专题06 二次函数章末易错必刷题型专训（63题21个考点）-2025-2026学年沪教版（五四制）九年级数学上册重难点专题提升精讲精练

专题06 二次函数章末易错必刷题型专训（63题21个考点） 【易错必刷一 二次函数的识别】 1．（24-25九年级上·上海杨浦·阶段练习）下列函数是二次函数的是（    ） A． B． C． D． 2．（2025九年级上·上海松江·专题练习）有下列函数：①；②；③；④．其中y是x的二次函数有 ．（填序号） 3．（25-26九年级上·上海金山·阶段练习）将下列二次函数化为一般形式，并分别指出它的二次项系数、一次项系数和常数项． (1)； (2)． 【易错必刷二 根据二次函数的定义求参数】 4．（24-25九年级上·上海杨浦·期中）若函数是关于x的二次函数，则（   ） A． B． C． D． 5．（25-26九年级上·上海闵行·阶段练习）已知是二次函数，且其图象开口向上，则 6．（25-26九年级上·上海宝山·阶段练习）已知函数（m为常数）是二次函数，求m的值． 【易错必刷三 y=ax²的图象和性质】 7．（25-26九年级上·上海长宁·单元测试）已知抛物线经过三点，则的大小关系是（　　） A． B． C． D． 8．（24-25九年级上·上海长宁·期中）写出一个当时，y随x的增大而减小的函数表达式 ． 9．（25-26九年级上·上海嘉定·阶段练习）已知抛物线经过点． (1)求a的值； (2)当时，求y的值． 【易错必刷四 y=ax²+k的图象和性质】 10．（2025·上海静安·模拟预测）点是抛物线上的点，且，则与大小关系为（   ） A． B． C． D．无法确定 11．（25-26九年级上·上海闵行·期中）点，在抛物线上，则，的大小关系是 ． 12．（24-25九年级上上海宝山林·阶段练习）已知抛物线与抛物线的形状相同，开口方向相反，且图象上离轴最近的点与轴的距离为3． (1)求的值； (2)写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标． 【易错必刷五 y=a（x-h）²的图象和性质】 13．（25-26九年级上·上海青浦·阶段练习）若抛物线的图象上的三个点，，，，则，，的大小关系为（ ） A． B． C． D． 14．（24-25九年级上·上海闵行·期中）二次函数的开口方向是 ． 15．（24-25九年级上·上海嘉定·阶段练习）已知二次函数的图象经过点，对称轴是直线． (1)求a，h的值； (2)x取什么值时，y随x的增大而减小？ 【易错必刷六 y=a（x-h）²+k的图象和性质】 16．（2025九年级·上海青浦·专题练习）由二次函数，可知（    ） A．图象的开口向下 B．图象的对称轴为直线 C．其最小值为1 D．当时，y随x的增大而增大 17．（25-26九年级上·上海杨浦·阶段练习）已知点，，都在二次函数的图象上，则，，的大小关系为 ．（用“”号连接） 18．（2025九年级·上海长宁·专题练习）手工课上，小明准备做一个形状是菱形的风筝．这个菱形的两条对角线长度之和恰好为60cm，菱形的面积S（单位：）随其中一条对角线的长度x（单位：cm）的变化而变化． （1）请直接写出S与x之间的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）． （2）当x是多少时，菱形风筝的面积S最大？最大面积是多少？ 解： (1)________． (2)________________________，且________0， 当________时，S有最大值，最大值为________． 故当x为________cm时，菱形风筝的面积最大，最大面积是________． 【易错必刷七 y=ax²+bx+c的图象与性质】 19．（25-26九年级上·上海奉贤·阶段练习）下列关于二次函数的说法，正确的是（   ） A．图象开口向下 B．对称轴在轴右侧 C．当时，随的增大而减小 D．最小值为 20．（25-26九年级上·上海杨浦·期中）已知二次函数中的x和y满足下表： x ．．． 0 1 2 3 4 5 ．．． y ．．． m 4 ．．． 由表格数据可求m的值为 ． 21．（25-26九年级上·上海静安·阶段练习）已知二次函数． (1)在所给的平面直角坐标系中，画出它的图象（不需要列表）； (2)求出抛物线的顶点坐标． 【易错必刷八 一次函数、二次函数图象综合判断】 22．（2025·上海·模拟预测）二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象大致是（ ） A． B． C． D． 23．（24-25九年级上·上海宝山·阶段练习）如图，抛物线与直线相交于点，，则关于x的方程的解为 ． 24．（24-25九年级上·上海长宁·期中）如图，抛物线和直线交于A，B两点． (1)求A，B两点的坐标； (2)根据图象，写出当x取何值时，． 【易错必刷九 反比例函数、二次函数图象综合判断】 25．（2025·上海长宁·模拟预测）已知点，，在同一函数图象上，则这个函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 26．（24-25九年级上·上海静安·单元测试）抛物线与双曲线的交点的横坐标为，则不等式的解集为 ．    27．（2025·上海宝山·模拟预测）阅读下面解题过程． 解一元二次不等式：． 解：设，解得：，，则抛物线与x轴的交点坐标为和．画出二次函数的大致图像（如图1）．由图像可知：当，或当时函数图像位于x轴上方，此时，即．所以一元二次不等式的解集为：或． 通过对上述解题过程的学习，按其解题的思路和方法解答下列问题： (1)上述解题过程中，除了运用了转化思想，还运用的数学思想是（    ）； A．换元思想    B．数形结合思想    C．整体思想 (2)如图2，直线：与直线：交于点，则关于x、y的方程组的解是______； (3)判断一元三次方程的实数根的个数，并说明理由． 【易错必刷十 根据二次函数的图象判断式子符号】 28．（24-25九年级上·上海松江·阶段练习）如图是关于x的二次函数的图象，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 29．（24-25九年级上·上海青浦·期中）如图是二次函数的图象，下列结论：①二次三项式的最大值为4；②；③；④；⑤使成立的x的取值范围是．其中正确的结论有： ．（填上序号即可） 30．（24-25九年级上·上海宝山·期中）已知抛物线，如图所示，直线是其对称轴． (1)确定b，的符号； (2)求证：； (3)当x取何值时，，当x取何值时． 【易错必刷十一 y=ax²+bx+c的最值】 31．（24-25九年级上·上海静安·阶段练习）如图是一个长、宽的矩形花园，现要将它的长缩短，宽增加，则修改后花园的最大面积为（   ） A． B． C． D． 32．（25-26九年级上·上海闵行·阶段练习）已知二次函数当自变量满足时，的取值范围是 ． 33．（25-26九年级上·上海杨浦·阶段练习）已知二次函数． (1)画出这个二次函数的图象； (2)根据表格图象可知，当时，y的取值范围是______． 【易错必刷十二 已知二次函数的函数值求自变量的值】 34．（24-25九年级上·上海金山·阶段练习）下列各点中，是二次函数图像上的点是（    ） A． B． C． D． 35．（24-25九年级上·上海杨浦·期中）已知二次函数，若点在该函数的图象上，则m的值为 ． 36．（25-26九年级上·上海普陀·阶段练习）已知二次函数图象经过点， (1)求二次函数的表达式； (2)当时，求y的值． 【易错必刷十三 求抛物线与x轴的交点坐标】 37．（24-25九年级上·上海宝山·阶段练习）抛物线的图象与坐标轴的交点的个数是（   ） A．无交点 B．1个 C．2个 D．3个 38．（25-26九年级上·上海静安·阶段练习）抛物线的部分图像如图所示，则关于的方程的解是 ． 39．（25-26九年级上·上海闵行·期中）如图，函数的图象与x轴交于点A，B（点A在点B的左边），与y轴交于点C． (1)已知一次函数的图象过点B，C，求这个一次函数的解析式； (2)当时，对于x的每一个值，函数（b为常数）的值小于函数的值，直接写出b的取值范围． 【易错必刷十四 求抛物线与y轴的交点坐标】 40．（24-25九年级上·上海杨浦·期中）二次函数的图象与轴的交点坐标是（　　） A． B． C． D． 41．（25-26九年级上·上海宝山·期中）二次函数 的图象如图所示，给出以下四个结论：（1）（2），（3），（4），其中正确的是 （填序号）．    42．（24-25九年级上·上海杨浦·期中）如图．已知抛物线，与y轴交于点C，与x轴交于点A，B，点A在点B左侧． (1)求点A、B、C的坐标； (2)求的面积． 【易错必刷十五 图象法确定一元二次方程的近似根】 43．（24-25九年级上·上海长宁·单元测试）已知二次函数（，，，为常数）的与的部分对应值如下表： 判断方程的一个解的取值范围是（  ） A． B． C． D． 44．（2025·上海杨浦·模拟预测）如图是抛物线的图象，结合图象，可知方程有 个实数根． 45．（24-25九年级上·上海宝山·期中）在平面直角坐标系中画出函数的图象；并在图象上描出以方程的两根为横坐标的点，标记为A，B． 【易错必刷十六 图象法解一元二次不等式】 46．（24-25九年级上·上海静安·期中）已知二次函数的部分图象如图所示，若，则的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 47．（24-25九年级上·上海松江·阶段练习）已知二次函数的图象如图所示，当时，的取值范围是 ．    48．（25-26九年级上·上海杨浦·阶段练习）如图为二次函数的图象，试观察图象回答下列问题： (1)写出方程的解为______，______； (2)当时，直接写出的取值范围为__________； (3)当时，直接写出的取值范围是__________． 【易错必刷十七 实际问题与二次函数应用--销售问题】 49．（2025九年级上·上海闵行·专题练习）某商场以每件40元的价格购进一种商品，试销中发现这种商品每天的销售量（件）与每件的销售价（元）满足关系：． (1)写出商场卖这种商品每天的销售利润（元）与每件销售价（元）之间的函数关系式． (2)求每件销售价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？ 50．（25-26九年级上·上海杨浦·阶段练习）贵阳贵安谋划推出“爽爽贵阳，繁花似锦”赏花主题活动，为了迎接本次活动，某商店以10元每个的价格购进一批以花为主题的团扇，经过一段时间的销售发现日销量（把）与单个售价（元）之间的函数关系如图． (1)根据图象，求出与的函数关系式； (2)销售单价为多少元时，每天获得的利润最大，最大利润是多少元？ 51．（24-25九年级上·上海松江·期中）学科实践 [驱动任务] 诚诚发现因为“母亲节”的到来，各个花店的鲜花礼品都进入了销售旺季，他所在的综合实践小组以探究“鲜花最佳销售方案”为主题开展了项目调查． [研究步骤] 数据收集：综合实践小组以某款每束进价为的鲜花礼品为研究对象展开调查，收集到附近五家花店近期销售的相关信息，并将数据按一定顺序整理在下表中： 售价x（元/束） 日销售量y（束） 数据分析：分析数据的变化规律，将每组对应值描在下图中，观察表格中数据的变化规律可知日销售量y是售价x的一次函数． [问题解决] (1)求日销售量y关于售价x的函数关系式； (2)根据以上信息，在销售该款鲜花礼品时， ①要想每天获得的利润，应该如何定价？ ②当售价为多少时，每天获得的利润最大？最大利润是多少？ 【易错必刷十八 实际问题与二次函数应用--增长率问题】 52．（24-25九年级·上海·阶段练习）某公司月份的营收为万元，设每个月营收的增长率相同，且为 ，月份的营收为万元，写出关于的函数解析式． 53．（24-25九年级上·上海长宁·课后作业）某商场第1年销售计算机5000台，如果每年的销售量比上一年增加相同的百分率x，写出第3年的销售量y关于每年增加的百分率x的函数解析式． 54．（24-25九年级上·上海宝山·阶段练习）某工厂的前年生产总值为10万元，去年比前年的年增长率为，预计今年比去年的年增长率为，设今年的总产值为万元． (1)求与的关系式； (2)当时，求今年的总产值为多少万元？ 【易错必刷十九 实际问题与二次函数应用--拱桥问题】 55．（24-25九年级上·上海静安·阶段练习）赵州桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，其中是图象上的点，当水面离桥拱顶的高度是时，求这时水面宽度． 56．（24-25九年级上·上海徐汇·阶段练习）蔬菜大棚是一种具有出色的保温性能的框架覆膜结构，它的出现使人们可以吃到反季节蔬菜．如图，某菜农搭建了一个横截面为抛物线的大棚，宽度为米，棚顶最高点距离地面高度为米．以所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)若借助横梁在大棚正中建一个米高的门（到地面的距离为米），求横梁的长度是多少米？（结果保留根号） 57．（2025·上海松江·模拟预测）“4.20芦山地震”发生后，各地积极展开抗震救援工作，一支救援车队经过如图1所示的一座拱桥，拱桥的轮廓是抛物线型，拱高6m，跨度20m，相邻两支柱间的距离均为5m，将抛物线放在所给的直角坐标系中（如图2所示），拱桥的拱顶在y轴上． (1)求拱桥所在抛物线的解析式； (2)求支柱的长度； (3)拱桥下地平面是双向行车道（正中间是一条宽2米的隔离带），其中的一条行车道能否并排行驶宽2m、高2.4m的三辆汽车（隔离带与内侧汽车的间隔、汽车间的间隔、外侧汽车与拱桥的间隔均为0.5m）？请说说你的理由． 【易错必刷二十 实际问题与二次函数应用--投球问题】 58．（25-26九年级上·上海宝山·阶段练习）对于一个竖直向上抛出的物体，在没有空气阻力的条件下，大致满足这样的关系式：，其中是物体距离地面的高度，是初速度，是抛出后所经历的时间．如果将一个小球从地面以的初速度竖直向上抛出，小球何时能达到10m高？ 59．（24-25九年级上·上海杨浦·期中）对于向上抛的物体，如果空气阻力忽略不计，有下面的关系式：（h是物体离起点的高度，是初速度，g是重力系数，取，t是抛出后经过的时间）．杂技演员抛球表演时，以的初速度把球向上抛出． (1)1.2秒时球离起点的高度是多少？ (2)几秒后球离起点的高度达到？ 60．（2025·上海宝山·模拟预测）某数学兴趣小组进行项目式学习成果的展示，他们利用“杠杆原理”制作出一种投石机，如图①，为检验投石机的性能，进行如下操作：将石头用投石机从处投出，石头的运动轨迹是抛物线的一部分，最终石头落在斜坡上的点处，以水平地面为轴，为轴建立平面直角坐标系如图②． 已知抛物线的函数表达式为，直线的函数表达式为， 米，点为抛物线的顶点，过点作轴于点，点到轴的水平距离 米． (1)请求出抛物线的函数表达式； (2)点是点左侧抛物线上一点，过点作轴交坡面于点，若石头运动到点时到坡面的铅直高度为米，求此时石头（点）到轴的距离． 【易错必刷二十一 实际问题与二次函数应用--喷水问题】 61．（24-25九年级上·上海闵行·阶段练习）如图，要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为，水柱落地处离池中心，水管应多长？ 62．（24-25九年级上·上海徐汇·期中）某地要建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于水面安装一个花形柱子，恰好在水面中心，安装在柱子顶端处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过的任一平面上如图1，建立直角坐标系如图2，水流喷出的高度（米）与水平距离（米）之间的关系式是． (1)求喷出的水流距水平面的最大高度； (2)若不计其他因素，水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不至于落在池外？ 63．（24-25九年级上·上海虹口·期中）某游乐场的圆形喷水池中心有一喷水管，从点A向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为轴，点为原点建立平面直角坐标系（单位长度为），点A在轴上，水柱所在的抛物线（第一象限部分）的函数表达式为． (1)求喷水管高． (2)身高为的小明站在距离喷水管的地方，他会被水喷到吗？ 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 二次函数章末易错必刷题型专训（63题21个考点） 【易错必刷一 二次函数的识别】 1．（24-25九年级上·上海杨浦·阶段练习）下列函数是二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的定义．利用二次函数的一般形式为：（是常数，），进而判断得出即可． 【详解】解：A、是一次函数，不是二次函数，故本选项不正确； B、不是二次函数，故本选项不正确； C、符合二次函数的定义，故本选项正确； D、不是二次函数，故本选项不正确． 故选：C． 2．（2025九年级上·上海松江·专题练习）有下列函数：①；②；③；④．其中y是x的二次函数有 ．（填序号） 【答案】②③④ 【分析】根据二次函数定义：形如（a、b、c是常数，）的函数，叫做二次函数进行分析即可． 【详解】解：y是x的二次函数的是②；③；④． 故答案为：②③④． 【点睛】此题主要考查了二次函数定义，判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件． 3．（25-26九年级上·上海金山·阶段练习）将下列二次函数化为一般形式，并分别指出它的二次项系数、一次项系数和常数项． (1)； (2)． 【答案】(1)，二次项系数为4，一次项系数为0，常数项为1 (2)，二次项系数为，一次项系数为1，常数项为 【分析】本题考查了二次函数的一般形式，即可得到答案． （1）将化为，即可求解； （2）将化为，即可求解. 【详解】（1）解：， 二次项系数为4，一次项系数为0，常数项为1； （2）， 二次项系数为，一次项系数为1，常数项为. 【易错必刷二 根据二次函数的定义求参数】 4．（24-25九年级上·上海杨浦·期中）若函数是关于x的二次函数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的定义，一般地，形如（是常数，）的函数，叫做二次函数．熟练掌握二次函数的定义是解题的关键．根据二次函数的定义解答即可 【详解】解：∵函数是关于x的二次函数， ∴， 解得， 故选：B． 5．（25-26九年级上·上海闵行·阶段练习）已知是二次函数，且其图象开口向上，则 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的定义，二次函数的图象，由二次函数的定义可得，即得，，再根据二次函数的图象可得，进而即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵是二次函数， ∴， 解得，， ∵其图象开口向上， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 6．（25-26九年级上·上海宝山·阶段练习）已知函数（m为常数）是二次函数，求m的值． 【答案】或 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，解一元二次方程，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键．根据二次函数的定义可得出一元二次方程，解之即可得到答案． 【详解】解：由题意得， 解得或， ∴或时，函数是二次函数． 【易错必刷三 y=ax²的图象和性质】 7．（25-26九年级上·上海长宁·单元测试）已知抛物线经过三点，则的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的图象与性质是解题的关键．根据所给函数解析式，结合二次函数的图象与性质,得抛物线上的点离对称轴越远，其函数值越大．根据，故，即可作答． 【详解】解：∵， ∴抛物线的对称轴为y轴，且开口向上， 则抛物线上的点离对称轴越远，其函数值越大． ∵抛物线经过三点， 则，，， ∵， ∴ 故选：D． 8．（24-25九年级上·上海长宁·期中）写出一个当时，y随x的增大而减小的函数表达式 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查的是反比例函数、一次函数及二次函数的性质，选择不同的函数类型性质不一样，答案也不一样． 【详解】解：答案不唯一，如等， 故答案为：（答案不唯一）． 9．（25-26九年级上·上海嘉定·阶段练习）已知抛物线经过点． (1)求a的值； (2)当时，求y的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征．二次函数图象上所有点的坐标均满足该函数解析式． （1）把点代入抛物线解析式，借助于方程可以求得a的值； （2）把代入函数解析式即可求得相应的y的值． 【详解】（1）解：把点代入抛物线，得，， 解得； （2）解：由（1）知，，则该抛物线解析式为：． 把代入，得， 即． 【易错必刷四 y=ax²+k的图象和性质】 10．（2025·上海静安·模拟预测）点是抛物线上的点，且，则与大小关系为（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】本题主要考查了抛物线的对称性，解题关键是正确应用对称性．由，得到轴的距离大于到轴的距离，由抛物线的对称轴为轴，开口向上，即可得． 【详解】解：由， 得到轴的距离大于到轴的距离， 由抛物线的对称轴为轴，开口向下， 得． 故选：B． 11．（25-26九年级上·上海闵行·期中）点，在抛物线上，则，的大小关系是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，将点的横坐标代入抛物线方程，计算对应的纵坐标值，再比较大小即可 【详解】解：对于点 ，代入抛物线方程 ， 得， 对于点 ，代入抛物线方程， 得， ， ， 故答案为： 12．（24-25九年级上上海宝山林·阶段练习）已知抛物线与抛物线的形状相同，开口方向相反，且图象上离轴最近的点与轴的距离为3． (1)求的值； (2)写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标． 【答案】(1)， (2)开口方向向上，对称轴轴，顶点坐标为 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据“与抛物线的形状相同，开口方向相反”，得，再结合“图象上离轴最近的点与轴的距离为3”，得，即可作答． （2）由（1）得，对称轴轴，开口方向向上，顶点坐标为，即可作答． 【详解】（1）解：∵抛物线与抛物线的形状相同，开口方向相反， ∴， 则抛物线为， ∴对称轴为直线，即对称轴为轴，开口方向向上 ∵图象上离轴最近的点与轴的距离为3，且 ∴； （2）解：由（1）得，，对称轴为轴，开口方向向上， 解析式为 把代入，得 即顶点坐标． 【易错必刷五 y=a（x-h）²的图象和性质】 13．（25-26九年级上·上海青浦·阶段练习）若抛物线的图象上的三个点，，，，则，，的大小关系为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，结合开口向上，对称轴为直线，则越靠近对称轴的自变量所对应的函数值越小，又因为抛物线上有三个点，，，且，则，即可作答． 【详解】解：∵，且 ∴开口向上，对称轴为直线，越靠近对称轴的自变量所对应的函数值越小， ∵抛物线上有三个点，，， 则， ∴ 故选：C 14．（24-25九年级上·上海闵行·期中）二次函数的开口方向是 ． 【答案】向下 【分析】本题考查了二次函数的性质，当时，开口向上，当时，开口向下．根据二次项系数的符号，直接判断抛物线开口方向． 【详解】解：因为，所以抛物线开口向下． 故答案为：向下． 15．（24-25九年级上·上海嘉定·阶段练习）已知二次函数的图象经过点，对称轴是直线． (1)求a，h的值； (2)x取什么值时，y随x的增大而减小？ 【答案】(1) (2)时，y随x的增大而减小 【分析】（1）根据二次函数过点P和二次函数的对称轴为，可得出关于的二元一次方程组，解方程组即可得出a，h的值； （2）由二次函数的a的值大于0，结合函数的增减性，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵对称轴为直线， ∴， 把点代入， 得 解得：； （2）∵， ∴抛物线开口向上，当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大， 故当时，y随x的增大而减小． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是运用待定系数法求二次函数的解析式． 【易错必刷六 y=a（x-h）²+k的图象和性质】 16．（2025九年级·上海青浦·专题练习）由二次函数，可知（    ） A．图象的开口向下 B．图象的对称轴为直线 C．其最小值为1 D．当时，y随x的增大而增大 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．根据二次函数的解析式，分别判断其开口方向、对称轴、最值和增减性即可得． 【详解】解：在二次函数中，， ∴这个二次函数图象的开口向上，选项A错误； 对称轴为直线，选项B错误； ∴当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大，选项D错误； ∴当时，取得最小值，最小值为1，选项C正确； 故选：C． 17．（25-26九年级上·上海杨浦·阶段练习）已知点，，都在二次函数的图象上，则，，的大小关系为 ．（用“”号连接） 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，由二次函数的解析式可得二次函数图象开口向下，对称轴为直线，再结合离对称轴距离越远的点函数值越小，比较即可得解，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵二次函数中，， ∴二次函数图象开口向下，对称轴为直线， ∵， ∴， 故答案为：． 18．（2025九年级·上海长宁·专题练习）手工课上，小明准备做一个形状是菱形的风筝．这个菱形的两条对角线长度之和恰好为60cm，菱形的面积S（单位：）随其中一条对角线的长度x（单位：cm）的变化而变化． （1）请直接写出S与x之间的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）． （2）当x是多少时，菱形风筝的面积S最大？最大面积是多少？ 解： (1)________． (2)________________________，且________0， 当________时，S有最大值，最大值为________． 故当x为________cm时，菱形风筝的面积最大，最大面积是________． 【答案】(1) (2)；；450；；30；450；30；450 【分析】本题主要考查了根据题意列二次函数关系式、二次函数顶点式的性质，熟练掌握相对应的知识点是解决本题的关键． （1）根据菱形的面积等于对角线乘积的一半即可求解； （2）化成顶点式，根据二次函数顶点式的性质去进行回答即可． 【详解】（1）解：∵其中一条对角线的长，则另一对角线长． ∴， 整理得． 故答案为：． （2）解：∵，且， 当时，有最大值，最大值为450． 故当为时，菱形风筝的面积最大，最大面积是450． 故答案为：；；450；；30；450；30；450． 【易错必刷七 y=ax²+bx+c的图象与性质】 19．（25-26九年级上·上海奉贤·阶段练习）下列关于二次函数的说法，正确的是（   ） A．图象开口向下 B．对称轴在轴右侧 C．当时，随的增大而减小 D．最小值为 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键．根据二次函数的图象和性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线，在轴的左侧， ∴当时，随的增大而减小，当时，函数值最小为； 故只有选项D正确； 故选D． 20．（25-26九年级上·上海杨浦·期中）已知二次函数中的x和y满足下表： x ．．． 0 1 2 3 4 5 ．．． y ．．． m 4 ．．． 由表格数据可求m的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解决本题的关键． 通过观察表格中y值相同的点，确定二次函数的对称轴，再利用对称性求m的值． 【详解】解：由表格数据可知，当和时，y的值均为， ∴二次函数的对称轴为直线． ∴点关于直线的对称点为， ∴当时，，即． 故答案为：． 21．（25-26九年级上·上海静安·阶段练习）已知二次函数． (1)在所给的平面直角坐标系中，画出它的图象（不需要列表）； (2)求出抛物线的顶点坐标． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质． （1）求出关键点的坐标，根据描点法画图象即可； （2）把抛物线解析式化为顶点式，即可求出抛物线的顶点坐标． 【详解】（1）解：∵二次函数， ∴当时，，当时，，当时，， 当时，，当时，， 该函数的图象如图所示． （2）解：， 所以抛物线顶点坐标为． 【易错必刷八 一次函数、二次函数图象综合判断】 22．（2025·上海·模拟预测）二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象大致是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数与一次函数图象的综合，熟练掌握二次函数与一次函数的图象特征是解题关键．先根据抛物线的开口向上可得，再根据对称轴可得，然后根据一次函数的图象特征即可得． 【详解】解：∵二次函数图象的开口向上， ∴， ∵二次函数的对称轴为直线， ∴， ∴一次函数的图象经过第一、二、四象限， 故选：D． 23．（24-25九年级上·上海宝山·阶段练习）如图，抛物线与直线相交于点，，则关于x的方程的解为 ． 【答案】， 【分析】本题考查了二次函数与一次函数，二次函数的图象和性质等知识点，能根据交点的坐标得出方程的解是解此题的关键．根据，两点的横坐标和函数的图象得出方程的解即可． 【详解】解：∵抛物线与直线相交于点， ∴关于的方程的解为， 故答案为：． 24．（24-25九年级上·上海长宁·期中）如图，抛物线和直线交于A，B两点． (1)求A，B两点的坐标； (2)根据图象，写出当x取何值时，． 【答案】(1)A的坐标是，点B的坐标是 (2) 【分析】本题考查二次函数与方程组，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）联立两函数解析式，即可求解； （2）直接观察图象，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，得， 解得或， ∴A的坐标是，点B的坐标是； （2）解：根据图象，时，的图象在的图象上方， 此时． 【易错必刷九 反比例函数、二次函数图象综合判断】 25．（2025·上海长宁·模拟预测）已知点，，在同一函数图象上，则这个函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了函数的图象．由点，关于y轴对称，可排除选项B、C，再根据，，可知在y轴的左侧，y随x的增大而增大，从而排除选项D． 【详解】解：由，在同一个函数图象上，可知图象关于y轴对称，故选项B、C不符合题意； 由，，可知在y轴的左侧，y随x的增大而增大，故选项D不符合题意，选项A符合题意； 故选：A． 26．（24-25九年级上·上海静安·单元测试）抛物线与双曲线的交点的横坐标为，则不等式的解集为 ．    【答案】 【分析】根据函数图象直接可得结论． 【详解】解：∵抛物线与双曲线的交点的横坐标为， ∴的解集为， 即不等式的解集为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了根据函数图象交点求不等式的解集，数形结合是解题的关键． 27．（2025·上海宝山·模拟预测）阅读下面解题过程． 解一元二次不等式：． 解：设，解得：，，则抛物线与x轴的交点坐标为和．画出二次函数的大致图像（如图1）．由图像可知：当，或当时函数图像位于x轴上方，此时，即．所以一元二次不等式的解集为：或． 通过对上述解题过程的学习，按其解题的思路和方法解答下列问题： (1)上述解题过程中，除了运用了转化思想，还运用的数学思想是（    ）； A．换元思想    B．数形结合思想    C．整体思想 (2)如图2，直线：与直线：交于点，则关于x、y的方程组的解是______； (3)判断一元三次方程的实数根的个数，并说明理由． 【答案】(1)B (2) (3)只有一个实数根，理由见解析 【分析】本题考查二次函数与不等式(组)及一次函数与二元一次方程(组)，数形结合思想的巧妙运用是解题的关键． （1）根据题中所给解题过程，可得出其中运用了数形结合的数学思想，据此可解决问题． （2）将所给方程组的解转化为所对应函数解析式图象的交点问题即可． （3）将所给一元三次方程转化为二次函数图象与反比例函数图象的交点问题即可， 【详解】（1）解：由题知，上述解题过程中还运用了数形结合的思想， 故选：B （2）方程组的解可看成函数与图象的交点坐标， ∵直线：与直线：交于点， 则， ∴两条直线的交点为， ∴方程组的解是， 故答案为：． （3）一元三次方程有1个实数根． 由方程得 ， ∴， ∴原方程的实数根的情况可看成函数与函数图象的交点问题， 如图所示： ， 两个函数图像只有一个交点， ∴一元三次方程只有一个实数根． 【易错必刷十 根据二次函数的图象判断式子符号】 28．（24-25九年级上·上海松江·阶段练习）如图是关于x的二次函数的图象，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，二次函数的图象与系数的关系，根据二次函数的图象判断式子的符号等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以综合运用是解题的关键． 根据抛物线开口方向、对称轴和与轴的交点，确定、、的符号，从而判断． 【详解】解：∵抛物线开口向下，与轴的正半轴相交， ， ∵抛物线的对称轴在轴右侧， ， ， ∴，，，，故B、C、D错误，不符合题意；A正确，符合题意； 故选：A． 29．（24-25九年级上·上海青浦·期中）如图是二次函数的图象，下列结论：①二次三项式的最大值为4；②；③；④；⑤使成立的x的取值范围是．其中正确的结论有： ．（填上序号即可） 【答案】①③ 【分析】利用二次函数的顶点坐标与开口方向即可判定①正确；利用待定系数法求得a，b，c的值即可判定②③④，结合图象可得成立的x的取值范围是两部分，由此可得结论． 本题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，二次函数的最值，熟练掌握二次函数的图象的性质和待定系数法是解题的关键． 【详解】解：由抛物线的图象可知：二次函数的图象的顶点为，抛物线开口向下， ∴二次函数有最大值4， ∴二次三项式的最大值为4，故①的结论正确； 由抛物线的图象可知：抛物线经过，，三点， ∴，解得： ∴，故②的结论不正确； ∴，故③的结论正确； ∴，故④的结论不正确； 由抛物线的图象可知：成立的x的取值范围是或，故⑤的结论不正确， 综上，正确的结论有：①③， 故答案为：①③． 30．（24-25九年级上·上海宝山·期中）已知抛物线，如图所示，直线是其对称轴． (1)确定b，的符号； (2)求证：； (3)当x取何值时，，当x取何值时． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)当时，；当或时，． 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数和x轴交点问题，解题的关键是熟练的掌握二次函数图象与系数的关系． （1）根据开口方向确定a的符号，根据对称轴的位置确定b的符号，根据抛物线与x轴交点的个数确定的符号； （2）根据图象和的函数值确定与0的关系； （3）根据抛物线在x轴上方时；抛物线在x轴下方时求解即可． 【详解】（1）∵抛物线开口向下， ∴， ∵对称轴， ∴， ∵抛物线与轴有两个交点， ∴； （2）证明：∵抛物线的顶点在轴上方，对称轴为， ∴当时，； （3）根据图象可知， 当时，；当或时，． 【易错必刷十一 y=ax²+bx+c的最值】 31．（24-25九年级上·上海静安·阶段练习）如图是一个长、宽的矩形花园，现要将它的长缩短，宽增加，则修改后花园的最大面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是根据题意列出修改后的花园面积与x之间的关系式． 先根据长方形的面积公式列出函数关系式，再根据二次函数的性质即可求得结果． 【详解】解：由题意得修改后的花园面积 ， ∵， ∴当时，修改后的花园面积达到最大，为． 故选：D． 32．（25-26九年级上·上海闵行·阶段练习）已知二次函数当自变量满足时，的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质， 先根据题意可知抛物线的开口向上，对称轴是直线，当时，，当时，，再结合抛物线的对称性可得答案. 【详解】解：抛物线的开口向上，对称轴是直线，当时，，当时，， ∴当时，. 故答案为：. 33．（25-26九年级上·上海杨浦·阶段练习）已知二次函数． (1)画出这个二次函数的图象； (2)根据表格图象可知，当时，y的取值范围是______． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了画二次函数的图象，二次函数的图象与性质，掌握相关知识点即可； （1）列表、描点、连线即可作图； （2）由图象可知：当时，函数在顶点处取得最大值3，在时取得最小值；即可求解； 【详解】（1）解：列表： 画出二次函数的图象如下： （2）解：由图象可知：当时，函数在顶点处取得最大值3，在时取得最小值； ∴y的取值范围是． 故答案为：． 【易错必刷十二 已知二次函数的函数值求自变量的值】 34．（24-25九年级上·上海金山·阶段练习）下列各点中，是二次函数图像上的点是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象上点的坐标满足其解析式．分别把、0、2代入二次函数解析式中计算出对应的函数值，然后进行判断． 【详解】解：当时，，故A错误； 当时，，故B错误； 当时，，故C错误； 当时，，故D正确； 故选：D． 35．（24-25九年级上·上海杨浦·期中）已知二次函数，若点在该函数的图象上，则m的值为 ． 【答案】0或2 【分析】根据图象过点，点坐标满足解析式的思想，列式解方程即可． 本题考查了图象与点的关系，解方程，熟练掌握关系，灵活解方程是解题的关键． 【详解】解：二次函数，点在该函数的图象上， ∴， 解得， 故答案为：0或2． 36．（25-26九年级上·上海普陀·阶段练习）已知二次函数图象经过点， (1)求二次函数的表达式； (2)当时，求y的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的函数值，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． （1）把解析式设为交点式，利用待定系数法求解即可； （2）将代入计算即可． 【详解】（1）解：设二次函数解析式为，代入点得： ， ∴， ∴二次函数解析式为； （2）解：将代入中， 即． 【易错必刷十三 求抛物线与x轴的交点坐标】 37．（24-25九年级上·上海宝山·阶段练习）抛物线的图象与坐标轴的交点的个数是（   ） A．无交点 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】本题主要考查二次函数与坐标轴的交点，熟练二次函数与轴和轴的交点的求法以及仔细审题是解决本题的关键．已知二次函数的解析式，分别令，，进而即可求解． 【详解】解：∵， ∴令，则，故与轴有一个交点， 令，则， ， ∴与轴有两个交点， 即：图象与坐标轴的交点有3个， 故选：D． 38．（25-26九年级上·上海静安·阶段练习）抛物线的部分图像如图所示，则关于的方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数与一元二次方程， 根据抛物线的对称轴为直线与x轴的交点为，利用抛物线的对称性即可求得． 【详解】解：抛物线的对称轴为直线与x轴的交点为， 设另一个交点为 ， 解得：， 故另一个交点为， 关于的方程的解是：， 故答案为; ． 39．（25-26九年级上·上海闵行·期中）如图，函数的图象与x轴交于点A，B（点A在点B的左边），与y轴交于点C． (1)已知一次函数的图象过点B，C，求这个一次函数的解析式； (2)当时，对于x的每一个值，函数（b为常数）的值小于函数的值，直接写出b的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了求一次函数关系式，二次函数的图象和性质，求抛物线与坐标轴的交点， （1）先求出点B，C的坐标，再根据待定系数法求出直线关系式； （2）根据函数与直线平行，再根据在自变量取值范围内抛物线在直线上方解答即可. 【详解】（1）解：当时，， 解得， ∴点. 当时，， ∴点. 设直线的关系式为，得 ， 解得， ∴直线的关系式为； （2）解：函数与直线平行， 当时，. 【易错必刷十四 求抛物线与y轴的交点坐标】 40．（24-25九年级上·上海杨浦·期中）二次函数的图象与轴的交点坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，代入求值是关键． 根据二次函数图象上点的坐标特征解答即可． 【详解】解：当时，． ∴二次函数的图象与y轴的交点坐标是． 故选：B． 41．（25-26九年级上·上海宝山·期中）二次函数 的图象如图所示，给出以下四个结论：（1）（2），（3），（4），其中正确的是 （填序号）．    【答案】（1）（3）（4） 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，与y轴的交点问题，根据二次函数的图象判断式子符号，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先观察函数图象，得函数图象开口向下，得，故，函数与轴的交点在坐标原点，把代入，得，把代入，得，运用数形结合思想，即可作答． 【详解】解：观察二次函数 的图象，得函数图象开口向下，即， 则对称轴为直线，即， 整理得， ∵， ∴， 函数与轴的交点在坐标原点， ∴， ∴ 故（1）符合题意； 把代入，得， 观察函数图象，得， 故（2）不符合题意； ∵，且，， ∴， 故（3）符合题意； 把代入，得， ∵， ∴观察函数图象，得， 故（4）符合题意； 故答案为：（1）（3）（4） 42．（24-25九年级上·上海杨浦·期中）如图．已知抛物线，与y轴交于点C，与x轴交于点A，B，点A在点B左侧． (1)求点A、B、C的坐标； (2)求的面积． 【答案】(1) (2)3 【分析】本题考查抛物线与坐标轴的交点问题，解题的关键是正确的求出交点的坐标： （1）分别令求出点A、B、C的坐标即可； （2）利用三角形的面积公式进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，，当时，解得：， ∴； （2）∵， ∴， ∴的面积． 【易错必刷十五 图象法确定一元二次方程的近似根】 43．（24-25九年级上·上海长宁·单元测试）已知二次函数（，，，为常数）的与的部分对应值如下表： 判断方程的一个解的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】仔细看表，可发现的值和0.09最接近0，再看对应的的值即可得．本题考查了同学们的估算能力，对题目的正确估算是建立在对二次函数图象和一元二次方程关系正确理解的基础上的． 【详解】解：由表可以看出，∵当时，；当时，； ∴当取3.25与3.26之间的某个数时，，即这个数是的一个根． 则的一个解的取值范围为． 故选：D． 44．（2025·上海杨浦·模拟预测）如图是抛物线的图象，结合图象，可知方程有 个实数根． 【答案】3 【分析】本题考查函数与方程的关系，根据函数图象交点的个数即为两解析式联立方程的解得个数解答即可． 【详解】解：在同一平面直角坐标系中作出与的图象，结合图像可得有三个交点， ∴方程有3个实数根． 故答案为：3． 45．（24-25九年级上·上海宝山·期中）在平面直角坐标系中画出函数的图象；并在图象上描出以方程的两根为横坐标的点，标记为A，B． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了画二次函数图象，二次函数的性质，先列表，然后描点，再连线，画出函数图象，由 得 ，画出直线即可． 【详解】解: 抛物线 的顶点坐标是(1,-4), 对称轴是直线x = 1. 列表： x ··· 0 1 2 3 y 0 0 描点并连线，得函数 的图象，如图所示： 由 得 所以直线 与抛物线 的两个交点A，B即为所求，如图． 【易错必刷十六 图象法解一元二次不等式】 46．（24-25九年级上·上海静安·期中）已知二次函数的部分图象如图所示，若，则的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】本题主要考查了抛物线与x轴的交点问题；求时，的取值范围，就是二次函数的图象在轴下方时对应的的范围． 【详解】根据图象可得，，则的取值范围是， 故选：B． 47．（24-25九年级上·上海松江·阶段练习）已知二次函数的图象如图所示，当时，的取值范围是 ．    【答案】 【分析】解方程，得出抛物线与轴的交点坐标，进而根据函数图象即可解答． 【详解】解：当时，， 解得： ∴二次函数的图象与轴的交点为， 由函数图象可得的的取值范围为：． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查抛物线与轴的交点、二次函数图象与性质，明确题意并掌握数形结合的思想是解答本题的关键． 48．（25-26九年级上·上海杨浦·阶段练习）如图为二次函数的图象，试观察图象回答下列问题： (1)写出方程的解为______，______； (2)当时，直接写出的取值范围为__________； (3)当时，直接写出的取值范围是__________． 【答案】(1)，； (2)； (3) 【分析】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系，掌握二次函数图象与系数的关系． （1）解方程即可求解； （2）观察函数图象即可求解； （3）当时，当时，y取得最小值，y在顶点处取得最大值，即可求解． 【详解】（1）解：，即， ， ，，     故答案为：，； （2）解：∵的顶点坐标为，对称轴为直线，开口向下， ∴当时，取得最大值为， 当时，，解得，， 即图象经过， ∴当时，直接写出的取值范围为； 故答案为：； （3）解：， 时，的最大值为， 把代入得，， 把代入得，， 当时，的取值范围是， 故答案为：． 【易错必刷十七 实际问题与二次函数应用--销售问题】 49．（2025九年级上·上海闵行·专题练习）某商场以每件40元的价格购进一种商品，试销中发现这种商品每天的销售量（件）与每件的销售价（元）满足关系：． (1)写出商场卖这种商品每天的销售利润（元）与每件销售价（元）之间的函数关系式． (2)求每件销售价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)每件销售价定为70元时，每天的销售利润最大，最大利润是1800元 【分析】本题考查二次函数的实际应用（利润模型），涉及二次函数的解析式推导和最值求解（顶点式、公式法），运用建模思想将利润问题转化为二次函数问题．解题关键是正确推导利润函数，熟练掌握二次函数最值的求解方法；易错点是配方时符号处理错误，或忽略销售量为正的实际意义验证． （1）根据“利润 = （售价 - 进价）× 销售量”，代入进价40元、售价x元、销售量，推导得利润函数． （2）通过顶点式配方或公式法求二次函数的最大值： 顶点式：将配方为，由，得当时，w最大为1800元． 公式法：利用顶点横坐标公式，代入利润函数得最大利润1800元，再验证销售量，确认结果合理． 【详解】（1）由题意得，单件进价40元，单件售价元，销售量． ∴． 展开得：． ∴ 函数关系式为：． （2）方法一（顶点式）： ． ∵ ，∴有最大值． 当 时，（元）． 方法二（公式法）： ． ． 将 代入：（元）． 售价元，代入销售量，合理． 答：每件销售价定为70元时，每天的销售利润最大，最大利润是1800元． 50．（25-26九年级上·上海杨浦·阶段练习）贵阳贵安谋划推出“爽爽贵阳，繁花似锦”赏花主题活动，为了迎接本次活动，某商店以10元每个的价格购进一批以花为主题的团扇，经过一段时间的销售发现日销量（把）与单个售价（元）之间的函数关系如图． (1)根据图象，求出与的函数关系式； (2)销售单价为多少元时，每天获得的利润最大，最大利润是多少元？ 【答案】(1) (2)销售单价为40元时，每天获得的利润最大，最大利润是900元 【分析】本题考查了一次函数与二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题关键． （1）设与的函数关系式为，利用待定系数法可求出函数解析式； （2）设每天的利润为元，根据“利润（销售单价成本单价）销售量”可得关于的函数关系式，再利用二次函数的性质求解即可得． 【详解】（1）解：设（，为常数）， 将点，代入得：， 解得：， 与的函数关系式为； （2）解：设每天获得的利润为元， 由题意得： ， ，抛物线开口向下， ∴当时，有最大值，． ∴销售单价为40元时，每天获得的利润最大，最大利润是900元． 51．（24-25九年级上·上海松江·期中）学科实践 [驱动任务] 诚诚发现因为“母亲节”的到来，各个花店的鲜花礼品都进入了销售旺季，他所在的综合实践小组以探究“鲜花最佳销售方案”为主题开展了项目调查． [研究步骤] 数据收集：综合实践小组以某款每束进价为的鲜花礼品为研究对象展开调查，收集到附近五家花店近期销售的相关信息，并将数据按一定顺序整理在下表中： 售价x（元/束） 日销售量y（束） 数据分析：分析数据的变化规律，将每组对应值描在下图中，观察表格中数据的变化规律可知日销售量y是售价x的一次函数． [问题解决] (1)求日销售量y关于售价x的函数关系式； (2)根据以上信息，在销售该款鲜花礼品时， ①要想每天获得的利润，应该如何定价？ ②当售价为多少时，每天获得的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)①或；②售价定为时，每天获得的利润最大，最大利润为． 【分析】本题考查了函数的应用，待定系数法求一次函数的解析式，二次函数的性质，解题的关键是建立函数关系式，分析函数的性质． （1）由待定系数法求函数的解析式即可； （2）①根据每束鲜花的利润销售量，列出方程，解方程即可；②根据总利润每束鲜花的利润销售量列出函数解析式，由函数的性质求出最值． 【详解】（1）解：设y关于x的函数关系式为． 把代入，得解得 ∴y关于x的函数关系式为． （2）①当每天获得1400元的利润时，由题意得， 解得，． 答：要想每天获得1400元的利润，应该定价为90元或30元． ②设每天获得的利润为w元． 根据题意，得． ∵， ∴当时，w取最大值3200． 答：售价定为60元时，每天获得的利润最大，最大利润为3200元． 【易错必刷十八 实际问题与二次函数应用--增长率问题】 52．（24-25九年级·上海·阶段练习）某公司月份的营收为万元，设每个月营收的增长率相同，且为 ，月份的营收为万元，写出关于的函数解析式． 【答案】 【分析】设每月增长率都为，所以5月份的营收为万元，6月份的营收为万元． 【详解】解：因为月份的营收为万元，月份起，每月增长率都为，所以月份的营收为万元，月份的营收为万元． ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，根据题意列出函数关系式解题的关键． 53．（24-25九年级上·上海长宁·课后作业）某商场第1年销售计算机5000台，如果每年的销售量比上一年增加相同的百分率x，写出第3年的销售量y关于每年增加的百分率x的函数解析式． 【答案】y＝5000x2＋10000x＋5000． 【分析】根据增长率第2年的销量=第1年的销量+增加百分率x×第1年的销量=(1+x)×第1年的销量，第3年的销售量y=第2年的销量+增加百分率x×第2年的销量=(1+x)×第2年的销量=(1+x)2×第1年的销量即可． 【详解】解：由题意可知y＝500(1＋x)2＝5000x2＋10000x＋5000， ∴y＝5000x2＋10000x＋5000． 【点睛】本题考查增长率问题，利用增长率求函数解析式，掌握增长率的公式是解题关键． 54．（24-25九年级上·上海宝山·阶段练习）某工厂的前年生产总值为10万元，去年比前年的年增长率为，预计今年比去年的年增长率为，设今年的总产值为万元． (1)求与的关系式； (2)当时，求今年的总产值为多少万元？ 【答案】(1) (2)当时，今年的总产值为万元． 【分析】（1）利用增长率公式即可找出y关于x的函数关系式； （2）代入，求出y值即可得出结论． 【详解】（1）依题意得：； （2）当时，， 答：当时，今年的总产值为万元． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用—增长率问题，掌握增长率问题的公式是解题的关键，若起始值为a，经过n年后值为b，设增长率为x，则有． 【易错必刷十九 实际问题与二次函数应用--拱桥问题】 55．（24-25九年级上·上海静安·阶段练习）赵州桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，其中是图象上的点，当水面离桥拱顶的高度是时，求这时水面宽度． 【答案】20 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数解析式的求解，熟练掌握二次函数解析式的求解是解决本题的关键． 先根据点是图象上的点，求解出二次函数解析式，再根据的长度是，可求解点A与点B的坐标，由此可求解水面宽度． 【详解】解：设抛物线的解析式为， 将代入得：， 解得：， 则抛物线解析式为， ∵高度是时， 当时，， 解得：， ∴点，点， . 即当水面离桥拱顶的高度是时，这时水面宽度为20． 56．（24-25九年级上·上海徐汇·阶段练习）蔬菜大棚是一种具有出色的保温性能的框架覆膜结构，它的出现使人们可以吃到反季节蔬菜．如图，某菜农搭建了一个横截面为抛物线的大棚，宽度为米，棚顶最高点距离地面高度为米．以所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)若借助横梁在大棚正中建一个米高的门（到地面的距离为米），求横梁的长度是多少米？（结果保留根号） 【答案】(1) (2)横梁的长度是米为米 【分析】本题主要考查二次函数的运用，掌握待定系数法求解析式是解题的关键． （1）根据题意可得，，顶点坐标为，设二次函数解析式为：，由此即可求解； （2）当时计算对应的横坐标，由此即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，，，顶点坐标为， ∴设二次函数解析式为：，把代入得， 即， 解得，， ∴； （2）解：到地面的距离为米，且二次函数解析式为， ∴当时，， 解得，， ∴， ∴横梁的长度是米为米． 57．（2025·上海松江·模拟预测）“4.20芦山地震”发生后，各地积极展开抗震救援工作，一支救援车队经过如图1所示的一座拱桥，拱桥的轮廓是抛物线型，拱高6m，跨度20m，相邻两支柱间的距离均为5m，将抛物线放在所给的直角坐标系中（如图2所示），拱桥的拱顶在y轴上． (1)求拱桥所在抛物线的解析式； (2)求支柱的长度； (3)拱桥下地平面是双向行车道（正中间是一条宽2米的隔离带），其中的一条行车道能否并排行驶宽2m、高2.4m的三辆汽车（隔离带与内侧汽车的间隔、汽车间的间隔、外侧汽车与拱桥的间隔均为0.5m）？请说说你的理由． 【答案】(1)； (2)支柱的长度是米； (3)不能并排行驶这样的三辆汽车，见解析 【分析】本题考查二次函数的实际应用，借助二次函数解决实际问题是解题根本，求出二次函数关系式是关键． （1）根据题目可知．，的坐标，设出抛物线的解析式代入可求解； （2）设点的坐标为可求出支柱的长度； （3）设是隔离带的宽，是三辆车的宽度和，作垂直交抛物线于，求出则可求解． 【详解】（1）解：根据题目条件，、、的坐标分别是、、． 将、的坐标代入，得 解得，． 所以抛物线的表达式是； （2）解：可设，于是． 从而支柱的长度是米； （3）解：设是隔离带的宽，是三辆车最内侧与最外侧的宽度和，则点坐标是， 过点作垂直交抛物线于，则， 根据抛物线的特点，可知一条行车道不能并排行驶这样的三辆汽车． 【易错必刷二十 实际问题与二次函数应用--投球问题】 58．（25-26九年级上·上海宝山·阶段练习）对于一个竖直向上抛出的物体，在没有空气阻力的条件下，大致满足这样的关系式：，其中是物体距离地面的高度，是初速度，是抛出后所经历的时间．如果将一个小球从地面以的初速度竖直向上抛出，小球何时能达到10m高？ 【答案】1 秒或2 秒 【分析】本题为二次函数应用题，考查了二次函数与一元二次方程关系等知识．根据题意先得到函数关系式为，把代入，得到方程，解方程即可求解． 【详解】解：根据题意当时，函数解析式为， 当时，可得方程， 解得，． 答：抛出小球后1 秒或2 秒时，小球能达到10米高． 59．（24-25九年级上·上海杨浦·期中）对于向上抛的物体，如果空气阻力忽略不计，有下面的关系式：（h是物体离起点的高度，是初速度，g是重力系数，取，t是抛出后经过的时间）．杂技演员抛球表演时，以的初速度把球向上抛出． (1)1.2秒时球离起点的高度是多少？ (2)几秒后球离起点的高度达到？ 【答案】(1)秒时球离起点的高度是； (2)秒或秒后球离起点的高度达到． 【分析】本题为二次函数实际应用问题，解答时注意将相应的函数值或自变量值代入函数关系式中求解即可． （1）把代入即可求解； （2）把代入求t即可． 【详解】（1）解：由题意，将分别代入函数关系式， 得， 当时，代入解得， ∴秒时球离起点的高度是； （2）解：当时，， 解得． 故秒或秒后球离起点的高度达到． 60．（2025·上海宝山·模拟预测）某数学兴趣小组进行项目式学习成果的展示，他们利用“杠杆原理”制作出一种投石机，如图①，为检验投石机的性能，进行如下操作：将石头用投石机从处投出，石头的运动轨迹是抛物线的一部分，最终石头落在斜坡上的点处，以水平地面为轴，为轴建立平面直角坐标系如图②． 已知抛物线的函数表达式为，直线的函数表达式为， 米，点为抛物线的顶点，过点作轴于点，点到轴的水平距离 米． (1)请求出抛物线的函数表达式； (2)点是点左侧抛物线上一点，过点作轴交坡面于点，若石头运动到点时到坡面的铅直高度为米，求此时石头（点）到轴的距离． 【答案】(1) (2)此时石头到轴的距离为米 【分析】本题考查了二次函数的应用； （1）将代入，进而得出，根据对称轴为，进而求得的值，即可求解； （2）根据题意，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：由题可得，将代入得，， ， 抛物线的顶点横坐标为20， ， ， 抛物线的函数表达式为． （2）由题意可得：， 解得，（舍去）， 此时石头到y轴的距离为5米． 【易错必刷二十一 实际问题与二次函数应用--喷水问题】 61．（24-25九年级上·上海闵行·阶段练习）如图，要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为，水柱落地处离池中心，水管应多长？ 【答案】 【分析】本题考查了二次函数在实际生活中的运用，待定系数法求二次函数解析式，解题关键是利用顶点式求出解析式．设抛物线的解析式为，将代入求得a值，则时得的y值即为水管的长． 【详解】解：∵喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为，水柱落地处离池中心， 则设抛物线的解析式为：， 将代入， 得 解得：， 将值代入得到抛物线的解析式， 得 令，则， 故水管的长为， 62．（24-25九年级上·上海徐汇·期中）某地要建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于水面安装一个花形柱子，恰好在水面中心，安装在柱子顶端处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过的任一平面上如图1，建立直角坐标系如图2，水流喷出的高度（米）与水平距离（米）之间的关系式是． (1)求喷出的水流距水平面的最大高度； (2)若不计其他因素，水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不至于落在池外？ 【答案】(1)2.25米 (2)2.5米 【分析】（1）把抛物线解析式的化成顶点式，求顶点坐标，即可求解； （2）求出抛物线与x轴的交点，即可解决问题． 【详解】（1）解：， 顶点是， 故喷出的水流距水面的最大高度是2.25米； （2）解：解方程， 得，， 点坐标为， ． 故不计其他因素，水池的半径至少要2.5米，才能使喷出的水流不至于落在水池外． 【点睛】本题考查抛物线的实际应用，解题词关键是掌握抛物线顶点，与轴交点的实际意义． 63．（24-25九年级上·上海虹口·期中）某游乐场的圆形喷水池中心有一喷水管，从点A向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为轴，点为原点建立平面直角坐标系（单位长度为），点A在轴上，水柱所在的抛物线（第一象限部分）的函数表达式为． (1)求喷水管高． (2)身高为的小明站在距离喷水管的地方，他会被水喷到吗？ 【答案】(1) (2)不会 【分析】（1）当时，代入求解即可； （2）令，得出y值，与身高比较即可． 【详解】（1）解：当时，， ∴点A的坐标为， ∴喷水管高高． （2）对于， 令，则， ∴小明不会被水喷到． 【点睛】题目主要考查二次函数的应用，理解题意，求出相应的函数值比较是解题关键． 学科网（北京）股份有限公司 $