专题01 推理与证明重点复习:必备知识+重难题型+分层验收（期中复习讲义）八年级数学上学期新教材青岛版

命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题01推理与证明（期中复习讲义） 明·期中考情 核心考点 复习目标 考情规律 定义与命题 准确区分定义、命题、定理和证明 基础必考点，常出现在填空题。 的不同。 证明 能够掌握证明的基本步骤和格式， 反证法不是常考类型，但反证的思维方式在 能够运用反证法进行数学证明。 很多题目和思考解题思路中广泛应用。 几何证明 能够运用已知定理解决几何问题。 常考题型，解答题中包括压轴题中都应用几 何证明。 记·必备知识 昼知识点1定义与命题 1)定义：能够说明一个概念含义的语句叫作这个概念的定义。 2)定义的作用：定义可以帮助人们认识和理解这个概念区别于其他概念的本质特征。定义既可以作为性质 使用，又可以提供判定依据。 3)命题：对某件事情作出判断的语句叫作命题。 4)命题的组成：命题通常由条件和结论两部分组成。条件是己知的事项，结论是由己知事项推断出的事项。 5)命题的一般叙述形式是“如果.…，那么.”。 6)真命题：当条件成立时，结论一定成立的命题叫作真命题。 7)假命题：当条件成立时，结论不一定成立的命题叫作假命题。 8)反例：满足命题条件，而结论却与命题结论不同的例子叫作命题的反例。只要能举出一个反例，就可以 说明这个命题是假命题。 屋知识点02证明 1)基本事实：人们在长期是实践中，经过分析总结后，把那些公认的真命题作为基本事实，以基本事实为 依据来证实其他命题。 2)等量代换：一个量可以用它的等量来替换，即等量代换。 1/16 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3)在代数中，可以依据定义、运算法则、运算律、公式、等式（不等式）的基本性质等进行运算和推理。 4)我们学过的基本事实： (1)两点确定一条直线； (2)两点之间线段最短； (3)同一平面内，过一点有且只有一条直线与己知直线垂直； (4)过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行； (5)两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。 5)证明：基本事实通常作为论证的起点和依据。从定义、基本事实及已知条件出发，通过逻辑推理的方法 证实命题的过程叫作证明。 6)定理：我们把推理证实的真命题叫作定理。定理和基本事实一样，也可以作为证明的依据。 受知识点3几何证明 1)在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫作互逆 命题。如果把其中一个命题叫作原命题，那么另一个命题叫作它的逆命题 2)逆定理：如果一个定理的逆命题也是真命题，那么这个逆命题叫作原定理的逆定理。 3)三角形内角和定理：三角形的内角和等于180度。 4)三角形内角和定理推论：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。 三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角。 5)铺助线：为了证明的需要，在原来图形上添加的线叫作辅助线，辅助线通常画作虚线。 6)直角三角形的性质定理：直角三角形的两个锐角互余。 7)直角三角形的判定定理：有两个角互余的三角形是直角三角形。 8)反证法：先提出与命题的结论相反的假设，再从假设出发推出矛盾，从而证明命题成立的方法叫作反证 法。 9)用反证法证明命题的步骤： ①否定结论-假设命题的结论不成立， ②推出矛盾-从假设出发，根据已知条件，经过推理，得出一个与命题的条件、定义、基本事实、定 理等相矛盾的结果； ③肯定结论由矛盾判定假设不成立，从而证明命题成立。 10)平行线的性质定理： 性质定理1：两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等。 2/16 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 性质定理2.两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等。 性质定理3.两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补。 11)平行线的判定定理： 判定定理1：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行。 判定定理2：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行。 平行线的传递性：平行于同一条直线的两条直线平行。 破·重难题型 题型一 同角（等角）的余角（补角）相等 答|题模板 如图，O为直线AB上的一点，OC平分∠AOB,∠DOE=90° B 0 (1)∠A0D和LCOE相等吗？为什么？ (2)除(1)中的一对角和90°的角外，还有哪些相等的角？请说明理由. (1)解：∠A0D和∠C0E相等.理由如下： 由题意可知，OC平分∠A0B,LA0B=180°， ∠A0C=∠B0C=90°， ∠A0D+∠C0D=90° 又：LD0E=90°」 ∠C0E+∠C0D=90°， :∠A0D=∠COE (2)解：LB0E和LCOD相等.理由如下： 3/16 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 由题意，得LC0D+∠C0E=90°，∠C0E+∠B0E=90° :∠B0E=LC0D 【典例1】如图，O为直线AB上一点，0D平分∠AOC,∠DOE=90° A (1)直接写出∠A0D的余角是-； (2)OE是∠BOC的平分线吗？请说明理由. 【变式1】如图∠AOB=180°，∠FOD=∠COE=90°. B (1)请写出∠E0F与∠C0D的数量关系，并说明理由； (2)写出∠A0F的补角和余角： (3)如果∠A0F=34°，0C平分∠B0D，,求LC0B度数. 【变式2】如图，直线AB,CD,OE,OF相交于点0，LB0E=∠DOF=90°. (1)求证：∠D0B=∠F0E: (2)若∠A0F=69°，求∠B0F的度数. 它题型二 写出命题并证明 答|题模|板 己知：如图，在ABC中，D,E是边BC上的两点，G是边AB上的一点，连接EG并延长，交CA的延长 线于点F.从以下三个条件中选两个作为条件，另一个作为结论，构成一个真命题，并加以证明：①AD平 4/16 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 分∠BAC;②EF∥AD;③LAGF=LF, G B ED 条件： 结论： ·(填序号) 证明： 解：当条件是①AD平分LBAC,②EF∥AD;结论是③LAGF=LF时： 证明：“AD平分∠BAC, :∠DAB=∠DAC :EF∥AD, ·∠AGF=LBAD,∠F=∠DAC ∠AGF=LF； 当条件是①③，结论是②时： 证明：：AD平分∠BAC, ∴.∠DAB=∠DAC= ∠BAC .ZAGF ZF, :.ZBAC ZAGF +ZF 22F :ZCAD ZF EF∥AD: 当条件是②③，结论是①时： :EF∥AD, ∠AGF=∠BAD,LF=LDAC ZAGF=ZF, :ZDAB ZDAC, AD平分∠BAC. 【典例1】如图，现有以下3个论断：①AB∥CD;②∠B=∠C;③∠E=∠F.请以其中2个论断为条件， 另一个论断为结论构造命题. 5/16 厨学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B (1)请写出所有的真命题； (2)请选择其中一个命题加以证明. 【变式1】求证：等腰三角形两底角的角平分线相等. 己知： 求证： 证明： 巴题型三 反证法的应用 答|题|模板 用反证法证明：如果a+b>0,那么a,b中至少有一个大于零. 证明：假设a,b都不大于零， 即a≤0，b≤0， 因为两个非正数相加还是非正数， 所以a+b≤0， 这与已知条件a+b>0矛盾， 所以假设不成立. 所以a,b中至少有一个大于零 【典例1】用反证法证明：已知ABC中，AB=AC,求证：∠B<90°. 【变式1】求证：如果实数a、b满足a2+b2=0,那么a=0且b=0.(用反证法证明) 【变式2】用反证法证明：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.将下面的过程补充完整 己知：如图，∠ACD是ABC的一个外角. 求证：∠ACD=∠A+∠B 6/16 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B C D 证明：假设 在ABC中，∠A+∠B+∠ACB=180°， =180°-∠ACB. :∠ACD+=180°， ∴∠ACD=180°-· .∠ACD= “.与假设相矛盾. 假设不成立. :原命题成立，即∠ACD=LA+∠B. ☑题型四外角相关证明题 答|题|模板 如图，CE是△ABC的外角LACD的角平分线，且CE交BA的延长线于点E. B∠ C D (1)若∠E=40°，∠ACB=46°，求∠B的度数； (2)求证：∠BAC=∠B+2∠E. (1)解：：LACB=46°， :∠ACD=180°-46°=134° :CE是ABC的外角LACD的角平分线， ∠ECD 2X1340=670 ZECD ZB+ZE :1B=67°-40°=27°； 7/16 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)证明：：CE平分LACD, .ZACE=ZDCE .ZDCE=ZB+ZE :ZACE ZB +ZE .ZBAC ZACE ZE :ZBAC ZB+ZE+ZE ZB+2ZE 【典例1】如图，在ABC中，∠B=∠C,点D,E分别是边AB,AC上的点，DP平分∠BDE交BC于 点H,EP平分LDEC交BC于点G,DQ平分∠ADE交PE延长线于点Q. 0 (1)∠P+∠Q=°； (2)试猜想∠Q与∠A的数量关系，并证明你的猜想； (3)若∠EGH=110°，求∠AD2的大小. 【变式1】利用三角形的内角和定理我们可以得到推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和， 【推论证明】(1)如图1，∠ACD是△ABC的一个外角，求证：∠ACD=∠A+∠B; B 图1 【知识应用】(2)如图2，在△ABC中，∠B=60°，点D在边BC上，DE∥AB交AC于点F,若 ∠1=105°，求∠C的度数. 8/16 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D 图2 【变式2】Rt△ABC中，∠C=90°，点D、E分别是ABC边AC、BC上的点，点P是一动点.令 ∠PDA=∠I，∠PEB=∠2，∠DPE=∠a· D B 图(1) 图(2) C E E D (1)若点P在线段AB上，如图(1)所示，且∠a=55°，则∠1+∠2=一 (2)若点P在边AB上运动，如图(2)所示，则∠，∠1∠2之间的关系为-； (3)若点P在Rt△ABC斜边BA的延长线上运动(CE<CD),请直接写出∠a,∠L,∠2之间的关系为-； (4)若点P运动到ABC形外，请自行画出一种情况，并直接写出∠α，∠1，∠2之间的关系为- 过·分层验收 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 一、单选题 1.如图，BP是∠ABC的平分线，CP是ABC的外角∠ACM的平分线，∠ABP=20°，LACP=50°，则 9/16 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠P=(). 4 P 20 50 -M C A.30° B.35 C.25° D.40° 2.在下列条件中：①∠A+∠B=∠C;②∠A:∠B:∠C=1:2:3:③LA=90-∠B:④∠A=∠B=∠C,能 2 确定△ABC是直角三角形的条件有()个. A.1 B.2 C.3 D.4 3.(山东省德州市夏津县2024-2025学年八上学期期中数学)下列命题中，属于真命题的是() A.过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 B.点到直线的垂线段叫作点到直线的距离 C.同位角相等 D.过直线外一点有且只有一条直线与己知直线平行 4.如图，在ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC,DE1AB于E,有下列结论：①CD=ED;② AC+BE=AB;③LBDE=LBAC;④AD平分LCDE;⑤S&ACD:SA ABD=AC:AB,其中正确的有() D C A.5个 B.4个 C.3个 D.2个 二、填空题 5.(山东省威海市温泉中学2023-2024学年八上期中数学)把命题“全等三角形的面积相等”改写成“如果… 那么”的形式_一 6.如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，点D是AB上一点，且BD=CD=5,∠DBC=I5°，则△BCD的面积 为 10/16 专题01 推理与证明（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 定义与命题 准确区分定义、命题、定理和证明的不同。 基础必考点，常出现在填空题。 证明 能够掌握证明的基本步骤和格式，能够运用反证法进行数学证明。 反证法不是常考类型，但反证的思维方式在很多题目和思考解题思路中广泛应用。 几何证明 能够运用已知定理解决几何问题。 常考题型，解答题中包括压轴题中都应用几何证明。 知识点01 定义与命题 1）定义：能够说明一个概念含义的语句叫作这个概念的定义。 2）定义的作用：定义可以帮助人们认识和理解这个概念区别于其他概念的本质特征。定义既可以作为性质使用，又可以提供判定依据。 3）命题：对某件事情作出判断的语句叫作命题。 4）命题的组成：命题通常由条件和结论两部分组成。条件是已知的事项，结论是由已知事项推断出的事项。 5）命题的一般叙述形式是“如果......,那么......”。 6）真命题：当条件成立时，结论一定成立的命题叫作真命题。 7）假命题：当条件成立时，结论不一定成立的命题叫作假命题。 8）反例：满足命题条件，而结论却与命题结论不同的例子叫作命题的反例。只要能举出一个反例，就可以说明这个命题是假命题。 知识点02 证明 1）基本事实：人们在长期是实践中，经过分析总结后，把那些公认的真命题作为基本事实，以基本事实为依据来证实其他命题。 2）等量代换：一个量可以用它的等量来替换，即等量代换。 3）在代数中，可以依据定义、运算法则、运算律、公式、等式（不等式）的基本性质等进行运算和推理。 4）我们学过的基本事实： (1)两点确定一条直线; (2) 两点之间线段最短; (3)同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直; (4)过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行; (5)两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。 5）证明：基本事实通常作为论证的起点和依据。从定义、基本事实及已知条件出发，通过逻辑推理的方法证实命题的过程叫作证明。 6）定理：我们把推理证实的真命题叫作定理。定理和基本事实一样，也可以作为证明的依据。 知识点03 几何证明 1） 在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫作互逆命题。如果把其中一个命题叫作原命题，那么另一个命题叫作它的逆命题。 2） 逆定理：如果一个定理的逆命题也是真命题，那么这个逆命题叫作原定理的逆定理。 3）三角形内角和定理：三角形的内角和等于180度。 4）三角形内角和定理推论：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。 三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角。 5）辅助线：为了证明的需要，在原来图形上添加的线叫作辅助线，辅助线通常画作虚线。 6）直角三角形的性质定理：直角三角形的两个锐角互余。 7）直角三角形的判定定理：有两个角互余的三角形是直角三角形。 8）反证法：先提出与命题的结论相反的假设，再从假设出发推出矛盾，从而证明命题成立的方法叫作反证法。 9）用反证法证明命题的步骤: ①否定结论-假设命题的结论不成立; ②推出矛盾--从假设出发，根据已知条件，经过推理，得出一个与命题的条件、定义、基本事实、定理等相矛盾的结果; ③肯定结论-由矛盾判定假设不成立，从而证明命题成立。 10）平行线的性质定理： 性质定理1：两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等。 性质定理2.两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等。 性质定理3.两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补。 11）平行线的判定定理： 判定定理1：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行。 判定定理2：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行。 平行线的传递性：平行于同一条直线的两条直线平行。 题型一 同角（等角）的余角（补角）相等 答｜题｜模｜板 如图，O为直线AB上的一点，OC平分． (1)和相等吗？为什么？ (2)除（1）中的一对角和的角外，还有哪些相等的角？请说明理由． （1）解：和相等．理由如下： 由题意可知，OC平分，， ， ． 又， ， ． （2）解：和相等．理由如下： 由题意，得， ． 【典例1】如图，O为直线上一点，平分． (1)直接写出的余角是 ； (2)是的平分线吗？请说明理由． 【答案】(1) (2)是，理由见解析 【详解】（1）解：∵平分， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴的余角是， 故答案为：； （2）解：是，理由如下： 由（1）得，， ∴， ∴是的平分线． 【变式1】如图． (1)请写出与的数量关系，并说明理由； (2)写出的补角和余角； (3)如果，平分，求度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2)的补角是，的余角是 (3) 【详解】（1）解：，理由如下： ∵， ∴，， ∴； （2）解：∵，， ∴，， ∴， ∴的补角是，的余角是； （3）解：由（2）知， ∵， ∴， ∵平分， ∴． 【变式2】如图，直线，，，相交于点，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查的是同角的余角相等，邻补角的性质； （1）由可得结论； （2）利用邻补角的性质求解即可. 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴. （2）解：∵，， ∴. 题型二 写出命题并证明 答｜题｜模｜板 已知：如图，在中，D，E是边上的两点，G是边上的一点，连接并延长，交的延长线于点F．从以下三个条件中选两个作为条件，另一个作为结论，构成一个真命题，并加以证明：①平分；②；③． 条件：_______，结论：_______．（填序号） 证明： 解：当条件是①平分，②；结论是③时： 证明：平分， ． ， ，． ； 当条件是①③，结论是②时： 证明：平分， ． ∵， ∴， ∴， ∴； 当条件是②③，结论是①时： ， ，． ， ， ∴平分． 【典例1】如图，现有以下3个论断：①；②；③．请以其中2个论断为条件，另一个论断为结论构造命题．    (1)请写出所有的真命题； (2)请选择其中一个命题加以证明． 【详解】（1）解：命题1：由①②得到③； 命题2：由①③得到②； 命题3：由②③得到①； （2）命题1证明如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 命题2证明如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 命题3证明如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式1】求证：等腰三角形两底角的角平分线相等． 已知： 求证： 证明： 【详解】已知：在中，，，分别是和的角平分线， 求证：． 证明：∵， ∴， ∵，分别是和的角平分线， ∴，， ∴， 在和中 ∴， ∴． 题型三 反证法的应用 答｜题｜模｜板 用反证法证明：如果，那么，中至少有一个大于零． 证明：假设，都不大于零， 即，， 因为两个非正数相加还是非正数， 所以， 这与已知条件矛盾， 所以假设不成立． 所以，中至少有一个大于零． 【典例1】用反证法证明：已知中，，求证：． 【详解】证明：假设 ∵ ∴ ∵ 又因为：在一个三角形中，三个内角和为180度， ∴不可能有两个内角和大于或等于180度 ∴假设矛盾 ∴假设不成立 ． 【变式1】求证：如果实数a、b满足，那么且．（用反证法证明） 【详解】证明：假设或， 则且或且或且． 当且时，， ， 这与矛盾． 同理可得当且或且时，， 这与矛盾， 假设不成立，因此且． 【变式2】用反证法证明：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．将下面的过程补充完整． 已知：如图，是的一个外角． 求证： 证明：假设______． 在中，， ∴______． ∵______， ∴______． ∴______． ∴与假设相矛盾． ∴假设不成立． ∴原命题成立，即． 【答案】；；；； 【详解】反证法的第一步是假设结论不成立，因此假设． 根据三角形内角和定理，，变形得． 由于是的外角，与组成平角，故，因此． 由上述两步可知，这与假设矛盾． 因此假设不成立，原命题成立． 题型四 外角相关证明题 答｜题｜模｜板 如图，是的外角的角平分线，且交的延长线于点E． (1)若，，求的度数； (2)求证：． （1）解：∵， ∴． ∵是的外角的角平分线， ∴， ∵， ∴； （2）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 【典例1】如图，在中，，点，分别是边，上的点，平分交于点，平分交于点，平分交延长线于点． (1)______； (2)试猜想与的数量关系，并证明你的猜想； (3)若，求的大小． 【答案】(1)90 (2)，见解析 (3) 【详解】（1）解：∵平分，平分， ∴，， ∴， 即， ∴； （2）解：猜想：，理由如下： ∵平分，平分， ∴， ， 又∵在中，， 在中，， ∴， ∵， ∴； （3）解：∵平分，平分， ∴，， ∵， ，， ∴， 即， ∴， 如图，连接， ∴四边形的内角和三角形的内角和三角形的内角和， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴． 【变式1】利用三角形的内角和定理我们可以得到推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和． 【推论证明】（1）如图， 是的一个外角，求证: ； 【知识应用】（2）如图2，在中，，点 在边 上，交于点． 若，求 的度数． 【答案】（1）见解析；（2） 【详解】（1）证明：，， ； （2）解：， ． 是的外角， ， ，即的度数为 【变式2】中，，点D、E分别是边、上的点，点P是一动点．令，，． (1)若点P在线段上，如图（1）所示，且，则　　　； (2)若点P在边上运动，如图（2）所示，则之间的关系为 ； (3)若点P在斜边的延长线上运动（），请直接写出之间的关系为 ； (4)若点P运动到形外，请自行画出一种情况，并直接写出之间的关系为 ． 【答案】(1) (2) (3)或或 (4)，对应图见解析 【详解】（1）解：∵中，， ∴°， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：∵中，， ∴°， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：如图1， ∵， ∴； 如图2，，； 如图3，∵， ∴． 故答案为；或或． （4）解：如图， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 一、单选题 1．如图，是的平分线，是的外角的平分线，，，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：因为是中的平分线，且， 所以． 因为是的外角的平分线，且， 同理可得． 在中，是的一个外角， 所以， 即． 将，代入可得：． 在中，是的一个外角， 可得． 已知，， 那么，即． 故选：A． 2．在下列条件中：①；②；③；④，能确定是直角三角形的条件有（   ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【详解】解：①∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形，故①正确； ②∵， ∴最大角， 故②正确 ③∵， ∴， ∴， 故③正确 ④∵， ∴， ∴， 故④正确 综上所述，是直角三角形的是①②③④共4个． 故选：D． 3．（ 山东省德州市夏津县2024-2025学年八上学期期中数学）下列命题中，属于真命题的是（   ） A．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 B．点到直线的垂线段叫作点到直线的距离 C．同位角相等 D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 【答案】D 【详解】解：A、同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故选项不符合题意； B、点到直线的垂线段的长度叫作点到直线的距离，故选项不符合题意； C、两直线平行，同位角相等，故选项不符合题意； D、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，是真命题，故选项符合题意； 故选：D． 4．如图，在中，，平分，于，有下列结论：；；；平分；，其中正确的有（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】A 【详解】解：∵， ∴， ∵平分，， ∴，故正确； 由得， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴，故正确； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故正确； 由得：， ∴， ∴平分，故正确； 由， ∵， ∴， ∴，故正确， 综上正确，共个， 故选：A． 二、填空题 5．（山东省威海市温泉中学2023-2024学年八上期中数学）把命题“全等三角形的面积相等”改写成“如果……那么……”的形式： ． 【答案】如果两个三角形是全等三角形，那么这两个三角形的面积相等 【详解】解：把命题“全等三角形的面积相等”改写成“如果……那么……”的形式：如果两个三角形是全等三角形，那么这两个三角形的面积相等 故答案为：如果两个三角形是全等三角形，那么这两个三角形的面积相等 ． 6．如图，在中，，点是上一点，且，，则的面积为 ． 【答案】 【详解】∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 三、解答题 7．（山东省菏泽市成武县2022-2023学年八年级上学期期中）已知命题“如果，那么．” (1)写出此命题的条件和结论； (2)写出此命题的逆命题； (3)判断此命题的逆命题是真命题还是假命题，如果是假命题，请举出一个反例进行说明． 【答案】(1)条件为：；结论为： (2)如果，那么 (3)假命题，反例不唯一 【详解】（1）解：此命题的条件为：， 结论为：； （2）此命题的逆命题为：如果，那么； （3）此命题的逆命题是假命题， 当为相反数时，它们的绝对值相等，但本身不相等， 如时，，而． 8．写出下列命题的求证，并完成证明过程． 命题：三角形三个内角的和等于． 已知：如图，． 求证： ． 证明： 【答案】，证明过程见解析 【详解】解：求证：， 证明：过点A作， ∵， ∴，， ∵， ∴． 即知三角形三个内角的和等于． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 一、单选题 1．（山东省青岛市第三十九中学2024-2025学年八上期中数学）下列命题中，真命题的个数是（   ） ①到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上，②有两边分别相等的两个直角三角形一定全等；③是不等式的一个解：④所有定理都有逆定理；⑤平移和旋转都不改变图形的形状和大小 A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【详解】解：①在角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上，故该命题是假命题，不符合题意； ②两边分别相等的两个直角三角形不一定全等，故该命题是假命题，不符合题意； ③是不等式的一个解：故该命题是真命题，符合题意； ④定理的逆命题不一定正确，那么这样的逆命题就不一定成为定理，故该命题是假命题，不符合题意； ⑤平移和旋转都是全等变化，不改变图形的形状和大小，故该命题是真命题，符合题意； 故选：A． 2．（山东省泰安市泰山区2024-2025学年八上学期期中考试数）下列语句中，是真命题是（    ） A．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 B．对顶角是相等的角 C．如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等 D．同角的余角互余 【答案】B 【详解】解：A、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，原命题是假命题，不符合题意； B、对顶角是相等的角，原命题是真命题，符合题意； C、如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补，原命题是假命题，不符合题意，理由如下： 分两种情况讨论： 当，的两边相互平行，如图所示 ， ， ， ， ； 当，的两边相互平行，如图所示 ， ， ， ， ， 综上所述：如果一个角的两边分别与另一个角的两边平行，那么这两个角相等或互补； D、同角的余角相等，原命题是假命题，不符合题意； 故选：B． 3．如图在中，，分别平分，，交于O，为外角的平分线，的延长线交于点E，记，，则以下结论①，②，③，④正确的是（    ） A．①②③ B．①③④ C．①④ D．①②④ 【答案】C 【详解】解：∵平分， 为外角的平分线， ∴，， ∴，故①正确； ∵平分， ∴， ∴， ∴，故④正确； ∵不一定是，故②不正确； 由于， ∴，故③不正确； 综上：正确的有①④； 故选：C． 二、填空题 4．如图，在中，，和外角的平分线交于，得；和外角的平分线交于，得；……依次类推，则 ． 【答案】2 【详解】解：平分，平分， ，， ，， ， ， 同理可得， …… ， ， 故答案为：2． 5．将一副三角板按如图放置，则下列结论：①如果，则有；②如果，必有；③如果，则有；④；正确结论的序号有 ． 【答案】①③④ 【详解】解：由题意可知：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴；故①正确； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故②错误； ∵， ∴， ∴；故③正确； ∵；故④正确； 故答案为：①③④． 三、解答题 6．如图，是的高线，E为边上的一点，连接交于点F，，． (1)求的度数； (2)若平分，求的度数． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：，，， ， ， 是的高线， ∴， ， ； （2）平分，， ， ∵ 7．将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图1方式叠放在一起，其中，，．     (1)填空：与的数量关系：_____；理由是_____； (2)直接写出与的数量关系：_____； (3)如图2，当点E在直线的上方时，将三角尺固定不动，改变三角尺BCE的位置，但始终保持两个三角尺的顶点C重合；探究以下问题： ①当时．画出图形，并求出的度数； ②这两块三角尺是否还存在一组边互相平行？请直接写出此时角度所有可能的值． 【答案】(1)，同角的余角相等 (2) (3)①图见解析，；②存在，或或或 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴（同角的余角相等）， 故答案为：，同角的余角相等； （2）解：∵ ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （3）解：①如图3，当时，作， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴； ②存在， 如图4，当时，， ∴； 如图5，当时，； 如图6，当时，， ∴； 如图7，当时，， ∴．      综上，当时，；当时，；当时，；当时，． 8．【实践活动】如图1，将一副三角板的直角顶点重合摆放． （1）判断与的大小关系，并说明理由； （2）探索与之间的数量关系，并说明理由； 【拓展探究】 （3）如图2，若，且，探索与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）∠ACE=∠BCD，理由见解析；（2）∠ACB+∠DCE=180°，理由见解析；（3）∠ACB+∠DCE=180°，理由见解析． 【详解】解：（1），理由如下： 依题意得：，， ，， ． （2）与之间的数量关系：，理由如下： ，， ，， ， ， 又， ； （3）与之间的数量关系是：，理由如下： ，， 又， ， 即：， ． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 一、单选题 1．（2025年山东省淄博市中考数学试题）已知：如图，，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：设和交于点F， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 2．用反证法证明“三角形的三个外角中至少有两个钝角”时，假设正确的是（    ） A．假设三个外角都是钝角 B．假设三个外角中至少有一个钝角 C．假设三个外角中至多有两个钝角 D．假设三个外角中至多有一个钝角 【答案】D 【详解】解：∵至少有两个”的反面为“至多有一个”，而反证法的假设即原命题的否定． ∴应假设：三角形三个外角中至多有一个钝角． 故选：D． 3．在下列条件中：①，②，③三个外角的度数之比为，④，⑤中，能确定是直角三角形的条件有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【详解】解：①∵，且， ∴， ∴， ∴是直角三角形，故①正确； ②∵，且， ∴最大角， ∴是直角三角形，故②正确； ③∵三个外角的度数之比为， ∴最小外角度数为， ∴三角形最大内角是， ∴是直角三角形，故③正确； ④∵，且， ∴， ∴ ∴是直角三角形，故④正确； ⑤∵，且， ∴， ∴， ∴， ∴不是直角三角形，故⑤不正确； 综上，能确定是直角三角形的条件有4个， 故选：C． 4．如图，是中的平分线，是的外角的平分线，如果，，那么（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵，， ∴， ∵是中的平分线，是的外角的平分线， ∴， ∴， ∴． 故选：D 二、填空题 5．如图，的大小关系为 ． 【答案】/ 【详解】解：由已知可得， ∴， ∵,， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：. 6．已知命题：“同旁内角互补”，则它的逆命题为 ． 【答案】如果两个角互补，那么这两个角是同旁内角 【详解】解：根据题意，同旁内角互补中的题设是同旁内角，结论是互补， 故其逆命题为：如果两个角互补，那么这两个角是同旁内角， 故答案为：如果两个角互补，那么这两个角是同旁内角． 7．如图，在中，为上一点，，，，则的度数为 ． 【答案】/84度 【详解】解：设， ， ， ， ，即， 解得， ． 故答案为： ． 8．如图，是上一点，是上一点，则的度数是 ． 【答案】 【详解】解：， ， ， ， ． 故答案为：． 三、解答题 9．如图，五角星中，，，，的和是多少度？请证明你的结论． 【答案】，见解析． 【详解】解：．理由如下： ∵，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和， 三角形内角和定理， ∴等量代换． 10．（2022年山东省菏泽市中考数学真题）如图1，在中，于点D，在DA上取点E，使，连接BE、CE． (1)直接写出CE与AB的位置关系； (2)如图2，将绕点D旋转，得到（点，分别与点B，E对应），连接，在旋转的过程中与的位置关系与（1）中的CE与AB的位置关系是否一致?请说明理由； (3)如图3，当绕点D顺时针旋转30°时，射线与AD、分别交于点G、F，若，求的长． 【答案】(1)CE⊥AB，理由见解析 (2)一致，理由见解析 (3) 【详解】（1）如图，延长CE交AB于H， ∵∠ABC=45°，AD⊥BC， ∴∠ADC=∠ADB=90°，∠ABC=∠DAB=45°， ∵DE=CD， ∴∠DCE=∠DEC=∠AEH=45°， ∴∠BHC=∠BAD+∠AEH=90°， ∴CE⊥AB； （2）在旋转的过程中与的位置关系与（1）中的CE与AB的位置关系是一致的，理由如下： 如图2，延长交于H， 由旋转可得：CD=，=AD， ∵∠ADC=∠ADB=90°， ∴， ∵， ∴, ， ∵+∠DGC=90°，∠DGC=∠AGH， ∴∠DA+∠AGH=90°， ∴∠AHC=90°， ； （3）如图3，过点D作DH于点H， ∵△BED绕点D顺时针旋转30°， ∴， ， ， ∴AD=2DH，AH=DH=， ， 由（2）可知：， ， ∵AD⊥BC，CD=， ∴DG=1，CG=2DG=2， ∴CG=FG=2， ， ∴AG=2GF=4， ∴AD=AG+DG=4+1=5， ∴． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $