专题02 二次函数的图像重难点题型专训（4个知识点+10大题型+3大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年沪教版（五四制）九年级数学上册重难点专题提升精讲精练

专题02 二次函数的图像重难点题型专训 （4个知识点+10大题型+3大拓展训练+自我检测） 题型一 y=ax2的图象与性质 题型二 y=a(x-h)2+k的图象与性质 题型三 y=ax2+bx+c的图象与性质 题型四 二次函数图象与各系数符号 题型五 一次函数、反比例函数、二次函数图象综合判断 题型六 y=ax2+bx+c的最值 题型七 已知抛物线上对称的两点求对称轴 题型八 根据二次函数的对称性求函数值 题型九 待定系数法求二次函数解析式 题型十 二次函数图象的平移 拓展训练一 利用二次函数对称性求最短路径 拓展训练二 二次函数与一次函数的综合 拓展训练三 二次函数图象与性质的综合 知识点一： 二次函数的图像与性质 二次函数y=ax2的图象的性质： 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 轴 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值0． 向下 轴 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值0． 的性质： 上加下减 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 轴 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值． 向下 轴 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值． 的性质： 左加右减 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 x=h 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值． 向下 x=h 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值． 的性质：左加右减，上加下减 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 x=h 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值． 向下 x=h 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值． 一般式：（，，为常数，）； 函数 二次函数（a、b、c为常数，a≠0） 图象 开口方向 向上 向下 对称轴 直线 直线 顶点坐标 增减性 在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而增大．简记：左减右增 在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而减小．简记：左增右减 最大(小)值 抛物线有最低点，当时，y有最小值， 抛物线有最高点，当时，y有最大值， 【即时训练】 1．（25-26九年级上·上海静安·期中）二次函数的图象一定经过的点是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的图象性质，准确分析判断是解题的关键． 通过将每个点的坐标代入函数，计算对应的值，并与点的坐标比较，即可判断点是否在函数图象上． 【详解】选项中， 时，，则点不在图象上； 选项中，时，，则点不在图象上； 选项中，时，，与点的纵坐标相等，则点在函数的图象上； 选项中，时，，则点不在图象上。 因此，一定经过的点是． 故选． 2．（25-26九年级上·上海松江·期中）二次函数的图象过点和，则 (填“>”或“<”)． 【答案】< 【分析】本题考查了二次函数的性质，通过代入点A和点B的横坐标到二次函数解析式中，计算对应的纵坐标的值，比较大小即可． 【详解】对于二次函数， 当时，． 当 时，． 由于， 因此． 故答案为：<． 知识点二：二次函数的图象与a，b，c的关系 学生对二次函数中字母系数a、b、c及其关系式的符号判断常有些不知所措，这里介绍几个口诀来帮助同学们解惑． 1．基础四看 “基础四看”是指看开口，看对称轴，看与y轴的交点位置，看与x轴的交点个数．“四看”是对二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象最初步的认识，而且这些判断都可以通过图象直接得到，同时还可以在此基础上进行一些简单的组合应用． 2．组合二看 (1)三全看点 在a、b、c间的加减组合式中，最常见的如“a＋b＋c"，“a－b＋c”，“4a＋2b＋c”，“4a－2b＋c”等类型的式子，这类式子a、b、c三个字母都在，并且c的系数通常为1，这时只要取x为b前的系数代入二次函数y＝ax2＋bx＋c就可以得到所需的形式，从而由其对应的y的值时进行判断即可． (2)有缺看轴 当a、b、c三个字母只出现两个间的组合时，这时对同学们来讲难度是较大的，如何解决呢？其实我们只要想一想为什么会少一个字母，这个问题就可以较好的解决．少一个字母的原因就是因为有对称轴为我们提供了a、b之间的转换关系，如果少的是字母c，则直接用对称轴提供的信息即可解决；如果少的是字母a或b，则可利用对称轴提供的a、b间转换信息，把a（或b）用b（或a）代换即可． 3．取值计算 当解题感到无从下手时，可以尝试取值法，只要根据函数图象的特点及所给出的数据（或范围），取相应点坐标代入函数的解析式中，求出其字母系数，即可进行相关判断． 二次函数的图象与系数之间的关系，解题的关键是弄清楚图象的开口方向、对称轴的位置、与坐标轴的交点及其图象中特殊点的位置，确定出与0的大小关系及含有的代数式的值的大小关系. (1)决定开口方向:当时抛物线开口向上;当时抛物线开口向下. (2)共同决定抛物线的对称轴位置:当同号时，对称轴在轴左侧;当异号时，对称轴在轴右侧(可以简称为“左同右异”);当时，对称轴为轴. (3)决定与轴交点的纵坐标:当时，图象与轴交于正半轴;当时，图象过原点;当时，图象与轴交于负半轴. (4) 的值决定了抛物线与轴交点的个数:当时，抛物线与轴有两个交点;当时，抛物线与轴有一个交点;当时，抛物线与轴没有交点. (5) 的符号由时，的值确定:若，则;若，则. (6) 的符号由时，的值确定:若，则;若，则. 【即时训练】 1．（24-25九年级上·上海静安·期中）若一个二次函数y＝ax2＋bx＋c（a＞0）的图象经过五个点A（﹣1，n）、B（3，n）、C（2，y1）、D（﹣1，y2）和E（1，y3），则下列关系正确的是（    ） A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y1＞y3 C．y1＜y3＜y2 D．y3＞y1＞y2 【答案】B 【分析】由A，B两点的纵坐标相同，可得A，B两点关于对称轴对称，可求对称轴为直线x＝1，则x＝1时y3值最小，根据二次函数的图象性质：在对称轴的左侧，y随x的增大而减小． 【详解】解：∵A（﹣1，n）、B（3，n）， ∴对称轴为直线x＝1； ∵a＞0， ∴x＝1时，y3是最小值；在对称轴的左侧，y随x的增大而减小． ∵C（2，y1）关于对称轴的对称点为（0，y1），且﹣1＜0＜1， ∴y2＞y1＞y3 ． 故选：B． 【点睛】本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，利用了二次函数的对称性和增减性． 2．（24-25九年级上·上海长宁·阶段练习）已知点，，都在函数的图象上，则，，的大关系是 ．（用“<”连接） 【答案】 【分析】根据二次函数的图象和性质，即可求解． 【详解】解：根据题意得：的对称轴为直线， ∵， ∴抛物线开口向上， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大， ∵， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 知识点三：二次函数图象的平移 由二次函数的性质可知，抛物线()的图象是由抛物线()的图象平移得到的.在平移时，不变(图象的形状、大小不变)，只是顶点坐标中的或发生变化(图象的位置发生变化)。平移规律是“左加右减，上加下减”，左、右沿轴平移，上、下沿轴平移，即 . 因此，我们在解决抛物线平移的有关问题时，首先需要化抛物线的解析式为顶点式，找出顶点坐标，再根据上面的平移规律，解决与平移有关的问题， 注意：(1)a 的绝对值越大，抛物线的开口越小. (2)理解并掌握平移的过程，由，的图象与性质及上下平移与左右平移的规律：将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标；保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下： 平移规律：概括成八个字“左加右减，上加下减”． 【即时训练】 1．（24-25九年级上·上海杨浦·期中）“如果二次函数的图像与轴有两个交点，那么一元二次方程有两个不相等的实数根．”请根据这句话的理解，解决以下问题；若、是关于的方程的两根，且，则，，，的大小关关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由m、n（m＜n）是关于x的方程1-（x-a）（x-b）=0的两根可得出二次函数y=-（x-a）（x-b）+1的图象与x轴交于点（m，0）、（n，0），将y=-（x-a）（x-b）+1的图象往下平移一个单位可得二次函数y=-（x-a）（x-b）的图象，画出两函数图象，观察函数图象即可得出a、b、m、n的大小关系． 【详解】解：∵m、n（m＜n）是关于x的方程1-（x-a）（x-b）=0的两根， ∴二次函数y=-（x-a）（x-b）+1的图象与x轴交于点（m，0）、（n，0）， ∴将y=-（x-a）（x-b）+1的图象往下平移一个单位可得二次函数y=-（x-a）（x-b）的图象， 二次函数y=-（x-a）（x-b）的图象与x轴交于点（a，0）、（b，0）． 画出两函数图象，观察函数图象可知：m＜a＜b＜n． 故选：A． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点，画出两函数图象，利用数形结合解决问题是解题的关键． 2．（25-26九年级上·上海松江·期中）将抛物线向左平移个单位长度，所得抛物线的解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的平移． 按“上加下减常数项，左加右减自变量”的规律平移即可得出所求函数的解析式． 【详解】解：将抛物线向左平移个单位长度，所得抛物线的解析式为． 故答案为：． 知识点四：待定系数求解析式 用待定系数法求抛物线的解析式，要根据具体已知条件灵活选择解析式的三种表达形式: (1)已知三点坐标，常设抛物线的解析式为一般式; (2)已知顶点(或最值)，常设抛物线的解析式为顶点式; (3)已知抛物线与轴的两个交点坐标为，常设抛物线的解析式为交点式. 二次函数解析式的形式 一般式： 顶点式： 交点式 顶点在原点： 过原点： 顶点在y轴： 求二次函数（a≠0）的最值的方法 配方法：任意一个二次函数的一般式都可以配方成的形式 若a＞0，当x=h时，函数有最小值，且 ②若a＜0，当x=h时，函数有最大值，且 公式法：因为抛物线的顶点坐标为（-），则 若a＞0，当x=时，函数有最小值，且 若a＜0，当x=h时，函数有最大值，且 【即时训练】 1．（24-25九年级上·上海松江·阶段练习）已知二次函数经过点，则m的值为（   ） A． B．0 C．1 D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，掌握二次函数图象上的点满足二次函数解析式是解题关键．将点代入函数解析式求解即可． 【详解】解：将点代入函数解析式得，， ∴， 故选：D． 2．（25-26九年级上·上海金山·阶段练习）已知二次函数经过原点，则的值是 ． 【答案】1 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，理解图象上点的坐标满足解析式是解题的关键．把代入解析式，即可得到，由此可求出m的值． 【详解】解：∵二次函数的图象经过原点， ∴， ∴， 故答案为：1． 【经典例题一 y=ax2的图象与性质】 【例1】（25-26九年级上·上海长宁·课后作业）如图，正方形的边长为4，以正方形中心为原点建立平面直角坐标系，作出函数与的图象，则阴影部分的面积是（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】本题考查的是关于x轴对称的二次函数解析式的特点，解答此题的关键是根据函数解析式判断出两函数图象的特点，再根据正方形的面积即可解答． 【详解】解：函数与的图象关于x轴对称， ∴图中阴影部分的面积是图中正方形面积的一半， ∴图中阴影部分的面积是． 故选：D． 1．（25-26九年级上·上海长宁·课后作业）已知抛物线过点和点，则下列关系式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了函数的图象和性质，利用函数的对称性和增减性进行比大小即可 【详解】解：根据抛物线的性质， 开口向上，抛物线对称轴为 轴，对称轴左侧随的增大而减小，对称轴右侧随的增大而增大 由于关于对称轴的对称点为 ∵ ∴ 故选： A． 2．（25-26九年级上·上海杨浦·期中）写出一个以原点为顶点，开口向上的抛物线的解析式 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查抛物线的顶点式，掌握抛物线顶点式的性质是解题的关键； 由于抛物线以原点为顶点且开口向上，可设解析式为，其中，取 即可． 【详解】解：根据抛物线顶点式，设解析式为，由于开口向上，故，取，得， 故答案为：． 3．（2025九年级上·上海·专题练习）如图，已知点和，平移得到，顶点、分别与顶点对应.如果点都在抛物线上，那么点到点的距离是 . 【答案】 【分析】本题考查了图形平移与抛物线，掌握平移的性质以及得出纵坐标相同是解题的关键； 已知和，则平移后的坐标为的坐标为都在抛物线上，且纵坐标相同，可求得，进而求的，即可求得点到点的距离． 【详解】解：设沿轴方向平移了个单位，沿轴方向平移了个单位， 则平移后的坐标为的坐标为， 都在抛物线上，且纵坐标相同， ， 解得， 将代入， ， ． 故答案为：． 4．（25-26九年级上·上海金山·阶段练习）已知抛物线经过点 (1)求此抛物线的函数解析式； (2)判断点是否在此抛物线上； (3)求出抛物线上纵坐标为的点的坐标． 【答案】(1)； (2)点B不在此抛物线中； (3)或 【分析】本题主要考查了二次函数的知识，涉及到待定系数法求函数的解析式、二次函数的性质以及二次函数的坐标特征，解题的关键是掌握二次函数的性质，此题难度不大． 把点代入抛物线中求得a的值，即可求得此抛物线的解析式； 把代入此函数解析式即可判断； 把代入抛物线的解析式中求得x的值即可． 【详解】（1）抛物线经过点， 把点代入抛物线中：， ， 此抛物线的函数解析式为：； （2）当时，， 点不在此抛物线上； （3）此抛物线上一点的纵坐标为， 把代入此抛物线中得：， ， 此抛物线上纵坐标为的点的坐标为或． 【经典例题二 y=a(x-h)2+k的图象与性质】 【例2】（24-25九年级上·上海闵行·期中）二次函数的图象的对称轴是（   ） A．y轴 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】D 【分析】本题主要考查二次函数的对称轴，掌握二次函数顶点式的对称轴为直线成为解题的关键． 根据二次函数顶点式的性质求解即可． 【详解】解：对于二次函数，其形式符合顶点式，其中， 所以，函数的对称轴为直线． 故选D． 1．（24-25九年级上·上海徐汇·期中）点；点，点都在二次函数的图象上，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数解析式分别计算各点的纵坐标，再比较大小关系即可得解，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵点；点，点都在二次函数的图象上， ∴，，， ∴， 故选：A． 2．（24-25九年级上·上海杨浦·阶段练习）抛物线的对称轴为直线 ． 【答案】4 【分析】本题考查了抛物线的顶点式以及对称轴直线是该图象的顶点坐标的横坐标，掌握以上知识是解答本题的关键．根据，求得抛物线顶点坐标为，即可求解对称轴直线的解析式． 【详解】解：根据可知，抛物线的顶点为， ∴对称轴为直线， 故答案为：4． 3．（24-25九年级上·上海崇明·期中）已知抛物线上有两点和，则 ．（用“”，“”，“”填写） 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，求出相应的函数值是解题的关键． 分别把A、B点的横坐标代入抛物线解析式求解即可． 【详解】解：将和代入得， ， ∴． 故答案为：． 4．（25-26九年级上·上海宝山·阶段练习）已知二次函数，请直接写出该二次函数图像对应的顶点坐标，对称轴以及最值． 顶点坐标：______，对称轴：______，当______时，y有最______值，最值为______． 【答案】，直线，，小，． 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键．对于二次函数(a，h，k为常数，)，当时，抛物线开口向上，在对称轴的左侧y随x的增大而减小，在对称轴的右侧y随x的增大而增大，此时函数有最小值；当时，抛物线开口向下，在对称轴的左侧y随x的增大而增大，在对称轴的右侧y随x的增大而减小，此时函数有最大值．其顶点坐标是，对称轴为直线． 根据二次函数的性质作答即可． 【详解】解：已知二次函数， 顶点坐标：，对称轴：直线，当时，y有最小值，最值为． 故答案为：，直线，，小，． 【经典例题三 y=ax2+bx+c的图象与性质】 【例3】（2025九年级·上海长宁·专题练习）如图，直线为二次函数的图象的对称轴，则下列说法正确的是（   ） A．恒大于0 B．a，b同号 C．恒小于0 D．a，b异号 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的性质，解题关键是熟练掌握二次函数对称轴公式，并能根据对称轴的位置分析、的符号关系． 根据二次函数对称轴公式来分析、的符号关系． 【详解】解：由图可知，对称轴直线在轴右侧，即对称轴． ∵, ∴． ∴、异号． A、仅根据对称轴位置不能确定恒大于，∵的符号不确定，∴无法确定的符号，不符合题意； B、由上述分析可知、异号，并非同号，不符合题意； C、同理，不能确定恒小于，不符合题意； D、、异号，符合题意． 故选：D． 1．（25-26九年级上·上海徐汇·期中）二次函数的图象，在对称轴右侧的部分是（　　）． A．随着的增大而增大 B．随着的增大而减小 C．随着的增大先增大后减小 D．随着的增大先减小后增大 【答案】B 【分析】此题考查了二次函数的性质，由二次函数解析式可知抛物线开口向下，对称轴右侧部分y随x增大而减小． 【详解】解：∵二次函数中， ∴抛物线开口向下． ∴在对称轴右侧，y随x增大而减小． 故选：B． 2．（25-26九年级上·上海嘉定·阶段练习）二次函数的图象的顶点坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查求抛物线的顶点坐标．熟练掌握二次函数的性质，是解题的关键． 将一般式转化为顶点式，即可得解． 【详解】解：， ∴顶点坐标为， 故答案为：． 3．（25-26九年级上·上海杨浦·期中）已知二次函数，自变量与函数值的部分对应值如表，则下列命题： … 0 1 2 … … 2 2 … ①若，则函数图象的开口向上： ②关于的方程的两个根是和4： ③点在一次函数的图象上： ④代数式的最大值为； 正确的是 ． 【答案】②③④ 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质．熟练掌握二次函数的图像与性质是解题的关键． 根据表格数据，利用二次函数的对称性和点坐标求出参数关系，逐一判断各命题的正确性． 【详解】由表可知，当和时，，故抛物线的对称轴为直线，即，得． 将点代入解析式，得，结合，得． 对于命题①，若，则，则，抛物线开口向下，故错误． 对于命题②，由于对称性，和关于对称轴对称，函数值均为，故方程的两根为和，正确． 对于命题③，点即，满足一次函数，故在直线上，正确． 对于命题④，，当时，最大值为，正确． 故答案为：②③④． 4．（24-25九年级上·上海青浦·期中）已知二次函数． (1)求二次函数图象的顶点坐标； (2)在平面直角坐标系中，画出二次函数的图象； (3)当时，结合函数图象，直接写出y的取值范围． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键． （1）将二次函数的解析式化成顶点式，由此即可得； （2）利用描点法画出函数图象即可得； （3）结合函数图象，找出当时，的最大值与最小值即可得． 【详解】（1）解：将二次函数化成顶点式为， 所以这个二次函数图象的顶点坐标为． （2）解：当时，，解得或， 当时，，解得或， 利用描点法画出二次函数的图象如下： ． （3）解：结合函数图象可知，当时，． 【经典例题四 二次函数图象与各系数符号】 【例4】（2025·上海崇明·模拟预测）抛物线与x轴交于点，对称轴为，与y轴的交点在，之间（不包含端点），则下列结论：①；②；③若点，在抛物线上，则；④关于x的方程必有一实根大于2．其中结论正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 根据题意可得，再由对称轴为，可得，故①错误；根据，可得，再由与y轴的交点在，之间（不包含端点），可得，故②正确；根据二次函数图象的增减性可得，故③正确；根据题意可得直线经过和两点，当时，二次函数的值，从而得到直线上与抛物线必有一交点的横坐标大于2，故④正确． 【详解】解：抛物线与x轴交于点，对称轴为，与y轴的交点在，之间（不包含端点）， ∴抛物线开口向下， ∴． ∵对称轴为， ∴， ∴，故①错误； ∵， ∴， ∴， ∵与y轴的交点在，之间（不包含端点）， ∴， ∴， ∴，故②正确； ∵，对称轴为，且点M离对称轴的距离比点N离对称轴的距离小，且， ∴，故③正确； 对于抛物线，由对称性得：当时，， 对于， 当时，，当时，， ∴直线经过和两点， ∵， ∴抛物线解析式为， 当时，， ∵， ∴， 即当时，二次函数的值， ∴直线与抛物线必有一交点的横坐标大于2，故④正确． 故选C． 1．（25-26九年级上·上海虹口·期中）二次函数 的部分图象如图所示，其对称轴为直线，且图象经过点，则下列结论正确的是（   ） A． B． C．若且，则 D．若，两点都在抛物线上，则 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图像和性质. 根据图像判断系数之间的关系，从图像获取信息，根据二次函数的对称性，增减性，逐一进行判断即可． 【详解】解：由图像可知，抛物线的开口向下，与轴交于正半轴， ∴， ∴，故选项A错误，不符合题意； ∵对称轴为直线， ∴， ∴，故选项B错误，不符合题意； ∵且， ∴， ∴和关于对称轴对称， ∴；故选项C正确，符合题意； ∵抛物线的开口向下， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小， 若两点都在抛物线的图像上， ∵， ∴；故选项D错误，不符合题意； 故选C． 2．（2025九年级·上海长宁·专题练习）如图所示的是二次函数（，，是常数，）图象的一部分，它与轴的交点在点和之间，对称轴是直线．对于下列说法：①；②；③；④（为实数）；⑤当时，．其中正确的个数为 ． 【答案】3 【分析】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系． 由抛物线的开口方向判断与的关系，然后根据对称轴判定与的关系以及；当时，；然后由图象确定当取何值时，． 【详解】解：顶点在轴的上方， ，即，故①正确； 对称轴， ，故②正确； ， ． 当时，， ，故③错误； 当时，最大， 当时，， （为实数），故④正确； 当时，存在，故⑤错误． 其中正确的有①②④，正确的个数为， 故答案为：． 3．（25-26九年级上·上海嘉定·阶段练习）如图，抛物线的对称轴为直线，与轴的负半轴交于点．下列结论：①；②；③；④（为任意实数）．其中正确的结论为 （填序号）． 【答案】②③④ 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，根据开口方向和与y轴的交点位置可得，由对称轴计算公式可得，据此可判断①；根据抛物线与x轴交于可得，进而可得，据此可判断②③；根据对称轴为直线，可得函数的最大值为，据此可判断④． 【详解】解：∵抛物线开口向下，与y轴交于正半轴， ∴， ∵对称轴为直线， ∴， ∴， ∴，故①错误； ∵抛物线与x轴交于， ∴，故②正确； ∴， ∴， ∴，故③正确； ∵对称轴为直线， ∴函数的最大值为， ∴， ∴，故④正确； ∴正确的有②③④， 故答案为：②③④． 4．（24-25九年级上·上海长宁·期中）已知抛物线，如图所示，直线是其对称轴． (1)确定b，的符号； (2)求证：； (3)当x取何值时，，当x取何值时． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)当时，；当或时，． 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数和x轴交点问题，解题的关键是熟练的掌握二次函数图象与系数的关系． （1）根据开口方向确定a的符号，根据对称轴的位置确定b的符号，根据抛物线与x轴交点的个数确定的符号； （2）根据图象和的函数值确定与0的关系； （3）根据抛物线在x轴上方时；抛物线在x轴下方时求解即可． 【详解】（1）∵抛物线开口向下， ∴， ∵对称轴， ∴， ∵抛物线与轴有两个交点， ∴； （2）证明：∵抛物线的顶点在轴上方，对称轴为， ∴当时，； （3）根据图象可知， 当时，；当或时，． 【经典例题五 一次函数、反比例函数、二次函数图象综合判断】 【例5】（25-26九年级上·上海松江·期中）一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中大致的图象可能是（　　） A．B． C． D． 【答案】C 【分析】考查二次函数及一次函数的图像的性质，掌握相关知识是解决问题的关键．根据二次函数、一次函数图像与系数的关系逐项判断即可． 【详解】解：一次函数和二次函数都经过轴上的， 两个函数图象交于轴上的同一点，排除D； 当时，二次函数开口向上，一次函数经过一、三象限，排除A； 当时，二次函数开口向下，一次函数经过二、四象限，排除B； 故选：C． 1．（2025·上海崇明·模拟预测）已知一次函数的图象如图所示，则反比例函数和二次函数在同一坐标系中的图象可能是（     ） A．B．C．D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象性质，一次函数的图象性质，二次函数的图象性质．根据一次函数的性质得到，，得到抛物线开口向上，对称轴在轴右边，则排除选项B和C，再根据反比例函数与二次函数的图象性质判断即可； 【详解】解：对于一次函数，由图象知，， ∴，，对于二次函数， ∵，， ∴开口向上，对称轴在轴右边，则排除选项B和C； ∵选项A和D中，二次函数的图象与轴的交点都在原点下方， ∴， ∴， ∴反比例函数的图象经过一、三象限， ∴选项A符合题意， 故选：A． 2．（24-25九年级上·上海静安·单元测试）抛物线与双曲线的交点的横坐标为，则不等式的解集为 ．    【答案】 【分析】根据函数图象直接可得结论． 【详解】解：∵抛物线与双曲线的交点的横坐标为， ∴的解集为， 即不等式的解集为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了根据函数图象交点求不等式的解集，数形结合是解题的关键． 3．（24-25九年级上·上海长宁·课后作业）如图，已知函数与的图象交于点P，点P的纵坐标为1，则关于x的方程的解为x= ． 【答案】 【分析】把y=1代入求出P的坐标，根据函数的图象得出函数得出答案即可． 【详解】解：把y=1代入得：， 即， ∵函数与的图象交于点P， ∴关于x的方程的解为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了对二次函数的图象和性质，反比例函数的图象和性质的应用，注意：数形结合思想的应用，主要考查学生的观察图象的能力和理解能力． 4．（24-25九年级上·上海松江·期中）如图，小方站在水平球台上打高尔夫球，球台到轴的距离为6米，与轴相交于点，弯道与球台交于点，且米，弯道末端垂直轴于，且米，从点处打出的高尔夫球沿抛物线运动，落在弯道的处，且到轴的距离为3米； (1)点的坐标为______，______；点的坐标为______，______； (2)红色球落在处后立即弹起，沿另外一条抛物线运动，若的最高点坐标为 ①求抛物线的解析式，并说明小球能否再次落在弯道上？ ②在轴上有托盘，若小球恰好能被托盘接住，则把托盘向上平移的距离为，求的取值范围（托盘的厚度忽略不计）. 【答案】(1)，12，， (2)①，说明见解析；② 【分析】（1）根据题意得到F点坐标代入解析式求出反比例函数解析式，再求出点D坐标代入抛物线即可得到答案； （2）根据题意求出新抛物线的交点求出A点坐标，将横坐标及横坐标加2代入抛物线即可得到d的取值范围； 【详解】（1）解：由题意可得， ∵，球台到轴的距离为6米， ∴， 将代入得， ， ∴， ∵到轴的距离为3米， ∴，故， 将代入得， ，解得：， 故答案为：，12，，； （2）解：解：①∵抛物线顶点， 设抛物线解析式为， 把代入，解得， ∴的表达式为， ∵点A在反比例函数，且米， ∴点A的坐标为，当时，， ∴与弯道不相交，小球不能落在弯道上. ②当时，； 当时，， 综上，； 【点睛】本题考查二次函数与反比例函数综合问题，解题的关键根据题意找点代入求出解析式，求出交点． 【经典例题六 y=ax2+bx+c的最值】 【例6】（25-26九年级上·上海杨浦·阶段练习）对于二次函数，下列说法正确的是：（    ） A．图象的开口向上 B．图象的对称轴是直线 C．当时，随的增大而增大 D．函数的最大值是 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．根据可得抛物线的开口向下，再根据二次函数的对称轴、增减性和最值逐项判断即可得． 【详解】解：二次函数中，， ∴这个二次函数的图象的开口向下，图象的对称轴是直线，则选项A和B错误； ∴当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大；则选项C错误； ∴当时，取得最大值，最大值为，则选项D正确； 故选：D． 1．（25-26九年级上·上海金山·阶段练习）将二次函数的图象在轴下方的部分以轴为对称轴翻折到轴上方，得到如图所示的新函数图象，下列对新函数的描述错误的是（   ） A．图象与轴的交点坐标是 B．当或时，函数取得最小值0 C．图象的对称轴为直线 D．当时，的值随值的增大而增大 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，图象的翻折变换，正确分析变换前后点的坐标，函数的最值，以及增减性是解题的关键，先求出二次函数翻折前与轴的交点坐标，即可得到翻折后与轴的交点坐标，判断A选项即可，根据函数图象可知函数的最大值，判断B选项即可；求解出二次函数与轴的交点坐标，求出对称轴直线，可判断C选项；根据函数图象即可判断D选项． 【详解】解：A、二次函数， 令，则， ∴原函数与轴的交点坐标为：， ∴翻折后与轴的交点坐标为：，此项正确； B、二次函数， 令，则， 解得：， 由图象可得：函数在处取最小值0，此项正确； C、二次函数， 对称轴：，此项正确； D、由图象可知：当时，的值随值的增大而减小，当时，的值随值的增大而增大，此项错误． 故选：D． 2．（25-26九年级上·上海宝山·期中）已知二次函数，若当时，的取值范围是（为常数），则当时，的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，由题意，根据时，的取值范围为，且抛物线开口向下，则对称轴是直线，从而，故抛物线为，又当时，，可得，即求出二次函数为，又当，结合二次函数的性质即可得出答案，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：由题意，时，的取值范围为，且抛物线开口向下， 对称轴是直线， ， 抛物线为， 又当时，， ， 二次函数为， 抛物线开口向下， 抛物线上的点离对称轴越近函数值越大， ，， 又∵， 当时，取最大值为， 当时，取最小值为， 当时，， 故答案为：． 3．（2025九年级·上海长宁·专题练习）已知点在抛物线上，则的最大值是 ． 【答案】4 【分析】本题考查了二次函数图像上点的坐标特征，利用二次函数求最值，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键 ． 将代入抛物线得，整理后，再利用二次函数性质求解即可． 【详解】解：将代入抛物线得，整理后 ， ∴当时，， 故答案为： ． 4．（25-26九年级上·上海静安·期中）在平面直角坐标系中，抛物线（为常数）与轴交于点，其对称轴与轴交于点，抛物线的对称轴为直线． (1)求的值； (2)若点是抛物线上的点，且，求证：点，，三点共线； (3)点，是抛物线上的两点，其中，记抛物线在，之间的部分为图象（包含，两点），若图象上任意两点纵坐标之差的最大值是6，求的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了二次函数的图象及性质，包括开口方向、对称轴、单调性及最值的判断，熟练掌握以上知识点，并结合不等式的相关知识点进行推理是解题的关键． （1）由二次函数的对称轴为直线，据此求解即可； （2）根据题意可得，，利用待定系数法求得直线的解析式为，由点在抛物线上，且，求出，可证明在直线上，即可证明点A，B，C三点共线； （3）由点、在抛物线上，得、，因为抛物线的开口向下，对称轴为直线，分以下两种情况进行讨论：当时，可以判定点P，Q在对称轴两侧，点P与对称轴的距离大于点Q与对称轴的距离，此时图象G上的最高点是抛物线的顶点，其纵坐标为8，此时点P的纵坐标最小，通过图象G 上任意两点纵坐标之差的最大值是6，即，求出值并判断其是否在的取值范围内；当时，则，点P，Q在对称轴左侧，y随x的增大而增大，此时点P的纵坐标最小，点Q的纵坐标最大，即，求出值并判断其是否在的取值范围内． 【详解】（1）解：抛物线（b为常数）的对称轴为直线， ∴， 解得； （2）证明：由（1）知， ∴， 在中，当时，， ∴ 对称轴与x轴交于点B， ∴， 设经过点A和点B的直线的解析式为， 将点A，B的坐标代入，得，解得， 直线的解析式为， 点在抛物线上，且， ， 解得（舍）或， ∴， 在中，当时，， 点在直线上，即点A，B，C三点共线； （3）解：点、在抛物线的图象上， ，， ∴、， ∵，即抛物线的开口向下，且对称轴为直线， ∴当时，则， ∴此时点P在对称轴的左侧，点Q在对称轴的右侧， ∴此时图象G上的最高点是抛物线的顶点，其纵坐标为8， ∵， ∴， ，， 点P到对称轴的距离大于点Q与对称轴的距离，即此时点P的纵坐标最小， ∴， ， 解得（不符合题意，舍去）或； 当时，则，此时点P，Q在对称轴左侧， ∵在对称轴左侧，y随x的增大而增大， ∴此时点P的纵坐标最小，点Q的纵坐标最大， ∴， ， 解得（不符合题意，舍去）； 综上所述，． 【经典例题七 已知抛物线上对称的两点求对称轴】 【例7】（25-26九年级上·上海奉贤·阶段练习）今年暑假，我省某地天气异常干旱，为缓解旱情，该地气象部门进行了人工增雨作业．人工增雨通过发射防雹增雨火箭弹的方式进行，已知该炮弹的飞行高度（米）和飞行时间（秒）的关系满足二次函数．若此炮弹在第秒与第秒时的高度相等，则炮弹飞行高度最高的时间是（    ） A．第秒 B．第秒 C．第秒 D．第秒 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的应用，求出抛物线的对称轴即可求解，掌握抛物线的对称性及性质是解题的关键． 【详解】解：∵炮弹在第秒与第秒时的高度相等， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴炮弹飞行高度最高的时间是第秒， 故选：． 1．（25-26九年级上·上海普陀·阶段练习）抛物线上部分点的坐标如表，下列说法错误的是（    ）                                                                                 A．抛物线开口向下 B．对称轴是直线 C．当时，随的增大而减小 D．当时， 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征．根据二次函数的性质和表格中的数据，判断各个小题中的结论是否成立即可． 【详解】解：由表格中点，，可知对称轴是直线，故B正确，不合题意； 根据对称轴是直线，当时，随的增大而减小，可知抛物线开口向下，故A正确，不合题意； 所以，当时，随的增大而减小，故C正确，不合题意； 根据抛物线的对称轴是直线，图象过点， 则根据二次函数的对称性得当时，，故D错误，符合题意； 故选：D． 2．（25-26九年级上·上海长宁·期中）已知点，是抛物线（b为常数）上不同的两点，若点也在抛物线上，则m的值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上的点坐标满足二次函数的解析式，以及对称性． 由点A和点B的纵坐标相同，可知两点关于抛物线的对称轴对称，利用对称轴公式求出b的值，再代入点求解即可． 【详解】∵点，是抛物线（b为常数）上不同的两点， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴抛物线为， ∵点也在抛物线上， ∴代入得． 故答案为：4． 3．（25-26九年级上·上海静安·期中）二次函数的与的部分对应值如下表： … 0 1 2 3 4 … … 2 7 … 则关于的一元二次方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的对称性及与一元二次方程的关系，熟练掌握二次函数的对称性及与一元二次方程的关系是本题解题关键．根据二次函数的对称性求解对称轴为直线，结合当时，，再进一步作答即可． 【详解】解：根据题意得：点，均在二次函数的图象上， ∴二次函数图象的对称轴为直线， 由表格信息可得：当时，， ∴点关于对称轴的对称点为点， ∴关于的方程的解是． 故答案为：． 4．（25-26九年级上·上海杨浦·阶段练习）已知抛物线经过点． (1)求该抛物线的对称轴； (2)点和分别在抛物线和上（，与原点都不重合） ①若，且，比较与的大小； ②当时，若是一个与无关的定值，求与的值． 【答案】(1) (2)①② 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，求抛物线的对称轴，判断函数值的大小，利用函数值的数量关系求系数，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质． （1）将已知点的坐标代入解析式中，得出系数之间的关系，利用对称轴公式即可求解； （2）①根据题意得出函数的解析式，将代入解析式中，利用作差法即可得出函数值的大小； ②将函数值用各自自变量表示，整理得出两自变量的数量关系，再根据等式对任意都成立，通过比较对应项系数相等即可求出系数的值． 【详解】（1）解：由题意得，将点代入得，， 即， ∴， 故所求抛物线的对称轴是直线． （2）解：①∵ ∴， ∴抛物线的解析式为． 又∵， ∴． ∵抛物线过原点，且点A与原点不重合， ∴， ∴， 故； ②∵在上， ∴， ∵在上， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是一个与无关的定值， ∴设（k为定值,）, ∴, 将 代入上式得：， 整理得， 由于上式对任意都成立，所以对应项系数相等， 则有， 解得， ∴． 【经典例题八 根据二次函数的对称性求函数值】 【例8】（24-25九年级上·上海宝山·期中）如图，二次函数的图象经过点，抛物线的对称轴是直线，则一元二次方程的解是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数与一元二次方程之间的关系，二次函数的对称性，先根据抛物线的对称性确定抛物线与x轴另一个交点坐标为，然后根据抛物线与x轴的交点的横坐标即为二次函数对应的一元二次方程的解即可得到答案． 【详解】解：∵抛物线与x轴的一个交点坐标为，且抛物线的对称轴为直线， ∴抛物线与x轴另一个交点坐标为， ∴一元二次方程的解为． 故选：A． 1．（2025·上海虹口·模拟预测）如图，直线从左至右交抛物线G，L于点M，N，P，Q，且两条抛物线的顶点A，B都在直线上，已知，，，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的性质，由抛物线的对称性找到线段之间的关系来求解的长度是解决本题的关键． 分别求出，和的长度，再根据抛物线的对称性即可求解． 【详解】解：因为，，， 由图可知， ， ， 因为两条抛物线的顶点A，B都在直线上， 根据抛物线的对称性可知． 故选：B． 2．（25-26九年级上·上海杨浦·期中）已知二次函数中的x和y满足下表： x ．．． 0 1 2 3 4 5 ．．． y ．．． m 4 ．．． 由表格数据可求m的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解决本题的关键． 通过观察表格中y值相同的点，确定二次函数的对称轴，再利用对称性求m的值． 【详解】解：由表格数据可知，当和时，y的值均为， ∴二次函数的对称轴为直线． ∴点关于直线的对称点为， ∴当时，，即． 故答案为：． 3．（25-26九年级上·上海闵行·期中）已知二次函数中，函数y与自变量x的部分对应值如下表，若点，均在二次函数图象上，则与的数量关系为 ． x …                1 5 … y … 0 5 9 5      … 【答案】 【分析】该题考查了二次函数的对称性，由函数值表可知，和时值相等，确定对称轴为；点和的横坐标关于对称轴对称，故y值相等． 【详解】解：由表格数据，当时时，根据二次函数图象的对称性， 对称轴为． 点和的横坐标平均值， 即两点关于对称轴对称， 因此． 故答案为：． 4．（24-25九年级上·上海嘉定·期中）已知二次函数中，函数y与自变量x的部分对应值如表： x … 0 1 2 … y … 0 … (1)当时，____________； (2)求二次函数的表达式； (3)若抛物线上两点的横坐标满足，则____________0（填“”“”或“”）． 【答案】(1)0 (2) (3) 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，待定系数法求函数解析式，正确的求出函数解析式是解题的关键： （1）根据对称性进行求解即可； （2）待定系数法求出函数解析式即可； （3）根据二次函数的增减性进行判断即可． 【详解】（1）解：由表格可知，和的函数值相同， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴和的函数值相同， ∴当时，； （2）由（1）结合表格可知，抛物线的顶点坐标为， ∴设抛物线的解析式为， 把代入，得，解得， ∴； （3）∵的对称轴为直线， ∴当时，函数值随着的增大而增大， ∵抛物线上两点的横坐标满足， ∴， ∴； 故答案为：． 【经典例题九 待定系数法求二次函数解析式】 【例9】（2025·上海金山·模拟预测）已知二次函数（，，为常数，且）的自变量与函数的几组对应值如下表： … … … … 则下列关于这个二次函数的结论正确的是（   ） A．图象的开口向上 B．图象经过第二、三、四象限 C．当时，的值随的值增大而增大 D．图象的对称轴是直线 【答案】D 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．利用待定系数法求出二次函数的解析式，根据即可判断选项A；根据四个象限内均存在函数图象经过的点，即可判断选项B；根据二次函数的增减性和对称性即可判断选项C、D． 【详解】解：将点，和代入二次函数得： ， 解得， 二次函数的解析式为， ， 函数图象的开口向下，故A选项错误，不符合题意； 当时，， 当时，， 函数图象经过点， 位于第一象限， 函数图象经过点， 位于第三象限， 由表格可知，函数图象经过点， 位于第二象限， 函数图象经过点， 位于第四象限， 这个二次函数的图象经过第一、二、三、四象限，故B选项错误，不符合题意； 对称轴为直线 ， ， 当时，的值随的值增大而增大， 当时，的值随的值增大而减小，故C选项错误，不符合题意； D选项正确，符合题意． 故选：D ． 1．（25-26九年级上·上海崇明·阶段练习）已知二次函数图象上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如表，那么关于它的图象，下列判断错误的是（    ） … 0 1 2 … … 1 2 1 … A．开口向下 B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】C 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象和性质．利用待定系数法求得二次函数的解析式，再根据二次函数的图象和性质求解即可． 【详解】解：由表格知二次函数的图象经过点和， ∴抛物线的对称轴为， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴设二次函数的解析式为， 将代入得， 解得， ∴二次函数的解析式为， 当时，，故D正确，不符合题意，C错误，符合题意； ∵， ∴抛物线开口向下，当时，函数有最大值为，故A正确，不符合题意； ∴当时，，故B正确，不符合题意；     故选：C． 2．（25-26九年级上·上海宝山·期中）已知抛物线经过点，那么该抛物线的对称轴是直线 ． 【答案】 【分析】本题考查了求抛物线的对称轴．抛物线的对称轴为，再根据已知条件，将代入抛物线解析式，即可，据此求解即可． 【详解】解：将代入抛物线解析式可得， ， 移项整理得， 该抛物线的对称轴是直线． 故答案为：． 3．（2025九年级·上海长宁·专题练习）已知二次函数中，函数与自变量的部分对应值如下表： … 0 1 2 4 … … 10 1 1 25 … 这个二次函数的表达式为 ． 【答案】（或） 【分析】本题考查了利用待定系数法求二次函数的解析式，准确计算是解题的关键．根据待定系数法求解即可． 【详解】解：由表可知，二次函数顶点坐标为，设解析式为（）， 将点代入得： ， ， ， 解得， 故二次函数解析式为， 验证其他点均符合表格数据， 故答案为：（或）． 4．（25-26九年级上·上海杨浦·阶段练习）下表是二次函数自变量x与函数y的部分对应值： x … 0 3 … y … 0 3 0 … 根据上表的数值，解答下列问题： (1)求二次函数的表达式； (2)在上表中，求出被墨水涂黑那格的数据． 【答案】(1) (2)表中被墨水涂黑的那格数据为 【分析】本题主要考查了通过列表求二次函数的解析式，通过解析式求函数值，解题的关键是利用特殊值和待定系数法求解析式． （1）利用特殊值假设出二次函数的两点式，再利用待定系数法求解析式即可； （2）通过函数解析式求函数值即可． 【详解】（1）解：由表观察可知：当或时，； 当时，， ∴设， 把代入得，，解得：， ∴； （2）解：由（1）可得， ∴把代入得． ∴表中被墨水涂黑的那格数据为． 【经典例题十 二次函数图象的平移】 【例10】（25-26九年级上·上海闵行·阶段练习）将抛物线先向右平移a个单位长度，再向下平移4个单位长度，平移后的抛物线与抛物线重合，则a，b的值分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查二次函数图象的平移，解题的关键是熟练掌握二次函数图象的平移规律“左加右减，上加下减”． 根据二次函数图象的平移规律，可得平移后的解析式，由已知平移后的抛物线与抛物线重合，可得对应项系数相等，即可得a，b的值． 【详解】解：抛物线， 先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度， 平移后的抛物线为，， ∵平移后的抛物线与抛物线重合， ∴，， ∴，． 故选：C． 1．（2025·上海宝山·模拟预测）如图，将抛物线平移到抛物线，点，分别在抛物线，上．下列结论：①无论取何值，都有；②若点平移后的对应点为，则；③当时，线段的长随着的增大而减小．其中正确的结论为（   ） A．①②③ B．①② C．①③ D．②③ 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数的图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质，数形结合是解题的关键． 求得抛物线的顶点即可判断①对；由抛物线的解析式可知将抛物线向右平移3个单位，向下平移3个单位得到抛物线，即可求得平移后的对应点为的最短路程为，即可判断②对；由可知当时，，根据一次函数的性质即可判断③对． 【详解】解：抛物线开口向下，顶点为， 无论取何值，都有，故①对； 将抛物线的顶点为，抛物线开口向下，顶点为， 将抛物线向右平移3个单位，向下平移3个单位得到抛物线， 点平移后的对应点为的最短路程为，故②对； ，当时，，随着的增大而减小， 当时，随着的增大，线段变短，故③对． 故选：A． 2．（25-26九年级上·上海金山·期中）将抛物线先向右平移2个单位长度再向下平移1个单位长度，得到的新抛物线的顶点为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的平移变换规律及顶点坐标的求解方法，先通过配方法将原抛物线化为顶点式，得到顶点坐标，再根据平移规律“左加右减，上加下减”确定新顶点坐标． 【详解】解：将抛物线化为顶点式：， 因此原顶点坐标为， 将原抛物线顶点式向右平移2个单位，横坐标加2，得5；向下平移1个单位，纵坐标减1，得5， ∴新抛物线顶点为． 故答案为： 3．（25-26九年级上·上海虹口·阶段练习）已知二次函数 的图象向右平移个单位得到抛物线 的图象，则阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，图形的面积，设点为抛物线的顶点，点为抛物线的顶点，连接，则四边形的面积和阴影部分的面积相等，由二次函数 ，得该函数的顶点的坐标为，故有点到轴的距离为，然后利用面积公式即可求解，熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减是关键． 【详解】解：如图，设点为抛物线的顶点，点为抛物线的顶点，连接，则四边形的面积和阴影部分的面积相等， ∵二次函数 ， ∴该函数的顶点的坐标为， ∴点到轴的距离为， ∵， ∴四边形的面积是， ∴阴影部分的面积是， 故答案为：． 4．（25-26九年级上·上海金山·期中）如图，正方形的顶点在抛物线上，顶点B、C在轴的正半轴上，且点的坐标为． (1)求点的坐标； (2)将抛物线先向左平移1个单位长度，再向下平移个单位长度，使得平移后的抛物线经过点，求的值． 【答案】(1) (2)． 【分析】此题主要考查了二次函数图象的平移以及待定系数法求二次函数解析式，正方形的性质，正确得出各点坐标是解题关键． （1）根据题意得出点坐标，进而得出点坐标； （2）设平移后抛物线解析式为，把点代入求出答案． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形，顶点B、C在轴的正半轴上， ∴， ，点在抛物线上， ， 又正方形中，， ； （2）解：设平移后抛物线的解析式为：，把代入得 ， 解得． 【拓展训练一 利用二次函数对称性求最短路径】 1．（24-25九年级上·上海徐汇·期中）如图，抛物线过点，． (1)求抛物线的解析式和对称轴； (2)点是对称轴上一点，当达到最小值时，求点的坐标． 【答案】(1) ， (2) 【分析】本题主要考查二次函数解析式的求解（待定系数法）、二次函数对称轴的计算、利用轴对称求最短路径问题，掌握通过轴对称转化线段长度以简化最值问题，结合图形中的平行关系和比例关系推导点的坐标是解题的关键． （1）先将点、的坐标代入抛物线解析式，通过解方程组求出对应的值，得到抛物线解析式并计算其对称轴； （2）利用轴对称性质，过对称轴作点的对称点，连接交对称轴于点（此时最短），最后通过分析图形中线段的平行关系和线段的比例关系，计算出点的坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线过点，， 代入得：， 解得：， ∴， 对称轴：． （2）解：如图，作点关于对称轴的对称点，交对称轴于点，连接，交对称轴于点，此时最短， ， ∵点和点关于对称轴为对称，， ∴，，， ∴，点的横坐标为2， ∵点在抛物线的轴上， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点的纵坐标为， ∴点的坐标为． 2．（25-26九年级上·上海宝山·阶段练习）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且．    (1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标； (2)点M是x轴上的一个动点，当的周长最小时，求点M的坐标． 【答案】(1)抛物线的解析式为，顶点D的坐标为 (2) 【分析】本题考查二次函数的图像和性质，对称求最值，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）把点坐标代入求出，从而得到抛物线解析式，然后把一般式通过配方化为顶点式即可得到顶点的坐标； （2）若的周长最小，因为长度为定值，即最小，先求出点关于轴的对称点的坐标，利用待定系数法求函数解析式直线的解析式，然后令求解即可． 【详解】（1）解：把代入， 得， 解得， ∴抛物线解析式为， ∵， ∴顶点的坐标为； （2）解：令，则， 点的坐标为， ∴长度为定值， ∴若的周长最小，即最小， 作点关于轴的对称点的坐标为， 连接与轴的交点即为所求的的值最小时的点， 设直线的解析式为，代入和 则， 解得， 直线的解析式为， 令，则， 解得， ， 则．    3．（2025九年级上·上海松江·专题练习）如图，以为顶点的抛物线交x轴于、两点，交y轴于点． (1)求点，，，的坐标； (2)在抛物线的对称轴上找一点，使的值最小，求点的坐标； (3)请你猜想的形状，并说明理由． 【答案】(1)点的坐标为，点的坐标为，坐标为，点的坐标为 (2) (3)是直角三角形．理由见解析 【分析】本题是二次函数综合题，考查用待定系数法求函数的解析式、轴对称求最短路线问题、勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是要注意数形结合的应用． （1）令可得点，坐标，令可得点坐标，将抛物线化为顶点式，可得的坐标； （2）点、点关于对称轴对称，连接交对称轴直线于点，求出点坐标即可； （3）求出线段、、的长，利用勾股定理的逆定理即可判断的形状． 【详解】（1）解：令，则， 解得：或， 点的坐标为，点的坐标为， 令，则， 点坐标为． ， 顶点的坐标为； （2）解：抛物线的解析式为：， 其对称轴为直线， 过作轴，连接、，如图所示， ，， 设直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为， 当时，， ； （3）解：是直角三角形．理由如下： 点的坐标为，点的坐标为，顶点的坐标为， ， ， ， ， ， 是直角三角形． 【拓展训练二 二次函数与一次函数的综合】 1．（25-26九年级上·上海杨浦·阶段练习）已知函数的图象与函数的图象在同一个平面直角坐标系中．解答下列问题： (1)当时，求函数表达式； (2)求证：函数的顶点在函数图象上； (3)小慧说函数的图象与函数的图象一定有两个交点，而且这两个交点间的距离为定值．请说明这种说法是正确的，并求出这个定值． 【答案】(1)当时，函数表达式为；   (2)证明过程见解析； (3)小慧的说法是正确的，这个定值为． 【分析】（1）把代入，即可得函数表达式； （2）把写成顶点式，可得顶点坐标，把顶点横坐标代入，得等于顶点纵坐标，即可证得结论； （3）与相交于点、，过点作轴的平行线，过点作轴的平行线，两线相交于点，长是点、的横坐标之差的绝对值，长是点、的纵坐标之差的绝对值，根据一元二次方程的根与系数的关系，可得，，根据勾股定理可得，的长为常数，即可说明小慧的说法是正确的，长即为两个交点之间的距离． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，， ∴当时，函数表达式为．    （2）证明：设， ∴的顶点坐标为，   把代入得，， ∴的顶点在直线上． （3）如图所示，与相交于点，，过点作轴的平行线，过点作轴的平行线，两线相交于点． 显然，长是点，的横坐标之差的绝对值，长是点，的纵坐标之差的绝对值． ∴当时，， 整理得， 则, ， ， ∴． 因此，小慧的说法是正确的，这个定值为． 【点睛】本题考查求二次函数的解析式，一元二次方程的根与系数的关系，勾股定理，二次函数的顶点坐标，直线上的点的坐标特征，一次函数与二次函数的综合． 2．（2025·上海嘉定·模拟预测）如图，抛物线与轴负半轴交于点，与轴交于点，顶点的横坐标为． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，将直线沿轴向上平移个单位长度，当它与抛物线有交点时，求的取值范围； (3)如图2，抛物线的对称轴交直线于点，交轴于点，连接．抛物线上是否存在点（不与点重合），使得．若存在，直接写出点的横坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在点P，横坐标为,， 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质、直线与抛物线的位置关系、三角形面积的计算以及面积相等的点的存在性问题． （1）利用顶点横坐标为和公式求出参数进而得到抛物线表达式； （2）先求点A和B的坐标，确定直线方程；将直线向上平移m个单位后与抛物线联立，利用判别式求m的范围； （3）先求对称轴与直线的交点D及顶点计算；设点P坐标，利用面积公式列方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）∵抛物线顶点横坐标为， ∴由顶点公式，其中即 ∴ ∴抛物线表达式为 ． （2）当时，即 解得或（舍去）， 故． 当时，故． 设直线的方程为 将点与点代入得 ∴直线的方程为． 向上平移m个单位后，直线方程为． 与抛物线联立： 整理得： 抛物线与直线有交点时，， 解得，又 ， ∴m 的取值范围为． （3）抛物线对称轴为． 直线当时，故． 顶点当故． 点． 设在抛物线上，． 如图， 情况1：过点C作的平行线，与抛物线交于点P，此时， 因，且，故可设直线的解析式为，将点代入求得，即的解析式为， 联立抛物线方程， 解得：或， ∴点P坐标为. 情况2：过点E作的平行线，交抛物线于点与，因， ∴直线向下平移到直线的距离等于直线向下平移到直线的距离， 当过点时，代入 ∴解析式为， 联立， 整理得：， 解得：， 即点的横坐标是，点的横坐标是. 综上所述，存在点横坐标为. 3．（24-25九年级上·上海奉贤·阶段练习）已知二次函数、的图像如图所示，过点作直线l与这两个函数图像交于A、B、C、D四点（点A、B、C、D依次从左往右） (1)若直线轴，则__________（填“或” ） (2)设直线l的函数表达式为，A、B、C、D四点的横坐标分别为，记，． ①若，请你判断s、t中哪一个是黄金分割数，并说明理由； ②若，求的值． 【答案】(1)； (2)①是黄金分割数，理由见解析；②． 【分析】本题考查了一次函数与二次函数综合，两点间的距离公式等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）设直线为，求得，，，，再求出的值，即可得出结论； （2）①先求出，，，，当时，则，，，，求得，，即可得出答案； ②当时，即，得到，再求出，，即可求解． 【详解】（1）解：∵直线轴， ∴设直线为， 联立得：， 解得：， ∴，， 联立得：， 解得：， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：； （2）解：联立得：， 解得：， ∴， ∴， 联立得：， 解得：， ∴，， ∴， ①当时，则，，，， ∴，， ∵黄金分割数为， ∴是黄金分割数； ②当时，即， ∵，， ∴， ∴， ， ∴． 【拓展训练三 二次函数图象与性质的综合】 1．（24-25九年级上·上海长宁·阶段练习）已知函数 (1)点P（2，2）在此函数的图象上． ①求n的值． ②求此函数的图象与y轴的交点． (2)当n = 1时，此函数的最大值为 ． 【答案】(1)①n = 2；②（0，1） (2)1 【分析】（1）①根据点P的横坐标比1大，将点P代入即可求得n的值． ②根据当图象与y轴有交点时，x值为0；将x = 0代入求出y值，即可得出交点坐标． （2）当n = 1分别代入两个函数表达式中，求出各自表达式的最大值，最后两者取最大值即可． 【详解】（1）①解：∵在点P（2，2）中，x ≥ 1 ∴将点P（2，2）代入函数 中得 解得 ②解：求此函数的图象与y轴的交点，即求当时，函数图象与y轴的交点． ∵当 时，函数表达式为 ∴当， ∴此函数的图象与y轴的交点为(0，1)． （2）解：当n = 1时，函数表达式为 当 时，将函数表达式 转为顶点式为． ∴函数对称轴为 ，在右侧，函数图象随x的增大而减小． ∴当x = 1时，函数有最大值，最大值为 ，解得． ∴当 时，函数有最大值1． 当 时，将函数表达式 转为顶点式为． ∴函数对称轴为． ∴当，函数有最大值，最大值为 ，解得． ∴当n = 1时，此函数的最大值为1． 【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质，根据x值的取值判断函数表达式和用顶点式求函数最大值是解本题的关键． 2．（25-26九年级上·上海普陀·期中）如图，二次函数的图象经过，，三点． (1)观察图象，直接写出：当x满足 时，随x的增大而减小． (2)求抛物线的解析式； (3)观察图象，直接写出：当时，y的取值范围 ． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，待定系数法求函数解析式，熟练掌握二次函数的图象和性质，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键： （1）直接观察图象即可得出结果； （2）待定系数法求出函数解析式即可； （3）图象法求出的取值范围即可． 【详解】（1）解：由图象可知，抛物线的对称轴为直线， 当时，随x的增大而减小； 故答案为：； （2）设抛物线的解析式为， 把，，代入，得 ，解得， ∴； （3）∵， ∴当时，； 由图象可知：当时，． 3．（2025九年级上·上海长宁·专题练习）阅读下面的材料： 如果函数满足：对于自变量的取值范围内的任意，． 例题：证明函数是增函数． 证明：设 则， ∵， ∴，， ∴，即，， ∴函数是增函数． 根据以上材料，解答下面的问题： 已知函数，，． (1)计算： ， ； (2)猜想：函数是 函数（填“增”或“减”）；并仿照例题证明你的猜想． 【答案】(1)，； (2)减，见解析． 【分析】本题主要考查了函数值的计算以及函数单调性的证明，熟练掌握函数单调性的定义是解题的关键． （）将给定的自变量值代入函数表达式，按照函数运算规则计算函数值． （）先通过计算几个函数值进行猜想，再仿照例题，利用作差法，结合自变量的取值范围判断差的正负，从而证明函数的单调性． 【详解】（1）解： ， ， 故答案为：，； （2）解：函数是减函数，理由如下： 设，则 ， ∵， ∴，， ∴， ∴，即， ∴ ∴函数是减函数． 1．（24-25九年级上·上海虹口·期中）由二次函数，可知（    ） A．图象的开口向下 B．图象的对称轴为直线 C．其最小值为1 D．当时，y随x的增大而增大 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．根据二次函数的解析式，分别判断其开口方向、对称轴、最值和增减性即可得． 【详解】解：在二次函数中，， ∴这个二次函数图象的开口向上，选项A错误； 对称轴为直线，选项B错误； ∴当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大，选项D错误； ∴当时，取得最小值，最小值为1，选项C正确； 故选：C． 2．（25-26九年级上·上海金山·期中）抛物线具有相同的（    ） A．形状大小 B．开口方向 C．对称轴 D．顶点坐标 【答案】C 【分析】该题主要考查了二次函数的性质．通过分析三个抛物线解析式，比较其开口方向、形状大小、对称轴和顶点坐标的异同点，即可得出答案． 【详解】解：因为抛物线、、均无一次项（即）， 所以对称轴均为（y轴），它们具有相同的对称轴； 而值分别为4、4、，所以形状大小不同； a 的符号分别为正、负、正，所以开口方向不同； 顶点坐标分别为，所以顶点坐标也不同． 故选：C． 3．（24-25九年级上·上海嘉定·期中）二次函数的自变量与函数的部分对应值如表： … … … … 给出下面三个结论：①；②；③关于x的方程的两个根分别为，．上述结论中，所有正确结论的序号是（） A．② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质．根据表格数据，当时，可知是方程的一个根；当时，且当时，由对称性可得对称轴为，从而另一个根为；由时代入解析式可得；由时代入解析式可得． 【详解】解：当时，， 是方程的一个根； 当时，，当时，， 点和点关于对称轴对称， 对称轴为； 对称轴为，且是根， 另一个根为，故结论③正确； 设， 当时，， ，故结论①错误； 当时，， ， ，故结论②正确； ∴正确结论为②③． 故选：B． 4．（2025·上海松江·模拟预测）如图，在中，，动点P从点A开始沿向点B以的速度移动，动点Q从点B开始沿向点C以的速度移动，若P，Q两点分别从A，B两点同时出发，P点到达B点运动停止，则的面积S与出发时间t的函数关系图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了动点问题的函数图象，正确得出函数关系式是解题关键．根据题意表示出的面积S与t的关系式，进而得出答案． 【详解】解：由题意可得， ∴， ∵， ∴， ∴的面积S随出发时间t的函数关系图象大致是二次函数图象，且开口向下． 故选：C． 5．（25-26九年级上·上海长宁·期中）二次函数的图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表： x ．．． 0 1 2 ．．． y ．．． 0 4 6 6 4 ．．． 给出下面四个结论： ①抛物线开口向上； ②抛物线与y轴的交点坐标是； ③抛物线的对称轴是直线； ④关于x的一元二次方程的根是和； 其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，通过表格数据确定二次函数的对称轴、开口方向、与y轴交点及方程根，逐一判断各结论． 【详解】解：∵当和时，， ∴ 抛物线的对称轴为 ，故③正确； ∵对称轴为，根据表格可知时为最大值，随增大，减小（如时 ，时）， ∴ 抛物线开口向下，故①错误； ∵ 当 时，， ∴ 抛物线与 轴交点为 ，故②正确； ∵ 当 时，，即 是方程 的根， 又∵ 对称轴为 ， ∴ 另一根为 ，故④正确； 综上，正确结论为②③④，共3个． 故选C 6．（25-26九年级上·上海宝山·阶段练习）已知点在抛物线上，则 ．（填“”“”“”） 【答案】 【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，熟知图象上点的坐标适合解析式是解题的关键．将点A和点B的横坐标分别代入抛物线解析式，计算对应的函数值，并比较大小． 【详解】解：对于点，代入，得 ， 对于点，代入，得 ， ∵， ∴． 故答案为：． 7．（25-26九年级上·上海松江·阶段练习）两位同学分别说出了二次函数的一个性质，甲说：“抛物线的对称轴是直线”；乙说：“抛物线经过点”．请写出一个符合条件的二次函数表达式为 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质，抛物线的对称轴是直线，再结合抛物线经过点写出符合条件的二次函数表达式即可． 【详解】解：符合条件的二次函数表达式可以为（答案不唯一）， 故答案为：（答案不唯一）． 8．（24-25九年级上·上海长宁·阶段练习）若点、都在二次函数的图象上，则 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的对称轴，开口方向，熟练掌握该性质并数形结合是解题的关键．先求得其对称轴以及开口方向，可知，距离对称轴越远，其值越小，从而得出结论． 【详解】解：， 对称轴为直线，开口向下， 点、都在二次函数的图象上， ，，， ， 故答案为：． 9．（25-26九年级上·上海杨浦·期中）如图，已知二次函数 的图象如图所示，则这个二次函数的关系式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，抛物线与轴的交点问题，以及由对称轴求对称点，熟练掌握待定系数法求函数解析式的方法是解题的关键． 先根据对称轴求出抛物线与轴另一个交点坐标，再根据待定系数法求解函数解析式即可． 【详解】解：由图象可得对称轴为直线，抛物线与轴一个交点为， ∴抛物线与轴另一个交点为， 将点，分别代入， 则， 解得， ∴这个二次函数的关系式为， 故答案为：． 10．（24-25九年级上·上海金山·期中）函数的图象如图所示，在下列结论中：①该函数自变量的取值范围是；② 该函数有最小值；③方程有三个根；④如果和是该函数图象上的两个点，当时一定有．所有正确结论的序号是 ．    【答案】①③/③① 【分析】根据函数解析式可知中，则可判断①，根据函数图像不存在最小值，进而判断②，根据与存在3个交点可判断③当时，随的增大而减小，进而即可判断④ 【详解】解：则，，即函数图象与轴无交点， 该函数自变量的取值范围是； 故①正确； 根据函数图象可知，该函数图像不存在最小值， 故②不正确； 如图与存在3个交点，则方程有三个根；    故③正确 当时，随的增大而减小，如果和是该函数图象上的两个点，当时一定有． 故④不正确 故正确的有①③ 故答案为：①③ 【点睛】本题考查了函数的图象与性质，类比反比例函数和二次函数的图象与性质是解题的关键． 11．（24-25九年级上·上海奉贤·阶段练习）已知函数． (1)求抛物线的顶点坐标和对称轴； (2)x在什么范围内，函数y随x的增大而增大？ 【答案】(1)顶点坐标为，对称轴为直线 (2) 【分析】本题考查二次函数的性质，解题的关键是记住抛物线顶点式的特征． （1）根据二次函数的性质即可解决问题； （2），对称轴的左侧函数值y随x的增大而增大，写出相应的自变量的取值范围即可． 【详解】（1）解：∵， ∴抛物线顶点坐标为，对称轴为直线； （2）解：∵， ∴抛物线开口向下， ∴在对称轴左侧，y随x的增大而增大， ∴当时，y随x的增大而增大． 12．（25-26九年级上·上海宝山·阶段练习）已知二次函数． (1)在下列坐标系中画出它的图象； (2)并指出它的图象的开口方向、顶点坐标、对称轴． 【答案】(1)见解析 (2)抛物线的开口向上，顶点坐标是，对称轴是直线 【分析】此题考查的是二次函数的性质、抛物线与轴的交点等知识，掌握二次函数的性质是解决此题的关键． （1）利用描点法画出函数图象； （2）利用配方法将函数解析式化为顶点式，由的符号及配方结果直接确定抛物线的开口方向、顶点坐标与对称轴． 【详解】（1）解：作图如下： ； （2）二次函数的解析式为， 抛物线的开口向上，顶点坐标是，对称轴是直线． 13．（24-25九年级上·上海崇明·期中）已知二次函数． (1)二次函数图象的顶点坐标为_________； (2)在平面直角坐标系中，画出二次函数的图象； (3)结合函数图象，当时，y的取值范围是_________． 【答案】(1) (2)见详解 (3) 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，画出二次函数的图象，掌握相关知识是是解答此题的关键． （1）抛物线变形为，可得顶点坐标； （3）计算出函数图象上的点坐标，描点连线即可； （4）因为抛物线开口向上，所以当时抛物线有最小值，再求、时的函数值结合函数图象可求的范围． 【详解】（1）解：， ∴顶点坐标为， 故答案为：； （2）解：函数图象过，描点连线即可； （3）解：由题意，当时抛物线有最小值； 当时，； 当时，， 由图象可知，当时，． 故答案为：． 14．（25-26九年级上·上海杨浦·阶段练习）某二次函数图象上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如表： x 0 1 2 3 4 y m 0 1 0 (1)求此二次函数的解析式； (2)表格中的 ； (3)当，则二次函数y的最大值为 ，最小值为 ． 【答案】(1) (2) (3)1， 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，待定系数法求二次函数的解析式，掌握待定系数法求二次函数的解析式及二次函数的对称性是解题的关键； （1）根据对称性求出对称轴，进而确定顶点坐标，设顶点式，代入其中一个点，即可得解． （2）根据对称性即可得解； （3）根据抛物线开口向下时，离对称轴越远，函数值越小求解即可． 【详解】（1）解：观察表格可知，是对称点， 抛物线的对称轴是直线， 由表格可知，顶点坐标为， 设抛物线解析式为， 把代入，得， 解得， 这个二次函数的表达式为． （2）解：抛物线的对称轴是直线， 是对称点， ， 故答案为：； （3）解：， 抛物线开口向下， 抛物线的对称轴是直线，， 当时，y有最大值，y最大， ， ， 当时，y有最小值，y最小， 故答案为1，． 15．（25-26九年级上·上海松江·期中）如图，已知抛物线经过点．    (1)求的值，并求出此抛物线的顶点坐标； (2)当时，直接写出的取值范围； (3)当时，请根据图像直接写出的取值范围． 【答案】(1)的值为，此抛物线的顶点坐标为 (2) (3) 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的图像与性质等知识， （1）将点代入抛物线并求解，即可确定的值，进而可得该二次函数解析并将其转化为顶点式，即可确定此抛物线的顶点坐标； （2）首先确定该函数图像开口向下，结合顶点坐标可得当时，可有取最大值，最大值为4，然后分别计算和时的值，即可获得答案； （3）结合图像确定的取值范围即可． 【详解】（1）解：将点代入抛物线， 可得， 解得， ∴该抛物线解析式为， ∵， ∴此抛物线的顶点坐标为； （2）由（1）可知，该抛物线的解析式为，其顶点坐标为， ∵， ∴该抛物线开口向下， ∴当时，取最大值，最大值为4， 当时，， 当时，， ∴当时，的取值范围为； （3）当时，结合图像可知，的取值范围为． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 二次函数的图像重难点题型专训 （4个知识点+10大题型+3大拓展训练+自我检测） 题型一 y=ax2的图象与性质 题型二 y=a(x-h)2+k的图象与性质 题型三 y=ax2+bx+c的图象与性质 题型四 二次函数图象与各系数符号 题型五 一次函数、反比例函数、二次函数图象综合判断 题型六 y=ax2+bx+c的最值 题型七 已知抛物线上对称的两点求对称轴 题型八 根据二次函数的对称性求函数值 题型九 待定系数法求二次函数解析式 题型十 二次函数图象的平移 拓展训练一 利用二次函数对称性求最短路径 拓展训练二 二次函数与一次函数的综合 拓展训练三 二次函数图象与性质的综合 知识点一： 二次函数的图像与性质 二次函数y=ax2的图象的性质： 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 轴 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值0． 向下 轴 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值0． 的性质： 上加下减 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 轴 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值． 向下 轴 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值． 的性质： 左加右减 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 x=h 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值． 向下 x=h 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值． 的性质：左加右减，上加下减 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 x=h 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值． 向下 x=h 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值． 一般式：（，，为常数，）； 函数 二次函数（a、b、c为常数，a≠0） 图象 开口方向 向上 向下 对称轴 直线 直线 顶点坐标 增减性 在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而增大．简记：左减右增 在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而减小．简记：左增右减 最大(小)值 抛物线有最低点，当时，y有最小值， 抛物线有最高点，当时，y有最大值， 【即时训练】 1．（25-26九年级上·上海静安·期中）二次函数的图象一定经过的点是（　　） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·上海松江·期中）二次函数的图象过点和，则 (填“>”或“<”)． 知识点二：二次函数的图象与a，b，c的关系 学生对二次函数中字母系数a、b、c及其关系式的符号判断常有些不知所措，这里介绍几个口诀来帮助同学们解惑． 1．基础四看 “基础四看”是指看开口，看对称轴，看与y轴的交点位置，看与x轴的交点个数．“四看”是对二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象最初步的认识，而且这些判断都可以通过图象直接得到，同时还可以在此基础上进行一些简单的组合应用． 2．组合二看 (1)三全看点 在a、b、c间的加减组合式中，最常见的如“a＋b＋c"，“a－b＋c”，“4a＋2b＋c”，“4a－2b＋c”等类型的式子，这类式子a、b、c三个字母都在，并且c的系数通常为1，这时只要取x为b前的系数代入二次函数y＝ax2＋bx＋c就可以得到所需的形式，从而由其对应的y的值时进行判断即可． (2)有缺看轴 当a、b、c三个字母只出现两个间的组合时，这时对同学们来讲难度是较大的，如何解决呢？其实我们只要想一想为什么会少一个字母，这个问题就可以较好的解决．少一个字母的原因就是因为有对称轴为我们提供了a、b之间的转换关系，如果少的是字母c，则直接用对称轴提供的信息即可解决；如果少的是字母a或b，则可利用对称轴提供的a、b间转换信息，把a（或b）用b（或a）代换即可． 3．取值计算 当解题感到无从下手时，可以尝试取值法，只要根据函数图象的特点及所给出的数据（或范围），取相应点坐标代入函数的解析式中，求出其字母系数，即可进行相关判断． 二次函数的图象与系数之间的关系，解题的关键是弄清楚图象的开口方向、对称轴的位置、与坐标轴的交点及其图象中特殊点的位置，确定出与0的大小关系及含有的代数式的值的大小关系. (1)决定开口方向:当时抛物线开口向上;当时抛物线开口向下. (2)共同决定抛物线的对称轴位置:当同号时，对称轴在轴左侧;当异号时，对称轴在轴右侧(可以简称为“左同右异”);当时，对称轴为轴. (3)决定与轴交点的纵坐标:当时，图象与轴交于正半轴;当时，图象过原点;当时，图象与轴交于负半轴. (4) 的值决定了抛物线与轴交点的个数:当时，抛物线与轴有两个交点;当时，抛物线与轴有一个交点;当时，抛物线与轴没有交点. (5) 的符号由时，的值确定:若，则;若，则. (6) 的符号由时，的值确定:若，则;若，则. 【即时训练】 1．（24-25九年级上·上海静安·期中）若一个二次函数y＝ax2＋bx＋c（a＞0）的图象经过五个点A（﹣1，n）、B（3，n）、C（2，y1）、D（﹣1，y2）和E（1，y3），则下列关系正确的是（    ） A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y1＞y3 C．y1＜y3＜y2 D．y3＞y1＞y2 2．（24-25九年级上·上海长宁·阶段练习）已知点，，都在函数的图象上，则，，的大关系是 ．（用“<”连接） 知识点三：二次函数图象的平移 由二次函数的性质可知，抛物线()的图象是由抛物线()的图象平移得到的.在平移时，不变(图象的形状、大小不变)，只是顶点坐标中的或发生变化(图象的位置发生变化)。平移规律是“左加右减，上加下减”，左、右沿轴平移，上、下沿轴平移，即 . 因此，我们在解决抛物线平移的有关问题时，首先需要化抛物线的解析式为顶点式，找出顶点坐标，再根据上面的平移规律，解决与平移有关的问题， 注意：(1)a 的绝对值越大，抛物线的开口越小. (2)理解并掌握平移的过程，由，的图象与性质及上下平移与左右平移的规律：将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标；保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下： 平移规律：概括成八个字“左加右减，上加下减”． 【即时训练】 1．（24-25九年级上·上海杨浦·期中）“如果二次函数的图像与轴有两个交点，那么一元二次方程有两个不相等的实数根．”请根据这句话的理解，解决以下问题；若、是关于的方程的两根，且，则，，，的大小关关系是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·上海松江·期中）将抛物线向左平移个单位长度，所得抛物线的解析式为 ． 知识点四：待定系数求解析式 用待定系数法求抛物线的解析式，要根据具体已知条件灵活选择解析式的三种表达形式: (1)已知三点坐标，常设抛物线的解析式为一般式; (2)已知顶点(或最值)，常设抛物线的解析式为顶点式; (3)已知抛物线与轴的两个交点坐标为，常设抛物线的解析式为交点式. 二次函数解析式的形式 一般式： 顶点式： 交点式 顶点在原点： 过原点： 顶点在y轴： 求二次函数（a≠0）的最值的方法 配方法：任意一个二次函数的一般式都可以配方成的形式 若a＞0，当x=h时，函数有最小值，且 ②若a＜0，当x=h时，函数有最大值，且 公式法：因为抛物线的顶点坐标为（-），则 若a＞0，当x=时，函数有最小值，且 若a＜0，当x=h时，函数有最大值，且 【即时训练】 1．（24-25九年级上·上海松江·阶段练习）已知二次函数经过点，则m的值为（   ） A． B．0 C．1 D． 2．（25-26九年级上·上海金山·阶段练习）已知二次函数经过原点，则的值是 ． 【经典例题一 y=ax2的图象与性质】 【例1】（25-26九年级上·上海长宁·课后作业）如图，正方形的边长为4，以正方形中心为原点建立平面直角坐标系，作出函数与的图象，则阴影部分的面积是（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 1．（25-26九年级上·上海长宁·课后作业）已知抛物线过点和点，则下列关系式正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·上海杨浦·期中）写出一个以原点为顶点，开口向上的抛物线的解析式 ． 3．（2025九年级上·上海·专题练习）如图，已知点和，平移得到，顶点、分别与顶点对应.如果点都在抛物线上，那么点到点的距离是 . 4．（25-26九年级上·上海金山·阶段练习）已知抛物线经过点 (1)求此抛物线的函数解析式； (2)判断点是否在此抛物线上； (3)求出抛物线上纵坐标为的点的坐标． 【经典例题二 y=a(x-h)2+k的图象与性质】 【例2】（24-25九年级上·上海闵行·期中）二次函数的图象的对称轴是（   ） A．y轴 B．直线 C．直线 D．直线 1．（24-25九年级上·上海徐汇·期中）点；点，点都在二次函数的图象上，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·上海杨浦·阶段练习）抛物线的对称轴为直线 ． 3．（24-25九年级上·上海崇明·期中）已知抛物线上有两点和，则 ．（用“”，“”，“”填写） 4．（25-26九年级上·上海宝山·阶段练习）已知二次函数，请直接写出该二次函数图像对应的顶点坐标，对称轴以及最值． 顶点坐标：______，对称轴：______，当______时，y有最______值，最值为______． 【经典例题三 y=ax2+bx+c的图象与性质】 【例3】（2025九年级·上海长宁·专题练习）如图，直线为二次函数的图象的对称轴，则下列说法正确的是（   ） A．恒大于0 B．a，b同号 C．恒小于0 D．a，b异号 1．（25-26九年级上·上海徐汇·期中）二次函数的图象，在对称轴右侧的部分是（　　）． A．随着的增大而增大 B．随着的增大而减小 C．随着的增大先增大后减小 D．随着的增大先减小后增大 2．（25-26九年级上·上海嘉定·阶段练习）二次函数的图象的顶点坐标是 ． 3．（25-26九年级上·上海杨浦·期中）已知二次函数，自变量与函数值的部分对应值如表，则下列命题： … 0 1 2 … … 2 2 … ①若，则函数图象的开口向上： ②关于的方程的两个根是和4： ③点在一次函数的图象上： ④代数式的最大值为； 正确的是 ． 4．（24-25九年级上·上海青浦·期中）已知二次函数． (1)求二次函数图象的顶点坐标； (2)在平面直角坐标系中，画出二次函数的图象； (3)当时，结合函数图象，直接写出y的取值范围． 【经典例题四 二次函数图象与各系数符号】 【例4】（2025·上海崇明·模拟预测）抛物线与x轴交于点，对称轴为，与y轴的交点在，之间（不包含端点），则下列结论：①；②；③若点，在抛物线上，则；④关于x的方程必有一实根大于2．其中结论正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 1．（25-26九年级上·上海虹口·期中）二次函数 的部分图象如图所示，其对称轴为直线，且图象经过点，则下列结论正确的是（   ） A． B． C．若且，则 D．若，两点都在抛物线上，则 2．（2025九年级·上海长宁·专题练习）如图所示的是二次函数（，，是常数，）图象的一部分，它与轴的交点在点和之间，对称轴是直线．对于下列说法：①；②；③；④（为实数）；⑤当时，．其中正确的个数为 ． 3．（25-26九年级上·上海嘉定·阶段练习）如图，抛物线的对称轴为直线，与轴的负半轴交于点．下列结论：①；②；③；④（为任意实数）．其中正确的结论为 （填序号）． 4．（24-25九年级上·上海长宁·期中）已知抛物线，如图所示，直线是其对称轴． (1)确定b，的符号； (2)求证：； (3)当x取何值时，，当x取何值时． 【经典例题五 一次函数、反比例函数、二次函数图象综合判断】 【例5】（25-26九年级上·上海松江·期中）一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中大致的图象可能是（　　） A．B． C． D． 1．（2025·上海崇明·模拟预测）已知一次函数的图象如图所示，则反比例函数和二次函数在同一坐标系中的图象可能是（     ） A．B．C．D． 2．（24-25九年级上·上海静安·单元测试）抛物线与双曲线的交点的横坐标为，则不等式的解集为 ．    3．（24-25九年级上·上海长宁·课后作业）如图，已知函数与的图象交于点P，点P的纵坐标为1，则关于x的方程的解为x= ． 4．（24-25九年级上·上海松江·期中）如图，小方站在水平球台上打高尔夫球，球台到轴的距离为6米，与轴相交于点，弯道与球台交于点，且米，弯道末端垂直轴于，且米，从点处打出的高尔夫球沿抛物线运动，落在弯道的处，且到轴的距离为3米； (1)点的坐标为______，______；点的坐标为______，______； (2)红色球落在处后立即弹起，沿另外一条抛物线运动，若的最高点坐标为 ①求抛物线的解析式，并说明小球能否再次落在弯道上？ ②在轴上有托盘，若小球恰好能被托盘接住，则把托盘向上平移的距离为，求的取值范围（托盘的厚度忽略不计）. 【经典例题六 y=ax2+bx+c的最值】 【例6】（25-26九年级上·上海杨浦·阶段练习）对于二次函数，下列说法正确的是：（    ） A．图象的开口向上 B．图象的对称轴是直线 C．当时，随的增大而增大 D．函数的最大值是 1．（25-26九年级上·上海金山·阶段练习）将二次函数的图象在轴下方的部分以轴为对称轴翻折到轴上方，得到如图所示的新函数图象，下列对新函数的描述错误的是（   ） A．图象与轴的交点坐标是 B．当或时，函数取得最小值0 C．图象的对称轴为直线 D．当时，的值随值的增大而增大 2．（25-26九年级上·上海宝山·期中）已知二次函数，若当时，的取值范围是（为常数），则当时，的取值范围是 ． 3．（2025九年级·上海长宁·专题练习）已知点在抛物线上，则的最大值是 ． 4．（25-26九年级上·上海静安·期中）在平面直角坐标系中，抛物线（为常数）与轴交于点，其对称轴与轴交于点，抛物线的对称轴为直线． (1)求的值； (2)若点是抛物线上的点，且，求证：点，，三点共线； (3)点，是抛物线上的两点，其中，记抛物线在，之间的部分为图象（包含，两点），若图象上任意两点纵坐标之差的最大值是6，求的值． 【经典例题七 已知抛物线上对称的两点求对称轴】 【例7】（25-26九年级上·上海奉贤·阶段练习）今年暑假，我省某地天气异常干旱，为缓解旱情，该地气象部门进行了人工增雨作业．人工增雨通过发射防雹增雨火箭弹的方式进行，已知该炮弹的飞行高度（米）和飞行时间（秒）的关系满足二次函数．若此炮弹在第秒与第秒时的高度相等，则炮弹飞行高度最高的时间是（    ） A．第秒 B．第秒 C．第秒 D．第秒 1．（25-26九年级上·上海普陀·阶段练习）抛物线上部分点的坐标如表，下列说法错误的是（    ）                                                                                 A．抛物线开口向下 B．对称轴是直线 C．当时，随的增大而减小 D．当时， 2．（25-26九年级上·上海长宁·期中）已知点，是抛物线（b为常数）上不同的两点，若点也在抛物线上，则m的值为 ． 3．（25-26九年级上·上海静安·期中）二次函数的与的部分对应值如下表： … 0 1 2 3 4 … … 2 7 … 则关于的一元二次方程的解是 ． 4．（25-26九年级上·上海杨浦·阶段练习）已知抛物线经过点． (1)求该抛物线的对称轴； (2)点和分别在抛物线和上（，与原点都不重合） ①若，且，比较与的大小； ②当时，若是一个与无关的定值，求与的值． 【经典例题八 根据二次函数的对称性求函数值】 【例8】（24-25九年级上·上海宝山·期中）如图，二次函数的图象经过点，抛物线的对称轴是直线，则一元二次方程的解是（　　） A． B． C． D． 1．（2025·上海虹口·模拟预测）如图，直线从左至右交抛物线G，L于点M，N，P，Q，且两条抛物线的顶点A，B都在直线上，已知，，，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．（25-26九年级上·上海杨浦·期中）已知二次函数中的x和y满足下表： x ．．． 0 1 2 3 4 5 ．．． y ．．． m 4 ．．． 由表格数据可求m的值为 ． 3．（25-26九年级上·上海闵行·期中）已知二次函数中，函数y与自变量x的部分对应值如下表，若点，均在二次函数图象上，则与的数量关系为 ． x …                1 5 … y … 0 5 9 5      … 4．（24-25九年级上·上海嘉定·期中）已知二次函数中，函数y与自变量x的部分对应值如表： x … 0 1 2 … y … 0 … (1)当时，____________； (2)求二次函数的表达式； (3)若抛物线上两点的横坐标满足，则____________0（填“”“”或“”）． 【经典例题九 待定系数法求二次函数解析式】 【例9】（2025·上海金山·模拟预测）已知二次函数（，，为常数，且）的自变量与函数的几组对应值如下表： … … … … 则下列关于这个二次函数的结论正确的是（   ） A．图象的开口向上 B．图象经过第二、三、四象限 C．当时，的值随的值增大而增大 D．图象的对称轴是直线 1．（25-26九年级上·上海崇明·阶段练习）已知二次函数图象上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如表，那么关于它的图象，下列判断错误的是（    ） … 0 1 2 … … 1 2 1 … A．开口向下 B．当时， C．当时， D．当时， 2．（25-26九年级上·上海宝山·期中）已知抛物线经过点，那么该抛物线的对称轴是直线 ． 3．（2025九年级·上海长宁·专题练习）已知二次函数中，函数与自变量的部分对应值如下表： … 0 1 2 4 … … 10 1 1 25 … 这个二次函数的表达式为 ． 4．（25-26九年级上·上海杨浦·阶段练习）下表是二次函数自变量x与函数y的部分对应值： x … 0 3 … y … 0 3 0 … 根据上表的数值，解答下列问题： (1)求二次函数的表达式； (2)在上表中，求出被墨水涂黑那格的数据． 【经典例题十 二次函数图象的平移】 【例10】（25-26九年级上·上海闵行·阶段练习）将抛物线先向右平移a个单位长度，再向下平移4个单位长度，平移后的抛物线与抛物线重合，则a，b的值分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 1．（2025·上海宝山·模拟预测）如图，将抛物线平移到抛物线，点，分别在抛物线，上．下列结论：①无论取何值，都有；②若点平移后的对应点为，则；③当时，线段的长随着的增大而减小．其中正确的结论为（   ） A．①②③ B．①② C．①③ D．②③ 2．（25-26九年级上·上海金山·期中）将抛物线先向右平移2个单位长度再向下平移1个单位长度，得到的新抛物线的顶点为 ． 3．（25-26九年级上·上海虹口·阶段练习）已知二次函数 的图象向右平移个单位得到抛物线 的图象，则阴影部分的面积为 ． 4．（25-26九年级上·上海金山·期中）如图，正方形的顶点在抛物线上，顶点B、C在轴的正半轴上，且点的坐标为． (1)求点的坐标； (2)将抛物线先向左平移1个单位长度，再向下平移个单位长度，使得平移后的抛物线经过点，求的值． 【拓展训练一 利用二次函数对称性求最短路径】 1．（24-25九年级上·上海徐汇·期中）如图，抛物线过点，． (1)求抛物线的解析式和对称轴； (2)点是对称轴上一点，当达到最小值时，求点的坐标． 2．（25-26九年级上·上海宝山·阶段练习）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且．    (1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标； (2)点M是x轴上的一个动点，当的周长最小时，求点M的坐标． 3．（2025九年级上·上海松江·专题练习）如图，以为顶点的抛物线交x轴于、两点，交y轴于点． (1)求点，，，的坐标； (2)在抛物线的对称轴上找一点，使的值最小，求点的坐标； (3)请你猜想的形状，并说明理由． 【拓展训练二 二次函数与一次函数的综合】 1．（25-26九年级上·上海杨浦·阶段练习）已知函数的图象与函数的图象在同一个平面直角坐标系中．解答下列问题： (1)当时，求函数表达式； (2)求证：函数的顶点在函数图象上； (3)小慧说函数的图象与函数的图象一定有两个交点，而且这两个交点间的距离为定值．请说明这种说法是正确的，并求出这个定值． 2．（2025·上海嘉定·模拟预测）如图，抛物线与轴负半轴交于点，与轴交于点，顶点的横坐标为． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，将直线沿轴向上平移个单位长度，当它与抛物线有交点时，求的取值范围； (3)如图2，抛物线的对称轴交直线于点，交轴于点，连接．抛物线上是否存在点（不与点重合），使得．若存在，直接写出点的横坐标；若不存在，说明理由． 3．（24-25九年级上·上海奉贤·阶段练习）已知二次函数、的图像如图所示，过点作直线l与这两个函数图像交于A、B、C、D四点（点A、B、C、D依次从左往右） (1)若直线轴，则__________（填“或” ） (2)设直线l的函数表达式为，A、B、C、D四点的横坐标分别为，记，． ①若，请你判断s、t中哪一个是黄金分割数，并说明理由； ②若，求的值． 【拓展训练三 二次函数图象与性质的综合】 1．（24-25九年级上·上海长宁·阶段练习）已知函数 (1)点P（2，2）在此函数的图象上． ①求n的值． ②求此函数的图象与y轴的交点． (2)当n = 1时，此函数的最大值为 ． 2．（25-26九年级上·上海普陀·期中）如图，二次函数的图象经过，，三点． (1)观察图象，直接写出：当x满足 时，随x的增大而减小． (2)求抛物线的解析式； (3)观察图象，直接写出：当时，y的取值范围 ． 3．（2025九年级上·上海长宁·专题练习）阅读下面的材料： 如果函数满足：对于自变量的取值范围内的任意，． 例题：证明函数是增函数． 证明：设 则， ∵， ∴，， ∴，即，， ∴函数是增函数． 根据以上材料，解答下面的问题： 已知函数，，． (1)计算： ， ； (2)猜想：函数是 函数（填“增”或“减”）；并仿照例题证明你的猜想． 1．（24-25九年级上·上海虹口·期中）由二次函数，可知（    ） A．图象的开口向下 B．图象的对称轴为直线 C．其最小值为1 D．当时，y随x的增大而增大 2．（25-26九年级上·上海金山·期中）抛物线具有相同的（    ） A．形状大小 B．开口方向 C．对称轴 D．顶点坐标 3．（24-25九年级上·上海嘉定·期中）二次函数的自变量与函数的部分对应值如表： … … … … 给出下面三个结论：①；②；③关于x的方程的两个根分别为，．上述结论中，所有正确结论的序号是（） A．② B．②③ C．①③ D．①②③ 4．（2025·上海松江·模拟预测）如图，在中，，动点P从点A开始沿向点B以的速度移动，动点Q从点B开始沿向点C以的速度移动，若P，Q两点分别从A，B两点同时出发，P点到达B点运动停止，则的面积S与出发时间t的函数关系图象大致是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26九年级上·上海长宁·期中）二次函数的图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表： x ．．． 0 1 2 ．．． y ．．． 0 4 6 6 4 ．．． 给出下面四个结论： ①抛物线开口向上； ②抛物线与y轴的交点坐标是； ③抛物线的对称轴是直线； ④关于x的一元二次方程的根是和； 其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．（25-26九年级上·上海宝山·阶段练习）已知点在抛物线上，则 ．（填“”“”“”） 7．（25-26九年级上·上海松江·阶段练习）两位同学分别说出了二次函数的一个性质，甲说：“抛物线的对称轴是直线”；乙说：“抛物线经过点”．请写出一个符合条件的二次函数表达式为 ． 8．（24-25九年级上·上海长宁·阶段练习）若点、都在二次函数的图象上，则 9．（25-26九年级上·上海杨浦·期中）如图，已知二次函数 的图象如图所示，则这个二次函数的关系式为 ． 10．（24-25九年级上·上海金山·期中）函数的图象如图所示，在下列结论中：①该函数自变量的取值范围是；② 该函数有最小值；③方程有三个根；④如果和是该函数图象上的两个点，当时一定有．所有正确结论的序号是 ．    11．（24-25九年级上·上海奉贤·阶段练习）已知函数． (1)求抛物线的顶点坐标和对称轴； (2)x在什么范围内，函数y随x的增大而增大？ 12．（25-26九年级上·上海宝山·阶段练习）已知二次函数． (1)在下列坐标系中画出它的图象； (2)并指出它的图象的开口方向、顶点坐标、对称轴． 13．（24-25九年级上·上海崇明·期中）已知二次函数． (1)二次函数图象的顶点坐标为_________； (2)在平面直角坐标系中，画出二次函数的图象； (3)结合函数图象，当时，y的取值范围是_________． 14．（25-26九年级上·上海杨浦·阶段练习）某二次函数图象上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如表： x 0 1 2 3 4 y m 0 1 0 (1)求此二次函数的解析式； (2)表格中的 ； (3)当，则二次函数y的最大值为 ，最小值为 ． 15．（25-26九年级上·上海松江·期中）如图，已知抛物线经过点．    (1)求的值，并求出此抛物线的顶点坐标； (2)当时，直接写出的取值范围； (3)当时，请根据图像直接写出的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $