专题07 二次函数章末70道压轴题型专训（10大题型）-2025-2026学年沪教版（五四制）九年级数学上册重难点专题提升精讲精练

专题07 二次函数章末70道压轴题型专训（10大题型） 题型一 二次函数的图象与性质问题 题型二 二次函数中平移问题 题型三 二次函数与方程及不等式综合应用 题型四 二次函数的翻折问题 题型五 二次函数图象与系数的关系问题 题型六 二次函数的最值问题 题型七 二次函数的存在性问题 题型八 二次函数的图象和性质综合应用 题型九 实际问题与二次函数的综合应用 题型十 二次函数与几何图形综合应用 【经典例题一 二次函数的图象与性质问题】 1．（25-26九年级上·上海宝山·期中）二次函数与直线的图象交于点． (1)______． (2)求该二次函数的解析式，并写出顶点坐标和对称轴． 2．（25-26九年级上·上海金山·期中）运动会上，小刘同学投掷的实心球沿如图所示的抛物线 运行．实心球抛出时离地面的高度为，实心球离初始位置的水平距离为，请建立适当的平面直角坐标系，解决下列问题： (1)求实心球运行满足的函数关系式(写成顶点式)，并写出自变量x的取值范围； (2)求实心球在运行过程中离地面的最大高度． 3．（25-26九年级上·上海长宁·阶段练习）如表中列出的是一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值： x … 0 1 2 … y … 1 … (1)该二次函数与y轴的交点坐标是____________；对称轴是____________；顶点坐标____________；当x____________，y随x的增大而增大． (2)求该二次函数的解析式． (3)当时，y的取值范围为________． 4．（25-26九年级上·上海闵行·阶段练习）已知二次函数． (1)用配方法将化为的形式；并写出对称轴和顶点坐标； (2)在平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象； (3)当取何值时，随的增大而减小？ (4)当时，写出的取值范围． 5．（25-26九年级上·上海静安·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式． (2)请求出该二次函数的对称轴、顶点坐标． (3)在直线下方抛物线上是否存在点，使得的面积最大，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 6．（25-26九年级上·上海崇明·阶段练习）已知一个二次函数解析式为，部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表所示： x … 0 1 n 3 … y … 0 m 4 3 0 … (1)直接写出m，n的值； (2)在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象； (3)当时，求y的取值范围． 7．（25-26九年级上·上海金山·阶段练习）项目学习 【项目】研究二次函数图像顶点的特征． 【操作】 （1）列表： 的值 ．．． ．．． 顶点的横坐标 ．．． 1 2 3 ．．． 顶点的纵坐标 ．．． ．．． 填写表格，表格中的与的值分别是_____，_____； （2）描点：随着取不同值，请将的顶点描在下面的平面直角坐标系中； （3）连线：用光滑的曲线顺次连接各点； 【猜想】 （4）随着取不同值，的顶点形成的图象的函数表达式为_____（不用说明理由）． 【经典例题二 二次函数中平移问题】 8．（25-26九年级上·上海杨浦·阶段练习）若二次函数的二次项系数为1，则此二次函数可表示为，我们称为此函数的特征数，如函数的特征数是． (1)若一个函数的特征数为，求此函数图象的顶点坐标； (2)探究下列问题： ①若一个函数的特征数为，将此函数的图象先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，求得到的图象对应的函数的特征数； ②若一个函数的特征数为，问此函数的图象经过怎样的平移，才能使得到的图象对应的函数的特征数为？ 9．（25-26九年级上·上海宝山·阶段练习）已知二次函数的图象如图． (1)求它的对称轴与轴交点D的坐标； (2)将该抛物线沿它的对称轴向上平移，设平移后的抛物线与轴，轴的交点分别为A、B、C三点，若，求此时抛物线的解析式； 10．（25-26九年级上·上海宝山·阶段练习）如图，已知抛物线L：与x轴交于A、B两点．与y轴交于C点．且， (1)求抛物线L的函数表达式； (2)将抛物线L：的图象向上平移2个单位长度，向左平移个单位长度后，恰好经过点，求m的值； (3)连接、，在抛物线上是否存在一点N，使？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 11．（25-26九年级上·上海闵行·阶段练习）如图1是某大型文化主题乐园中的过山车项目实景图．过山车的一部分轨道，可以各看成一段抛物线，以点为原点，竖直方向为轴，水平方向为轴建立平面直角坐标系，其图象如图2所示，左侧轨道抛物线的顶点在轴上，与轴交于点，其中米，米（轨道厚度忽略不计）． (1)求左侧过山车轨道所在抛物线的解析式； (2)在轨道（抛物线）距离地面4.5米处有两个点和（点在点的左侧），当过山车运动到点处时，平行于地面向前运动了5米至点，又进入下一个轨道抛物线．已知轨道抛物线的形状与抛物线完全相同（即抛物线由抛物线向右平移得到），求的长． 12．（2025·上海松江·模拟预测）如图，抛物线与轴交于点、，与轴交于点，且，点为线段上一动点不与点重合，过点作矩形，点、在抛物线上，点在轴上． (1)求抛物线的解析式； (2)当矩形的周长最大时，求矩形的面积； (3)在（2）的条件下，矩形不动，将抛物线沿着轴向左平移个单位，抛物线与矩形的边交于点、，连接、若恰好平分矩形的面积，求的值． 13．（24-25九年级上·上海嘉定·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，，与轴交于点． (1)求抛物线解析式． (2)在直线下方抛物线上有一点，当的面积最大时，求点的坐标及面积的最大值． (3)将该抛物线向左平移4个单位，得到新抛物线，新抛物线与原抛物线的交点为，点是新抛物线对称轴上一点，在（2）的条件下，在新抛物线上是否存在点，使得以点为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 14．（24-25九年级上·上海宝山·阶段练习）已知抛物线． (1)请用配方法将化为的形式，并写出对称轴和顶点的坐标； (2)在平面直角坐标系中，画出的图象； (3)如果该抛物线沿x轴向左或向右平移个单位后经过原点，求m的值； (4)当时，求y的取值范围． 【经典例题三 二次函数与方程及不等式综合应用】 15．（25-26九年级上·上海青浦·期中）如图，抛物线（，为常数，）的顶点坐标为，与轴相交于，两点（点在点的左侧），与轴相交于点． (1)求点和点的坐标； (2)点是直线上方该抛物线上一点，过点作轴，与直线相交于点，求线段的最大值． 16．（25-26九年级上·上海嘉定·阶段练习）如图是抛物线的图象，根据图象回答下列问题． (1)___________，___________； (2)方程的根是什么？ (3)当x取何值时，？ 17．（25-26九年级上·上海宝山·期中）如图所示，二次函数的图像交轴于、两点． (1)若，即：，那么的取值是_____；若，即：，那么的取值范围是_____． (2)当取何值时，代数式的值最小？求出这个最小值． 18．（25-26九年级上·上海松江·期中）已知二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，且经过点，解答下列问题： (1)当时，的取值范围__________； (2)此二次函数的解析式是__________ (3)当时，的最大值是__________； (4)当时，的取值范围是__________； (5)若直线与该二次函数的图象有公共点，则的取值范围是__________． 19．（25-26九年级上·上海青浦·阶段练习）已知二次函数 (1)请用“五点作图法”画出函数图象； (2)若点在此抛物线上，则m的值是______； (3)根据图象直接写出函数值小于3时，x的取值范围是______． 20．（25-26九年级上·上海闵行·阶段练习）学完二次根式一章后，小易同学看到这样一题：“函数中，自变量x的取值范围是什么？”这个问题很简单，根据二次根式的性质很容易得到自变量x的取值范围，联想到一次函数，小易想进一步研究这个函数的图象和性质，以下是他的研究步骤： 第一步：函数中，自变量x的取值范围是______． 第二步：根据自变量取值范围列表： x 0 1 2 3 4 …… 0 1 m …… ______． 第三步：描点画出函数图象． 在描点的时候，遇到了，，这样的点，小易同学用所学勾股定理的知识，找到了画图方法，如图所示，你能否从中得到启发，在下面的y轴上标出表示的点（保留作图痕迹），并通过描点法画出的函数图象．    第四步：分析函数的性质． 请写出你发现的函数的性质（写一条）：__________________ 第五步：利用函数图象解含二次根式的方程的近似解． （1）请在上面坐标系中画出的图象，并利用图象估算方程的解为______（结果精确到）． （2）请你类比分式方程的解法求出该方程的准确解____________． 21．（25-26九年级上·上海长宁·课后作业）已知二次函数 (1)请你把已知的二次函数化成的形式： ，并在平面直角坐标系中画出它的图象； (2)如果、是（1）中图象上的两点，且，请直接写出的大小关系为 ； (3)利用（1）中的图象表示出方程的根m，n（，画在（1）的图象所在坐标系中即可，要求保留画图痕迹； (4)观察（1）中的图象知，当时，y的取值范围是 ． 【经典例题四 二次函数图象与系数的关系问题】 22．（24-25九年级上·上海静安·阶段练习）如图，实践课上，乐乐要把一张长为，宽为的长方形纸板的四周各剪去一个边长为的小正方形，再折叠成一个无盖的长方体盒子（纸板的厚度忽略不计）． (1)要使长方体盒子的底面积为时，求所剪去的小正方形的边长； (2)设所折叠的长方体盒子的侧面积为，求与的函数关系式； (3)长方体盒子的侧面积为的值是否有最大值，若有，请求出的值；若没有，请说明理由． 23．（2025·上海宝山·模拟预测）如图，平面直角坐标系中，点A，B分别在y轴和x轴的正半轴上，，的长分别是方程的两个根，且． (1)求直线的解析式； (2)点C从点O出发向点B运动，运动的速度为每秒1个单位长度，作轴交线段于点D，点D不与点A，B重合，将沿着折叠，使点B落在x轴上的对应点E处，设运动时间为t秒，与重叠部分的面积为S，求S与t之间的函数关系式； (3)在（2）的条件下，连接，是否存在点C，使为直角三角形？若存在，请直接写出点C的坐标；若不存在，请说明理由． 24．（24-25九年级上·上海松江·阶段练习）已知，如图在中，，，．若以O为坐标原点，所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，点B在第一象限内．将沿折叠后，点A落在第一象限内的点C处． (1)求点C的坐标； (2)若抛物线经过C、A两点，求此抛物线的解析式； (3)若抛物线的对称轴与交于点D，点P为线段上一点，过P作y轴的平行线，交抛物线于点M．问：是否存在点P，使得？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由． 25．（24-25九年级上·上海奉贤·期中）矩形的边长，点E在上，把沿折叠，使点B落在边的点F处，． (1)如图1，求的长度； (2)如图2，点N从点F出发沿以每秒的速度向点D运动，同时点P从点A出发沿以每秒的速度向点F运动，运动时间为t秒（），过点P作，于点M． ①请证明在N、P运动的过程中，四边形是平行四边形； ②连接，，当t为何值时，为直角三角形？ ③连接，，记的面积为S，用含t的代数式表示S，求出当t为何值时S取得最大值，并求出最大值． 26．（2025·上海嘉定·模拟预测）已知：如图，抛物线经过原点，它的对称轴为直线，动点从抛物线的顶点出发，在对称轴上以每秒个单位的速度向下运动，设动点运动的时间为秒，连接并延长交抛物线于点，连接，． (1)求抛物线解析式及顶点坐标； (2)当三点，，构成以为为斜边的直角三角形时，求的值； (3)将沿直线折叠后，那么点的对称点能否恰好落在坐标轴上？若能，请直接写出所有满足条件的的值；若不能，请说明理由． 27．（2025·上海闵行·模拟预测）如图，二次函数与轴交于，两点，顶点为，连接、，若点是线段上一动点，连接，将沿折叠后，点落在点的位置，线段与轴交于点，且点与、点不重合． (1)求二次函数的表达式； (2)①求证：； ②求的最小值； 28．（24-25九年级上·上海静安·阶段练习）定义：有三个内角相等的四边形叫三等角四边形． （1）如图，折叠平行四边形纸片，使顶点，别落在边，的点，处，折痕分别为，．求证：四边形是三等角四边形；    （2）当时，如图所示，在三等角四边形中，，若，设，，求y与x的函数关系式，并求出的最大值是多少?    【经典例题五 二次函数的翻折问题】 29．（2025九年级上·上海闵行·专题练习）某商场以每件40元的价格购进一种商品，试销中发现这种商品每天的销售量（件）与每件的销售价（元）满足关系：．若商场每天要获得不低于1600元的利润，每件商品的售价应定为多少？ 30．（25-26九年级上·上海嘉定·阶段练习）某商店经销一种旅行包，已知这种旅行包的成本价为每个元，物价部门规定这种旅行包的销售单价不得高于元．市场调查发现，这种旅行包每天的销售量（个）与销售单价（元）有如下关系：．设这种旅行包每天的销售利润为元． (1)求与之间的函数解析式； (2)该商店销售这种旅行包每天要获得元的销售利润，销售单价应定为多少元？ (3)这种旅行包销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ 31．（2025·上海宝山·模拟预测）某厂商因故将某款外销商品转内销．经分析发现某款商品日销售量y（万件）在三月上旬x（日）的关系满足：（，x为整数），每件产品的利润z（元）与日期x（日）的关系如下表： x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 z 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 (1)请你根据表格求出每件产品利润z（元）与日期x（日）的关系式； (2)若日利润w（万元）=当日销售量y（万件）×当日每件产品的利润z（元），求日利润w（万元）与日期x（日）的关系式： (3)当x为何值时，日利润w有最大值，最大值为多少？ 32．（2026九年级·上海青浦·专题练习）某公司根据往年市场行情得知，某种商品从5月1日起的300天内，该商品每件市场售价y（元）与上市时间t（天）的关系可用图1的折线表示，每件该商品的成本Q（元）与上市时间t（天）的关系可用图2所示的部分抛物线表示． (1)该商品在第150天出售时每件的利润是________元； (2)求图1表示的市场售价y（元）与上市时间t（天）之间的函数关系式； (3)若该公司从销售第1天至第200天预计每天可以售出此种商品2000件，请你计算第1天至第200天该公司哪一天利润最高，最高是多少元？ 33．（25-26九年级上·上海长宁·阶段练习）方程与不等式揭示了数学中最基本的数量关系，函数则研究变量间的关系，借助函数可以认识方程与不等式.观察表格： … 0 1 2 3 … … 1 4 7 10 … … 0 4 3 0 … (1)【数学观察】根据表中信息填空：______； (2)【实践操作】在如图所示的平面直角坐标系中（每个小正方形网格的边长为1），已经画出了一次函数的图象，请你在同一坐标系中画出二次函数的图象； (3)【独立思考】 ①二次函数与一次函数图象的交点坐标是______； ②方程的解为______； (4)【归纳总结】若二次函数的图象与一次函数的图象相交，则交点的______坐标可以看成关于的方程的解； (5)【巩固应用】若二次函数的图象与一次函数的图象只有一个交点，则关于的方程的解是______．（直接写出结果） 34．（2025·上海杨浦·模拟预测）综合与实践． 【主题】探究电流表读数的最小值． 【素材】如图1所示电路图中，电源电压为，电阻，，滑动变阻器的最大电阻为． 【跨学科知识】物理电路理论知识中有以下几个结论： ①串联电路的总电阻等于各串联电阻之和； ②并联电路总电阻的倒数等于各并联电阻的倒数之和； ③电压一定的情况下，电流与电阻成反比例关系． 【实践操作】将图1中的电路图等效为如图2所示电路图，与分别等效滑动变阻器上部分和下部分的电阻，即，在滑片P从a端滑到b端的过程中，设． 【实践探索】 (1)当滑片P滑动到滑动变阻器正中间时，该电路中的总电阻为多少？ (2)当x取何值时，电流表读数最小，并求出电流表读数的最小值． 35．（2025九年级上·上海虹口·专题练习）综合运用 在中，，D为边上一点，，动点P以每秒1个单位长度的速度从点C出发，在三角形的三边上沿匀速运动，到达点A时停止，以为边作正方形．设点P的运动时间为，正方形的面积为S，试探究S与t的关系． (1)如图1，当点P由点C运动到点B时，求S关于t的函数表达式． (2)当点P由点B运动到点A时，经探究发现S是关于t的二次函数，并绘制成如图2所示的图象．请根据图象信息，求S关于t的函数表达式及线段的长． (3)若存在3个时刻，，（）对应的正方形的面积均相等． ①求的值； ②当时，求正方形的面积． 【经典例题六 二次函数的最值问题】 36．（2025九年级上·上海长宁·专题练习）如图，在中，，，，在其内部作一个矩形，其中点D在边上，点B在边上，点C在边上，设矩形的一边． (1)请用含x的代数式表示边的长度； (2)设矩形的面积为，求当x取何值时，y的值最大？最大值是多少？ 37．（24-25九年级上·上海嘉定·期中）如图，在足够大的空地上有一段长为40米的旧墙，某人想利用旧墙和木栏围成一个矩形花园，其中，已知矩形花园的一边靠墙，另三边一共用了50米木栏． (1)若所围成的矩形花园的面积为92平方米，求所利用旧墙的长； (2)求矩形花园面积的最大值． 38．（25-26九年级上·上海杨浦·阶段练习）某二次函数图象上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如表： x 0 1 2 3 4 y m 0 1 0 (1)求此二次函数的解析式； (2)表格中的 ； (3)当，则二次函数y的最大值为 ，最小值为 ． 39．（25-26九年级上·上海宝山·阶段练习）如图，直线与抛物线交于点，，点是线段上的点，轴，在抛物线上，若点的横坐标为． (1)，，（用含的代数式表示） (2)连接，，求面积的最大值． 40．（25-26九年级上·上海青浦·期中）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)如图2，在直线下方抛物线上有一点，当的面积最大时，求点的坐标及面积的最大值． 41．（2025·上海静安·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知抛物线：． (1)求抛物线的顶点坐标(用含t的代数式表示)； (2)点，在抛物线上，其中， ①若的最小值是，求的最大值； ②若对于都有，直接写出t的取值范围． 42．（2025·上海长宁·模拟预测）抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接． (1)求点A，B，C的坐标，并直接写出直线的函数表达式． (2)点P是抛物线上一点，设点P的横坐标为a． ①当抛物线上P，C两点之间的部分（含点P，C）的高度（最高点与最低点的纵坐标之差）为10时，求点P的坐标． ②如图，当点P位于第四象限时，过点P分别作于点E，轴于点F，当取得最大值时，求a的值． 【经典例题七 二次函数的存在性问题】 43．（25-26九年级上·上海普陀·期中）已知二次函数的图象与轴交于两点（A在左侧），与轴交于点C． (1)求A、B、C的坐标； (2)设抛物线的顶点为，求四边形的面积； (3)在抛物线的对称轴上，是否存在点，使为等腰三角形，若存在，写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 44．（25-26九年级上·上海闵行·阶段练习）如图，已知二次函数过点，． (1)求此二次函数的解析式； (2)将（1）中的函数图象先向左平移1个单位，再向上平移3个单位，直接写出平移后函数的解析式和顶点坐标； (3)在抛物线上是否存在点，使的面积为4，若存在，求出点的坐标，若不存在说明理由． 45．（2025九年级上·上海静安·专题练习）如图，抛物线与x轴交点A、B，与y轴交于点C． (1)在抛物线对称轴上是否存在一点P，使为等腰三角形，如果存在，求出P点坐标； (2)抛物线上有一动点N，y轴上有一动点M，当是以为直角的等腰直角三角形时，求N点坐标． 46．（25-26九年级上·上海宝山·阶段练习）如图，直线交轴于点，交轴于点，抛物线的顶点为，且经过点． (1)求该抛物线对应的函数解析式． (2)若点在该抛物线上，求的值． (3)若点在抛物线上，求． (4)在对称轴上是否存在一点，使以，，，为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 47．（2025九年级上·上海长宁·专题练习）如图，抛物线交轴于两点，交轴于点． (1)求抛物线的函数解析式． (2)在抛物线的对称轴上是否存在点，使得是以为斜边的直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 48．（24-25九年级上·上海青浦·期中）如图，抛物线与轴的交点分别为和，与轴交于点，连接、，点是线段上，不与点、重合的一个动点，过点作轴，交抛物线于点，交于点，其对称轴与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)在点的运动过程中，能否使线段？若能，请求出点的坐标，若不能，请说明理由； (3)在抛物线的对称轴上是否存在点，使是等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 49．（24-25九年级上·上海嘉定·期中）已知抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点． (1)求抛物线的表达式及顶点的坐标． (2)如图1，若D是x轴下方抛物线上的一个动点（不与点A，C，B重合），过点D作轴于点F，交直线于点E．设点D的横坐标为m，试用含m的代数式表示的长． (3)如图2，若点在抛物线上，则在y轴上是否存在点Q，使？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【经典例题八 二次函数的图象和性质综合应用】 50．（24-25九年级上·上海杨浦·期中）综合实践：测量拱形门建筑的高度． 素材：如图1是一个抛物线形状的拱形门建筑，某校数学学习小组计划测量该拱形门相关数据从而计算其高度．如图2是其正面示意图，设该拱形门与地面的交点为A，B，且．在点A右侧1的点C处，测得拱形门上点D到地面的距离为3.8． 任务1：请在图2中建立合适的直角坐标系，并求出抛物线的函数表达式． 任务2：求出拱形门建筑最高点到地面的距离．      51．（2025九年级上·上海长宁·专题练习）与是两个直角边都等于4厘米的等腰直角三角形，、分别是直角边、的中点．位置固定，按如图叠放，使斜边在直线上，顶点与点M重合．等腰直角以1厘米/秒的速度沿直线向右平移，直到点与点N重合．设x秒时，与重叠部分面积为y平方厘米． (1)求y与x的函数关系式； (2)当与重叠部分面积为平方厘米时，求移动的时间． 52．（24-25九年级上·上海松江·期中）二次函数图象上部分点的横纵坐标的对应值如表： x … 0 1 2 m … y … n … (1)这个二次函数的表达式为_______，对称轴是_______； (2)表中的_______，_______； (3)若是这个函数图象上的两点，且，则_______（填“>”或“=”或“<”）； (4)写出这个函数的一条性质___________． 53．（2025九年级上·上海长宁·专题练习）已知二次函数的图象如图所示，回答下列问题： (1)填空（填“”“ ”或“”）： ①a 0；②b 0；③c 0；④ 0；⑤ 0； ⑥ 0；⑦ 0；⑧ 0； ⑨若点，均在该二次函数图象上，则 ； (2)若点，均在该二次函数图象上，则n的值为 ； (3)关于x的一元二次方程的实数根的情况为 ； (4)若图象与x轴的交点为，，，当时，x的取值范围为 ． 54．（2025·上海闵行·模拟预测）综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，已知点的坐标为，点的坐标为，直线与抛物线交于，两点． (1)求抛物线的函数表达式及点的坐标． (2)求的值和点的坐标． (3)是第四象限内抛物线上的动点，点的横坐标为，过点作轴的垂线，垂足为，交直线于点，过点作于点． ①当是线段的三等分点时，求点的坐标； ②连接，，，在点运动的过程中，是否存在？若存在，直接写出的长；若不存在，请说明理由． 55．（24-25九年级上·上海宝山·期中）已知二次函数的图象如图所示，与x轴交于，对称轴为直线．解决下列问题：      (1)关于x的一元二次方程的解为______； (2)求此抛物线的解析式； (3)若直线与抛物线没有交点，直接写出k的范围． 56．（24-25九年级上·上海嘉定·期中）如图，抛物线与直线交于点和点B．    (1)求抛物线和直线的解析式； (2)求点B的坐标，并结合图象直接写出不等式的解集； (3)点N是抛物线对称轴上一动点，且点N纵坐标为n，记抛物线在A，B之间的部分为图象G（包含A，B两点）．若点在直线上，且直线与图象G有公共点，结合函数图象，直接写出点N纵坐标n的取值范围． 【经典例题九 实际问题与二次函数的综合应用】 57．（25-26九年级上·上海闵行·阶段练习）如图，有长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度a为） 围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃，设花圃的宽为，苗圃面积为． (1)求S与x的函数表达式； (2)如果要围成面积为的花圃，的长是多少米？ 58．（25-26九年级上·上海杨浦·阶段练习）某品牌运动鞋专卖店销售一款经典运动鞋．经市场调研，该鞋的进货成本为每双元．根据以往销售数据和市场分析，店铺发现：当销售单价为元/双时，月平均销售量为双．销售单价每提高1元，月销售量就会减少5双；销售单价每降低1元，月销售量就会增加5双．设该运动鞋的销售单价为元/双，月销售总利润为y元［总利润＝（销售单价－进货成本）×月销售量]． (1)求月销售总利润y关于销售单价x的函数关系式； (2)销售单价定为多少元时，可获得最大月利润？最大月利润是多少元？ (3)销售单价在什么范围内时，店铺销售该运动鞋才能盈利？ 59．（25-26九年级上·上海闵行·期中）一座拱形桥，桥下水面宽度是米，拱高是米． (1)如图1，若把它看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，当水面上升米至时，则的长是多少？ (2)如图2，若把桥看作是圆的一部分，一艘船的高度是米，那么船的宽度为多少米，才能使船顺利通过拱桥？（结果保留根号） 60．（25-26九年级上·上海长宁·阶段练习）如图，隧道的截面由抛物线和矩形构成，矩形的长OA为10m，宽OB为2m，抛物线可用表示． （1）求抛物线的表达式和拱顶D到地面OA的距离． （2）一辆货运汽车装载集装箱后高为4m，宽为2m．若隧道内设双向行车道，则这辆货运汽车是否可以通过？ 解： (1)根据题意，将B________，C________分别代入， 得，解得， 抛物线的表达式为________． ________________， 拱顶D到地面OA的距离为________． (2)当时，________________， 这辆货运汽车________通过． 61．（25-26九年级上·上海闵行·阶段练习）在矩形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒． (1)当t为何值时，的长度等于？ (2)是否存在t的值，使的面积S最大，若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 62．（24-25九年级上·上海松江·阶段练习）【综合与实践】某公园在人工湖里安装一个喷泉，在湖心处竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，喷出的水柱形状可以看作是抛物线的一部分．若记水柱上某一位置与水管的水平距离为米，与湖面的垂直高度为米．下面的表中记录了与的五组数据： （米） 0 1 2 3 4 （米） (1)在下面网格（图1）中建立适当的平面直角坐标系，并根据表中所给数据画出表示与函数关系的图象； (2)若水柱最高点距离湖面的高度为米，则______，并求与函数表达式； (3)现公园想通过喷泉设立新的游玩项目，准备通过只调节水管露出湖面的高度，使得游船能从抛物线形水柱下方通过，如图2所示，为避免游船被喷泉淋到，要求游船从抛物线形水柱下方中间通过时，顶棚上任意一点到水柱的竖直距离均不小于米，已知游船顶棚宽度为3米，顶棚到湖面的高度为2米，那么公园应将水管露出湖面的高度（喷水头忽略不计）至少调节到多少米才能符合要求？请通过计算说明理由（结果保留一位小数）． 63．（2025九年级上·上海长宁·专题练习）小明在小区内看到一个小朋友在玩跳跳球，他对此展开了研究．如下图，已知抛球点A距地面，跳跳球落在距离点远的地面上（点B处），运动轨迹为抛物线的一部分，记为图象，其最高点与抛球点的水平距离为．以点O为坐标原点建立平面直角坐标系． (1)求图象所在抛物线的解析式； (2)小球落地后立即弹起，弹起后的运动轨迹为图象（图象所在抛物线的形状相同，且图象的最高点低于图象的最高点），跳跳球恰好落到距离点远的一个矩形石凳上（），石凳高度为，宽度为． ①当跳跳球恰好落到点E处时，求图象所在抛物线的解析式； ②如果图象所在抛物线的对称轴为直线，请直接写出m的取值范围． 【经典例题十 二次函数与几何图形综合应用】 64．（25-26九年级上·上海松江·期中）如图，在等腰直角中，，，过点作于点．点从点出发，以的速度沿向终点运动．过点作.于点，以，为邻边作．设与重叠部分图形的面积为，点的运动时间为． (1)当点落在边上时，求的值． (2)当时，求关于的解析式，并写出的取值范围． 65．（25-26九年级上·上海静安·期中）如图，在平面直角坐标系中，点在抛物线上，过点作轴的垂线，交抛物线于另一点，点，在线段上，分别过点，作轴的垂线，交抛物线于，两点． (1)求抛物线对应的函数解析式； (2)当四边形为正方形时，求线段的长． 66．（25-26九年级上·上海杨浦·阶段练习）如图，用长为米的篱笆，一面利用墙（墙的最大长度为米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽为米，面积为平方米． (1)求关于的函数表达式． (2)如果要围成面积为平方米的花圃，的长为多少米？ (3)平方米是否为花圃能围成的最大面积？若是，请说明理由；若不是，请求出花圃的最大面积． 67．（25-26九年级上·上海宝山·期中）如图，为了绿化小区，某物业公司要在形如五边形的草坪上建一个矩形花坛．已知：，，米，米，米，米．以所在直线为x轴，所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，坐标原点为O． (1)求直线的解析式． (2)设点P的横坐标为m，矩形的面积为S，求S关于m的函数关系式． (3)求当矩形的面积S取得最大值时点P的坐标． 68．（24-25九年级上·上海长宁·阶段练习）二次函数图象的顶点在原点O，且过；在y轴上．直线与y轴交于点H． (1)求二次函数的解析式； (2)点P是（1）中图象上的点，过点P作x轴的垂线与直线交于点M，求证：； (3)当时，求P点的坐标． 69．（2025·上海杨浦·模拟预测）已知抛物线与轴交于点，顶点为． (1)求该抛物线的解析式． (2)如图，点坐标，为抛物线对称轴上一动点，过点的直线平行轴交抛物线于、两点（点在点的左侧）． ①若，求点坐标； ②若以为边构造矩形（、在线段、上），求该矩形周长的最大值． 70．（25-26九年级上·上海崇明·阶段练习）如图，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，连接． (1)求抛物线解析式； (2)在抛物线的对称轴上找一点，使的值最小，求出点的坐标； (3)若点是线段上的一动点（不与，重合），轴，且交抛物线于点，交轴于点，求的面积最大值及此时点的坐标． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 二次函数章末70道压轴题型专训（10大题型） 题型一 二次函数的图象与性质问题 题型二 二次函数中平移问题 题型三 二次函数与方程及不等式综合应用 题型四 二次函数的翻折问题 题型五 二次函数图象与系数的关系问题 题型六 二次函数的最值问题 题型七 二次函数的存在性问题 题型八 二次函数的图象和性质综合应用 题型九 实际问题与二次函数的综合应用 题型十 二次函数与几何图形综合应用 【经典例题一 二次函数的图象与性质问题】 1．（25-26九年级上·上海宝山·期中）二次函数与直线的图象交于点． (1)______． (2)求该二次函数的解析式，并写出顶点坐标和对称轴． 【答案】(1)1 (2)，顶点坐标为，对称轴为y轴 【分析】本题主要考查二次函数，牢记二次函数的图象和性质是解题的关键． （1）根据直线的图象过点可求得的值； （2）根据二次函数的图象过点，可求得的值，即可得到二次函数的解析式，再根据二次函数的图象和性质即可求得答案． 【详解】（1）解：直线的图象过点，可得． 故答案为：1； （2）解：由（1）可知，点P的坐标为． ∵点P在二次函数的图象上， ， ∴该二次函数的解析式； ∴顶点坐标为，对称轴为y轴． 2．（25-26九年级上·上海金山·期中）运动会上，小刘同学投掷的实心球沿如图所示的抛物线 运行．实心球抛出时离地面的高度为，实心球离初始位置的水平距离为，请建立适当的平面直角坐标系，解决下列问题： (1)求实心球运行满足的函数关系式(写成顶点式)，并写出自变量x的取值范围； (2)求实心球在运行过程中离地面的最大高度． 【答案】(1)实心球运行满足的函数关系式为 (2) 【分析】本题考查二次函数的实际应用，能够正确求出函数关系式是解题关键； （1）直接用待定系数法求函数解析式即可； （2）根据二次函数的性质直接求解即可． 【详解】（1）解：如图，以为原点，为y轴，为x轴，建立直角坐标系， 由题意：，， 将两点代入得到：， 解得， ∴实心球运行满足的函数关系式为； （2）∵，， ∴当时，取到最大值为， 答：实心球在运行过程中离地面的最大高度为． 3．（25-26九年级上·上海长宁·阶段练习）如表中列出的是一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值： x … 0 1 2 … y … 1 … (1)该二次函数与y轴的交点坐标是____________；对称轴是____________；顶点坐标____________；当x____________，y随x的增大而增大． (2)求该二次函数的解析式． (3)当时，y的取值范围为________． 【答案】(1)，直线，， (2) (3) 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、待定系数法求函数的解析式等知识，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键； （1）根据表格信息，结合二次函数的图象与性质解答即可； （2）利用顶点式结合待定系数法求解即可； （3）根据二次函数的性质可知当时，函数有最大值，当时，函数有最小值，进而求解． 【详解】（1）解：观察表格可得：该二次函数与y轴的交点坐标是； 点关于直线对称， ∴抛物线的对称轴是直线；顶点坐标是； 在对称轴左侧，即当时，y随x的增大而增大； 故答案为：，直线，，； （2）解：设抛物线的解析式为， 把代入，得， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （3）解：∵抛物线的开口向下，且， ∴当时，函数有最大值1，当时，函数有最小值， ∴当时，y的取值范围为； 故答案为：． 4．（25-26九年级上·上海闵行·阶段练习）已知二次函数． (1)用配方法将化为的形式；并写出对称轴和顶点坐标； (2)在平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象； (3)当取何值时，随的增大而减小？ (4)当时，写出的取值范围． 【答案】(1)，对称轴为直线，顶点坐标为 (2)见解析 (3) (4) 【分析】本题考查二次函数图象及性质，由一般式化成顶点式，顶点式性质，五点作图法画二次函数图象，由因变量范围求自变量范围等． （1）将一般式利用配方法配成顶点式，继而求出对称轴和顶点坐标； （2）利用图象性质即可画出二次函数图象； （3）通过图象即可得到本题增减性答案； （4）先计算一元二次方程，求出的值，继而利用图像即可得到本题答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴对称轴为：直线，顶点坐标为：； （2）解：∵， ∴顶点坐标为：，对称轴为：直线， ∴令，即， ∴与轴交点为， 令，解得：，即与轴交点为：， ∵， ∴开口向上，抛物线如下所示： （3）解：∵，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小； （4）解：∵，解得：或， ∵，图象开口向上， ∴根据图像可知． 5．（25-26九年级上·上海静安·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式． (2)请求出该二次函数的对称轴、顶点坐标． (3)在直线下方抛物线上是否存在点，使得的面积最大，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)对称轴为直线、顶点坐标为 (3)存在点，使得的面积最大，此时点P的坐标为 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，一次函数，解题的关键是理解题意，掌握待定系数法． （1）利用待定系数法解答，即可求解； （2）把（1）中解析式化为顶点式，即可求解； （3）先求出直线的解析式，过点P作轴交直线于点E，设点P的坐标为，则，可得，然后根据，结合二次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于两点， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵， ∴该二次函数的对称轴为直线、顶点坐标为； （3）解：存在点，使得的面积最大， 当时，， ∴点， 设直线的解析式为， 把点，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 如图，过点P作轴交直线于点E， 设点P的坐标为，则， ∴， ∴ ， ∴当时，的面积最大，此时点P的坐标为． 6．（25-26九年级上·上海崇明·阶段练习）已知一个二次函数解析式为，部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表所示： x … 0 1 n 3 … y … 0 m 4 3 0 … (1)直接写出m，n的值； (2)在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象； (3)当时，求y的取值范围． 【答案】(1)， (2)图象见详解 (3) 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键； （1）把代入解析式即可求出，把代入解析式即可求出； （2）根据描点、连线可进行求解； （3）由（2）中图象，结合求函数值，求解即可． 【详解】（1）解：当时，， 当时，即，解得：，（不符合题意舍去）， 综上所述：，． （2）解：由题意可得函数图象如下： （3）解：当时，， 当时，， 当时，函数有最大值，最大值为：， ∴当时，y的取值范围为； 7．（25-26九年级上·上海金山·阶段练习）项目学习 【项目】研究二次函数图像顶点的特征． 【操作】 （1）列表： 的值 ．．． ．．． 顶点的横坐标 ．．． 1 2 3 ．．． 顶点的纵坐标 ．．． ．．． 填写表格，表格中的与的值分别是_____，_____； （2）描点：随着取不同值，请将的顶点描在下面的平面直角坐标系中； （3）连线：用光滑的曲线顺次连接各点； 【猜想】 （4）随着取不同值，的顶点形成的图象的函数表达式为_____（不用说明理由）． 【答案】（1）0，；（2）图见解析；（3）图见解析；（4）． 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，求函数解析式，掌握相关知识是解题的关键． （1）由，得到其顶点为，再把，代入求解即可； （2）根据表格数据直接描点即可； （3）用光滑的曲线连接各点即可； （4）直接用待定系数法求解即可． 【详解】解：∵二次函数， ∴其顶点为：， ∴当时，顶点为，当时，顶点为， ∴， 故答案为：； （2）描点如图： （3）连线如图： （4）设的函数表达式为：， ∵图像经过， ∴， 解得：， ∵的函数表达式为：， 故答案为：． 【经典例题二 二次函数中平移问题】 8．（25-26九年级上·上海杨浦·阶段练习）若二次函数的二次项系数为1，则此二次函数可表示为，我们称为此函数的特征数，如函数的特征数是． (1)若一个函数的特征数为，求此函数图象的顶点坐标； (2)探究下列问题： ①若一个函数的特征数为，将此函数的图象先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，求得到的图象对应的函数的特征数； ②若一个函数的特征数为，问此函数的图象经过怎样的平移，才能使得到的图象对应的函数的特征数为？ 【答案】(1) (2)①得到的图象对应的函数的特征数为；②原来函数的图象先向左平移3个单位长度，再向下平移9个单位长度 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象的平移，理解特征函数的定义是解此题的关键． （1）根据特征函数的定义，先确定二次函数的表达式，再将其化为顶点式，即可得解； （2）①根据特征函数的定义，先确定二次函数的表达式，再根据二次函数图象的平移法则即可得解；②根据特征函数的定义，先确定两个二次函数的表达式，再根据二次函数图象的平移法则即可得解． 【详解】（1）解：根据题意，得， ∴此函数图象的顶点坐标为． （2）解：①根据题意，得， ∴将此函数的图象先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度后得． ∴得到的图象对应的函数的特征数为． ②∵一个函数的特征数为， ∴函数的表达式为． ∵一个函数的特征数为， ∴函数的表达式为． ∴原来函数的图象先向左平移3个单位长度，再向下平移9个单位长度． 9．（25-26九年级上·上海宝山·阶段练习）已知二次函数的图象如图． (1)求它的对称轴与轴交点D的坐标； (2)将该抛物线沿它的对称轴向上平移，设平移后的抛物线与轴，轴的交点分别为A、B、C三点，若，求此时抛物线的解析式； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将化成顶点式，从而算出其对称轴，然后得到点的坐标； （2）不妨设此时抛物线的解析式为，设点，然后表示出点，然后通过，得到，，表示出，接着根据，列出方程解出答案即可． 【详解】（1）解：， 对称轴为， ； （2）解：不妨设此时抛物线的解析式为，设点， 当时，， ， 当时，， ，， ， ，是斜边上的中点， ， ， ， ， （舍去）或， 此时抛物线的解析式为． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的平移，勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 10．（25-26九年级上·上海宝山·阶段练习）如图，已知抛物线L：与x轴交于A、B两点．与y轴交于C点．且， (1)求抛物线L的函数表达式； (2)将抛物线L：的图象向上平移2个单位长度，向左平移个单位长度后，恰好经过点，求m的值； (3)连接、，在抛物线上是否存在一点N，使？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、三角形的面积、待定系数法求函数解析式，明确题意，熟练掌握二次函数的性质和数形结合的思想是解答本题的关键． （1）计算出点坐标，待定系数法计算解析式即可； （2）根据平移法则，写出平移后的解析式，代入点坐标计算即可解答； （3）设出点N的坐标，表示出面积，分类讨论计算出点N的坐标． 【详解】（1）解：，， ， ，， 把A，B，C的坐标代入， 得， 解得， 抛物线的解析式为； （2）解：， 将向上平移2个单位，向左平移个单位， 得到， 平移后图象过， ， 解得，， ， ； （3）解：存在， 设， ，， ， ， ， ， ， ， 当时，，， 当时，，， 点N的坐标为或 11．（25-26九年级上·上海闵行·阶段练习）如图1是某大型文化主题乐园中的过山车项目实景图．过山车的一部分轨道，可以各看成一段抛物线，以点为原点，竖直方向为轴，水平方向为轴建立平面直角坐标系，其图象如图2所示，左侧轨道抛物线的顶点在轴上，与轴交于点，其中米，米（轨道厚度忽略不计）． (1)求左侧过山车轨道所在抛物线的解析式； (2)在轨道（抛物线）距离地面4.5米处有两个点和（点在点的左侧），当过山车运动到点处时，平行于地面向前运动了5米至点，又进入下一个轨道抛物线．已知轨道抛物线的形状与抛物线完全相同（即抛物线由抛物线向右平移得到），求的长． 【答案】(1) (2)的长为15米 【分析】本题考查了二次函数的应用，二次函数解析式，二次函数图象的平移，解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． （1）由题意知，，设抛物线的函数解析式为，把代入，求解值，进而可得抛物线解析式； （2）由题意知，当时，，解得，即，，得出，由抛物线的形状与抛物线完全相同，，则抛物线可以看作是由抛物线向右平移11个单位长度得到的，即可求解． 【详解】（1）解：由题意知，，， 设抛物线的函数表达式为． 把的坐标代入，得， 解得， ∴． （2）解：由题意得：， 当时，， 解得：． ∴，． ∴． ∵抛物线的形状与抛物线完全相同． ∴， ∴抛物线可以看作是由抛物线向右平移11个单位长度得到的． ． ，即的长为15米． 12．（2025·上海松江·模拟预测）如图，抛物线与轴交于点、，与轴交于点，且，点为线段上一动点不与点重合，过点作矩形，点、在抛物线上，点在轴上． (1)求抛物线的解析式； (2)当矩形的周长最大时，求矩形的面积； (3)在（2）的条件下，矩形不动，将抛物线沿着轴向左平移个单位，抛物线与矩形的边交于点、，连接、若恰好平分矩形的面积，求的值． 【答案】(1)； (2)； (3)的值为． 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求解析式，矩形的性质等知识，解题关键是知道过矩形对角线交点的直线可将矩形的面积分成相等的两半． （1）先求出点的坐标，由，可推出点坐标，将点坐标代入可求出的值，即可写出抛物线的解析式； （2）设点坐标为，用含的代数式表示出矩形的周长，用函数的思想求出取其最大值时的值，即求出点的坐标，进一步可求出矩形的面积； （3）如图，连接，，，设与交于点，过点作的平行线，交于，交于点，则直线将矩形的面积分成相等的两半，依次求出直线，的解析式，再求出点的坐标，即可得出的值． 【详解】（1）解：在抛物线中， 当时，， ， ， ， ， ， 将代入，得： 解得：， 抛物线的解析式为； （2）解：设点坐标为， 四边形为矩形， ， ， 抛物线对称轴为， 点到对称轴的距离为， 由对称性可知， 矩形的周长， 当时，矩形周长取最大值， 此时， ，， ； （3）解：如图，连接，，，设与交于点，过点作的平行线，交于，交于点，则直线将矩形的面积分成相等的两半， 由（2）知，抛物线对称轴为，， ， 设直线的解析式为， 将点，代入，得： ， 解得：， 直线的解析式为， 可设直线的解析式为， 将点代入，得：， 解得：， 直线的解析式为， 当时，， ， ， 将抛物线沿着轴向左平移个单位，抛物线与矩形的边交于点、，连接、，则恰好平分矩形的面积， 的值为． 13．（24-25九年级上·上海嘉定·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，，与轴交于点． (1)求抛物线解析式． (2)在直线下方抛物线上有一点，当的面积最大时，求点的坐标及面积的最大值． (3)将该抛物线向左平移4个单位，得到新抛物线，新抛物线与原抛物线的交点为，点是新抛物线对称轴上一点，在（2）的条件下，在新抛物线上是否存在点，使得以点为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)的最大值为，此时点的坐标为 (3)点Q的坐标为或或 【分析】（1）将，，坐标代入解析式，建立方程组，求解即可； （2）过点P作轴交于点N，设P的横坐标为t，则可表示点P和点N的坐标，表示的面积，利用二次函数的性质求出最值； （3）利用平移先求出，联立可求出点E的坐标，然后分情况讨论，当为边时，当为对角线时两种情况，利用点的平移求解即可． 【详解】（1）解：将，，坐标代入解析式， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为：． （2）解：如图1，点P作轴交于点N，， 设P的横坐标为t， ∴， 设直线的解析式为， 把，坐标代入解析式得， 解得， ∴直线的解析式为， ∴， ∴， ∴ ， ∵， ∴当时，的最大值为，此时点的坐标为． （3）解：存在，理由如下： ∵抛物线y的解析式为：， ∴抛物线向左平移4个单位，得到新抛物线， ∴的对称轴为直线，即点F的横坐标为0， 令， 解得， ∴， 由（2）知点P的坐标为， 当以为平行四边形的一条边时：或． ∴或， 解得：或， ∴点Q的坐标分别为或． 当以为平行四边形的对角线时：， ∴， 解得：， ∴． 综上可知，点Q的坐标为或或． 【点睛】本题考查的是二次函数的性质、抛物线与坐标轴的交点、待定系数法求解析式、三角形的面积、平行四边形的判定与性质，正确作出辅助线是解决此题关键． 14．（24-25九年级上·上海宝山·阶段练习）已知抛物线． (1)请用配方法将化为的形式，并写出对称轴和顶点的坐标； (2)在平面直角坐标系中，画出的图象； (3)如果该抛物线沿x轴向左或向右平移个单位后经过原点，求m的值； (4)当时，求y的取值范围． 【答案】(1)，对称轴：直线，顶点坐标 (2)作图见解析 (3)或1 (4) 【分析】本题考查二次函数的顶点式、画二次函数的图象，二次函数平移的规律，解题的关键是掌握二次函数平移的规律． （1）利用配方法进行求解即可； （2）先找顶点，再求与x轴、y轴交点，即可画出二次函数的图象； （3）根据函数经过点，，根据平移规律进行求解； （4）结合抛物线对称轴直线，分别求、、时的值，确定最值． 【详解】（1）解： 对称轴为：直线； 顶点坐标； （2）解：当时，； 当时，或， 所以该图象经过点，，； （3）∵经过点， ∴抛物线沿x轴向左平移3个单位长度或向右平移1个单位长度后经过原点， ∴或3． （4）时，； 时，（最大值）； 时，（最小值）． y的取值范围为． 【经典例题三 二次函数与方程及不等式综合应用】 15．（25-26九年级上·上海青浦·期中）如图，抛物线（，为常数，）的顶点坐标为，与轴相交于，两点（点在点的左侧），与轴相交于点． (1)求点和点的坐标； (2)点是直线上方该抛物线上一点，过点作轴，与直线相交于点，求线段的最大值． 【答案】(1) ， (2) 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数与线段综合，求一次函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据抛物线的顶点坐标为，进行列方程，再解出方程，得，理解题意，得，解得，，即可作答． （2）理解题意，得，再求出直线的解析式，整理得，然后化为顶点式，得，运用二次函数的图象性质，进行分析，即可作答． 【详解】（1）解： 抛物线的顶点坐标为， 解得． ∴， 由，得． ∴， 解得，． 点的坐标为，点的坐标为． （2）解：依题意，如图所示： 点在抛物线上， ． 当时，． 点的坐标为． 又， 设直线的解析式为 ， 解得， 可得直线的解析式为． 轴， 点的坐标为． 点在直线的上方， ． 则， ∵， ∴开口向下， 当时，的最大值为． 16．（25-26九年级上·上海嘉定·阶段练习）如图是抛物线的图象，根据图象回答下列问题． (1)___________，___________； (2)方程的根是什么？ (3)当x取何值时，？ 【答案】(1)1；2 (2) (3) 【分析】本题考查了用待定系数法求函数解析式的方法，体现数形结合的思想解决问题． （1）代入与x轴的交点坐标，建立b、c的二元一次方程组，求得答案即可； （2）观察图象抛物线与x轴交于和两点，所以方程的解为，； （3）若，则函数的图象在x轴的上方，找到对应的自变量取值范围即可． 【详解】（1）解：由图象可知：与x轴的交点坐标为，， 代入得， 解得， ∴抛物线． 故答案为：1；2； （2）解：观察图象可知抛物线与x轴交于和两点， ∴方程的根是，， ∴方程的根是，； （3）解：由图象得，当时．． 17．（25-26九年级上·上海宝山·期中）如图所示，二次函数的图像交轴于、两点． (1)若，即：，那么的取值是_____；若，即：，那么的取值范围是_____． (2)当取何值时，代数式的值最小？求出这个最小值． 【答案】(1)，3； (2)当时，最小值为 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，抛物线与坐标轴的交点问题，利用函数图象解不等式． （1）令，解即可求解的取值，那么得到抛物线与轴交点坐标，再由图象即可求解时，的取值范围； （2）设，再由二次函数的图象与性质求解即可． 【详解】（1）解：∵二次函数的图像交轴于、两点， ∴当时，的取值是，3； ∵抛物线与轴交点为， ∴时，由图象可得，那么的取值范围是， 故答案为：，3；； （2）解：设， 则， ∵， ∴当时，取得最小值，即代数式的值最小，最小值为． 18．（25-26九年级上·上海松江·期中）已知二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，且经过点，解答下列问题： (1)当时，的取值范围__________； (2)此二次函数的解析式是__________ (3)当时，的最大值是__________； (4)当时，的取值范围是__________； (5)若直线与该二次函数的图象有公共点，则的取值范围是__________． 【答案】(1)或 (2) (3)3 (4) (5) 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键： （1）对称性求出抛物线与轴的另一个交点坐标，图象法确定的取值范围即可； （2）待定系数法求出函数解析式即可； （3）根据增减性，进行求解即可； （4）根据增减性，进行求解即可； （5）求出顶点坐标，图象法进行求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴是直线，且经过点， ∴抛物线与轴的另一个交点坐标为； 由图象可知，当时，的取值范围为或； （2）由（1）可知，图象经过，， ∴抛物线的解析式为； （3）∵抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随着的增大而减小， ∵， ∴当时，函数有最大值为； 故答案为：3； （4）由（2）可知，当抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小， ∵， ∴当时，函数有最大值为； 当时，函数有最小值为； ∴； （5）∵， ∴当时，有最大值为4， ∵直线与该二次函数的图象有公共点， ∴． 19．（25-26九年级上·上海青浦·阶段练习）已知二次函数 (1)请用“五点作图法”画出函数图象； (2)若点在此抛物线上，则m的值是______； (3)根据图象直接写出函数值小于3时，x的取值范围是______． 【答案】(1)见解析 (2)或 (3)或 【分析】本题考查了画二次函数的图象，二次函数的图象与性质，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）先求出二次函数与轴、轴的交点坐标，二次函数的顶点坐标，以及与轴的交点坐标关于对称轴对称的点的坐标，再画出函数图象即可得解； （2）将代入抛物线的解析式计算即可得解； （3）观察函数图象即可得解． 【详解】（1）解：在中，当时，，故与轴的交点坐标为， 当时，，解得：，，故与轴的交点坐标为，， ∵， ∴抛物线的顶点坐标为，抛物线的对称轴为直线， ∴抛物线与轴的交点坐标关于对称轴对称的点的坐标为， 画出函数图象如图所示： （2）解：∵点在此抛物线上， ∴， ∴， 解得或， ∴m的值是或； （3）解：由图象可得：函数值小于3时，x的取值范围是或． 20．（25-26九年级上·上海闵行·阶段练习）学完二次根式一章后，小易同学看到这样一题：“函数中，自变量x的取值范围是什么？”这个问题很简单，根据二次根式的性质很容易得到自变量x的取值范围，联想到一次函数，小易想进一步研究这个函数的图象和性质，以下是他的研究步骤： 第一步：函数中，自变量x的取值范围是______． 第二步：根据自变量取值范围列表： x 0 1 2 3 4 …… 0 1 m …… ______． 第三步：描点画出函数图象． 在描点的时候，遇到了，，这样的点，小易同学用所学勾股定理的知识，找到了画图方法，如图所示，你能否从中得到启发，在下面的y轴上标出表示的点（保留作图痕迹），并通过描点法画出的函数图象．    第四步：分析函数的性质． 请写出你发现的函数的性质（写一条）：__________________ 第五步：利用函数图象解含二次根式的方程的近似解． （1）请在上面坐标系中画出的图象，并利用图象估算方程的解为______（结果精确到）． （2）请你类比分式方程的解法求出该方程的准确解____________． 【答案】第一步：；第二步：2；第三步：见解析；第四步：y随x的增大而增大；第五步：（1）函数图象见解析，；（2） 【分析】第一步：根据二次根式有意义的条件即可求解； 第二步：将代入中即可求出m的值； 第三步：取点，则根据勾股定理可得，以原点为圆心，的长为半径画弧，即可在轴上标出表示的点．根据第二步表格数据描点并连线即可得到函数图象； 第四步：根据函数图象即可得出函数的性质； 第五步：（1）首先画出的图象，然后根据两函数的交点即可估算方程的解； （2）将方程两边同时平方，转化为整式方程，求解后进行检验即可． 【详解】解：第一步：函数中，自变量x应满足，即， ∴自变量x取值范围为． 故答案为：． 第二步：当时，， ∴． 故答案为：2． 第三步：如图，y轴上表示的点为所求． 根据表格描点并连线，函数图象如图所示．    第四步：由图象可得，y随x的增大而增大． 故答案为：y随x的增大而增大． 第五步：（1）函数图象如下，    根据两函数图象的交点估算方程的解为． 故答案为： （2）， 方程两边同时平方，得， 整理，得， 解得，， 检验：∵， ∴， ∵，， ∴是原方程的解，不是原方程的解． 故答案为：． 【点睛】本题考查二次根式有意义的条件，求函数值，勾股定理与无理数，描点法画函数图象，根据函数图象估计方程的近似解，解一元二次方程等，掌握数形结合思想，类比思想是解题的关键． 21．（25-26九年级上·上海长宁·课后作业）已知二次函数 (1)请你把已知的二次函数化成的形式： ，并在平面直角坐标系中画出它的图象； (2)如果、是（1）中图象上的两点，且，请直接写出的大小关系为 ； (3)利用（1）中的图象表示出方程的根m，n（，画在（1）的图象所在坐标系中即可，要求保留画图痕迹； (4)观察（1）中的图象知，当时，y的取值范围是 ． 【答案】(1)，图见解析 (2) (3)图见解析 (4) 【分析】此题重点考查二次函数的图象与性质、用图象法求一元二次方程的近似根等知识与方法，正确地画出函数的图象是解题的关键． （1）将配成顶点式得，求出抛物线的顶点坐标、对称轴及抛物线与坐标轴的交点，再画出函数的图象即可； （2）由（1）得抛物线的对称轴为直线，由图象可知，当时，y随x的增大而减小，所以当时，则； （3）当时，则，整理得，可知该方程的两个根即为抛物线与直线的交点的横坐标，画出这两个交点即可； （4）由函数图象可知，当时，函数图象的最低点为抛物线的顶点，所以． 【详解】（1）解：∵， ∴该抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线； 当时，则， 解得， ∴该抛物线与x轴的两个交点的坐标分别为，； 当时，， ∴该抛物线与y轴的交点的坐标为， 故答案为：， 画出该函数的图象如图所示． （2）解：由（1）得，抛物线的对称轴是直线， ∴当时，y随x的增大而减小， ∵， ∴， 故答案为：． （3）解：当时，则， ∴， 该方程的两个根即为抛物线与直线的交点的横坐标， 如图，点M、N的横坐标即为m、n的值． （4）解：由函数图象可知，当时，函数图象的最低点为抛物线的顶点， ∴y的取值范围是， 故答案为：． 【经典例题四 二次函数图象与系数的关系问题】 22．（24-25九年级上·上海静安·阶段练习）如图，实践课上，乐乐要把一张长为，宽为的长方形纸板的四周各剪去一个边长为的小正方形，再折叠成一个无盖的长方体盒子（纸板的厚度忽略不计）． (1)要使长方体盒子的底面积为时，求所剪去的小正方形的边长； (2)设所折叠的长方体盒子的侧面积为，求与的函数关系式； (3)长方体盒子的侧面积为的值是否有最大值，若有，请求出的值；若没有，请说明理由． 【答案】(1)剪去的小正方形的边长为 (2)， (3)时的值最大 【分析】（1）利用（原来长方形的长正方形的边长）（原来长方形的宽正方形的边长），列出方程即可求解； （2）同（1）先用表示出不同侧面的长，然后根据矩形的面积将个侧面的面积相加，得出关于侧面积和正方形边长的函数式，根据正方形的边长不能超过宽的求出自变量的取值范围即可； （3）将函数关系式改写成顶点式，然后根据函数的性质和自变量的取值范围来得出侧面积的最大值即可． 【详解】（1）解：设小正方形的边长为， 则， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 剪去的小正方形的边长为； （2）设正方形的边长为，所折叠的长方体盒子的侧面积为， 则与的函数关系式为：， 整理得：，， 与的函数关系式为，； （3），， 改写成， 当时，的值最大． 【点睛】此题考查二次函数的应用，一元二次方程的实际运用，二次函数的性质求最值，根据矩形面积的计算方法正确列出方程与二次函数是解题的关键． 23．（2025·上海宝山·模拟预测）如图，平面直角坐标系中，点A，B分别在y轴和x轴的正半轴上，，的长分别是方程的两个根，且． (1)求直线的解析式； (2)点C从点O出发向点B运动，运动的速度为每秒1个单位长度，作轴交线段于点D，点D不与点A，B重合，将沿着折叠，使点B落在x轴上的对应点E处，设运动时间为t秒，与重叠部分的面积为S，求S与t之间的函数关系式； (3)在（2）的条件下，连接，是否存在点C，使为直角三角形？若存在，请直接写出点C的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）解一元二次方程求出，，再分别求出A、B的坐标，然后利用待定系数法求出直线解析式即可； （2）分别表示、的坐标即可得出，分两种情况画出图形再分别求重叠部分面积即可； （3）分两种情况分别表示出点的坐标，再根据两点间的距离公式分别求出、、，然后根据勾股定理分三种情况求出的值即可得出点的坐标． 【详解】（1）解：，则或4， ， ，， 点A、B的坐标分别为，； 设直线的表达式为：， 则， 解得：， 直线的解析式为； （2）根据题意，得，则， 轴交线段于点D， 把代入得， 当时，如图1，与重叠部分为四边形， 折叠 ， ， 设直线的解析式为 解得：， 直线的解析式为， 令，则， ； 当时，如图2，与重叠部分为， 折叠 ， ； 综上所述，S与t之间的函数关系式为：； （3）当时，如图1， 由（2）知，点 当时，如图2， ，， ， ， 两种情况下点的坐标是一样的， ， ，， 当时，解得：（舍去），；此时点的坐标为； 当时，解得：（舍去），（舍去）； 当时，解得：（舍去），；此时点的坐标为； 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数与几何综合、解一元二次方程、勾股定理、一次函数的应用、折叠的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键． 24．（24-25九年级上·上海松江·阶段练习）已知，如图在中，，，．若以O为坐标原点，所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，点B在第一象限内．将沿折叠后，点A落在第一象限内的点C处． (1)求点C的坐标； (2)若抛物线经过C、A两点，求此抛物线的解析式； (3)若抛物线的对称轴与交于点D，点P为线段上一点，过P作y轴的平行线，交抛物线于点M．问：是否存在点P，使得？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在， 【分析】（1）过点C作轴，垂足为H，得到，，由折叠知，，，求出，，得到点C的坐标为； （2）利用待定系数法求解析式； （3）存在．因为的顶点坐标为即为点C，由轴，设垂足为，，表示出，作，垂足为，，垂足为E，得到，，同理：，，要使，只需，即，求解即可得到P点的坐标． 【详解】（1）解：过点C作轴，垂足为H，   在中，，，， ， 由折叠知，，， ，，， 的坐标为； （2）抛物线经过、两点 解得 此抛物线的解析式为：； （3）存在．因为的顶点坐标为即为点C， 轴，设垂足为，， 因为，所以 作，垂足为，，垂足为E    把代入得： ， 同理：， ∵， ∴要使，只需 即，解得：，（舍去） 点坐标为 存在满足条件的点P，使 此时P点的坐标为． 【点睛】此题考查了二次函数与几何图形的综合，翻折的性质，待定系数法求二次函数的解析式，解一元二次方程，正确掌握并理解二次函数与几何图形的关系是解题的关键． 25．（24-25九年级上·上海奉贤·期中）矩形的边长，点E在上，把沿折叠，使点B落在边的点F处，． (1)如图1，求的长度； (2)如图2，点N从点F出发沿以每秒的速度向点D运动，同时点P从点A出发沿以每秒的速度向点F运动，运动时间为t秒（），过点P作，于点M． ①请证明在N、P运动的过程中，四边形是平行四边形； ②连接，，当t为何值时，为直角三角形？ ③连接，，记的面积为S，用含t的代数式表示S，求出当t为何值时S取得最大值，并求出最大值． 【答案】(1) (2)①证明见解析；②当t＝5或8时，△MNP为直角三角形；③当t＝5时，S取得最大值，最大值为 【分析】（1）根据矩形的性质可得，根据折叠的性质可得， ，即可得出，根据含角的直角三角形的性质即可得答案； （2）①根据含角的直角三角形的性质得出，根据可得，即可得结论；②分，，三种情况，利用含角的直角三角形的性质可得关于的一元一次方程，解方程即可得答案；③利用勾股定理和含角的直角三角形的性质用表示出，配方求出二次函数的最大值即可得答案． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴， 由折叠得：，， ∴， ∴． （2）①证明：由题意得：，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形； ②解：分三种情况： a、当时，，，，如图所示： ∵，， ∴，， ∴，， ∴，即， 解得：； b、当时，点N、M重合，不能构成； c、当时，如图所示：过P作于H， 则四边形是矩形，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：； 综上所述，当或时，为直角三角形； ③∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当时，S取得最大值，最大值为． 【点睛】本题考查矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、含角的直角三角形的性质、勾股定理及二次函数的性质，熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键． 26．（2025·上海嘉定·模拟预测）已知：如图，抛物线经过原点，它的对称轴为直线，动点从抛物线的顶点出发，在对称轴上以每秒个单位的速度向下运动，设动点运动的时间为秒，连接并延长交抛物线于点，连接，． (1)求抛物线解析式及顶点坐标； (2)当三点，，构成以为为斜边的直角三角形时，求的值； (3)将沿直线折叠后，那么点的对称点能否恰好落在坐标轴上？若能，请直接写出所有满足条件的的值；若不能，请说明理由． 【答案】(1)； (2)秒 (3)能，秒或秒或秒 【分析】（1）根据抛物线过原点，对称轴为直线，待定系数求解析式即可求解； （2）设．三点，，构成以为为斜边的直角三角形，勾股定理得出，．继而得出直线的解析式为，当时，，得出，进而即可求解； （3）分三种情况讨论，①点在轴正半轴上；②点在y轴负半轴上，③点在轴负半轴上，分别画出图形，根据轴对称的性质，勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：由题意得， 解得， 抛物线的解析式为； ， 顶点的坐标为； （2）如图1， 设． 三点，，构成以为斜边的直角三角形， ， 即， 整理，得， 解得，舍去， ． 设直线的解析式为，则， 解得， ． 当时，， ， 秒； （3）分三种情况： ①若点在轴正半轴上，如图2， 可得， 即， 解得； ②若点在y轴负半轴上，如图3，连接交OB于E． 可得， ， ， ， ， ， ． 在与中， ， ， ， ； ③若点在轴负半轴上，如图 可得， 即， 解得； 综上所述，所有满足条件的的值为秒或秒或秒． 【点睛】本题考查了二次函数综合问题，特殊三角形问题，轴对称的性质，勾股定理，掌握二次函数的性质是解题的关键． 27．（2025·上海闵行·模拟预测）如图，二次函数与轴交于，两点，顶点为，连接、，若点是线段上一动点，连接，将沿折叠后，点落在点的位置，线段与轴交于点，且点与、点不重合． (1)求二次函数的表达式； (2)①求证：； ②求的最小值； 【答案】(1) (2)①证明见解析；② 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）①先证明，得到，由折叠的性质可知，则，再由，即可证明；②由折叠的性质可得，由相似三角形的性质得到，则，进而推出当时，最小，求出，则，求出，即可得到答案． 【详解】（1）解：∵二次函数与轴交于，两点， ∴， ∴， ∴二次函数解析式为； （2）证明：①∵点C是二次函数的顶点，O、A关于二次函数对称轴对称， ∴点C在线段的垂直平分线上， ∴， ∴， 由折叠的性质可知， ∴， 又∵， ∴； ②由折叠的性质可得， ∵， ∴， ∴， ∴要使最小，即要使最小， ∴当最小时，最小， ∴当时，最小， ∵二次函数解析式为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，待定系数法求二次函数解析式，勾股定理，相似三角形的性质与判定，折叠的性质，灵活运用所学知识是解题的关键． 28．（24-25九年级上·上海静安·阶段练习）定义：有三个内角相等的四边形叫三等角四边形． （1）如图，折叠平行四边形纸片，使顶点，别落在边，的点，处，折痕分别为，．求证：四边形是三等角四边形；    （2）当时，如图所示，在三等角四边形中，，若，设，，求y与x的函数关系式，并求出的最大值是多少?    【答案】（1）证明见解析；（2），AB最大值是． 【分析】（1）由四边形 是平行四边形，得到，且，再根据等角的补角相等，判断出即可； （2）计算出AB的长，从而得到当AD=2时，AB最长，最后计算出对角线AC的长． 【详解】（1） 四边形 是平行四边形， ，， 有折叠，得 ，． ． ． ，， ， ， 四边形 是三等角四边形． （2）当 时，如图 1 所示，过点 作 交 于点 ，作 交 于点 ．    四边形 是平行四边形，， ，． ，， ， ，，， 设 ，，则 ，， 由 ，得 ， ． ， 当 时， 的最大值为 ． 即当 时， 的长最大，最大值是 ， 故答案为：，AB最大值是． 【点睛】本题考查了四边形中的新定义问题，相似三角形的判定和应用，二次函数最值的应用，掌握二次函数与四边形结合问题是解题的关键． 【经典例题五 二次函数的翻折问题】 29．（2025九年级上·上海闵行·专题练习）某商场以每件40元的价格购进一种商品，试销中发现这种商品每天的销售量（件）与每件的销售价（元）满足关系：．若商场每天要获得不低于1600元的利润，每件商品的售价应定为多少？ 【答案】售价应定在60元到80元之间（含60和80元） 【分析】本题考查二次函数利润模型与一元二次不等式解法，通过建模将利润问题转化为不等式求解，关键是正确推导函数、解不等式并验证实际意义，易错点是符号处理和忽略销售量限制． 先建立利润函数，令得不等式，解得，再验证销售量的条件，最终得售价应在60元到80元之间（含两端）． 【详解】已知进价40元，售价x元，所以每件利润为元； 销售量（件）． 因此，利润． 要求利润不低于1600元，即： 解方程，因式分解得： 由于二次函数开口向上，因此不等式的解集为： 又，即： 解得 而满足，符合实际． 综上，每件商品的售价应定在60元到80元之间（含60和80元）． 30．（25-26九年级上·上海嘉定·阶段练习）某商店经销一种旅行包，已知这种旅行包的成本价为每个元，物价部门规定这种旅行包的销售单价不得高于元．市场调查发现，这种旅行包每天的销售量（个）与销售单价（元）有如下关系：．设这种旅行包每天的销售利润为元． (1)求与之间的函数解析式； (2)该商店销售这种旅行包每天要获得元的销售利润，销售单价应定为多少元？ (3)这种旅行包销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)； (2)销售单价应定为元； (3)旅行包销售单价定为元时，每天的销售利润最大，最大利润是元． 【分析】此题考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用，掌握实际问题中的等量关系和用二次函数求实际问题的最值是解题的关键． （）根据题意得出即可； （）当时，得，然后解方程并检验即可； （）由（）得，，然后通过二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，； （2）解：当时， ∴， 整理得：， 解得：，， ∵旅行包的销售单价不得高于元， ∴， 答：销售单价应定为元； （3）解：由（）得，， ∵旅行包的销售单价不得高于元， ∴， ∵， ∴随的增大而增大， ∴当时，有最大，为（元）， 答：旅行包销售单价定为元时，每天的销售利润最大，最大利润是元． 31．（2025·上海宝山·模拟预测）某厂商因故将某款外销商品转内销．经分析发现某款商品日销售量y（万件）在三月上旬x（日）的关系满足：（，x为整数），每件产品的利润z（元）与日期x（日）的关系如下表： x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 z 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 (1)请你根据表格求出每件产品利润z（元）与日期x（日）的关系式； (2)若日利润w（万元）=当日销售量y（万件）×当日每件产品的利润z（元），求日利润w（万元）与日期x（日）的关系式： (3)当x为何值时，日利润w有最大值，最大值为多少？ 【答案】(1)，（，x为整数） (2)（，x为整数）； (3)，最大值为144 【分析】（1）观察表格中与的数值变化，判断为一次函数关系，通过找两组对应值，利用待定系数法或直接分析规律得出与的关系式． （2）根据日利润的定义，将（1）中得到的与的关系式，和已知的与的关系式相乘，展开化简得到与的关系式． （3）对（2）中得到的二次函数关系式进行配方，转化为顶点式，结合的取值范围（且为整数 ），求出最大值及对应的值． 本题主要考查了一次函数、二次函数的实际应用，熟练掌握函数关系式的推导方法以及二次函数的性质（配方求最值 ）是解题的关键． 【详解】（1）解：根据表格可知：当的整数时，； z与x的关系式为： ，（，x为整数）． （2）解：（，x为整数）； （3）解：当时，， 时，w有最大值为144． 32．（2026九年级·上海青浦·专题练习）某公司根据往年市场行情得知，某种商品从5月1日起的300天内，该商品每件市场售价y（元）与上市时间t（天）的关系可用图1的折线表示，每件该商品的成本Q（元）与上市时间t（天）的关系可用图2所示的部分抛物线表示． (1)该商品在第150天出售时每件的利润是________元； (2)求图1表示的市场售价y（元）与上市时间t（天）之间的函数关系式； (3)若该公司从销售第1天至第200天预计每天可以售出此种商品2000件，请你计算第1天至第200天该公司哪一天利润最高，最高是多少元？ 【答案】(1)50 (2)y与t之间的函数关系式为 (3)从5月1日开始的第50天该公司利润最高，最高是20万元 【分析】（1）先从图1中确定第150天的售价，从图2中确定第150天的成本，再用售价减去成本得到利润； （2）根据图1的折线分段，分别求出和时售价y与上市时间t的函数关系式； （3）先求出成本与的函数关系式，再分段，根据利润 =（售价 - 成本）× 销量，求出利润的最大值． 【详解】（1）解：从图1可知，第150天售价元； 从图2可知，第150天成本元； 利润为元． （2）解：当时，设，代入和， 得 解得， 即． 当时，设，代入和， 得 解得， 即． 综上所述，． （3）解：设成本，代入， 得， 解得，即， 当时，利润， 化简得， ， 当时，最大，为200000元，即20万元． 【点睛】本题考查一次函数、二次函数的实际应用，掌握分段求函数关系式，结合利润公式建立二次函数模型求最值是解题的关键． 33．（25-26九年级上·上海长宁·阶段练习）方程与不等式揭示了数学中最基本的数量关系，函数则研究变量间的关系，借助函数可以认识方程与不等式.观察表格： … 0 1 2 3 … … 1 4 7 10 … … 0 4 3 0 … (1)【数学观察】根据表中信息填空：______； (2)【实践操作】在如图所示的平面直角坐标系中（每个小正方形网格的边长为1），已经画出了一次函数的图象，请你在同一坐标系中画出二次函数的图象； (3)【独立思考】 ①二次函数与一次函数图象的交点坐标是______； ②方程的解为______； (4)【归纳总结】若二次函数的图象与一次函数的图象相交，则交点的______坐标可以看成关于的方程的解； (5)【巩固应用】若二次函数的图象与一次函数的图象只有一个交点，则关于的方程的解是______．（直接写出结果） 【答案】(1) (2)见解析 (3)①或  ②或 (4)横 (5) 【分析】本题为二次函数综合运用，涉及到一次函数和二次函数的图象和性质，熟悉函数和不等式的关系是解题的关键． （1）把代入求出值即可； （2）根据表格数据描点连线绘制图象即可； （3）①根据表格信息得到交点坐标即可； ②根据交点坐标得到方程的解即可； （4）由（3）知，若两个函数交点的横坐标为方程的解； （5）联立两个函数表达式得 ，即可得到，求出，即可求解． 【详解】（1）解：当时，， 故答案为：； （2）解：根据表格数据描点连线绘制图象如下： （3）解：①二次函数 与一次函数 图象的交点坐标是或， 故答案为：或； ②方程 的解为：或， 故答案为：或； （4）解：由（3）知，若二次函数的图象与一次函数的图象相交，则交点的横坐标可以看成关于的方程的解， 故答案为：横； （5）解：联立两个函数表达式得：，整理得， 由题意得， 则， 故方程为：，则， 故答案为：． 34．（2025·上海杨浦·模拟预测）综合与实践． 【主题】探究电流表读数的最小值． 【素材】如图1所示电路图中，电源电压为，电阻，，滑动变阻器的最大电阻为． 【跨学科知识】物理电路理论知识中有以下几个结论： ①串联电路的总电阻等于各串联电阻之和； ②并联电路总电阻的倒数等于各并联电阻的倒数之和； ③电压一定的情况下，电流与电阻成反比例关系． 【实践操作】将图1中的电路图等效为如图2所示电路图，与分别等效滑动变阻器上部分和下部分的电阻，即，在滑片P从a端滑到b端的过程中，设． 【实践探索】 (1)当滑片P滑动到滑动变阻器正中间时，该电路中的总电阻为多少？ (2)当x取何值时，电流表读数最小，并求出电流表读数的最小值． 【答案】(1) (2)时，电流表读数的最小值为． 【分析】本题主要考查了分式混合运算的应用、二次函数的性质等知识点，根据题意列出正确的代数式计算并根据二次函数的性质求最值是解题的关键． （1）由题意可得，然后求解即可解答；解得：； （2）由题意可得，则，当时，R有最大值4，再求出I的最小值即可． 【详解】（1）解：由题意可得，解得：． ∴电路中的总电阻为． （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴当时，R有最大值， ∴， ∴当时，电流表读数的最小值为． 35．（2025九年级上·上海虹口·专题练习）综合运用 在中，，D为边上一点，，动点P以每秒1个单位长度的速度从点C出发，在三角形的三边上沿匀速运动，到达点A时停止，以为边作正方形．设点P的运动时间为，正方形的面积为S，试探究S与t的关系． (1)如图1，当点P由点C运动到点B时，求S关于t的函数表达式． (2)当点P由点B运动到点A时，经探究发现S是关于t的二次函数，并绘制成如图2所示的图象．请根据图象信息，求S关于t的函数表达式及线段的长． (3)若存在3个时刻，，（）对应的正方形的面积均相等． ①求的值； ②当时，求正方形的面积． 【答案】(1) (2)， (3)①4；② 【分析】本题主要考查了二次函数与图形运动问题，待定系数法求函数解析式，勾股定理等等，正确理解题意利用数形结合的思想求解是解题的关键． （1）先求出，进而求出，则； （2）先由函数图象可得当点P运动到B点时，，由此求出当时，，可设S关于t的函数解析式为，利用待定系数法求出，进而求出当时，求得t的值即可得答案； （3）①根据题意可得可知函数可以看作是由函数向右平移四个单位得到的，设是函数上的两点，则，是函数上的两点，由此可得，则，根据题意可以看作，则；②由（3）①可得，再由，得到，继而得答案． 【详解】（1）解：∵动点P以每秒1个单位的速度从C点出发，在上匀速运动， ∴， ∵，， ∴， ∵四边形是正方形，且其面积为S， ∴； （2）解：由图2可知当点P运动到B点时，， ∴， 解得或（舍去）； ∴当时，， 由图2可知，对应的二次函数的顶点坐标为， ∴可设当点P由点B运动到点A时，S关于t的函数解析式为， 把代入中得：， 解得， ∴当点P由点B运动到点A时，S关于t的函数解析式为， 在中，当时，解得或（舍去）， ∴，且， ∴，； （3）解：①∵点P在上运动时，，点P在上运动时， ∴可知函数可以看作是由函数向右平移4个单位长度得到的， 设是函数上的两点，则点和点是函数上的两点， ∴，， ∴， ∵存在3个时刻（）对应的正方形的面积均相等． ∴可以看作， ∴； ②由（3）①得， ∵， ∴， ∴， ∴．    【经典例题六 二次函数的最值问题】 36．（2025九年级上·上海长宁·专题练习）如图，在中，，，，在其内部作一个矩形，其中点D在边上，点B在边上，点C在边上，设矩形的一边． (1)请用含x的代数式表示边的长度； (2)设矩形的面积为，求当x取何值时，y的值最大？最大值是多少？ 【答案】(1)米 (2)当时，矩形面积y最大，最大面积为 【分析】本题主要考查矩形的性质、二次函数的最值问题及相似三角形的性质与判定，熟练掌握矩形的性质、二次函数的最值问题及相似三角形的性质与判定是解题的关键； （1）由题意易得，，则有，然后可得，进而问题可求解； （2）由（1）得：，，然后根据矩形的面积及二次函数的性质可进行求解． 【详解】（1）解：∵四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴，即， ∵，，， ∴， ∴， 解得：； （2）解：由（1）得：，，矩形的面积为， ∴， ∴当时，矩形面积y最大，最大面积为． 37．（24-25九年级上·上海嘉定·期中）如图，在足够大的空地上有一段长为40米的旧墙，某人想利用旧墙和木栏围成一个矩形花园，其中，已知矩形花园的一边靠墙，另三边一共用了50米木栏． (1)若所围成的矩形花园的面积为92平方米，求所利用旧墙的长； (2)求矩形花园面积的最大值． 【答案】(1)4米 (2)平方米 【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确的列出二次函数关系式，是解题的关键： （1）设，则：，所围成的矩形花园的面积为，根据面积公式列出函数关系式，令，求出的长即可； （2）利用二次函数的性质，求最值即可． 【详解】（1）解：设，所围成的矩形花园的面积为，则：， ∴， ∵， ∴， ∴， 当时，， 解得：，（舍去）， ∴（米）； 答：所利用旧墙的长为米； （2）由（1）可知：， ∴抛物线的开口方向向下，对称轴为直线， ∴当时，的值最大为：， 答：矩形花园面积的最大值为平方米． 38．（25-26九年级上·上海杨浦·阶段练习）某二次函数图象上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如表： x 0 1 2 3 4 y m 0 1 0 (1)求此二次函数的解析式； (2)表格中的 ； (3)当，则二次函数y的最大值为 ，最小值为 ． 【答案】(1) (2) (3)1， 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，待定系数法求二次函数的解析式，掌握待定系数法求二次函数的解析式及二次函数的对称性是解题的关键； （1）根据对称性求出对称轴，进而确定顶点坐标，设顶点式，代入其中一个点，即可得解． （2）根据对称性即可得解； （3）根据抛物线开口向下时，离对称轴越远，函数值越小求解即可． 【详解】（1）解：观察表格可知，是对称点， 抛物线的对称轴是直线， 由表格可知，顶点坐标为， 设抛物线解析式为， 把代入，得， 解得， 这个二次函数的表达式为． （2）解：抛物线的对称轴是直线， 是对称点， ， 故答案为：； （3）解：， 抛物线开口向下， 抛物线的对称轴是直线，， 当时，y有最大值，y最大， ， ， 当时，y有最小值，y最小， 故答案为1，． 39．（25-26九年级上·上海宝山·阶段练习）如图，直线与抛物线交于点，，点是线段上的点，轴，在抛物线上，若点的横坐标为． (1)，，（用含的代数式表示） (2)连接，，求面积的最大值． 【答案】(1)，，，， (2) 【分析】本题为二次函数综合运用题，考查了二次函数的性质，三角形的面积，涉及到一次函数、二次函数的最大值的求解． （1）由点F的横坐标为m，得点，点，则； （2）由点B的坐标得，由可知，当取得最大值时，的面积最大，进而即可求得的面积最大值． 【详解】（1）解：由题意知点F的横坐标为m，则点，点， ∴； 故答案为：； （2）解：∵， ∴， 由（1）知，， ∵，故有最大值， 当时，最大值为； ∵， ∴当取得最大值时，的面积最大， ∵最大值为， ∴的面积最大值． 40．（25-26九年级上·上海青浦·期中）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)如图2，在直线下方抛物线上有一点，当的面积最大时，求点的坐标及面积的最大值． 【答案】(1) (2)有最大值为，点的坐标为 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，一次函数的性质，二次函数与三角形，解答本题的关键是熟练掌握二次函数的性质． （1）用待定系数法求解即可； （2）过点作轴交于点，设点的坐标为，再求出直线的表达式为，得到点的坐标为，则，表示出的面积，再由二次函数图象与性质求最值，即可得到答案． 【详解】（1）解：将，，代入， 得， 解得， 抛物线的表达式为； （2）如图2，过点作轴交于点， 设点的横坐标为，则点的坐标为， 设直线的表达式为， 把，代入， 得， 解得， 直线的表达式为， 点的坐标为， ． ， ， 当时，有最大值为，此时点的坐标为． 41．（2025·上海静安·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知抛物线：． (1)求抛物线的顶点坐标(用含t的代数式表示)； (2)点，在抛物线上，其中， ①若的最小值是，求的最大值； ②若对于都有，直接写出t的取值范围． 【答案】(1) (2)①12；②或 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数的最值、二次函数与不等式，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）将抛物线的解析式化为顶点式，即可得出抛物线的顶点坐标； （2）①根据二次函数的性质得到抛物线开口向上，对称轴为，结合的范围可知当时，有最小值，则有，再根据二次函数的性质即可求出的最大值；②利用二次函数的性质求出的最大值以及的值，再结合列出关于的不等式，即可求出t的取值范围． 【详解】（1）解：， ∴抛物线的顶点坐标为； （2）解：①， ∴抛物线开口向上，对称轴为， ∵， ∴当时，有最小值， ∵的最小值是， ∴， ∴，， ∵，，， ∴当时，有最大值， ∴的最大值为12； ②当时，， ∵，，， ∴当时，有最大值， ∵对于都有， ∴， 解得或； ∴t的取值范围为或． 42．（2025·上海长宁·模拟预测）抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接． (1)求点A，B，C的坐标，并直接写出直线的函数表达式． (2)点P是抛物线上一点，设点P的横坐标为a． ①当抛物线上P，C两点之间的部分（含点P，C）的高度（最高点与最低点的纵坐标之差）为10时，求点P的坐标． ②如图，当点P位于第四象限时，过点P分别作于点E，轴于点F，当取得最大值时，求a的值． 【答案】(1)，，， (2)①点P的坐标为或；② 【分析】（1）首先分别令和即可求出，，，然后利用待定系数法即可求出直线的函数表达式； （2）①首先判断出点C到抛物线顶点的竖直距离小于10，然后分两种情况求出点P的纵坐标，然后代入求解即可； ②过点P作轴交于点D，连接，表示出，，得到，勾股定理求出，然后利用得到，然后得到，然后表示出，然后利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C， ∴当时， ∴ 当时， 解得， ∴， 设直线的函数表达式为直线的函数表达式 ∴ ∴ ∴直线的函数表达式为； （2）解：①∵抛物线 ∴抛物线的顶点坐标为 ∵ ∴ ∴点C到抛物线顶点的竖直距离小于10 ∴点P在点C上方 当点P在点C左边时， ∴点P的纵坐标为 ∴将代入得， 整理得， 解得，（舍去）； 当点P在点C右边时， ∵抛物线的顶点坐标为 ∴点P的纵坐标为， ∴ 解得，（舍去）， ∴点P的坐标为或； ②如图所示，过点P作轴交于点D，连接， ∵点P是抛物线上一点，设点P的横坐标为a，点P位于第四象限， ∴ ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵轴于点F， ∴ ∴ ∵ ∴当时，取得最大值． 【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求函数解析式，求一次函数解析式，二次函数和x轴交点问题，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数中的线段问题，勾股定理等知识，正确的求出函数解析式，利用数形结合思想，进行求解是解题的关键． 【经典例题七 二次函数的存在性问题】 43．（25-26九年级上·上海普陀·期中）已知二次函数的图象与轴交于两点（A在左侧），与轴交于点C． (1)求A、B、C的坐标； (2)设抛物线的顶点为，求四边形的面积； (3)在抛物线的对称轴上，是否存在点，使为等腰三角形，若存在，写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)9 (3)存在，点P的坐标为，，， 【分析】本题考查二次函数与坐标轴的交点、顶点坐标、四边形面积以及等腰三角形的存在性问题等知识点． （1）分别令和，即可求解抛物线与坐标轴的交点； （2）先求出故顶点，过点作轴于点，再由即可求解； （3）先求出，然后分三种情况求解即可． 【详解】（1）解：令，则， 解得或， ∴抛物线与轴交于点，； 当， ∴抛物线与轴交于点； （2）解：， 故顶点， 过点作轴于点， ∵， ∴； （3）解：存在， ∵，， ∴， ①时，而， ∴或； ②时， 由等腰三角形的性质可得点关于轴对称， ∴； ③时，设， 解得， ∴， 综上：存在，点P的坐标为，，，． 44．（25-26九年级上·上海闵行·阶段练习）如图，已知二次函数过点，． (1)求此二次函数的解析式； (2)将（1）中的函数图象先向左平移1个单位，再向上平移3个单位，直接写出平移后函数的解析式和顶点坐标； (3)在抛物线上是否存在点，使的面积为4，若存在，求出点的坐标，若不存在说明理由． 【答案】(1) (2)， (3)或 【分析】本题考查二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式，二次函数的平移，正确求出函数解析式是解题的关键： （1）将点代入，求解即可得出答案； （2）先将解析式变形为，再根据二次函数的平移即可得出答案； （3）求出点坐标，进而可得的长，再根据三角形的面积求出点的纵坐标，最后把点的纵坐标代入二次函数解析式，解方程即可求解； 【详解】（1）解：将点代入， 得，， 解得，， ∴二次函数的解析式为； （2）解：， 由平移规律得平移后的解析式为， ∴顶点为； （3）解：把代入得，， 解得：， ， ， 设点的纵坐标为， ∵的面积为4， ， ， 把代入得，， 整理得，， 解得：， 把代入得，， 整理得，， 解得：， ∴点的坐标是或． 45．（2025九年级上·上海静安·专题练习）如图，抛物线与x轴交点A、B，与y轴交于点C． (1)在抛物线对称轴上是否存在一点P，使为等腰三角形，如果存在，求出P点坐标； (2)抛物线上有一动点N，y轴上有一动点M，当是以为直角的等腰直角三角形时，求N点坐标． 【答案】(1)存在，或或或或 (2)或或 【分析】（1）由抛物线得出点A、B、C的坐标以及抛物线的对称轴，设点，分三种情况，根据等腰三角形的性质即可求出P点坐标； （2）过点N分别作轴于D，轴于E，证明，，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线， 当时，， 当时，， 解得或3， ∴， ∴抛物线的对称轴为直线， 设点， ∴， ， ， 当时， ， 解得， ∴P点坐标为； 当时， ， 解得， ∴P点坐标为或； 当时， ， 解得， ∴P点坐标为或； 综上所述，P点坐标为或或或或； （2）解：过点N分别作轴于D，轴于E， ∴四边形是矩形，， ∴， ∵是以为直角的等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点N是抛物线上一动点， ∴设N点坐标为， ∴， 解得或， ∴N点坐标为或或或 【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了二次函数的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，运用分类思想是解题的关键． 46．（25-26九年级上·上海宝山·阶段练习）如图，直线交轴于点，交轴于点，抛物线的顶点为，且经过点． (1)求该抛物线对应的函数解析式． (2)若点在该抛物线上，求的值． (3)若点在抛物线上，求． (4)在对称轴上是否存在一点，使以，，，为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)1或 (3)4 (4)或 【分析】（1）利用轴上的点纵坐标为，轴上的点横坐标为代入直线的表达式求出点的坐标，再利用顶点坐标式待定系数法求出抛物线的表达式； （2）把时，代入抛物线的表达式求出； （3）先求出点，然后根据三角形面积公式进行计算即可； （4）根据抛物线的对称轴为直线，设点Q的坐标为，根据以，，，为顶点的四边形为平行四边形时，，，得出，求出t的值，即可得出答案． 【详解】（1）解：对于，当时，；当时，， ， 抛物线的顶点为， ， 又抛物线经过点， ， 解得：， 抛物线对应的函数解析式为． （2）解：点在抛物线上， ， 解得， 的值为1或． （3）解：∵点在抛物线上， ∴， ∴， ∵， ∴． （4）解：存在； ∵抛物线的对称轴为直线， ∴设点Q的坐标为， ∵，，， ∴当以，，，为顶点的四边形为平行四边形时，，， ∴， 解得：， ∴点Q的坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数与方程、几何知识的综合应用，解题的关键时将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质和二次函数的知识求解． 47．（2025九年级上·上海长宁·专题练习）如图，抛物线交轴于两点，交轴于点． (1)求抛物线的函数解析式． (2)在抛物线的对称轴上是否存在点，使得是以为斜边的直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，点的坐标为或； 【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键： （1）将点和代入抛物线的函数解析式，利用待定系数法求解即可； （2）先求出抛物线的对称轴，进而设点，利用坐标两点距离公式，得到，再根据是以为斜边的直角三角形，利用勾股定理列方程，求出的值，即可得到点的坐标； 【详解】（1）解：抛物线交轴于，交轴于点， ， 解得：， 抛物线的函数解析式为． （2）解：存在，理由如下： ， 抛物线的对称轴为直线， 点在抛物线的对称轴上， 设点， ， ， 是以为斜边的直角三角形， ， ， 整理得：， 解得：， 存在点使得是以为斜边的直角三角形，点的坐标为或． 48．（24-25九年级上·上海青浦·期中）如图，抛物线与轴的交点分别为和，与轴交于点，连接、，点是线段上，不与点、重合的一个动点，过点作轴，交抛物线于点，交于点，其对称轴与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)在点的运动过程中，能否使线段？若能，请求出点的坐标，若不能，请说明理由； (3)在抛物线的对称轴上是否存在点，使是等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)能， ； (3)点的坐标为：或或或． 【分析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到等腰三角形的性质、线段长度的表示方法等，分类求解是解题的关键． （1）由待定系数法即可求解； （2），而直线和x轴的夹角为，则，即可求解； （3）当时，列出等式，即可求解；当或时，同理可解． 【详解】（1）解：设抛物线的表达式为：， 则， 解得：， 则抛物线的表达式为：； （2）解：能，理由： 由抛物线的表达式知，点， 由点、的坐标得，直线的表达式为：，直线和轴的夹角为， 设点，则点， 则， ∵直线和轴的夹角为，， 则， 解得：， 即点的坐标为：； （3）解：存在，理由： 设点，而点， 则，，， 当时， 则， 解得：； 当或时， 同理可得或， 解得：（舍去）或6或或， 即点的坐标为：或或或． 49．（24-25九年级上·上海嘉定·期中）已知抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点． (1)求抛物线的表达式及顶点的坐标． (2)如图1，若D是x轴下方抛物线上的一个动点（不与点A，C，B重合），过点D作轴于点F，交直线于点E．设点D的横坐标为m，试用含m的代数式表示的长． (3)如图2，若点在抛物线上，则在y轴上是否存在点Q，使？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)； (3)存在，点Q的坐标为或． 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，求函数解析式，等腰直角三角形的判定与性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据题意设抛物线的表达式为，将点代入，求出 ，即可得出答案； （2）先求出直线的表达式为，设，则，分两种情况：当时，当时，分别求解即可； （3）连接，过点作轴于点，于点，连接得到是等腰三角形，则当点与点重合时，，过点作交轴于点，得到是等腰直角三角形，则当点与点重合时，，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于两点， ∴设抛物线的表达式为， 将点代入，得：， 解得：， ∴抛物线的表达式为， ∵， ∴顶点的坐标为； （2）解：设直线的表达式为． 将点，代入，得： ， 解得：， ∴直线的表达式为， 设，则， 当时， ， 当时， ， 综上所述，； （3）解：当时，，当时，， ∴， 连接，过点作轴于点，于点，连接，则，如图： ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴当点与点重合时，，此时， 过点作交轴于点，则， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形，， ∴当点与点重合时，，此时， 综上，点的坐标为或． 【经典例题八 二次函数的图象和性质综合应用】 50．（24-25九年级上·上海杨浦·期中）综合实践：测量拱形门建筑的高度． 素材：如图1是一个抛物线形状的拱形门建筑，某校数学学习小组计划测量该拱形门相关数据从而计算其高度．如图2是其正面示意图，设该拱形门与地面的交点为A，B，且．在点A右侧1的点C处，测得拱形门上点D到地面的距离为3.8． 任务1：请在图2中建立合适的直角坐标系，并求出抛物线的函数表达式． 任务2：求出拱形门建筑最高点到地面的距离． 【答案】任务1：；任务2：20 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，求函数解析式，正确理解题意建立恰当的直角坐标系是解题的关键． 任务1：以点A为原点，点所在直线为x轴，建立直角坐标系，设．根据题意得到，再利用待定系数法求解，即可解题； 任务2：利用顶点纵坐标为求解，即可解题． 【详解】解：任务1：以点A为原点，点所在直线为x轴，建立直角坐标系，则可设． 将点代入上式，得． ．                 任务2：由可知，拱形门建筑最高点到地面的距离为20． 51．（2025九年级上·上海长宁·专题练习）与是两个直角边都等于4厘米的等腰直角三角形，、分别是直角边、的中点．位置固定，按如图叠放，使斜边在直线上，顶点与点M重合．等腰直角以1厘米/秒的速度沿直线向右平移，直到点与点N重合．设x秒时，与重叠部分面积为y平方厘米． (1)求y与x的函数关系式； (2)当与重叠部分面积为平方厘米时，求移动的时间． 【答案】(1) (2)或秒 【分析】本题主要考查了一次函数与二次函数的应用，等腰直角三角形的性质等知识点， （1）可分三种情况进行讨论：①当在内部时，②当都在△外部时，③当在内部时，根据上述三种情况可得出三个不同的函数解析式； （2）根据函数式即可求出当为时，的值，即可求解； 本题的关键是求出重合部分的面积与的函数关系式． 【详解】（1）解：∵等腰直角三角形的直角边都为4， ∴， ∵且分别是直角边、的中点， ∴当在上时，， 当等于与截的部分时，， 当在上时，， ①如图1，当时， ②如图2，当时，如图，、、是等腰直角三角形， ∴， ∴， ③如图3，当时， ∴， ∴； 综上所述，； （2）根据题意，重叠部分面积先变大后变小， ∴只有当在内时，当在内时，重叠部分的面积等于， ①如图1，在内时，，重叠部分是平行四边形， 由题意得：， 解得：， ②如图3，当在内时，，重叠部分是平行四边形， 由题意得：， 解得：， 综上所述，当与重叠部分面积为平方厘米时， 移动的时间为或秒． 52．（24-25九年级上·上海松江·期中）二次函数图象上部分点的横纵坐标的对应值如表： x … 0 1 2 m … y … n … (1)这个二次函数的表达式为_______，对称轴是_______； (2)表中的_______，_______； (3)若是这个函数图象上的两点，且，则_______（填“>”或“=”或“<”）； (4)写出这个函数的一条性质___________． 【答案】(1)，对称轴 (2) (3) (4)时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大 【分析】本题主要考查待定系数法求二次函数的解析式，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． （1）将表中已知数据代入即可得到函数表达式； （2）根据（1）求出的解析式代数求值； （3）确定函数图象的开口方向和对称轴，然后根据递减性得出答案； （4）根据函数图象的开口方向和对称轴的位置来确定性质． 【详解】（1）解：将代入， ，解得， ， 故对称轴； （2）解：根据函数解析式：， 当时，， 当时，， 解得或（舍去）， ， 故答案为：； （3）解：根据，， 开口向下， 对称轴， 当时，随的增大而增大， 故，则， 故答案为：； （4）解：根据二次函数的图象可得， 时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大． 53．（2025九年级上·上海长宁·专题练习）已知二次函数的图象如图所示，回答下列问题： (1)填空（填“”“ ”或“”）： ①a 0；②b 0；③c 0；④ 0；⑤ 0； ⑥ 0；⑦ 0；⑧ 0； ⑨若点，均在该二次函数图象上，则 ； (2)若点，均在该二次函数图象上，则n的值为 ； (3)关于x的一元二次方程的实数根的情况为 ； (4)若图象与x轴的交点为，，，当时，x的取值范围为 ． 【答案】(1)，，，，，，，， (2) (3)两个不相等的实数根 (4) 【分析】此题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数的性质，以及二次函数图象上点的特征． （1）由抛物线开口方向，对称轴以及，坐标轴的交点以及由、、、时的函数值即可得到结论； （2）由两点关于对称轴对称即可求得； （3）由抛物线与直线有两个交点即可得出结论； （4）根据图象可得当时函数图象位于轴上方，即可求得结果． 【详解】（1）解：由函数图象可知：抛物线开口向下， ∴①； ∵对称轴在y轴左边，即， 又∵， ∴②； ∵抛物线与y轴的交点在x轴的上方， ∴③； ∵抛物线与x轴有两个交点， ∴④； ∵当时，， ∴⑤； ∵当时，， ∴⑥； ∵当时，， ∴⑦； ∵， ∴， ∵当时，， ∴， ∴⑧； ∵对称轴为直线， ∴点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离， ∴； 故答案为：，，，，，，，，； （2）解：∵， ∴点，关于对称轴对称， ∴， 故答案为：； （3）解：由图象可知，抛物线与直线有两个交点， ∴关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， 故答案为：两个不相等的实数根； （4）解：若图象与x轴的交点为，，， 当时，x的取值范围为， 故答案为：． 54．（2025·上海闵行·模拟预测）综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，已知点的坐标为，点的坐标为，直线与抛物线交于，两点． (1)求抛物线的函数表达式及点的坐标． (2)求的值和点的坐标． (3)是第四象限内抛物线上的动点，点的横坐标为，过点作轴的垂线，垂足为，交直线于点，过点作于点． ①当是线段的三等分点时，求点的坐标； ②连接，，，在点运动的过程中，是否存在？若存在，直接写出的长；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，点的坐标为 (2)，点的坐标为 (3)①点的坐标为或；②存在，的长为． 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式、两个函数求交点，二次函数的性质，正方形的性质等，正确画出辅助线是解题的关键． （1）待定系数法求解即可； （2）联立解方程组即可； （3）①根据坐标求出线段长，利用三等分即可求解； ②作辅助线见解析，根据正方形的性质，列式求解即可． 【详解】（1）将点，点代入， 得，解得， 抛物线的函数表达式为， 点的坐标为． （2）将点代入，解得， 联立，解得（舍去），， 点的坐标为． （3）①由题意可知，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为， ． 是线段的三等分点， 或． 当时，即，解得，（舍去）， 点的坐标为． 当时，即，解得，（舍去）， 点的坐标为． 综上所述，点的坐标为或． ②存在，的长为． 如图，过点作轴，过点作轴，令直线与轴的交点为，点关于直线对称的点为， ，， ，， ， 四边形是正方形． ， ． 由正方形的对称性可知， ． 把代入，得， 点在抛物线上， 当点与点重合时，即满足， ． 55．（24-25九年级上·上海宝山·期中）已知二次函数的图象如图所示，与x轴交于，对称轴为直线．解决下列问题：      (1)关于x的一元二次方程的解为______； (2)求此抛物线的解析式； (3)若直线与抛物线没有交点，直接写出k的范围． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题主要考查了二次函数与一元二次方程，求二次函数解析式，解题的关键在于能够熟练掌握二次函数与一元二次方程之间的关系． （1）先由二次函数的对称性求出二次函数与x轴的另一个交点坐标，二次函数与x轴的交点坐标的横坐标即为一元二次方程的解； （2）利用（1）求出的二次函数与x轴的两个交点坐标，利用交点式即可得到答案； （3）首先配方得到，求出二次函数的最大值为4，然后根据图象求解即可． 【详解】（1）∵二次函数与x轴交于，对称轴为直线 ∴二次函数与x轴的另一个交点坐标为， ∴方程的解为，， 故答案为：，； （2）∵，， ∴抛物线与x轴的交点坐标为和两点， ∴设抛物线解析式为， ∴抛物线解析式为； （3）∵ ∴二次函数的最大值为4， 根据图象可得， 若直线与抛物线没有交点， ∴大于函数的最大值， ∴． 56．（24-25九年级上·上海嘉定·期中）如图，抛物线与直线交于点和点B．    (1)求抛物线和直线的解析式； (2)求点B的坐标，并结合图象直接写出不等式的解集； (3)点N是抛物线对称轴上一动点，且点N纵坐标为n，记抛物线在A，B之间的部分为图象G（包含A，B两点）．若点在直线上，且直线与图象G有公共点，结合函数图象，直接写出点N纵坐标n的取值范围． 【答案】(1)抛物线和直线的解析式分别为和； (2)，或； (3) 【分析】（1）将点的坐标代入，求出、的值即可； （2）求出点的坐标，根据图象得出不等式的解集即可； （3）求出点的坐标为，直线与抛物线对称轴的交点为，结合图象即可得出答案． 【详解】（1）将点代入得：， 解得：， 将点代入得：， 解得：， 抛物线和直线的解析式分别为和； （2）联立抛物线和直线的解析式得： ， 解得：或， 点的坐标为，， 根据图象可知，不等式的解集为或； （3）把 代入 得：， 点的坐标为， 抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线， 把代入得：， 直线与抛物线对称轴的交点为 根据图象可知，当直线与图象有公共点时，点纵坐标取值范围为．    【点睛】本题主要考查了求二次函数解析式，一次函数解析式，一次函数与二次函数的交点问题，解答本题的关键是数形结合，熟练掌握待定系数法，求出两个函数解析式和交点坐标． 【经典例题九 实际问题与二次函数的综合应用】 57．（25-26九年级上·上海闵行·阶段练习）如图，有长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度a为） 围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃，设花圃的宽为，苗圃面积为． (1)求S与x的函数表达式； (2)如果要围成面积为的花圃，的长是多少米？ 【答案】(1) (2)8米 【分析】本题考查了一元二次方程和二次函数的综合应用，根据题意确定二次函数的解析式成为解答本题的关键． （1）先表示出的长，再利用矩形的面积公式列出函数关系式即可； （2）令，求出的长即可． 【详解】（1）解：设花圃的宽为，则，根据题意得： ， 即S与x的函数表达式为； （2）解：当时，， 解得：， 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； 即的长是8米． 58．（25-26九年级上·上海杨浦·阶段练习）某品牌运动鞋专卖店销售一款经典运动鞋．经市场调研，该鞋的进货成本为每双元．根据以往销售数据和市场分析，店铺发现：当销售单价为元/双时，月平均销售量为双．销售单价每提高1元，月销售量就会减少5双；销售单价每降低1元，月销售量就会增加5双．设该运动鞋的销售单价为元/双，月销售总利润为y元［总利润＝（销售单价－进货成本）×月销售量]． (1)求月销售总利润y关于销售单价x的函数关系式； (2)销售单价定为多少元时，可获得最大月利润？最大月利润是多少元？ (3)销售单价在什么范围内时，店铺销售该运动鞋才能盈利？ 【答案】(1)； (2)当销售单价定为元时，可获得最大月利润，最大月利润为元 (3)销售单价在至之间时，店铺销售该运动鞋才能盈利 【分析】本题考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的图象与性质和销售利润之间的关系是解题的关键， （1）根据总利润＝（销售单价－进货成本）×月销售量的关系式分别列出当或时的方程，整理即可得到函数关系式； （2）由开口向下，根据二次函数的性质得到在对称轴的位置取得最大值，从而得到答案； （3）由于店铺销售该运动鞋要盈利，故，即．再根据二次函数的图象性质可得当时，，从而得到答案． 【详解】（1）解：（1）①当时，根据题意得， 整理得：， ②时，根据题意得， 整理得， 综上所述：月销售总利润关于销售单价的函数关系式为：． （2）解：由（1）得：， ∴，开口向下，有最大值， ∴对称轴为：， ∴当时，取最大值， （元） 答：当销售单价定为85元时，可获得最大月利润，最大月利润为6125元． （3）解：∵店铺销售该运动鞋要盈利， ∴，即． ∵令， ∴解得，， ∵二次函数开口向下， ∴当时，， ∴销售单价在至之间时，店铺销售该运动鞋才能盈利． 59．（25-26九年级上·上海闵行·期中）一座拱形桥，桥下水面宽度是米，拱高是米． (1)如图1，若把它看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，当水面上升米至时，则的长是多少？ (2)如图2，若把桥看作是圆的一部分，一艘船的高度是米，那么船的宽度为多少米，才能使船顺利通过拱桥？（结果保留根号） 【答案】(1) (2)船的宽度不能超过米，才能使船顺利通过拱桥 【分析】本题考查了抛物线的应用，垂径定理的应用，勾股定理，解题的关键是掌握相关知识． （1）根据题意可得，，设抛物线的解析式为，利用待定系数法求出抛物线的解析式，令，求出，得到，，即可求解； （2）设圆心为，半径为，连接，作于点，设米，在中，根据勾股定理求出米，得到米，米，在中，根据勾股定理求出，进而求出，即可求解． 【详解】（1）解：由题意可得，， 设抛物线的解析式为，将代入得 ， 解得， 抛物线的解析式为， 令，则， 解得， ，， ； （2）如图，设圆心为，半径为，连接，作于点， 设米， 米，米， 在中，，即， 米， 米，米， 米， 在中，， 米， 船的宽度不能超过米，才能使船顺利通过拱桥． 60．（25-26九年级上·上海长宁·阶段练习）如图，隧道的截面由抛物线和矩形构成，矩形的长OA为10m，宽OB为2m，抛物线可用表示． （1）求抛物线的表达式和拱顶D到地面OA的距离． （2）一辆货运汽车装载集装箱后高为4m，宽为2m．若隧道内设双向行车道，则这辆货运汽车是否可以通过？ 解： (1)根据题意，将B________，C________分别代入， 得，解得， 抛物线的表达式为________． ________________， 拱顶D到地面OA的距离为________． (2)当时，________________， 这辆货运汽车________通过． 【答案】(1)；；2；；；2；；；；8m (2)；；可以 【分析】（1）先确定点和点坐标，然后利用待定系数法求出抛物线解析式，再利用配方法化成顶点式，从而得到点到地面的距离； （2）由于抛物线的对称轴为直线，而隧道内设双向行车道，车宽为2m，计算自变量为的函数值，再把函数值与进行大小比较即可判断． 【详解】（1）解：根据题意，将，分别代入， 得 解得 抛物线的表达式为． ， 拱顶到地面的距离为8m． 故答案为：；；2；；；2；；；；8m． （2）解：当时，， 这辆货运汽车可以通过． 故答案为：；；可以． 【点睛】本题考查二次函数实际应用中的桥梁隧道问题，注意把实际长度和点转换到坐标轴中的横纵坐标，解题的关键就是把实际问题转换坐标，并且要熟练掌握待定系数法求函数解析式． 61．（25-26九年级上·上海闵行·阶段练习）在矩形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒． (1)当t为何值时，的长度等于？ (2)是否存在t的值，使的面积S最大，若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)或2； (2)存在，． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、勾股定理以及二次函数的应用，理解题意，正确找出等量关系是解题的关键． （1）由题意得，，则，再由勾股定理得出关于t的一元二次方程，计算即可得解； （2）根据题意得出S关于t的二次函数解析式，然后根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：， 解得：，； ∴当或2时，的长度等于； （2）解：由题意得， ∵， ∴当时，的面积最大． 62．（24-25九年级上·上海松江·阶段练习）【综合与实践】某公园在人工湖里安装一个喷泉，在湖心处竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，喷出的水柱形状可以看作是抛物线的一部分．若记水柱上某一位置与水管的水平距离为米，与湖面的垂直高度为米．下面的表中记录了与的五组数据： （米） 0 1 2 3 4 （米） (1)在下面网格（图1）中建立适当的平面直角坐标系，并根据表中所给数据画出表示与函数关系的图象； (2)若水柱最高点距离湖面的高度为米，则______，并求与函数表达式； (3)现公园想通过喷泉设立新的游玩项目，准备通过只调节水管露出湖面的高度，使得游船能从抛物线形水柱下方通过，如图2所示，为避免游船被喷泉淋到，要求游船从抛物线形水柱下方中间通过时，顶棚上任意一点到水柱的竖直距离均不小于米，已知游船顶棚宽度为3米，顶棚到湖面的高度为2米，那么公园应将水管露出湖面的高度（喷水头忽略不计）至少调节到多少米才能符合要求？请通过计算说明理由（结果保留一位小数）． 【答案】(1)见解析 (2)； (3)米，见解析 【分析】本题属于二次函数的应用，主要考查待定系数法求函数解析式，二次函数图象的平移，解题的关键在于掌握由二次函数的图象建立二次函数模型． （1）建立坐标系，描点．用平滑的曲线连接即可； （2）根据函数图象可知水柱最高点距离湖面的高度为米，即，设函数表达式为，先由图1得到函数顶点为，再将代入计算即可； （3）根据二次函数图象解析式设出二次函数图象平移后的解析式，根据题意求解即可. 【详解】（1）解：以喷泉与湖面的交点为原点，喷泉所在的直线为纵轴建立平面直角坐标系，如图1所示： （2）解：由图1，可得函数顶点为， 水柱最高点距离湖面的高度为米， ， 根据图象可设二次函数的解析式为：， 将代入， 解得， 抛物线的解析式为：； 故答案为：，； （3）解：设调节后的水管喷出的抛物线的解析式为：， ∵已知游船顶棚宽度为3米，抛物线对称轴为直线， ∴顶棚交抛物线轴于， ∵顶棚上任意一点到水柱的竖直距离均不小于米， ∴此时纵坐标的值不小于， ， 解得， 水管高度至少向上调节米， （米）， 公园应将水管露出湖面的高度（喷水头忽略不计）至少调节到约米才能符合要求． 63．（2025九年级上·上海长宁·专题练习）小明在小区内看到一个小朋友在玩跳跳球，他对此展开了研究．如下图，已知抛球点A距地面，跳跳球落在距离点远的地面上（点B处），运动轨迹为抛物线的一部分，记为图象，其最高点与抛球点的水平距离为．以点O为坐标原点建立平面直角坐标系． (1)求图象所在抛物线的解析式； (2)小球落地后立即弹起，弹起后的运动轨迹为图象（图象所在抛物线的形状相同，且图象的最高点低于图象的最高点），跳跳球恰好落到距离点远的一个矩形石凳上（），石凳高度为，宽度为． ①当跳跳球恰好落到点E处时，求图象所在抛物线的解析式； ②如果图象所在抛物线的对称轴为直线，请直接写出m的取值范围． 【答案】(1) (2)①② 【分析】（1）把函数解析式配成顶点式即可求解； （2）①设解析式为，将代入解方程，即可得；②分别考虑点落到、处时，抛物线对应的，即可判断出取值范围． 【详解】（1）解：由题可设图象所在抛物线的解析式为． 将分别代入， 得 解得 故图象所在抛物线的解析式为． （2）解：①， ∴点E的坐标为． 当图象所在抛物线经过点E时，设其解析式为． 将分别代入， 得 解得 故图象所在抛物线的解析式为． ②当图象所在抛物线经过点E时，． ， ∴点F的坐标为． 当图象所在抛物线经过点F时，设其解析式为． 将分别代入，得 解得 图象的最高点低于图象的最高点， ， 综上所述，m的取值范围为． 【点睛】本题考查了二次函数综合应用，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【经典例题十 二次函数与几何图形综合应用】 64．（25-26九年级上·上海松江·期中）如图，在等腰直角中，，，过点作于点．点从点出发，以的速度沿向终点运动．过点作.于点，以，为邻边作．设与重叠部分图形的面积为，点的运动时间为． (1)当点落在边上时，求的值． (2)当时，求关于的解析式，并写出的取值范围． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了二次函数应用—面积问题，平行四边形的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，掌握知识点的应用及分类讨论的思想是解题的关键． （）由四边形是平行四边形，则，然后通过等腰直角三角形性质和勾股定理得，，然后代入即可求解； （）分当时，当时，当时三种情况求解即可． 【详解】（1）解：如图， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵是等腰直角三角形，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴当点落在边上时，的值为； （2）解：如图，当时，， ∴； 如图，当时，， 由题意知，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 如图，当时，， ∴； 综上，． 65．（25-26九年级上·上海静安·期中）如图，在平面直角坐标系中，点在抛物线上，过点作轴的垂线，交抛物线于另一点，点，在线段上，分别过点，作轴的垂线，交抛物线于，两点． (1)求抛物线对应的函数解析式； (2)当四边形为正方形时，求线段的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解是解决本题的关键． （1）将点代入抛物线中求出解析式为； （2）设，进而求得E点坐标为，代入中即可求解． 【详解】（1）将点代入抛物线中，得 解得， ∴抛物线解析式为； （2）设、分别与轴交于点M和点N， 当四边形为正方形时，设，则，， ∴E点坐标为，代入抛物线中， 得到：， 解得，（负值舍去）， ∴． 66．（25-26九年级上·上海杨浦·阶段练习）如图，用长为米的篱笆，一面利用墙（墙的最大长度为米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽为米，面积为平方米． (1)求关于的函数表达式． (2)如果要围成面积为平方米的花圃，的长为多少米？ (3)平方米是否为花圃能围成的最大面积？若是，请说明理由；若不是，请求出花圃的最大面积． 【答案】(1)； (2)的长为米； (3)不是，的最大值为平方米． 【分析】本题考查了一元二次方程，二次函数的综合应用，根据已知条件列出二次函数式是解题的关键． （）可先用篱笆的长表示出的长，然后根据矩形的面积长宽，得出关于的函数表达式； （）令，解方程求出的值，并验证的值是否符合题意； （）根据，求出自变量的取值范围，并根据二次函数的性质求出最值． 【详解】（1）解：由题可知，花圃的宽为米，则为米， 关于的函数表达式为； （2）解：当时，， 解得或， 当时，舍去， 当时，符合题意， ∴， 即的长为米； （3）解：平方米不是花圃能围成的最大面积， ∵， 解得， 由， ∵，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小， ∴当时，S最大，最大值为， ∴的最大值为平方米． 67．（25-26九年级上·上海宝山·期中）如图，为了绿化小区，某物业公司要在形如五边形的草坪上建一个矩形花坛．已知：，，米，米，米，米．以所在直线为x轴，所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，坐标原点为O． (1)求直线的解析式． (2)设点P的横坐标为m，矩形的面积为S，求S关于m的函数关系式． (3)求当矩形的面积S取得最大值时点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了一次函数的图象和性质，二次函数的图象和性质，待定系数法求函数解析式，求最值等内容，解题的关键是掌握函数的图象和性质． （1）根据线段的长度，求出A、B的坐标为、，然后利用待定系数法求一次函数的解析式即可； （2）设点P的坐标可以表示为，然后表示出矩形的长和宽，根据面积公式列出二次函数解析式即可； （3）利用二次函数的性质求出确定最值，求出点的坐标即可． 【详解】（1）解：∵米，米，米，米， ∴米，米， 即A、B的坐标为、， 设直线AB的解析式为（）， 则， 解得， 则直线AB的解析式为； （2）解：设点P的坐标可以表示为， ∴，， ∴； （3）解：由（2）得，， ∵， ∴抛物线的开口向下， 当时，S有最大值． 此时，， ∴． 68．（24-25九年级上·上海长宁·阶段练习）二次函数图象的顶点在原点O，且过；在y轴上．直线与y轴交于点H． (1)求二次函数的解析式； (2)点P是（1）中图象上的点，过点P作x轴的垂线与直线交于点M，求证：； (3)当时，求P点的坐标． 【答案】(1) (2)见解析 (3)或 【分析】本题考查了二次函数图像和性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，解答本题的关键是熟悉基本知识，数形结合． （1）根据题意可设函数的解析式为，将点代入函数解析式，求出的值，继而可求得二次函数的解析式； （2）过点作轴于点，利用勾股定理求出，表示出，可得； （3）首先可得，设点的坐标为；推导出是等边三角形，进而得到，可得关于的方程，求出的值即可得出答案． 【详解】（1）解：二次函数图象的顶点在原点， 设二次函数的解析式为， 将点代入得：， 二次函数的解析式为； （2）证明：设， ， ， 过点作轴的垂线与直线交于点， ，且点在直线上， ， ； （3）解：由题意得：， ， ． ， ， 由（2）知，； ， ， 是等边三角形， ， 在中，， ， 解得：， ， 满足条件的点的坐标为或． 69．（2025·上海杨浦·模拟预测）已知抛物线与轴交于点，顶点为． (1)求该抛物线的解析式． (2)如图，点坐标，为抛物线对称轴上一动点，过点的直线平行轴交抛物线于、两点（点在点的左侧）． ①若，求点坐标； ②若以为边构造矩形（、在线段、上），求该矩形周长的最大值． 【答案】(1) (2)①；②该矩形周长的最大值为 【分析】本题考查了待定系数法的应用，二次函数与几何综合； （1）利用待定系数法求解即可； （2）求出B点坐标，设，则，表示出和， ①根据列方程求出m，进而可得点坐标； ②易得直线解析式，则可知，，用含m的式子表示出矩形的周长，再利用二次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：与轴交于、， ， 解得：， 抛物线的表达式为：； （2）∵， ∴， 设，则， ，， ①， ， 解得：（舍去）或， ； ②∵ ∴直线解析式为， ∴， ， 设矩形周长为， 则， ∴当时，的最大值为． 70．（25-26九年级上·上海崇明·阶段练习）如图，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，连接． (1)求抛物线解析式； (2)在抛物线的对称轴上找一点，使的值最小，求出点的坐标； (3)若点是线段上的一动点（不与，重合），轴，且交抛物线于点，交轴于点，求的面积最大值及此时点的坐标． 【答案】(1)抛物线解析式为 (2) (3)的面积最大值为， 【分析】此题是二次函数综合应用题，主要考查了待定系数法求函数解析式、三角形的面积、二次函数的性质、勾股定理、方程思想等知识． （1）根据待定系数法即可求解； （2）先确定直线与抛物线对称轴的交点即为D，求出直线解析式为，进而求出结论； （3）设，则可表示出与，根据题意，列式求解得，则可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于，两点， ， 解得：， ∴抛物线解析式为； （2）解：∵D是抛物线的对称轴上一点， ∴， ∴的最小值即为的最小值， ∴直线与抛物线对称轴的交点即为D，如下图： ∵抛物线解析式为的对称轴为直线， 令，则， ∴， ∵， 设所在的直线函数解析式为，把点和点代入解析式， 得：， 解得：， ∴直线解析式为， 把代入得：， ∴； （3）解：设， 又∵点和点， ∴， 由题意得： ， ， 当时，有最大值为， 当时，， ． 学科网（北京）股份有限公司 $