13.3全等三角形的判定（第2课时）教案 2025-2026学年冀教版数学八年级上册

该教案聚焦全等三角形“边角边”（SAS）判定方法，通过复习“SSS”及两边一角的两种情况导入，引导学生从“SSA”不全等的探究过渡到“SAS”的发现，构建判定方法的知识支架。 特色在于以作图叠放活动培养几何直观，结合测量工具、湖岸测距等实例发展模型意识与应用意识，通过小组合作与板演强化推理意识。助力学生掌握判定逻辑与应用能力，为教师提供清晰教学流程与评价策略。

第十三章 全等三角形 13.3全等三角形的判定 第2课时   一、教材分析 本节课是冀教版数学八年级上册第十三章第三节第2课时的内容.全等三角形是研究图形的重要工具，而全等三角形的判定则是证明线段和角相等的重要手段.基本事实二（“边角边”）是学生在学习了全等三角形的定义、性质及基本事实一后接触到的另一个全等三角形判定的方法，为后续学习其他判定定理（ASA、AAS等）奠定基础，起到承上启下的关键作用.它不仅在几何知识体系中占据核心地位，在实际生活中，如建筑设计、机械制造等领域，也常被用于保证部件的一致性和精确性，具有重要的实用价值.教材通过直观操作，学生自主发现“两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等”，同时明确“SSA”无法判定全等，深化对利用SAS判定三角形全等条件的理解.结合例题强调书写格式，同时，引导学生从“已知条件”和“图形隐含条件（公共边、公共角等）”两方面寻找证明依据，渗透几何证明的基本思路，培养学生应用数学知识解决实际问题的能力.   二、学习目标 1.了解“SSA”不能作为两个三角形全等的条件，理解并掌握判定三角形全等的基本事实二“SAS”. 2.会应用“SAS”判定两个三角形全等，并能利用其解决实际问题，培养学生解决问题的能力. 3.经历探索三角形全等的条件的过程，体会运用操作、归纳获取数学结论的方法，初步形成解决问题的基本策略．   三、教学重难点 重点：理解并掌握判定三角形全等的基本事实二“SAS”. 难点：会应用“SAS”判定两个三角形全等，并能利用其解决实际问题，培养学生解决问题的能力.   四、教学过程 · 复习回顾 问题：给出三个条件，能判定两个三角形全等吗? 答案：①三个角对应相等的两个三角形是否全等. ②三条边对应相等的两个三角形是否全等. ③两条边和一个角对应相等的两个三角形是否全等. ④两个角和一条边对应相等的两个三角形是否全等. 追问：已验证了哪几个? 答案： 追问：如果已知两个三角形的两边及一角，那么有几种可能的情况呢? 答案：两种 师：我们一起来探究吧 师生活动：学生独立思考，指定学生回答，师补充. 设计意图：复习旧知，指出本节课的学习内容，让学生带着目的去学习，提高课堂效率. · 探究新知: 活动一：探究全等三角形的判定方法“边角边” 问题：画一个三角形，使它的两条边长分别是1.5 cm，2.5 cm，并且使长为1. 5 cm的这条边所对的角是30°． 追问：符合条件的三角形有几个？ 追问：两个三角形的两条边和其中一边的对角分别相等时，这两个三角形全等吗？ 答案：两个三角形的两条边和其中一边的对角分别相等时，这两个三角形不一定全等. 追问：当两边和它们的夹角分别相等时，这两个三角形是否全等呢？ 问题：已知：如图，在△ABC和△中，，，. (1)将△ABC叠放在△上，使顶点B与顶点重合，边BC落在边上，点A与点在边的同侧．点C与点是否重合，边BC 与边是否重合? 边BA是否落在边上，点A与点是否重合? (2)由“两点确定一条直线”，能不能得到边AC与边重合，△ABC和△全等？ 答案：(1)点C与点C′重合，边BC 与边B′C′重合，边BA落在边B′A′上，点A与点A′重合； (2)能得到边AC与边A′C′重合，△ABC和△A′B′C′全等． 师小结：如果两个三角形的两边和它们的夹角分别相等，那么这两个三角形全等. 基本事实二可简记为“边角边”或“SAS”. 符号语言：在和中 ∴（SAS） 注意： 1.相等元素：必须是两边和它们的“夹角”； 2.书写的顺序：按“边→角→边”顺序排列条件. 师生活动：小组交流，指定学生汇报，全班集体交流. 设计意图：通过作图、剪图、比较图的过程，感悟基本事实的正确性，获得三角形全等的判定方法:"边角边".在概括基本事实的过程中，引导学生透过现象看本质，锻炼学生用数学语言概括结论的能力. 活动二：应用全等三角形的判定方法“边角边” 问题：图（1）是是一种测量工具的示意图，其中，AB=CD，AB，CD的中点O被固定在一起，AB，CD可以绕点O张合.在图（2）中，要想知道玻璃瓶的内径是多少，只要量出AC的长就可以了，你知道这是为什么吗? 解：∵AB，CD的中点为O， ∴AO=BO，OC=OD， ∴在△AOC和△BOD中， ∴. ∴BD=AC.（全等三角形的对应边相等） 师生活动：教师提出问题，学生小组交流，指定学生回答，全班集体交流. 设计意图：让学生初步感受利用基本事实二解决实际问题，同时，通过问题的解决，获得成功的喜悦感，提高学生学习数学的兴趣. · 应用新知 例1 已知：如图，AD∥BC，AD＝CB.求证：△ADC△CBA. 证明：∵AD∥BC(已知)， ∴∠1＝∠2(两直线平行，内错角相等). 在△ADC和△CBA中， ∴ 师生活动：教师引导学生寻找利用“边角边”判定三角形全等的条件，师生共同分析，教师板书证明过程，强调注意事项. 设计意图：加深学生对基本事实二的理解，学会用“SAS”判断三角形全等，掌握证明的书写格式与步骤. 例2. 如图，A，D，F，B 在同一直线上，AD＝BF，AE＝BC，且 AE∥BC. 求证：△AEF≌△BCD. 分析： 证明：∵ AE∥BC(已知)， ∴∠A＝∠B(两直线平行，内错角相等). ∵ AD＝BF，(已知) ∴ AF＝BD.(等式的性质) 在△AEF 和△BCD 中， ∴． 师小结：证三角形全等时，常见的隐含等角: (1)公共角； (2)对顶角相等； (3)等角加(或减)等角仍得等角； (4)同角或等角的余(或补)角相等； (5)由角平分线的定义得两角相等； (6)由垂直的定义得两角相等； (7)由平行线得到同位角或内错角相等 另外，还有一些自然规律：“太阳光线可以看成是平行的”“光的反射角等于入射角”等隐含等角信息. 师生活动：学生思考后，小组讨论，在老师的指导下，学会分析问题，找到证三角形全等的三角形，各组选派小组代表作答.认真思考+1；合作交流+2；举手作答+2. 设计意图：培养学生分析问题的能力，通过小组讨论，增强团队合作意识. 例3. 已知:如图，AB=AC，EB=EC，AE的延长线交BC于D. 求证:BD=CD 分析：运用全等三角形的判定定理和性质来证明线段相等.. 先利用SSS证，再根据全等三角形的对应角相等可得∠1=∠2. 然后利用SAS证，最后根据全等三角形的对应边相等即可证得BD=CD. 证明：在△ABE和△ACE中， ∴ ∴∠1=∠2(全等三角形的对应角相等). 在△ABD和△ACD中， ∴ ∴BD=CD(全等三角形的对应边相等). 师追问：还有不同想法吗?（还可以先利用SSS证，再利用SAS证E） 师小结： （1）在应用“SAS”判定三角形全等时，一定要保证角是对应相等的两边的夹角. （2）证明三角形全等时，常常用到图中的公共边、公共角、对顶角等隐含条件. （3）)要证明两条线段或两个角相等，通常是观察这两条线段或两个角是不是在两个不同的三角形中，若是，则可考虑通过证明三角形全等得到结论. 师生活动：选2名学生板演，教师巡回指导，最后利用小组评价机制进行加分. 设计意图：通过学生板演，及时发现证明过程中的问题，强调易错点，帮助学生理清思路，规范书写过程. · 课堂练习 1.判断下列各组中的两个三角形是否全等，并说明理由. (1)图(1)中的△AEC与△ADB.已知条件是AB=AC，AD=AE； (2)图(2)中的△ABC与△BAD.已知条件是∠BAC=∠ABD，AC=BD. (3)图(3)中的△ABD与△ACE.已知条件是AB=AC，AD=AE，BE=CD. 解：(1)△AEC与△ADB全等.理由如下： 在△AEC和△ADB中， ∴ (2)△ABC与△BAD全等.理由如下： 在△ABC和△BAD中 ∴ (3)△ABD与△ACE全等.理由如下： ∵BE=CD(已知)， ∴BE-DE=CD-DE，即BD=CE.(等式的性质） 在△ABD和△ACE中， ∴. 2.已知:如图，与CE相交于点O，求证:∠B=∠C. 解：在△ABD和△ACE中， ∴. ∴∠B=∠C(全等三角形的对应角相等). 3.由图中所给定的条件，全等的三角形是_______.(填序号) 解：根据“如果两个三角形的两边和它们的夹角分别相等，那么这两个三角形全等”可知图中全等的三角形是①③. 答案：①③. 4.如图，AB∥EC，AB=EC，C是BD的中点，若AC=4cm，求ED的长. 解：∵AB∥EC，∴∠ABC=∠ECD.(两直线平行，同位角相等) ∵C是BD的中点，∴BC=CD. 在△ABC与△ECD中， ∵ ∴． ∴AC=ED=4cm. 5.已知：如图，AB∥DE ，AB＝DE ，AF＝DC ，求证：∠B＝∠E . 证明：∵AF＝DC ， ∴AF＋CF＝DC＋CF ，即AC＝DF . (等式的性质) ∵AB∥DE ，∴∠A＝∠D . （两直线平行，内错角相等） 在△ABC和△DEF中， ∴ ∴∠B＝∠E（全等三角形的对应角相等）. 6.如图，在湖的两岸点A，B之间建一座观赏桥，由于条件限制，无法直接测量A，B两点之间的距离．请你用学过的数学知识按以下要求设计一个测量方案． (1)画出测量示意图； (2)写出测量步骤；(测量数据用字母表示)． (3)计算点A，B之间的距离(写出求解或推理过程，结果用字母表示)． 分析：本题无法直接测量AB的长，考虑通过测量与线段AB相等的线段来解决问题，构造全等三角形，利用全等三角形的对边相等来解答. 解：(1)如图所示. (2)在湖岸上找到可以直接到达点A，B的一点O，连接BO并延长到点C，使OC＝OB；连接AO并延长到点D，使OD＝OA，连接CD，则测量出CD的长即为AB的长． 分析：本题让我们了解了测量两点之间距离的一种方法，设计时，只要需要测量的线段在直线AB一侧便可实施，就可以达到目的． (3)设CD＝a. 在△COD和△BOA中，∵ ∴． ∴CD＝AB＝a. 师生活动：学生独立完成，教师巡回，及时把握学生对知识的掌握情况. 设计意图：通过练习，学以致用，及时获知学生对所学知识的掌握程度，调动全体学生学习数学的积极性，使每个学生都能有所收益、有所提高. · 总结归纳 这节课你学到了哪些知识？说说你的体会. 设计意图：通过学生对本节课所学内容的归纳、总结，把零碎的知识点和认知过程形成了一个完整的知识体系. 学科网（北京）股份有限公司 $