专题01 二次函数的概念重难点题型专训（3个知识点+5大题型+3大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年沪教版（五四制）九年级数学上册重难点专题提升精讲精练

专题01 二次函数的概念重难点题型专训 （3个知识点+5大题型+3大拓展训练+自我检测） 题型一 二次函数的识别 题型二 列二次函数关系式 题型三 由二次函数的定义求参数的值 题型四 根据二次函数的定义求参数的取值 题型五 二次函数的一般形式 拓展训练一 二次函数关系式——销售问题 拓展训练二 二次函数关系式——几何图形 拓展训练三 二次函数关系式——增长率、循环等其他问题 知识点一：函数回顾 （1）函数的概念：在某个变化过程中有两个量x和y，如果在x的允许范围内，变量y随x的变化而变化，它们之间存在确定的依赖关系，那么变量y叫做变量x的函数，x叫自变量，y叫做因变量． （2）正比例函数：一般地，形如 的函数叫做正比例函数，其中叫做比例系数． （3）一次函数：形如，其中、为常数，且． 特殊情况：当时，称为常值函数； 当时，称为正比例函数． 【即时训练】 1．（24-25九年级上·上海虹口·期中）下列是二次函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键； 一般地，形如（a、b、c为常数，）的函数是二次函数，据此可得答案． 【详解】解：A．是一次函数，一次项次数为，不符合二次函数定义，故本选项不符合题意； B．是方程，不是函数形式，故本选项不符合题意； C．符合二次函数的一般式，是二次函数，故本选项符合题意； D．是反比例函数，不符合二次函数定义，故本选项不符合题意； 故选：C． 2．（24-25九年级上·上海杨浦·期中）下列函数①；②；③；④；⑤．其中是二次函数的是 ． 【答案】②④/④② 【分析】根据二次函数的定义，函数式为整式且自变量的最高次数为2，二次项系数不为0，逐一判断． 【详解】解：①为一次函数； ②为二次函数； ③自变量次数为3，不是二次函数； ④为二次函数； ⑤函数式为分式，不是二次函数． 故答案为②④． 【点睛】本题考查二次函数的定义，能够根据二次函数的定义判断函数是否属于二次函数是解决本题的关键． 知识点二：二次函数的定义 二次函数的定义：一般地，如果是常数，，那么叫做的二次函数.它的定义域为一切实数． 【即时训练】 1．（25-26九年级上·上海长宁·阶段练习）二次函数的二次项系数、一次项系数、常数项的和为（　　） A． B．1 C．5 D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了二次函数的定义，关键是注意在找二次项系数，一次项系数和常数项时，不要漏掉符号． 根据二次函数的定义得出二次项系数、一次项系数、常数项，再相加计算即可． 【详解】解：二次函数的二次项系数是2，一次项系数是0，常数项是， ∴二次项系数、一次项系数、常数项的和为， 故选：A． 2．（2025九年级·上海长宁·专题练习）已知二次函数，它的二次项系数为，一次项系数为，常数项为，则为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的概念，正确理解二次函数的概念即可解答． 根据二次函数的解析式得出，，的值，再代入即可． 【详解】解：由题意知，， ∴， 故答案为： ． 知识点三：二次函数注意问题 （1）a、b、c三个系数中，必须保证，否则就不是二次函数了；而b、c两数可以为0，如特殊形式：等． （2）由于二次函数的解析式是整式的形式，所以自变量的取值范围是任意实数． 【即时训练】 1．（24-25九年级上上海虹口·期中）下列关系式中，属于二次函数的是（为自变量）（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义“形如（为常数，）的函数”即可求解． 【详解】解：A、，是二次函数，符合题意； B、，不是二次函数，不符合题意； C、，不是二次函数，不符合题意； D、，当时，不是二次函数，不符合题意； 故选：A ． 2．（24-25九年级上·上海嘉定·期中）若是以x为自变量的二次函数，则 ． 【答案】2 【分析】根据二次函数定义可得：，且，再解即可． 【详解】解：由题意得：，且， 解得：， 故答案为：2． 【点睛】此题主要考查了二次函数定义，关键是掌握形如（a、b、c是常数，）的函数，叫做二次函数． 【经典例题一 二次函数的识别】 【例1】（25-26九年级上·上海杨浦·阶段练习）下列函数中，为二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的识别，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键，一般地，形如（其中、、为常数，且）的函数叫做二次函数．根据二次函数的定义逐一判断即可． 【详解】解：A、中，的指数是，故是一次函数，不是二次函数，此选项不符合题意； B、中，自变量在分母上，故不是二次函数，此选项不符合题意； C、中，的指数是，是整式，故是二次函数，此选项符合题意； D、中，不是整式，故不是二次函数，此选项不符合题意； 故选：C ． 1．（25-26九年级上·上海青浦·阶段练习）下列函数一定是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的定义：一般地，形如的函数（a，b，c是常数，），叫做二次函数．根据二次函数的定义逐个判断即可． 【详解】解：A、不是二次函数，故本选项不符合题意； B、是二次函数，故本选项符合题意； C、分母含有字母，不是二次函数，故本选项不符合题意； D、是一次函数，故本选项不符合题意； 故选：B． 2．（2025九年级上·上海长宁·阶段练习）下列函数一定是二次函数的是 ． ①；②；③；④；⑤y=(x-3)2-x2 【答案】③ 【分析】根据二次函数的定义： 一般地,把形如y=ax²+bx+c(a≠0)(a、b、c是常数)的函数叫做二次函数，据此判断即可． 【详解】解：①，必须满足a≠0才为二次函数，故①不一定是二次函数； ②等号右边为分式，故②不是二次函数； ③是二次函数，故③是二次函数； ④，时，该式不是二次函数； ⑤，该式不是二次函数； 故答案为：③． 【点睛】本题考查了二次函数的识别，熟知二次函数的定义是解本题的关键． 3．（24-25九年级上·上海长宁·课前预习）像y＝－5x²＋100x＋60000，，，函数都是用自变量的 次式表示的． 一般地，若两个自变量x，y之间的对应关系可以表示成 （a，b，c是常数，a≠0）的形式，则称y是x的 函数．其中，x是 ，a为 ，叫做 ；b为 ，bx叫做 ；c为 ． 【答案】 二 二次 自变量 二次项系数 二次项 一次项系数 一次项 常数项 【解析】略 4．（24-25九年级上·上海奉贤·阶段练习）下列函数中，哪些是y关于x的二次函数？ ①；②；③；④． 【答案】①③是y关于x的二次函数． 【分析】本题考查了二次函数的定义，形如、、 为常数， 的函数，叫二次函数，对照函数的解析式，根据函数的定义逐一判断即可． 【详解】解：①是二次函数； ②不是二次函数； ③是二次函数； ④，不是二次函数． 综上所述，①③是y关于x的二次函数． 【经典例题二 列二次函数关系式】 【例2】（24-25九年级上·上海青浦·阶段练习）二次函数的一次项系数是（        ） A．1 B．2 C． D．5 【答案】C 【分析】根据二次函数的定义“一般地，形如（a、b、c是常数，）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项”作答即可． 【详解】解：二次函数的一次项系数是． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了二次函数的定义，关键是注意在找二次项系数，一次项系数和常数项时，不要漏掉符号． 1．（24-25九年级上·上海普陀·阶段练习）在半径为的圆中，挖去一个半径为的圆面，剩下的圆环的面积为，则y与x的函数解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】用半径为的圆的面积减去半径为的圆的面积即可求解． 【详解】解：依题意，， 故选D． 【点睛】本题考查了列函数关系式，掌握圆的面积公式是解题的关键． 2．（24-25九年级上·上海宝山·期中）直径是2的圆，当半径增加x时，面积的增加值s与x之间的函数关系式是 ． 【答案】 【分析】本题考查函数关系式，掌握圆的面积公式是本题的关键． 根据“增加的面积=半径增加后的圆的面积-半径增加前的圆的面积”作答即可． 【详解】解：根据题意，得， 故答案为：． 3．（24-25九年级上·上海松江·阶段练习）相框边的宽窄影响可放入相片的大小．如图，相框长，宽，相框边的宽为，相框内的面积是，则y与x之间的函数关系式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数的实际应用，根据题意列出函数整理并求出的取值范围即可． 【详解】解：根据题意，得 展开得： 整理得： 根据题意，得 解得：． ∴y与x之间的函数关系式为， 故答案为： 4．（24-25九年级上·上海长宁·阶段练习）已知正方体的棱长为，它的表面积为，体积为 (1)分别写出与、与之间的函数表达式； (2)这两个函数中，哪一个是关于的二次函数？ 【答案】(1)， (2)是关于的二次函数 【分析】此题主要考查了正方体的表面积和体积公式以及二次函数的定义，正确记忆二次函数的定义是解题关键． （1）直接利用正方体的表面积和体积公式分别求出即可； （2）利用二次函数的定义得出答案． 【详解】（1）解：正方体的棱长为，它的表面积为，体积为 ，； （2）解：依题意，是关于的二次函数． 【经典例题三 由二次函数的定义求参数的值】 【例3】（25-26九年级上·上海杨浦·阶段练习）二次函数的一次项系数是（    ） A． B．4 C． D．1 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，根据二次函数的相关定义解答即可. 【详解】解：二次函数的一次项系数为. 故选：A 1．（25-26九年级上·上海崇明·阶段练习）已知关于x的二次函数，则m的值是（    ） A． B．1 C． D．0 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，一般地，形如，a、b、c是常数的函数叫做二次函数． 根据二次函数的定义求解即可． 【详解】解：∵是关于x的二次函数， ∴且，解得：． 故选：B． 2．（25-26九年级上·上海嘉定·阶段练习）若是二次函数，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的定义，掌握二次函数的一般式是解题的关键．本题根据二次函数的定义，函数表达式中的指数必须为2，以此进行计算即可． 【详解】解：是二次函数， ，解得． 故答案为：． 3．（25-26九年级上·上海杨浦·阶段练习）若是关于的二次函数，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的定义，准确熟练地进行计算是解题的关键． 根据二次函数的定义可得且，然后进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得：且， 解得：且， ， 故答案为：． 4．（25-26九年级上·上海松江·期中）若二次函数的开口向下，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义可知，，求得的值即可． 【详解】解：二次函数的开口向下， ，， 解得，， ． 【经典例题四 根据二次函数的定义求参数的取值】 【例4】（24-25九年级上·上海杨浦·阶段练习）当函数是二次函数时，a的取值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数定义，利用二次函数定义进行解答即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故选：C． 1．（24-25九年级上·上海松江·阶段练习）若函数是关于x的二次函数，则m的取值为（    ） A． B．2 C．3 D．或2 【答案】D 【分析】根据二次函数的定义，必须二次项系数不等于0，且未知数的次数等于2，据此列不等式组并求解即可． 【详解】解：由二次函数的定义可知，当时，该函数是二次函数， ∴m=-3或m=2， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数的定义，明确二次函数的定义并正确列式，是解题的关键． 2．（24-25九年级上·上海静安·期中）当函数是二次函数时，的取值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的定义，二次函数的定义：形如、、是常数的函数叫做二次函数．根据二次函数的定义解答即可； 【详解】解：由题意得：，即， 故答案为：． 3．（24-25九年级上·上海杨浦·阶段练习）已知函数，其图像是抛物线，则的取值是 ． 【答案】-2 【分析】根据二次函数的定义：形如（a,b,c为常数且a≠0），可得|m|=2且m-2≠0，然后进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得： |m|=2且m-2≠0， 解得：m=±2且m≠2， ∴m=-2， 故答案为：-2． 【点睛】本题考查了二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键． 4．（24-25九年级上·上海虹口·期中）已知函数是关于x的二次函数． 求： (1)满足条件的m值； (2)当m为何值时，抛物线有最低点？求出此最低点，在这种情况下，当x为何值时，y随着x增大而增大？ 【答案】(1)﹣3或2； (2)当时，，该函数的最低点的坐标为，当时，y随x的增大而增大． 【分析】（1）根据函数是关于x的二次函数．可以求得m的值； （2）根据（1）中的结果，可以得到当m为何值时，抛物线有最低点，并求出最低点的坐标，在这种情况下，当x为何值时，y随着x增大而增大 【详解】（1）∵函数是关于x的二次函数， ∴， 解得，， 即m的值是﹣3或2； （2）由（1）知，或2， 故或， ∴当时，该抛物线开口向上，有最低点， 当时，，该函数的最低点的坐标为，当时，y随x的增大而增大． 【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数的定义、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 【经典例题五 二次函数的一般形式】 【例5】（25-26九年级上·上海松江·阶段练习）把二次函数化为一般形式，一次项系数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了二次函数的一般形式，把化为一般形式，即可得到答案． 【详解】解：； 其中二次项系数是、一次项系数是、常数项是4． 故选：D 1．（24-25九年级上·上海金山·阶段练习）将二次函数化为一般形式后，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的一般式，根据整式乘法展开后合并同类项即可． 【详解】， 故选：D． 2．（24-25九年级上·上海嘉定·阶段练习）把y＝(3x-2)(x＋3)化成一般形式后，一次项系数与常数项的和为 ． 【答案】1 【分析】先将其化为一般式，即可求出一次项系数和常数项，从而求出结论． 【详解】解：y＝(3x-2)(x＋3)=3x2＋7x-6 ∴一次项系数为7，常数项为-6 ∴一次项系数与常数项的和为7＋（-6）=1 故答案为：1． 【点睛】此题考查的是二次函数的一般式，掌握二次函数的一般形式是解题关键． 3．（25-26九年级上·上海奉贤·阶段练习）如图，一张正方形纸板的边长为，将它剪去直角三角形（图中阴影部分）．设，四边形的面积为，则y关于x的函数表达式为 （化为一般形式）． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的应用，根据题意表示出，然后用正方形的面积减去四个直角三角形的面积即可． 【详解】解：∵一张正方形纸板的边长为， ∴， 设， ∴， ∴． 故答案为：． 4．（25-26九年级上·上海嘉定·阶段练习）将下列二次函数化为一般形式，并分别指出它的二次项系数、一次项系数和常数项． (1)； (2)． 【答案】(1)，二次项系数为4，一次项系数为0，常数项为1 (2)，二次项系数为，一次项系数为1，常数项为 【分析】本题考查了二次函数的一般形式，即可得到答案． （1）将化为，即可求解； （2）将化为，即可求解. 【详解】（1）解：， 二次项系数为4，一次项系数为0，常数项为1； （2）， 二次项系数为，一次项系数为1，常数项为. 【拓展训练一 二次函数关系式——销售问题】 1．（2025·上海金山·模拟预测）某商店销售一种玩具，经市场调查发现，日销售量y（件）与每件的售价x（元）满足一次函数关系，部分数据如下表： 每件的售价x/元 … 25 28 31 … 日销售量y/件 … 15 12 9 … (1)求y与x之间的函数表达式（不要求写出自变量x的取值范围）； (2)当玩具日销售额为300元时，求每件玩具的售价． 【答案】(1) (2)10元或30元 【分析】本题考查了一次函数解析式的求解，二次函数解析式的求解，解决本题的关键是正确求解出一次函数与二次函数的解析式． （1）先设出一次函数解析式，再根据待定系数法代值求解即可； （2）先表示出日销售额的函数表达式，再令求解x的值即可． 【详解】（1）解：∵日销售量y（件）与每件的售价x（元）满足一次函数关系， ∴设函数表达式为， ∵当时，；当时，； ∴，解得， ∴， ∴y与x之间的函数表达式为； （2）解：由（1）知，， ∴日销售额， ∵玩具日销售额为300元， ∴令，即， 整理可得， 解得，， ∴每件玩具的售价为10元或30元时，日销售额为300元． 2．（24-25九年级上·上海宝山·阶段练习）某食品零售店为食品厂代销一种馒头，未售出的馒头可退回厂家，经统计销售情况发现，当这种馒头的单价定为7角时，每天卖出160个，在此基础上，这种馒头的单价每提高1角时，该零售店每天就会少卖出20个．考虑了所有因素后，该零售店每个馒头的成本是5角．设这种馒头的单价为角，零售店每天销售这种馒头所获得的利润为角． (1)求与之间的函数表达式； (2)当馒头单价定为多少角时，该零售店每天销售这种馒头获得的利润最大？最大利润为多少？ 【答案】(1) (2)当每个馒头单价定为10角时，该零售店每天获得的利润最大．最大利润为角． 【分析】本题考查二次函数的实际应用，二次函数的最值问题，能够根据题意找出等量关系，列出方程是解决此类题目的关键． （1）设每个馒头的利润为角，根据馒头的单价每提高1角时，该零售店每天就会少卖出20个，可知卖出的馒头个数为个；根据：利润=单个馒头利润×卖出馒头数量，可列出关系式； （2）将函数一般式转化为顶点式，求最值即可． 【详解】（1）解：每个馒头的利润为角，卖出的馒头个数为个 ∴， 即． （2）， ∴当时，y的最大值为 ∴当每个馒头单价定为10角时，该零售店每天获得的利润最大．最大利润为角． 3．（24-25九年级上·上海杨浦·期中）荔枝是夏季的时令水果，储存不太方便．某水果店将进价为18元/千克的荔枝，以28元/千克售出时，每天能售出40千克．市场调研表明：当售价每降低1元/千克时，平均每天能多售出10千克．设降价x元． (1)降价后平均每天可以销售荔枝 千克（用含x的代数式表示）． (2)设销售利润为y，请写出y关于x的函数关系式． (3)该水果店想要使荔枝的销售利润平均每天达到480元，且尽可能地减少库存压力，应将价格定为多少元/千克？ 【答案】(1) (2) (3)24元/千克 【分析】（1）根据“当售价每降低1元/千克时，平均每天能多售出10千克”可直接得出结论； （2）利用利润=（售价-成本）×销售量可得出结论； （3）令y=480，求出x的值，再根据题意对x的值进行取舍即可． 【详解】（1）根据题意得，降价后平均每天可以销售荔枝：（40+10x）千克， 故答案为：（40+10x）． （2）根据题意得， 整理得 （3）令，代入函数得， 解方程，得， 因为要尽可能地清空库存，所以舍去取 此时荔枝定价为（元/千克） 答：应将价格定为24元/千克． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，列函数关系式，列代数式，根据题意列出函数关系式是解题的关键． 【拓展训练二 二次函数关系式——几何图形】 1．（24-25九年级上·上海徐汇·阶段练习）如图，点、分别是正方形的边、上两点，且，． (1)设，的面积为，求关于的函数关系式； (2)当取何值时，的面积最大？求出此时的面积． 【答案】(1) (2)当时，最大，即的面积最大，此时的面积是 【分析】本题主要考查了二次函数的最值，正方形的性质，三角形的面积，正确求得函数的解析式是解题的关键． （1）根据正方形的性质可得，，，从而得到，即可求解； （2）把函数关系式化为顶点式，即可求解． 【详解】（1）解：四边形是正方形， ，， ，， ， ， ， ， 即． （2）， 当时，最大，即的面积最大，此时的面积是． 2．（24-25九年级上·上海虹口·阶段练习）某小区要在一块一边靠墙（墙长）的空地上修建一个矩形花园，花园的一边靠墙，另三边用总长的栅栏围成（如图所示）．若设花园的边长为，花园的面积为． (1)求y与x之间的函数解析式，并写出自变量x的取值范围； (2)当x是多少时，矩形花园的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】(1) (2)当时，矩形场地面积有最大值，为平方米． 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，根据题意正确列出函数关系式是解题关键． （1）设花园的边长为x米，则花园的的边长为米，根据题意列式，即可得到答案； （2）将二次函数化为顶点式，得到当时，随的增大而减小，再根据自变量x的取值范围，即可得到最大值． 【详解】（1）解：设花园的边长为x米，则花园的的边长为米， 由题意得：， 墙长15米， ， 解得：， y与x之间的函数关系式为； （2）解：， ， 当时，随的增大而减小， 当时，矩形场地面积有最大值，为平方米． 3．（2025·上海长宁·模拟预测）如图，用长为24米的篱笆围成一面靠墙（足够长）的矩形菜地，中间用篱笆分隔为两个小矩形（平行于墙面方向分隔）： (1)设垂直于墙的边长为x米，求菜地总面积S与x的函数关系式； (2)结合二次函数性质，求S的最大值； (3)（变式）若分隔篱笆长度为x米，其他条件不变，重新建立S与x的关系式，并分析最值变化． 【答案】(1) (2)36平方米 (3)，最大面积没有发生变化 【分析】本题主要考查了列函数关系式、二次函数的面积问题、配方法的应用等知识点，掌握数形结合思路并灵活运用相关知识是解题的关键． （1）设垂直于墙的边长为x米，则菜地的平行于墙的边的长为，即；再根据长方形的面积公式即可解答； （2）直接运用配方法求最值即可； （3）若分隔篱笆长度为x米，则垂直于墙的边长为，即米，，然后根据题意列出函数关系式并求最值，然后再比较即可． 【详解】（1）解：由垂直于围墙的边长为x米， 则平行于围墙的边长为，即米， 所以菜地面积S与x的函数关系式为：，即． （2）解：∵，， ∴当时，菜地的最大面积为36平方米． （3）解：若分隔篱笆长度为x米， 则垂直于围墙的边长为，即米，， 所以菜地面积S与x的函数关系式为，即． 所以当时，菜地的最大面积为36平方米，最大面积没有发生变化． 【拓展训练三 二次函数关系式——增长率、循环等其他问题】 1．（24-25九年级上·上海嘉定·期中）近年来国家倡导“电动车，上牌照，保安全，戴头盔”，要求骑行、乘坐摩托车、电动车需要佩戴头盔，戴头盔对保护乘坐电动车的未成年人的安全尤为重要，某头盔专卖店购进一批单价为36元的头盔，在销售中，通过分析销售情况发现这种头盔的月销售量y（个）与售价（元/个）满足函数关系． (1)设专卖店月销售利润为元，求与之间的函数解析式； (2)求该专卖店月销售利润的最大值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查二次函数的应用，根据“总利润单个利润销售数量”得出关于的解析式是解题关键． （1）根据“月销售利润(售价成本)月销售量”即可求解； （2）将（1）中所得解析式利用配方法配方， 再结合二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：设专卖店月销售利润为元，则 ． （2）解：由知 ， ∴当时，取得最大值，最大值为， ∴该专卖店月销售利润的最大值． 2．（2025·上海长宁·模拟预测）某企业准备对A，B两个生产性项目进行投资，根据其生产成本、销售情况等因素进行分析得知：投资A项目一年后的收益（万元）与投入资金x（万元）的函数表达式为：，投资B项目一年后的收益（万元）与投入资金x（万元）的函数表达式为：． (1)若将10万元资金投入A项目，一年后获得的收益是多少？ (2)若对A，B两个项目投入相同的资金m（）万元，一年后两者获得的收益相等，则m的值是多少？ (3)2023年，我国对小微企业施行所得税优惠政策．该企业将根据此政策获得的减免税款及其他结余资金共计32万元，全部投入到A，B两个项目中，当A，B两个项目分别投入多少万元时，一年后获得的收益之和最大？最大值是多少万元？ 【答案】(1)4万元 (2) (3)当A，B两个项目分别投入28万，4万元时，一年后获得的收益之和最大，最大值是16万元． 【分析】（1）把代入可得答案； （2）当时，可得，再解方程可得答案； （3）设投入到B项目的资金为万元，则投入到A项目的资金为万元，设总收益为y万元，，而，再利用二次函数的性质可得答案． 【详解】（1）解：∵投资A项目一年后的收益（万元）与投入资金x（万元）的函数表达式为：， 当时，（万元）； （2）∵对A，B两个项目投入相同的资金m（）万元，一年后两者获得的收益相等， ∴， 整理得：， 解得：，（不符合题意）， ∴m的值为8． （3） 设投入到B项目的资金为万元，则投入到A项目的资金为万元，设总收益为y万元， ∴ ， 而， ∴当时，（万元）； ∴当A，B两个项目分别投入28万，4万元时，一年后获得的收益之和最大，最大值是16万元． 【点睛】本题考查的是正比例函数的性质，一元二次方程的解法，列二次函数的解析式，二次函数的性质，理解题意，选择合适的方法解题是关键． 3．（24-25九年级上·上海长宁·课后作业）（1）你知道下面每一个图形中各有多少个小圆圈吗？第5个图形中应该有多少个小圆圈？为什么？ （2）完成下表： 边上的小圆圈数 1 2 3 4 5 每个图中小圆圈的总数 （3）如果用n表示六边形边上的小圆圈数，m表示这个六边形中小圆圈的总数，那么m和n的关系是什么？ 【答案】（1）第1个图形：1个；第2个图形：7个；第3个图形：19个；第4个图形：37个；第5个图形：61个，理由见解析；（2）1，7，19，37，61；（3） 【分析】（1）首先，观查每个图形的特点，算出每一个图形中的小圆圈数，据此推过推算即可得到第5个图中小圆圈的个数； （2）直接将（1）算出的结果填入下列表格即可； （3）接下来通过对表格进行分析，即可得到每一个图形的小圆圈数与该图形一条边上的小圆圈数之间的关系． 【详解】（1）观查每个图形的特点，就可以算出第1个图形的小圆圈有1个， 第2个图形的小圆圈有2+3+2=7个， 第3个图形的小圆圈有3+4+5+4+3=19个， 第4个图形的小圆圈有4+5+6+7+6+5+4=37个， 由此可推知第5个图形的小圆圈有5+6+7+8+9+8+7+6+5=61个； （2）将（1）算出的结果填入下列表格，如下表所示， 边上的小圆圈数 1 2 3 4 5 每个图中小圆圈的总数 1 7 19 37 61 （3）结合（1）（2）可知，与之间的函数关系为： 首尾相加得 ． 【点睛】本题主要考查根据图形和数字寻找规律的知识.解决此类找规律的题目一般从特殊的数据入手，根据前后式子之间的异同推断出规律，再利用发现的规律解决相关问题． 1．（2025九年级·上海长宁·专题练习）下列函数中，二次函数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的定义，理解二次函数的定义是解题的关键； 根据二次函数的定义，形如的函数是二次函数，进行判断． 【详解】解：二次函数需满足， A、含根号，不是二次函数，不符合题意； B、未说明故不一定为二次函数，不符合题意； C、，为一次函数，不符合题意； D：是二次函数，符合题意； 故选：D． 2．（25-26九年级上·上海松江·阶段练习）下列函数：①；②；③；④；⑤．其中，二次函数的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的定义：形如（、、是常数，）是二次函数．直接利用二次函数的定义分别分析得出答案． 【详解】解：：①为一次函数，不是二次函数； ②，是二次函数； ③，最高次数为3，不是二次函数； ④，含有分式，不是二次函数； ⑤，可能为0，不一定是二次函数； ∴只有②是二次函数，个数为1， 故选：A． 3．（25-26九年级上·上海静安·阶段练习）若是关于的二次函数，则的值是（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【点睛】本题考查对二次函数的定义的理解，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键． 根据二次函数的定义：形如（a，b，c为常数且）可得且，然后进行计算即可得到答案． 【详解】解：由题意得， 解得， ∵， ． 故选：C． 4．（25-26九年级上·上海宝山·阶段练习）某商品的进货单价为元个，当销售单价为元个时，每天能卖出个，若销售单价每上涨元个，则每天的销量就减少个．设该商品的销售单价为元个，每天的利润为元，则与之间的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查销售问题的数量关系，根据利润（售价进价）销量列函数关系式即可． 【详解】解：设该商品的销售单价为元个， 则每个某商品的利润为：元，销量为：， 则每天的利润， 故选：D． 5．（24-25九年级上·上海静安·阶段练习）如图，四边形中，，，是上的动点（不与点B、C重合），，随着点的运动，的长度也随之变化，已知，，设，，则关于的函数图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查的是动点问题的函数图象，根据题意列出函数的关系式是解题的关键．先证明，得出，根据相似三角形的性质得出，代入得出，整理式子即可得出，这是一个二次函数，二次项系数，图象开口向下，即可得出答案． 【详解】解：∵ ，，， ∴， ∴， 在 中，， ∴ ， ∴， ∴， ∵，，设， ∴， 设 ， ∴， 整理得：， 这是一个二次函数，二次项系数，图象开口向下， 故选：B 6．（2025九年级上·上海普陀·专题练习）有下列函数：①；②；③；④．其中y是x的二次函数有 ．（填序号） 【答案】②③④ 【分析】根据二次函数定义：形如（a、b、c是常数，）的函数，叫做二次函数进行分析即可． 【详解】解：y是x的二次函数的是②；③；④． 故答案为：②③④． 【点睛】此题主要考查了二次函数定义，判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件． 7．（25-26九年级上·上海松江·期中）若是关于x的二次函数，则m 的值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查二次函数的定义：一般地，形如（a，b，c为常数，且）的函数是二次函数．根据二次函数的定义求解即可． 【详解】解：∵是关于x的二次函数， ∴，， ∴． 故答案为：2． 8．（25-26九年级上·上海杨浦·阶段练习）某超市销售一种饮料，每瓶进价为4元．经市场调查表明，当售价为每瓶6元时，日均销售量为400瓶，若每瓶售价每增加4元．日均销售量减少．设每瓶售价为元，则日均毛利润为 【答案】 【分析】本题主要考查了列二次函数解析式，正确理解题意得出对应的函数关系式是解题的关键．设每瓶的售价为元，日均毛利润为元，根据列出w关于x的函数关系式即可． 【详解】解：设每瓶的售价为元，日均毛利润为元，由题意得； ， 故答案为：． 9．（25-26九年级上·上海杨浦·阶段练习）某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该商品在不超过进价的情况下可以自行定价．若每件商品售价为x元，可卖出件商品，则商店所得利润y（元）与售价x（元）的函数关系式是 ，自变量x的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是列二次函数关系式，掌握“总利润等于每件商品的利润乘以销售的数量”是解题的关键．由题意分析出每件商品的盈利为：元，再根据：总利润等于每件商品的利润乘以销售的数量，再化简，进一步求解的范围即可． 【详解】解：由题意得：每件商品的盈利为：元， 所以： ， ∵且， ∴． 故答案为：， 10．（24-25九年级上·上海松江·期中）如图，矩形绿地的长和宽分别为和．若将该绿地的长、宽各增加，扩充后的绿地的面积为，则y与x之间的函数关系是 ．（填“正比例函数关系”、“一次函数关系”或“二次函数关系”） 【答案】二次函数关系 【分析】根据矩形面积公式求出y与x之间的函数关系式即可得到答案． 【详解】解：由题意得， ∴y与x之间的函数关系是二次函数关系， 故答案为；二次函数关系． 【点睛】本题主要考查了列函数关系式和二次函数的定义，正确列出y与x之间的函数关系式是解题的关键． 11．（24-25九年级·上海·阶段练习）下列函数中（x，t为自变量），哪些是二次函数？如果是二次函数，请指出二次项、一次项系数及常数项． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)是，二次项是、一次项系数是、常数项是； (2)不是； (3)是，二次项是、一次项系数是、常数项是； (4)不是 【分析】根据二次函数的概念求解即可． 【详解】（1）是二次函数，二次项是、一次项系数是、常数项是； （2），不含二次项，故不是二次函数； （3）是二次函数，二次项是、一次项系数是、常数项是； （4）中不是整式，故不是二次函数． 【点睛】本题考查二次函数的概念，二次项系数、一次项系数、常数项的概念，解题的关键是掌握以上知识点．形如（）的函数叫做二次函数，其中叫做二次项、叫做一次项系数、是常数项． 12．（24-25九年级上·上海宝山·阶段练习）已知二次函数． (1)将该函数表达式化为二次函数的一般形式； (2)写出该二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项． 【答案】(1) (2)二次项系数是，一次项系数是，常数项是4． 【分析】本题考查了二次函数的一般形式和二次项、一次项系数及常数项的定义，熟练掌握以上知识点是解题的关键．把方程化为二次函数的一般形式，根据定义即可得到答案． 【详解】（1）解： 该二次函数的一般形式是； （2）解：由（1）可得，该函数的二次项系数是，一次项系数是，常数项是4． 13．（25-26九年级上·上海长宁·阶段练习）已知为二次函数； (1)求值； (2)当为何值时，图像顶点在轴上． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，二次函数的图像与性质，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． （1）一般地，形如（其中a、b、c是常数且）的函数叫做二次函数，据此可得，解之即可得到答案； （2）根据（1）所求可得函数解析式为，利用顶点坐标公式求出顶点的纵坐标，再根据在x轴上的点的纵坐标为0建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵为二次函数， ∴， ∴； （2）解：由（1）得函数解析式为， ∴顶点的纵坐标为， ∵图像顶点在轴上， ∴， 解得． 14．（24-25九年级上·上海长宁·阶段练习）设圆柱的高为，底面半径为，底面周长为，圆柱的体积为． (1)分别写出关于、关于、关于的函数关系式； (2)这三个函数中，哪些是二次函数？ 【答案】(1)、、 (2)关于的关系式是二次函数，关于的关系式是二次函数． 【分析】本题考查了二次函数的定义．解题的关键是熟悉圆的面积公式、周长公式以及圆柱的体积公式． （1）根据圆的周长公式和圆柱的体积公式来列函数关系式； （2）根据二次函数的定义进行解答． 【详解】（1）解： 圆柱的底面半径为，底面周长为， ； 又圆柱的高为，底面半径为，圆柱的体积为， ． 设圆柱的高为，底面周长为，圆柱的体积为， ． 综上所述，关于、关于、关于的函数关系式分别是：、、． （2）解：根据二次函数的定义知，关于的关系式是二次函数，关于的关系式是二次函数． 15．（24-25九年级上·上海金山·阶段练习）已知函数是关于x的二次函数．求： (1)满足条件的m的值； (2)当x为何值时，y随x的增大而增大？ 【答案】(1) (2)当时，y随x的增大而增大 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质． （1）根据二次函数的定义进行解答即可； （2）求出二次函数的解析式和对称轴，根据二次函数的增减性进行解答即可． 【详解】（1）解：∵函数是关于x的二次函数， ∴且； 解得； （2）解：由（1）知， ∴该抛物线对称轴为直线，且开口向上 ∴当时，y随x的增大而增大． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 二次函数的概念重难点题型专训 （3个知识点+5大题型+3大拓展训练+自我检测） 题型一 二次函数的识别 题型二 列二次函数关系式 题型三 由二次函数的定义求参数的值 题型四 根据二次函数的定义求参数的取值 题型五 二次函数的一般形式 拓展训练一 二次函数关系式——销售问题 拓展训练二 二次函数关系式——几何图形 拓展训练三 二次函数关系式——增长率、循环等其他问题 知识点一：函数回顾 （1）函数的概念：在某个变化过程中有两个量x和y，如果在x的允许范围内，变量y随x的变化而变化，它们之间存在确定的依赖关系，那么变量y叫做变量x的函数，x叫自变量，y叫做因变量． （2）正比例函数：一般地，形如 的函数叫做正比例函数，其中叫做比例系数． （3）一次函数：形如，其中、为常数，且． 特殊情况：当时，称为常值函数； 当时，称为正比例函数． 【即时训练】 1．（24-25九年级上·上海虹口·期中）下列是二次函数的是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·上海杨浦·期中）下列函数①；②；③；④；⑤．其中是二次函数的是 ． 知识点二：二次函数的定义 二次函数的定义：一般地，如果是常数，，那么叫做的二次函数.它的定义域为一切实数． 【即时训练】 1．（25-26九年级上·上海长宁·阶段练习）二次函数的二次项系数、一次项系数、常数项的和为（　　） A． B．1 C．5 D． 2．（2025九年级·上海长宁·专题练习）已知二次函数，它的二次项系数为，一次项系数为，常数项为，则为 ． 知识点三：二次函数注意问题 （1）a、b、c三个系数中，必须保证，否则就不是二次函数了；而b、c两数可以为0，如特殊形式：等． （2）由于二次函数的解析式是整式的形式，所以自变量的取值范围是任意实数． 【即时训练】 1．（24-25九年级上上海虹口·期中）下列关系式中，属于二次函数的是（为自变量）（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·上海嘉定·期中）若是以x为自变量的二次函数，则 ． 【经典例题一 二次函数的识别】 【例1】（25-26九年级上·上海杨浦·阶段练习）下列函数中，为二次函数的是（   ） A． B． C． D． 1．（25-26九年级上·上海青浦·阶段练习）下列函数一定是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 2．（2025九年级上·上海长宁·阶段练习）下列函数一定是二次函数的是 ． ①；②；③；④；⑤y=(x-3)2-x2 3．（24-25九年级上·上海长宁·课前预习）像y＝－5x²＋100x＋60000，，，函数都是用自变量的 次式表示的． 一般地，若两个自变量x，y之间的对应关系可以表示成 （a，b，c是常数，a≠0）的形式，则称y是x的 函数．其中，x是 ，a为 ，叫做 ；b为 ，bx叫做 ；c为 ． 4．（24-25九年级上·上海奉贤·阶段练习）下列函数中，哪些是y关于x的二次函数？ ①；②；③；④． 【经典例题二 列二次函数关系式】 【例2】（24-25九年级上·上海青浦·阶段练习）二次函数的一次项系数是（        ） A．1 B．2 C． D．5 1．（24-25九年级上·上海普陀·阶段练习）在半径为的圆中，挖去一个半径为的圆面，剩下的圆环的面积为，则y与x的函数解析式为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·上海宝山·期中）直径是2的圆，当半径增加x时，面积的增加值s与x之间的函数关系式是 ． 3．（24-25九年级上·上海松江·阶段练习）相框边的宽窄影响可放入相片的大小．如图，相框长，宽，相框边的宽为，相框内的面积是，则y与x之间的函数关系式为 ． 4．（24-25九年级上·上海长宁·阶段练习）已知正方体的棱长为，它的表面积为，体积为 (1)分别写出与、与之间的函数表达式； (2)这两个函数中，哪一个是关于的二次函数？ 【经典例题三 由二次函数的定义求参数的值】 【例3】（25-26九年级上·上海杨浦·阶段练习）二次函数的一次项系数是（    ） A． B．4 C． D．1 1．（25-26九年级上·上海崇明·阶段练习）已知关于x的二次函数，则m的值是（    ） A． B．1 C． D．0 2．（25-26九年级上·上海嘉定·阶段练习）若是二次函数，则的值为 ． 3．（25-26九年级上·上海杨浦·阶段练习）若是关于的二次函数，则的值为 ． 4．（25-26九年级上·上海松江·期中）若二次函数的开口向下，求的值． 【经典例题四 根据二次函数的定义求参数的取值】 【例4】（24-25九年级上·上海杨浦·阶段练习）当函数是二次函数时，a的取值为（    ） A． B． C． D． 1．（24-25九年级上·上海松江·阶段练习）若函数是关于x的二次函数，则m的取值为（    ） A． B．2 C．3 D．或2 2．（24-25九年级上·上海静安·期中）当函数是二次函数时，的取值为 ． 3．（24-25九年级上·上海杨浦·阶段练习）已知函数，其图像是抛物线，则的取值是 ． 4．（24-25九年级上·上海虹口·期中）已知函数是关于x的二次函数． 求： (1)满足条件的m值； (2)当m为何值时，抛物线有最低点？求出此最低点，在这种情况下，当x为何值时，y随着x增大而增大？ 【经典例题五 二次函数的一般形式】 【例5】（25-26九年级上·上海松江·阶段练习）把二次函数化为一般形式，一次项系数为（    ） A． B． C． D． 1．（24-25九年级上·上海金山·阶段练习）将二次函数化为一般形式后，正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·上海嘉定·阶段练习）把y＝(3x-2)(x＋3)化成一般形式后，一次项系数与常数项的和为 ． 3．（25-26九年级上·上海奉贤·阶段练习）如图，一张正方形纸板的边长为，将它剪去直角三角形（图中阴影部分）．设，四边形的面积为，则y关于x的函数表达式为 （化为一般形式）． 4．（25-26九年级上·上海嘉定·阶段练习）将下列二次函数化为一般形式，并分别指出它的二次项系数、一次项系数和常数项． (1)； (2)． 【拓展训练一 二次函数关系式——销售问题】 1．（2025·上海金山·模拟预测）某商店销售一种玩具，经市场调查发现，日销售量y（件）与每件的售价x（元）满足一次函数关系，部分数据如下表： 每件的售价x/元 … 25 28 31 … 日销售量y/件 … 15 12 9 … (1)求y与x之间的函数表达式（不要求写出自变量x的取值范围）； (2)当玩具日销售额为300元时，求每件玩具的售价． 2．（24-25九年级上·上海宝山·阶段练习）某食品零售店为食品厂代销一种馒头，未售出的馒头可退回厂家，经统计销售情况发现，当这种馒头的单价定为7角时，每天卖出160个，在此基础上，这种馒头的单价每提高1角时，该零售店每天就会少卖出20个．考虑了所有因素后，该零售店每个馒头的成本是5角．设这种馒头的单价为角，零售店每天销售这种馒头所获得的利润为角． (1)求与之间的函数表达式； (2)当馒头单价定为多少角时，该零售店每天销售这种馒头获得的利润最大？最大利润为多少？ 3．（24-25九年级上·上海杨浦·期中）荔枝是夏季的时令水果，储存不太方便．某水果店将进价为18元/千克的荔枝，以28元/千克售出时，每天能售出40千克．市场调研表明：当售价每降低1元/千克时，平均每天能多售出10千克．设降价x元． (1)降价后平均每天可以销售荔枝 千克（用含x的代数式表示）． (2)设销售利润为y，请写出y关于x的函数关系式． (3)该水果店想要使荔枝的销售利润平均每天达到480元，且尽可能地减少库存压力，应将价格定为多少元/千克？ 【拓展训练二 二次函数关系式——几何图形】 1．（24-25九年级上·上海徐汇·阶段练习）如图，点、分别是正方形的边、上两点，且，． (1)设，的面积为，求关于的函数关系式； (2)当取何值时，的面积最大？求出此时的面积． 2．（24-25九年级上·上海虹口·阶段练习）某小区要在一块一边靠墙（墙长）的空地上修建一个矩形花园，花园的一边靠墙，另三边用总长的栅栏围成（如图所示）．若设花园的边长为，花园的面积为． (1)求y与x之间的函数解析式，并写出自变量x的取值范围； (2)当x是多少时，矩形花园的面积最大？最大面积是多少？ 3．（2025·上海长宁·模拟预测）如图，用长为24米的篱笆围成一面靠墙（足够长）的矩形菜地，中间用篱笆分隔为两个小矩形（平行于墙面方向分隔）： (1)设垂直于墙的边长为x米，求菜地总面积S与x的函数关系式； (2)结合二次函数性质，求S的最大值； (3)（变式）若分隔篱笆长度为x米，其他条件不变，重新建立S与x的关系式，并分析最值变化． 【拓展训练三 二次函数关系式——增长率、循环等其他问题】 1．（24-25九年级上·上海嘉定·期中）近年来国家倡导“电动车，上牌照，保安全，戴头盔”，要求骑行、乘坐摩托车、电动车需要佩戴头盔，戴头盔对保护乘坐电动车的未成年人的安全尤为重要，某头盔专卖店购进一批单价为36元的头盔，在销售中，通过分析销售情况发现这种头盔的月销售量y（个）与售价（元/个）满足函数关系． (1)设专卖店月销售利润为元，求与之间的函数解析式； (2)求该专卖店月销售利润的最大值． 2．（2025·上海长宁·模拟预测）某企业准备对A，B两个生产性项目进行投资，根据其生产成本、销售情况等因素进行分析得知：投资A项目一年后的收益（万元）与投入资金x（万元）的函数表达式为：，投资B项目一年后的收益（万元）与投入资金x（万元）的函数表达式为：． (1)若将10万元资金投入A项目，一年后获得的收益是多少？ (2)若对A，B两个项目投入相同的资金m（）万元，一年后两者获得的收益相等，则m的值是多少？ (3)2023年，我国对小微企业施行所得税优惠政策．该企业将根据此政策获得的减免税款及其他结余资金共计32万元，全部投入到A，B两个项目中，当A，B两个项目分别投入多少万元时，一年后获得的收益之和最大？最大值是多少万元？ 3．（24-25九年级上·上海长宁·课后作业）（1）你知道下面每一个图形中各有多少个小圆圈吗？第5个图形中应该有多少个小圆圈？为什么？ （2）完成下表： 边上的小圆圈数 1 2 3 4 5 每个图中小圆圈的总数 （3）如果用n表示六边形边上的小圆圈数，m表示这个六边形中小圆圈的总数，那么m和n的关系是什么？ 1．（2025九年级·上海长宁·专题练习）下列函数中，二次函数是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·上海松江·阶段练习）下列函数：①；②；③；④；⑤．其中，二次函数的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（25-26九年级上·上海静安·阶段练习）若是关于的二次函数，则的值是（    ） A． B． C． D．或 4．（25-26九年级上·上海宝山·阶段练习）某商品的进货单价为元个，当销售单价为元个时，每天能卖出个，若销售单价每上涨元个，则每天的销量就减少个．设该商品的销售单价为元个，每天的利润为元，则与之间的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·上海静安·阶段练习）如图，四边形中，，，是上的动点（不与点B、C重合），，随着点的运动，的长度也随之变化，已知，，设，，则关于的函数图象大致是（    ） A． B． C． D． 6．（2025九年级上·上海普陀·专题练习）有下列函数：①；②；③；④．其中y是x的二次函数有 ．（填序号） 7．（25-26九年级上·上海松江·期中）若是关于x的二次函数，则m 的值为 ． 8．（25-26九年级上·上海杨浦·阶段练习）某超市销售一种饮料，每瓶进价为4元．经市场调查表明，当售价为每瓶6元时，日均销售量为400瓶，若每瓶售价每增加4元．日均销售量减少．设每瓶售价为元，则日均毛利润为 9．（25-26九年级上·上海杨浦·阶段练习）某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该商品在不超过进价的情况下可以自行定价．若每件商品售价为x元，可卖出件商品，则商店所得利润y（元）与售价x（元）的函数关系式是 ，自变量x的取值范围为 ． 10．（24-25九年级上·上海松江·期中）如图，矩形绿地的长和宽分别为和．若将该绿地的长、宽各增加，扩充后的绿地的面积为，则y与x之间的函数关系是 ．（填“正比例函数关系”、“一次函数关系”或“二次函数关系”） 11．（24-25九年级·上海·阶段练习）下列函数中（x，t为自变量），哪些是二次函数？如果是二次函数，请指出二次项、一次项系数及常数项． (1)； (2)； (3)； (4)． 12．（24-25九年级上·上海宝山·阶段练习）已知二次函数． (1)将该函数表达式化为二次函数的一般形式； (2)写出该二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项． 13．（25-26九年级上·上海长宁·阶段练习）已知为二次函数； (1)求值； (2)当为何值时，图像顶点在轴上． 14．（24-25九年级上·上海长宁·阶段练习）设圆柱的高为，底面半径为，底面周长为，圆柱的体积为． (1)分别写出关于、关于、关于的函数关系式； (2)这三个函数中，哪些是二次函数？ 15．（24-25九年级上·上海金山·阶段练习）已知函数是关于x的二次函数．求： (1)满足条件的m的值； (2)当x为何值时，y随x的增大而增大？ 学科网（北京）股份有限公司 $