专题04 实际问题与二次函数应用重难点题型专训（1个知识点+12大题型+3大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年沪教版（五四制）九年级数学上册重难点专题提升精讲精练

专题04 实际问题与二次函数应用重难点题型专训 （1个知识点+12大题型+3大拓展训练+自我检测） 题型一 利用二次函数求图形问题 题型二 利用二次函数求图形运动问题 题型三 利用二次函数求拱桥问题 题型四 利用二次函数求销售问题 题型五 利用二次函数求投球问题 题型六 利用二次函数求喷水问题 题型七 利用二次函数求增长率问题 题型八 二次函数综合应用--面积问题 题型九 二次函数综合应用--线段周长问题 题型十 二次函数综合应用--角度问题 题型十一 二次函数综合应用--特殊三角形问题 题型十二 二次函数综合应用--特殊四边形 拓展训练一 二次函数销售问题中的捐赠类问题（含参） 拓展训练二 二次函数中角度计算问题（45°等） 拓展训练三 铅垂高、水平宽求面积最值问题 知识点一：二次函数的应用 1.审清题意，弄清题中涉及哪些量，已知量有几个，已知量与变量之间的基本关系是什么，找出等量关系(即函数关系)。 2.设出两个变量，注意分清自变量和因变量，同时还要注意所设变量的单位要准确。 3.列函数表达式，抓住题中含有等量关系的语句，将此语句抽象为含变量的等式，这就是二次函数。 4.按题目要求，结合二次函数的性质解答相应的问题。 5.检验所得解是否符合实际：即是否为所提问题的答案。 6.写出答案。 【即时训练】 1．（24-25九年级上·上海宝山·期中）某种商品每天的销售利润元与单价元之间的函数关系式为，则这种商品每天的最大利润为（    ） A．50元 B．60元 C．40元 D．30元 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，根据二次函数解析式可知二次函数开口向下，则在对称轴处取得最大值，即60，据此可得答案． 【详解】解：∵某种商品每天的销售利润元与单价元之间的函数关系式为，， ∴当时，y有最大值，最大值为60， ∴这种商品每天的最大利润为60元， 故选B． 2．（24-25九年级上·上海杨浦·阶段练习）某超市一月份的营业额为200万元，一月、二月、三月的营业额共y万元，如果平均每月增长率为x，则营业额y与月平均增长率x之间的函数关系式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．根据平均每月增长率为x，可求二月、三月的营业额，再根据一月、二月、三月的营业额共y万元列出函数解析式即可． 【详解】解：由题意，二月的营业额为，三月的营业额为， ∵一月、二月、三月的营业额共y万元， ∴． 故答案为：． 【经典例题一 利用二次函数求图形问题】 【例1】（25-26九年级上·上海静安·期中）用长为的篱笆围成一个矩形花圃，设矩形的一边长为，面积为，求矩形花圃面积的最大值． 【答案】 【分析】此题考查了二次函数的应用，设矩形一边长为，则另一边长为，利用面积公式建立二次函数，进而求解即可． 【详解】解：设矩形一边长为，则另一边长为． ∴面积， ∵， ∴当时，S有最大值25， ∴ 矩形花圃面积的最大值为． 1．（2025九年级·上海长宁·专题练习）如图，某农场主利用墙角围出了一片矩形空地（假设墙足够长）．已知所用篱笆（虚线部分）的长度为，则所围矩形空地的最大面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，考查了二次函数的图象与性质，关键是根据题意设恰当的未知量，得到函数关系式．设，则可得，围成矩形的面积，求出最大值即可． 【详解】解：设，围成矩形的面积为， ∴， ∴ ∴当时， 所围矩形空地的最大面积是， 故选：B ． 2．（25-26九年级上·上海松江·阶段练习）有6长的铝合金材料，做成“日”字形窗框（不考虑材料加工时的损耗），如图所示，则做成的窗框的最大采光面积是 ． 【答案】 【分析】此题考查了二次函数的实际应用，根据题意正确列出函数关系式是解题的关键． 设为x，窗框的采光面积为S，则，，根据矩形面积列出函数关系式，根据二次函数的性质求出答案即可． 【详解】解：设为x，窗框的采光面积为S，则，， ∴窗框的采光面积， ∵， ∴当时，S取最大值为， 即当为时，窗框的采光面积最大． 故答案为： 3．（25-26九年级上·上海长宁·阶段练习）如图，在足够大的空地上有一段长为60米的旧墙，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园，其中，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了米木栏． (1)所围成的矩形菜园的面积为450平方米，求所利用旧墙的长； (2)求矩形菜园面积的最大值． 【答案】(1)10米 (2)1250平方米 【分析】本题主要考查二次函数应用、一元二次方程应用，正确列出方程是解题的关键． （1）设，则，根据题意得解一元二次方程即可求解； （2）设设矩形菜园的面积为，，则，可得，利用二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：设，则， 根据题意得， 解得， 当时，，不合题意舍去； 当时，， 答：所利用旧墙的长为10米； （2）解：设矩形菜园的面积为，，则， ∴， ∵，且， ∴抛物线开口向下， ∴当时，有最大值，最大值为1250， 答：矩形菜园面积的最大值为1250平方米． 4．（25-26九年级上·上海宝山·阶段练习）综合与实践： 学校数学兴趣小组围绕“校园花圃方案设计”开展主题学习活动，计划建一个花圃，用总长为的栅栏围成，兴趣小组设计了以下两种方案： 方案一 方案二 如图1，围成一个面积为的矩形花圃．    如图2，借助学校围墙围成矩形花圃（墙的长度不限），其余用栅栏（栅栏宽度忽略不计）将该花圃分隔为两个不同矩形区域，用来种植不同花卉，并在花圃两侧各留一个宽为的进、出口（此处不用栅栏）．    (1)求方案一中长方形花圃的长和宽； (2)为了使方案二中花圃的面积最大，与墙平行的边的长度为多少米？（提示：用配方法说明） 【答案】(1)长为，宽为 (2)33米 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、二次函数的应用，正确建立方程和熟练掌握二次函数的性质是解题关键． （1）设方案一中长方形花圃的长为，则宽为，根据长方形的面积公式建立方程，解方程即可得； （2）设方案二中花圃的面积为，与墙平行的边的长度为米，则与墙垂直的边的长度为米，根据长方形的面积公式建立函数关系式，再利用二次函数的性质求解即可得． 【详解】（1）解：设方案一中长方形花圃的长为，则宽为， 由题意得：， 解得或， 当时，， 当时，， 答：方案一中长方形花圃的长为，宽为． （2）解：设方案二中花圃的面积为，与墙平行的边的长度为米，则与墙垂直的边的长度为米， 由题意得：， ∵， ∴， 由二次函数的性质可知，在内，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小， ∴当时，的值最大，最大值为363， 答：为了使方案二中花圃的面积最大，与墙平行的边的长度为33米． 【经典例题二 利用二次函数求图形运动问题】 【例2】（24-25九年级上·上海长宁·课后作业）如图，已知等腰直角的直角边长与正方形的边长均为厘米，与在同一条直线上，开始时点A与点N重合，让以每秒2厘米的速度向左运动，最终点A与点M重合，求重叠部分的面积y（平方厘米）与时间t（秒）之间的函数关系式． 【答案】 【分析】本题考查了根据实际问题抽象二次函数解析式的知识．根据是等腰直角三角形，则重叠部分也是等腰直角三角形，根据三角形的面积公式即可求解． 【详解】解：∵是等腰直角三角形，， ，， ∴重叠部分也是等腰直角三角形， 又∵， ∴， ∴， ∴． 1．（24-25九年级上·上海闵行·阶段练习）如图，为等腰直角三角形，，，正方形的边长也为2，且与在同一直线上，从点C与点D重合开始，沿直线向右平移，直到点A与点E重合为止，设的长为x，与正方形重合部分（图中阴影部分）的面积为y，则y与x之间的函数关系的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数与图形运动，二次函数的图象性质，等腰三角形的判定与性质，正方形的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先理解题意，再进行分类讨论，分别列出与正方形重合部分（图中阴影部分）的面积y的表达式，然后结合二次函数的图象性质进行分析，即可作答． 【详解】解：如图所示： ∵为等腰直角三角形，，，正方形的边长也为2， ∴， 即是等腰直角三角形， ∴当时， 此时是开口向下的二次函数， 如图所示： 依题意， 则 ∴ 故， 同理得出是等腰直角三角形， ∴当时， 此时是开口向上的二次函数， 观察四个选项，唯有A选项符合题意； 故选：A 2．（24-25九年级上·上海徐汇·阶段练习）如图，抛物线与轴交于点、，把抛物线在轴及其下方的部分记作，将向左平移得到，与轴交于点、，若直线与、共有3个不同的交点，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的应用． 依据题意，首先求出点A和点B的坐标，然后求出解析式，分别求出直线与抛物线相切时k的值以及直线过点B时k的值，结合图形即可得到答案 【详解】解：∵抛物线与x轴交于点A、B， ∴，． 又抛物线为， ∴抛物线向左平移4个单位长度 ∴平移后解析式． 当直线过B点，有2个交点 ∴， ∴． 当直线与抛物线相切时，有2个交点 ∴， 即． ∵相切， ∴ ∴． 如图， ∵若直线与、共有3个不同的交点， ∴． 故答案为：． 3．（25-26九年级上·上海杨浦·阶段练习）如图，在矩形中，，，点P从点B出发，沿边向点A以秒的速度运动，同时，点Q从点C出发沿边向点B以秒的速度移动，如果P、Q两点在分别到达B、C两点后就停止移动，回答下列问题： (1)点P运动开始后第几秒时，的面积等于； (2)点P运动开始后第几秒时，的面积最大？并求出最大面积． 【答案】(1)点P运动开始后第或秒时，的面积等于 (2)点P运动开始后第秒时，的面积最大，最大面积为 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由矩形的性质可得，设点P运动开始后第秒时，的面积等于，由题意可得，，从而得出，由三角形面积公式列出一元二次方程，解方程即可得解； （2）设点P运动开始后第秒时，的面积等于，由（1）可得，，，由三角形面积公式列出关于的二次函数，再由二次函数的性质即可得解． 【详解】（1）解：∵四边形为矩形， ∴， 设点P运动开始后第秒时，的面积等于， 由题意可得：，， ∴， 则， 解得：，， ∴点P运动开始后第或秒时，的面积等于； （2）解：设点P运动开始后第秒时，的面积等于， 由（1）可得：，，， ∴， ∵， ∴当时，的值最大为， ∴点P运动开始后第秒时，的面积最大，最大面积为． 4．（25-26九年级上·上海静安·阶段练习）如图，在矩形中，，，点从点出发，沿边向点以秒的速度移动，同时，点从点出发沿边向点C以/秒的速度移动．如果、两点在分别到达、两点后就停止移动，回答下列问题： (1)运动开始后第几秒时，的面积等于？ (2)设运动开始后第t秒时，五边形的面积为，写出S与t的函数关系式及自变量t的取值范围；并求出当t为何值时，s的值最小． (3)计算四边形的面积，并探索一个与计算结果有关的结论． 【答案】(1)秒或秒 (2)，时，的值最小 (3)，结论：四边形的面积是定值，与运动时间无关 【分析】本题考查矩形的性质，一元二次方程的应用及二次函数的应用， （1）设出运动所求的时间，可将和的长表示出来，代入三角形面积公式，列出等式，可将时间求出； （2）设运动时间为，首先表示出的面积，再利用，求出的值以及五边形最值即可； （3）根据表示出四边形面积，求出即可． 【详解】（1）解：设经过秒，的面积等于则： ，， 所以，即， 解得：或， 即经过秒或秒，的面积等于． （2）解：根据（1）中所求出的， 整理得． 则， ∴ 当时，， 故当秒，五边形的面积最小，最小值是， （3）解：， ， ， 结论：四边形的面积是定值，与运动时间无关． 【经典例题三 利用二次函数求拱桥问题】 【例3】（24-25九年级上·上海杨浦·期中）如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面时，水面宽．若水面上升，求水面宽度减少多少？ 【答案】 【分析】根据题意建立合适的平面直角坐标系，设出抛物线的解析式，从而可以求得水面的宽度减少了多少．本题考查二次函数的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，建立合适的平面直角坐标系． 【详解】解：建立如图所示的直角坐标系， 设抛物线的解析式为， 由题意可得：点在此抛物线上， 则：， 解得：， ∴， 依题意，当，即时， 解得：， ∴此时水面的宽度为m． ∴水面宽度减少了 1．（24-25九年级上·上海松江·期中）如图，一座拱桥的纵向截面是抛物线的一部分，拱桥的跨度为4.9m，当水面宽4m时，拱顶离水面2m．有下列结论： ①该抛物线的解析式为：； ②当水面宽度为5m时，水面下降了1.125m； ③当水面下降2m时，水面宽度增加了m． 其中，正确结论的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是建立二次函数关系式；因此此题可根据题意得出二次函数关系式，进而问题可求解． 【详解】解：设抛物线的解析式为， 由水面宽时，拱顶离水面，可知点在函数图象上， 将代入中，得， 解得， 故抛物线的解析式为， 故①错误； 当水面宽度为时，即，把代入得： ． 原来水面宽时，则水面下降的高度为， 所以②正确． 当水面下降时，即，把代入得： ，则，解得，此时水面宽度为， 原来水面宽，水面宽度增加了， 所以③正确． 综上，正确结论②③，共2个， 故选：C． 2．（25-26九年级上·上海长宁·阶段练习）如图所示，一座抛物线形的拱桥在正常水位时，水面宽为，拱桥的最高点O到水面的距离为．如果此时水位上升就达到警戒水位，那么宽为 m． 【答案】 【分析】本题考查二次函数在实际问题中的应用，找对位置建立坐标系再求解二次函数解析式是关键． 以点为坐标原点，的垂直平分线为轴，过点作轴的垂线，建立直角坐标系，设抛物线的解析式为，由此可得，即可求函数解析式为，再将代入解析式，求出、点的横坐标即可求的长． 【详解】解：以点为坐标原点，的垂直平分线为轴，过点作轴的垂线，建立直角坐标系， 设抛物线的解析式为， ∵点到水面的距离为， ∴、点的纵坐标为， ∵水面宽为， ， 将点A代入， ， ， ， ∵水位上升就达到警戒水位， ∴点的纵坐标为， ， ， ， 故答案为：． 3．（25-26九年级上·上海奉贤·阶段练习）一座拱桥的示意图如图2所示，当水面宽为16米时，桥洞顶部离水面4米．已知桥洞的拱桥是抛物线，请尝试解决以下问题： (1)建立合适的平面直角坐标系，求该抛物线的表达式； (2)由于暴雨导致水位上涨了2米，求此时水面的宽度； (3)已知一艘货船的高为米，宽为米，其截面如图3所示．为保证这艘货船可以安全通过拱桥，水面在正常水位的基础上最多能上升多少米？ 【答案】(1)建立的平面直角坐标系见详解， (2)米 (3)米 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，根据建立的平面直角坐标系求出函数的表达式是解题关键． （1）以的中点为平面直角坐标系的原点所在线为轴，过点作的垂线为轴建立平面直角坐标系；因此，抛物线的顶点坐标为，可设抛物线的函数表达式为，再将点的坐标代入即可求解； （2）根据题（1）的结果，令求出的两个值，从而可得水面上升2米后的水面宽度； （3）将代入，得出的值，进而减去货船的高度，即可求解． 【详解】（1）解：以的中点为平面直角坐标系的原点所在线为轴，过点作的垂线为轴，建立的平面直角坐标系如下： 根据所建立的平面直角坐标系可知，点的坐标为，抛物线的顶点坐标为， 因此设抛物线的函数表达式为， 将代入得：， 解得：， 则所求的抛物线的函数表达式为； （2）解：由题意，令得， 解得：， 则水面上升2米后的水面宽度为：（米）， （3）解：由题意，当时，， ∵一艘货船的高为米， ∴水面在正常水位的基础上最多能上升（米）． 4．（2025·上海嘉定·模拟预测）某景区有一座美丽的彩虹桥，它的部分截面示意图如图所示，桥，钢缆均呈抛物线型，线段为桥面，线段为立柱，关于所在直线对称．的最低点到的距离为，到的距离为．以为原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系、 (1)求所在抛物线的函数表达式； (2)现要悬挂两条灯带来增加夜景效果，均与垂直，点分别在上，点在上，点到的距离均为．已知所在抛物线的函数表达式为，求这两条灯带的总长． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质、二次函数的应用等知识， （1）利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出当时，，即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意知，所在抛物线的顶点为，且过， 设其表达式为， ， 解得， 所在抛物线的函数表达式为； （2）解：点到的距离均为， 当时，， ， 这两条灯带的总长为． 【经典例题四 利用二次函数求销售问题】 【例4】（25-26九年级上·上海长宁·课后作业）某体育馆可同时容纳四千人观看比赛，现C区有座位400个，某赛事主办方在试营销阶段发现：当每张票为80元时，可售出280张C区座位票．若每张降价1元，则可多售出6张票．设降价x（x取正整数）元时，可售出y张C区座位票．设C区的总票价为w元，求w关于x的函数表达式，并求出w的最大值． 【答案】，最大值为24066． 【分析】本题考查二次函数的实际应用，通过建立二次函数模型求解最大值，需注意的取值范围及实际问题的约束条件（如座位数限制）．通过计算顶点附近的整数值得出最终结果． 【详解】解：根据题意，得（）， 即． ， 当时，w有最大值． x取正整数， 当时，w有最大值，最大值为24066． 1．（25-26九年级上·上海宝山·阶段练习）某商城计划销售拉布布，每个进货价为50元．调查发现，当销售价为120元时，平均每天能售出80个；而当销售价每降低1元时，平均每天就能多售出5个．设每个拉布布降价x元时，每天获得的利润为y元，则y关于x的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，根据总利润等于单件利润乘以销量，列出方程即可． 【详解】由题意，可列y关于x的函数关系式为：． 故选：A． 2．（24-25九年级上·上海长宁·阶段练习）在月份，某地的蔬菜批发市场指导菜农生产和销售某种蔬菜，并向他们提供了这种蔬菜每千克售价与每千克成本的信息如图所示，则出售该种蔬菜每千克利润最大的月份可能是 月． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数和二次函数的应用，要注意需先根据图中得出两个函数解析式，然后再表示出收益与月份的函数式，再求解．先根据图中的信息用待定系数法表示出每千克售价的一次函数以及每千克成本的二次函数，然后每千克收益每千克售价每千克成本，得出关于收益和月份的函数关系式，根据函数的性质得出收益的最值以及相应的月份． 【详解】解：设月份出售时，每千克售价为元，每千克成本为元， 根据图像，设， ， ， ， 根据图像，设， ， ， ， ， ， ， ， 故当时，有最大值， 故答案为： 3．（25-26九年级上·上海杨浦·阶段练习）某品牌运动鞋专卖店销售一款经典运动鞋．经市场调研，该鞋的进货成本为每双元．根据以往销售数据和市场分析，店铺发现：当销售单价为元/双时，月平均销售量为双．销售单价每提高1元，月销售量就会减少5双；销售单价每降低1元，月销售量就会增加5双．设该运动鞋的销售单价为元/双，月销售总利润为y元［总利润＝（销售单价－进货成本）×月销售量]． (1)求月销售总利润y关于销售单价x的函数关系式； (2)销售单价定为多少元时，可获得最大月利润？最大月利润是多少元？ (3)销售单价在什么范围内时，店铺销售该运动鞋才能盈利？ 【答案】(1)； (2)当销售单价定为元时，可获得最大月利润，最大月利润为元 (3)销售单价在至之间时，店铺销售该运动鞋才能盈利 【分析】本题考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的图象与性质和销售利润之间的关系是解题的关键， （1）根据总利润＝（销售单价－进货成本）×月销售量的关系式分别列出当或时的方程，整理即可得到函数关系式； （2）由开口向下，根据二次函数的性质得到在对称轴的位置取得最大值，从而得到答案； （3）由于店铺销售该运动鞋要盈利，故，即．再根据二次函数的图象性质可得当时，，从而得到答案． 【详解】（1）解：（1）①当时，根据题意得， 整理得：， ②时，根据题意得， 整理得， 综上所述：月销售总利润关于销售单价的函数关系式为：． （2）解：由（1）得：， ∴，开口向下，有最大值， ∴对称轴为：， ∴当时，取最大值， （元） 答：当销售单价定为85元时，可获得最大月利润，最大月利润为6125元． （3）解：∵店铺销售该运动鞋要盈利， ∴，即． ∵令， ∴解得，， ∵二次函数开口向下， ∴当时，， ∴销售单价在至之间时，店铺销售该运动鞋才能盈利． 4．（25-26九年级上·上海松江·期中）材料：一个制造商制造一种产品，它的成本通常分为固定成本和可变成本两个部分，其中固定成本包括设计产品、厂房租赁、购置设备等费用，如果没有更换产品，我们将它看作常数；可变成本与该产品生产的件数有关，而每件产品的成本包括劳动力、材料、包装、运输等费用． 问题：某厂商生产产品中有一种篮球工艺品，已知该工艺品销路很好．它的成本（元）与生产量（个）的关系式为． (1)求该工艺品的固定成本和可变成本． (2)市场分析发现，这种工艺品一段时间内每天的销量（个）与销售单价（元/个）之间的对应关系如图所示： ①销量与销售单价之间的函数关系式． ②当售价为多少时，能使厂商每天获得的利润最大，最大利润是多少？ 【答案】(1)该工艺品的固定成本为15000元，可变成本为每件100元 (2)①，②当售价为71元时，能使厂商每天获得的利润最大，最大利润是69100 【分析】本题主要考查了二次函数的最大利润问题、一次函数的解析式等知识点，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据“固定成本包括设计产品、厂房租赁、购置设备等费用，如果没有更换产品，我们将它看作常数”，以及“可变成本与该产品生产的件数有关，而每件产品的成本包括劳动力、材料、包装、运输等费用”，据此即可解答． （2）①运用待定系数法求解销量y与销售单价x之间的函数关系式； ②经分析列式得，结合二次函数的性质，得出开口向下，在有最大值，w有最大值，再代入计算即可解答． 【详解】（1）解：∵工艺品的成本与生产量的关系式为：，且可变成本与该产品生产的件数有关， ∴该工艺品的固定成本为15000元，可变成本为每件100元． （2）解：①由题意，设销量y与销售单价x的关系式为， 则，解得：． ∴所求关系式为． ②成本应基于生产量（即销量y），即，其中， 设利润， ． ∵， ∴当时，w有最大值，且最大值为69100． 【经典例题五 利用二次函数求投球问题】 【例5】（25-26九年级上·上海宝山·阶段练习）对于一个竖直向上抛出的物体，在没有空气阻力的条件下，大致满足这样的关系式：，其中是物体距离地面的高度，是初速度，是抛出后所经历的时间．如果将一个小球从地面以的初速度竖直向上抛出，小球何时能达到10m高？ 【答案】1 秒或2 秒 【分析】本题为二次函数应用题，考查了二次函数与一元二次方程关系等知识．根据题意先得到函数关系式为，把代入，得到方程，解方程即可求解． 【详解】解：根据题意当时，函数解析式为， 当时，可得方程， 解得，． 答：抛出小球后1 秒或2 秒时，小球能达到10米高． 1．（25-26九年级上·上海静安·阶段练习）小明同学投掷实心球，出手（点处）的高度是，出手后实心球沿一段抛物线运行，到达最高点时，水平距离是，高度是．若实心球落地点为，以为坐标原点，为轴正半轴，为轴正半轴，建立如图所示的平面直角坐标系，下列结论中正确的是（   ） A．的长为 B．实心球运行过程中的最大高度是 C．实心球运行路径的函数表达式为 D．小明投掷实心球的成绩为 【答案】D 【分析】本题考查的是二次函数的实际应用，设抛物线为，把点代入即可求出解析式；当时，求得x的值，即为实心球被推出的水平距离． 【详解】解：∵出手后实心球沿一段抛物线运行，到达最高点时，水平距离是，高度是． 设抛物线解析式为：， 把点代入得：， 解得：， ∴抛物线解析式为：； 当时，， 解得，（舍去），， 即此次实心球被推出的水平距离为，即小明投掷实心球的成绩为． 观察四个选项，选项D符合题意， 故选：D． 2．（25-26九年级上·上海杨浦·阶段练习）苍南队在浙训练中发现，每一次篮球投篮轨迹满足抛物线，篮球出手至入筐过程中的水平距离长为 米． 【答案】4 【分析】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的应用是解题关键．将代入二次函数的解析式可得或，再根据二次函数的对称轴为直线，然后根据篮球框在抛物线的对称轴的右侧即可得． 【详解】解：由题意，将代入抛物线得：， 解得或， 抛物线的对称轴为直线， ∵篮球框在抛物线的对称轴的右侧，且， ∴篮球出手至入筐过程中的水平距离长为4米， 故答案为：4． 3．（25-26九年级上·上海长宁·期中）运动会上，小刘同学投掷的实心球沿如图所示的抛物线 运行．实心球抛出时离地面的高度为，实心球离初始位置的水平距离为，请建立适当的平面直角坐标系，解决下列问题： (1)求实心球运行满足的函数关系式(写成顶点式)，并写出自变量x的取值范围； (2)求实心球在运行过程中离地面的最大高度． 【答案】(1)实心球运行满足的函数关系式为 (2) 【分析】本题考查二次函数的实际应用，能够正确求出函数关系式是解题关键； （1）直接用待定系数法求函数解析式即可； （2）根据二次函数的性质直接求解即可． 【详解】（1）解：如图，以为原点，为y轴，为x轴，建立直角坐标系， 由题意：，， 将两点代入得到：， 解得， ∴实心球运行满足的函数关系式为； （2）∵，， ∴当时，取到最大值为， 答：实心球在运行过程中离地面的最大高度为． 4．（2025九年级上·上海长宁·专题练习）小明在小区内看到一个小朋友在玩跳跳球，他对此展开了研究．如下图，已知抛球点A距地面，跳跳球落在距离点远的地面上（点B处），运动轨迹为抛物线的一部分，记为图象，其最高点与抛球点的水平距离为．以点O为坐标原点建立平面直角坐标系． (1)求图象所在抛物线的解析式； (2)小球落地后立即弹起，弹起后的运动轨迹为图象（图象所在抛物线的形状相同，且图象的最高点低于图象的最高点），跳跳球恰好落到距离点远的一个矩形石凳上（），石凳高度为，宽度为． ①当跳跳球恰好落到点E处时，求图象所在抛物线的解析式； ②如果图象所在抛物线的对称轴为直线，请直接写出m的取值范围． 【答案】(1) (2)①② 【分析】（1）把函数解析式配成顶点式即可求解； （2）①设解析式为，将代入解方程，即可得；②分别考虑点落到、处时，抛物线对应的，即可判断出取值范围． 【详解】（1）解：由题可设图象所在抛物线的解析式为． 将分别代入， 得 解得 故图象所在抛物线的解析式为． （2）解：①， ∴点E的坐标为． 当图象所在抛物线经过点E时，设其解析式为． 将分别代入， 得 解得 故图象所在抛物线的解析式为． ②当图象所在抛物线经过点E时，． ， ∴点F的坐标为． 当图象所在抛物线经过点F时，设其解析式为． 将分别代入，得 解得 图象的最高点低于图象的最高点， ， 综上所述，m的取值范围为． 【点睛】本题考查了二次函数综合应用，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【经典例题六 利用二次函数求喷水问题】 【例6】（24-25九年级上·上海杨浦·期中）如图，一个移动喷灌架喷射出的水流可以近似的看成抛物线，喷水头的高度（即的长度）是1米．当喷射出的水流距离喷水头8米时，达到最大高度1.8米，求水流喷射的最远水平距离． 【答案】20米 【分析】本题考查二次函数的实际应用，设出顶点式，利用待定系数法求出函数解析式，求出时的的值即可． 【详解】解：喷水头的高度（即的长度）是1米． 当喷射出的水流距离喷水头8米时，达到最大高度1.8米， ∴设抛物线解析式为， 将点代入，得，解得， 抛物线解析式为：． 令，则， 解得，（不合题意，舍去）． ∴， ． 答：水流喷射的最远水平距离为20米． 1．（24-25九年级上·上海金山·阶段练习）学校组织学生去同安进行研学实践活动，小王同学发现在宾馆房间的洗手盘台面上有一瓶洗手液（如图①）.于是好奇的小王同学进行了实地测量研究.当小王用一定的力按住顶部A下压如图②位置时，洗手液从喷口B流出，路线近似呈抛物线状，且喷口B为该抛物线的顶点．洗手液瓶子的截面图下面部分是矩形．小王同学测得：洗手液瓶子的底面直径，喷嘴位置点B距台面的距离为，且B、D、H三点共线．小王在距离台面处接洗于液时，手心Q到直线DH的水平距离为，若小王不去接，则洗手液落在台面的位置距的水平距离是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意：所在直线为轴，的垂直平分线所在直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，喷口为抛物线顶点，共线的三点B、D、H所在直线为抛物线的对称轴，得出各点坐标，利用待定系数法求抛物线解析式进而求解． 【详解】解：根据题意：所在直线为轴，的垂直平分线所在直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，喷口为抛物线顶点，共线的三点B、D、H所在直线为抛物线的对称轴，    根据题意，，，， 将点坐标代入解析式得，， 解得：， ∴抛物线解析式为：， 当时，即， 解得：，或（舍去）， 所以洗手液落在台面的位置距的水平距离是， 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，解决本题的关键是明确待定系数法求二次函数的解析式及准确进行计算． 2．（25-26九年级上·上海闵行·阶段练习）某游乐场的圆形喷水池中心有一雕塑，从点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为轴，点为原点建立平面直角坐标系，点在轴上，轴上的点为水柱的落水点，水柱所在抛物线第一象限部分的函数表达式为，则的长为 ． 【答案】18 【分析】本题考查了二次函数与轴的交点，熟练掌握该知识点并准确计算是解题的关键．将代入，求得点的坐标，然后根据对称性，得到的长度，最后求得的长度即可． 【详解】解：将代入，得到， 解得，或（舍） ， ， 从点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同， ， ， 故答案为：18． 3．（25-26九年级上·上海静安·阶段练习）某圆形洗手盆上安装了一款水龙头，其弯曲部分呈抛物线形，以水龙头底部与洗手盆台面的交点O为坐标原点，直立部分所在直线为y轴，垂直于的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，测得水龙头最高点P距x轴，距y轴． (1)直接写出点P的坐标__________； (2)若沿水龙头喷出的水柱仍然按照原来的抛物线轨迹运动，且在台面的落点到直立部分的距离为，求水龙头直立部分的长度． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确的求出二次函数的解析式，是解题的关键： （1）根据点到坐标轴的距离，写出点P的坐标即可； （2）根据题意得到抛物线与轴的交点坐标，设出顶点式，待定系数法求出函数解析式，求出抛物线与轴的交点即可得出结果。 【详解】（1）解：∵点P距x轴，距y轴，且点在第一象限， ∴， 故答案为：； （2）解：由题意得，设抛物线解析式为，且抛物线经过点， ∴，解得， 因此， 当时，， ∴水龙头直立部分的长度为． 4．（2025·上海闵行·模拟预测）如图，某小区内的水池里有一个可垂直升降的喷泉，喷出的水柱呈抛物线．线段表示水池的宽，米，以边缘点为原点，所在的直线为轴，过点垂直于的直线为轴建立平面直角坐标系，在地面上的点处有一个喷头，从喷出的水柱，在点处落地，其到地面的垂直高度（米）与水平距离（米）之间的关系为，且，已知米，米． (1)求、的值以及抛物线的对称轴； (2)小区工作人员准备升高喷头的位置（水柱的形状大小与喷头的高度无关），，要使水柱落地点不超过点，则喷头调节的最大高度为多少米？ 【答案】(1)，抛物线的对称轴为直线 (2) 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，抛物线与轴的交点坐标，抛物线的对称轴，函数图象平移的性质等知识点，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质． （1）利用抛物线与轴的交点坐标即可求出系数的值，利用抛物线对称轴的公式即可求解； （2）假设最大，根据（1）求出原二次函数的解析式，利用平移的性质表示出新抛物线的解析式，然后代入点的坐标即可求解． 【详解】（1）解：根据，且，结合抛物线可得， 点的横坐标为，点的横坐标为， ∵，， ∴， 抛物线的对称轴为直线； （2）解：假设最大， 由（1）得抛物线的解析式为， 向上平移之后抛物线的解析式为， 将代入解析式得， 解得， ∴， ∴喷头调节的最大高度为米． 【经典例题七 利用二次函数求增长率问题】 【例7】（2025九年级上·上海长宁·专题练习）某件商品原价为100元，经过两次涨价后的价格为元，如果每次涨价的百分率都是，求关于的函数关系式． 【答案】 【分析】本题考查了根据实际问题列函数关系式，根据现在的价格等于原价乘以（涨价的百分率）的平方，即可得解． 【详解】解：根据现在的价格等于原价乘以（涨价的百分率）的平方， 得：， 关于的函数关系式：． 1．（24-25九年级上·上海长宁·课后作业）进入夏季后，某电器商场为减少库存，对电热取暖器连续进行两次降价，设平均每次降价的百分率为，降价后的价格为y元，原价为a元，则y与x的函数关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】∴第一次降价后的价格是a×(1−x)， 第二次降价为a×(1−x)×(1−x)=a(1−x)2 ∴y=a(1−x)2. 故选D. 2．（2025·上海奉贤·模拟预测）某快递公司十月份快递件数是10万件，如果该公司第四季度每个月快递件数的增长率都为x(x＞0)，十二月份的快递件数为y万件，那么y关于x的函数解析式是 ． 【答案】y=10（x+1）2 【详解】根据题意，把十月份的看作单位1，进而可得十二月邮件数为：y=10（x+1）2，所以y关于x的函数解析式是y=10（x+1）2． 故答案为y=10（x+1）2 【点睛】本题考查了根据题意列出一次函数的解析式，关键是找准等量关系． 3．（2015·上海嘉定·模拟预测）某工厂一种产品2022年的产量是100万件，计划2024年产量达到121万件．假设2022年到2024年这种产品产量的年增长率相同． (1)求2022年到2024年这种产品产量的年增长率； (2)2023年这种产品的产量应达到多少万件？ 【答案】(1)这种产品产量的年增长率为 (2)2023年这种产品的产量应达到110万件 【分析】（1）通过增长率公式列出一元二次方程即可求出增长率； （2）依据求得的增长率，代入2023年产量的表达式即可解决． 【详解】（1）解：设这种产品产量的年增长率为x， 根据题意列方程得， 解得，（舍去）． 答：这种产品产量的年增长率为． （2）解：（万件）． 答：2023年这种产品的产量应达到110万件． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程是实际应用——增长率问题，解题的关键是掌握：增长率问题中可以设基数为a，平均增长率为x，增长的次数为n，则增长后的结果为；而增长率为负数时，则降低后的结果为． 4．（24-25九年级上·上海虹口·期中）向阳村养鸡专业户李明2020年的纯收入是6万元，预计2022年的纯收入是7.26万元． (1)求李明这两年纯收入的年平均增长率； (2)随着养鸡规模不断扩大，李明需要再建一个养鸡场，他计划用一段长为100米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形养鸡场（如图），墙长50米，养鸡场面积为1200米2，求养鸡场与墙平行的一边的长度． 【答案】(1)； (2)40米． 【分析】（1）设李明这两年纯收入的年平均增长率为x，根据题意列出方程，即可求解； （2）设养鸡场与墙平行的一边的长度为a米，则可求出与墙垂直的宽为米，再根据长方形的面积公式列出方程即可求解． 【详解】（1）解：设李明这两年纯收入的年平均增长率为x，根据题意可得， 解得，，（不合题意，舍去） 答：李明这两年纯收入的年平均增长率为； （2）解：设养鸡场与墙平行的一边的长度为a米，根据题意可得 ， 解得，，（不合题意，舍去） 答：养鸡场与墙平行的一边的长度为40米． 【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是要理解题意，能正确列出方程． 【经典例题八 二次函数综合应用--面积问题】 【例8】（25-26九年级上·上海青浦·阶段练习）已知二次函数，顶点为P，若抛物线与x轴交于、两点，求三角形的面积 【答案】8 【分析】本题考查了二次函数的性质，坐标与图形面积，由A、B的坐标和顶点P的坐标，即可求出答案 【详解】解：由二次函数可知，顶点为， 又、， 1．（25-26九年级上·上海普陀·期中）如图，抛物线与直线相交于点A、B，连接、，则的面积是（   ） A．3 B．4 C．6 D．12 【答案】C 【分析】本题考查了抛物线和三角形面积，令得一元二次方程，求解可得点A，B的坐标，进一步由三角形面积公式可得结论． 【详解】解：对于 令，得 解得，，， ∴，， ∴    ∴． 故选：C． 2．（25-26九年级上·上海金山·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点，与轴交于点，点为抛物线上一动点，若的面积为，则点的坐标为 ． 【答案】或或或． 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质、待定系数法求解析式和抛物线上点的坐标和特征，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键． 利用待定系数法求出函数解析式，再根据三角形面积求出P点的纵坐标，进而由函数解析式求出横坐标． 【详解】解：依题意得： ，解得：， ∴抛物线解析式为：， ∵，， ∴， 令得，解得，； 令得，解得，． 所以P坐标为或或或． 3．（25-26九年级上·上海静安·期中）如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中点A的坐标为，点在抛物线上． (1)求抛物线的解析式； (2)若抛物线上有一动点P，使的面积为9，求点P的坐标． 【答案】(1)； (2)点P坐标为或． 【分析】本题考查二次函数的性质，解题关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式，掌握函数与方程的关系，通过分类讨论求解． （1）通过待定系数法求函数解析式； （2）求出点B坐标，由可得点P坐标，从而求解． 【详解】（1）解：将代入得 ， 解得， ∴； （2）解：∵， ∴抛物线对称轴为直线， ∵点A坐标为， ∴点B坐标为， ∴， ∵三角形的面积为9， ∴， ∴， 把代入得， 解得或； 把代入得， 整理得：， ， 方程无解； ∴点P坐标为或． 4．（25-26九年级上·上海松江·阶段练习）如图，已知二次函数与一次函数的图象相交于A、B两点．其中． (1)求的值； (2)求的面积； (3)P是第四象限内直线上方抛物线上的一个动点，过点P作x轴的垂线交直线于点，当时，求点的坐标． 【答案】(1)， (2)3 (3) 【分析】本题考查二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养． （1）把分别代入一次函数和二次函数解析式，即可求解； （2）由的面积，即可求解； （3）设点，则点，则，即可求解． 【详解】（1）解：∵二次函数与一次函数的图象相交于A、B两点．其中． ∴把代入得，解得； 把代入得，解得； （2）解：由（1）知，二次函数与一次函数， 联立上述两个函数表达式得：， 解得：， ∴， 设直线交y轴于点H，则， 则的面积； （3）解：设点，则点， ∴， 解得：（舍去）或， 即点． 【经典例题九 二次函数综合应用--线段周长问题】 【例9】（24-25九年级上·上海宝山·阶段练习）抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为，点C的坐标为，抛物线顶点为D． (1)求抛物线解析式； (2)在抛物线对称轴上取一点P，使得最短，求点P坐标． 【答案】(1)； (2)当的值最小时，点P的坐标为：． 【分析】此题考查了待定系数法求解析式以及距离最短问题． （1）利用待定系数法求解即可； （2）首先连接交抛物线对称轴l于点P，则此时的值最小，然后利用待定系数法求得直线的解析式，继而求得答案． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点和， ∴，解得， ∴抛物线解析式为； （2）解：连接交抛物线对称轴l于点P，则此时的值最小， ， ∴抛物线对称轴为直线， ∵点A的坐标为， ∴点B的坐标为， 设直线的解析式为：， ∴， 解得：． ∴直线的解析式为：， 当时，， ∴当的值最小时，点P的坐标为：． 1．（2025·上海松江·模拟预测）已知二次函数的图象的顶点为，在轴上方的抛物线上有两点，点和点连接．过点作轴的垂线，交于点，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数综合，相似三角形的性质与判定，求出对称轴为直线，过点P和点Q分别作直线的垂线，垂足分别为E、F，则，证明，由相似三角形的性质可得，解方程即可得到答案． 【详解】解；∵抛物线解析式为， ∴抛物线对称轴为直线； 如图所示，过点P和点Q分别作直线的垂线，垂足分别为E、F， ∵点和点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 解得（已检验）， 故选：D． 2．（25-26九年级上·上海宝山·阶段练习）如图，已知直线分别交x轴、y轴于点A、B，点P是抛物线在直线上方图象上的一个动点，其横坐标为a，过点P且平行于y轴的直线交直线于点Q，则当最大时，a的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和一次函数图象上点的坐标特征是解题的关键．设，，求出，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：根据题意，设，， 则， ∵，且， ∴当时，有最大值，最大值为． 故答案为：． 3．（25-26九年级上·上海闵行·期中）如图，抛物线（，为常数，）的顶点坐标为，与轴相交于，两点（点在点的左侧），与轴相交于点． (1)求点和点的坐标； (2)点是直线上方该抛物线上一点，过点作轴，与直线相交于点，求线段的最大值． 【答案】(1) ， (2) 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数与线段综合，求一次函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据抛物线的顶点坐标为，进行列方程，再解出方程，得，理解题意，得，解得，，即可作答． （2）理解题意，得，再求出直线的解析式，整理得，然后化为顶点式，得，运用二次函数的图象性质，进行分析，即可作答． 【详解】（1）解： 抛物线的顶点坐标为， 解得． ∴， 由，得． ∴， 解得，． 点的坐标为，点的坐标为． （2）解：依题意，如图所示： 点在抛物线上， ． 当时，． 点的坐标为． 又， 设直线的解析式为 ， 解得， 可得直线的解析式为． 轴， 点的坐标为． 点在直线的上方， ． 则， ∵， ∴开口向下， 当时，的最大值为． 4．（25-26九年级上·上海松江·阶段练习）如图，抛物线交轴于点和点，交轴于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)点是抛物线对称轴上一动点，则周长的最小值为_____． (3)如图，设点是线段上的一动点，作轴，交抛物线于点，求的最大值，并直接写出此时的面积． 【答案】(1) (2) (3)的最大值为，此时的面积为 【分析】本题主要考查了二次函数综合，求二次函数解析式，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）求出点B坐标，进而求出线段的长；，连接，由抛物线的对称性可得，则可推出当P、A、C三点共线时有最小值，且最小值为线段，即此时的周长有最小值，最小值为的值，据此利用勾股定理求出的长即可得到答案； （3）求出直线解析式为；设，则，则，据此求出的最大值，再根据求出对应的面积即可． 【详解】（1）解：∵，抛物线交轴于点和点，交轴于点， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为； （2）解：在中，当时，， 解得或， ∴， ∴； 如图所示，连接， 由抛物线的对称性可得， ∴的周长， ∴当P、A、C三点共线时有最小值，且最小值为线段，即此时的周长有最小值，最小值为的值， ∵， ∴的周长的最小值为； （3）解：设直线解析式为， 则， ∴， ∴直线解析式为； 设，则， ∴ ， ∵， ∴当，即时，有最大值，最大值为， ∴此时 ． 【经典例题十 二次函数综合应用--角度问题】 【例10】（24-25九年级上·上海·阶段练习）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点C． (1)求b的值； (2)如图，M是第一象限抛物线上的点，，求点M的横坐标． 【答案】(1) (2)点M的横坐标为． 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式是、二次函数综合、相似三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）过点M作于点H．证明，得出，设，则，，结合题意得出，分别计算即可得解． 【详解】（1）解：将点代入，得， 解得； （2）解：过点M作于点H． 令，则， ， ，， ， ∴， 设，则，， ∴， 整理，得， 由，得（舍），． 点M的横坐标为． 1．（2025·上海普陀·模拟预测）如图，二次函数的图象交轴于，两点，图象上的一点使，则点的坐标是　　 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角形的判定和性质，表示出的坐标是解题的关键．过点作轴于点，构造等腰直角，设，根据等腰直角三角形的性质表示出点的坐标，代入抛物线解析式得到关于的方程，解方程即可求解． 【详解】解：二次函数中，令，则， 解得，， ，， 过点作轴于点， ， ， 是等腰直角三角形， ， 设， ， 点在二次函数的图象上， ， 解得，（舍去）， ， 故选：． 2．（2025·上海静安·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线交轴于点，过作轴，交抛物线于点，点为上方抛物线上一点，连接，作于点．若，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质．设点的坐标为，求出点A的坐标，再由轴，，可得点Q的坐标为，再根据是等腰直角三角形，可得到关于m的方程，即可求解． 【详解】解：设点的坐标为， 当时，， ∴点A的坐标为， ∵轴，， ∴点Q的坐标为， ∴，， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 解得：或0（舍去）， ∴点的坐标为． 故答案为： 3．（24-25九年级上·上海嘉定·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点C，其顶点为D． (1)求抛物线的解析式； (2)一动点M从点D出发，以每秒1个单位的速度沿抛物线的对称轴向下运动，连接，，设运动时间为t秒，在点M的运动过程中，当时，求t的值． 【答案】(1) (2)当时， 【分析】（1）将点A，B的坐标代入抛物线可求出a，b的值即可. （2）先求出顶点D的坐标，设，，分别用含m的代数式表示出，，的值，利用勾股定理可求出m的值，即可得t的值． 【详解】（1）解：抛物线与轴交于，两点， ， ， 抛物线解析式为. （2）解：如图，由（1）， 顶点 一动点M从点D出发，以每秒1个单位的速度沿抛物线的对称轴向下运动，连接，，   设，， ，，， ， ， ， （舍），， ， ， ， 当时，． 【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，二次函数的图象及性质，角度与动点结合等，解题关键是能够熟练运用含字母的代数式表示线段的长度． 4．（24-25九年级上·上海奉贤·期中）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，点P是x轴上方抛物线上不与点C重合的一动点，设点P的横坐标为m． (1)求该抛物线的解析式及点C的坐标； (2)如图，当时，求m的值； (3)过点P分别作x轴、y轴的平行线交于点M、N，的周长记为l． ①请直接写出l关于m的函数解析式； ②在点P运动的过程中，当l取某一个值时，存在两个点，它们的横坐标分别为，（），满足，请求出此时l的值． 【答案】(1) (2) (3)①；② 【分析】（1）根据待定系数法求二次函数的解析式即可求解； （2）如图，过P作轴于点D，求出，，由题意知，则，表示出，，然后根据题意得到，，代入求解即可； （）设得解析式为，求出得解析式为，设，则，，分当点在下方时，即时和当点在上方时，即时，求出即可； l与m的图象如图所示，然后得到，，然后分和两种情况讨论，然后分别求解即可． 【详解】（1）∵抛物线与x轴交于，两点， ∴ 解得 ∴， ∴将时， ∴； （2）如图，过P作轴于点D， ∵，，， ∴，， 由题意知，则，， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， 解得：，（与点B重合，舍去）， ∴； （3）由（）得：， 设得解析式为：， ∴，解：， ∴得解析式为：， 设， ∵轴，轴， ∴，， 如图，当点在下方时，即时， ∴，， ∴， ∴的周长； 如图，当点在上方时，即时， ∴，， ∴， ∴的周长； ∴； ②l与m的图象如图所示， ∵，， ∴，， 当时，， ∴， 解得：或（不合题意，舍去）， ∴， 当时，由图象可知横坐标为与的两点关于对称， ∴，此时，这种情况不成立， 综上：． 【点睛】本题考查了二次函数和一次函数的图象及性质，待定系数法，解直角三角形和解一元二次方程，熟练掌握知识点点的应用是解题的关键． 【经典例题十一 二次函数综合应用--特殊三角形问题】 【例11】（25-26九年级上·上海长宁·课后作业）如图，抛物线与过点且平行于x轴的直线相交于点A，B，与y轴交于点C．若为直角，求a的值． 【答案】 【分析】直线与轴交于点，如图，则，利用二次函数的性质得是等腰三角形，再证明为等腰直角三角形，得到，所以，然后把点坐标代入即可得到的值. 【详解】解：由题意，得点的坐标为， ． 点都在抛物线上，且平行于x轴， 为等腰三角形，且轴． 为直角， 为等腰直角三角形， ， ∴点的坐标为． 把代入，得，解得． 【点睛】本题考查了二次函数图像上点的坐标特征，二次函数的性质和等腰直角三角形的性质，二次函数图像上的点的坐标满足其解析式是解题的关键． 1．（24-25九年级上·上海松江·阶段练习）如图，已知抛物线与x轴交于A和B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D点．若点M是抛物线上一点，点N在y轴上，连接，当是以为直角的等腰直角三角形时，点M的坐标为（　　） A． B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点，过M点作于H点，如图，先确定，设，易得为等腰直角三角形，所以，则或，利用M点纵坐标的表示方法得到即或，然后分别解方程求出m，从而得到M点的坐标． 【详解】解：过M点作于H点，如图， 当时，， ∴， 设， ∴是以为直角的等腰直角三角形， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴或， 即或， 解方程得（舍去），，此时M点的坐标为； 解方程得（舍去），，此时M点的坐标为； 综上所述，M点的坐标为或． 故选：C． 2．（25-26九年级上·上海崇明·阶段练习）如图，已知二次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，在对称轴上是否存在一点P，使以P、A、B为顶点的三角形为直角三角形，若存在，请写出点P的坐标 ． 【答案】或 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，二次函数图象与坐标轴的交点，勾股定理的应用；先根据解析式求得，，二次函数图象的对称轴为直线，进而设，根据勾股定理表示出，进而分类讨论，即可求解． 【详解】解：当时，，则 当时，， 解得： ∴， ∵二次函数图象的对称轴为直线， 设， ∴，， 当时， ∴ 解得：（舍去）或， ∴ 当时，，即． 解得，此时（与点重合，舍去） 当时， 解得，此时 综上所述：或． 故答案为：或． 3．（25-26九年级上·上海普陀·阶段练习）如图，顶点为的抛物线分别与轴相交于点，（点在点的右侧）与轴相交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)判断是否为直角三角形，并说明理由： (3)求四边形的面积． 【答案】(1) (2)是直角三角形 (3) 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数综合，勾股定理及其逆定理，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． （1）把点C坐标代入解析式中计算求解即可； （2）根据（1）所求可求出B、M的坐标，再利用两点距离计算公式可推出，则由勾股定理的逆定理可得结论； （3）根据可知，只需要求出的面积即可得到答案． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴相交于点， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为； （2）解；是直角三角形，理由如下： ∵抛物线解析式为， ∴抛物线的顶点M的坐标为， 在中，当时，或， ∴， ∴，， ， ∴， ∴是直角三角形； （3）解：由（2）可得是直角三角形，且，， 又∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴． 4．（25-26九年级上·上海奉贤·期中）如图，抛物线与轴交于、两点（点在点左侧），与轴交于点，顶点为． (1)求、两点的坐标； (2)连接，与抛物线的对称轴交于点，点为线段上的一个动点，过点作轴，交抛物线于点．设的横坐标为． ①用含的代数式表示线段的长； ②当为何值时，四边形为平行四边形，请说明理由； ③当为何值时，为直角三角形，直接写出结论． 【答案】(1)点，点 (2)①（），②当时，四边形为平行四边形，理由见解析，③当或时，为直角三角形 【分析】题目主要考查二次函数的性质，解一元二次方程，平行四边形的性质，直角三角形的定义等，理解题意，熟练掌握二次函数的性质是解题关键． （1）令抛物线解析式中，得出关于x的一元二次方程，解方程即可得出结论； （2）①令抛物线解析式中求出y值，即可得出点C的坐标，结合点B、C的坐标利用待定系数法求出直线的解析式，再由点P的横坐标为m找出点F、P的坐标，由此即可得出结论； ②利用配方法求出抛物线的对称轴以及顶点D的坐标，根据点D坐标即可得出点E坐标以及线段的长度，再根据平行四边形的性质可得出，由此可得出关于m的一元二次方程，解方程即可得出结论； ③由轴可得出若要为直角三角形，则只能是或，然后求解即可． 【详解】（1）解：中， 则有， 解得：， ∵点A在点B的左侧， ∴点，点． （2）①中，则， ∴点． 设直线的解析式为， 将点、代入中， 得：，， 解得： ， ∴直线的解析式为． ∵点P的横坐标为m，轴， ∴点，， ∴． ②∵， ∴抛物线的对称轴为，顶点， 将代入中，得：， ∴点， ∴． ∵四边形为平行四边形， ∴，即， 解得：（舍去），， ∴当时，四边形为平行四边形． ③∵轴， ∴， ∵为直角三角形， ∴当时． ∵轴，， ∴轴， ∴点C、F关于对称轴对称， ∵点，抛物线对称轴为， ∴． ∴当时． 过点P作轴于点L， ∴， ∵点、， ∴， ∴、为等腰直角三角形， ∴， ∴， 解得：或（舍去）， 综上可得：或． 【经典例题十二 二次函数综合应用--特殊四边形】 【例12】（24-25九年级上·上海闵行·期中）如图，抛物线经过点，，点是直线上的动点，过点作轴的垂线交抛物线于点．设点的横坐标为．    (1)求抛物线的解析式； (2)若点在第一象限，连接，当线段最长时，求的面积； (3)是否存在这样的点，使以点为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)当时，最长为，此时 (3)存在点，使以点为顶点的四边形为平行四边形，坐标为或 【分析】（1）用待定系数法即可求解； （2）根据题意求出的解析式，设，则，根据点在抛物线上，可用含的式子表示出的长，根据二次函数的特点即可求解； （3）根据平行四边形的性质，结合图形，抛物线的性质即可求解． 【详解】（1）解：将点，，代入， ∴，解得， ∴． （2）解：如图所示，    设直线的解析式为， ∴，解得， ∴， ∵，则， ∴， 当时，最长为，此时． （3）解：存在点，使以点为顶点的四边形为平行四边形，理由如下： 由（2）知，，， ∴ ∵，且使以点为顶点的四边形为平行四边形， ∴， ∴， ①，解得：或， ∴或； ②，此时t无解； 综上所述：点坐标为或． 【点睛】本题主要考查二次函数，一次函数与几何图形的综合，掌握待定系数法求解析式的方法，二次函数图像的性质，几何图形的性质等知识是解题的关键． 1．（24-25九年级上·上海静安·期中）如图，正方形的顶点A，C在抛物线上，点D在y轴上．若A，C两点的横坐标分别为m，n，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征、全等三角形的判定与性质及正方形的性质，分别过A，两点作轴的垂线，进而得出全等三角形，根据全等三角形的性质得出，即可解决问题． 【详解】解：分别过点A和点作轴的垂线，垂足分别为和， 将A，两点的横坐标代入函数解析式得， 点坐标为，点坐标为， ∴，，，． ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 又∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 2．（25-26九年级上·上海宝山·阶段练习）如图，已知二次函数图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，在对称轴上存在一点P，使以P，A，O，B为顶点的四边形为平行四边形，写出此时点P的坐标 ． 【答案】或 【分析】本题考查了二次函数的性质，平行四边形的性质． 根据二次函数的性质求出，，设，根据平行四边形的性可知，即，即可求出点P的坐标． 【详解】解：当时，，则， 当时，， 解得：， ∴， 设， ∵以P，A，O，B为顶点的四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴， 即或． 故答案为：或． 3．（25-26九年级上·上海静安·期中）如图，在平面直角坐标系中，点在抛物线上，过点作轴的垂线，交抛物线于另一点，点，在线段上，分别过点，作轴的垂线，交抛物线于，两点． (1)求抛物线对应的函数解析式； (2)当四边形为正方形时，求线段的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解是解决本题的关键． （1）将点代入抛物线中求出解析式为； （2）设，进而求得E点坐标为，代入中即可求解． 【详解】（1）将点代入抛物线中，得 解得， ∴抛物线解析式为； （2）设、分别与轴交于点M和点N， 当四边形为正方形时，设，则，， ∴E点坐标为，代入抛物线中， 得到：， 解得，（负值舍去）， ∴． 4．（25-26九年级上·上海普陀·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，且当和时所对应的函数值相等．一次函数与二次函数的图象分别交于B，C两点，点在第一象限． (1)求二次函数的表达式； (2)连接，，试判断的形状，并说明理由； (3)点是线段的中点，二次函数的图象上是否存在点，使得四边形是菱形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)直角三角形，理由见解析 (3) 【分析】（1）根据当和时所对应的函数值相等，可得，根据待定系数法，可得函数解析式； （2）联立抛物线与直线，可得方程组，根据解方程组，可得B、C点坐标，根据勾股定理的逆定理求解即可； （3）首先得到，然后得到当四边形是平行四边形时，四边形是菱形，求出，设点N的横坐标为n，然后根据平行四边形的性质求解即可． 【详解】（1）∵当和时所对应的函数值相等 ∴对称轴为直线 ∴ ∴ 将代入得， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）如图所示，连接，， 联立抛物线与直线，得， 解得或， ∴，， ∵ ∴， ∴， ∴是直角三角形； （3）如图所示， 由（2）得， ∴ ∵点是线段的中点， ∴， ∴当四边形是平行四边形时，四边形是菱形 ∵，， ∴，即， 设点N的横坐标为n， ∵ ∴ ∴ ∴将代入 ∴． 【点睛】本题考查了二次函数综合题，利用了待定系数法求函数解析式，菱形的判定和性质，平行四边形的性质，勾股定理和逆定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 【拓展训练一 二次函数销售问题中的捐赠类问题（含参）】 1．（24-25九年级上·上海宝山·期中）平安路上，多“盔”有你，在“交通安全宣传月”期间，某商店销售一批头盔，进价为每顶40元，售价为每顶68元，平均每周可售出100顶，商店计划将头盔降价销售，每顶售价不高于58元，经调查发现：每降价1元，平均每周可多售出20顶． (1)若该商店希望平均每周获利4000元，则每顶头盔应降价多少？ (2)商店降价销售后，决定每销售1顶头盔，就向某慈善机构捐赠m元（m为整数，且），帮助做“交通安全”宣传，捐赠后发现，该商店每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大，求m的值． 【答案】(1)每顶头盔应降价20元； (2)或4． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及二次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据各数量之间的关系，找出关于的函数关系式． （1）设每顶头盔应降价元，则每顶头盔的销售利润为元，平均每周的销售量为顶，根据每周销售头盔获得的利润每顶头盔的销售利润平均每周的销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，结合每顶售价不高于58元，即可确定的值； （2）设每周扣除捐赠后可获得利润为元，每顶头盔售价为元，利用每周销售头盔获得的利润每顶头盔的销售利润平均每周的销售量，即可得出关于的函数关系式，利用二次函数的性质可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围，再结合且为整数，即可得出的值． 【详解】（1）解：设每顶头盔应降价元，则每顶头盔的销售利润为元，平均每周的销售量为顶， 依题意得：， 整理得：， 解得：，， ， ， ． 答：每顶头盔应降价20元； （2）解：设每周扣除捐赠后可获得利润为元，每顶头盔售价为元， 依题意得：． 抛物线的对称轴为，开口向下，当时，利润仍随售价的增大而增大， ， 解得：， 又∵，且为整数， 或． 2．（2025·上海静安·模拟预测）“六一”儿童节期间，某超市以元/个的价格购入一批儿童礼品．在销售前，销售经理进行了市场调研． 调研数据：下表是日销售数量y（个）与销售单价x（元）的部分调研数据： 销售单价x/元 … … 日销售数量y/个 … … 建立模型：（1）根据调研数据可知y是x的_________（填“一次”“二次”或“反比例”）函数，y关于x的函数表达式为_________． 问题解决：（2）儿童礼品的销售单价定为多少元时，日销售利润最大，最大日销售利润是多少？ （3）若该超市决定每销售一个儿童礼品就向儿童福利院捐赠m元，捐赠后，该儿童礼品日销售最大利润为元，求m的值． 【答案】（1）一次，；（2）儿童礼品的销售单价定为元时，日销售利润最大，最大日销售利润为元；（3）2 【分析】本题考查了一次函数的实际应用，二次函数的实际应用，求二次函数的最值，解答关键是列出函数表达式再求解． （1）先判定为一次函数，再利用待定系数法求解； （2）设日销售利润为元，根据“利润=单件利润×销售量”求出关于的函数表达式，然后利用二次函数的性质求解； （3）设日销售利润为元，根据利润=单件利润×销售量销售量求出关于的函数表达式，然后利用二次函数的性质求解． 【详解】建立模型： （1）解：一次，设这个一次函数解析式为， 则，解得：， 所以这个一次函数解析式为； 故答案为：一次，； 问题解决： （2）设日销售利润为元． 根据题意得． ，当时，有最大值，最大值为． 答：儿童礼品的销售单价定为元时，日销售利润最大，最大日销售利润为元． （3）设捐赠后，日销售利润为元， 根据题意得． ， 当时， 有最大值，最大值为． 的最大值为， ． 解得，． 当时，，，符合题意． 当时，，，不符合题意，舍去． 答：的值为2． 3．（24-25九年级上·上海宝山·阶段练习）如图，2020年是脱贫攻坚决胜年．某地实施产业扶贫种植某种水果，其成本经过测算为20元，投放市场后，经过市场调研发现，这种水果在上市的一段时间内的销售单价p（元）与时间 t（天）之间的函数图象如图，且其日销售量与时间t（天）的关系是 天数为整数． (1)试求销售单价p（元）与时间t（天）之间的函数关系式； (2)问哪一天的销售利润最大？最大日销售利润为多少？ (3)在实际销售的前30天中，公司决定每销售水果就捐赠n元利润 给“精准扶贫“对象．现发现：在前30天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t的增大而增大，求n的取值范围． 【答案】(1) (2)第10天时，最大日销售利润为1250元； (3) 【分析】本题考查了二次函数的应用，一次函数的应用，二次函数的性质，二次函数的最值问题，熟练运用二次函数的性质是本题的关键． （1）利用待定系数法求解析式； （2）设日销售利润为w元，分别求出分段函数的中w的最大值，即可求解； （3）先求出每天扣除捐赠后的日销售利润与时间t的关系式，由二次函数的性质列出不等式组，可求解． 【详解】（1）解：当时，设销售单价p（元）与时间t（天）之间的函数关系式为， ∴， ∴t， ∴pt+30， 当时，， 综上所述：； （2）解：设日销售利润为w元， 当时， ， ∴当时，w有最大值为1250元， 当时，， ∴第10天时，最大日销售利润为1250元； （3）解：∵， ∴a， 对称轴为． ∵每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t的增大而增大,且由于t只取正整数， ∴， ∴； 【拓展训练二 二次函数中角度计算问题（45°等）】 1．（2025·上海静安·模拟预测）已知抛物线，的顶点分别为、，且它们都经过轴上的点． (1)如果抛物线经过点，抛物线经过点，求这两个抛物线的表达式； (2)已知，求的值； (3)当时，能否确定系数、、的值？如果能，请求出相应的值；如果不能，请简要说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)，m、n的值不能确定，理由见解析 【分析】本题主要考查了二次函数综合，相似三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，利用数形结合的思想求解是解题的关键． （1）先求出两个抛物线与y轴的交点坐标，进而得到，再利用待定系数法求解即可； （2）先求出，，再过点B作轴于D，连接，可证明是等腰直角三角形，得到，则，据此求解即可； （3）求出，则可得到轴，设与y轴交于D，可证明，则可得到，据此可求出a的值，而m、n的值为任意实数，据此可得答案． 【详解】（1）解：在中，当时，， 在中，当时，， ∵两个抛物线都经过轴上的点， ∴， ∵抛物线经过点， ∴， ∴， ∵抛物线经过点， ∴， ∴， ∴两个抛物线的解析式分别为，； （2）解：∵， ∴， 在中，当时，， ∴， 如图所示，过点B作轴于D，连接， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴或（舍去）； （3）解：，m、n的值不能确定，理由如下： ∵， ∴， 由（1）得，由（2）得， ∴点A与点B的纵坐标相同， ∴轴， 设与y轴交于D， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或（舍去）； ∵当时，都能满足， ∴m、n为任意实数， ∴m、n的值不能确定． 2．（2025·上海徐汇·模拟预测）如图，抛物线与轴交于、两点（点在点的右侧），与轴交于点，且． (1)求抛物线的表达式； (2)点在抛物线上，当时，求点的横坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）先将代入，求出点B的坐标，根据，得到点A的坐标，利用待定系数法将点A坐标代入即可求解； （2）先求出点C的坐标，由，可得是等腰直角三角形，得到，根据，则，可得点P在y轴右侧，分点P在x轴上方和下方两种情况讨论即可． 【详解】（1）解：将代入，则， ∴， ∵， ∴， 将点A坐标代入得， 解得：， ∴抛物线的表达式为：； （2）解：令，则， 解得：或， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点P在y轴右侧， 当点P在x轴下方时，设延长线交x轴于点E， 则，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为，则， 解得：， ∴直线的解析式为， 令，即 解得：或（舍去）， ∴点的横坐标为； 当点P在x轴上方时，设与x轴交于点F， 则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为，则， 解得：， ∴直线的解析式为， 令，即 解得：或（舍去）， ∴点的横坐标为； 综上，点的横坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质、一次函数与几何综合、待定系数法求解析式和抛物线上点的坐标和特征，解直角三角形，全等三角形的判定与性质，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键． 3．（25-26九年级上·上海杨浦·阶段练习）如图，已知抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点，． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若点为直线下方抛物线上一点，连接并交于点，若分的面积为两部分，请求出点的坐标； (3)在轴上是否存在一点，使得，若存在，请求出点．的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)或． 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，直角三角形的三角函数，平行线的性质是解题的关键． （1）求出、点坐标后代入，即可求解； （2）设，过点作轴交于点，过点作轴交于点，，求出直线的解析式和直线的解析式，再联立方程组，求出点坐标，由题意可知或，求出的值即可求解； （3）在轴上取点，当N在y轴负半轴时，证明，然后根据相似三角形的性质可求出；当N在y轴正半轴时，根据轴对称性求解即可． 【详解】（1）解：， ，， 将点、代入， ， 解得， ； （2）解：令， 解得或， ， 如图，过点作轴交于点，过点作轴交于点， ， 设直线的解析式为， ， 解得， ， 设，直线的解析式为， ， 解得， ， 联立方程组， 解得， ， 分的面积为两部分， 或， ， ， 当时，， 可得， 解得或， 或； 当时，， 可得， 此时方程无解， 综上所述，或； （3）解：存在一点，使得，理由如下： 在轴上取点， 当N在y轴负半轴时，如图， ，， ，，， ， ， ， ， 又， ， ，即， ， ， ， 当N在y轴正半轴时，记为，如图， 则和N关于x轴对称， ∴ 综上，N的坐标为或． 【拓展训练三 铅垂高、水平宽求面积最值问题】 1．（2025·上海青浦·模拟预测）高尔夫球运动是一项具有特殊魅力的运动．如图，是小美在某高尔夫俱乐部中的一次击球．已知：小美击球点O到坡脚A的距离米，，洞口C距离坡脚A的距离米，小美从O点打出一球向球洞C点飞去，球的路线为抛物线，如果不考虑空气阻力，当球达到最大高度8米时，球移动的水平距离为20米． (1)如图1，建立直角坐标系，求抛物线解析式； (2)判断小美这一杆能否把高尔夫球从O点直接打入球洞C点，请说明理由； (3)如图2，小美打完第一杆后，再次挥出第二杆，此时球的飞行路线为，求此次挥杆中小球离斜坡的最大竖直高度． 【答案】(1) (2)能，理由见解析 (3)10米 【分析】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的图象与性质是解此题的关键． （1）以小美击球点O为坐标原点，则顶点为，设抛物线的解析式为，代入计算即可得解； （2）为，则为，由题得，求解得出，再结合二次函数的解析式判断即可得解； （3）求出．从而可得，最后结合二次函数的性质即可得解． 【详解】（1）解：以小美击球点O为坐标原点，则顶点为； 设抛物线的解析式为． 把原点代入中得：， 解得， 则抛物线的解析式为：； （2）解：∵， ∴设为，则为， 由题得： 解得 ，， ， ， 把代入中得， 小美这一杆能把高尔夫球从O点直接打入球洞C点 （3）解：由题知，， 设直线的解析式为 把，代入得：， 解得：， ∴． ∴ ， ∵， ∴时，有最大值10米． 2．（24-25九年级上·上海松江·期中）某村庄为吸引游客，沿绿道旁的母亲河河边打造喷水景观，如图1所示，为保持绿道地面干燥，水柱呈抛物线状喷入母亲河中．图2是其截面图，已知绿道路面宽米，河道坝高米，坝面的坡比为（即），当水柱离喷水口处水平距离为2米时，水柱离地面的垂直距离达最大值，其最大值为3米．以为原点，直线为轴，建立平面直角坐标系，解决问题： (1)求水柱所在抛物线的解析式； (2)出于安全考虑，在河道的坝边处竖直向上安装护栏，若护栏高度为1.2米，判断水柱能否喷射到护栏上，说明理由； (3)河水离地平面距离为多少米时，刚好使水柱落在坝面截线与水面截线的交点处？ 【答案】(1) (2)不能，理由见解析 (3)米 【分析】本题考查二次函数的运用，掌握待定系数法求解析，二次函数图形的平移，解直角三角形的计算是解题的关键． （1）根据题意可得，抛物线的顶点坐标为，且过，设抛物线解析式为，把点代入，运用待定系数法即可求解； （2）根据题意，当时，（米），再与护栏高度进行比较，即可求解； （3）根据坡比得到（米），则点到原点的水平距离为（米），即，且，可求出直线的解析式为，联立方程得，由此求解即可． 【详解】（1）解：当水柱离喷水口O处水平距离为2米时，离地平面距离的最大值为3米， ∴抛物线的顶点坐标为， 以O为原点建立平面直角坐标系， ∴点， 设抛物线解析式为，把点代入得，， 解得，， ∴水柱所在抛物线的解析式为； （2）解：水柱不能喷射到护栏上，理由如下： 当时，， ， 水柱不能喷射到护栏上； （3）解：河道坝高米，坝面的坡比为（其中）， ，即， 则点与原点的水平距离为， 点的坐标为， 又点的坐标为， 设的解析式为， ，解得， ， ， 解得（不合题意，舍去），， 当时，， 即河水离地平面距离为米时，水柱刚好落在水面上． 3．（24-25九年级上·上海金山·期中）乒乓球作为中国的国球，是一项深受大众喜爱的体育运动，小聪和小明打球时发现乒乓球运动路线近似看成抛物线的一部分，爱思考的他俩建立如图所示的平面直角坐标系，小聪第一次发球时，乒乓球从抛出到第一次落在球桌的过程中，乒乓球的竖直高度y（单位：）与水平距离x（单位：）近似满足函数关系式． 乒乓球的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下： 水平距离 0 40 80 120 160 竖直距离 20 35 40 35 20 (1)根据上述数据，直接写出小聪第一次发球时乒乓球竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系． (2)小聪第一次发球后乒乓球第一次落在球桌时恰好在球桌边缘，第二次他发球时，乒乓球的竖直高度y（单位：）与水平距离x（单位：）近似满足函数关系式，请你判断小聪第二次发球时，乒乓球第一次落在球桌_______超出球桌边缘（填“是”，“否”） 【答案】(1)小聪第一次发球时乒乓球竖直高度的最大值为40； (2)否 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． （1）依据题意，由抛物线经过点，故抛物线的对称轴为直线，从而当时，小聪第一次发球时乒乓球竖直高度的最大值为40，则可设抛物线为，结合抛物线经过，从而，求出，进而可以得解； （2）依据题意，令，从而或（舍去），又令，进而或（舍去），结合，可得小聪第二次发球时，乒乓球第一次落在球桌不超出球桌边缘，则可以判断得解． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点， ∴抛物线的对称轴为：直线， ∴当时，小聪第一次发球时乒乓球竖直高度的最大值为40． ∴可设抛物线为， ∵抛物线经过， ∴， ∴， ∴函数关系式为：； （2）解：由题意，令， ∴或（舍去）． 又令， ∴或（舍去）． ∵， ∴小聪第二次发球时，乒乓球第一次落在球桌没有超出球桌边缘． 故答案为：否． 1．（24-25九年级上·上海杨浦·阶段练习）某商场购进一批文创商品，进价为每件20元．当售价为每件28元时，每周可卖出160件；售价每降低1元，每周销量增加20件，设每件售价为x元，每周利润为y元，y与x的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查根据实际问题列二次函数关系式，根据每周的利润=每件商品的利润×销售量，列出函数关系式即可． 【详解】解：由题意得：． 故选：A． 2．（24-25九年级上·上海宝山·阶段练习）如图是一个长、宽的矩形花园，现要将它的长缩短，宽增加，则修改后花园的最大面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是根据题意列出修改后的花园面积与x之间的关系式． 先根据长方形的面积公式列出函数关系式，再根据二次函数的性质即可求得结果． 【详解】解：由题意得修改后的花园面积 ， ∵， ∴当时，修改后的花园面积达到最大，为． 故选：D． 3．（25-26九年级上·上海长宁·阶段练习）如图，在期中体育测试中，小朱掷出的实心球的飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系可以近似地看成抛物线，则小朱本次投掷实心球的成绩为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的实际应用，求出抛物线与x轴的交点坐标，即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴当时，， 解得：或（不符合题意，舍去）； 故小朱本次投掷实心球的成绩为8米； 故选：C． 4．（2025·上海闵行·模拟预测）如图，抛物线：与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点．将抛物线绕点旋转，得到新的抛物线，它的顶点为，与轴的另一个交点为．若以，，，为顶点的四边形是矩形．则的值为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据，，，为顶点的四边形是矩形，得到；根据抛物线的对称性，得，于是等边三角形，根据，得到，计算解答即可． 【详解】解：连接， 根据，，，为顶点的四边形是矩形，得到； 根据抛物线的对称性，得， 故等边三角形， 故，， 又， 故， 又, 故， 故， ， 解得， 故选：C． 【点睛】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定和性质，抛物线的对称性，勾股定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 5．（24-25九年级上·上海嘉定·阶段练习）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，点是线段上一动点，过点分别作，的垂线，垂足分别为两点，则的最小值是（　　） A．3 B． C． D． 【答案】D 【分析】令抛物线解析式中和，求出与坐标轴交点，计算得；再利用三角形面积关系，得出，进而推导出；接着令，分和两种情况，结合全等三角形（）、相似三角形（）的判定与性质，以及角平分线性质等，计算得出的最小值为． 【详解】解：对于抛物线，令，即， 解得， ， ， 令，则， ， 在中， ， ， ， ， ， ， 令，则， 当时，， 在内，随m的增大而减小， 当，即时，有最小值， 平分， 在和中，， ， ， 而， ， ，即， 解得，； 当时，与上面的解题过程相同． 的最小值是． 故选：D． 【点睛】本题考查了抛物线与坐标轴交点坐标的求解、待定系数法求一次函数解析式及一次函数的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，角平分线的性质。解题关键是通过证明（利用三角形面积关系建立等式），再结合角平分线性质推导全等与相似三角形，最后分区间用三角形三边关系及一次函数的性质确定的最小值． 6．（25-26九年级上·上海杨浦·阶段练习）某超市销售一种饮料，每瓶进价为4元．经市场调查表明，当售价为每瓶6元时，日均销售量为400瓶，若每瓶售价每增加4元．日均销售量减少．设每瓶售价为元，则日均毛利润为 【答案】 【分析】本题主要考查了列二次函数解析式，正确理解题意得出对应的函数关系式是解题的关键．设每瓶的售价为元，日均毛利润为元，根据列出w关于x的函数关系式即可． 【详解】解：设每瓶的售价为元，日均毛利润为元，由题意得； ， 故答案为：． 7．（2025·上海青浦·模拟预测）要修一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为，水柱落地处离池中心，水管高度应为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用．设抛物线的解析式为，用待定系数法求得抛物线的解析式，再令，求得的值，即可得出答案． 【详解】解：设抛物线的解析式为， 由题意可知抛物线的顶点坐标为，与轴的一个交点为， ， 解得：， 抛物线的解析式为：， 当时，， 水管的高度为， 故答案为：． 8．（24-25九年级上·上海杨浦·期中）如图，在中，，，，点P从点A出发，以的速度沿运动；同时，点Q从点B出发，以的速度沿运动，当点Q到达C时，P、Q两点同时停止运动，则的最大面积是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的最值，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 依据题意，设动点运动的时间为t s，从而，故，再结合二次函数的性质可以判断得解． 【详解】解：根据题意，点运动的时间为，点运动的时间为，设动点运动的时间为，则， ∴， ∴， ∴， ∴当时，的最大面积为：， 故答案为：． 9．（25-26九年级上·上海杨浦·阶段练习）如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，点P是抛物线上在第一象限内的一个动点，则P点到直线的距离的最大值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数与坐标轴的交点问题，二次函数综合—面积问题，一次函数的应用，勾股定理，先求出，得到，直线的解析式为，作轴，交于点，连接、，设，则，求出，从而可得，由二次函数的性质可得当时，的值最大，为，再结合，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：在中，当时，，即， 当时，，解得，，即，， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为， 如图，作轴，交于点，连接、， 设，则， ∴， ∴， ∵， ∴当时，的值最大，为， ∵， ∴此时的值也最大，为， 故答案为：． 10．（24-25九年级上·上海普陀·期中）如图，直线与x轴，y轴分别交于点A，C，过点A，C的抛物线与x轴的另一个交点为，点D为第一象限内抛物线上的一动点，连接与交于点E． (1)当时， ； (2)的最大值为 ． 【答案】(1)/0.5 (2)/0.5625 【分析】本题考查了二次函数和几何综合，熟练掌握二次函数的图象与性质，相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）先利用一次函数求出点A、C的坐标，结合再设出交点式，代入点C坐标求出抛物线解析式，由可得D的坐标，再利用平行线分线段成比例性质得到，即可解答； （2）作轴交于F，轴交于G，先得出比例，结合三角形的面积公式得到，设，则，表示出，进而表示出，再求出最大值即可解答． 【详解】（1）解：对于， 令，则，即， 令，则，即， 又， 设抛物线解析式为， 代入，则， 解得：， 设抛物线解析式为， ， 的纵坐标与的纵坐标相同，均为3， 对于，令，则， 解得：， ， ， 又， ． 故答案为：． （2）如图，作轴交于F，轴交于G， ， ， ， ， 当时，， ， 设，则， ， ， 当时，有最大值， 的最大值为． 故答案为：． 11．（25-26九年级上·上海松江·期中）有一条长为12m的绳子，用它围成一个矩形，设矩形的长为，面积为 (1)能否围成一个面积为的矩形？ (2)写出与之间的函数关系式，并直接写出面积的最大值． 【答案】(1)能 (2)，9 【分析】本题考查二次函数的实际应用，解题的关键是根据矩形的周长和面积公式建立函数关系，再利用二次函数的性质求解． （1）根据矩形周长求出宽，结合面积公式列方程，判断方程是否有实数解； （2）根据矩形面积公式建立函数关系式，再通过二次函数的性质求面积最大值． 【详解】（1）解：能，理由如下： 设矩形的长为，则宽为． 根据题意可得： 解得． 当时，宽为；当时，宽为，均符合矩形长和宽的实际意义， 能围成面积为的矩形； （2）解：矩形面积公式，． 矩形的长，宽， ， 即函数关系式为． 当时，面积的最大值为9． 答：与的函数关系式为，面积最大值为9． 12．（25-26九年级上·上海杨浦·期中）某施工队要修建一个横断面为抛物线（如图所示）的公路隧道，隧道最高点离路面的距离为，宽度为． (1)建立如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的解析式． (2)隧道内设双向行车道，并且中间有一条宽的隔离带．一辆货车装载某大型设备后高，宽为，这辆货车能否安全通过隧道？请说明理由． 【答案】(1) (2)这辆货车不能安全通过，理由见解析 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． （1）依据题意，得顶点P的坐标为，从而可设抛物线的解析式为，再把点代入，进而计算可以得解； （2）依据题意，由时，，进而可以判断得解． 【详解】（1）解：根据题意，得顶点P的坐标为， 设抛物线的解析式为， 把点代入，得：， 解得：， 所求抛物线的解析式为； （2）当时，， 这辆货车不能安全通过． 13．（24-25九年级上·上海宝山·阶段练习）如图，在中，，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动，当点Q移动到点C后停止移动，点P也随之停止移动． (1)如果P，Q分别从A，B同时出发，那么的面积S随时间t的变化而变化，请写出S关于t的函数解析式及t的取值范围； (2)几秒时的面积等于？ 【答案】(1) (2)3秒 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法、二次函数的性质． （1）利用三角形的面积公式求解即可； （2）把代入（1）的函数解析式求解即可． 【详解】（1）解：由题意，；． ∴， ， ∴S关于t的函数解析式为； （2）解：当时，， 整理得，即， 解得或（舍去）， 答：3秒时，的面积等于． 14．（25-26九年级上·上海静安·期中）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线与y轴交于点，过点A作y轴的垂线，与抛物线的另一个交点为B，该抛物线的顶点为C． (1)求点B的坐标及该抛物线对应的函数关系式； (2)在平面内找一点D，使以点为顶点的四边形为平行四边形，直接写出点D坐标． 【答案】(1)， (2)或或 【分析】本题主要考查了二次函数的性质、平行四边形的性质； （1）根据题意解方程得到，求得抛物线对应的函数关系式为得到抛物线的对称轴为，，根据轴对称的性质得到点的坐标； （2）根据函数解析式得到，设点的横坐标为，分为①当为对角线时，②当为对角线时， ③当为对角线时， 求出点的坐标即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点， ， 解得， ∴抛物线对应的函数关系式为，即； ∴抛物线的对称轴为， 轴， ∴点，关于对称轴对称， ； （2）解：∵抛物线的顶点为， ∴. 设点的横坐标为， ①当为对角线时， 轴，， ， 解得， ∴点的坐标为； ②当为对角线时， 轴，， ， 解得， ∴点的坐标为； ③当为对角线时，对角线，互相平分， ∴点， 关于对称， ∴点的坐标为. 综上所述，点的坐标为或或． 15．（25-26九年级上·上海松江·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式． (2)请求出该二次函数的对称轴、顶点坐标． (3)在直线下方抛物线上是否存在点，使得的面积最大，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)对称轴为直线、顶点坐标为 (3)存在点，使得的面积最大，此时点P的坐标为 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，一次函数，解题的关键是理解题意，掌握待定系数法． （1）利用待定系数法解答，即可求解； （2）把（1）中解析式化为顶点式，即可求解； （3）先求出直线的解析式，过点P作轴交直线于点E，设点P的坐标为，则，可得，然后根据，结合二次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于两点， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵， ∴该二次函数的对称轴为直线、顶点坐标为； （3）解：存在点，使得的面积最大， 当时，， ∴点， 设直线的解析式为， 把点，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 如图，过点P作轴交直线于点E， 设点P的坐标为，则， ∴， ∴ ， ∴当时，的面积最大，此时点P的坐标为． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 实际问题与二次函数应用重难点题型专训 （1个知识点+12大题型+3大拓展训练+自我检测） 题型一 利用二次函数求图形问题 题型二 利用二次函数求图形运动问题 题型三 利用二次函数求拱桥问题 题型四 利用二次函数求销售问题 题型五 利用二次函数求投球问题 题型六 利用二次函数求喷水问题 题型七 利用二次函数求增长率问题 题型八 二次函数综合应用--面积问题 题型九 二次函数综合应用--线段周长问题 题型十 二次函数综合应用--角度问题 题型十一 二次函数综合应用--特殊三角形问题 题型十二 二次函数综合应用--特殊四边形 拓展训练一 二次函数销售问题中的捐赠类问题（含参） 拓展训练二 二次函数中角度计算问题（45°等） 拓展训练三 铅垂高、水平宽求面积最值问题 知识点一：二次函数的应用 1.审清题意，弄清题中涉及哪些量，已知量有几个，已知量与变量之间的基本关系是什么，找出等量关系(即函数关系)。 2.设出两个变量，注意分清自变量和因变量，同时还要注意所设变量的单位要准确。 3.列函数表达式，抓住题中含有等量关系的语句，将此语句抽象为含变量的等式，这就是二次函数。 4.按题目要求，结合二次函数的性质解答相应的问题。 5.检验所得解是否符合实际：即是否为所提问题的答案。 6.写出答案。 【即时训练】 1．（24-25九年级上·上海宝山·期中）某种商品每天的销售利润元与单价元之间的函数关系式为，则这种商品每天的最大利润为（    ） A．50元 B．60元 C．40元 D．30元 2．（24-25九年级上·上海杨浦·阶段练习）某超市一月份的营业额为200万元，一月、二月、三月的营业额共y万元，如果平均每月增长率为x，则营业额y与月平均增长率x之间的函数关系式为 ． 【经典例题一 利用二次函数求图形问题】 【例1】（25-26九年级上·上海静安·期中）用长为的篱笆围成一个矩形花圃，设矩形的一边长为，面积为，求矩形花圃面积的最大值． 1．（2025九年级·上海长宁·专题练习）如图，某农场主利用墙角围出了一片矩形空地（假设墙足够长）．已知所用篱笆（虚线部分）的长度为，则所围矩形空地的最大面积是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·上海松江·阶段练习）有6长的铝合金材料，做成“日”字形窗框（不考虑材料加工时的损耗），如图所示，则做成的窗框的最大采光面积是 ． 3．（25-26九年级上·上海长宁·阶段练习）如图，在足够大的空地上有一段长为60米的旧墙，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园，其中，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了米木栏． (1)所围成的矩形菜园的面积为450平方米，求所利用旧墙的长； (2)求矩形菜园面积的最大值． 4．（25-26九年级上·上海宝山·阶段练习）综合与实践： 学校数学兴趣小组围绕“校园花圃方案设计”开展主题学习活动，计划建一个花圃，用总长为的栅栏围成，兴趣小组设计了以下两种方案： 方案一 方案二 如图1，围成一个面积为的矩形花圃．    如图2，借助学校围墙围成矩形花圃（墙的长度不限），其余用栅栏（栅栏宽度忽略不计）将该花圃分隔为两个不同矩形区域，用来种植不同花卉，并在花圃两侧各留一个宽为的进、出口（此处不用栅栏）．    (1)求方案一中长方形花圃的长和宽； (2)为了使方案二中花圃的面积最大，与墙平行的边的长度为多少米？（提示：用配方法说明） 【经典例题二 利用二次函数求图形运动问题】 【例2】（24-25九年级上·上海长宁·课后作业）如图，已知等腰直角的直角边长与正方形的边长均为厘米，与在同一条直线上，开始时点A与点N重合，让以每秒2厘米的速度向左运动，最终点A与点M重合，求重叠部分的面积y（平方厘米）与时间t（秒）之间的函数关系式． 1．（24-25九年级上·上海闵行·阶段练习）如图，为等腰直角三角形，，，正方形的边长也为2，且与在同一直线上，从点C与点D重合开始，沿直线向右平移，直到点A与点E重合为止，设的长为x，与正方形重合部分（图中阴影部分）的面积为y，则y与x之间的函数关系的图象大致是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·上海徐汇·阶段练习）如图，抛物线与轴交于点、，把抛物线在轴及其下方的部分记作，将向左平移得到，与轴交于点、，若直线与、共有3个不同的交点，则的取值范围是 ． 3．（25-26九年级上·上海杨浦·阶段练习）如图，在矩形中，，，点P从点B出发，沿边向点A以秒的速度运动，同时，点Q从点C出发沿边向点B以秒的速度移动，如果P、Q两点在分别到达B、C两点后就停止移动，回答下列问题： (1)点P运动开始后第几秒时，的面积等于； (2)点P运动开始后第几秒时，的面积最大？并求出最大面积． 4．（25-26九年级上·上海静安·阶段练习）如图，在矩形中，，，点从点出发，沿边向点以秒的速度移动，同时，点从点出发沿边向点C以/秒的速度移动．如果、两点在分别到达、两点后就停止移动，回答下列问题： (1)运动开始后第几秒时，的面积等于？ (2)设运动开始后第t秒时，五边形的面积为，写出S与t的函数关系式及自变量t的取值范围；并求出当t为何值时，s的值最小． (3)计算四边形的面积，并探索一个与计算结果有关的结论． 【经典例题三 利用二次函数求拱桥问题】 【例3】（24-25九年级上·上海杨浦·期中）如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面时，水面宽．若水面上升，求水面宽度减少多少？ 1．（24-25九年级上·上海松江·期中）如图，一座拱桥的纵向截面是抛物线的一部分，拱桥的跨度为4.9m，当水面宽4m时，拱顶离水面2m．有下列结论： ①该抛物线的解析式为：； ②当水面宽度为5m时，水面下降了1.125m； ③当水面下降2m时，水面宽度增加了m． 其中，正确结论的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．（25-26九年级上·上海长宁·阶段练习）如图所示，一座抛物线形的拱桥在正常水位时，水面宽为，拱桥的最高点O到水面的距离为．如果此时水位上升就达到警戒水位，那么宽为 m． 3．（25-26九年级上·上海奉贤·阶段练习）一座拱桥的示意图如图2所示，当水面宽为16米时，桥洞顶部离水面4米．已知桥洞的拱桥是抛物线，请尝试解决以下问题： (1)建立合适的平面直角坐标系，求该抛物线的表达式； (2)由于暴雨导致水位上涨了2米，求此时水面的宽度； (3)已知一艘货船的高为米，宽为米，其截面如图3所示．为保证这艘货船可以安全通过拱桥，水面在正常水位的基础上最多能上升多少米？ 4．（2025·上海嘉定·模拟预测）某景区有一座美丽的彩虹桥，它的部分截面示意图如图所示，桥，钢缆均呈抛物线型，线段为桥面，线段为立柱，关于所在直线对称．的最低点到的距离为，到的距离为．以为原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系、 (1)求所在抛物线的函数表达式； (2)现要悬挂两条灯带来增加夜景效果，均与垂直，点分别在上，点在上，点到的距离均为．已知所在抛物线的函数表达式为，求这两条灯带的总长． 【经典例题四 利用二次函数求销售问题】 【例4】（25-26九年级上·上海长宁·课后作业）某体育馆可同时容纳四千人观看比赛，现C区有座位400个，某赛事主办方在试营销阶段发现：当每张票为80元时，可售出280张C区座位票．若每张降价1元，则可多售出6张票．设降价x（x取正整数）元时，可售出y张C区座位票．设C区的总票价为w元，求w关于x的函数表达式，并求出w的最大值． 1．（25-26九年级上·上海宝山·阶段练习）某商城计划销售拉布布，每个进货价为50元．调查发现，当销售价为120元时，平均每天能售出80个；而当销售价每降低1元时，平均每天就能多售出5个．设每个拉布布降价x元时，每天获得的利润为y元，则y关于x的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·上海长宁·阶段练习）在月份，某地的蔬菜批发市场指导菜农生产和销售某种蔬菜，并向他们提供了这种蔬菜每千克售价与每千克成本的信息如图所示，则出售该种蔬菜每千克利润最大的月份可能是 月． 3．（25-26九年级上·上海杨浦·阶段练习）某品牌运动鞋专卖店销售一款经典运动鞋．经市场调研，该鞋的进货成本为每双元．根据以往销售数据和市场分析，店铺发现：当销售单价为元/双时，月平均销售量为双．销售单价每提高1元，月销售量就会减少5双；销售单价每降低1元，月销售量就会增加5双．设该运动鞋的销售单价为元/双，月销售总利润为y元［总利润＝（销售单价－进货成本）×月销售量]． (1)求月销售总利润y关于销售单价x的函数关系式； (2)销售单价定为多少元时，可获得最大月利润？最大月利润是多少元？ (3)销售单价在什么范围内时，店铺销售该运动鞋才能盈利？ 4．（25-26九年级上·上海松江·期中）材料：一个制造商制造一种产品，它的成本通常分为固定成本和可变成本两个部分，其中固定成本包括设计产品、厂房租赁、购置设备等费用，如果没有更换产品，我们将它看作常数；可变成本与该产品生产的件数有关，而每件产品的成本包括劳动力、材料、包装、运输等费用． 问题：某厂商生产产品中有一种篮球工艺品，已知该工艺品销路很好．它的成本（元）与生产量（个）的关系式为． (1)求该工艺品的固定成本和可变成本． (2)市场分析发现，这种工艺品一段时间内每天的销量（个）与销售单价（元/个）之间的对应关系如图所示： ①销量与销售单价之间的函数关系式． ②当售价为多少时，能使厂商每天获得的利润最大，最大利润是多少？ 【经典例题五 利用二次函数求投球问题】 【例5】（25-26九年级上·上海宝山·阶段练习）对于一个竖直向上抛出的物体，在没有空气阻力的条件下，大致满足这样的关系式：，其中是物体距离地面的高度，是初速度，是抛出后所经历的时间．如果将一个小球从地面以的初速度竖直向上抛出，小球何时能达到10m高？ 1．（25-26九年级上·上海静安·阶段练习）小明同学投掷实心球，出手（点处）的高度是，出手后实心球沿一段抛物线运行，到达最高点时，水平距离是，高度是．若实心球落地点为，以为坐标原点，为轴正半轴，为轴正半轴，建立如图所示的平面直角坐标系，下列结论中正确的是（   ） A．的长为 B．实心球运行过程中的最大高度是 C．实心球运行路径的函数表达式为 D．小明投掷实心球的成绩为 2．（25-26九年级上·上海杨浦·阶段练习）苍南队在浙训练中发现，每一次篮球投篮轨迹满足抛物线，篮球出手至入筐过程中的水平距离长为 米． 3．（25-26九年级上·上海长宁·期中）运动会上，小刘同学投掷的实心球沿如图所示的抛物线 运行．实心球抛出时离地面的高度为，实心球离初始位置的水平距离为，请建立适当的平面直角坐标系，解决下列问题： (1)求实心球运行满足的函数关系式(写成顶点式)，并写出自变量x的取值范围； (2)求实心球在运行过程中离地面的最大高度． 4．（2025九年级上·上海长宁·专题练习）小明在小区内看到一个小朋友在玩跳跳球，他对此展开了研究．如下图，已知抛球点A距地面，跳跳球落在距离点远的地面上（点B处），运动轨迹为抛物线的一部分，记为图象，其最高点与抛球点的水平距离为．以点O为坐标原点建立平面直角坐标系． (1)求图象所在抛物线的解析式； (2)小球落地后立即弹起，弹起后的运动轨迹为图象（图象所在抛物线的形状相同，且图象的最高点低于图象的最高点），跳跳球恰好落到距离点远的一个矩形石凳上（），石凳高度为，宽度为． ①当跳跳球恰好落到点E处时，求图象所在抛物线的解析式； ②如果图象所在抛物线的对称轴为直线，请直接写出m的取值范围． 【经典例题六 利用二次函数求喷水问题】 【例6】（24-25九年级上·上海杨浦·期中）如图，一个移动喷灌架喷射出的水流可以近似的看成抛物线，喷水头的高度（即的长度）是1米．当喷射出的水流距离喷水头8米时，达到最大高度1.8米，求水流喷射的最远水平距离． 1．（24-25九年级上·上海金山·阶段练习）学校组织学生去同安进行研学实践活动，小王同学发现在宾馆房间的洗手盘台面上有一瓶洗手液（如图①）.于是好奇的小王同学进行了实地测量研究.当小王用一定的力按住顶部A下压如图②位置时，洗手液从喷口B流出，路线近似呈抛物线状，且喷口B为该抛物线的顶点．洗手液瓶子的截面图下面部分是矩形．小王同学测得：洗手液瓶子的底面直径，喷嘴位置点B距台面的距离为，且B、D、H三点共线．小王在距离台面处接洗于液时，手心Q到直线DH的水平距离为，若小王不去接，则洗手液落在台面的位置距的水平距离是（    ）    A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·上海闵行·阶段练习）某游乐场的圆形喷水池中心有一雕塑，从点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为轴，点为原点建立平面直角坐标系，点在轴上，轴上的点为水柱的落水点，水柱所在抛物线第一象限部分的函数表达式为，则的长为 ． 3．（25-26九年级上·上海静安·阶段练习）某圆形洗手盆上安装了一款水龙头，其弯曲部分呈抛物线形，以水龙头底部与洗手盆台面的交点O为坐标原点，直立部分所在直线为y轴，垂直于的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，测得水龙头最高点P距x轴，距y轴． (1)直接写出点P的坐标__________； (2)若沿水龙头喷出的水柱仍然按照原来的抛物线轨迹运动，且在台面的落点到直立部分的距离为，求水龙头直立部分的长度． 4．（2025·上海闵行·模拟预测）如图，某小区内的水池里有一个可垂直升降的喷泉，喷出的水柱呈抛物线．线段表示水池的宽，米，以边缘点为原点，所在的直线为轴，过点垂直于的直线为轴建立平面直角坐标系，在地面上的点处有一个喷头，从喷出的水柱，在点处落地，其到地面的垂直高度（米）与水平距离（米）之间的关系为，且，已知米，米． (1)求、的值以及抛物线的对称轴； (2)小区工作人员准备升高喷头的位置（水柱的形状大小与喷头的高度无关），，要使水柱落地点不超过点，则喷头调节的最大高度为多少米？ 【经典例题七 利用二次函数求增长率问题】 【例7】（2025九年级上·上海长宁·专题练习）某件商品原价为100元，经过两次涨价后的价格为元，如果每次涨价的百分率都是，求关于的函数关系式． 1．（24-25九年级上·上海长宁·课后作业）进入夏季后，某电器商场为减少库存，对电热取暖器连续进行两次降价，设平均每次降价的百分率为，降价后的价格为y元，原价为a元，则y与x的函数关系为（     ） A． B． C． D． 2．（2025·上海奉贤·模拟预测）某快递公司十月份快递件数是10万件，如果该公司第四季度每个月快递件数的增长率都为x(x＞0)，十二月份的快递件数为y万件，那么y关于x的函数解析式是 ． 3．（2015·上海嘉定·模拟预测）某工厂一种产品2022年的产量是100万件，计划2024年产量达到121万件．假设2022年到2024年这种产品产量的年增长率相同． (1)求2022年到2024年这种产品产量的年增长率； (2)2023年这种产品的产量应达到多少万件？ 4．（24-25九年级上·上海虹口·期中）向阳村养鸡专业户李明2020年的纯收入是6万元，预计2022年的纯收入是7.26万元． (1)求李明这两年纯收入的年平均增长率； (2)随着养鸡规模不断扩大，李明需要再建一个养鸡场，他计划用一段长为100米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形养鸡场（如图），墙长50米，养鸡场面积为1200米2，求养鸡场与墙平行的一边的长度． 【经典例题八 二次函数综合应用--面积问题】 【例8】（25-26九年级上·上海青浦·阶段练习）已知二次函数，顶点为P，若抛物线与x轴交于、两点，求三角形的面积 1．（25-26九年级上·上海普陀·期中）如图，抛物线与直线相交于点A、B，连接、，则的面积是（   ） A．3 B．4 C．6 D．12    2．（25-26九年级上·上海金山·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点，与轴交于点，点为抛物线上一动点，若的面积为，则点的坐标为 ． 3．（25-26九年级上·上海静安·期中）如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中点A的坐标为，点在抛物线上． (1)求抛物线的解析式； (2)若抛物线上有一动点P，使的面积为9，求点P的坐标． 4．（25-26九年级上·上海松江·阶段练习）如图，已知二次函数与一次函数的图象相交于A、B两点．其中． (1)求的值； (2)求的面积； (3)P是第四象限内直线上方抛物线上的一个动点，过点P作x轴的垂线交直线于点，当时，求点的坐标． 【经典例题九 二次函数综合应用--线段周长问题】 【例9】（24-25九年级上·上海宝山·阶段练习）抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为，点C的坐标为，抛物线顶点为D． (1)求抛物线解析式； (2)在抛物线对称轴上取一点P，使得最短，求点P坐标． 1．（2025·上海松江·模拟预测）已知二次函数的图象的顶点为，在轴上方的抛物线上有两点，点和点连接．过点作轴的垂线，交于点，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·上海宝山·阶段练习）如图，已知直线分别交x轴、y轴于点A、B，点P是抛物线在直线上方图象上的一个动点，其横坐标为a，过点P且平行于y轴的直线交直线于点Q，则当最大时，a的值是 ． 3．（25-26九年级上·上海闵行·期中）如图，抛物线（，为常数，）的顶点坐标为，与轴相交于，两点（点在点的左侧），与轴相交于点． (1)求点和点的坐标； (2)点是直线上方该抛物线上一点，过点作轴，与直线相交于点，求线段的最大值． 4．（25-26九年级上·上海松江·阶段练习）如图，抛物线交轴于点和点，交轴于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)点是抛物线对称轴上一动点，则周长的最小值为_____． (3)如图，设点是线段上的一动点，作轴，交抛物线于点，求的最大值，并直接写出此时的面积． 【经典例题十 二次函数综合应用--角度问题】 【例10】（24-25九年级上·上海·阶段练习）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点C． (1)求b的值； (2)如图，M是第一象限抛物线上的点，，求点M的横坐标． 1．（2025·上海普陀·模拟预测）如图，二次函数的图象交轴于，两点，图象上的一点使，则点的坐标是　　 A． B． C． D． 2．（2025·上海静安·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线交轴于点，过作轴，交抛物线于点，点为上方抛物线上一点，连接，作于点．若，则点的坐标为 ． 3．（24-25九年级上·上海嘉定·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点C，其顶点为D． (1)求抛物线的解析式； (2)一动点M从点D出发，以每秒1个单位的速度沿抛物线的对称轴向下运动，连接，，设运动时间为t秒，在点M的运动过程中，当时，求t的值． 4．（24-25九年级上·上海奉贤·期中）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，点P是x轴上方抛物线上不与点C重合的一动点，设点P的横坐标为m． (1)求该抛物线的解析式及点C的坐标； (2)如图，当时，求m的值； (3)过点P分别作x轴、y轴的平行线交于点M、N，的周长记为l． ①请直接写出l关于m的函数解析式； ②在点P运动的过程中，当l取某一个值时，存在两个点，它们的横坐标分别为，（），满足，请求出此时l的值． 【经典例题十一 二次函数综合应用--特殊三角形问题】 【例11】（25-26九年级上·上海长宁·课后作业）如图，抛物线与过点且平行于x轴的直线相交于点A，B，与y轴交于点C．若为直角，求a的值． 1．（24-25九年级上·上海松江·阶段练习）如图，已知抛物线与x轴交于A和B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D点．若点M是抛物线上一点，点N在y轴上，连接，当是以为直角的等腰直角三角形时，点M的坐标为（　　） A． B．或 C．或 D．或 2．（25-26九年级上·上海崇明·阶段练习）如图，已知二次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，在对称轴上是否存在一点P，使以P、A、B为顶点的三角形为直角三角形，若存在，请写出点P的坐标 ． 3．（25-26九年级上·上海普陀·阶段练习）如图，顶点为的抛物线分别与轴相交于点，（点在点的右侧）与轴相交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)判断是否为直角三角形，并说明理由： (3)求四边形的面积． 4．（25-26九年级上·上海奉贤·期中）如图，抛物线与轴交于、两点（点在点左侧），与轴交于点，顶点为． (1)求、两点的坐标； (2)连接，与抛物线的对称轴交于点，点为线段上的一个动点，过点作轴，交抛物线于点．设的横坐标为． ①用含的代数式表示线段的长； ②当为何值时，四边形为平行四边形，请说明理由； ③当为何值时，为直角三角形，直接写出结论． 【经典例题十二 二次函数综合应用--特殊四边形】 【例12】（24-25九年级上·上海闵行·期中）如图，抛物线经过点，，点是直线上的动点，过点作轴的垂线交抛物线于点．设点的横坐标为．    (1)求抛物线的解析式； (2)若点在第一象限，连接，当线段最长时，求的面积； (3)是否存在这样的点，使以点为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 1．（24-25九年级上·上海静安·期中）如图，正方形的顶点A，C在抛物线上，点D在y轴上．若A，C两点的横坐标分别为m，n，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·上海宝山·阶段练习）如图，已知二次函数图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，在对称轴上存在一点P，使以P，A，O，B为顶点的四边形为平行四边形，写出此时点P的坐标 ． 3．（25-26九年级上·上海静安·期中）如图，在平面直角坐标系中，点在抛物线上，过点作轴的垂线，交抛物线于另一点，点，在线段上，分别过点，作轴的垂线，交抛物线于，两点． (1)求抛物线对应的函数解析式； (2)当四边形为正方形时，求线段的长． 4．（25-26九年级上·上海普陀·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，且当和时所对应的函数值相等．一次函数与二次函数的图象分别交于B，C两点，点在第一象限． (1)求二次函数的表达式； (2)连接，，试判断的形状，并说明理由； (3)点是线段的中点，二次函数的图象上是否存在点，使得四边形是菱形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【拓展训练一 二次函数销售问题中的捐赠类问题（含参）】 1．（24-25九年级上·上海宝山·期中）平安路上，多“盔”有你，在“交通安全宣传月”期间，某商店销售一批头盔，进价为每顶40元，售价为每顶68元，平均每周可售出100顶，商店计划将头盔降价销售，每顶售价不高于58元，经调查发现：每降价1元，平均每周可多售出20顶． (1)若该商店希望平均每周获利4000元，则每顶头盔应降价多少？ (2)商店降价销售后，决定每销售1顶头盔，就向某慈善机构捐赠m元（m为整数，且），帮助做“交通安全”宣传，捐赠后发现，该商店每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大，求m的值． 2．（2025·上海静安·模拟预测）“六一”儿童节期间，某超市以元/个的价格购入一批儿童礼品．在销售前，销售经理进行了市场调研． 调研数据：下表是日销售数量y（个）与销售单价x（元）的部分调研数据： 销售单价x/元 … … 日销售数量y/个 … … 建立模型：（1）根据调研数据可知y是x的_________（填“一次”“二次”或“反比例”）函数，y关于x的函数表达式为_________． 问题解决：（2）儿童礼品的销售单价定为多少元时，日销售利润最大，最大日销售利润是多少？ （3）若该超市决定每销售一个儿童礼品就向儿童福利院捐赠m元，捐赠后，该儿童礼品日销售最大利润为元，求m的值． 3．（24-25九年级上·上海宝山·阶段练习）如图，2020年是脱贫攻坚决胜年．某地实施产业扶贫种植某种水果，其成本经过测算为20元，投放市场后，经过市场调研发现，这种水果在上市的一段时间内的销售单价p（元）与时间 t（天）之间的函数图象如图，且其日销售量与时间t（天）的关系是 天数为整数． (1)试求销售单价p（元）与时间t（天）之间的函数关系式； (2)问哪一天的销售利润最大？最大日销售利润为多少？ (3)在实际销售的前30天中，公司决定每销售水果就捐赠n元利润 给“精准扶贫“对象．现发现：在前30天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t的增大而增大，求n的取值范围． 【拓展训练二 二次函数中角度计算问题（45°等）】 1．（2025·上海静安·模拟预测）已知抛物线，的顶点分别为、，且它们都经过轴上的点． (1)如果抛物线经过点，抛物线经过点，求这两个抛物线的表达式； (2)已知，求的值； (3)当时，能否确定系数、、的值？如果能，请求出相应的值；如果不能，请简要说明理由． 2．（2025·上海徐汇·模拟预测）如图，抛物线与轴交于、两点（点在点的右侧），与轴交于点，且． (1)求抛物线的表达式； (2)点在抛物线上，当时，求点的横坐标． 3．（25-26九年级上·上海杨浦·阶段练习）如图，已知抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点，． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若点为直线下方抛物线上一点，连接并交于点，若分的面积为两部分，请求出点的坐标； (3)在轴上是否存在一点，使得，若存在，请求出点．的坐标；若不存在，请说明理由． 【拓展训练三 铅垂高、水平宽求面积最值问题】 1．（2025·上海青浦·模拟预测）高尔夫球运动是一项具有特殊魅力的运动．如图，是小美在某高尔夫俱乐部中的一次击球．已知：小美击球点O到坡脚A的距离米，，洞口C距离坡脚A的距离米，小美从O点打出一球向球洞C点飞去，球的路线为抛物线，如果不考虑空气阻力，当球达到最大高度8米时，球移动的水平距离为20米． (1)如图1，建立直角坐标系，求抛物线解析式； (2)判断小美这一杆能否把高尔夫球从O点直接打入球洞C点，请说明理由； (3)如图2，小美打完第一杆后，再次挥出第二杆，此时球的飞行路线为，求此次挥杆中小球离斜坡的最大竖直高度． 2．（24-25九年级上·上海松江·期中）某村庄为吸引游客，沿绿道旁的母亲河河边打造喷水景观，如图1所示，为保持绿道地面干燥，水柱呈抛物线状喷入母亲河中．图2是其截面图，已知绿道路面宽米，河道坝高米，坝面的坡比为（即），当水柱离喷水口处水平距离为2米时，水柱离地面的垂直距离达最大值，其最大值为3米．以为原点，直线为轴，建立平面直角坐标系，解决问题： (1)求水柱所在抛物线的解析式； (2)出于安全考虑，在河道的坝边处竖直向上安装护栏，若护栏高度为1.2米，判断水柱能否喷射到护栏上，说明理由； (3)河水离地平面距离为多少米时，刚好使水柱落在坝面截线与水面截线的交点处？ 3．（24-25九年级上·上海金山·期中）乒乓球作为中国的国球，是一项深受大众喜爱的体育运动，小聪和小明打球时发现乒乓球运动路线近似看成抛物线的一部分，爱思考的他俩建立如图所示的平面直角坐标系，小聪第一次发球时，乒乓球从抛出到第一次落在球桌的过程中，乒乓球的竖直高度y（单位：）与水平距离x（单位：）近似满足函数关系式． 乒乓球的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下： 水平距离 0 40 80 120 160 竖直距离 20 35 40 35 20 (1)根据上述数据，直接写出小聪第一次发球时乒乓球竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系． (2)小聪第一次发球后乒乓球第一次落在球桌时恰好在球桌边缘，第二次他发球时，乒乓球的竖直高度y（单位：）与水平距离x（单位：）近似满足函数关系式，请你判断小聪第二次发球时，乒乓球第一次落在球桌_______超出球桌边缘（填“是”，“否”） 1．（24-25九年级上·上海杨浦·阶段练习）某商场购进一批文创商品，进价为每件20元．当售价为每件28元时，每周可卖出160件；售价每降低1元，每周销量增加20件，设每件售价为x元，每周利润为y元，y与x的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·上海宝山·阶段练习）如图是一个长、宽的矩形花园，现要将它的长缩短，宽增加，则修改后花园的最大面积为（   ） A． B． C． D． x 3．（25-26九年级上·上海长宁·阶段练习）如图，在期中体育测试中，小朱掷出的实心球的飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系可以近似地看成抛物线，则小朱本次投掷实心球的成绩为（   ） A． B． C． D． 4．（2025·上海闵行·模拟预测）如图，抛物线：与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点．将抛物线绕点旋转，得到新的抛物线，它的顶点为，与轴的另一个交点为．若以，，，为顶点的四边形是矩形．则的值为（   ） A．2 B． C． D． 5．（24-25九年级上·上海嘉定·阶段练习）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，点是线段上一动点，过点分别作，的垂线，垂足分别为两点，则的最小值是（　　） A．3 B． C． D． 6．（25-26九年级上·上海杨浦·阶段练习）某超市销售一种饮料，每瓶进价为4元．经市场调查表明，当售价为每瓶6元时，日均销售量为400瓶，若每瓶售价每增加4元．日均销售量减少．设每瓶售价为元，则日均毛利润为 7．（2025·上海青浦·模拟预测）要修一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为，水柱落地处离池中心，水管高度应为 ． 8．（24-25九年级上·上海杨浦·期中）如图，在中，，，，点P从点A出发，以的速度沿运动；同时，点Q从点B出发，以的速度沿运动，当点Q到达C时，P、Q两点同时停止运动，则的最大面积是 ． 9．（25-26九年级上·上海杨浦·阶段练习）如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，点P是抛物线上在第一象限内的一个动点，则P点到直线的距离的最大值是 ． 10．（24-25九年级上·上海普陀·期中）如图，直线与x轴，y轴分别交于点A，C，过点A，C的抛物线与x轴的另一个交点为，点D为第一象限内抛物线上的一动点，连接与交于点E． (1)当时， ； (2)的最大值为 ． 11．（25-26九年级上·上海松江·期中）有一条长为12m的绳子，用它围成一个矩形，设矩形的长为，面积为 (1)能否围成一个面积为的矩形？ (2)写出与之间的函数关系式，并直接写出面积的最大值． 12．（25-26九年级上·上海杨浦·期中）某施工队要修建一个横断面为抛物线（如图所示）的公路隧道，隧道最高点离路面的距离为，宽度为． (1)建立如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的解析式． (2)隧道内设双向行车道，并且中间有一条宽的隔离带．一辆货车装载某大型设备后高，宽为，这辆货车能否安全通过隧道？请说明理由． 13．（24-25九年级上·上海宝山·阶段练习）如图，在中，，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动，当点Q移动到点C后停止移动，点P也随之停止移动． (1)如果P，Q分别从A，B同时出发，那么的面积S随时间t的变化而变化，请写出S关于t的函数解析式及t的取值范围； (2)几秒时的面积等于？ 14．（25-26九年级上·上海静安·期中）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线与y轴交于点，过点A作y轴的垂线，与抛物线的另一个交点为B，该抛物线的顶点为C． (1)求点B的坐标及该抛物线对应的函数关系式； (2)在平面内找一点D，使以点为顶点的四边形为平行四边形，直接写出点D坐标． 15．（25-26九年级上·上海松江·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式． (2)请求出该二次函数的对称轴、顶点坐标． (3)在直线下方抛物线上是否存在点，使得的面积最大，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $