专题12 特殊三角形、平行四边形与二次函数的存在性问题7大题型（压轴题专项训练）数学沪教版五四制九年级上册

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题12特殊三角形、平行四边形与二次函数的存 在性问题 目录 典例详解 类型一、特殊角度的存在性问题 类型二、等腰三角形的存在性问题 类型三、直角三角形的存在性问题 类型四、全等三角形的存在性问题 类型五、相似三角形的存在性问题 类型六、平行四边形的存在性问题 类型七、菱形、矩形、正方形的存在性问题 压轴专练 典例详解 类型一、特殊角度的存在性问题 【例1)如图，已知抛物线'=x++C与”轴交于点，8（点4在点B的左侧，与'轴交于点C, O=OC=4 1/116 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 备用图 (1)求抛物线的函数表达式： (2)若点P为直线AC下方抛物线上一点，连接BP并交AC于点Q,若AC分△ABP的面积为3：5两部分， 请求出点P的坐标： (3)在y轴上是否存在一点N,使得∠BCO+∠BN0=45°，若存在，请求出点N.的坐标；若不存在，请 说明理由. 【答案】(0)少=r+3x-4 P(-1,-6)(-3,-4) (2) 或 o威引 【分析】 【详解】(1)解：OA=OC=4, ∴.A(-4,0),C(0,-4), 将点A、C代入y=r+br+c 16-4b+c=0 .c=-4 [b=3 解得c=-4, .y=x2+3x-4 (2)解：令+3x-4=0 解得x=-4或x=1, 2/116 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .B(1,0) 如图，过点'作PG1轴交于点6，过点P作 QQH⊥x 1轴交于点H, B .∴.PG∥QH 设直线AC的解析式为y=+b, -4k+b=0 1b=-4, [k=-1 解得b=-4, ∴y=-x-4, t,12+3t-4) 设 ,直线BP的解析式为 =kx+b' tk'+b'=t2+3t-4 K+b=0 [k'=t+4 解得b=-t-4, ∴y=(t+4)x-(t+4), y=-x-4 联立方程组y=(t+4)x-(t+4), t x= t+5 解得 -5t-20 y= t+5 3/116 品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :AC分△ABP的面积为3：5两部分， PO 3 PO 5 B05或B03: PG∥QH, PO GH BQHB· PO 3 GH 3 当B05时，HB5 t 53 可得15， t+5 解得t=-1或t=3, .P(-1,-6)或(-3，-4)： PO 5 GH 3 当B03时，HB5 t 可得， t+5 此时方程无解， 综上所述，P(-1,-6)或(-3，-4)： (3)解：存在一点N,使得∠BC0+∠BN0=45°，理由如下： 在y轴上取点F(0,-1), 当N在y轴负半轴时，如图， OB衣 B1,0)C0,-4 .B0=OF=1BF=√2CF=3 4/116 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠0FB=45°， .∠FBC+∠BCO=∠BFO=45°， ∠BC0+∠BNO=45°， ∠BNO=∠FBC, 又∠BFN=∠CFB, ',△BFN∽△CFB 器品即 √2FW .FN=2 ON=OF+FN= 3, 当N在y轴正半轴时，记为N',如图， B 则N'和N关于x轴对称， * （0- 0,- 综上，N的坐标为3或，3 【例2】如图，平面直角坐标系中有一抛物线y=2×+加，它过点14,0，B,点8在第四象限内，点B 的横坐标为1，点C为直线48下方的抛物线上一点，'轴上一点E(0,4) 5/116 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E D B (1)求抛物线的解析式和点B的坐标： (2)AB上有一点D,点D的纵坐标和点C的纵坐标相同，点C的坐标为多少时CD的长度最大： (3)在AE的下方的抛物线上是否存在一点P,使∠EAB=∠AEP,若存在，写出点P的横坐标：若不存在， 请说明理由， 【答案】)y=2r-8x:点B的坐标为 ,-6例 c517 (2)当(22)时，CD的最大值为4 17±V161 (3)存在，横坐标为 8 【分析】 【详解】(D解：“抛物线=2r+r过点 4,0) 代入解析式y=2x2+br 得0=32+46 解得b=-8, 六抛物线的解析式为'=2r-8 :点B的横坐标为1， 得少6 把x=1代入y=2r-8x, ∴点B的坐标为 （1,-6) 6/116 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AB y=kx+h (2)解：设直线的解析式为 ,由题意得： [4k+n=0 k+n=-6 [k=2 解得n=-8 “直线B y=2x-8 的解析式为 设C2h2-8n .点D的纵坐标为2h-8h, 把'=2次-8代入)=2x-8得=-4h+4 点D(-4h+42R2-8M 00-+4=46号 :点C为直线AB下方的抛物线上一动点， 9 从当二时，CD的最天值为4 (3)解：设点P的坐标为m,2m2-8m) E D .OA=OE ∴.∠EAO=∠AEO=45°. :∠EAB=∠AEP, .∴.∠OAB=∠OEP 7/116 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :点B的坐标为 16，点 A4,0) ∴.tan∠OAB=2, :tan∠0EP=4+2m2-8m m 2, 解方程得m= 17±√16 6 (0<m<4), 点的横坐标为m= 17±√161 P 8 【点睛】本题是二次函数的综合题，涉及待定系数法求二次函数解析式，线段最值问题，解直角三角形等 知识，会利用数形结合思想是解答的关键 【变式1-】如图，已知抛物线'=r+bc-4a≠0)与x轴交于点A和点 B2,0),与y轴交于点C,且 AO=2BO O A (1)求此抛物线的解析式； (2)若点Q是抛物线上的一动点，连 CO交MB于点P,过点P作 PE∥AC bC于点E, ①求△PCE面积的最大值及此时点P的坐标： ②是否存在Q,使∠PEC=∠APC？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案10y=方2+x-4 P(-1,0) (-8,20) (2)①面积的最大值为3，此时 ；②存在， 【分析】 8/116 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B(2,0),AO=2B0 【详解】(1)解： ∴.A0=4,A(-4,0), 将4-4,0小B2,0代入y=r2+r-4. 16a-4b-4=0 4a+2b-4=0 解这个方程组，得0=2b=L, 心此抛物线的解析式：方+4。 (2)①设Pm0) BP=2-m,AB=6,SAABC =12 ，则 :PE∥AC,.△BPE∽△BAC, 36 SmE-3(2-m) Sa=22-m)x4=4-2r, SaE=Sae-Se=(4-2m)-2-m=-m2-2m+8=-Om+1y+3 3 3m+ 33 :当m △PCE P(-1,0) 时， 面积的最大值为3，此时 Q(-8,20) ②存在， 理由如下： PE∥AC, ,∠EPC=∠ACP, ∠PEC=∠APC, .∠PAC=∠PCB, .△BAC△BCP, BC BP BA BC' B(2,0),A(-4,0),C(0,-4), 9/116 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .BC=2V5,AB=6, 2√5BP 62V5 ∴.CQ解析式为y=-3x-4, y=-3x-4 联立 y--x+x-4 解得=0 (不合题意，舍去)，5=8 ∴y=20, ∴.Q(-8,20)」 【变式1-2】如图，龙物线”-+c+3经过4-L0),B4,0两点，与y拍交于点C,D为直线BC上方 抛物线上一动点，且DE⊥BC于点E. E B 图1 图2 (1)求抛物线的解析式： (2)如图1，求线段DE长度的最大值； (3)如图2，设AB的中点为F,连接CD,CF,是否存在点D,使得△CDE中有一个角与∠CFO相等？若 存在，求点D的横坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)y= -3x2+9x+3 4 4 2 (2)5 7107 (3)存在，3或33 10/116 专题12 特殊三角形、平行四边形与二次函数的存在性问题 目录 典例详解 类型一、特殊角度的存在性问题 类型二、等腰三角形的存在性问题 类型三、直角三角形的存在性问题 类型四、全等三角形的存在性问题 类型五、相似三角形的存在性问题 类型六、平行四边形的存在性问题 类型七、菱形、矩形、正方形的存在性问题 压轴专练 类型一、特殊角度的存在性问题 【例1】如图，已知抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点，． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若点为直线下方抛物线上一点，连接并交于点，若分的面积为两部分，请求出点的坐标； (3)在轴上是否存在一点，使得，若存在，请求出点．的坐标；若不存在，请说明理由． 【例2】如图，平面直角坐标系中有一抛物线，它过点，，点在第四象限内，点的横坐标为1，点为直线下方的抛物线上一点，轴上一点． (1)求抛物线的解析式和点的坐标； (2)上有一点，点的纵坐标和点的纵坐标相同，点的坐标为多少时的长度最大； (3)在的下方的抛物线上是否存在一点，使，若存在，写出点的横坐标；若不存在，请说明理由． 【变式1-1】如图，已知抛物线与x轴交于点A和点，与y轴交于点C，且． (1)求此抛物线的解析式； (2)若点Q是抛物线上的一动点，连接交于点P，过点P作，交于点E， ①求面积的最大值及此时点P的坐标； ②是否存在Q，使？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式1-2】如图，抛物线经过，两点，与y轴交于点C，D为直线上方抛物线上一动点，且于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，求线段长度的最大值； (3)如图2，设的中点为F，连接，，是否存在点D，使得中有一个角与相等？若存在，求点D的横坐标；若不存在，请说明理由． 【变式1-3】如图，已知抛物线经过，两点，与x轴的另一个交点为C，顶点为D，连接． (1)求该抛物线的表达式； (2)点P为该抛物线上一动点（与点B，C不重合），设点P的横坐标为m． ①当点P在直线的下方运动时，求的面积的最大值； ②该抛物线上存在点P，使得，请直接写出所有点P的坐标． 类型二、等腰三角形的存在性问题 【例3】如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于、B两点，其顶点为，直线与x轴交于点D，与y轴交于点C，点P是x轴下方的抛物线上一动点，过P点作轴于点F，交直线于点E，设点P的横坐标为m． (1)请直接写出抛物线的解析式； (2)若，求m的值； (3)连接，是否存在点P，使是以为底边的等腰三角形？若存在，请直接写出m的值；若不存在，请说明理由． 【例4】如图，已知抛物线与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于C点，已知点A、B的坐标分别是、． (1)求该抛物线的解析式； (2)在x轴上是否存在一点P，使是以为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式2-1】如图①，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，抛物线与y轴交于点，与x轴正半轴交于点，设M是点C，D间抛物线上的一点（包括端点）．其横坐标为m． (1)求抛物线的解析式； (2)当m为何值时，面积S取得最大值？请说明理由； (3)如图②，连接，抛物线上是否存在点Q，使得是以为底的等腰三角形，如果存在，请求出点Q的坐标，不存在，请说明理由． 【变式2-2】如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其对称轴交x轴于点D．已知线段， 直线经过B，C两点． (1)求抛物线的表达式； (2)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使是等腰三角形？如果存在，直接写出所有满足条件的点P的坐标；如果不存在，请说明理由． 【变式2-3】如图，抛物线与轴的交点分别为和，与轴交于点，连接、，点是线段上，不与点、重合的一个动点，过点作轴，交抛物线于点，交于点，其对称轴与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)在点的运动过程中，能否使线段？若能，请求出点的坐标，若不能，请说明理由； (3)在抛物线的对称轴上是否存在点，使是等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 类型三、直角三角形的存在性问题 【例5】已知：如图一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，二次函数的图象与这个一次函数的图象交于B、C两点，与x轴交于D、E两点且D点坐标为． (1)直接写出B点坐标并求二次函数的解析式； (2)在x轴上是否存在点P，使得是以P为直角顶点的直角三角形？若存在，求出所有的点P，若不存在，请说明理由． 【例6】如图，抛物线交轴于两点，交轴于点． (1)求抛物线的函数解析式． (2)在抛物线的对称轴上是否存在点，使得是以为斜边的直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式3-1】在平面直角坐标系中，抛物线与 轴交于，两点，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)点是直线下方抛物线上的一动点，过点作轴于点，交直线于点，求线段 的最大值及此时点的坐标； (3)在抛物线的对称轴上是否存在点，使得以点，，为顶点的三角形是直角三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式3-2】如图，抛物线与直线相交于两点，抛物线与x轴的另一个交点是点C． (1)求抛物线的解析式． (2)点P是抛物线上的一个动点（不与重合），过点P作轴于点D，交直线于点E，连接，是否存在点P，使为直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；否则，请说明理由． 【变式3-3】已知：抛物线． (1)求证：抛物线与轴总有两个交点； (2)若抛物线与轴的交点为均为整数，且，求出的值． (3)在第（2）问的条件下，当时，抛物线上是否存在点，使得是直角三角形．若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 类型四、全等三角形的存在性问题 【例7】已知经过原点O的抛物线与x轴的另一个交点为A． (1)求点A的坐标及抛物线的对称轴； (2)点是的中点，点是轴正半轴上一点，在第一象限内的抛物线上是否存在点，使得与全等，且点与点为对应点，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【例8】如图所示，抛物线经过点，，，它的对称轴为直线． (1)求的面积； (2)求抛物线的解析式； (3)点是该抛物线上的一个动点，过点作直线的垂线，垂足为点，点是直线上的点，若以点，，为顶点的三角形与全等，求满足条件的点，点的坐标． 【变式4-1】如图，抛物线的顶点坐标为，与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)抛物线的对称轴为直线l，点P是抛物线上一点，过点P作l的垂线，垂足为D，E是l上的点，要使以P、D、E为顶点的三角形与全等，求满足条件的点P和点E的坐标． 【变式4-2】如图，在平面直角坐标系中，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，过A，C两点的抛物线与x轴交于另一点，抛物线对称轴为直线l． (1)求抛物线的解析式； (2)点M为直线下方抛物线上一点，当的面积最大时，求点M的坐标； (3)点P是抛物线上一点，过点P作l的垂线，垂足为D，E是l上一点． 要使得以P，D，E为顶点的三角形与全等，请直接写出点P的坐标． 【变式4-3】如图，平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，顶点为，对称轴l与x轴交于点C． (1)求该抛物线的表达式； (2)点M在抛物线上，过点M作对称轴l的垂线，垂足为点E，点F在l上，若以M、E、F为顶点的三角形与全等，请求出满足条件的所有点M的坐标． 类型五、相似三角形的存在性问题 【例9】如图，抛物线与x轴交于、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点，抛物线的顶点为M． (1)求抛物线的解析式，并写出M点的坐标； (2)若点P是线段上一个动点，连接，问是否存在点P，使得以点O、C、P为顶点的三角形与相似？若存在，直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由． 【例10】已知在平面直角坐标系中二次函数与轴交于点，，与轴交于点，且． (1)试求抛物线解析式及点，的坐标； (2)连接，若在轴上有一动点，在轴右侧，轴上方的抛物线上有一动点，连接，，试问是否存在符合题意的点，，使得以点，，为顶点的三角形与相似？若存在，请求出所有符合题意的点坐标，以及对应的点坐标；若不存在，请说明理由． 【变式5-1】如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，点为抛物线的顶点，直线交轴于点． (1)求该抛物线的表达式； (2)点是第三象限内抛物线上的一个动点，作轴交于点． ①求线段的最大值及此时点的坐标； ②是否存在点，使得以点为顶点的三角形与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式5-2】如图，已知抛物线与轴交于，的两点，与轴交于点，为顶点，点是轴上方的抛物线上的一个动点，轴于点，与交于点． (1)求该抛物线所对应的函数关系式及顶点的坐标； (2)是否存在点，使得以点，、为顶点的三角形与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式5-3】如图，直线与轴交于点，与轴交于点．把沿轴翻折，点A落到点，过点B的抛物线与直线交于点． (1)求直线和抛物线的解析式； (2)在第一象限内的抛物线上，是否存在一点M，作垂直于轴，垂足为点N，使得以M、O、N为顶点的三角形与相似？若存在，求出点M的坐标． 若不存在，请说明理由． 类型六、平行四边形的存在性问题 【例11】如图，直线交轴于点，交轴于点，抛物线的顶点为，且经过点． (1)求该抛物线对应的函数解析式． (2)若点在该抛物线上，求的值． (3)若点在抛物线上，求． (4)在对称轴上是否存在一点，使以，，，为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【例12】如图（1），直线与、轴分别交于点、点，经过、两点的抛物线与轴的另一个交点为，顶点为． (1)求该抛物线的解析式与点的坐标； (2)当时，在抛物线上求一点，使的面积有最大值； (3)连接，点在轴上，点在对称轴上，是否存在点，，使以、、、为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式6-1】已知抛物线的图象与x轴相交于点A和点，与y轴交于点C，连接，有一动点D在线段上运动，过点D作x轴的垂线，交抛物线于点E，交x轴于点，设点D的横坐标为m． （1）连接则的最大面积为 ； （2）当时，在平面内存在点M，使以为顶点的四边形为平行四边形，请写出点M的坐标 ． 【变式6-2】如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，两点． (1)求抛物线的解析式； (2)是直线下方抛物线上的一动点，连接，，当的面积最大时，求点的坐标； (3)是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式6-3】如图，抛物线交轴于，两点，交轴于点，且． (1)直接写出抛物线的解析式； (2)点在第二、四象限的抛物线上，在抛物线的对称轴上是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 类型七、菱形、矩形、正方形的存在性问题 【例13】已知抛物线与轴交于，两点（点在点的左边），与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)若将抛物线沿轴向右平移得到抛物线，平移后点的对应点为点，点是平面内任意一点，是否存在以、、、四个点为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【例14】如图，抛物线 与x轴交于两点，与y轴交于点C，对称轴为直线l． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是直线下方的抛物线上一个动点，求四边形面积的最大值及此时P点的坐标； (3)点F是直线l上一点，点G是平面内一点，是否存在以为边，以点B，C，F，G为顶点的菱形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式7-1】如图，抛物线的图象经过，两点，与轴交于点，是抛物线的顶点． (1)求抛物线的表达式和顶点的坐标； (2)将原抛物线进行平移，平移后的抛物线顶点为，在原抛物线的对称轴上，是否存在一点，使以，，，为顶点的四边形是矩形？若存在，求出点的坐标，并说明平移的方向和距离；若不存在，请说明理由． 【变式7-2】如图，已知二次函数是常数，的图象与x轴分别相交于点A、B（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C，对称轴为直线l．点C关于l的对称点为D，连接．点E为该函数图象上一点，平分． (1)①线段的长为_______． ②求点E的坐标；（①、②中的结论均用含m的代数式表示） (2)设M是该函数图象上一点，点N在l上．探索：是否存在点M．使得以A、E、M、N为顶点的四边形是矩形？如果存在，求出点M坐标；如果不存在，说明理由． 【变式7-3】如图，在平面直角坐标系中，将一个正方形放在第一象限斜靠在两坐标轴上，且点，的坐标分别为，，抛物线经过点． (1)求点的坐标； (2)求抛物线的表达式，并求出其顶点坐标； (3)在抛物线上是否存在点与点（点，除外）使四边形为正方形？若存在，请求出，的坐标；若不存在，请说明理由． 1．如图，已知二次函数的图象过点，． (1)求此二次函数的解析式； (2)若二次函数图象与x轴的另一个交点为B，在抛物线上存在一点P，使的面积为10，求点P的坐标． 2．如图，直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线 经过点B，C，且与x轴的另一个交点为A． (1)求抛物线的解析式． (2)点G是抛物线上的一点，且满足，求点G的坐标． (3)在抛物线的对称轴上是否存在点 Q，使得 是以为直角边的直角三角形？若存在，请求出点 Q的坐标；若不存在，请说明理由． 3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，，与轴交于点． (1)求抛物线解析式． (2)在直线下方抛物线上有一点，当的面积最大时，求点的坐标及面积的最大值． (3)将该抛物线向左平移4个单位，得到新抛物线，新抛物线与原抛物线的交点为，点是新抛物线对称轴上一点，在（2）的条件下，在新抛物线上是否存在点，使得以点为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 4．如图，抛物线与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，，，直线l是抛物线的对称轴，在直线l右侧的抛物线上有一动点D，连接． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若点D在x轴的下方，当的面积是时，求的面积； (3)在（2）的条件下，点M是x轴上一点，点N是抛物线上一动点，是否存在点N，使得以点B，D，M，N为顶点，以为一边的四边形是平行四边形，若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 5．【问题情境】如图，抛物线（、为常数，且）与轴交于点、（点在点的左侧），与轴交于点，点是抛物线上的点，连接． 【初步探究】 （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，当点在直线上方运动时，连接、、，求四边形面积的最大值，并写出此时点的坐标； 【延伸拓展】 （3）如图2，若点是轴上的动点，点的横坐标为3．试判断是否存在这样的点，使得以点、、为顶点的三角形是直角三角形，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 6．如图，抛物线经过，两点，与轴交于点，为第一象限抛物线上的动点，连接，，，，与相交于点． (1)求抛物线的解析式： (2)设的面积为，的面积为，当时，求点的坐标； (3)是否存在点，使，若存在，请求出点的坐标；若不存在，说明理由． (4)在抛物线对称轴上是否存在一点，使是以为斜边的直角三角形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 7．如图，已知顶点为的抛物线与x轴交于A，B两点，且． (1)求二次函数的解析式； (2)x轴上存在点P使得的面积为12，请求出点P坐标． (3)作直线，问抛物线上是否存在点M，使得，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 8．已知抛物线的图象经过原点和点，顶点为B，且顶点B的纵坐标为2． (1)求抛物线的对称轴； (2)求证：是以点B为直角顶点的等腰直角三角形； (3)设点P是抛物线上一点（P不与点O，A，B重合），点Q在x轴上．是否存在正三角形？若存在，请求出满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 9．如图，抛物线的顶点在轴正半轴上，且过点和点 (1)求抛物线的解析式； (2)判断的形状，并说明理由； (3)在抛物线上是否存在点（不与点重合）使的面积与的面积相等？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 10．如图．二次函数的图象交轴于点，，交轴于点，点的坐标为，对称轴是直线，点是轴上一动点，轴，交直线于点．交抛物线于点． (1)求这个二次函数的解析式； (2)若点在线段上运动（点与点，点不重合），求四边形面积的最大值．并求出此时点的坐标； (3)若点在轴上运动，则在轴上存在点，使以、、、为顶点的四边形是菱形．请直接写出所有满足条件的点的坐标． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $