精品解析：甘肃省酒泉第六中学2025-2026学年九年级第一学期期中数学试卷

酒泉第六中学2025-2026学年第一学期期中试卷九年级数学 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求． 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是的整式方程，叫一元二次方程，逐个判断即可，熟记一元二次方程的定义是解题的关键． 【详解】解：．是一元一次方程，故本选项不符合题意； ．是一元二次方程，故本选项符合题意； ．是分式方程，故本选项不符合题意； ．是二元二次方程，故本选项不符合题意； 故选：． 2. 已知平行四边形，下列结论不正确的是（　　） A. 当时，它是矩形 B. 当时，它是矩形 C. 当平分时，它是菱形 D. 当时，它是菱形 【答案】B 【解析】 【分析】根据对角线相等的平行四边形是矩形可判断A；根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可判断B；根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可判断C；根据一组邻边相等的平行四边形是菱形可判断D． 【详解】解：A、当时，它是矩形，故此选项说法正确，不符合题意； B、当时，它是菱形，故此选项说法不正确，符合题意； C、当平分时，它是菱形，故此选项说法正确，不符合题意； D、当时，它是菱形，故此选项说法正确，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了菱形和矩形的判定，关键是掌握菱形和矩形的判定定理．菱形的判定：①菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四条边都相等的四边形是菱形；③对角线互相垂直的平行四边形是菱形．矩形的判定：①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；②有三个角是直角的四边形是矩形；③对角线相等的平行四边形是矩形． 3. 如图，∽，：：，其中，的长为（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：：：， ：：， ∽， ， ， ． 故选：A． 【点睛】本题考查相似三角形的性质，解题的关键是掌握相似三角形的性质． 4. 如果关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（ ） A. k>－ B. k>－且 C. k<－ D. k－且 【答案】B 【解析】 【分析】一元二次方程有两个不相等的实数根必须满足（1）二次项系数不为零；（2）根的判别式，由此即可求解． 【详解】解：由题意知，k≠0， ∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 即． 解得：k＞， ∴k＞且k≠0． 故选B． 【点睛】本题考查根据一元二次方程根的情况求参数，熟记判别式与根的关系是解题的关键． 5. 在长为，宽为的长方形田地中开辟三条宽度相等的道路，已知剩余田地的面积为，求道路的宽度．设道路的宽度为，则可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据余田的面积为468列出方程即可． 【详解】解：设入口的宽度为x m，由题意得： （30-2x）（20-x）=468． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程． 6. 根据下面表格中的对应值判断关于x的方程的一个解x的范围是（　　） x A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了估算一元二次方程的近似解，解题的关键是根据表中数据得到时，；时，，则取2.24到2.25之间的某一个数时，使，于是可判断关于的方程的一个解的范围是． 【详解】解：时，；时，， 关于的方程的一个解的范围是． 故选：B． 7. 如图，点O，F在直线AD上，点O，E在直线BC上，，，，，的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算，得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 8. 已知四条线段a，b，c，d成比例，则下列结论正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了比例线段，利用成比例线段的定义得到，然后根据比例的性质对各选项进行判断．熟练掌握成比例线段的定义是解决问题的关键． 【详解】解：∵四条线段，，，成比例， ∴，即：． 故选：B． 9. 已知方程3x2﹣x﹣1＝0的两根分别是x1和x2，则x1+x2的值等于(　　) A. 3 B. ﹣ C. D. ﹣1 【答案】C 【解析】 【分析】由两根之和等于-，可得出x1+x2=，此题得解． 【详解】解：∵方程3x2-x-1=0的两根分别是x1和x2， ∴x1+x2=． 故选C． 【点睛】本题考查了根与系数的关系，牢记两根之和等于-是解题的关键． 10. 下列四个三角形中，与图中的三角形相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的三边对应成比例成为解题的关键． 先求出题干三角形的三边长的比，然后求得各选项三边长的比并进行比较即可解答． 【详解】解：设单位正方形的边长为1，给出的三角形三边长分别为； A．三角形三边为与给出的三角形的各边不成比例，故A选项错误； B．三角形三边与给出的三角形的各边成正比例，故B选项正确； C．三角形三边与给出的三角形的各边不成比例，故C选项错误； D.三角形三边与给出的三角形的各边不成比例，故D选项错误． 故选：B． 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 11. 已知，是方程的两根，则__________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了已知式子的值求代数式的值，由一元二次方程的解求参数，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 由于a是方程的一个根，直接代入方程即可求解． 【详解】解：因为a是方程的根， 所以， 即， 故答案为：3． 12. 若，则_____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了比例的性质，熟练掌握比例的变形与代入计算是解题的关键．根据已知的比例关系，将用表示出来，再代入所求式子进行计算． 【详解】解：∵， ∴． ∴． 故答案为：． 13. 关于 x 的方程（ m﹣3）﹣x+9=0是一元二次方程，则m=_____． 【答案】-3 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义可得m2-7=2，且m-3≠0，再解即可． 【详解】解：由题意得：m2-7=2，且m-3≠0， 解得：m=-3， 故答案为-3． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的定义，关键是掌握一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程． 14. 已知菱形中对角线、相交于点，添加条件________可使菱形成为正方形． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质、正方形的判定等知识点，熟练掌握菱形的性质及正方形的判定是解题的关键．根据菱形的性质及正方形的判定来添加合适的条件即可解答． 【详解】解：根据对角线相等的菱形是正方形，可添加：； 根据有一个角是直角的菱形是正方形，可添加：； 故添加的条件为：或． 故答案为：（不唯一）． 15. 如图，将两条宽度均为2的纸条相交成的角叠放，则重合部分构成的四边形的面积为______ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质与面积，先判断四边形的形状为菱形，然后利用菱形的面积公式计算是解题的关键． 【详解】过点作于E，于F，如图所示： ∵两条纸条宽度相同， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形，， ∵， 又∵， ∴， ∴四边形是菱形， ∴， 在中，， ∴， ∴四边形的面积， 故答案为：． 16. 如图，在中，点D，E分别在边上．添加一个条件使，则这个条件可以是________．（写出一种情况即可） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法（三组对应边的比相等的两个三角形相似；两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似）成为解题的关键． 根据相似三角形的判定方法解答即可． 【详解】解：∵， ∴添加条件：可判定． 故答案为：（答案不唯一）． 17. 小明和他的同学在太阳下行走，小明身高米，他的影长为米，他同学的身高为米，则此时他的同学的影长为__________米． 【答案】2． 【解析】 【分析】在同一时刻物高和影长成比例，列比例式求解即可． 【详解】解：设他的同学的影长为xm， ∵同一时刻物高与影长成比例， ∴， 解得，x=2, 经检验，x=2是原方程的解， ∴他的同学的影长为2m， 故答案为：2． 【点睛】此题主要考查了同一时刻物高与影长成比例，利用同一时刻物高与影长成比例列出方程，通过解方程求出的影长，体现了方程的思想． 18. 为庆祝中华人民共和国成立75周年，我校开展了以“奋进新征程，歌声献给党”为主题的红歌大合唱比赛活动，如图，汇演舞台的形状为矩形，宽度为10米，如果主持人站立的位置是宽度AB的黄金分割点，那么主持人从台测点沿方向走到主持人的位置至少需走______米． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键． 根据黄金分割的定义计算即可得到答案． 【详解】解：根据题意主持人至少走的距离为（米） 故答案为： ． 三、计算题：本大题共1小题，共6分． 19. 解方程： （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法． （1）利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：， ， ∴，， 解得：； 【小问2详解】 ， ∴， ∴， 解得：． 四、解答题：本题共7小题，共60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 20. 早茶作为广东餐饮文化的重要组成部分，以其小吃精美、种类繁多、口味独特、价格实惠而闻名．张帆在广州旅游期间，决定在“．虾饺，．干蒸烧卖，．艇仔粥，．蜜汁叉烧包”四种茶点中选择喜欢的进行品尝．（选到每种茶点的可能性相同） （1）如果只选其中一种茶点品尝，张帆选到“蜜汁叉烧包”的概率是___________． （2）如果选择两种茶点品尝，请用画树状图或列表的方法求张帆选到“虾饺”和“艇仔粥”的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了简单的概率计算，树状图法或列表法求解概率，熟知概率计算公式是解题的关键． （1）根据概率计算公式求解即可； （2）先画出树状图得到所有等可能性的结果数，再找到张帆选到“虾饺”和“艇仔粥”的结果数，最后根据概率计算公式求解即可． 【小问1详解】 解：∵一共有4种茶点，每种茶点被选到的概率相同， ∴只选其中一种茶点品尝，张帆选到“蜜汁叉烧包”的概率是； 【小问2详解】 解：画树状图如图所示： 由树状图知，共有12种可能出现的结果，且每种结果出现的可能性相等，其中选到“虾饺”和“艇仔粥”的结果有2种， ∴（张帆选到“虾饺”和“艇仔粥”）． 21. 如图，老李想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈，并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料）． （1）当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640的羊圈？ （2）羊圈的面积能达到吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 【答案】（1）当羊圈的长为，宽为或长为，宽为时，能围成一个面积为的羊圈； （2） 解：不能，理由如下： 由题意，得． 化简，得． ∵， ∴一元二次方程没有实数根． ∴羊圈的面积不能达到． 【解析】 【分析】（1）设矩形的边，则边，根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解； （2）同（1）的方法建立方程，根据方程无实根即可求解． 【小问1详解】 解：设矩形的边，则边． 根据题意，得． 化简，得． 解得，． 当时，； 当时，． 答：当羊圈的长为，宽为或长为，宽为时，能围成一个面积为的羊圈． 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程，解一元二次方程是解题的关键． 22. 在如图所示的平面直角坐标系中，已知，，． （1）将绕点逆时针旋转得到，请画出； （2）画出关于轴的对称图形； （3）在（2）中，的面积为          ． 【答案】（1） 如图，即为所求． （2） 如图，即为所求． （3） 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形变化中旋转和轴对称，旋转变换绕原点逆时针旋转时，点的坐标变为，关于轴对称的点，横坐标不变，纵坐标互为相反数，在直角坐标系中得到各点旋转或对称点的坐标，连接这些点，可得到所求作图形．三角形的面积此题采用割补法，将三角形的面积转化为其他图形面积的和或差．此题中掌握图形旋转和轴对称变换的特点是解决问题的关键． （1）直接利用旋转的性质依次得到旋转后的点，围绕原点逆时针旋转得到，围绕原点逆时针旋转得到，围绕原点逆时针旋转得到，连接三个点，画出图形即得到； （2）直接利用轴对称的性质得出对应点,，关于轴的对称得到，关于轴的对称得到，关于轴的对称得到，连接三个点，画出图形即可得到； （3）的面积为所在长方形的面积减去其余三个三角形的面积． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：， 答：的面积为． 23. 如图，在□中，是的中点，是边上的动点（不与点，重合），的延长线与的延长线相交于点，连接，． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）填空：若，，． ①当______时，四边形是矩形； ②当______时，四边形是菱形． 【答案】（1） 证明：四边形是平行四边形， ， 点是的中点， ， 在和中，， ， ， 四边形是平行四边形； （2）； ． 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质可知，根据中点的定义可知，利用可证，根据全等三角形的性质可证，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可证结论成立； （2）①若四边形是矩形，则有，又因为，根据有一个角是的等腰三角形是等边三角形可知是等边三角形，可得:，根据线段之间的关系即可求出的长度； 若四边形是菱形，则有，又因为，根据有一个角是的等腰三角形是等边三角形可知是等边三角形，可得:，根据线段之间的关系即可求出的长度． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：四边形是平行四边形，，， ，， 若四边形是矩形，则， ， ， ， 是等边三角形， ， ， 当时，四边形是矩形， 故答案是：； 解：四边形是平行四边形，，， ，， 若四边形是菱形，则， ， 是等边三角形， ， ， 当时，四边形是菱形， 故答案是：． 【点睛】本题主要考查了行四边形的判定与性质、菱形的判定、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质，解决本题的关键是根据有一个角是的等腰三角形是等边三角形，判定三角形是等边三角形，再根据等边三角形的性质求出线段的长度． 24. 如图，在正方形ABCD中，E为边AD的中点，点F在边CD上，且∠BEF＝90°，延长EF交BC的延长线于点G； (1)求证：△ABE∽△EGB； (2)若AB＝4，求CG的长. 【答案】(1)证明：∵四边形ABCD为正方形，且∠BEG＝90°， ∴∠A＝∠BEG， ∵∠ABE+∠EBG＝90°，∠G+∠EBG＝90°， ∴∠ABE＝∠G， ∴△ABE∽△EGB； (2)CG=6. 【解析】 【分析】(1)由正方形的性质与已知得出∠A＝∠BEG，证出∠ABE＝∠G，即可得出结论； (2)由AB＝AD＝4，E为AD的中点，得出AE＝DE＝2，由勾股定理得出BE＝，由△ABE∽△EGB，得出，求得BG＝10，即可得出结果. 【详解】(1)略 (2)∵AB＝AD＝4，E为AD的中点， ∴AE＝DE＝2， 在Rt△ABE中，BE＝， 由(1)知，△ABE∽△EGB， ∴，即：， ∴BG＝10， ∴CG＝BG﹣BC＝10﹣4＝6. 【点睛】本题主要考查了四边形与相似三角形的综合运用，熟练掌握二者相关概念是解题关键 25. 如图，在中，，动点P从点A开始沿边运动，速度为，动点Q从B开始沿边运动，速度为，如果P，Q两动点同时运动，那么何时与相似？ 【答案】经过或秒时，与相似， 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，设经过秒时，与相似，则，利用两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似进行分类讨论：当时，,即，当时，，即,然后解方程即可求出答案，准确分析题意列出方程求解是解答本题的关键. 【详解】解：设经过秒时，与相似， ， , 当时，, , 解得：, 当时，， , 解得：, 综上所述：经过或秒时，与相似， 26. 问题提出 （1）如图1，在中，对角线平分．求证：四边形是菱形； 问题探究 （2）如图2，点E在正方形内，点F在正方形外，连接、、、，，且，．若，求的长； 问题解决 （3）如图3，某公园内有一块四边形草坪，其中，，且平分，，．为了进一步提升服务休闲功能，满足市民游园和健身需求，现要沿、修建步行景观道，其中，点E，P分别在边，对角线上．根据设计要求，，为了节省成本，要使所修的步行景观道最短，即的值最小，试求的最小值．（路面宽度忽略不计） 【答案】 （1）证明：在中，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 又∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形． （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）由平行四边形的性质得，从而有；由平分，得，即有，由菱形的判定即可证明； （2）由易证，从而可得，由勾股定理即可求解； （3）首先由（1）可得，四边形为菱形，从而得；过点A作，取，连接，由证明，则有，从而得．连接、，当G、E、C三点共线时，取得最小值，最小值为．由可得，由勾股定理即可求得，从而求得最小值． 【详解】（1）略 （2）解：∵四边形是正方形， ∴，， 在和中，，，， ∴， ∴，． ∵， ∴，即， ∴， ∴． （3）解：∵，， ∴四边形为平行四边形， ∵平分， ∴同理（1）可得，四边形为菱形， ∴， ∴． 如图3，过点A作，取，连接， 在和中，，，， ∴， ∴． ∴． 连接、，当G、E、C三点共线时，取得最小值，最小值为． 在菱形中，，， ∴是等边三角形， ∴， ∴，， ∴． 故的最小值为． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定与性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理等知识，有一定的综合性，证明全等三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 酒泉第六中学2025-2026学年第一学期期中试卷九年级数学 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求． 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知平行四边形，下列结论不正确的是（　　） A. 当时，它是矩形 B. 当时，它是矩形 C. 当平分时，它是菱形 D. 当时，它是菱形 3. 如图，∽，：：，其中，的长为（    ） A. B. C. D. 4. 如果关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（ ） A. k>－ B. k>－且 C. k<－ D. k－且 5. 在长为，宽为的长方形田地中开辟三条宽度相等的道路，已知剩余田地的面积为，求道路的宽度．设道路的宽度为，则可列方程（ ） A. B. C. D. 6. 根据下面表格中的对应值判断关于x的方程的一个解x的范围是（　　） x A. B. C. D. 7. 如图，点O，F在直线AD上，点O，E在直线BC上，，，，，的值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知四条线段a，b，c，d成比例，则下列结论正确的是（　　） A. B. C. D. 9. 已知方程3x2﹣x﹣1＝0的两根分别是x1和x2，则x1+x2的值等于(　　) A. 3 B. ﹣ C. D. ﹣1 10. 下列四个三角形中，与图中的三角形相似的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 11. 已知，是方程的两根，则__________． 12. 若，则_____． 13. 关于 x 的方程（ m﹣3）﹣x+9=0是一元二次方程，则m=_____． 14. 已知菱形中对角线、相交于点，添加条件________可使菱形成为正方形． 15. 如图，将两条宽度均为2的纸条相交成的角叠放，则重合部分构成的四边形的面积为______ 16. 如图，在中，点D，E分别在边上．添加一个条件使，则这个条件可以是________．（写出一种情况即可） 17. 小明和他的同学在太阳下行走，小明身高米，他的影长为米，他同学的身高为米，则此时他的同学的影长为__________米． 18. 为庆祝中华人民共和国成立75周年，我校开展了以“奋进新征程，歌声献给党”为主题的红歌大合唱比赛活动，如图，汇演舞台的形状为矩形，宽度为10米，如果主持人站立的位置是宽度AB的黄金分割点，那么主持人从台测点沿方向走到主持人的位置至少需走______米． 三、计算题：本大题共1小题，共6分． 19. 解方程： （1）； （2） 四、解答题：本题共7小题，共60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 20. 早茶作为广东餐饮文化的重要组成部分，以其小吃精美、种类繁多、口味独特、价格实惠而闻名．张帆在广州旅游期间，决定在“．虾饺，．干蒸烧卖，．艇仔粥，．蜜汁叉烧包”四种茶点中选择喜欢的进行品尝．（选到每种茶点的可能性相同） （1）如果只选其中一种茶点品尝，张帆选到“蜜汁叉烧包”的概率是___________． （2）如果选择两种茶点品尝，请用画树状图或列表的方法求张帆选到“虾饺”和“艇仔粥”的概率． 21. 如图，老李想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈，并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料）． （1）当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640的羊圈？ （2）羊圈的面积能达到吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 22. 在如图所示的平面直角坐标系中，已知，，． （1）将绕点逆时针旋转得到，请画出； （2）画出关于轴的对称图形； （3）在（2）中，的面积为          ． 23. 如图，在□中，是的中点，是边上的动点（不与点，重合），的延长线与的延长线相交于点，连接，． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）填空：若，，． ①当______时，四边形是矩形； ②当______时，四边形是菱形． 24. 如图，在正方形ABCD中，E为边AD的中点，点F在边CD上，且∠BEF＝90°，延长EF交BC的延长线于点G； (1)求证：△ABE∽△EGB； (2)若AB＝4，求CG的长. 25. 如图，在中，，动点P从点A开始沿边运动，速度为，动点Q从B开始沿边运动，速度为，如果P，Q两动点同时运动，那么何时与相似？ 26. 问题提出 （1）如图1，在中，对角线平分．求证：四边形是菱形； 问题探究 （2）如图2，点E在正方形内，点F在正方形外，连接、、、，，且，．若，求的长； 问题解决 （3）如图3，某公园内有一块四边形草坪，其中，，且平分，，．为了进一步提升服务休闲功能，满足市民游园和健身需求，现要沿、修建步行景观道，其中，点E，P分别在边，对角线上．根据设计要求，，为了节省成本，要使所修的步行景观道最短，即的值最小，试求的最小值．（路面宽度忽略不计） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $