专题05 二次函数常考几何模型专训（9大题型+15道拓展培优题）-2025-2026学年沪教版（五四制）九年级数学上册重难点专题提升精讲精练

专题05 二次函数常考几何模型专训（9大题型+15道拓展培优题） 题型一 二次函数中的旋转模型 题型二 二次函数中的翻折模型 题型三 二次函数中的平移模型 题型四 二次函数中的轴对称模型 题型五 二次函数中的最值模型 题型六 二次函数中的存在模型 题型七 二次函数中特殊角度模型 题型八 二次函数中面积关系模型 题型九 二次函数中新定义模型 【经典例题一 二次函数中的旋转模型】 【例1】（2025九年级·上海长宁·专题练习）已知一条抛物线的开口方向和大小与抛物线都相同，顶点与抛物线相同． (1)这条抛物线的表达式为___________． (2)求将（1）中的抛物线向右平移4个单位长度得到的抛物线的表达式． (3)若（2）中所求抛物线的顶点不动，将此抛物线绕其顶点旋转，求旋转后的抛物线的表达式． 1．（25-26九年级上·上海杨浦·阶段练习）如图，抛物线与x轴交于点A，B，点B的坐标为． (1)求b的值及顶点坐标； (2)若是y轴上一点，，将点Q绕着点P逆时针方向旋转得到点E． ①用含t的式子表示点E的坐标； ②当点E恰好在该抛物线上时，求t的值． 2．（25-26九年级上·上海杨浦·期中）如图，已知矩形的周长为，矩形绕它的一条边旋转形成一个圆柱．设矩形的一边的长为，旋转形成的圆柱的侧面积为． (1)求S关于x的函数解析式及自变量x的取值范围； (2)求当x取何值时，矩形旋转形成的圆柱的侧面积最大． 3．（2025·上海·模拟预测）阅读以下材料，并解决相应问题： 小明在课外学习时遇到这样一个问题： 定义：如果二次函数（，，，是常数）与（，，，是常数）满足，，，则这两个函数互为“旋转函数”．求函数的旋转函数．小明是这样思考的，由函数可知，，，，根据，，，求出，，就能确定这个函数的旋转函数． 请思考小明的方法解决下面问题： (1)写出函数的旋转函数． (2)若函数与互为旋转函数，求的值． (3)已知函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A、B、C关于原点的对称点分别是，试求证：经过点的二次函数与互为“旋转函数”． 4．（2025·上海闵行·模拟预测）国家的强大离不开国防的保障．近几年，科技的发展越来越多地应用到国防军事方面，其中无人机和导弹防御系统成为各国竞争的热点．梅石数学小组借助项目式学习研究了如下问题：某军事游戏模型截面图中，导弹防御系统雷达固定向上时的覆盖范围可视为二次函数（如图1），并且可确保击落进入覆盖区域内超过10分钟（含10分钟）的无人机．（已知直角坐标系的单位长度均为1km．） (1)当点在该二次函数图象上时，求的值； (2)①若雷达可绕点左右旋转形成全方位覆盖（如图2）．若已知图2中的图象绕点向右旋转形成的曲线满足：，请直接写出图象绕点向左旋转后、满足的关系式：__________； ②如图1，若该军事游戏模型中，某型号攻击无人机飞行高度为，携带导弹后速度为10米/秒，为摧毁雷达需飞行到点正上方进行投弹．当该导弹防御系统雷达固定向上时，其覆盖范围所视为的二次函数的要调整到什么范围才能抵挡这次攻击？（投弹时间忽略不计） 【经典例题二 二次函数中的翻折模型】 【例2】（2025·上海松江·模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，过点作直线垂直于轴． (1)求抛物线的对称轴．（用含的式子表示） (2)将抛物线在轴右侧的部分沿直线翻折，其余部分保持不变，形成图形．，为图形上的两点． ①当时，若，判断与的大小关系，并说明理由． ②若对于，都有，直接写出的取值范围． 1．（24-25九年级上·上海宝山·期中）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于，A点在原点的左侧，B点的坐标为．点P是抛物线上一个动点，且在直线的上方． (1)求这个二次函数的表达式． (2)连接，并把沿翻折，得到四边形，那么是否存在点P，使四边形为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由． (3)当点P运动到什么位置时，四边形的面积最大，并求出此时点P的坐标和四边形的最大面积． 2．（2025九年级上·上海青浦·专题练习）如图1，二次函数的图像与轴交于、两点，与轴交于点，直线经过两点． (1)求抛物线的解析式； (2)①当时，函数的最大值为_____，最小值为_______； ②当时，设函数的最大值为，最小值为，若，求的值； (3)如图2，将二次函数在轴上方的图象沿轴翻折到轴的下方，图象的其余部分不变，得到一个“M”形状的新图象，再将直线向下平移个单位长度，得到直线，当直线与这个新图象有4个公共点时，请直接写出的取值范围． 3．（2025·上海松江·模拟预测）已知抛物线过，两点，交y轴于点C． (1)求抛物线的表达式和对称轴； (2)如图1，若点P是线段上的一动点，连接、，将沿直线翻折，得到，当点落在该抛物线的对称轴上时，求点P的坐标； (3)如图2，点M在直线上方的抛物线上，过点M作直线的垂线，分别交直线、线段于点N、点E，过点E作轴，求的最大值． 4．（2025·上海闵行·模拟预测）“求索”兴趣小组对函数图象的翻折变换进行了讨论，请你完成下列相关问题． (1)思源同学提出从最简单的一次函数图象开始：如图1，的图象与x轴、y轴交于点、，把直线AB沿y轴翻折交x轴于点C，可得，所以点C坐标为______，由此可求得直线BC的表达式． 承宇同学提出新的思路：从点的变换考虑，任取直线上一点，沿y轴翻折得点，则，，即，代入得翻折后所得直线的表达式为______． (2)请你选用（1）中两位同学其中一种方法求二次函数的图象沿直线翻折后所得图象的表达式． (3)下列说法中正确的有______填序号 ①将一次函数的图象沿直线翻折得到直线的表达式为；②将反比例函数的图象沿直线翻折所得图象的表达式为；③将二次函数的图象沿y轴翻折得到图象的表达式为；④将函数的图象沿直线翻折得到图象的表达式为 (4)将抛物线沿直线翻折得到图象G，直线与图象G有两个公共点，，且，求b的取值范围． 【经典例题三 二次函数中的平移模型】 【例3】（25-26九年级上·上海杨浦·阶段练习）若二次函数图像的顶点为，经过点． (1)求、、的值； (2)向上或向下平移抛物线，使得平移后的抛物线经过原点，求平移后的抛物线的函数表达式． 1．（25-26九年级上·上海奉贤·阶段练习）已知抛物线与x轴的一个交点为，且过点． (1)求该二次函数的解析式； (2)将该二次函数的图象向左平移个单位，若抛物线再次经过点时，求的值． 2．（25-26九年级上·上海杨浦·阶段练习）已知二次函数的图象如图所示． (1) ________， ________； (2)方程的两个根为_____； (3)观察图象，当时，的取值范围为_____． (4)将该二次函数图象向上平移______个单位长度后恰好过点． 3．（24-25九年级上·上海杨浦·期中）如图，抛物线与轴交于点，点（点在点的左侧），与轴交于点，连接，． (1)直接写出点的坐标（用含的代数式表示）； (2)若的面积为6，求的值； (3)在（2）的条件下，将抛物线向右平移个单位，记平移后抛物线中随的增大而减小的部分为，当直线与总有两个公共点时，求的取值范围． 4．（2025·上海嘉定·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线的顶点为点，且经过原点． (1)求抛物线的解析式． (2)点是抛物线上，且位于直线上方的一个动点，当点在抛物线上，且横坐标为时， 的面积为____________． 求的面积的最大值． (3)如图，将原抛物线沿射线方向平移得到新的抛物线，新抛物线与射线交于，两点（点在点的左侧）． 若，则新抛物线的解析式为____________． 在抛物线平移过程中，线段的长度总是定值，请你直接写出此定值． 【经典例题四 二次函数中的轴对称模型】 【例4】（2025·上海杨浦·模拟预测）问题：将直线关于轴对称所得的直线记为，求的函数解析式． 解决办法： ①设点是直线上的点； ②点关于轴的对称点为； ③点在直线上，把点代入，得，则，∴直线的函数解析式为． (1)结合上述解决方法，若的函数图象与函数的图象关于轴对称，求函数的解析式； (2)在（1）的条件下，当时，的最小值为1，求的值； (3)在（1）的条件下，当时，直线与的函数图象有2个交点，求的取值范围． 1．（25-26九年级上·上海宝山·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，抛物线顶点为，、两点关于抛物线的对称轴对称，直线恰好经过、两点． (1)求抛物线和直线的函数解析式； (2)设点是直线上方抛物线上的一动点，过点作轴的平行线交于点，设点的横坐标为． ①用含的代数式表示线段的长，并求线段的最大值； ②当的面积为时，求点的横坐标及的值． 2．（2025·上海金山·模拟预测）自古以来，放风筝便是春天不可或缺的乐趣之一．如图是某同学设计的一只风筝的平面示意图，其外轮廓为三角形，中间有一个抛物线形的装饰图案，抛物线的顶点为，抛物线与三角形的一边相交于、两点（点与点关于抛物线的对称轴对称），以所在直线为轴，过点且垂直于的直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，已知，点到的距离为． (1)求抛物线的函数表达式； (2)已知点的坐标为，该同学准备在抛物线上取两点、（点与点关于抛物线的对称轴对称），与抛物线对称轴的交点为，点在点的上方，沿和缝制两条装饰线条，请你计算与长度之和的最大值． 3．（24-25九年级上·上海杨浦·阶段练习）已知：如图1，抛物线与轴相交于点，点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)点为抛物线第三象限上的一点，若，求点的坐标； (3)如图2，点为抛物线在点左侧上的一点，点与点关于抛物线的对称轴对称，直线、分别交轴于点、，求的值． 4．（24-25九年级上·上海杨浦·阶段练习）合肥老城西大门有一处城门横断面分为两部分，上半部分为抛物线形状，下半部分为正方形（四边形为正方形），已知城门宽度为4米，最高处离地面6米，如图1所示，现以O点为原点，所在的直线为x轴，所在的直线为y轴建立直角坐标系． (1)求出上半部分抛物线的函数表达式； (2)有一辆宽3.2米，高4.6米的货车需要通过该城门进入城区（城门处为单向行驶道），请通过计算判断该货车能否安全通行． (3)由于城门年久失修，需要搭建一个矩形巩固门（矩形），该巩固门关于抛物线对称轴对称，如图2所示，其中为三根承重钢支架，点D在抛物线上，B、C在地面上，已知钢支架每米200元，问搭建这样一个矩形巩固门，仅钢支架一项，最多需要花费多少元？ 【经典例题五 二次函数中的最值模型】 【例5】（25-26九年级上·上海松江·阶段练习）如图，要在屋前的空地上围一个矩形花圃，花圃的一面靠墙，墙长，另三边用篱笆围成，篱笆总长，在与墙平行的一边开一个宽的门．设垂直于墙的一边为． (1)用含有x的代数式表示为 m； (2)当矩形花圃的面积最大时，求边的长，并求出矩形花圃面积的最大值． 1．（2025九年级上·上海长宁·专题练习）如图，在中，，，，在其内部作一个矩形，其中点D在边上，点B在边上，点C在边上，设矩形的一边． (1)请用含x的代数式表示边的长度； (2)设矩形的面积为，求当x取何值时，y的值最大？最大值是多少？ 2．（25-26九年级上·上海虹口·期中）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)如图2，在直线下方抛物线上有一点，当的面积最大时，求点的坐标及面积的最大值． 3．（24-25九年级上·上海奉贤·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，，与轴交于点． (1)求抛物线解析式． (2)在直线下方抛物线上有一点，当的面积最大时，求点的坐标及面积的最大值． (3)将该抛物线向左平移4个单位，得到新抛物线，新抛物线与原抛物线的交点为，点是新抛物线对称轴上一点，在（2）的条件下，在新抛物线上是否存在点，使得以点为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 4．（24-25九年级上·上海嘉定·阶段练习）定义：如图1，点既在函数的图象上，又在函数的图象上，我们称点是函数的“分界点”． (1)如图2，函数的“分界点”的横坐标是1，求的值． (2)如图3是函数的图象． ①当时，求的值； ②当此函数的“分界点”是该函数图象唯一最低点时，求的取值范围； ③点是该函数图象上的两个点，点的横坐标是，点的横坐标是，如果当变化时，该函数图象在点之间的部分对应的函数值的最大值和最小值都是定值，请直接写出的取值范围． 【经典例题六 二次函数中的存在模型】 【例6】（25-26九年级上·上海静安·期中）已知二次函数的图象与轴交于两点（A在左侧），与轴交于点C． (1)求A、B、C的坐标； (2)设抛物线的顶点为，求四边形的面积； (3)在抛物线的对称轴上，是否存在点，使为等腰三角形，若存在，写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 1．（24-25九年级上·上海宝山·期中）已知抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点． (1)求抛物线的表达式及顶点的坐标． (2)如图1，若D是x轴下方抛物线上的一个动点（不与点A，C，B重合），过点D作轴于点F，交直线于点E．设点D的横坐标为m，试用含m的代数式表示的长． (3)如图2，若点在抛物线上，则在y轴上是否存在点Q，使？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 2．（25-26九年级上·上海虹口·阶段练习）如图，已知直线与x轴交于点B，与y轴交于点C；抛物线的对称轴为直线，且抛物线经过B，C两点： (1)求B、C两点的坐标和抛物线的解析式； (2)抛物线与x轴的另一个交点为点A，在抛物线的对称轴上找点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出点M的坐标； (3)在直线的下方的抛物线上，是否存在点N，使的面积最大？若存在，请求出点N的坐标及最大面积；若不存在，请说明理由． 3．（25-26九年级上·上海闵行·阶段练习）某商品的进价为每件40元，当售价为每件60元时，每星期可卖出300件，现需降价处理，且经市场调查，每降价1元，每星期可多卖出20件，在确保盈利的前提下，设每件降价x（x为整数）元，每星期售出商品的利润为y元，解答下列问题： (1)请写出x与y之间的函数关系式； (2)当降价多少元时，每星期的利润最大？最大利润是多少？ 小明解答过程如下： 解：（1）根据题意，可列出表达式： ． 即． （2）∵， ∴当时，y有最大值，． 所以，当降价2．5元时，每星期的利润最大，最大利润为6125． 老师看了小明的解题过程，说小明第（1）问的表达式是正确的，但自变量x的取值范围不准确．（2）问的答案，也都存在问题．请你就老师说的问题，进行探究，写出你认为（1）（2）中正确的答案，或说明错误原因． 4．（24-25九年级上·上海松江·阶段练习）如图，已知抛物线与轴交于两点，点在点的左边，与轴交于点． (1)求点的坐标； (2)若点在轴上，且，求点的坐标； (3)若点在抛物线上，且，求点的坐标． 【经典例题七 二次函数中特殊角度模型】 【例7】（25-26九年级上·上海杨浦·阶段练习）如图，已知抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点，． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若点为直线下方抛物线上一点，连接并交于点，若分的面积为两部分，请求出点的坐标； (3)在轴上是否存在一点，使得，若存在，请求出点．的坐标；若不存在，请说明理由． 1．（2025·上海宝山·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线分别交x轴于A，B两点，交y轴交于点C，且．连接，过点A作，交抛物线与点D． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，P是直线下方抛物线上一点，过点P作轴交直线于点M，过点M 作于点N，连接．当的面积最大时，将线段沿直线平移，求平移过程中的最小值； (3)如图2，E是线段的中点，将原抛物线沿方向平移，使得经过点E得到新抛物线．Q为新抛物线上的一点，当时，请写出所有符合条件的点Q的坐标，并写出求解其中一个点Q坐标的过程． 2．（2025·上海松江·模拟预测）如图，平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴相交于点、点，与轴相交于点，连接、． (1)求：，的值； (2)当时，函数的最小值是2，求出的值； (3)在抛物线上是否存在点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 3．（24-25九年级上·上海普陀·期中）如图，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求抛物线的函数表达式及点的坐标； (2)直线与抛物线交于，两点，与直线交于点，若点为的中点，求的值； (3)点为抛物线上一点，当时，请求出点的坐标． 4．（2025·上海闵行·模拟预测）如图，二次函数（是常数，且）的图象与轴交A，两点（点A在点的左侧），与轴交于点，顶点为，对称轴与线段交于点，与轴交于点，连接，． (1)若 ①求直线的表达式； ②求证：； (2)若二次函数（是常数，且）在第四象限的图象上，始终存在一点，使得，求出的取值范围． 【经典例题八 二次函数中面积关系模型】 【例8】（2025九年级上·上海长宁·专题练习）综合运用 在中，，D为边上一点，，动点P以每秒1个单位长度的速度从点C出发，在三角形的三边上沿匀速运动，到达点A时停止，以为边作正方形．设点P的运动时间为，正方形的面积为S，试探究S与t的关系． (1)如图1，当点P由点C运动到点B时，求S关于t的函数表达式． (2)当点P由点B运动到点A时，经探究发现S是关于t的二次函数，并绘制成如图2所示的图象．请根据图象信息，求S关于t的函数表达式及线段的长． (3)若存在3个时刻，，（）对应的正方形的面积均相等． ①求的值； ②当时，求正方形的面积． 1．（25-26九年级上·上海普陀·期中）已知二次函数． (1)求这个函数图像的顶点坐标，并指出它的变化情况； (2)如图，在平面直角坐标系中，该函数图像与x轴正半轴交于点A，与y轴交于点C，顶点为D，O为坐标原点，求四边形的面积． 2．（24-25九年级上·上海崇明·阶段练习）综合与实践 如图，在矩形中，，，为上一点，且，为边上一动点（含，两个顶点），连接，将绕点顺时针旋转到的位置，连接．探究的面积与点移动的关系． (1)特例感知 如图，当时，求的面积． (2)规律探究 如图，若设，的面积为，求与之间的函数解析式，并求出的最小值． (3)数学思考 如图，连接，当的长最小时，求的面积． 3．（24-25九年级上·上海闵行·期中）综合与探究 如图，在中，，，，点在射线上，点在射线上，动点在射线上，沿方向，以每秒个单位的速度匀速运动，到达点时停止．以为边作正方形．设点的运动时间为秒，正方形的面积为，探究与的关系． (1)填空：如图，当点由点运动到点时， 当时， ； 关于的函数解析式为 ．（不必写出自变量的取值范围） (2)如图，当点由点运动到点时，经探究发现是关于的二次函数，并绘制成如图所示的图象段，请根据图象信息： 求关于的函数解析式，并直接写出自变量的取值范围；   当正方形的面积最小时，直接写出的比值为 ． 4．（24-25九年级上·上海杨浦·阶段练习）已知：y关于x的二次函数．    (1)若函数的图象过点，求a与b的关系； (2)如图，若函数的图象与x轴有两个公共点，并与动直线交于点P，连接，，，，其中交y轴于点D，交于点E．设的面积为，的面积为． ①当点P为抛物线顶点时，求的面积； ②探究直线l在运动过程中，是否存在最大值？若存在求出这个最大值；若不存在，说明理由． 【经典例题九 二次函数中新定义模型】 【例9】（24-25九年级上·上海嘉定·阶段练习）（1）新定义：若抛物线M和抛物线N的对称轴为同一条直线，我们称M和N互为“同枝”抛物线．如图，抛物线M：与坐标轴交A，B，C三点，请任意写出一个与抛物线M互为“同枝”抛物线的解析式； （2）抛物线N与M互为“同枝”抛物线，且N与M的形状相同，若N与坐标轴仅有两个交点，请求出N的解析式． 1．（24-25九年级上·上海宝山·阶段练习）新定义：在平面直角坐标系中，函数自变量与因变量乘积最大时的点坐标成为该函数的“最值点” (1)如图，若抛物线M经过和点和，则M上是否存在最值点？若存在，请求出最值点，若不存在，请说明理由； (2)若直线交抛物线于A，两点，则直线不低于抛物线时，请直接写出自变量x的取值范围； (3)求直线的最值点． 2．（24-25九年级上·上海奉贤·期中）定义：在平面直角坐标系中，有一条直线，对于任意一个函数，作该函数自变量大于的部分关于直线的轴对称图形，与原函数中自变量大于或等于的部分共同构成一个新的函数图象，则这个新函数叫做原函数关于直线的“镜面函数”．例如：图①是函数的图象，则它关于直线的“镜面函数”的图像如图②所示，且它的“镜面函数”的解析式为，也可以写成．          (1)在图③中画出函数关于直线的“镜面函数”的图象； (2)函数关于直线的“镜面函数”与直线有三个公共点，直接写出的值． 3．（2025·上海普陀·模拟预测）新定义：若函数图象恒过点，我们称为该函数的“永恒点”．如：一次函数，无论值如何变化，该函数图象恒过点，则点称为这个函数的“永恒点”． 【初步理解】一次函数的永恒点的坐标是 ； 【理解应用】二次函数落在轴负半轴的永恒点的坐标是 ，落在轴正半轴的永恒点的坐标是 ； 【知识迁移】点为抛物线的顶点，设点到直线的距离为，点到直线的距离为，请问是否为定值？如果是，请求出的值；如果不是，请说明理由． 4．（2025九年级·上海长宁·专题练习）定义：将二次函数l的图象沿x轴向右平移t，再沿x轴翻折，得到新函数l′的图象，则称函数l′是函数l的“t值衍生抛物线”．已知l：y＝x2﹣2x﹣3． (1)当t＝﹣2时， ①求衍生抛物线l′的函数解析式； ②如图1，函数l与l'的图象交于M（，n），N（m，﹣2）两点，连接MN．点P为抛物线l′上一点，且位于线段MN上方，过点P作PQ∥y轴，交MN于点Q，交抛物线l于点G，求S△QNG与S△PNG存在的数量关系． (2)当t＝2时，如图2，函数l与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，连接AC．函数l′与x轴交于D，E两点，与y轴交于点F．点K在抛物线l′上，且∠EFK＝∠OCA．请直接写出点K的横坐标． 1．（2025·上海长宁·模拟预测）如图，抛物线与轴交于点，（点在点的右侧），它的顶点为点．将抛物线绕点旋转，得到新的抛物线，与轴交于点，与轴的另一个交点为．若，则，应满足的关系式为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·上海杨浦·阶段练习）某抛物线型拱桥的示意图如图所示，水面，拱桥最高处点C到水面的距离为，在该抛物线上的点E，F处要安装两盏警示灯（点E，F关于y轴对称），警示灯F距水面的高度是，则这两盏灯的水平距离是（    ）    A． B． C． D． 3．（2025·上海虹口·模拟预测）如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，将抛物线在轴下方的部分沿轴折叠到x轴上方，将这部分图象与原抛物线剩余的部分组成的新图象．若新图象与直线有个交点，则下列结论中正确的是（   ） A． B． C．的最小值为 D．或 4．（24-25九年级上·上海松江·阶段练习）如图，为等腰直角三角形，，，正方形的边长也为2，且与在同一直线上，从点C与点D重合开始，沿直线向右平移，直到点A与点E重合为止，设的长为x，与正方形重合部分（图中阴影部分）的面积为y，则y与x之间的函数关系的图象大致是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·上海金山·阶段练习）二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线，则下列说法：①；②；③（为全体实数）；④若图象上存在点和点，当时，满足，则的取值范围是．其中正确的是（　　） A．①②③④ B．①②④ C．①③④ D．②④ 6．（25-26九年级上·上海闵行·阶段练习）如图，已知二次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，在对称轴上是否存在一点P，使以P、A、B为顶点的三角形为直角三角形，若存在，请写出点P的坐标 ． 7．（2025·上海嘉定·模拟预测）如图，已知抛物线过点，点． （1）该抛物线的顶点坐标为 ． （2）点C是上方抛物线上一动点（不与点A，B重合），连接，，则面积的最大值为 ． 8．（24-25九年级上·上海崇明·阶段练习）珍珍利用计算机软件设计了一个函数动画．如图，抛物线C：经过原点，与x轴正半轴交于点． （1）抛物线C的表达式为 ． （2）珍珍利用软件程序将抛物线C复制后，向下平移5个单位长度得到抛物线，抛物线与x轴正半轴交于点B，则的长是 ． 9．（24-25九年级上·上海闵行·阶段练习）如图，一段抛物线，记为抛物线，它与x轴交于点O，；将抛物线绕点旋转得抛物线，交x轴于另一点；将抛物线绕点，旋转得抛物线；交x轴于另一点…如此进行下去，得到一条“波浪线”．若点在此“波浪线”上，则m的值为 ． 10．（24-25九年级上·上海崇明·期中）如图，抛物线．将该抛物线在轴和轴上方的部分记作，将轴下方的部分沿轴翻折后记作和构成的图形记作．关于图形，给出甲、乙、丙、丁四位同学的结论： 甲：图形关于轴成轴对称； 乙：图形有最小值，且最小值为0； 丙：当时，图形的函数值都是随着的增大而减小的； 丁：时，图形恰好经过5个整点（即横、纵坐标均为整数的点）． 以上四位同学的结论中，所有正确结论的是 ． 11．（2025九年级·上海长宁·专题练习）如图，已知抛物线分别交轴于两点，且与轴交于点． (1)求抛物线的表达式及顶点的坐标． (2)将该抛物线绕点旋转，求旋转后的抛物线的表达式． 12．（24-25九年级上·上海杨浦·期中）如图，将二次函数位于x轴下方的图象沿x轴翻折，再得到一个新函数的图象（图中的实线）． (1)当时，新函数值为 ，当时，新函数值为 ； (2)当 时，新函数有最小值； (3)当新函数中函数y随x的增大而增大时，自变量x的范围是 ； (4)直线与新函数图象有4个公共点时，a的取值范围是 ． 13．（25-26九年级上·上海闵行·阶段练习）已知二次函数的图象如图． (1)求它的对称轴与轴交点D的坐标； (2)将该抛物线沿它的对称轴向上平移，设平移后的抛物线与轴，轴的交点分别为A、B、C三点，若，求此时抛物线的解析式； 14．（2025·上海青浦·模拟预测）已知抛物线与x轴交于A，B两点，且经过点，顶点坐标为． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，点D为抛物线上一个动点，连接，求的面积的最大值； (3)如图2，点E为抛物线上第四象限内一点，连接，交于点F，记的面积为，的面积为，当最大时，点E的坐标． 15．（25-26九年级上·上海静安·阶段练习）如图，已知二次函数经过点，，与轴另一交点为点B，点D在线段上运动（不与点O，点A重合），过点D作轴的垂线，与交于点Q，与抛物线交于点P． (1)求该二次函数的解析式及点B的坐标； (2)若，求点P的坐标； (3)在抛物线上是否存在一点E（不与点C重合），使得的面积等于的面积，若不存在，请说明理由；若存在，请直接写出点E的坐标． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 二次函数常考几何模型专训（9大题型+15道拓展培优题） 题型一 二次函数中的旋转模型 题型二 二次函数中的翻折模型 题型三 二次函数中的平移模型 题型四 二次函数中的轴对称模型 题型五 二次函数中的最值模型 题型六 二次函数中的存在模型 题型七 二次函数中特殊角度模型 题型八 二次函数中面积关系模型 题型九 二次函数中新定义模型 【经典例题一 二次函数中的旋转模型】 【例1】（2025九年级·上海长宁·专题练习）已知一条抛物线的开口方向和大小与抛物线都相同，顶点与抛物线相同． (1)这条抛物线的表达式为___________． (2)求将（1）中的抛物线向右平移4个单位长度得到的抛物线的表达式． (3)若（2）中所求抛物线的顶点不动，将此抛物线绕其顶点旋转，求旋转后的抛物线的表达式． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据抛物线的开口方向、形状大小、顶点坐标，可得答案； （2）根据左加右减的平移规律可得抛物线的表达式； （3）根据图象绕顶点旋转，可得函数图象开口方向相反，顶点坐标相同，可得答案． 【详解】（1）解：由题意知：这条抛物线的表达式为． 故答案为：． （2）解：将（1）中的抛物线向右平移个单位长度后得到的抛物线的表达式为， 即． （3）解：将（2）中所求抛物线绕顶点旋转，旋转后的抛物线的表达式为． 【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，熟练掌握平移规律和旋转规律是解题的关键． 1．（25-26九年级上·上海杨浦·阶段练习）如图，抛物线与x轴交于点A，B，点B的坐标为． (1)求b的值及顶点坐标； (2)若是y轴上一点，，将点Q绕着点P逆时针方向旋转得到点E． ①用含t的式子表示点E的坐标； ②当点E恰好在该抛物线上时，求t的值． 【答案】(1)，顶点坐标为 (2)①点E的坐标为；② 【分析】本题考查的是待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，旋转变换的性质，全等三角形的判定和性质，掌握待定系数法求函数解析式的一般步骤，全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）把点B的坐标代入二次函数解析式，求出b，利用配方法求出抛物线的顶点坐标； （2）①作轴于H，证明，关键全等三角形的性质得到，，得到点E的坐标； ②把点E的坐标代入二次函数解析式，计算得到答案． 【详解】（1）∵抛物线与x轴交于点B，点B的坐标为． ∴， 解得，， 抛物线的解析式为：， ， ∴抛物线的顶点坐标为； （2）①作轴于H， 由旋转的性质可知，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 则点E的坐标为； ②当点E恰好在该抛物线上时，， 解得， ∵， ∴． 2．（25-26九年级上·上海杨浦·期中）如图，已知矩形的周长为，矩形绕它的一条边旋转形成一个圆柱．设矩形的一边的长为，旋转形成的圆柱的侧面积为． (1)求S关于x的函数解析式及自变量x的取值范围； (2)求当x取何值时，矩形旋转形成的圆柱的侧面积最大． 【答案】(1)（） (2)当时，矩形旋转形成的圆柱的侧面积最大 【分析】本题考查圆柱的计算，二次函数的性质等知识，熟练掌握圆柱侧面积公式，二次函数的最值是解题的关键． （1）根据矩形的性质，圆的周长公式，求出圆柱的底面圆的周长，即可计算圆柱的侧面积． （2）把圆柱侧面积表达式化为顶点式，即得x取什么值时圆柱侧面积最大． 【详解】（1）解：∵， ∴旋转形成的圆柱的底面圆的周长为． ∴（）； （2）解：， ∵， ∴当时，矩形旋转形成的圆柱的侧面积最大． 3．（2025·上海·模拟预测）阅读以下材料，并解决相应问题： 小明在课外学习时遇到这样一个问题： 定义：如果二次函数（，，，是常数）与（，，，是常数）满足，，，则这两个函数互为“旋转函数”．求函数的旋转函数．小明是这样思考的，由函数可知，，，，根据，，，求出，，就能确定这个函数的旋转函数． 请思考小明的方法解决下面问题： (1)写出函数的旋转函数． (2)若函数与互为旋转函数，求的值． (3)已知函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A、B、C关于原点的对称点分别是，试求证：经过点的二次函数与互为“旋转函数”． 【答案】(1) (2)1 (3)证明见解析 【分析】（1）根据“旋转函数”的定义求出另一个函数的a、b、c的值，从而得出函数解析式； （2）根据定义得出m和n的二元一次方程组，从而得出答案； （3）首先求出三点的坐标，然后得出对称点的坐标，从而求出函数解析式，然后根据新定义进行判定． 【详解】（1）解：根据题意得， 解得 故解析式为：． （2）解：根据题意得， ∴ ∴． （3）证明：当时，， ∴， 当时，， 解得：， ， 点A、B、C关于原点的对称点分别是， ∴， 设过点的二次函数解析式为， 将代入，得：， 解得：， 过点的二次函数解析式为． ，，， ∵， ，，， ∵， ∴两个函数互为“旋转函数”． 【点睛】本题考查了二次函数，新定义型；涉及了待定系数法，关于原点对称的点的坐标等知识，正确理解题意，熟练运用相关知识是解题的关键． 4．（2025·上海闵行·模拟预测）国家的强大离不开国防的保障．近几年，科技的发展越来越多地应用到国防军事方面，其中无人机和导弹防御系统成为各国竞争的热点．梅石数学小组借助项目式学习研究了如下问题：某军事游戏模型截面图中，导弹防御系统雷达固定向上时的覆盖范围可视为二次函数（如图1），并且可确保击落进入覆盖区域内超过10分钟（含10分钟）的无人机．（已知直角坐标系的单位长度均为1km．） (1)当点在该二次函数图象上时，求的值； (2)①若雷达可绕点左右旋转形成全方位覆盖（如图2）．若已知图2中的图象绕点向右旋转形成的曲线满足：，请直接写出图象绕点向左旋转后、满足的关系式：__________； ②如图1，若该军事游戏模型中，某型号攻击无人机飞行高度为，携带导弹后速度为10米/秒，为摧毁雷达需飞行到点正上方进行投弹．当该导弹防御系统雷达固定向上时，其覆盖范围所视为的二次函数的要调整到什么范围才能抵挡这次攻击？（投弹时间忽略不计） 【答案】(1) (2)①②当时，才能抵挡这次攻击 【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确的求出函数解析式，是解题的关键： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）①根据对称性，结合开口大小不变，得到，即可得出结果；②求出无人机到达点上方正好为10分钟时的值，即可得出结果． 【详解】（1）解：把代入，得：， ∴； （2）①观察可知：图象绕点向左旋转后的图象和的图象绕点向右旋转的图象，顶点相同，开口大小相同，只是方向相反， ∴图象绕点向左旋转后、满足的关系式：； 故答案为：； ②当无人机到达点上方正好为10分钟时，则飞行距离为， 假设无人机从左往右飞， ∵无人机飞行高度为， 则，当过点时，， ∴， ∴当时，才能抵挡这次攻击． 【经典例题二 二次函数中的翻折模型】 【例2】（2025·上海松江·模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，过点作直线垂直于轴． (1)求抛物线的对称轴．（用含的式子表示） (2)将抛物线在轴右侧的部分沿直线翻折，其余部分保持不变，形成图形．，为图形上的两点． ①当时，若，判断与的大小关系，并说明理由． ②若对于，都有，直接写出的取值范围． 【答案】(1)对称轴为直线 (2)①；② 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，函数的增减性质，函数图象变换，分类讨论的数学思想，熟练掌握以上内容是解题关键． （1）直接按对称轴公式代数计算即可； （2）①当时，抛物线解析式为，画出图形的图象，根据图象性质即可解答； ②分、、三类画图讨论即可． 【详解】（1）解：对称轴为直线； （2）解：①，理由如下： 当时，抛物线解析式为，图形如图 1 所示： 此时若，故； ②当时，如图2所示： 此时翻折后的图象解析式为， 故当时，， 当时，， ∵，即， 解得， 即； 当时，显然对于，都有成立； 当时，对于，恒有成立； 综上，的取值范围为． 1．（24-25九年级上·上海宝山·期中）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于，A点在原点的左侧，B点的坐标为．点P是抛物线上一个动点，且在直线的上方． (1)求这个二次函数的表达式． (2)连接，并把沿翻折，得到四边形，那么是否存在点P，使四边形为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由． (3)当点P运动到什么位置时，四边形的面积最大，并求出此时点P的坐标和四边形的最大面积． 【答案】(1) (2)存在，P点的坐标为 (3)P点的坐标为，四边形面积的最大值为． 【分析】对于（1），根据待定系数法，可得函数解析式； 对于（2），根据菱形的对角线互相平分，可得P点的纵坐标，根据函数值与自变量的对应关系，可得答案； 对于（3），根据面积的和差，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得m的值，根据自变量与函数值的对应关系，可得P点坐标． 【详解】（1）解：将B、C两点的坐标代入得， 解得． 所以二次函数的表达式为； （2）解：如图， 存在点P，使四边形为菱形． 设P点坐标为， 交于E 若四边形是菱形，则有． 连接则于E． ， ， ∴， 解得（不合题意，舍去） ∴P点的坐标为； （3）解：如图1， ， 过点P作y轴的平行线与交于点Q，与交于点F，设， 将点代入关系式，得 ， 解得， ∴直线的解析式为． 则Q点的坐标为． ∴． ， 当时，四边形的面积最大 此时P点的坐标为，四边形面积的最大值为． 【点睛】本题主要考查了用待定系数法求函数解析式，二次函数与几何图形，菱形的性质和判定，求一次函数关系式，求二次函数的最大值，理解用坐标差表示线段长是解题的关键. 2．（2025九年级上·上海青浦·专题练习）如图1，二次函数的图像与轴交于、两点，与轴交于点，直线经过两点． (1)求抛物线的解析式； (2)①当时，函数的最大值为_____，最小值为_______； ②当时，设函数的最大值为，最小值为，若，求的值； (3)如图2，将二次函数在轴上方的图象沿轴翻折到轴的下方，图象的其余部分不变，得到一个“M”形状的新图象，再将直线向下平移个单位长度，得到直线，当直线与这个新图象有4个公共点时，请直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)①4；0②0 (3) 【分析】本题考查了二次函数的性质，图象与轴交点问题，翻折变换，一元二次方程与二次函数的关系等，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键． （1）根据直线可求出点的坐标，再运用待定系数法求出二次函数解析式即可； （2）①求出抛物线的顶点坐标，对称轴以及点A的坐标，在范围内可求出最大值和最小值； ②分、和三种情况，分别求出最大值和最小值，根据列式求解即可； （3）求出翻折后的函数关系式，求出经过点A且与平行的直线的解析式和与新抛物线有唯一公共点且与平行的直线的解析式即可解决问题． 【详解】（1）解：对于，当时，；当时，， ∴，， 把，代入得， ， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：①， ∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为， ∵, ∴, ∴当时最大值为4，最小值为0， 故答案为：4；0； ②∵抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为，与关于对称轴对称，函数值相等， 分以下三种情况： （i）当时， 又∵， ∴当时，y随x的增大而增大， ∴当时，y取最大值为； 当时，y取最小值为， ∵， ∴， 解得，或（舍去）； （ii）当时， 当时，y取最大值为 当时，y取最小值为， 此时，不满足题意舍去； （ⅲ）当时， 当时，y取最大值为 当时，y取最小值为， ∵， ∴， 解得，或； 因为，则或都不符合题意，舍去； 综上，t的值为0， 故答案为：0； （3）解：根据题意得，翻折后的抛物线顶点坐标为， 设翻折后的抛物线解析式为， 把代入得， ∴翻折后的抛物线解析式为， 设经过点A且与平行的直线的解析式为， 把代入得，， 解得，； 设与新抛物线有唯一公共点且与平行的直线的解析式，则有： ， 整理得： ∴， ∴， ∴直线与这个新图象有4个公共点时，的取值范围． 3．（2025·上海松江·模拟预测）已知抛物线过，两点，交y轴于点C． (1)求抛物线的表达式和对称轴； (2)如图1，若点P是线段上的一动点，连接、，将沿直线翻折，得到，当点落在该抛物线的对称轴上时，求点P的坐标； (3)如图2，点M在直线上方的抛物线上，过点M作直线的垂线，分别交直线、线段于点N、点E，过点E作轴，求的最大值． 【答案】(1)；对称轴为： (2)点P的坐标为： (3) 【分析】本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数的性质、待定系数法求函数解析式、翻折的性质等，解题的关键是运用待定系数法求函数解析式；运用配方法解决最值问题．解题时注意分类讨论思想的运用． （1）用待定系数法即可求解； （2）将沿直线翻折，得到，则，，进而求解； （3）联立和并解得：，得到点E的坐标，进而求解． 【详解】（1）解：设抛物线的表达式为：， 则， 则， 解得：， 故抛物线的表达式为：①， 其对称轴为：x； （2）解：将沿直线翻折，得到，则，， ， 由抛物线的对称轴为：知，， 则，则， ∴，则点， 设点P的坐标为，点， 由得：， 解得：， 即点P的坐标为：； （3）解：由点A、C的坐标得，直线的表达式为：， 由B、C的坐标知，和x轴负半轴的夹角为， ∵，则直线和x轴的夹角为，设点M的坐标为：， 则设直线的表达式为：， 联立和并解得：， 则， 则， 则， 故有最大值为． 4．（2025·上海闵行·模拟预测）“求索”兴趣小组对函数图象的翻折变换进行了讨论，请你完成下列相关问题． (1)思源同学提出从最简单的一次函数图象开始：如图1，的图象与x轴、y轴交于点、，把直线AB沿y轴翻折交x轴于点C，可得，所以点C坐标为______，由此可求得直线BC的表达式． 承宇同学提出新的思路：从点的变换考虑，任取直线上一点，沿y轴翻折得点，则，，即，代入得翻折后所得直线的表达式为______． (2)请你选用（1）中两位同学其中一种方法求二次函数的图象沿直线翻折后所得图象的表达式． (3)下列说法中正确的有______填序号 ①将一次函数的图象沿直线翻折得到直线的表达式为；②将反比例函数的图象沿直线翻折所得图象的表达式为；③将二次函数的图象沿y轴翻折得到图象的表达式为；④将函数的图象沿直线翻折得到图象的表达式为 (4)将抛物线沿直线翻折得到图象G，直线与图象G有两个公共点，，且，求b的取值范围． 【答案】(1) (2)二次函数的图象沿直线翻折后所得图象的表达式为 (3)①③④ (4)b的取值范围为 【分析】本题考查二次函数综合应用，涉及一次函数，反比例函数，对称变换等知识，解题的关键是掌握关于某直线对称的两点的坐标关系． （1）由，即得，由，可得； （2）任取二次函数的图象上一点，沿直线翻折得点，故，即可得； （3）设一次函数的图象上一点为，点沿直线翻折得到点，可得，从而，知，判断①正确；同理判断②错误，③正确，④正确； （4）任取二次函数的图象上一点，沿直线翻折得点，即可得图象G的表达式为，联立，可得，由直线与图象G有两个公共点，有，故，解得，又，可得，即，得，解得；即知b的取值范围为 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为：，； （2）解：任取二次函数的图象上一点，沿直线翻折得点， ， ， ； 二次函数的图象沿直线翻折后所得图象的表达式为； （3）解：①设一次函数的图象上一点为， 点沿直线翻折得到点， ， ， ，故①正确； ②设反比例函数的图象上一点为， 点沿直线翻折得到点， ， ， ，故②错误； ③设二次函数的图象上一点为， 点沿y轴翻折得到点， ， ， ∴，故③正确； ④设函数的图象上一点为， 点沿直线翻折得到点， ∴，， ，故④正确； 正确的有①③④， 故答案为：①③④； （4）解：任取二次函数的图象上一点，沿直线翻折得点， ， 将代入得， 图象G的表达式为， 联立， ∴， 整理得 直线与图象G有两个公共点， ， ∴\， 解得， ， ， ， ， ， ， ， 解得； 的取值范围为 【经典例题三 二次函数中的平移模型】 【例3】（25-26九年级上·上海杨浦·阶段练习）若二次函数图像的顶点为，经过点． (1)求、、的值； (2)向上或向下平移抛物线，使得平移后的抛物线经过原点，求平移后的抛物线的函数表达式． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质以及二次函数图象的平移． （1）由题意设二次函数的顶点式，再把点代入求得的值，最后把二次函数的顶点式化为一般式，即可求出、、的值； （2）由题意先设平移后的抛物线的解析式，再把原点代入求解即可． 【详解】（1）解：二次函数图象的顶点为， 设顶点式， 代入，得，解得， 二次函数的解析式为， 展开得，故，，． （2）解：向上或向下平移抛物线， 设平移后的抛物线为， 代入，得，解得， 平移后的抛物线的表达式为． 1．（25-26九年级上·上海奉贤·阶段练习）已知抛物线与x轴的一个交点为，且过点． (1)求该二次函数的解析式； (2)将该二次函数的图象向左平移个单位，若抛物线再次经过点时，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象的平移，三角形的面积，勾股定理及其逆定理．解题的关键是求出平移之后的解析式． （1）用待定系数法直接求解即可； （2）根据抛物线平移规律“左加右减，上加下减”得出当抛物线向左平移个单位时，，再把代入，求解即可． 【详解】（1）解：把点，代入抛物线，得 解得：， ． （2）解：， 当抛物线向左平移个单位时，， 把代入得 ， 解得：（舍），， ． 2．（25-26九年级上·上海杨浦·阶段练习）已知二次函数的图象如图所示． (1) ________， ________； (2)方程的两个根为_____； (3)观察图象，当时，的取值范围为_____． (4)将该二次函数图象向上平移______个单位长度后恰好过点． 【答案】(1)， (2)， (3) (4) 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的平移，一元二次方程的解与二次函数的关系，数形结合是解题的关键． （1）根据函数的开口方向可判断，再根据函数图象与轴的交点可判断； （2）由二次函数的图象可得对称轴为直线，函数图象与轴的一个交点为，利用二次函数的对称性求出函数与轴的另一个交点，即可求解； （3）由图可知，当时，函数有最小值为，当时，，即可求解； （4）先求出原来二次函数的解析式，再根据二次函数平移的特点求解即可． 【详解】（1）解：由二次函数的图象可得，， 故答案为：，； （2）解：由二次函数的图象可得函数的对称轴为直线，函数图象与轴的一个交点为， 函数图象与轴的另一个交点为， 的两个根为，， 故答案为：，； （3）解：二次函数的开口向上，顶点为， 当时，函数有最小值为， 当时，， 当时，的取值范围为， 故答案为：； （4）解：设二次函数的解析式为，将代入得， 解得， 二次函数的解析式为， 设将二次函数图象向上平移个单位长度后恰好过点， 则平移后的二次函数解析式为， 将代入得， 解得， 故答案为：． 3．（24-25九年级上·上海杨浦·期中）如图，抛物线与轴交于点，点（点在点的左侧），与轴交于点，连接，． (1)直接写出点的坐标（用含的代数式表示）； (2)若的面积为6，求的值； (3)在（2）的条件下，将抛物线向右平移个单位，记平移后抛物线中随的增大而减小的部分为，当直线与总有两个公共点时，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）令，则，即可求得点坐标； （2）求出的坐标，表示出的面积，由此即可得到答案； （3）平移后的解析式为，待定系数法求出直线的解析式为，当抛物线经过点时，，此时直线与有两个公共点，联立，得到方程，当时，此时直线与有两个公共点，由此即可得到答案． 【详解】（1）解：在中，令，则， 点的坐标为， 故答案为：； （2）解：在中，令，得， 解得，， ，， ， 由抛物线图象可得：， ， ， 解得：； （3）解：由（2）得 ，， 将抛物线向右平移个单位， 新抛物线的解析式为：， 对称轴为直线， 设直线的解析式为：， 将，代入解析式得：， 解得：， 直线的解析式为， 当抛物线经过点时，， 解得：或（不符合题意，舍去）， 当时，， 当时，随的增大而减小， 联立， 解得：，， 此时与直线有两个交点； 联立， ， 直线与总有两个公共点， ， 解得：， 综上所述，当时，直线与总有两个公共点． 【点睛】本题考查了二次函数的综合，二次函数与坐标轴的交点问题，二次函数图象的平移，二次函数与一元二次方程，熟练掌握二次函数的图象与性质；二次函数的平移规则：左加右减，上加下减；采用数形结合的思想进行解题，是解此题的关键． 4．（2025·上海嘉定·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线的顶点为点，且经过原点． (1)求抛物线的解析式． (2)点是抛物线上，且位于直线上方的一个动点，当点在抛物线上，且横坐标为时， 的面积为____________． 求的面积的最大值． (3)如图，将原抛物线沿射线方向平移得到新的抛物线，新抛物线与射线交于，两点（点在点的左侧）． 若，则新抛物线的解析式为____________． 在抛物线平移过程中，线段的长度总是定值，请你直接写出此定值． 【答案】(1)； (2)；当时，的面积的最大值为； (3)；． 【分析】本题考查了一次函数与二次函数的图象及性质，二次函数图象的平移，一元二次方程根与系数的关系，二次函数的最值，熟练掌握二次函数的图象及性质，函数图象平移的性质是解题的关键． （）由题意可知，解得，即可求函数的解析式； （）过点作轴交于点，求出直线的解析式为，分别求出，，再求的面积即可； 过点作轴交于点，设，则，的面积 ，当时，的面积的最大值为； （）点向右平移个单位，向上平移个单位得到点，设抛物线向右平移个单位，向上平移个单位，平移后的函数解析式为，可求 ，则新抛物线的解析式为； 设抛物线向右平移个单位，向上平移个单位，则平移后的函数解析式为 ，当时，，根据根与系数的关系可得，，则． 【详解】（1）解：∵函数图象经过原点， ∴， 解得， ∴； （2）解：过点作轴交于点， ∵点横坐标为， ∴， ∴直线的解析式为， ∵， ∴， ∴， ∴的面积， 故答案为：； 过点作轴交于点， 设，则， ∴的面积， 当时，的面积的最大值为； （3）解：∵， ∴点向右平移个单位，向上平移个单位得到点， 设抛物线向右平移个单位，向上平移个单位， ∴平移后的函数解析式为，将点代入， 可得， 解得（舍）或， ∴新抛物线的解析式为， 故答案为：； 设抛物线向右平移个单位，向上平移个单位， ∴平移后的函数解析式为， 当时，， ∴，， ∵直线的解析式为， ∴， ∴． 【经典例题四 二次函数中的轴对称模型】 【例4】（2025·上海杨浦·模拟预测）问题：将直线关于轴对称所得的直线记为，求的函数解析式． 解决办法： ①设点是直线上的点； ②点关于轴的对称点为； ③点在直线上，把点代入，得，则，∴直线的函数解析式为． (1)结合上述解决方法，若的函数图象与函数的图象关于轴对称，求函数的解析式； (2)在（1）的条件下，当时，的最小值为1，求的值； (3)在（1）的条件下，当时，直线与的函数图象有2个交点，求的取值范围． 【答案】(1) (2)的值为或 (3)当时，满足与图象有2个交点的的取值范围是 【分析】本题主要考查二次函数图象与性质，灵活运用数形结合思想是解答本题的关键． （1）依照轴对称的性质进行解答即可； （2）求出函数图象的对称轴为直线，根据题意分和两种情况讨论求解即可； （3）画出函数图象，结合图象解答即可． 【详解】（1）解：设在的函数图象上，则点关于轴对称的点在的图象上， 把点代入中，得，则， ∴函数的解析式为； （2）解：∵， ∴函数图象的对称轴为直线，的最小值为， ∵当时，的最小值为1， ∴或， ①当时，在处取得最小值1， ∴，解得或， ∵， ∴； ②当，即时，在处取得最小值1， ∴，解得或， ∵， ∴． 综上所述，的值为或； （3）解：当时，直线与的函数图象有2个交点； 令，整理，得， 令，， 在同一平面直角坐标系内与在的函数图象如解图， 当时，满足与图象有2个交点的的取值范围是． 1．（25-26九年级上·上海宝山·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，抛物线顶点为，、两点关于抛物线的对称轴对称，直线恰好经过、两点． (1)求抛物线和直线的函数解析式； (2)设点是直线上方抛物线上的一动点，过点作轴的平行线交于点，设点的横坐标为． ①用含的代数式表示线段的长，并求线段的最大值； ②当的面积为时，求点的横坐标及的值． 【答案】(1)， (2)①，的最大值为；② 【分析】本题考查待定系数法求函数解析式，二次函数的图像及性质，一元二次方程的应用，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题的关键． （1）根据抛物线过点，，运用待定系数法即可求出抛物线解析式．令，得到抛物线与y轴的交点D的坐标为，根据点C与点关于对称轴对称得到点C坐标，再运用待定系数法求出直线的解析式； （2）①用x分别表示点P、H的坐标，用点P的纵坐标减去点H的纵坐标即可得到的长，再根据二次函数是性质即可解答； ②根据三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线过点，， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为． ∵当时，， ∴抛物线与y轴的交点D的坐标为， ∵抛物线的对称轴为， 点C与点关于对称轴对称， ∴， 设直线的函数解析式为， ∵直线过点，， ∴， 解得， ∴直线的解析式为． （2）解：①∵点的横坐标为x，点P在抛物线上，轴，点H在直线上， ∴，，其中， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，为． ②∵轴， ∴， ∴当的面积为时，， 解得， ∴点P的横坐标为． 2．（2025·上海金山·模拟预测）自古以来，放风筝便是春天不可或缺的乐趣之一．如图是某同学设计的一只风筝的平面示意图，其外轮廓为三角形，中间有一个抛物线形的装饰图案，抛物线的顶点为，抛物线与三角形的一边相交于、两点（点与点关于抛物线的对称轴对称），以所在直线为轴，过点且垂直于的直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，已知，点到的距离为． (1)求抛物线的函数表达式； (2)已知点的坐标为，该同学准备在抛物线上取两点、（点与点关于抛物线的对称轴对称），与抛物线对称轴的交点为，点在点的上方，沿和缝制两条装饰线条，请你计算与长度之和的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（）根据题意得抛物线的顶点，设抛物线的函数表达式为，利用待定系数法解答即可求解； （）设，则，可得，，进而得到，再根据二次函数的性质即可求解； 本题考查了二次函数的应用，正确求出二次函数的解析式是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意得，抛物线的顶点， 设抛物线的函数表达式为， 将点代入，得， 解得， ∴抛物线的函数表达式为， 即； （2）解：设，则， ∴，     ∵点的坐标为， ∴， ∴， ∵， ∴当时，取得最大值，最大值为， ∴与长度之和的最大值为． 3．（24-25九年级上·上海杨浦·阶段练习）已知：如图1，抛物线与轴相交于点，点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)点为抛物线第三象限上的一点，若，求点的坐标； (3)如图2，点为抛物线在点左侧上的一点，点与点关于抛物线的对称轴对称，直线、分别交轴于点、，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）把点，点，点代入解方程组即可得到结论； （2）根据勾股定理得到，取的中点，连接，作于，轴于，如图，设，根据三角形面积公式得到，根据勾股定理得到，根据相似三角形的性质得到； （3）设，求得，求得直线的解析式为，得到，，同样可得直线的解析式为，得到，于是得到结论． 【详解】（1）解：把点，点，点代入 得， 解得， 所以抛物线的解析式为； （2）当时，，则， ， 取的中点，连接，作于，轴于，如图1， 设， ， ， ， ， 为斜边上的中线， ， ， ， ， ， ， ，即， 解得， ； （3）设， 与两点关于抛物线的对称轴对称， ， 设直线的解析式为， 把，代入得 ， 解得， 直线的解析式为， ， 同样可得直线的解析式为， ， ． 【点睛】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和直角三角形斜边上的中线性质；会利用待定系数法求函数解析式；会利用勾股定理和相似比计算线段的长；理解坐标与图形的性质．在中构建是解决问题的关键． 4．（24-25九年级上·上海杨浦·阶段练习）合肥老城西大门有一处城门横断面分为两部分，上半部分为抛物线形状，下半部分为正方形（四边形为正方形），已知城门宽度为4米，最高处离地面6米，如图1所示，现以O点为原点，所在的直线为x轴，所在的直线为y轴建立直角坐标系． (1)求出上半部分抛物线的函数表达式； (2)有一辆宽3.2米，高4.6米的货车需要通过该城门进入城区（城门处为单向行驶道），请通过计算判断该货车能否安全通行． (3)由于城门年久失修，需要搭建一个矩形巩固门（矩形），该巩固门关于抛物线对称轴对称，如图2所示，其中为三根承重钢支架，点D在抛物线上，B、C在地面上，已知钢支架每米200元，问搭建这样一个矩形巩固门，仅钢支架一项，最多需要花费多少元？ 【答案】(1) (2)能安全通行 (3)2600元 【分析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是掌握待定系数法求二次函数解析式． （1）利用待定系数法计算即可得解； （2）求出当时，，即可得解； （3）设点的横坐标为，的长度为，则，由二次函数的对称性得出，即，，表示出，再由二次函数的性质即可得解． 【详解】（1）解：由题意得：抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的解析式为， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， 解得：， ∴； （2）解：由（1）可得，抛物线的对称轴为直线， ∵一辆宽3.2米，高4.6米的货车需要通过该城门进入城区， ∴当时，， 该货车能安全通行； （3）解：， 设点的横坐标为，的长度为，则， 对称轴为直线，则，即，， ， 当，最大，， （元）， 答：最多需要花费2600元． 【经典例题五 二次函数中的最值模型】 【例5】（25-26九年级上·上海松江·阶段练习）如图，要在屋前的空地上围一个矩形花圃，花圃的一面靠墙，墙长，另三边用篱笆围成，篱笆总长，在与墙平行的一边开一个宽的门．设垂直于墙的一边为． (1)用含有x的代数式表示为 m； (2)当矩形花圃的面积最大时，求边的长，并求出矩形花圃面积的最大值． 【答案】(1) (2)当矩形花圃的面积最大时，的长是，矩形花圃面积的最大值是 【分析】本题考查列代数式，二次函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）由题意结合矩形的周长即可得出结论； （2）先用含的代数式表示出矩形花圃的面积，再根据二次函数的最值求解即可； 解题的关键是：（1）利用矩形的周长公式，找出关于的关系式；（2）建立矩形的面积关于的二次函数关系式，根据二次函数的最值求解． 【详解】（1）解：设垂直于墙的一边为， ∴， 故答案为：； （2）解：∵矩形花圃的面积： ， 又∵， ∴当时，矩形花圃的面积有最大值，最大值是， 答：当矩形花圃的面积最大时，的长是，矩形花圃面积的最大值是． 1．（2025九年级上·上海长宁·专题练习）如图，在中，，，，在其内部作一个矩形，其中点D在边上，点B在边上，点C在边上，设矩形的一边． (1)请用含x的代数式表示边的长度； (2)设矩形的面积为，求当x取何值时，y的值最大？最大值是多少？ 【答案】(1)米 (2)当时，矩形面积y最大，最大面积为 【分析】本题主要考查矩形的性质、二次函数的最值问题及相似三角形的性质与判定，熟练掌握矩形的性质、二次函数的最值问题及相似三角形的性质与判定是解题的关键； （1）由题意易得，，则有，然后可得，进而问题可求解； （2）由（1）得：，，然后根据矩形的面积及二次函数的性质可进行求解． 【详解】（1）解：∵四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴，即， ∵，，， ∴， ∴， 解得：； （2）解：由（1）得：，，矩形的面积为， ∴， ∴当时，矩形面积y最大，最大面积为． 2．（25-26九年级上·上海虹口·期中）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)如图2，在直线下方抛物线上有一点，当的面积最大时，求点的坐标及面积的最大值． 【答案】(1) (2)有最大值为，点的坐标为 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，一次函数的性质，二次函数与三角形，解答本题的关键是熟练掌握二次函数的性质． （1）用待定系数法求解即可； （2）过点作轴交于点，设点的坐标为，再求出直线的表达式为，得到点的坐标为，则，表示出的面积，再由二次函数图象与性质求最值，即可得到答案． 【详解】（1）解：将，，代入， 得， 解得， 抛物线的表达式为； （2）如图2，过点作轴交于点， 设点的横坐标为，则点的坐标为， 设直线的表达式为， 把，代入， 得， 解得， 直线的表达式为， 点的坐标为， ． ， ， 当时，有最大值为，此时点的坐标为． 3．（24-25九年级上·上海奉贤·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，，与轴交于点． (1)求抛物线解析式． (2)在直线下方抛物线上有一点，当的面积最大时，求点的坐标及面积的最大值． (3)将该抛物线向左平移4个单位，得到新抛物线，新抛物线与原抛物线的交点为，点是新抛物线对称轴上一点，在（2）的条件下，在新抛物线上是否存在点，使得以点为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)的最大值为，此时点的坐标为 (3)点Q的坐标为或或 【分析】（1）将，，坐标代入解析式，建立方程组，求解即可； （2）过点P作轴交于点N，设P的横坐标为t，则可表示点P和点N的坐标，表示的面积，利用二次函数的性质求出最值； （3）利用平移先求出，联立可求出点E的坐标，然后分情况讨论，当为边时，当为对角线时两种情况，利用点的平移求解即可． 【详解】（1）解：将，，坐标代入解析式， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为：． （2）解：如图1，点P作轴交于点N，， 设P的横坐标为t， ∴， 设直线的解析式为， 把，坐标代入解析式得， 解得， ∴直线的解析式为， ∴， ∴， ∴ ， ∵， ∴当时，的最大值为，此时点的坐标为． （3）解：存在，理由如下： ∵抛物线y的解析式为：， ∴抛物线向左平移4个单位，得到新抛物线， ∴的对称轴为直线，即点F的横坐标为0， 令， 解得， ∴， 由（2）知点P的坐标为， 当以为平行四边形的一条边时：或． ∴或， 解得：或， ∴点Q的坐标分别为或． 当以为平行四边形的对角线时：， ∴， 解得：， ∴． 综上可知，点Q的坐标为或或． 【点睛】本题考查的是二次函数的性质、抛物线与坐标轴的交点、待定系数法求解析式、三角形的面积、平行四边形的判定与性质，正确作出辅助线是解决此题关键． 4．（24-25九年级上·上海嘉定·阶段练习）定义：如图1，点既在函数的图象上，又在函数的图象上，我们称点是函数的“分界点”． (1)如图2，函数的“分界点”的横坐标是1，求的值． (2)如图3是函数的图象． ①当时，求的值； ②当此函数的“分界点”是该函数图象唯一最低点时，求的取值范围； ③点是该函数图象上的两个点，点的横坐标是，点的横坐标是，如果当变化时，该函数图象在点之间的部分对应的函数值的最大值和最小值都是定值，请直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)①，或；②；③ 【分析】（1）根据函数“分界点”的概念，先将代入求出纵坐标，再将所得坐标代入求出； （2）①分情况讨论，当时，将代入求解，当时，将代入求解； ②先求出时，对应的值，根据函数“分界点”是函数图象唯一最低点，确定的取值范围； ③根据满足条件时点在部分，点在部分，列出关于的不等式组求解． 【详解】（1）解：将代入， 得， 将代入， 得， ； （2）解：①，解得或； ，解得， 的值为，或； ②当时，， 解得或， 当此函数的“分界点”是该函数图象唯一最低点时，的取值范围是； ③如图，满足条件，则点在部分，点在部分， 且， 即且， ． 【点睛】本题主要考查函数“分界点”的概念，二次函数与一元二次方程，二次函数图象的性质，待定系数法求函数解析式，一元一次不等组的解法，解题的关键是会用数形结合的思想分析二次函数图象的性质． 【经典例题六 二次函数中的存在模型】 【例6】（25-26九年级上·上海静安·期中）已知二次函数的图象与轴交于两点（A在左侧），与轴交于点C． (1)求A、B、C的坐标； (2)设抛物线的顶点为，求四边形的面积； (3)在抛物线的对称轴上，是否存在点，使为等腰三角形，若存在，写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)9 (3)存在，点P的坐标为，，， 【分析】本题考查二次函数与坐标轴的交点、顶点坐标、四边形面积以及等腰三角形的存在性问题等知识点． （1）分别令和，即可求解抛物线与坐标轴的交点； （2）先求出故顶点，过点作轴于点，再由即可求解； （3）先求出，然后分三种情况求解即可． 【详解】（1）解：令，则， 解得或， ∴抛物线与轴交于点，； 当， ∴抛物线与轴交于点； （2）解：， 故顶点， 过点作轴于点， ∵， ∴； （3）解：存在， ∵，， ∴， ①时，而， ∴或； ②时， 由等腰三角形的性质可得点关于轴对称， ∴； ③时，设， 解得， ∴， 综上：存在，点P的坐标为，，，． 1．（24-25九年级上·上海宝山·期中）已知抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点． (1)求抛物线的表达式及顶点的坐标． (2)如图1，若D是x轴下方抛物线上的一个动点（不与点A，C，B重合），过点D作轴于点F，交直线于点E．设点D的横坐标为m，试用含m的代数式表示的长． (3)如图2，若点在抛物线上，则在y轴上是否存在点Q，使？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)； (3)存在，点Q的坐标为或． 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，求函数解析式，等腰直角三角形的判定与性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据题意设抛物线的表达式为，将点代入，求出 ，即可得出答案； （2）先求出直线的表达式为，设，则，分两种情况：当时，当时，分别求解即可； （3）连接，过点作轴于点，于点，连接得到是等腰三角形，则当点与点重合时，，过点作交轴于点，得到是等腰直角三角形，则当点与点重合时，，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于两点， ∴设抛物线的表达式为， 将点代入，得：， 解得：， ∴抛物线的表达式为， ∵， ∴顶点的坐标为； （2）解：设直线的表达式为． 将点，代入，得： ， 解得：， ∴直线的表达式为， 设，则， 当时， ， 当时， ， 综上所述，； （3）解：当时，，当时，， ∴， 连接，过点作轴于点，于点，连接，则，如图： ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴当点与点重合时，，此时， 过点作交轴于点，则， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形，， ∴当点与点重合时，，此时， 综上，点的坐标为或． 2．（25-26九年级上·上海虹口·阶段练习）如图，已知直线与x轴交于点B，与y轴交于点C；抛物线的对称轴为直线，且抛物线经过B，C两点： (1)求B、C两点的坐标和抛物线的解析式； (2)抛物线与x轴的另一个交点为点A，在抛物线的对称轴上找点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出点M的坐标； (3)在直线的下方的抛物线上，是否存在点N，使的面积最大？若存在，请求出点N的坐标及最大面积；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，， (2) (3)存在，，最大面积为 【分析】本题考查了二次函数的综合问题，掌握函数相关性质是解题关键； （1）令，可求出；设抛物线的解析式为：，将代入即可求解； （2）由二次函数的对称性可知：点关于对称轴直线对称，故；推出当点是直线与直线的交点时，点M到点A的距离与到点C的距离之和最小；即可求解； （3）作轴，设点，则，根据即可求解． 【详解】（1）解：令，则；令，则； ∴，； 设抛物线的解析式为：， 将代入得：，解得：， ∴； （2）解：由二次函数的对称性可知：点关于对称轴直线对称， 如图所示： ∴； ∴当点是直线与直线的交点时，点M到点A的距离与到点C的距离之和最小； 当时，； 即此时点M的坐标为； （3）解：作轴，如图所示： 设点，则， ， ∵， ∴当，即点时，有最大值，且最大值为． 3．（25-26九年级上·上海闵行·阶段练习）某商品的进价为每件40元，当售价为每件60元时，每星期可卖出300件，现需降价处理，且经市场调查，每降价1元，每星期可多卖出20件，在确保盈利的前提下，设每件降价x（x为整数）元，每星期售出商品的利润为y元，解答下列问题： (1)请写出x与y之间的函数关系式； (2)当降价多少元时，每星期的利润最大？最大利润是多少？ 小明解答过程如下： 解：（1）根据题意，可列出表达式： ． 即． （2）∵， ∴当时，y有最大值，． 所以，当降价2．5元时，每星期的利润最大，最大利润为6125． 老师看了小明的解题过程，说小明第（1）问的表达式是正确的，但自变量x的取值范围不准确．（2）问的答案，也都存在问题．请你就老师说的问题，进行探究，写出你认为（1）（2）中正确的答案，或说明错误原因． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了求二次函数的解析式、二次函数的性质、二次函数的应用等知识点，掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）根据题意列出函数解析式并确定自变量的取值范围即可； （2）根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，可列出表达式： ．即． ∵降价要确保盈利， ∴．即：． ∴． （2）解：∵， ∴，对称轴为， ∵x为整数， ∴当或3时，y有最大值，元． 所以，当降价2或3元时，每星期的利润最大，最大利润为6120． 4．（24-25九年级上·上海松江·阶段练习）如图，已知抛物线与轴交于两点，点在点的左边，与轴交于点． (1)求点的坐标； (2)若点在轴上，且，求点的坐标； (3)若点在抛物线上，且，求点的坐标． 【答案】(1)， (2)或 (3)或 【分析】（1）将C点代入，求出m的值，从而确定函数的解析式，再求A、B点坐标即可； （2）如图所示，过点A作交于点M，得到是等腰直角三角形，求出，然后得到是等腰直角三角形，设，勾股定理表示出，，然后利用代入求解即可； （3）设，根据题意分两种情况讨论：当点D在x轴上方时和点D在x轴下方时，然后分别得到，，然后代入求解即可． 【详解】（1）解：把点代入得到， 解得， ∴抛物线解析式为， 令，则， 解得或， ∵点A在点B的左边， ∴，； （2）解：如图所示，过点A作交于点M， ∵，，， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， 设， ∴，， ∴， ∵， ∴， 解得或（舍去）， ∴或， ∴点的坐标为或或； （3）设， 如图所示，当点D在x轴上方时，设交x轴于点E，过点D作轴于点N ∵，， ∴， ∵，，   ∴， ∴， ∴， 解得或（舍去）， 当时，， ∴； 当点D在x轴下方时，过点C作轴，过点D作交于F，如图2， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，，   ∴， ∴，即， 解得， 当m时，， ∴， 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象及性质、待定系数法求函数解析式、锐角三角函数，勾股定理，等腰直角三角形的性质和判定，解一元二次方程等知识，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键． 【经典例题七 二次函数中特殊角度模型】 【例7】（25-26九年级上·上海杨浦·阶段练习）如图，已知抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点，． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若点为直线下方抛物线上一点，连接并交于点，若分的面积为两部分，请求出点的坐标； (3)在轴上是否存在一点，使得，若存在，请求出点．的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)或． 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，直角三角形的三角函数，平行线的性质是解题的关键． （1）求出、点坐标后代入，即可求解； （2）设，过点作轴交于点，过点作轴交于点，，求出直线的解析式和直线的解析式，再联立方程组，求出点坐标，由题意可知或，求出的值即可求解； （3）在轴上取点，当N在y轴负半轴时，证明，然后根据相似三角形的性质可求出；当N在y轴正半轴时，根据轴对称性求解即可． 【详解】（1）解：， ，， 将点、代入， ， 解得， ； （2）解：令， 解得或， ， 如图，过点作轴交于点，过点作轴交于点， ， 设直线的解析式为， ， 解得， ， 设，直线的解析式为， ， 解得， ， 联立方程组， 解得， ， 分的面积为两部分， 或， ， ， 当时，， 可得， 解得或， 或； 当时，， 可得， 此时方程无解， 综上所述，或； （3）解：存在一点，使得，理由如下： 在轴上取点， 当N在y轴负半轴时，如图， ，， ，，， ， ， ， ， 又， ， ，即， ， ， ， 当N在y轴正半轴时，记为，如图， 则和N关于x轴对称， ∴ 综上，N的坐标为或． 1．（2025·上海宝山·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线分别交x轴于A，B两点，交y轴交于点C，且．连接，过点A作，交抛物线与点D． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，P是直线下方抛物线上一点，过点P作轴交直线于点M，过点M 作于点N，连接．当的面积最大时，将线段沿直线平移，求平移过程中的最小值； (3)如图2，E是线段的中点，将原抛物线沿方向平移，使得经过点E得到新抛物线．Q为新抛物线上的一点，当时，请写出所有符合条件的点Q的坐标，并写出求解其中一个点Q坐标的过程． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据题意，得，于是，，得到，，待定系数法解答即可． （2）设点的坐标为，则点．由此得到 ，过点N作交的延长线于点R， 根据解答即可． （3）将抛物线向右平移2个单位，再向上平移2个单位即可得到新抛物线，分平行互补和一般互补两种情况，利用构造直角三角形的正切解答即可． 【详解】（1）解：∵抛物线分别交x轴于A，B两点，交y轴交于点C，且． ∴， ∴，， ∴，， ∴是方程得两个根， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为． （2）解：抛物线的解析式为， ∴，，， ∴， 设直线的解析式为． 将点和点代入，得 解得， 直线的解析式为. 设点的坐标为，则点． ， ∵， ∴， ∵， ∴，， 设直线的解析式为． 将点代入，得 解得， 直线的解析式为. 过点B作于点Q， 则， ∵，，， ∴，是定值， 过点N作交的延长线于点R， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴抛物线开口向下，函数有最大值， 且当时，面积有最大值，此时，． 根据题意，得， 当P，M，N三点共线时，取得最小值，根据垂线段最短，当时，有最小值，此时交于点T，交于点S， ∵， ∴， ∴， 根据平行线间的距离处处相等， 得． ， 故的最小值为 （3）解：∵抛物线分别交x轴于A，B两点，交y轴交于点C，且． ∴， ∴，， ∴，， ∵E是线段的中点， ∴， 故将抛物线向右平移2个单位，再向上平移2个单位即可得到新抛物线， ∴新抛物线的解析式为， 由， 当时， ∵，， 设直线的解析式为． 根据题意，得 解得， 直线的解析式为. ∵， ∴， 设直线的解析式为． 根据题意，得 解得， 直线的解析式为. 根据题意，得， 解得，（舍去）， 此时； 当不平行线时， 过点E作轴，交y轴于点J，过点B作于点V， 则，四边形时矩形， ∴，， 在上截取，连接，则， 设直线与y轴的交点为K，则， 故， 故， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， 此时， 设直线的解析式为． 根据题意，得 解得， 直线的解析式为. 根据题意，得， 解得，（舍去）， 此时； 综上所述，符合条件的点或． 【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，特殊角的三角函数，正切函数的应用，直线平行的基本条件，构造二次函数求面积的最值，平行线的性质，互补的应用，解一元二次方程，熟练掌握待定系数法，构造抛物线求最值，解方程是解题的关键． 2．（2025·上海松江·模拟预测）如图，平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴相交于点、点，与轴相交于点，连接、． (1)求：，的值； (2)当时，函数的最小值是2，求出的值； (3)在抛物线上是否存在点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，2 (2) (3)存在，点或 【分析】本题考查了二次函数的综合运用，涉及待定系数法求表达式，二次函数的性质，二次函数与角度问题等．第（3）问关键是构造三角全等． （1）由题意得：，利用待定系数法求解即可； （2）先求出点，点，抛物线的对称轴为直线，再根据二次函数的性质解答即可； （3）先求出，分点在左侧时，点在右侧时，两种情况讨论，利用三角形全等的性质解答即可． 【详解】（1）解：由题意得：， 则，则， 抛物线的解析式为：， 则； （2）解：当时，， 解得，， 点， 当时，， 点． 由抛物线的表达式知，其对称轴为直线， 当时，函数的最小值是2，即时，函数取得最小值， 则，则（舍去）， ∴的值为； （3）解：存在点，理由如下： ∵，， ∴， ， ①当点在左侧时，如图，在轴上取点，延长交抛物线于点， 在和中， ，，， ， ， ， 设直线的解析式为， 由点、的坐标得，直线的解析式为， 联立上式和抛物线的表达式得：， 则（舍去）或，故点； ②当点在右侧时，如上图，作关于的对称，交二次函数于点， 则，，， ， ， 四边形是正方形， ， 令中，，则， 解得或， ，， ，， ， ， ， 在点抛物线上，即点满足条件， 故存在满足条件的点有两个，分别为：或． 3．（24-25九年级上·上海普陀·期中）如图，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求抛物线的函数表达式及点的坐标； (2)直线与抛物线交于，两点，与直线交于点，若点为的中点，求的值； (3)点为抛物线上一点，当时，请求出点的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】本题考查了二次函数与一次函数综合，角度问题； （1）待定系数法求得抛物线解析式，进而令，解方程得出的坐标； （2）联立设的横坐标为，根据根与系数的关系可得，得出的横坐标为，进而得出，代入，即可求解； （3）分当在的上、下方时，根据，，进而构造的角，联立直线与抛物线解析式，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． ∴ 解得： ∴ 当时，， 解得： ∴ （2）解：依题意， 即 设的横坐标为 ∴, ∴的横坐标为 将代入，解得：， ∴ 将代入 ∴ （3）∵， ∴， 又， ∴是等腰直角三角形， ∴ 当在的下方时，∵， ∴ 设交轴于点 ∴ ∴ 设直线的解析式为， ∴ ∴ ∴ 联立 或（舍去） 则 当在的上方时，如图所示 取点，过点作轴于点， ∴， ∵，则 ∴ 又∵ ∴ 同理可得直线的解析式为 联立 解得：或（舍去） ∴ 综上所述，或 4．（2025·上海闵行·模拟预测）如图，二次函数（是常数，且）的图象与轴交A，两点（点A在点的左侧），与轴交于点，顶点为，对称轴与线段交于点，与轴交于点，连接，． (1)若 ①求直线的表达式； ②求证：； (2)若二次函数（是常数，且）在第四象限的图象上，始终存在一点，使得，求出的取值范围． 【答案】(1)①，②见解析 (2) 【分析】（1）①当时，，则当时，，当时，，解得：，，得到，，，利用待定系数法求出直线的表达式即可； ②连接，，，，，由，则可得到，则，得到．则，求得，则，即可求得，，则由，即可得到结论； （2）设在二次函数第四象限的图象上存在一点，使得，连接，交轴于点，求得，，由得，即可得到，则得到，进步求得a的取值范围． 【详解】（1）解：①当时，， 当时，， 当时，， 解得：，， ∴，，， 设直线的表达式为：，则 ， 解得：， ∴直线的表达式为： ②连接， ∵， ∴，，，． ∵，． ∴． ∴， ∵A，关于直线对称， ∴． ∴． ∵， ∴， ∵，， ∴， 在中，， 在中，， ∴， ∵， ∴； （2）如图，设在二次函数第四象限的图象上存在一点，使得，连接，交轴于点， 当时，， ∴， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． 即． 解得：， ∵， ∴． 【点睛】此题是二次函数综合题，考查了待定系数法求一次函数解析式、二次函数的图象和性质、解直角三角形、解一元一次不等式等知识，数形结合和准确计算是解题的关键． 【经典例题八 二次函数中面积关系模型】 【例8】（2025九年级上·上海长宁·专题练习）综合运用 在中，，D为边上一点，，动点P以每秒1个单位长度的速度从点C出发，在三角形的三边上沿匀速运动，到达点A时停止，以为边作正方形．设点P的运动时间为，正方形的面积为S，试探究S与t的关系． (1)如图1，当点P由点C运动到点B时，求S关于t的函数表达式． (2)当点P由点B运动到点A时，经探究发现S是关于t的二次函数，并绘制成如图2所示的图象．请根据图象信息，求S关于t的函数表达式及线段的长． (3)若存在3个时刻，，（）对应的正方形的面积均相等． ①求的值； ②当时，求正方形的面积． 【答案】(1) (2)， (3)①4；② 【分析】本题主要考查了二次函数与图形运动问题，待定系数法求函数解析式，勾股定理等等，正确理解题意利用数形结合的思想求解是解题的关键． （1）先求出，进而求出，则； （2）先由函数图象可得当点P运动到B点时，，由此求出当时，，可设S关于t的函数解析式为，利用待定系数法求出，进而求出当时，求得t的值即可得答案； （3）①根据题意可得可知函数可以看作是由函数向右平移四个单位得到的，设是函数上的两点，则，是函数上的两点，由此可得，则，根据题意可以看作，则；②由（3）①可得，再由，得到，继而得答案． 【详解】（1）解：∵动点P以每秒1个单位的速度从C点出发，在上匀速运动， ∴， ∵，， ∴， ∵四边形是正方形，且其面积为S， ∴； （2）解：由图2可知当点P运动到B点时，， ∴， 解得或（舍去）； ∴当时，， 由图2可知，对应的二次函数的顶点坐标为， ∴可设当点P由点B运动到点A时，S关于t的函数解析式为， 把代入中得：， 解得， ∴当点P由点B运动到点A时，S关于t的函数解析式为， 在中，当时，解得或（舍去）， ∴，且， ∴，； （3）解：①∵点P在上运动时，，点P在上运动时， ∴可知函数可以看作是由函数向右平移4个单位长度得到的， 设是函数上的两点，则点和点是函数上的两点， ∴，， ∴， ∵存在3个时刻（）对应的正方形的面积均相等． ∴可以看作， ∴； ②由（3）①得， ∵， ∴， ∴， ∴．    1．（25-26九年级上·上海普陀·期中）已知二次函数． (1)求这个函数图像的顶点坐标，并指出它的变化情况； (2)如图，在平面直角坐标系中，该函数图像与x轴正半轴交于点A，与y轴交于点C，顶点为D，O为坐标原点，求四边形的面积． 【答案】(1)顶点坐标是，在直线左侧的部分是上升的，在直线右侧的部分是下降的 (2)15 【分析】本题主要考查了二次函数的图像和性质，顶点坐标，求围成图形的面积等，解题的关键是掌握二次函数的图像和性质． （1）利用顶点坐标公式进行求解即可，根据二次函数的性质确定其变化情况； （2）过点D作轴于点H，求出函数与坐标轴的交点，然后利用割补法求四边形的面积即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴． 把代入，得． ∴这个二次函数图像的顶点坐标是． ∵二次函数图像的开口向下， ∴在直线左侧的部分是上升的，在直线右侧的部分是下降的； （2）解：如图所示，过点D作轴于点H， ∵二次函数图像与x轴正半轴交于点A， ∴把代入得， 解得，（舍去）． ∴点A坐标是．      ∵二次函数图像的顶点坐标是 ，与y轴交点坐标是， 则． ∴         ． 2．（24-25九年级上·上海崇明·阶段练习）综合与实践 如图，在矩形中，，，为上一点，且，为边上一动点（含，两个顶点），连接，将绕点顺时针旋转到的位置，连接．探究的面积与点移动的关系． (1)特例感知 如图，当时，求的面积． (2)规律探究 如图，若设，的面积为，求与之间的函数解析式，并求出的最小值． (3)数学思考 如图，连接，当的长最小时，求的面积． 【答案】(1)； (2)，，当时，的值最小，且最小值为； (3)． 【分析】（）过点作于点，由四边形是矩形得，再得出，则，然后由勾股定理求出，则，再利用的面积为即可求解； （）过点作于点，由勾股定理得，则，故有，所以，然后利用二次函数的性质即可求解； （）将线段绕点顺时针旋转到的位置，连接，连接交于点，证明，当时，线段最短，然后证明四边形是矩形，从而求出，由（）可知，的面积为，从而求解． 【详解】（1）解：如图，过点作于点， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为； （2）解：如图，过点作于点， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵的面积为， ∴， ∵，， ∴当时，的值最小，且最小值为； （3）解：如图，将线段绕点顺时针旋转到的位置，连接，连接交于点， ∵， ∴，即， 在与中， ∴， ∴， ∴当时，线段最短， ∵，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 由（）可知，的面积为， ∴当的长最小时，的面积为． 【点睛】本题考查了旋转的性质，矩形的判定与性质，勾股定理，二次函数的性质，全等三角形的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键． 3．（24-25九年级上·上海闵行·期中）综合与探究 如图，在中，，，，点在射线上，点在射线上，动点在射线上，沿方向，以每秒个单位的速度匀速运动，到达点时停止．以为边作正方形．设点的运动时间为秒，正方形的面积为，探究与的关系． (1)填空：如图，当点由点运动到点时， 当时， ； 关于的函数解析式为 ．（不必写出自变量的取值范围） (2)如图，当点由点运动到点时，经探究发现是关于的二次函数，并绘制成如图所示的图象段，请根据图象信息： 求关于的函数解析式，并直接写出自变量的取值范围；   当正方形的面积最小时，直接写出的比值为 ． 【答案】(1)12； (2)；． 【分析】（）当时，点与点重合，然后利用直角三角形的性质得，再由勾股定理求出，最后由面积公式即可求解； 勾股定理求出，最后由面积公式即可求解； （）由图象可知，当点运动到点时，，则二次函数图象过点，由图象知顶点坐标为，再通过待定系数法即可求解； 当时，正方形的面积最小，分别求出，，的长，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边一半得出，然后代入即可求解； 本题考查了二次函数的应用，直角三角形的性质，勾股定理，垂线段最短等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：当时，点与点重合， 在中，，， ∴， ∴， ∴， 此时正方形的边长为，面积为：，即， 故答案为：； 当点由点运动到点时，每秒个单位的速度匀速运动， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵正方形的面积为， ∴， 故答案为：； （2）解：由图象可知，当点运动到点时，， ∴， 解得：，（舍去）， ∴当点由点运动到点时，二次函数图象过点， 由图象知顶点坐标为， 所以可设， 将点代入，得， 解得， ∴关于的函数解析式为， 如图，当时，正方形的面积最小， ∴由， 当时，， ∴， 由上得，当点运动到点时，， 则， ∴， ∴当点运动到点时，， 即， 解得：（舍去），， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：． 4．（24-25九年级上·上海杨浦·阶段练习）已知：y关于x的二次函数．    (1)若函数的图象过点，求a与b的关系； (2)如图，若函数的图象与x轴有两个公共点，并与动直线交于点P，连接，，，，其中交y轴于点D，交于点E．设的面积为，的面积为． ①当点P为抛物线顶点时，求的面积； ②探究直线l在运动过程中，是否存在最大值？若存在求出这个最大值；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)①6 ，②存在； 【分析】本题考查了二次函数综合，解题的关键是熟练掌握用待定系数法求函数解析式的方法和步骤，相似三角形的判定和性质，以及二次函数的图象和性质． （1）把代入即可解答； （2）①设直线l与交于点F，用待定系数法求出抛物线的解析式为，则，，再求出直线的解析式为，则，进而得出，最后根据的面积即可解答；②设直线交x轴于H，则，通过证明，得出，根据得出函数关系式，结合二次函数的性质，即可解答． 【详解】（1）解：∵函数的图象过点， ∴代入得：， 化简得：； （2）解：①如图1，设直线l与交于点F，    把代入得：， 解得， ∴抛物线的解析式为， 当时，， ∴， ∵，点P为抛物线顶点， ∴， ∵， ∴直线的解析式为， 把代入得：， ∴， ∴， ∴的面积， ②存在最大值，理由如下： 如图2，设直线交x轴于H，    由①得，，，，，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵，， ∴当时，存在最大值，最大值为． 【经典例题九 二次函数中新定义模型】 【例9】（24-25九年级上·上海嘉定·阶段练习）（1）新定义：若抛物线M和抛物线N的对称轴为同一条直线，我们称M和N互为“同枝”抛物线．如图，抛物线M：与坐标轴交A，B，C三点，请任意写出一个与抛物线M互为“同枝”抛物线的解析式； （2）抛物线N与M互为“同枝”抛物线，且N与M的形状相同，若N与坐标轴仅有两个交点，请求出N的解析式． 【答案】（1）答案不唯一，如：；（2）或或或 【分析】本题考查了二次函数的性质． （1）求出抛物线M的对称轴，即可得； （2）由拋物线的解析式可知其对称轴为，二次项系数为1，由抛物线与互为“同枝”抛物线，且与的形状相同，可知的解析式中的，根据与坐标轴仅有两个交点，分类讨论，①的图象的顶点位于轴上，②的图象的经过点，进行计算即可得． 【详解】解：（1）抛物线M：的对称轴为：， 则与抛物线M互为“同枝”抛物线的解析式为：； （2）由拋物线的解析式可知其对称轴为，二次项系数为1，若与坐标轴仅有两个交点， ①的图象的顶点位于轴上， 由抛物线与互为“同枝”抛物线，且与的形状相同，可知的顶点为且的二项系数， 则的解析式为或， 展开得到一般形式为：或； ②的图象的经过点， 又由抛物线与互为“同枝”抛物线，则抛物线的对称轴为直线, ∴抛物线与x轴另一交点， ∵与的形状相同， ∴的二项系数， 则的解析式为：， 展开得到一般形式为：或， 综上，的解析式为或或或． 1．（24-25九年级上·上海宝山·阶段练习）新定义：在平面直角坐标系中，函数自变量与因变量乘积最大时的点坐标成为该函数的“最值点” (1)如图，若抛物线M经过和点和，则M上是否存在最值点？若存在，请求出最值点，若不存在，请说明理由； (2)若直线交抛物线于A，两点，则直线不低于抛物线时，请直接写出自变量x的取值范围； (3)求直线的最值点． 【答案】(1)不存在，理由见解析 (2) (3) 【分析】（1）采用待定系数法求出抛物线M的解析式为，根据二次函数的性质得到当时，y随x的增大而增大，由可得当时，随x的增大而增大，即不存在最大值，即可解答； （2）结合图象即可求解； （3）对于直线，有，根据二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：设抛物线M的解析式为， ∵抛物线M经过和点和， ∴，解得 ∴抛物线M的解析式为， ∴抛物线M的开口向上，对称轴为， 当时，y随x的增大而增大， ∵， 由抛物线M的增减性可得，当时，随x的增大而增大， ∴随x的增大而增大，即不存在最大值， ∴抛物线M上不存在最值点． （2）解：∵直线交抛物线M于，两点， ∴由图象可得，直线不低于抛物线时，x的取值范围为． （3）解：对于直线，有 ， ∴当时，有最大值， 此时， ∴直线的最值点为． 【点睛】本题考查新定义，待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象及性质，直线与抛物线的交点问题等，正确理解函数的“最值点”是解题的关键． 2．（24-25九年级上·上海奉贤·期中）定义：在平面直角坐标系中，有一条直线，对于任意一个函数，作该函数自变量大于的部分关于直线的轴对称图形，与原函数中自变量大于或等于的部分共同构成一个新的函数图象，则这个新函数叫做原函数关于直线的“镜面函数”．例如：图①是函数的图象，则它关于直线的“镜面函数”的图像如图②所示，且它的“镜面函数”的解析式为，也可以写成．          (1)在图③中画出函数关于直线的“镜面函数”的图象； (2)函数关于直线的“镜面函数”与直线有三个公共点，直接写出的值． 【答案】(1)见解析 (2)n的值为或． 【分析】（1）根据“镜面函数”的定义画出函数的“镜面函数”的图像即可； （2）分直线过“镜面函数”图像与直线的交点和与原抛物线相切两种情况求解即可． 【详解】（1）解：如图，即为函数的“镜面函数”的图像．    （2）解：如图，    对于，当时，， 函数与轴的交点坐标为； 当直线经过点时，； 此时关于直线的“镜面函数”与直线有三个公共点， 当直线与原抛物线只有一个交点时，则有：， 整理得，， 此时，， 解得， 综上，n的值为或． 【点睛】本题考查二次函数和一次函数的综合应用；理解并运用新定义“镜面函数”，能够将图象的对称转化为点的对称，借助图象解题是关键． 3．（2025·上海普陀·模拟预测）新定义：若函数图象恒过点，我们称为该函数的“永恒点”．如：一次函数，无论值如何变化，该函数图象恒过点，则点称为这个函数的“永恒点”． 【初步理解】一次函数的永恒点的坐标是 ； 【理解应用】二次函数落在轴负半轴的永恒点的坐标是 ，落在轴正半轴的永恒点的坐标是 ； 【知识迁移】点为抛物线的顶点，设点到直线的距离为，点到直线的距离为，请问是否为定值？如果是，请求出的值；如果不是，请说明理由． 【答案】初步理解：；理解应用：，；知识迁移：为定值 【分析】本题考查了恒过定点的直线，抛物线以及相似三角形的性质： 初步理解：解析式变形为，求解即可； 理解应用：由二次函数变形为，求解即可； 知识迁移：由题意可得：，，作辅助线如解析图，则，，，，，，构建相似三角形，找出比例关系即可． 【详解】解：初步理解：由一次函数变形为， 当时，无论m值如何变化，， 故一次函数必过一定点． 故答案为：． 理解应用：由二次函数变形为， 当时，无论m值值如何变化， 当时，无论值如何变化，， 故二次函数必过定点，． 所以二次函数落在x轴负半轴的定点A的坐标是，落在x轴正半轴的定点B的坐标是； 故答案为：，． 知识迁移：是定值，定值为2 由题意得 ， 由上一小题得：， 作轴交直线于点E，作轴交直线于点F，则，，，，分别过点P、B作直线的垂线，垂足为Q、C，则，，， ，， ，， ， 即 为定值． 4．（2025九年级·上海长宁·专题练习）定义：将二次函数l的图象沿x轴向右平移t，再沿x轴翻折，得到新函数l′的图象，则称函数l′是函数l的“t值衍生抛物线”．已知l：y＝x2﹣2x﹣3． (1)当t＝﹣2时， ①求衍生抛物线l′的函数解析式； ②如图1，函数l与l'的图象交于M（，n），N（m，﹣2）两点，连接MN．点P为抛物线l′上一点，且位于线段MN上方，过点P作PQ∥y轴，交MN于点Q，交抛物线l于点G，求S△QNG与S△PNG存在的数量关系． (2)当t＝2时，如图2，函数l与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，连接AC．函数l′与x轴交于D，E两点，与y轴交于点F．点K在抛物线l′上，且∠EFK＝∠OCA．请直接写出点K的横坐标． 【答案】(1)①；②； (2)点K的横坐标为4或 【分析】（1）①利用抛物线的性质和衍生抛物线的定义解答即可； ②利用待定系数法求得直线MN的解析式，设P（m，﹣m2﹣2m+3），则得到Q（m，﹣2m），G（m，m2﹣2m﹣3），利用m的代数式分别表示出PQ，QG的长，再利用同高的三角形的面积比等于底的比即可得出结论； （2）利用函数解析式求得点A，B，C，D，E，F的坐标，进而得出线段OA，OC，OD，OE，AC，OF的长，设直线FK的解析式为y＝kx﹣5，设直线FK交x轴于点M，过点M作MN⊥EF于点N，用k的代数式表示出线段OM．FM，ME的长，利用∠EFK＝∠OCA，得到sin∠EFK＝sin∠OCA，列出关于k的方程，解方程求得k值，将直线FK的解析式与衍生抛物线l′的函数解析式联立即可得出结论． 【详解】（1）解：①∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4， ∴当t＝﹣2时，将二次函数l的图象沿x轴向右平移t个单位得：y＝（x+1）2﹣4． ∴此时函数的顶点坐标为（﹣1，﹣4）． 再沿x轴翻折，得到新函数的顶点坐标为（﹣1，4）． ∵沿x轴翻折，得到新函数的形状大小不变，开口方向相反， ∴沿x轴翻折，得到新函数的解析式为y＝﹣（x+1）2+4． ∴衍生抛物线l′的函数解析式为y＝﹣x2﹣2x+3； ②∵M（，n），N（m，﹣2）两点在抛物线y＝x2﹣2x﹣3上， ∴n＝2，m． ∴M（，2），N（，﹣2）． ∴直线MN的解析式为y＝﹣2x． 如图，设P（m，﹣m2﹣2m+3）， ∵PQ∥y轴， ∴Q（m，﹣2m），G（m，m2﹣2m﹣3）． ∴PQ＝（﹣m2﹣2m+3）﹣（﹣2m）＝﹣m2+3， QG＝（﹣2m）﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+3， ∴PQ＝QG． ∴QGPG． ∵△PNG与△QNG高相等， ∴． ∴S△QNG与S△PNG存在的数量关系：； （2）解：点K的横坐标为4或．理由： 当t＝2时，函数l的衍生抛物线l′的函数解析式为y＝﹣（x﹣3）2+4＝﹣x2+6x﹣5． 令x＝0，则y＝﹣5， ∴F（0，﹣5）． ∴OF＝5． 令y＝0，则﹣x2+6x﹣5＝0， 解得：x＝1或5． ∴D（1，0），E（5，0）． ∴OE＝5． ∴OF＝OE． ∴∠OFE＝∠OEF＝45°． 令x＝0，则y＝﹣3， ∴C（0，﹣3）． ∴OC＝3． 令y＝0，则x2﹣2x﹣3＝0， 解得：x＝﹣1或3． ∴A（﹣1，0）． ∴OA＝1． ∴AC． 设直线FK交x轴于点M，过点M作MN⊥EF于点N，如图， 设直线FK的解析式为y＝kx﹣5， 令y＝0，则x， ∴M（，0）． ∴OM， ∴FM． ME＝OE﹣OM＝5． ∵MN⊥EF，∠OEF＝45°， ∴MN＝NE（5）． ∵∠EFK＝∠OCA， ∴sin∠EFK＝sin∠OCA． ∵sin∠MFE， ∴． 解得：k＝2或． ∴直线FK的解析式为y＝2x﹣5或yx﹣5． ∴或． ∴或． ∴点K的横坐标为4或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，抛物线上点的坐标的特征，待定系数法求得一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标的特征，勾股定理，配方法求抛物线的顶点，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键． 1．（2025·上海长宁·模拟预测）如图，抛物线与轴交于点，（点在点的右侧），它的顶点为点．将抛物线绕点旋转，得到新的抛物线，与轴交于点，与轴的另一个交点为．若，则，应满足的关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的性质，勾股定理．利用二次函数的性质求得，，，利用勾股定理求得，，结合题意，列式计算即可求解． 【详解】解：对于函数， 令，得， ． 令，得， ， ， ， ，． ， ， ， 故选：B． 2．（24-25九年级上·上海杨浦·阶段练习）某抛物线型拱桥的示意图如图所示，水面，拱桥最高处点C到水面的距离为，在该抛物线上的点E，F处要安装两盏警示灯（点E，F关于y轴对称），警示灯F距水面的高度是，则这两盏灯的水平距离是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，可以设抛物线的解析式为，然后根据题意可得点A的坐标，再代入抛物线解析式，即可求得a的值，再将代入，即可求得相应的x的值，从而即可求解． 【详解】解：解：设该抛物线的解析式为， 由题意可得，点A的坐标为， 将代入得，， 解得， ∴抛物线的解析式为， 当时，， 解得，， ∴，， ∴这两盏灯的水平距离是：（米）， 故选：A． 【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式，利用数形结合的思想求解． 3．（2025·上海虹口·模拟预测）如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，将抛物线在轴下方的部分沿轴折叠到x轴上方，将这部分图象与原抛物线剩余的部分组成的新图象．若新图象与直线有个交点，则下列结论中正确的是（   ） A． B． C．的最小值为 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、一元二次方程根的判别式、用待定系数法求二次函数的解析式，由折叠可知，当当直线经过点时，新图象与直线有个交点；当直线与只有一个交点时，新图象与直线有个交点． 【详解】解：把点，，点的坐标代入抛物线中， 可得：， 解得：， ， 故A选项错误； 点在抛物线上， ， 故B选项错误； 抛物线的解析式是， 整理为顶点坐标式可得：， 的最小值为， 故C选项错误； 当直线经过点时，新图象与直线有个交点， 把点的坐标代入， 可得：， 解得：， 折叠后部分的解析式为， 解方程， 整理得：， 当时， 新图象与直线有个交点， 解得：， 综上所述，当或时，新图象与直线有个交点， 故D选项正确． 故选：D． 4．（24-25九年级上·上海松江·阶段练习）如图，为等腰直角三角形，，，正方形的边长也为2，且与在同一直线上，从点C与点D重合开始，沿直线向右平移，直到点A与点E重合为止，设的长为x，与正方形重合部分（图中阴影部分）的面积为y，则y与x之间的函数关系的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数与图形运动，二次函数的图象性质，等腰三角形的判定与性质，正方形的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先理解题意，再进行分类讨论，分别列出与正方形重合部分（图中阴影部分）的面积y的表达式，然后结合二次函数的图象性质进行分析，即可作答． 【详解】解：如图所示： ∵为等腰直角三角形，，，正方形的边长也为2， ∴， 即是等腰直角三角形， ∴当时， 此时是开口向下的二次函数， 如图所示： 依题意， 则 ∴ 故， 同理得出是等腰直角三角形， ∴当时， 此时是开口向上的二次函数， 观察四个选项，唯有A选项符合题意； 故选：A 5．（24-25九年级上·上海金山·阶段练习）二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线，则下列说法：①；②；③（为全体实数）；④若图象上存在点和点，当时，满足，则的取值范围是．其中正确的是（　　） A．①②③④ B．①②④ C．①③④ D．②④ 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的性质，是解题的关键．开口方向，对称轴，与y轴的交点位置判断①，特殊点判断②，最值判断③，对称性判断④即可． 【详解】∵抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴，和的函数值相同， 由图可知，当时的函数值小于0， ∴， ∴， 故①正确； 由图象可知，，根据对称轴，得， ∴ ∴， 故②正确； ∵抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴抛物线的最大值为， 当时，其函数值为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故③错误； 如图所示，和点满足，    ∴和点关于对称轴对称， ∴， ∵， ∴， 解得， 故④正确； 故正确的有①②④； 故选：B． 6．（25-26九年级上·上海闵行·阶段练习）如图，已知二次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，在对称轴上是否存在一点P，使以P、A、B为顶点的三角形为直角三角形，若存在，请写出点P的坐标 ． 【答案】或 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，二次函数图象与坐标轴的交点，勾股定理的应用；先根据解析式求得，，二次函数图象的对称轴为直线，进而设，根据勾股定理表示出，进而分类讨论，即可求解． 【详解】解：当时，，则 当时，， 解得： ∴， ∵二次函数图象的对称轴为直线， 设， ∴，， 当时， ∴ 解得：（舍去）或， ∴ 当时，，即． 解得，此时（与点重合，舍去） 当时， 解得，此时 综上所述：或． 故答案为：或． 7．（2025·上海嘉定·模拟预测）如图，已知抛物线过点，点． （1）该抛物线的顶点坐标为 ． （2）点C是上方抛物线上一动点（不与点A，B重合），连接，，则面积的最大值为 ． 【答案】 【分析】（1）先根据抛物线经过点，，求出抛物线的解析式，再化为顶点式求出该抛物线的顶点坐标； （2）先利用待定系数法求得直线，再设过点C且与直线平行的直线解析式为，根据当直线与抛物线有唯一的公共点，求出，从而可得关于的方程求出，从而可得，进而可求得点D的坐标，再求出此时的面积即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，， ∴，解得， ∴， ∴该抛物线的顶点坐标为； （2）设直线的解析式为， ∵，点， ∴，解得： ∴直线的解析式为， 设过点C且与直线平行的直线解析式为， 当直线与抛物线有唯一的公共点， 则点C到的距离最大， ∴面积最大， ∴关于x的方程有两个相等的实数根， ∴有两个相等的实数根， ∴，解得：， ∴过点C且与直线平行的直线解析式为， ∴，解得：， ∴． 作轴交于点D， 则点的横坐标为， 又点在直线上， ∴， ∴点D的坐标为， ∴此时的面积． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一次函数的交点问题，求三角形的面积，解题关键是利用待定系数法求出二次函数解析式． 8．（24-25九年级上·上海崇明·阶段练习）珍珍利用计算机软件设计了一个函数动画．如图，抛物线C：经过原点，与x轴正半轴交于点． （1）抛物线C的表达式为 ． （2）珍珍利用软件程序将抛物线C复制后，向下平移5个单位长度得到抛物线，抛物线与x轴正半轴交于点B，则的长是 ． 【答案】 1 【分析】（1）利用待定系数法求抛物线的表达式即可； （2）先根据函数图象平移规则“上加下减”求得抛物线的表达式，再令求得点B的坐标，进而可求解． 【详解】解：（1）将点代入抛物线 C：， 得， 解得， ∴抛物线C的表达式为； 故答案为：； （2）将抛物线C向下平移5个单位长度得抛物线的解析式为， 令，则， 解得，， ∴点， ∴． 【点睛】本题考查待定系数法求二次函数的解析式、二次函数图象的平移、二次函数图象与x轴的交点问题，正确求出抛物线的表达式是解答的关键． 9．（24-25九年级上·上海闵行·阶段练习）如图，一段抛物线，记为抛物线，它与x轴交于点O，；将抛物线绕点旋转得抛物线，交x轴于另一点；将抛物线绕点，旋转得抛物线；交x轴于另一点…如此进行下去，得到一条“波浪线”．若点在此“波浪线”上，则m的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了函数图象的基本规律，结合题意确定函数图象变化规律是解题关键．根据确定，，的解析式为，图象开始循环，横坐标以12为循环节，函数值相等，计算，判定m与时的函数值相等，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴的解析式为， 根据题意，得函数图象开始循环，横坐标以12为循环节，函数值相等， ∵， ∴m与时的函数值相等， 当时，， 故答案为：． 10．（24-25九年级上·上海崇明·期中）如图，抛物线．将该抛物线在轴和轴上方的部分记作，将轴下方的部分沿轴翻折后记作和构成的图形记作．关于图形，给出甲、乙、丙、丁四位同学的结论： 甲：图形关于轴成轴对称； 乙：图形有最小值，且最小值为0； 丙：当时，图形的函数值都是随着的增大而减小的； 丁：时，图形恰好经过5个整点（即横、纵坐标均为整数的点）． 以上四位同学的结论中，所有正确结论的是 ． 【答案】甲乙丁 【分析】本题考查了二次函数的图象与几何变换，数形结合是解题的关键． 画出翻折后的图形，然后根据图形即可判断． 【详解】解：甲：由图形可知，图形关于轴成轴对称，故甲正确； 乙：图形有最小值，且最小值为0，故乙正确； 丙：当时，图形的函数值先随着的增大而减小，再随的增大而增大，故丙错误； 丁：当时，图形恰好经过，，，，共个整点，故丁正确； 故答案为：甲乙丁 ． 11．（2025九年级·上海长宁·专题练习）如图，已知抛物线分别交轴于两点，且与轴交于点． (1)求抛物线的表达式及顶点的坐标． (2)将该抛物线绕点旋转，求旋转后的抛物线的表达式． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）利用待定系数法求得解析式及顶点坐标即可； （2）首先利用旋转的性质求得旋转后抛物线的顶点的坐标为，然后利用待定系数法求得解析式即可． 【详解】（1）解：设抛物线的表达式为． 将代入，得， ， 抛物线的表达式为． 故抛物线的顶点的坐标为． （2）解：设旋转后的抛物线的顶点坐标为． 为和的中点， 点的坐标为． 设旋转后的抛物线的表达式为． 旋转前后图形的形状不变，开口相反， ． 故旋转后的抛物线的表达式为． 【点睛】本题考查了二次函数解析式和旋转的性质，解题关键是灵活运用待定系数法求二次函数解析式，并熟练掌握旋转的性质． 12．（24-25九年级上·上海杨浦·期中）如图，将二次函数位于x轴下方的图象沿x轴翻折，再得到一个新函数的图象（图中的实线）． (1)当时，新函数值为 ，当时，新函数值为 ； (2)当 时，新函数有最小值； (3)当新函数中函数y随x的增大而增大时，自变量x的范围是 ； (4)直线与新函数图象有4个公共点时，a的取值范围是 ． 【答案】(1)， (2)或 (3)或 (4) 【分析】本题考查了利用函数图象解决问题； （1）由翻折得新函数为，分别代值计算，即可求解； （2）根据图象即可求解； （3）根据图象即可求解； （4）根据图象即可求解； 能利用数形结合进行求解是解题的关键． 【详解】（1）解：图象沿x轴翻折，再得到一个新函数为：， 当时，， 当时，， 故答案：，； （2）解：由图象得 当或时，新函数有最小值； 故答案：或； （3）解：由图象得 或，函数y随x的增大而增大时， 故答案：或； （4）解： 由图象得：当时， 直线与新函数图象有4个公共点， 故答案：． 13．（25-26九年级上·上海闵行·阶段练习）已知二次函数的图象如图． (1)求它的对称轴与轴交点D的坐标； (2)将该抛物线沿它的对称轴向上平移，设平移后的抛物线与轴，轴的交点分别为A、B、C三点，若，求此时抛物线的解析式； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将化成顶点式，从而算出其对称轴，然后得到点的坐标； （2）不妨设此时抛物线的解析式为，设点，然后表示出点，然后通过，得到，，表示出，接着根据，列出方程解出答案即可． 【详解】（1）解：， 对称轴为， ； （2）解：不妨设此时抛物线的解析式为，设点， 当时，， ， 当时，， ，， ， ，是斜边上的中点， ， ， ， ， （舍去）或， 此时抛物线的解析式为． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的平移，勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 14．（2025·上海青浦·模拟预测）已知抛物线与x轴交于A，B两点，且经过点，顶点坐标为． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，点D为抛物线上一个动点，连接，求的面积的最大值； (3)如图2，点E为抛物线上第四象限内一点，连接，交于点F，记的面积为，的面积为，当最大时，点E的坐标． 【答案】(1) (2)面积的最大值为8 (3) 【分析】本题主要考查二次函数图象的性质，二次函数与几何图形的综合，相似三角形的判定与性质，掌握二次函数图形的性质是解题的关键． （1）设抛物线的表达式为：，利用待定系数法求解即可； （2）先求出点B的坐标，再求出直线的表达式为：，过点作轴的垂线交于点，设点，则点，求出，进而得到，利用二次函数的性质即可解答； （3）过点A作x轴的垂线交的延长线于点N，过点E作x轴的垂线交于点M，易证，推出，再求出，设点，则点，进而得到，利用二次函数的性质即可解答． 【详解】（1）解：设抛物线的表达式为： 将点代入得， ∴表达式为：； （2）解：当时，， 得，， ∴， 设直线的表达式为：， 将代入得，解得， ∴直线的表达式为：， 过点作轴的垂线交于点， 设点，则点， ∴， ∴， ∵， ∴当是，的面积有最大值；最大值为8； （3）解：过点A作x轴的垂线交的延长线于点N，过点E作x轴的垂线交于点M， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 将代入，得， ∴， 设点，则点， ∴， ， ∴当时，有最大值， 此时，． 15．（25-26九年级上·上海静安·阶段练习）如图，已知二次函数经过点，，与轴另一交点为点B，点D在线段上运动（不与点O，点A重合），过点D作轴的垂线，与交于点Q，与抛物线交于点P． (1)求该二次函数的解析式及点B的坐标； (2)若，求点P的坐标； (3)在抛物线上是否存在一点E（不与点C重合），使得的面积等于的面积，若不存在，请说明理由；若存在，请直接写出点E的坐标． 【答案】(1)二次函数解析式为；点B的坐标为 (2)点的坐标为 (3)点的坐标为或或 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征以及三角形的面积，解题的关键是利用待定系数法求出二次函数解析式． （1）运用待定系数法求二次函数解析式即可；再令可求出点B的坐标； （2）运用待定系数法求出直线的解析式为，设点的坐标为，则点的坐标为，点的坐标为，求得，，根据列方程求解即可； （3）求出，设点的坐标为，则在中，边上的高为，根据三角形面积公式列方程，求出的值即可． 【详解】（1）解：∵二次函数经过点， ∴， 解得， ∴， 令，则， 即， 解得，， ∵, ∴； （2）解：设直线的解析式为， 将，代入解析式得， 解得， 所以，直线的解析式为， 设点的坐标为， ∵轴， ∴点的坐标为，点的坐标为， 则，， ∵， ∴，即， 解得，（舍去） 当时，=4， 所以，点的坐标为； （3）解：∵，， ∴， 又， ∴， 设点的坐标为， 在中，边上的高为， ∴， 即， 当时，， 解得（舍去），， ∴此时点的坐标为； 当时，， 解得，， ∴此时点的坐标为或， 综上，点的坐标为或或． 学科网（北京）股份有限公司 $