专题01 放缩与相似形重难点题型专训（1个知识点+12大题型+3大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年九年级数学上册重难点专题提升精讲精练（沪教版）

专题01 放缩与相似形重难点题型专训 （1个知识点+12大题型+3大拓展训练+自我检测） 题型一 相似多边形 题型二 相似多边形的性质 题型三 相似图形 题型四 位似图形的识别 题型五 判断位似中心 题型六 位似图形相关概念辨析上海松江 题型七 求两个位似图形的相似比 题型八 画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形 题型九 求位似图形的对应坐标 题型十 在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比 题型十一 在坐标系中画位似图形 题型十二 在坐标系中画位似中心 拓展训练一 图形的放缩 拓展训练二 相似图形在几何图形的综合应用 拓展训练三 坐标与图形综合 知识点一： 图形的位似变换 1．位似图形：如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点的连线交于一点，对应边互相平行，那么这两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比。 2．性质：在平面直角体系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形的对应点的坐标的比等于k或-k。 注意： a．位似是一种具有位置关系的相似，所以两个图形是位似图形，必定是相似图形，而相似图形不一定是位似图形； b．两个位似图形的位似中心只有一个； c．两个位似图形可能位于位似中心的两侧，也可能位于位似中心的一侧； d．位似比就是相似比．利用位似图形的定义可判断两个图形是否位似； e．位似图形的对应点和位似中心在同一直线上，它们到位似中心的距离之比等于相似比。位似多边形的对应边平行或共线。位似可以将一个图形放大或缩小。位似图形的中心可以在任意的一点，不过位似图形也会随着位似中心的位变而位变。 f．根据一个位似中心可以作两个关于已知图形一定位似比的位似图形,这两个图形分布在位似中心的两侧,并且关于位似中心对称。 【即时训练】 1．（24-25九年级上·上海宝山·期中）已知矩形中，，下面四个矩形中与矩形相似的是（　　） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】验证对应边是否成比例即可判断． 【详解】解：A：，符合题意； B：，不符合题意； C：，不符合题意； D：，不符合题意； 故选：A 【点睛】本题考查了相似多边形的判定．熟记定理内容即可． 2．（2025九年级上·上海松江·专题练习）如图，用放大镜将平遥古城旅游图标放大，则放大前后两个图形之间属于图形的 ．（从平移、轴对称、相似、旋转中选） 【答案】相似 【分析】本题考查相似的应用，根据题意可知，将图标放大，图形大小发生了变化，结合平移、轴对称和旋转不改变图形大小可以确定，这两个图是相似关系，从而得到答案． 【详解】解：根据相似的定义及性质可知，用放大镜将平遥古城旅游图标放大，两个图形的形状相同，大小不同，因此这两个图形的关系是相似， 故答案为：相似． 【经典例题一 相似多边形】 【例1】（24-25九年级上·上海金山·阶段练习）下列说法中，正确的是（    ） A．相似三角形都是全等三角形 B．所有的矩形都相似 C．所有的等腰三角形都相似 D．所有的等腰直角三角形都相似 【答案】D 【分析】利用相似图形的判定进而判断得出即可． 【详解】解：A、相似三角形不是全等三角形，原说法不正确，本选项不符合题意； B、矩形的四个角都相等，但边不一定成比例，所以所有的矩形不一定相似，本选项不符合题意； C、等腰三角形的顶角不一定相等，所以所有的等腰三角形不一定相似，本选项不符合题意； D、所有的等腰直角三角形都相似，本选项符合题意； 故选：D． 【点睛】此题主要考查了相似图形的判定方法，掌握相似图形的判定定理是解题关键． 1．（24-25九年级上·上海嘉定·课后作业）如图，过点的两直线将矩形分成甲、乙、丙、丁四个矩形，其中在上，且，下列对于矩形是否相似的判断，何者正确（ ） A．甲、乙不相似 B．甲、丁不相似 C．丙、乙相似 D．丙、丁相似 【答案】A 【分析】根据矩形的性质以及已知条件AP：PC=AD：AB=4：3，求得结果，采用排除法，得出正确答案． 【详解】如图， ∵AP：PC=AD：AB=4：3，AD∥BC， ∴， ∴甲与丁相似，故选项B错误， ∵当， AM=EP， ∴甲与丙一定不相似，∴丙和丁不相似，故选项D错误， ∵，，DM=PF， ∴当，MP=AE， ∴甲与乙一定不相似，故选项A正确， 无法确定丙、乙是否相似，故选项C错误， 故选A． 【点睛】本题考查的是相似形的识别，关键要联系图形，根据相似图形的定义得出． 2．（24-25九年级上·上海松江·课后作业）矩形ABCD中，，矩形EFGH中，，，这两个矩形 【答案】相似 【分析】根据相似多边形的判定方法解答即可. 【详解】∵，，，， ∴,. 又∵矩形的四个角都是直角， ∴这两个矩形相似. 故答案为相似. 【点睛】此类题目主要考查相似多边形的识别．判定两个图形相似的依据是：对应边成比例，对应角相等，两个条件必须同时具备． 3．（24-25九年级上·上海嘉定·期中）现有大小相同的正方形纸片若干张，小明想用其中的3张拼成一个如图所示的长方形，小芳也想拼一个与它形状相同但比它大的长方形，则她最少要用 张正方形纸片（每个正方形纸片不得剪开）．    【答案】12 【分析】根据题意可知两个长方形相似，得到它们对应边的比相等，则至少长和宽各是原来的2倍，计算得到答案． 【详解】∵正方形纸片大小相同， ∴拼一个与它形状相同但比它大的长方形，至少长和宽各是原来的2倍， ∴需要正方形的纸片是张， 故答案为：12． 【点睛】本题考查的是相似多边形的性质，掌握对应角相等，对应边的比相等的两个多边形是相似多边形是解题的关键． 4．（24-25九年级上·上海松江·课后作业）如图，左边格点图中有一个四边形，请在右边的格点图中画出一个与该四边形相似的图形，要求大小与左边四边形不同． 【答案】见解析 【详解】试题分析：根据相似图形的性质，可放大可缩小，只要相似比相等即可．本题答案不唯一． 试题解析：如图所示： 【经典例题二 相似多边形的性质】 【例2】（24-25九年级上·上海闵行·阶段练习）如图，四边形四边形，，，，则的度数为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似多边形的性质，四边形的内角和定理的应用，解题的关键是了解相似多边形的对应角相等，难度不大．根据相似多边形的对应角相等求解，进一步可得答案． 【详解】解：∵四边形四边形，， ∴， ∵，， ∴， 故选：D 1．（24-25九年级上·上海闵行·阶段练习）如图，一块矩形绸布的长，宽，按照图中的方式将它裁成相同的三面矩形彩旗，如果裁出的每面彩旗与矩形绸布相似，则a的值等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同，则可利用相似多边形的性质构建比例式，求解后即可得出结论． 【详解】解：∵裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同， ∴， 解得：或（不合题意，舍去）， ∴， 故选：B． 【点睛】此题考查了相似多边形的性质，掌握相似多边形的对应边成比例是解答此题的关键． 2．（24-25九年级上·上海长宁·期末）若两个相似四边形的相似比是，较小四边形的周长为6，则较大四边形的周长为 ． 【答案】12 【分析】本题考查了相似多边形的性质“相似多边形周长的比等于相似比”，熟练掌握相似多边形周长的比等于相似比是解题关键．根据相似多边形周长的比等于相似比求解即可得． 【详解】解：∵两个相似四边形的相似比是， ∴这两个相似四边形的周长比是， 又∵较小四边形的周长为6， ∴较大四边形的周长为， 故答案为：12． 3．（2025九年级·上海松江·专题练习）如图所示，长CD与C′D′之间距离为1，宽AD与A′D′之间距离为x，矩形ABCD的长AB＝30，宽BC＝20，x为 时，图中的两个矩形ABCD与A′B′C′D′相似． 【答案】1.5或9 【分析】根据相似多边形的性质列出比例式，代入计算得到答案． 【详解】解：当时，图中的两个矩形ABCD与A'B'C'D'相似， 解得，x＝1.5， 当时，图中的两个矩形ABCD与A'B'C'D'相似， 解得，x＝9， 故答案为：1.5或9． 【点睛】本题考查的是相似多边形的性质，掌握相似多边形的对应边成比例是解题的关键． 4．（24-25九年级上·上海松江·单元测试）在，的矩形花坛四周修筑小路． 如图，如果四周的小路的宽均相等，那么小路四周所围成的矩形和矩形相似吗？请说明理由． 如图，如果相对着的两条小路的宽均相等，试问小路的宽与的比值为多少时，能使小路四周所围成的矩形和矩形相似？请说明理由． 【答案】（1）如果四周的小路的宽均相等，那么小路四周所围成的矩形和矩形不相似，理由详见解析；（2）路的宽与的比值为时，能使小路四周所围成的矩形和矩形相似． 【分析】（1）首先设四周的小路的宽为x，易得≠，则可判定：小路四周所围成的矩形A′B′C′D′和矩形ABCD不相似； （2）由相似多边形的性质可得：当=时，小路四周所围成的矩形A′B′C′D′和矩形ABCD相似，继而求得答案． 【详解】如果四周的小路的宽均相等，那么小路四周所围成的矩形和矩形不相似； 设四周的小路的宽为， ∵，， ∴， ∴小路四周所围成的矩形和矩形不相似； ∵当时，小路四周所围成的矩形和矩形相似， 解得：， ∴路的宽与的比值为时，能使小路四周所围成的矩形和矩形相似． 【点睛】本题考查了相似多边形的性质，解题的关键是熟练的掌握相似多边形的性质. 【经典例题三 相似图形】 【例3】（24-25九年级上·上海虹口·期末）下列说法中，不正确的是（    ） A．等边三角形都相似 B．等腰直角三角形都相似 C．矩形都相似 D．正八边形都相似 【答案】C 【分析】根据两个图形相似的性质及判定方法，对应边的比相等，对应角相等，两个条件同时满足，来判断正误． 【详解】解：A、所有的等边三角形的角都为，都相似，不符合题意； B、等腰直角三角形都相似，不符合题意； C、矩形对应边不一定成比例，不一定都相似，符合题意； D、正八边形都相似，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了相似图形的知识，熟练掌握各特殊图形的性质是解题的关键，难度一般． 1．（24-25九年级上·上海松江·单元测试）观察下列每组图形，相似图形是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据相似图形的定义，形状相同，可得出答案． 【详解】解：A、两图形形状不同，故不是相似图形； B、两图形形状不同，故不是相似图形； C、两图形形状不同，故不是相似图形； D、两图形形状相同，故是相似图形； 故选D． 【点睛】本题主要考查相似图形的定义，掌握相似图形形状相同是解题的关键． 2．（24-25九年级上·上海松江·期末）如图， 与 相似． 【答案】 【分析】根据图形的形状与中间直线的位置判断即可. 【详解】根据题意将（1）顺时针旋转90°与（4）重合，所以（1）与（4）相似. 【点睛】本题考查了相似的知识点，解题的关键是根据图形的形状与中间直线的位置判断. 3．（2025九年级上·上海松江·专题练习）如图，相似的正方形共有 个，相似的三角形共有 个． 【答案】 5 16 【分析】由正方形的四个角都是直角，各边相等，不难判断两个正方形的对应边是否成比例，对应角是否相等，从而确定相似正方形的个数，根据图形及正方形的性质易得所有三角形均为等腰直角三角形，结合等腰直角三角形的性质判断对应边是否成比例，对应角是否相等，问题便可解答． 【详解】解：图中共有5个正方形，它们都相似，图中的三角形都是等腰直角三角形，一共有16个，它们都相似， 故答案为：5，16． 【点睛】本题考查了相似图形的判断，掌握相似图形的定义是解题的关键． 4．（24-25九年级上·上海杨浦·期末）如图1，将A4纸2次折叠，发现第一次的折痕与A4纸较长的边重合，如图2，将1张A4纸对折，使其较长的边一分为二，沿折痕剪开，可得2张A5纸． （1）A4纸较长边与较短边的比为　　； （2）A4纸与A5纸是否为相似图形？请说明理由． 【答案】（1）；（2）相似，理由见解析 【分析】（1）根据边的关系得出比例等式解答即可； （2）根据相似图形的判定解答即可． 【详解】 解：（1）如图1，设AB＝x， 由上面两个图，由翻折的性质我们知道，∠ACF＝∠HDF，∠ACB＝∠HDB，∠ECF=45°， ∴∠BCF＝∠BDF=90°， 又∵∠ACE＝∠ACB+∠ECB=∠BCF=∠BCE+∠ECF， ∴∠ACB=∠ECF=45°， ∴BC=x， ∴BD＝BC＝x，AD＝AB+BD＝（+1）x， ∴EF＝CE＝AD＝（+1）x， ∵DE＝AC＝AB＝x， ∴DF＝DE+EF＝（+2）x， ∴， 故答案为：． （2）由（1）知：A5纸长边为A4纸短边，长为（+1）x，A5纸短边长为（）x， ∴对A5纸，长边：短边， ∴A4纸与A5纸相似． 【点睛】此题考查了相似图形，关键是根据相似图形判断和性质解答． 【经典例题四 位似图形的识别】 【例4】（24-25九年级上·上海松江·课后作业）在下列图形中，不是位似图形的是(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据位似图形的定义分析各图，对各选项逐一分析，即可得出答案． 【详解】对应顶点的连线相交于一点的两个相似多边形叫位似图形． 根据位似图形的概念，A、B、C三个图形中的两个图形都是位似图形； D中的两个图形不符合位似图形的概念，对应顶点不能相交于一点，故不是位似图形． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了位似图形，注意位似与相似既有联系又有区别，相似仅要求两个图形形状完全相同；而位似是在相似的基础上要求对应点的连线相交于一点． 1．（2025·上海普陀·模拟预测）如图，在外任取一点，连接、、，并分别取它们的中点、、，顺次连接、、得到，则下列说法错误的是（    ）    A．与是位似图形 B．与是相似图形 C．与的周长比是 D．与的面积比是 【答案】D 【分析】根据位似图形的性质得出与是位似图形，根据位似图形一定是相似图形得出与是相似图形，再根据周长比等于位似比以及根据面积比等于相似比的平方即可解答． 【详解】解：根据位似性质可得： A、与是位似图形，故A选项正确，不符合题意； B、与是相似图形，故B选项正确，不符合题意； C、∵点D，E，F，为中点， ∴将的三边缩小到原来的得到， ∴与的周长之比为1：2，故C选项正确，不符合题意； D、∵面积比等于相似比的平方， ∴与的面积之比为1：4，故D选项不正确，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了位似图形的性质，正确的记忆位似图形性质是解决问题的关键． 2．（24-25九年级上·上海嘉定·课后作业）放映电影时，屏幕上的图象和胶片上对应的图形之间的关系： ． 【答案】位似 【分析】根据位似的定义直接得出结果． 【详解】解：放映电影时，屏幕上的图象和胶片上对应的图形是位似图形，因为图形形状相同，对应边平行，因此屏幕上的图象和胶片上对应的图形之间的关系：位似． 【点睛】本题考查的是位似图形的定义，利用位似图形的形状相同，对应边平行得出是解题关键． 3．（2025九年级上·上海松江·专题练习）如图，以O为位似中心且与ABC位似的图形编号是 ． 【答案】② 【分析】本题考查的是位似图形的概念，如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心． 连接，根据位似图形的概念判断即可． 【详解】解：根据图形位似的性质，如图，分别连接， 则图形②的三个顶点与的对应三个顶点的连线交于点O，从而图形②与位似． 故答案为：②． 4．（24-25九年级上·上海松江·课后作业）如图，四边形ABCD和四边形位似，位似比=2，四边形A′B′C′D′和四边形位似，位似比=1．四边形和四边形ABCD是位似图形吗？位似比是多少？ 【答案】是位似图形，位似比为． 【分析】四边形和四边形ABCD位似，所以四边形∽四边形ABCD；相似具有传递性，可得四边形∽四边形ABCD；因为位似比等于相似比，据此即可求得四边形和四边形ABCD的位似比． 【详解】∵四边形ABCD和四边形位似， ∴四边形ABCD∽四边形． ∵四边形和四边形位似， ∴四边形∽四边形． ∴四边形∽四边形ABCD． ∵对应顶点的连线过同一点， ∴四边形和四边形ABCD是位似图形． ∵四边形ABCD和四边形位似，位似比=2， 四边形和四边形位似，位似比=1， ∴四边形和四边形ABCD的位似比为． 【点睛】本题考查位似图形的判定方法与性质，解题的关键是要明确位似图形是特殊的相似图形，相似具有传递性． 【经典例题五 判断位似中心】 【例5】（24-25九年级上·上海宝山·开学考试）把放大为原图形的倍得到，则位似中心可以是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】C 【分析】本题考查了位似中心，解决本题的关键是熟练掌握位似中心的定义．如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点的连线交于一点，对应边互相平行，这个点叫做位似中心，据此解答即可． 【详解】解：如图，连接，交于点， 由位似中心的定义可知，此位似中心可以是点， 故选： 1．（24-25九年级上·上海杨浦·期末）如图，点是等边三角形的中心，、、分别是、、的中点，则与是位似三角形，此时与的位似比、位似中心分别是（    ） A．2、点 B．、点 C．2、点 D．、点 【答案】D 【分析】本题考查的是位似变换，掌握位似中心的定义、相似三角形的性质是解题的关键． 根据三角形中位线定理得到，根据位似三角形的定义、位似中心的定义解答． 【详解】解：点是等边三角形的中心，、、分别是、、的中点， 各对应点的连线交于点，， 位似中心是点， ∵与是位似三角形，位似中心到两个对应点的距离之比叫做位似比， ∴与位似比是． 故选：D． 2．（24-25九年级上·上海奉贤·阶段练习）如图所示的两个三角形是位似图形，它们的位似中心是点 ． 【答案】P 【分析】根据位似变换的定义：对应点的连线交于一点，交点就是位似中心．即位似中心一定在对应点的连线上． 【详解】解：∵位似图形的位似中心位于对应点连线所在的直线上，点M、N为对应点，所以位似中心在M、N所在的直线上， 因为点P在直线MN上， 所以点P为位似中心． 故答案为P． 【点睛】本题考查位似变换．熟练掌握位似的定义是解题的关键. 3．（24-25九年级·上海松江·单元测试）已知：如图，A′B′∥AB，A′C′∥AC，AA′的延长线交于BC于点D，△ABC与△A′B′C′是 图形，其中 点是位似中心． 【答案】 位似 O 【分析】由A′B′∥AB，A′C′∥AC，可证得△A′B′C′∽△ABC，又由AA′的延长线交于BC于点D，即可得△ABC与△A′B′C′是位似图形，其中O点是位似中心． 【详解】解：∵A′B′∥AB，A′C′∥AC， ∴∠A′B′C′＝∠B，∠A′′B′＝∠C， ∴△A′B′C′∽△ABC， ∵AA′的延长线交于BC于点D， ∴△ABC与△A′B′C′是位似图形，其中O点是位似中心． 故答案为（1）位似，（2）O． 【点睛】本题考查了位似图形的定义．注意：①两个图形必须是相似形；②对应点的连线都经过同一点；③对应边平行． 4．（2025九年级上·上海松江·专题练习）用直尺画出下面位似图形的位似中心． 【答案】画图见解析． 【分析】本题考查了位似中心的画法，连接两个位似图形两对对应点，对应点连线的交点就是位似中心，正确理解两个位似图形对应点连线的交点就是位似中心是解题的关键． 【详解】解：如图，点、、分别为位似图形的位似中心． 【经典例题六 位似图形相关概念辨析】 【例6】（2025·上海崇明·模拟预测）如图，将图形用放大镜放大，应该属于（    ） A．平移 B．位似 C．旋转 D．对称 【答案】B 【分析】根据位似的性质即可求解． 【详解】解：将图形用放大镜放大，应该属于位似， 故选：B． 【点睛】本题考查了位似的性质，熟练掌握位似的性质是解题的关键． 1．（24-25九年级上·上海松江·单元测试）和是位似图形，位似中心是点O，下列说法不正确的是（　　） A． B．直线 经过点O C．直线 、和相交于一点 D． 【答案】A 【分析】根据位似图形的概念判断即可． 【详解】解：和是位似图形，位似中心是点， 直线、和相交于点，， 故A选项说法不正确，符合题意，B、C、D选项说法正确，不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查的是位似图形，位似图形满足的条件：两个图形必须是相似形、对应点的连线都经过同一点、对应边平行． 2．（24-25九年级·上海松江·课后作业）下列关于位似图形的说法：①相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形；②位似图形一定有位似中心；③如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么这两个图形是位似图形；④位似图形上任意两点与位似中心的距离之比等于位似比．其中正确的是 ．（只填序号） 【答案】② 【分析】根据位似图形定义解答即可． 【详解】相似图形不一定是位似图形，故①错误； 位似图形一定有位似中心，故②正确； 如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么这两个图形不一定是位似图形，故③错误； 位似图形上对应点与位似中心的距离之比等于位似比，故④错误； 故答案为：②． 3．（2025·上海嘉定·模拟预测）以小正方形的中心为位似中心，以1：3的比例放大得到一个大正方形，从而得到了一个如图所示的飞镖游戏板．若小明同学向该游戏板投掷飞镖一次（假设飞镖落在游戏板上），则镖落在阴影部分的概率是 ．    【答案】 【分析】根据几何概率的求法：飞镖落在阴影部分的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值．故先用位似图形性质求出阴影区域的面积与总面积的比值即可得出答案． 【详解】解：小正方形与大正方形位似比为1：3，故其面积比为， ∴阴影部分面积占总面积的比值为， 飞镖落在阴影部分的概率是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了位似图形性质和几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率． 4．（24-25九年级上·上海松江·单元测试）已知与是位似图形，点A、B、、O共线，点O为位似中心． (1)与平行吗？为什么？ (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)15或5 【分析】此题考查了位似图形的性质． （1）分两种情况画出图形，利用位似的性质进行证明即可； （2）分两种情况画出图形，利用位似的性质进行求解即可． 【详解】（1）如图所示，与平行，理由： ∵与是位似图形，点A、B、、O共线， ∴ ∴． 如图， ∵与是位似图形，点A、B、、O共线， ∴， ∴． （2）如图． ∵， ∴， ∴的长为； 如图． ∵， ∴， ∴的长为； 综上所述，的长为15或5． 【经典例题七 求两个位似图形的相似比】 【例7】（24-25九年级上·上海徐汇·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，以点为位似中心，放大2倍后得到．若的周长为6．则的周长为（    ） A．3 B．6 C．12 D．24 【答案】C 【分析】本题考查的是位似变换、相似三角形的性质．根据位似变换得到，再根据相似三角形的周长比等于相似比计算，得到答案． 【详解】解：以点为位似中心，放大2倍后得到， ，且相似比为， 的周长为6， 的周长为：， 故选：C． 1．（2025·上海闵行·模拟预测）如图，这是物理学中的小孔成像，是物体，遮挡板上的小孔抽象成点，透过小孔在光屏上成的像是倒立放大的实像，和成位似图形，位似中心为点，遮挡板和光屏的水平距离为，，此时，像的长为，为了使像的长度变成的倍，在物体和屏幕位置不变的情况下，可以将遮挡板（   ） A．水平向右移动 B．水平向左移动 C．水平向右移动 D．水平向左移动 【答案】B 【分析】本题考查位似图形的应用，过点作于点，延长交于点，根据位似图形的性质推出，分别求出遮挡板水平移动前后的长，再进行比较即可。掌握位似图形的性质是解题的关键． 【详解】解：过点作于点，延长交于点， ∵和成位似图形，位似中心为点， ∴， ∴， ∴、分别为和对应边、上的高， ∴， ∵和成位似图形，，， ∴，即， ∴， ∴， ∵像的长度变成的倍，在物体和屏幕位置不变的情况下，设，则，， 又∵，即， ∴， 此时， ∵， ∴可以将遮挡板水平向左移动． 故选：B． 2．（24-25九年级上·上海松江·单元测试）△ABC与△A1B1C1是位似图形，它们在位似中心的同侧，其面积比为4∶9，已知位似中心O与A的距离为2，则A到A1的距离为 ． 【答案】1 【分析】利用位似图形的性质得出位似比进而求出位似中心O与A1的距离即可得出答案． 【详解】解：∵△ABC与△A1B1C1是位似图形，它们在位似中心的同侧，其面积比为4：9， ∴两图形的位似比为：2：3， ∵位似中心O与A的距离为2， ∴位似中心O与A1的距离为3， ∴A到A1的距离为：1． 故答案为1． 【点睛】本题考查位似变换，利用位似图形的性质得出O与A1的距离是解题关键． 3．（24-25九年级上·上海静安·期末）如图，六边形ABCDEF与六边形是位似图形，O为位似中心，：：2，则B′C′： ． 【答案】1：2 【分析】直接利用位似图形的性质即可得出答案． 【详解】∵六边形ABCDEF与六边形是位似图形，O为位似中心，：OA=1：2， ∴， ∴∽， ∴， 同理可得：． 故答案为1：2 【点睛】此题主要考查了位似变换，正确利用位似图形的性质分析是解题关键． 4．（24-25九年级上·上海松江·课后作业）如图所示，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O． （1）过点O作OE⊥BC于点E，连接DE交OC于点F，作FG⊥BC于G点，则△ABC与△FGC是位似图形吗？若是，请说出位似中心，并求出位似比；若不是，请说明理由． （2）连接DG交AC于点H，作HI⊥BC于I，试确定的值． 【答案】（1）是位似图形，位似中心是点C，位似比为3；（2）． 【分析】（1）根据相似三角形的判定定理证明△ABC∽△FGC，根据位似变换的概念和位似中心的概念解答即可，根据相似三角形的性质求出两个三角形的相似比，得到位似比； （2）根据相似三角形的性质进行计算即可． 【详解】（1）∵FG⊥BC，AB⊥BC， ∴FG∥AB， ∴△ABC∽△FGC， ∵△ABC与△FGC对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行或重合， ∴△ABC与△FGC是位似图形，位似中心是点C， ∵BO=OD，OE∥CD， ∴， ∴， ∴， ∴， 则△ABC与△FGC的位似比为3； （2）由（1）得，，FG∥CD， ∴， ∴，又， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是位似变换的概念、位似比的计算，相似三角形的判定和性质，如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心． 【经典例题八 画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形】 【例8】（24-25九年级上·上海虹口·期末）如图，在的正方形网格中，以点O为位似中心，把放大为原来的2倍，则点B的对应点为（    ） A．点M B．点N C．点P D．点Q 【答案】A 【分析】连接并延长，根据位似变换的性质判断即可． 【详解】解：如图，连接并延长，延长线经过点，且， 以点为位似中心，把放大为原来的2倍， 点的对应点为点， 故选：A． 【点睛】本题考查了位似变换，掌握位似图形的对应点连线相交于一点以及位似图形的性质是解题的关键． 1．（24-25九年级上·上海嘉定·阶段练习）如图，已知线段两个端点的坐标分别为，以原点O为位似中心，在第一象限内将线段缩小为原来的后得到线段，则端点D的坐标为（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】本题主要考查了位似变换的概念和性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或． 根据在平面直角坐标系中位似变换的性质解答即可． 【详解】解：线段两个端点的坐标分别为，以原点O为位似中心，在第一象限内将线段缩小为原来的后得到线段， 则点B与点D是对应点， 则点D的坐标为，即． 故选：A． 2．（24-25九年级·上海松江·单元测试）将一个多边形缩小为原来的，这样的多边形可以画 个，你的理由是 ． 【答案】 无数 多边形的形状发生了变化 【详解】试题分析：如果将一个多边形缩小为原来的，只是周长缩小为原来的，根据相似多边形的定义，可知多边形的形状会发生变化，故这样的多边形可以画无数个． 解：将一个多边形缩小为原来的，这样的多边形可以画无数个，理由是：将一个多边形缩小为原来的时，只是周长缩小为原来的，对应边不一定成比例，对应角也不一定相等，即多边形的形状发生了变化，故这样的多边形可以画无数个． 考点：相似图形． 点评：本题主要考查了相似多边形的定义：如果两个多边形的对应边的比相等，对应角相等，那么这两个多边形是相似多边形．即形状相同，大小不一定相同的多边形叫做相似多边形． 3．（24-25九年级上·上海青浦·期末）如图，E（﹣6，0），F（﹣4，﹣2），以O为位似中心按比例尺1：2把△EFO缩小到第一象限，则点F的对应点F′的坐标为 ． 【答案】（2，1）． 【详解】试题分析：以O为位似中心，按比例尺1：2，把△EFO缩小，结合图形得出，则点F的对应点F′的坐标是E（﹣4，﹣2）的坐标同时乘以﹣计算即可． 解：根据题意可知，点F的对应点F′的坐标是F（﹣4，﹣2）的坐标同时乘以﹣， 所以点F′的坐标为（2，1）， 故答案为（2，1）． 考点：位似变换；坐标与图形性质． 4．（24-25九年级上·上海普陀·期末）如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的顶点叫做格点，的三个顶点都在格点上． (1)将绕点逆时针旋转，得到，画出； (2)以为位似中心，在位似中心异侧把放大到原来的倍，得到，画出． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 【分析】本题考查作图—位似变换、作图—旋转变换， （1）根据旋转的性质作图即可； （2）根据位似的性质作图即可； 解题的关键是掌握位似的性质：①位似图形的任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比；②位似图形的对应点连线交于一点；③位似图形的对应线段平行（或在同一条直线上）且比相等；④位似图形是相似图形；旋转的性质：①对应点到旋转中心的距离相等；②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；③旋转前后的图形全等． 【详解】（1）解：如图即为所作； （2）如图即为所作． 【经典例题九 求位似图形的对应坐标】 【例9】（24-25九年级上·上海嘉定·开学考试）已知在直角坐标系中的位置如图所示，如果以原点O为位似中心，位似比为2，在第四象限内将图象放大为，那么点A的对应点的坐标（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查求位似图形中点的坐标，根据位似比为2，且在第四象限内将图象放大为，画出图形，写出点的坐标即可． 【详解】解：如图，即为所求， ∴点A的对应点A'的坐标为． 故选：D． 1．（2025·上海嘉定·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，等边的顶点，，已知与位似，位似中心是原点O，且的面积是面积的16倍，则点A对应点的坐标为（    ）    A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查的是位似变换的性质，根据位似变换的性质以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或，计算即可． 【详解】解：∵等边的顶点，， ∴， 过A作轴于C，    ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵与位似，位似中心是原点O，且的面积是面积的16倍， ∴与的位似比为， ∴点A的对应点的坐标是或，即或， 故选：D． 2．（24-25九年级上·上海普陀·阶段练习）如图，在坐标系中，阴影所示的两个正方形是位似形，则位似中心的坐标为 【答案】或/或 【分析】本题考查了位似图形，以及求位似中心，连接对应点，存在两种情况，第一：位似中心在两个图形的中间，第二：位似中心在第二象限，根据位似图形的性质，相似比等于对应点到位似中心的距离比，即可作答． 【详解】解：如图：位似中心在两个图形的中间，连接对应点，相交于点H，轴， ∵两个正方形是位似形， ∴， ∵轴，轴， ∴， 则， ∴， 故， ∴， 即， 则， 此时位似中心为； 如图：位似中心在两个图形的中间，连接对应点，相交于点H， ∵两个正方形是位似形， ∴， ∵轴，轴， ∴， ∴， 故， 由于点H在轴的负半轴上， 此时位似中心为； 综上：位似中心为或， 故答案为：或． 3．（24-25九年级上·上海青浦·期末）如图所示，在平面直角坐标系中，已知点，，以原点O为位似中心，相似比为2，把△ABO放大，则点A的对应点的坐标是 ． 【答案】或/或 【分析】设 的位似图形为，根据和与点O的位置关系讨论，分别画出对应图形，分类讨论求解即可． 【详解】解：设 的位似图形为， 若和在点O的同侧，如图所示： ，相似比为2， 则有 ， ， 的坐标是 ， 若和在点O的异侧，如图所示： ，相似比为2， 则有 ， ， 的坐标是 ， 综上所述： 的坐标是或者． 故答案为：或． 【点睛】本题考查的是位似图形，掌握位似图形的性质和分情况讨论是解题的关键． 4．（24-25九年级上·上海虹口·期中）在如图的方格纸中，的顶点坐标分别为，，与是以点为位似中心的位似图形． (1)在图中标出位似中心点的位置并直接写出点的坐标为______，与的相似比为______． (2)的内部一点的坐标为，直接写出点在中的对应点的坐标为______． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）作直线，，，三线交于点P，根据题意，设直线的解析式为，代入确定解析式为；直线为，联立得，于是得到位似中心；根据题意，，故可以求得与的相似比为，解答即可． （2）设，根据位似比为，得到即点为线段的中点，利用中点坐标公式解答即可． 本题考查了位似中心的确定，位似点坐标的确定，熟练掌握位似的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：如图，作直线，，，三线交于点P，根据题意，设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴解析式为； 直线为， 当时， ， 故位似中心； ∵，， ∴， ∴与的相似比为， 故答案为：，． （2）解：设，根据位似比为，得到即点为线段的中点， ∵， ∴， 解得， 故， 故答案为：． 【经典例题十 在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比】 【例10】（2025·上海徐汇·模拟预测）《西游记》的故事家喻户晓，特别是书中的孙悟空嫉恶如仇斩妖除魔大快人心．在一次降妖过程中，孙悟空念动咒语将一片树叶放大后射向妖魔．假如这个过程可以看成是在平面直角坐标系中的一次无旋转的变换，设变化前树叶尖部点A坐标为，在咒语中变化后得到对应点为．则变化后树叶的面积变为原来的（    ） A．300倍 B．3000倍 C．9000倍 D．90000倍 【答案】D 【分析】根据题意树叶尖部点的变换是扩大300倍，然后向上平移200个单位，向下平移100个单位，根据位似变换的性质，以及平移的性质，根据位似比等于相似比，面积比等于相似比的平方求解即可． 【详解】解：∵设变化前树叶尖部点A坐标为，在咒语中变化后得到对应点为． ∴树叶变换是扩大300倍，然后向上平移200个单位，向下平移100个单位， 根据位似比等于相似比，面积比等于相似比的平方， 可得变化后树叶的面积变为原来的90000倍 故选D 【点睛】本题考查了位似变换，平移的性质，相似图形的性质，根据题意理解变换是位似变换加平移变换是解题的关键． 1．（24-25九年级上·上海闵行·期末）如图，四边形ABCD和是以点O为位似中心的位似图形，若OA：OA′＝2：3，则四边形ABCD与四边形的面积比为（　　） A．4：9 B．2：5 C．2：7 D．2：3 【答案】A 【分析】根据题意求出两个相似多边形的相似比，根据相似多边形的性质解答． 【详解】解：四边形和是以点为位似中心的位似图形，， ， 四边形与四边形的面积比为：， 故选：A． 【点睛】本题考查的是位似变换的性质，解题的关键是掌握位似图形与相似图形的关系、相似多边形的性质． 2．（24-25九年级上·上海闵行·期中）在平面直角坐标系中，将的每一个顶点的横纵坐标均乘以，得到新的，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了位似图形的性质．根据题意可得与是以坐标原点为位似中心的位似图形，且相似比是，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求解． 【详解】解：根据题意可得，且相似比为， ∴的面积与的面积的比为， ∴． 故答案为：． 3．（24-25九年级上·上海静安·阶段练习）如图，四边形与四边形关于点成位似图形．若四边形与四边形的位似比为，则四边形与四边形的周长比为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是位似图形的性质，根据位似图形的周长比等于相似比解题即可． 【详解】解：∵四边形与四边形的位似比为， ∴四边形与四边形的周长比为． 故答案为：． 4．（2025·上海闵行·模拟预测）如图所示的平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，，与关于坐标原点O位似，且相似比为． (1)在x轴下方，画出； (2)直接写出______． 【答案】(1)画图见解析 (2) 【分析】本题考查的是画位似图形，位似图形的性质，确定关键点的位似对应点是解题的关键． （1）分别确定关于的位似对应点，再顺次连接即可； （2）由位似图形的性质可得答案． 【详解】（1）解：如图，即为所求； ． （2）由位似图形的性质可得：； 【经典例题十一 在坐标系中画位似图形】 【例11】（24-25九年级上·上海奉贤·期末）如果一个图形上各点的横坐标保持不变，而纵坐标分别都变化为原来的，那么所得的图形与原图形相比(　　) A．形状不变，图形缩小为原来的一半 B．形状不变，图形放大为原来的2倍 C．整个图形被横向压缩为原来的一半　　 D．整个图形被纵向压缩为原来的一半 【答案】D 【详解】试题解析：∵一个图形上各点的横坐标保持不变，而纵坐标分别都变化为原来的， ∴整个图形被纵向压缩为原来的一半 故选D． 考点：位似变换． 1．（24-25九年级上·上海杨浦·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点B的坐标为（2，4）．点A在轴的正半轴上，点C在轴的正半轴上，点P是BC的中点．以坐标原点O为位似中心，将矩形OABC放大为原图形的1.5倍，记点P的对应点为P1，则P1的坐标为（    ）    A．（3，3） B．（3，2）或（，） C．（3，3）或（，） D．（2，3）或（，） 【答案】C 【分析】根据矩形的性质求出点P的坐标为（2，2），根据位似变换的性质计算，得到答案． 【详解】∵矩形OABC的顶点B的坐标为（2，4），点P是BC的中点， ∴点P的坐标为（2，2）， 以坐标原点O为位似中心，将矩形OABC放大为原图形的1.5倍， 则P1的坐标为（2×1.5，2×1.5）或（−2×1.5，−2×1.5），即（3，3）或（−3，−3）， 故选：C． 【点睛】本题考查的是位似变换的性质、矩形的性质、坐标与图形性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或−k． 2．（2025九年级上·上海松江·专题练习）平面直角坐标系中位似图形的作法： 位似图形与位似中心有两种情况∶①位似图形在位似中心 侧；②位似图形在位似中心 侧．若题中未指明位置关系，应该分两种情况讨论，防止漏解． 【答案】两；同 【解析】略 3．（24-25九年级上·上海松江·单元测试）如图，△ABC的顶点坐标分别为A（1，3）、B（4，2）、C（2，1）． （1）作出与△ABC关于x轴对称的△A 1B1C1，并写出点A1的坐标； （2）以原点O 为位似中心，在原点的另一侧画出△A2B2C2，使=，并写出点A2的坐标． 【答案】（1）画图见解析，A1(1，－3)；（2）画图见解析；A2(－2，－6)． 【分析】（1）根据关于x轴对称点的坐标的变化得出A，B，C关于x轴的对称点，即可得出答案； （2）根据关于原点对称点的坐标以及使＝，得出对应点乘以-2即可得出答案． 【详解】解：(1)如图，△A1B1C1为所作，A1(1，－3)； (2)如图，△A2B2C2为所作，A2(－2，－6)． 【点睛】本题考查位似图形的性质以及关于x轴对称图形画法，根据已知得出对应点坐标是解题关键． 4．（24-25九年级上·上海静安·期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，在平面直角坐标系中，的顶点坐标依次为，，．请你以原点为位似中心，在第三象限内画出，使与位似，且与的相似比为，并写出点、的对应点、的坐标． 【答案】图见解析；点、的坐标分别为，． 【分析】此题考查了位似图形的作图和点的坐标．根据位似图形的作法找到点，顺次连接得到，再写出点A、B的对应点、的坐标即可． 【详解】解：如图，即为所求，点A、B的对应点、的坐标分别为，． 【经典例题十二 在坐标系中画位似中心】 【例12】（24-25九年级上·上海虹口阶段练习）如图，和是位似图形，则位似中心的坐标是（　　）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查的是位似图形及位似中心的定义，根据位似中心的定义，连接位似图形的对应点，交点即为位似中心，掌握位似中心的确定方法：位似图形的各个对应点连线的交点即为位似中心是解决此题的关键． 【详解】解：连接，，，如图，交点即为所求，由图可知位似中心的坐标是：．    故选：． 1．（24-25九年级上·上海闵行·期末）如图，在直角坐标系中，与是位似图形，各顶点都在格点上，则它们位似中心的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据图示，对应点的连线都经过同一点，该点就是位似中心． 【详解】解：如下图， 点G（4，2）即为所求的位似中心． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了位似中心的概念、坐标与图形等知识，熟练掌握位似中心的概念是解题关键． 2．（24-25九年级上·上海宝山·期中）如图，与是位似图形，则位似中心为点 ． 【答案】P 【分析】本题考查确定位似中心，根据位似图形的概念，连接对应点，交点即是位似中心． 【详解】解：如图所示，连接，，，交于点， ∴点是位似中心， 故答案为：． 3．（2025·上海长宁·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，与关于点P成位似图形，则该位似中心点P的坐标是 ． 【答案】 【分析】直接利用位似图形的性质得出位似中心位置即可． 【详解】解：如图所示： 位似中心点P的坐标是． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了位似变换，正确得出位似中心位置是解题关键． 4．（2025·上海嘉定·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，位置如图所示． (1)画出向上平移1个单位，再向左平移2个单位后得到的； (2)以原点为位似中心，在轴的右侧画的一个位似，使它与的位似比为； (3)判断和是位似图形吗？若是，请在图中标出位似中心点，并写出点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析， 【分析】本题主要考查了作图-位似变换，平移变换． （1）根据平移变换的性质找出对应点即可求解； （2）根据位似变换的性质找出对应点即可求解； （3）作直线，，，发现三条直线交于同一点，再根据位似图形的定义判断可得答案． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求． （2）解：如图所示，即为所求． （3）解：和是位似图形，点为所求位似中心，点的坐标为． 【拓展训练一 图形的放缩】 1．（2025九年级上·上海松江·专题练习）位似图形的作法步骤： ①确定_________ ②分别连接并延长_______和能代表原图的_______； ③根据 ，确定能代表所作的位似图形的关键点； ④ 上述各点，得到放大或缩小的图形． 【答案】①位似中心；②位似中心，关键点；③相似比；④顺次连接 【解析】略 2．（24-25九年级上·上海松江·期末）如图，已知△ABC顶点的坐标分别为A（2，2），B（8，2），C（6，6），以坐标原点O为位似中心，在第三象限内画一个缩小的△A1B1C1，使得它与△ABC的位似比等于1：2，并写出点A的对应点A1的坐标．    【答案】作图见解析，点A1的坐标为：（-1，-1）． 【分析】直接利用位似图形的性质分别得出对应点位置进而得出答案． 【详解】如图所示：△A1B1C1，即为所求，点A1的坐标为：（-1，-1）．    【点睛】此题主要考查了位似变换，正确得出对应点位置是解题关键． 3．（2025九年级上·上海松江·专题练习）如图，已知O是坐标原点，B，C两点的坐标分别为，． (1)若以O点为位似中心在y轴的左侧将缩放，使得相似比为，求作； (2)分别写出B，C两点的对应点，的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)， 【分析】本题考查作图-位似变换，解题的关键是理解位似图形的性质得出位似图形对应点的位置． （1）直接利用位似图形的性质得出对应点位置进而即可画图； （2）利用题（1）所画出的图形得出对应点的坐标． 【详解】（1）解：如图所示：即为所求； （2），． 【拓展训练二 相似图形在几何图形的综合应用】 1．（24-25九年级上·上海松江·单元测试）将三角形各边向外平移1个单位并适当延长，得到如图(1)所示的图形，变化前后的两个三角形相似吗？如果把三角形改为正方形、长方形呢？    【答案】见解析 【分析】利用相似图形的判定方法：对应角相等，对应边成比例的图形相似，进而判断即可． 【详解】∵三角形、矩形对应边向外平移1个单位后，对应边的比值不一定相等， ∴变化前后的两个三角形、矩形都不相似， ∵正方形边长改变后对应比值仍相等，且对应角相等， ∴变化前后的两个正方形相似． 【点睛】此题主要考查了相似图形的判定，正确掌握相似图形的判定方法是解题关键． 2．（24-25九年级上·上海闵行·阶段练习）如图，一块长和宽分别为60厘米和40厘米的长方形铁皮，要在它的四角截去四个相等且与原长方形相似的长方形（长宽比原长方形长宽比相等），折成一个无盖的长方体水槽． （1）使它的底面积为1536平方厘米．求截去长方形的两边长． （2）水槽的底面积达到2448平方厘米吗？为什么？ 【答案】（1）长为6厘米，宽为4厘米；（2）不能，理由见解析 【分析】（1）可设截去长方形的长为3x厘米，得到截去长方形的宽为2x厘米，根据底面积的求法得到方程，解之即可； （2）根据（1）中的计算方法，令底面积为2448，解之，再判断即可． 【详解】解：（1）设截去长方形的长为3x厘米， ∵截去的长方形与原长方形相似， 则截去长方形的宽为2x厘米， ∴底面积为， 解得：x=2或18（舍）， ∴3x=6，2x=4， ∴截去长方形的长为6厘米，宽为4厘米； （2）由题意可得： ， 解得：x=或， ∵=＜0，故不符合； ＞，故不符合， ∴底面积不能达到2448平方厘米． 【点睛】此题考查了图形的相似和一元二次方程的应用，本题的关键在于理解题意，找出等量关系，列出方程求解即可． 3．（24-25九年级上·上海长宁·期中）方格图中的每个小方格都是边长为1小正方形，我们把小正方形的顶点称为格点，格点连线为边的四边形称为“格点四边形”，图1中的四边形ABCD就是一个格点四边形. （1）小彬在图2的方格图中画了一个格点四边形EFGH.借助方格图回答：四边形ABCD与四边形EFGH相似吗？若相似，直接写出四边形ABCD与四边形EFGH的相似比；若不相似说明理由； （2）请在图3的方格图中画一个格点四边形，使它与四边形ABCD相似，但与四边形ABCD、四边形EFGH都不全等. 【答案】（1）相似，相似比为；（2）如图，四边形MNPQ即为所求，见解析. 【分析】（1）分别求出四边形各边的长度，求出对应边的相似比，即可得到答案； （2）先确定相似比，然后求出个对应边的长度，即可画出图形. 【详解】解：（1）相似； 根据题意，四边形ABCD中，，BC=1，CD=2，AD=；四边形EFGH中，，FG=2，GH=4，EH=； ∴，即， ∴四边形ABCD与四边形EFGH相似，相似比为：. （2）根据题意，设相似比为，则四边形MNPQ的各边为： MN=2，NP=，PQ=，MQ=， 如图，四边形MNPQ即为所求. . 【点睛】本题考查了相似四边形的性质，以及画相似图形，解题的关键是掌握相似四边形的对应边的比相等. 【拓展训练三 坐标与图形综合】 1．（24-25九年级上·上海杨浦·阶段练习）已知点，解答下列各题： (1)若点在轴上，则点的坐标为____________； (2)若点，且轴，求点的坐标； (3)若点在第四象限，且它到轴的距离是到轴的距离的倍，求的平方根． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了坐标与图形性质，平方根，解一元一次方程，熟知轴及平行于轴的直线上点的坐标特征是解题的关键． （1）根据轴上点的坐标特征即可解决问题． （2）根据平行于轴的直线上点的坐标特征即可解决问题． （3）根据题意建立关于的等式，求出的值即可解决问题． 【详解】（1）解：∵点在轴上， ∴， 解得：， 则， 所以点的坐标为． 故答案为：． （2）点，且轴，求点的坐标； 解：∵点坐标为，且轴， ∴， 解得：， 则， 所以点的坐标为． （3）解：∵点P在第四象限，且它到轴的距离是到轴的距离的倍， ∴， 解得：， ∴， 故的平方根为． 2．（24-25九年级上·上海普陀·期末）在平面直角坐标系中，为原点，点，，，． (1)如图，三角形的面积为______； (2)如图，将点向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到对应点． ①点的坐标为______； ②求点到直线的距离． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（）根据点的坐标可得，，进而根据三角形的面积公式计算即可； （）①根据平移的性质解答即可；②过点作轴于点，作轴于点，利用的面积求出的面积，再根据的面积求出即可求解； 本题考查了坐标与图形，点的坐标平移，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，，， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：①∵，将点向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到对应点， ∴点的坐标为，即， 故答案为：； ②过点作轴于点，作轴于点， 则的面积 ， 又∵的面积， ∴， ∴， ∴点到直线的距离为． 3．（24-25九年级上·上海长宁·期中）如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，点、的坐标分别为、．将先向右平移4个单位后，再向下平移1个单位，得到． (1)请直接写出点的坐标_________，点的坐标_________． (2)请判断与重叠部分的形状，并证明你的结论． (3)点是平面内一动点，是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出满足条件的所有点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)． (2)四边形是平行四边形．证明见解析 (3)． 【分析】（1）利用平移的性质求解即可； （2）根据平移的性质得到，即可得到结论； （3）分三种情况：①当是对角线时，②当是对角线时，③当是对角线时， 根据平行四边形的性质，分别计算即可． 【详解】（1）解：点、的坐标分别为、, 根据平移得， 故答案为：； （2）解：四边形是平行四边形，理由如下， ∵， ∴． ∵平移得到， ∴， ∴． ∴四边形是平行四边形． （3）解：存在点，理由如下， ， 设 ①当是对角线时， 四边形是平行四边形， 互相平分， ， ， ∴； ②当是对角线时， 四边形是平行四边形， 互相平分， ， ， ∴； ③当是对角线时， 四边形是平行四边形， 互相平分， ， ， ∴． 综上所述，点的坐标为． 【点睛】本题考查是平行四边形综合题，考查了平行四边形的性质，平移的性质，利用分类讨论的思想解决问题是解题的关键． 1．（24-25九年级上·上海宝山·期末）下列每组的两个图形，是位似图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据位似图形的概念对各选项逐一判断，即可得出答案． 【详解】对应顶点的连线相交于一点的两个相似多边形叫位似图形. 据此可得A. B.C. 三个图形中的两个图形都不是位似图形； 而D.的对应顶点的连线能相交于一点，故是位似图形 故选D. 【点睛】本题考查了位似变换，熟练掌握位似图形的概念是解题的关键. 2．（24-25九年级上·上海杨浦·阶段练习）下列图形，一定相似的是（   ） A．两个直角三角形 B．两个等腰三角形 C．两个正方形 D．两个菱形 【答案】C 【分析】本题考查的是相似图形的概念，掌握对应角相等，对应边的比相等的多边形，叫做相似多边形是解题的关键．根据相似图形的定义，结合图形，对选项一一分析，利用排除法求解． 【详解】解：A.两个直角三角形，不一定有锐角相等，故不一定相似； B.两个等腰三角形顶角不一定相等，故不一定相似； C.两个正方形，角都是，边对应成比例，故相似； D.任意两个菱形的边对应成比例，但对应角不一定相等，故不一定相似； 故选：C． 3．（2025·上海金山·模拟预测）图，以顶点为位似中心放大后得到，若方格纸的边长为，则与的相似比是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是位似变换，掌握位似图形的概念是解题的关键．根据位似图形的概念得到，结合图形解答即可． 【详解】解：以顶点为位似中心放大后得到， ， 方格纸的边长为，则，， 与的相似比是， 故选：C． 4．（24-25九年级上·上海静安·期末）如图，与是位似图形，点是位似中心，若的面积为4，且，则的面积为（    ） A．6 B．8 C．9 D．12 【答案】C 【分析】本题考查了位似变换，掌握位似图形相的面积之比等于位似之比的平方是解题关键． 先说明与位似比，然后再根据位似图形的性质即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵与是位似图形 ∴位似比是 ∴，即， ∵的面积为4， ∴． 故选C． 5．（2025·上海杨浦·模拟预测）在平面直角坐标系中，过点作垂直于轴的直线，过点作垂直于轴的直线．对于点作如下定义：将点关于直线对称得到点，称点为点的“第一次对应点”，再将点关于直线对称得到点，称点为点的“第二次对应点”．如图，顶点坐标为，，．若点和点的“第二次对应点”分别为点和点，且线段与的边有公共点，则满足条件的的整数值有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】C 【分析】本题考查轴对称变化，坐标与图形．根据轴对称变化求出点，，分别求出点在上时，点在点C时，n的值，即可解答． 【详解】解：∵点关于直线对称得到“第一对应点”， 关于直线对称得到“第二对应点”， 点关于直线对称得到“第一对应点”，关于直线对称得到“第二对应点”． ∴当点在上时，，解得， 当点在点C时，，解得， ∵线段与的边有公共点， ∴， ∴整数n的值为1，2，3． 故选：C 6．（24-25九年级上·上海松江·课后作业）如果图形甲与图形乙相似，图形乙与图形丙相似，那么图形甲与图形丙 ． 【答案】相似 【详解】∵图形甲与图形乙相似,图形乙与图形丙相似, ∴图形甲与图形丙相似.故答案为:相似. 7．（24-25九年级上·上海嘉定·期末）如图，在正方形和正方形中，点和点的坐标分别为，，则两个正方形的位似中心的坐标是 . 【答案】或 【分析】根据位似变换中对应点的坐标的变化规律，分两种情况：一种是当点E和C是对应顶点，G和A是对应顶点；另一种是A和E是对应顶点，C和G是对应顶点. 【详解】∵正方形和正方形中，点和点的坐标分别为， ∴ （1）当点E和C是对应顶点，G和A是对应顶点，位似中心就是EC与AG的交点. 设AG所在的直线的解析式为 解得 ∴AG所在的直线的解析式为 当时，，所以EC与AG的交点为 （2）A和E是对应顶点，C和G是对应顶点.，则位似中心就是AE与CG的交点 设AE所在的直线的解析式为 解得 ∴AE所在的直线的解析式为 设CG所在的直线的解析式为 解得 ∴AG所在的直线的解析式为 联立解得 ∴AE与CG的交点为 综上所述，两个正方形的位似中心的坐标是或 故答案为或 【点睛】本题主要考查位似图形，涉及了待定系数法求函数解析，求位似中心，正确分情况讨论是解题的关键. 8．（2025·上海闵行·模拟预测）如图，矩形纸片的长，宽，，分别为，两边的中点，若将这张纸片沿着直线对折，得到的两个矩形与原矩形均相似，则等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似多边形的性质，矩形的性质，熟练掌握相似多边形的性质是解题的关键． 利用相似多边形的性质求解即可． 【详解】解：四边形是矩形， ， ，分别为，两边的中点， ， 两个矩形与原矩形相似， ， ， ， ， ， 故答案为：． 9．（24-25九年级上·上海奉贤·开学考试）如图，和位似，位似比为，位似中心是原点O，B点坐标是，则点D的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了位似变换，直接利用位似图形的性质得出对应点坐标． 【详解】解：∵和位似，位似中心是原点O，和的相似比为，B点坐标是， ∴点D的坐标为：即． 故答案为：． 10．（24-25九年级上·上海普陀·期中）如图，四边形与四边形是位似图形，点O是位似中心，点是线段的中点，则 ． 【答案】/0.25 【分析】本题主要考查了位似图形的性质，掌握位似图形面积比等于相似比的平方成为解题的关键． 由题意可得根据位似图形面积比等于相似比的平方直接求解即可得到答案． 【详解】解：∵点是线段的中点， ∴， ∵四边形与四边形是位似图形， ∴． 故答案为：． 11．（24-25九年级上·上海松江·单元测试）如图所示，指出下列各组图形（①中指两个三角形，③中指两个矩形）是否是位似图形；若是，指出位似中心． 【答案】见解析 【分析】本题考查了位似图形，解题的关键是掌握位似图形的概念．位似图形的概念：如果两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，像这样的两个图形叫做位似图形，这点叫做位似中心． 根据位似图形的概念逐一判断即可． 【详解】图①中两个三角形是位似图形，位似中心是点A； 图②中对应顶点的连线不交于一点，故题图②中的两个图形不是位似图形； 图③中两个矩形是位似图形，位似中心是点P． 12．（24-25九年级上·上海长宁·阶段练习）如图，四边形四边形，求的值和的大小． 【答案】 【分析】本题主要考查相似多边形的性质，根据相似多边形对应角相等，对应边成比例即可求解． 【详解】解：∵四边形四边形， ∴， ∴，， 解得，，，， ∴． 13．（24-25九年级上·上海虹口·期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点坐标分别是O（0，0），A（3，0），B（4，4），C（﹣2，3），将点O，A，B，C的横坐标和纵坐标都分别乘以﹣2． (1)画出以变化后的四个点为顶点的四边形； (2)由（1）得到的四边形与四边形OABC位似吗？如果位似，指出位似中心及与原图形的相似比，如果不位似，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)得到的四边形与四边形OABC位似，位似中心是O（0，0），与原图形的相似比为2． 【分析】（1）按照有理数的乘法算出每个点的横纵坐标即可； （2）位似定义：关键是看两个相似多边形的对应顶点所在的直线是否相交于一点，相交于一点的就是位似图形，交点就是位似中心．根据定义判断即可． 【详解】（1）如图所示，四边形OA′B′C′即为所求四边形； （2）∵将点O，A，B，C的横坐标、纵坐标都乘以﹣2可得出四边形OA′B′C′， ∴各对应边的比为2，对应点的连线都过原点， ∴得到的四边形与四边形OABC位似， 位似中心是O（0，0）， 与原图形的相似比为2． 【点睛】本题考查位似的判定，熟练掌握位似的定义是本题关键． 14．（24-25九年级上·上海松江·期末）新考向新定义在平面直角坐标系中，对于点，记，，将称为点的“横纵偏差”，记作，即，若点在线段上，将的最大值称为线段关于点的“横纵偏差”，记作． (1)点，． ①的值是 ． ②点在轴上，若，求点的坐标． (2)点在轴上，点在点的上方．若点的坐标为，点的坐标为，，求的值． 【答案】(1)①；②或 (2) 【分析】（）①根据新定义解答即可；②设点，由可得，进而得到，解方程求出即可求解； （）由题意可得点的坐标为，设点为线段上任意一点，则，可得，即可得，得到的最大值是，进而即可求解； 本题考查了坐标与图形，理解新定义是解题的关键． 【详解】（1）解：①∵点，， ∴，， ∴， 故答案为：； ②∵点在轴上， ∴设点， ∵， ∴， ∴， 即， ∵， ∴，， ∴， ∴或， 解得或， ∴点的坐标为或； （2）解：∵点在轴上，点在点的上方，点的坐标为，， ∴点的坐标为， 设点为线段上任意一点，则， ∵点的坐标为， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴的最大值是，即的值是． 15．（24-25九年级上·上海崇明·期中）如图在平面直角坐标系中，的位置如图所示，顶点坐标分别为：，，． (1)以原点为位似中心，在轴右侧画出的位似图形，使它与 的相似比是：； (2)在(1)的条件下， 点的坐标为 ， 点是上一点， 点 的对应点的坐标为 ． 【答案】(1)见解析 (2)； 【分析】本题考查了作图—位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或，熟练掌握位似变换的性质是解此题的关键． （1）利用关于以原点为位似中心的对应点的坐标特征，把点的横纵坐标都乘以得到点、、，再顺次连接即可得出答案； （2）根据（1）可得的坐标；利用（1）中得到把点的横纵坐标都乘以得到点的坐标． 【详解】（1）解：如图，即为所求， ； （2）解：点的坐标为；点是线段上一点，则点的对应点的坐标为， 故答案为：，． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 放缩与相似形重难点题型专训 （1个知识点+12大题型+3大拓展训练+自我检测） 题型一 相似多边形 题型二 相似多边形的性质 题型三 相似图形 题型四 位似图形的识别 题型五 判断位似中心 题型六 位似图形相关概念辨析上海松江 题型七 求两个位似图形的相似比 题型八 画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形 题型九 求位似图形的对应坐标 题型十 在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比 题型十一 在坐标系中画位似图形 题型十二 在坐标系中画位似中心 拓展训练一 图形的放缩 拓展训练二 相似图形在几何图形的综合应用 拓展训练三 坐标与图形综合 知识点一： 图形的位似变换 1．位似图形：如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点的连线交于一点，对应边互相平行，那么这两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比。 2．性质：在平面直角体系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形的对应点的坐标的比等于k或-k。 注意： a．位似是一种具有位置关系的相似，所以两个图形是位似图形，必定是相似图形，而相似图形不一定是位似图形； b．两个位似图形的位似中心只有一个； c．两个位似图形可能位于位似中心的两侧，也可能位于位似中心的一侧； d．位似比就是相似比．利用位似图形的定义可判断两个图形是否位似； e．位似图形的对应点和位似中心在同一直线上，它们到位似中心的距离之比等于相似比。位似多边形的对应边平行或共线。位似可以将一个图形放大或缩小。位似图形的中心可以在任意的一点，不过位似图形也会随着位似中心的位变而位变。 f．根据一个位似中心可以作两个关于已知图形一定位似比的位似图形,这两个图形分布在位似中心的两侧,并且关于位似中心对称。 【即时训练】 1．（24-25九年级上·上海宝山·期中）已知矩形中，，下面四个矩形中与矩形相似的是（　　） A．   B．   C．   D．   2．（2025九年级上·上海松江·专题练习）如图，用放大镜将平遥古城旅游图标放大，则放大前后两个图形之间属于图形的 ．（从平移、轴对称、相似、旋转中选） 【经典例题一 相似多边形】 【例1】（24-25九年级上·上海金山·阶段练习）下列说法中，正确的是（    ） A．相似三角形都是全等三角形 B．所有的矩形都相似 C．所有的等腰三角形都相似 D．所有的等腰直角三角形都相似 1．（24-25九年级上·上海嘉定·课后作业）如图，过点的两直线将矩形分成甲、乙、丙、丁四个矩形，其中在上，且，下列对于矩形是否相似的判断，何者正确（ ） A．甲、乙不相似 B．甲、丁不相似 C．丙、乙相似 D．丙、丁相似 2．（24-25九年级上·上海松江·课后作业）矩形ABCD中，，矩形EFGH中，，，这两个矩形 3．（24-25九年级上·上海嘉定·期中）现有大小相同的正方形纸片若干张，小明想用其中的3张拼成一个如图所示的长方形，小芳也想拼一个与它形状相同但比它大的长方形，则她最少要用 张正方形纸片（每个正方形纸片不得剪开）．    4．（24-25九年级上·上海松江·课后作业）如图，左边格点图中有一个四边形，请在右边的格点图中画出一个与该四边形相似的图形，要求大小与左边四边形不同． 【经典例题二 相似多边形的性质】 【例2】（24-25九年级上·上海闵行·阶段练习）如图，四边形四边形，，，，则的度数为（  ） A． B． C． D． 1．（24-25九年级上·上海闵行·阶段练习）如图，一块矩形绸布的长，宽，按照图中的方式将它裁成相同的三面矩形彩旗，如果裁出的每面彩旗与矩形绸布相似，则a的值等于（    ）    A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·上海长宁·期末）若两个相似四边形的相似比是，较小四边形的周长为6，则较大四边形的周长为 ． 3．（2025九年级·上海松江·专题练习）如图所示，长CD与C′D′之间距离为1，宽AD与A′D′之间距离为x，矩形ABCD的长AB＝30，宽BC＝20，x为 时，图中的两个矩形ABCD与A′B′C′D′相似． 4．（24-25九年级上·上海松江·单元测试）在，的矩形花坛四周修筑小路． 如图，如果四周的小路的宽均相等，那么小路四周所围成的矩形和矩形相似吗？请说明理由． 如图，如果相对着的两条小路的宽均相等，试问小路的宽与的比值为多少时，能使小路四周所围成的矩形和矩形相似？请说明理由． 【经典例题三 相似图形】 【例3】（24-25九年级上·上海虹口·期末）下列说法中，不正确的是（    ） A．等边三角形都相似 B．等腰直角三角形都相似 C．矩形都相似 D．正八边形都相似 1．（24-25九年级上·上海松江·单元测试）观察下列每组图形，相似图形是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·上海松江·期末）如图， 与 相似． 3．（2025九年级上·上海松江·专题练习）如图，相似的正方形共有 个，相似的三角形共有 个． 4．（24-25九年级上·上海杨浦·期末）如图1，将A4纸2次折叠，发现第一次的折痕与A4纸较长的边重合，如图2，将1张A4纸对折，使其较长的边一分为二，沿折痕剪开，可得2张A5纸． （1）A4纸较长边与较短边的比为　　； （2）A4纸与A5纸是否为相似图形？请说明理由． 【经典例题四 位似图形的识别】 【例4】（24-25九年级上·上海松江·课后作业）在下列图形中，不是位似图形的是(　　) A． B． C． D． 1．（2025·上海普陀·模拟预测）如图，在外任取一点，连接、、，并分别取它们的中点、、，顺次连接、、得到，则下列说法错误的是（    ）    A．与是位似图形 B．与是相似图形 C．与的周长比是 D．与的面积比是 2．（24-25九年级上·上海嘉定·课后作业）放映电影时，屏幕上的图象和胶片上对应的图形之间的关系： ． 3．（2025九年级上·上海松江·专题练习）如图，以O为位似中心且与ABC位似的图形编号是 ． 4．（24-25九年级上·上海松江·课后作业）如图，四边形ABCD和四边形位似，位似比=2，四边形A′B′C′D′和四边形位似，位似比=1．四边形和四边形ABCD是位似图形吗？位似比是多少？ 【经典例题五 判断位似中心】 【例5】（24-25九年级上·上海宝山·开学考试）把放大为原图形的倍得到，则位似中心可以是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 1．（24-25九年级上·上海杨浦·期末）如图，点是等边三角形的中心，、、分别是、、的中点，则与是位似三角形，此时与的位似比、位似中心分别是（    ） A．2、点 B．、点 C．2、点 D．、点 2．（24-25九年级上·上海奉贤·阶段练习）如图所示的两个三角形是位似图形，它们的位似中心是点 ． 3．（24-25九年级·上海松江·单元测试）已知：如图，A′B′∥AB，A′C′∥AC，AA′的延长线交于BC于点D，△ABC与△A′B′C′是 图形，其中 点是位似中心． 4．（2025九年级上·上海松江·专题练习）用直尺画出下面位似图形的位似中心． 【经典例题六 位似图形相关概念辨析】 【例6】（2025·上海崇明·模拟预测）如图，将图形用放大镜放大，应该属于（    ） A．平移 B．位似 C．旋转 D．对称 1．（24-25九年级上·上海松江·单元测试）和是位似图形，位似中心是点O，下列说法不正确的是（　　） A． B．直线 经过点O C．直线 、和相交于一点 D． 2．（24-25九年级·上海松江·课后作业）下列关于位似图形的说法：①相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形；②位似图形一定有位似中心；③如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么这两个图形是位似图形；④位似图形上任意两点与位似中心的距离之比等于位似比．其中正确的是 ．（只填序号） 3．（2025·上海嘉定·模拟预测）以小正方形的中心为位似中心，以1：3的比例放大得到一个大正方形，从而得到了一个如图所示的飞镖游戏板．若小明同学向该游戏板投掷飞镖一次（假设飞镖落在游戏板上），则镖落在阴影部分的概率是 ．    4．（24-25九年级上·上海松江·单元测试）已知与是位似图形，点A、B、、O共线，点O为位似中心． (1)与平行吗？为什么？ (2)若，，求的长． 【经典例题七 求两个位似图形的相似比】 【例7】（24-25九年级上·上海徐汇·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，以点为位似中心，放大2倍后得到．若的周长为6．则的周长为（    ） A．3 B．6 C．12 D．24 1．（2025·上海闵行·模拟预测）如图，这是物理学中的小孔成像，是物体，遮挡板上的小孔抽象成点，透过小孔在光屏上成的像是倒立放大的实像，和成位似图形，位似中心为点，遮挡板和光屏的水平距离为，，此时，像的长为，为了使像的长度变成的倍，在物体和屏幕位置不变的情况下，可以将遮挡板（   ） A．水平向右移动 B．水平向左移动 C．水平向右移动 D．水平向左移动 2．（24-25九年级上·上海松江·单元测试）△ABC与△A1B1C1是位似图形，它们在位似中心的同侧，其面积比为4∶9，已知位似中心O与A的距离为2，则A到A1的距离为 ． 3．（24-25九年级上·上海静安·期末）如图，六边形ABCDEF与六边形是位似图形，O为位似中心，：：2，则B′C′： ． 4．（24-25九年级上·上海松江·课后作业）如图所示，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O． （1）过点O作OE⊥BC于点E，连接DE交OC于点F，作FG⊥BC于G点，则△ABC与△FGC是位似图形吗？若是，请说出位似中心，并求出位似比；若不是，请说明理由． （2）连接DG交AC于点H，作HI⊥BC于I，试确定的值． 【经典例题八 画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形】 【例8】（24-25九年级上·上海虹口·期末）如图，在的正方形网格中，以点O为位似中心，把放大为原来的2倍，则点B的对应点为（    ） A．点M B．点N C．点P D．点Q 1．（24-25九年级上·上海嘉定·阶段练习）如图，已知线段两个端点的坐标分别为，以原点O为位似中心，在第一象限内将线段缩小为原来的后得到线段，则端点D的坐标为（    ） A． B． C． D．或 2．（24-25九年级·上海松江·单元测试）将一个多边形缩小为原来的，这样的多边形可以画 个，你的理由是 ． 3．（24-25九年级上·上海青浦·期末）如图，E（﹣6，0），F（﹣4，﹣2），以O为位似中心按比例尺1：2把△EFO缩小到第一象限，则点F的对应点F′的坐标为 ． 4．（24-25九年级上·上海普陀·期末）如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的顶点叫做格点，的三个顶点都在格点上． (1)将绕点逆时针旋转，得到，画出； (2)以为位似中心，在位似中心异侧把放大到原来的倍，得到，画出． 【经典例题九 求位似图形的对应坐标】 【例9】（24-25九年级上·上海嘉定·开学考试）已知在直角坐标系中的位置如图所示，如果以原点O为位似中心，位似比为2，在第四象限内将图象放大为，那么点A的对应点的坐标（　　） A． B． C． D． 1．（2025·上海嘉定·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，等边的顶点，，已知与位似，位似中心是原点O，且的面积是面积的16倍，则点A对应点的坐标为（    ）    A． B．或 C． D．或 2．（24-25九年级上·上海普陀·阶段练习）如图，在坐标系中，阴影所示的两个正方形是位似形，则位似中心的坐标为 3．（24-25九年级上·上海青浦·期末）如图所示，在平面直角坐标系中，已知点，，以原点O为位似中心，相似比为2，把△ABO放大，则点A的对应点的坐标是 ． 4．（24-25九年级上·上海虹口·期中）在如图的方格纸中，的顶点坐标分别为，，与是以点为位似中心的位似图形． (1)在图中标出位似中心点的位置并直接写出点的坐标为______，与的相似比为______． (2)的内部一点的坐标为，直接写出点在中的对应点的坐标为______． 【经典例题十 在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比】 【例10】（2025·上海徐汇·模拟预测）《西游记》的故事家喻户晓，特别是书中的孙悟空嫉恶如仇斩妖除魔大快人心．在一次降妖过程中，孙悟空念动咒语将一片树叶放大后射向妖魔．假如这个过程可以看成是在平面直角坐标系中的一次无旋转的变换，设变化前树叶尖部点A坐标为，在咒语中变化后得到对应点为．则变化后树叶的面积变为原来的（    ） A．300倍 B．3000倍 C．9000倍 D．90000倍 1．（24-25九年级上·上海闵行·期末）如图，四边形ABCD和是以点O为位似中心的位似图形，若OA：OA′＝2：3，则四边形ABCD与四边形的面积比为（　　） A．4：9 B．2：5 C．2：7 D．2：3 2．（24-25九年级上·上海闵行·期中）在平面直角坐标系中，将的每一个顶点的横纵坐标均乘以，得到新的，若，则 ． 3．（24-25九年级上·上海静安·阶段练习）如图，四边形与四边形关于点成位似图形．若四边形与四边形的位似比为，则四边形与四边形的周长比为 ． 4．（2025·上海闵行·模拟预测）如图所示的平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，，与关于坐标原点O位似，且相似比为． (1)在x轴下方，画出； (2)直接写出______． 【经典例题十一 在坐标系中画位似图形】 【例11】（24-25九年级上·上海奉贤·期末）如果一个图形上各点的横坐标保持不变，而纵坐标分别都变化为原来的，那么所得的图形与原图形相比(　　) A．形状不变，图形缩小为原来的一半 B．形状不变，图形放大为原来的2倍 C．整个图形被横向压缩为原来的一半　　 D．整个图形被纵向压缩为原来的一半 1．（24-25九年级上·上海杨浦·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点B的坐标为（2，4）．点A在轴的正半轴上，点C在轴的正半轴上，点P是BC的中点．以坐标原点O为位似中心，将矩形OABC放大为原图形的1.5倍，记点P的对应点为P1，则P1的坐标为（    ）    A．（3，3） B．（3，2）或（，） C．（3，3）或（，） D．（2，3）或（，） 2．（2025九年级上·上海松江·专题练习）平面直角坐标系中位似图形的作法： 位似图形与位似中心有两种情况∶①位似图形在位似中心 侧；②位似图形在位似中心 侧．若题中未指明位置关系，应该分两种情况讨论，防止漏解． 3．（24-25九年级上·上海松江·单元测试）如图，△ABC的顶点坐标分别为A（1，3）、B（4，2）、C（2，1）． （1）作出与△ABC关于x轴对称的△A 1B1C1，并写出点A1的坐标； （2）以原点O 为位似中心，在原点的另一侧画出△A2B2C2，使=，并写出点A2的坐标． 4．（24-25九年级上·上海静安·期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，在平面直角坐标系中，的顶点坐标依次为，，．请你以原点为位似中心，在第三象限内画出，使与位似，且与的相似比为，并写出点、的对应点、的坐标． 【经典例题十二 在坐标系中画位似中心】 【例12】（24-25九年级上·上海虹口阶段练习）如图，和是位似图形，则位似中心的坐标是（　　）    A． B． C． D． 1．（24-25九年级上·上海闵行·期末）如图，在直角坐标系中，与是位似图形，各顶点都在格点上，则它们位似中心的坐标是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·上海宝山·期中）如图，与是位似图形，则位似中心为点 ． 3．（2025·上海长宁·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，与关于点P成位似图形，则该位似中心点P的坐标是 ． 4．（2025·上海嘉定·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，位置如图所示． (1)画出向上平移1个单位，再向左平移2个单位后得到的； (2)以原点为位似中心，在轴的右侧画的一个位似，使它与的位似比为； (3)判断和是位似图形吗？若是，请在图中标出位似中心点，并写出点的坐标． 【拓展训练一 图形的放缩】 1．（2025九年级上·上海松江·专题练习）位似图形的作法步骤： ①确定_________ ②分别连接并延长_______和能代表原图的_______； ③根据 ，确定能代表所作的位似图形的关键点； ④ 上述各点，得到放大或缩小的图形． 2．（24-25九年级上·上海松江·期末）如图，已知△ABC顶点的坐标分别为A（2，2），B（8，2），C（6，6），以坐标原点O为位似中心，在第三象限内画一个缩小的△A1B1C1，使得它与△ABC的位似比等于1：2，并写出点A的对应点A1的坐标．    3．（2025九年级上·上海松江·专题练习）如图，已知O是坐标原点，B，C两点的坐标分别为，． (1)若以O点为位似中心在y轴的左侧将缩放，使得相似比为，求作； (2)分别写出B，C两点的对应点，的坐标． 【拓展训练二 相似图形在几何图形的综合应用】 1．（24-25九年级上·上海松江·单元测试）将三角形各边向外平移1个单位并适当延长，得到如图(1)所示的图形，变化前后的两个三角形相似吗？如果把三角形改为正方形、长方形呢？    2．（24-25九年级上·上海闵行·阶段练习）如图，一块长和宽分别为60厘米和40厘米的长方形铁皮，要在它的四角截去四个相等且与原长方形相似的长方形（长宽比原长方形长宽比相等），折成一个无盖的长方体水槽． （1）使它的底面积为1536平方厘米．求截去长方形的两边长． （2）水槽的底面积达到2448平方厘米吗？为什么？ 3．（24-25九年级上·上海长宁·期中）方格图中的每个小方格都是边长为1小正方形，我们把小正方形的顶点称为格点，格点连线为边的四边形称为“格点四边形”，图1中的四边形ABCD就是一个格点四边形. （1）小彬在图2的方格图中画了一个格点四边形EFGH.借助方格图回答：四边形ABCD与四边形EFGH相似吗？若相似，直接写出四边形ABCD与四边形EFGH的相似比；若不相似说明理由； （2）请在图3的方格图中画一个格点四边形，使它与四边形ABCD相似，但与四边形ABCD、四边形EFGH都不全等. 【拓展训练三 坐标与图形综合】 1．（24-25九年级上·上海杨浦·阶段练习）已知点，解答下列各题： (1)若点在轴上，则点的坐标为____________； (2)若点，且轴，求点的坐标； (3)若点在第四象限，且它到轴的距离是到轴的距离的倍，求的平方根． 2．（24-25九年级上·上海普陀·期末）在平面直角坐标系中，为原点，点，，，． (1)如图，三角形的面积为______； (2)如图，将点向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到对应点． ①点的坐标为______； ②求点到直线的距离． 3．（24-25九年级上·上海长宁·期中）如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，点、的坐标分别为、．将先向右平移4个单位后，再向下平移1个单位，得到． (1)请直接写出点的坐标_________，点的坐标_________． (2)请判断与重叠部分的形状，并证明你的结论． (3)点是平面内一动点，是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出满足条件的所有点的坐标；若不存在，请说明理由． 1．（24-25九年级上·上海宝山·期末）下列每组的两个图形，是位似图形的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·上海杨浦·阶段练习）下列图形，一定相似的是（   ） A．两个直角三角形 B．两个等腰三角形 C．两个正方形 D．两个菱形 3．（2025·上海金山·模拟预测）图，以顶点为位似中心放大后得到，若方格纸的边长为，则与的相似比是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·上海静安·期末）如图，与是位似图形，点是位似中心，若的面积为4，且，则的面积为（    ） A．6 B．8 C．9 D．12 5．（2025·上海杨浦·模拟预测）在平面直角坐标系中，过点作垂直于轴的直线，过点作垂直于轴的直线．对于点作如下定义：将点关于直线对称得到点，称点为点的“第一次对应点”，再将点关于直线对称得到点，称点为点的“第二次对应点”．如图，顶点坐标为，，．若点和点的“第二次对应点”分别为点和点，且线段与的边有公共点，则满足条件的的整数值有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 6．（24-25九年级上·上海松江·课后作业）如果图形甲与图形乙相似，图形乙与图形丙相似，那么图形甲与图形丙 ． 7．（24-25九年级上·上海嘉定·期末）如图，在正方形和正方形中，点和点的坐标分别为，，则两个正方形的位似中心的坐标是 . 8．（2025·上海闵行·模拟预测）如图，矩形纸片的长，宽，，分别为，两边的中点，若将这张纸片沿着直线对折，得到的两个矩形与原矩形均相似，则等于 ． 9．（24-25九年级上·上海奉贤·开学考试）如图，和位似，位似比为，位似中心是原点O，B点坐标是，则点D的坐标为 ． 10．（24-25九年级上·上海普陀·期中）如图，四边形与四边形是位似图形，点O是位似中心，点是线段的中点，则 ． 11．（24-25九年级上·上海松江·单元测试）如图所示，指出下列各组图形（①中指两个三角形，③中指两个矩形）是否是位似图形；若是，指出位似中心． 12．（24-25九年级上·上海长宁·阶段练习）如图，四边形四边形，求的值和的大小． 13．（24-25九年级上·上海虹口·期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点坐标分别是O（0，0），A（3，0），B（4，4），C（﹣2，3），将点O，A，B，C的横坐标和纵坐标都分别乘以﹣2． (1)画出以变化后的四个点为顶点的四边形； (2)由（1）得到的四边形与四边形OABC位似吗？如果位似，指出位似中心及与原图形的相似比，如果不位似，请说明理由． 14．（24-25九年级上·上海松江·期末）新考向新定义在平面直角坐标系中，对于点，记，，将称为点的“横纵偏差”，记作，即，若点在线段上，将的最大值称为线段关于点的“横纵偏差”，记作． (1)点，． ①的值是 ． ②点在轴上，若，求点的坐标． (2)点在轴上，点在点的上方．若点的坐标为，点的坐标为，，求的值． 15．（24-25九年级上·上海崇明·期中）如图在平面直角坐标系中，的位置如图所示，顶点坐标分别为：，，． (1)以原点为位似中心，在轴右侧画出的位似图形，使它与 的相似比是：； (2)在(1)的条件下， 点的坐标为 ， 点是上一点， 点 的对应点的坐标为 ． 学科网（北京）股份有限公司 $$