BC， ∴∠ADE＝∠B． （3）解：CD⊥EG． ∵DE平分∠ADC， ∴∠ADE＝∠EDC， ∵DE∥BC， ∴∠B＝∠ADE＝∠EDC， ∵∠2＝2∠B，∠2+∠ADE+∠EDC＝180°， ∴2∠B+∠B+∠B＝180°， ∴∠B＝45°， ∴∠2＝2∠B＝90°， ∴CD⊥AB， ∵AB∥EG， ∴CD⊥EG． 22．将一副三角板的两个直角顶点重合，记为点O，然后让两个三角板直角所对的边AB和CD平行，已知∠AOB＝∠COD＝90°，∠A＝∠B＝45°，∠C＝60°，∠D＝30°，求此时不同三角板的直角边所形成的最小夹角的度数． （1）某位同学探究时摆放出如图1所示的图形，请帮他求出此时不同三角板的直角边所形成的最小夹角∠AOD的度数； （2）除了（1）中的情况之外，某位同学摆放出如图2所示的另一种情况，请帮他求出此时不同三角板的直角边所形成的最小夹角∠AOC的度数． 【答案】（1）75°；（2）15°． 【解析】解：（1）如图1：过点O作OE∥CD， ∵OE∥CD， ∴∠D＝∠DOE， ∵CD∥AB， ∴OE∥AB， ∴∠EOA＝∠A， ∴∠AOD＝∠AOE+∠DOE＝∠A+∠D， ∵∠D＝30°，∠A＝45°， ∴∠AOD＝45°+30°＝75°； （2）如图2： ∵AB∥CD， ∴∠OEB＝∠C＝60°， ∵∠OEB＝∠A+∠AOC， ∴∠AOC＝∠OEB﹣∠A＝60°﹣45°＝15°． 23．探究问题：已知∠ABC，画一个角∠DEF，使DE∥AB，EF∥BC，且DE交BC于点P．∠ABC与∠DEF有怎样的数量关系？ （1）我们发现∠ABC与∠DEF有两种位置关系：如图1与图2所示． ①图1中∠ABC与∠DEF数量关系为 　_________________　 ；图2中∠ABC与∠DEF数量关系为 　____________　 ； ②请选择一种情况写出证明过程． ③由①得出如果两个角的两边互相平行，那么这两个角 　________　 ． （2）应用③中的真命题，解决以下问题： 若两个角的两边互相平行，且一个角比另一个角的2倍少60°，求这两个角的度数． 【答案】（1）①如图1中，∠ABC+∠DEF＝180°．如图2中，∠ABC＝∠DEF； ②略； ③相等或互补； （2）60°和60°或80°和100°． 【解析】解：（1）①如图1中，∠ABC+∠DEF＝180°．如图2中，∠ABC＝∠DEF， ②如图1中， ∵EF∥BC， ∴∠DPB＝∠DEF， ∵AB∥DE， ∴∠ABC+∠DPB＝180°， ∴∠ABC+∠DEF＝180°． 故答案为：∠ABC+∠DEF＝180°； 如图2中，∵EF∥BC， ∴∠DPC＝∠DEF， ∵AB∥DE， ∴∠ABC＝∠DPC， ∴∠ABC＝∠DEF． 故答案为：∠ABC＝∠DEF； ③结论：如果两个角的两边互相平行，那么这两个角相等或互补． 故答案为：相等或互补； （2）设两个角分别为x°和（2x﹣60）°， 由题意x＝2x﹣60或x+2x﹣60＝180， 解得x＝60或x＝80， ∴这两个角的度数为60°和60°或80°和100°． / 学科网（北京）股份有限公司 $