专题04 相似三角形的性质重难点题型专训（1个知识点+8大题型+4大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年九年级数学上册重难点专题提升精讲精练（沪教版）

专题04 相似三角形的性质重难点题型专训 （1个知识点+8大题型+4大拓展训练+自我检测） 题型一 利用相似三角形的性质求解 题型二 重心的有关性质 题型三 证明三角形的对应线段成比例 题型四 利用相似求坐标 题型五 在网格中画与已知三角形相似的三角形 题型六 相似三角形——动点问题 题型七 相似三角形实际应用 题型八 相似三角形的判定与性质综合 拓展训练一 运用相似三角形的性质解决动点问题 拓展训练二 运用相似三角形的性质解决最值问题 拓展训练三 相似三角形中折叠问题 拓展训练四 相似三角形的综合问题 知识点一：相似三角形的性质 性质1 相似三角形的对应边成比例，对应角相等。 性质2 相似三角形的周长比等于相似比。 ∽，则 由比例性质可得： 类似地，我们还可以得到：相似多边形周长的比等于相似比。 性质3 相似三角形的面积比等于相似比的平方。 ∽，则分别作出与的高和，则 要点诠释：相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的。 如果把两个相似多边形分成若干个相似的三角形，我们还可以得到： 相似多边形面积的比等于相似比的平方。 性质4 相似三角形的对应高的比、对应中线的比、对应角平分线之比等于相似比。 要点诠释：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段。 【即时训练】 1．（24-25九年级上·上海杨浦·阶段练习）两个相似三角形的周长比是：，则这两个三角形的相似比是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查相似三角形的性质，难度容易．掌握相似多边形的相似比等于周长比是关键．根据相似三角形的相似比即为相似三角形的周长比即可解答． 【详解】解：三角形的周长比为，则相似比． 故选：A． 2．（2025·上海松江·模拟预测）如图，已知，且，若，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，相似三角形的面积之比等于相似比的平方，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 【经典例题一 利用相似三角形的性质求解】 【例1】（24-25九年级上·上海杨浦·期末）如图，已知，点，，在同一条直线上，点在边上．若，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的性质，由，则，然后代入求解即可，掌握相似三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 故选：． 1．（24-25九年级上·上海青浦·阶段练习）如图，点，，分别是三边上的中点，若的面积为12，则的面积为（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】A 【分析】本题考查的是相似三角形的判定和性质、三角形中位线定理，根据三角形中位线定理得到，证明，根据相似三角形的性质计算即可． 【详解】解：∵点D，E，F分别是三边上的中点， ∴都是的中位线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵的面积为12， ∴的面积为3， 故选：A． 2．（24-25九年级上·上海·开学考试）如果两个相似三角形对应高之比是，那么它们的对应中线之比等于 ． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的性质，相似三角形对应边上的高之比等于相似比，对应中线比也等于相似比．由此可解． 【详解】解：两个相似三角形对应边上的高之比是， 这两个相似三角形的相似比为， 它们的对应中线之比等于． 故答案为：． 3．（2025·上海静安·模拟预测）如图，在中，，，．将折叠，使点B的对应点落在边上，折痕分别与交于点D，E．若与相似，则的长为 【答案】或 【分析】本题考查了相似三角形的性质，折叠的性质．设，则，由折叠的性质得，分和两种情况讨论，利用相似三角形的性质列式计算即可求解． 【详解】解：设，则，由折叠的性质得， 分两种情况讨论， 当时，，即， 解得， 当时，，即， 解得， 综上，的长为或． 故答案为：或． 4．（24-25九年级上·上海静安·阶段练习）如图，已知，分别是它们对应的高线，已知，若，求的长． 【答案】8 【分析】根据相似三角形的性质，相似三角形的对应高的比等于相似比，列式解答即可． 本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：∵，分别是它们对应的高线， ∴， ∵，， ∴， 解得． 【经典例题二 重心的有关性质】 【例2】（2025·上海闵行·模拟预测）如图，的两条中线，相交于点．若的面积为1，则的面积为（　　） A．3 B．2 C． D．1 【答案】B 【分析】本题考查了三角形重心的性质．根据的两条中线，相交于点，得到点O是的重心，即，然后表示出，即可得解． 【详解】解：∵的两条中线，相交于点， ∴点O是的重心， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， 故选：B． 1．（24-25九年级上·上海宝山·期末）如图所示，已知G为直角△ABC的重心，，且，，则△AGD的面积是（    ） A．9cm2 B．12cm2 C．18cm2 D．20cm2 【答案】A 【分析】由于G为直角△ABC的重心，所以BG＝2GD，AD＝DC，根据三角形的面积公式可以推出，而△ABC的面积根据已知条件可以求出，那么△AGD的面积即可求得． 【详解】解：∵G为直角△ABC的重心， ∴BG＝2GD，AD＝DC， ∴， 而， ∴， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了三角形的重心的性质，解题的关键是根据G为直角△ABC的重心，得出BG＝2GD，AD＝DC． 2．（24-25九年级上·上海虹口·期中）如图，点是的重心，连接交于，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的重心：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为，也考查了相似三角形的判定与性质，中位线的性质．先根据三角形重心的性质得，为的中点，为的中点，根据中位线性质得出，证明，得出，得出，设，则，，得出，求出结果即可． 【详解】解：∵点G是的重心， ，为的中点，为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则，， ∴， ． 故答案为：． 3．（24-25九年级上·上海闵行·期中）如图，在中，G是的重心，过点G且，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的重心：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为．也考查了相似三角形的判定与性质．利用三角形的重心性质得到，，得出，再证明，，得出，再求出，即可得出答案． 【详解】解：∵G是的重心， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 4．（24-25九年级上·上海金山·期末）发现与探究：三角形的重心．三角形三条中线的交点叫三角形的重心．重心是个物理名词，从效果上看，我们可以认为物体所受重力的合力集中于一点，这一点叫物体的重心．如图1，如果取一块均匀的三角形纸板，用一根细线绳从重心O处将三角形提起来，纸板就会处于水平状态．关于三角形的重心还有哪些性质呢？希望你经过下面的探索过程能得到答案． (1)如图2，是的中线，与等底等高，可以得到它们面积的大小关系为：______（填、或）； (2)如图3，若三条中线、、交点为G，则也是的中线，利用上述结论可得：，同理，．若设，，，猜想x，y，z之间的数量关系为：______； (3)如图3，被三条中线分成六个小三角形，点G为的重心，则______； (4)如图4，点D、E在的边、上，、交于G，G是的重心，，，，求四边形的面积． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查三角形中线的性质、重心及三角形面积的计算． （1）根据三角形面积等于底乘高的一半，即可得出结论； （2）根据被中线分成的两个三角形“等底等高，面积相等”建立等式，再利用等式的基本性质即可得出； （3）由（2）可知被三条中线分成的六个三角形面积相等，每个小三角形的面积是大三角形面积的，设，则，．根据即可求解； （4）运用以上两题的方法，根据三角形的面积底高，先求出的面积进而求出四边形的面积即可． 【详解】（1）解：与等底等高， ， 故答案为：； （2）解：，理由如下： 由题意可知，， ， ， ， ， ， ， ∴， 故答案为：； （3）解：由（2）可知被三条中线分成的六个三角形面积相等，每个小三角形的面积是大三角形面积的， 设，则，． ， 故答案为：； （4）解：∵G是的重心， ， ∵，， ， ∵， ， ， ， ∴． 【经典例题三 证明三角形的对应线段成比例】 【例3】（24-25九年级上·上海松江·期中）已知与相似，且，那么下列结论中，一定成立的是（   ） A． B． C．相似比为 D．相似比为 【答案】D 【分析】根据相似三角形的性质对不同的对应角和对应边进行分类讨论． 【详解】解：∵B可以与E对应，也可以与F对应，∴∠B=∠E或∠B=∠F，A不一定成立； 同上，AB可以与DE对应，也可以与DF对应，∴或 ，B不一定成立； 同上，AB可以与DE对应，也可以与DF对应，∴相似比可能是，也可能是，C不一定成立； ∵∠A=∠D ，即∠A与∠D是对应角，∴它们的对边一定是对应比，即BC与EF是对应比， ∴相似比为，∴D一定成立， 故选D ．　　　 【点睛】本题考查相似三角形的性质，注意相似三角形的性质是针对对应角和对应边而言的．　 1．（24-25九年级上·上海静安·期中）如图， ∽ ，且 ，则 与 的相似比为（    ） A．2:3 B．3:2 C．2:1 D．1:2 【答案】A 【分析】根据题意，三角形ΔADE ∽ ΔABC，由AD：DB=2：1，可得到AD：AB=2：3，再根据相似三角形的对应边的比就是相似比，可得答案. 【详解】解：∵AD：DB=2：1 ∴AD：AB=2：3 ∵△ADE∽△ABC, ∴AD：AB=2：3 ∴△ADE与△ABC的相似比为2:3. 故答案为：A. 【点睛】此题考查相似三角形的相似比，熟练掌握相似三角形性质是解题关键. 2．（24-25九年级上·上海松江·单元测试）如果两个相似三角形的周长的比为1∶4，那么周长较小的三角形与周长较大的三角形对应角平分线的比为 ． 【答案】1∶4 【分析】根据相似三角形的相似比等于对应边的比等于对应边高线、角分线、中线的比等于周长的比即可解题. 【详解】解：根据相似三角形的性质得三角形的相似比为1:4, ∴三角形对应角平分线的比为1:4. 【点睛】本题考查了相似三角形的性质,属于简单题,熟悉相似三角形的概念是解题关键. 3．（24-25九年级上·上海嘉定·期中）如图，一个半径为2的圆P与x正半轴相切，过原点O作圆P的切线，切点为T，直线分别交轴的正半轴于两点，且P是线段的三等分点，则圆心P的坐标为 ．    【答案】或 【分析】分两种情况①当AP=2BP时，当ＢP=2ＡP时讨论解答即可． 【详解】解：P是线段AB的三等分点，有两种情况：连接OP，过点P作PC⊥y轴， 设OD=x，则CP=x， ①当AP=2BP时， ∵PD∥OB， ∴， ∴AD=2DO，即AD=2x， 在RT△ADP中，AP=，BP=， ∵，PD=2， ∴OB=3， ∵， ∴3x=·x， 解得，(舍去)， ∴P(，2)； ②当ＢP=2ＡP时， ∵PD∥OB， ∴， ∴AD=DO，即AD=x， 在RT△ADP中， AP=，BP=， ∵，PD=2， ∴OB=６， ∵， ∴６x=·x， 解得，(舍去)， ∴P(，2)； 故答案为：P(，2)或P(，2)．    【点睛】本题考查了切线的性质、平行线分线段成比例及勾股定理，解题的关键是分情况讨论． 4．（25-26九年级上·上海松江·课后作业）如图，在中，，垂足为． (1)这四条线段是否是成比例线段？请说明理由． (2)在图中还能找出成比例的其他四条线段吗（线段可以重复）？若有，请写出一种情况，并说明理由． 【答案】(1)这四条线段是成比例线段 (2)有，这四条线段是成比例线段．理由见解析 【分析】根据可得，根据比例线段的概念即可判断； 类似上述同样的方法判断与是否成比例即可. 【详解】解：这四条线段是成比例线段． 在Rt中，， 即这四条线段是成比例线段． 示例：这四条线段是成比例线段． 在Rt中，， 由勾股定理，得， 由（1）可知， ． 在Rt中，， 由勾股定理，得， ， ， 即这四条线段是成比例线段． 【点睛】本题考查了比例线段，解题的关键是掌握直角三角形面积的不同表达式及比例线段的概念. 【经典例题四 利用相似求坐标】 【例4】（24-25九年级上·上海奉贤·期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形OEFG与矩形ABCD是位似图形,C（﹣4，4），F（2，1），则位似中心的坐标是（    ） A．（0，2） B．（0，2.5） C．（0，3） D．（0，4） 【答案】A 【分析】连接CF，交y轴于点P，根据位似图形的概念得到CD∥GF，根据相似三角形的性质求出GP，进而求出OP，得到答案． 【详解】解：连接CF，交y轴于点P，则点为位似中心， 矩形OEFG与矩形ABCD，（﹣4，4），（2，1）， 由题意得，CD＝4，DG＝3，,， ∵矩形OEFG与矩形ABCD是位似图形， ∴CD∥GF， ∴△CDP∽△FGP， ∴＝，即＝， 解得，GP＝1， ∴OP＝2， ∴位似中心P的坐标为（0，2） 故选：A． 【点睛】本题考查了位似概念和性质，相似三角形的性质，根据题意作出图形，掌握相似三角形的性质是解题的关键． 1．（24-25九年级上·上海普陀·期末）如图，线段AB两个端点的坐标分别为A（6，6），B（8，2），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，则线段CD的长为（　　） A．2 B． C．3 D． 【答案】D 【分析】直接利用A，B点坐标得出AB的长，再利用位似图形的性质得出CD的长． 【详解】解：∵A（6，6），B（8，2）， ∴AB＝＝2， ∵以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD， ∴线段CD的长为：×2＝． 故选：D． 【点睛】本题考查了位似图形，解题的关键是熟悉位似图形的性质． 2．（24-25九年级上·上海青浦·期末）在直角坐标系中，已知点A（-2，0），B（0，4），C（0，3），过点C作直线交x轴于点D，使得以D，O，C为顶点的三角形与△AOB相似，点D的坐标为 ． 【答案】（-，0），（，0），（-6，0），（6，0）． 【分析】过C点作AB的平行线，交x轴于D1点，由平行得相似可知D1点符合题意，根据对称得D2点；改变相似三角形的对应关系得D3利用对称得D4，都满足题意． 【详解】解：过C点作AB的平行线，交x轴于D1点， 则△D1OC∽△AOB，， 即，解得OD1=， ∴D1（-，0），根据对称得D2（，0）； 由△COD3∽△AOB，得D3（-6，0），根据对称得D4（6，0）． 故答案为：（-，0），（，0），（-6，0），（6，0）． 【点睛】本题考查了利用相似比求线段的长，根据线段长确定点的坐标的方法． 3．（24-25九年级上·上海松江·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，，，则点坐标为 ． 【答案】 【分析】过点B作BC⊥OA于点C，由题意易得OA=10，然后由勾股定理可得，进而可得△BOC∽△AOB，设OC=x，则有BC=2x，最后利用勾股定理可求解． 【详解】解：过点B作BC⊥OA于点C，如图所示： ∵∠B=∠BCO=90°，∠BOA=∠BOA， ∴△BOC∽△AOB， ∵点， ∴OA=10， ∵， ∴， ∴AB=2OB， ∴BC=2OC， ∴在Rt△BOC中， ，即， ∴， ∴BC=4， ∴点B的坐标为； 故答案为． 【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 4．（2025·上海松江·模拟预测）（1）尺规作图：如图，、是平面上两个定点，在平面上找一点，使构成等腰直角三角形，且为直角顶点.（画出一个点即可） （2）在（1）的条件下，若，，则点的坐标是________. 【答案】（1）见解析（2） 【分析】（1）如图作线段AB的垂直平分线MN交AB于点O，以O为圆心，OA为半径作⊙O交直线MN于C，C′，连接AC，BC，AC′BC′，点C或C′即为所求； （2）如图，由勾股定理求出AB的长，再证明△NAE∽△BAO，求出AN，EN的长，再证明△NCD∽△NBE，求出CD，OD的长，进行可求点C的坐标，同理可求点的坐标. 【详解】（1）如图作线段AB的垂直平分线MN交AB于点O，以O为圆心，OA为半径作⊙O交直线MN于C，C′，连接AC，BC，AC′BC′，点C或C′即为所求． （2）建立平面直角坐标系如图，CD⊥AN，EG⊥OB，,EG⊥OB，垂足分别为D，F，G. ∵A（0，2），B（4，0）， ∴OA=2，OB=4， ∴AB= ∵E是圆心，AB是直径， ∴AE=AB=，CE= 在△AOB和△AEN中， ∵∠NAE=∠BAO，∠AEN=∠AOB， ∴△AOB∽△AEN ∴ ∴NE=，CN=, ∴AN= 同理可证，△NCD∽△NAE， ∴， ∴, ∴CD=1，ND=2， ∴OD=5-2-2=1， ∴点C的坐标为（1，-1）； ∵AO=2， ∴EG=1， 易证△EGH∽△NOH， ∴，即 ∴EH=， ∴HG=,OH= ∵ ,EG⊥OB， ∴△EHG∽△， ∴，即， ∴, ∴GF=1， ∴OF=2+1=3， ∴点的坐标为（3，3）. 【点睛】本题考查作图-复杂作图，等腰直角三角形以及相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题. 【经典例题五 在网格中画与已知三角形相似的三角形】 【例5】（24-25九年级上·上海嘉定·期末）如图，在正方形网格中，下列正方形网格中的阴影图形与相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用相似三角形对应边成比例，先求出的三边长，求出三边的比为，再分别求出A、B、C、D中三角形的三边长从小到大排序，求出三边的比值，判断即可． 【详解】的三边长分别为：，三边的比为， A中三角形的三边长分别为，三边的比为不相似； B中三角形的三边长分别为，三边的比为不相似； C中三角形的三边长分别为，三边的比为相似； D中三角形的三边长分别为，三边的比为不相似； 故选择：C． 【点睛】本题考查三角形相似的判定，掌握相似三角形的判定定理，抓住三角形三边的比值相同来判断相似是解题关键． 1．（24-25九年级上·上海宝山·阶段练习）如图，在正方形网格上有个斜三角形：①，②，③，④，⑤，⑥．在②～⑥中，与①相似的三角形有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】设网格的边长为1，则①三角形的三边之比是，分别求出五个三角形的三边的比，符合这个结果就是与①相似的． 【详解】解：①三角形的三边之比是， ②中，， ③中， ④中， ⑤中， ⑥中， 故与①相似的三角形的序号是③④⑤． 故选C． 【点睛】本题主要考查两三角形相似，从“三边对应成比例，两三角形相似”的角度考虑． 2．（2025·上海徐汇·模拟预测）如图，△ABC的顶点在1×3的正方形网格的格点上，在图中画出一个与△ABC相似但不全等的△DEF（△DEF的顶点在格点上），则△DEF的三边长分别是 ． 【答案】，2，． 【分析】直接利用网格结合勾股定理以及相似三角形的判定方法得出答案． 【详解】如图所示：△ABC∽△DEF， DF＝，ED＝2，EF＝． 故答案为，2，． 【点睛】此题主要考查了相似三角形的性质，正确运用勾股定理进行计算是解题关键． 3．（2025·上海嘉定·模拟预测）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点都在格点上． （Ⅰ）AC的长是 ； （Ⅱ）将四边形折叠，使点C与点A重合，折痕EF交BC于点E，交AD于点F，点D的对应点为Q，得五边形.请用无刻度的直尺在网格中画出折叠后的五边形，并简要说明点的位置是如何找到的 . 【答案】 如图所示，取格点连接HO并延长分别交AD，BC于点F，E，连接BN，DM相交于点Q，则点E，F，为所求. 【分析】（Ⅰ）根据勾股定理计算可得AC的长； （Ⅱ）如图所示，取格点连接HO并延长分别交AD，BC于点F，E，连接BN，DM相交于点Q，则点E，F，为所求. 【详解】解：（Ⅰ）在Rt中，由勾股定理得：AC==， （Ⅱ）如图所示                  根据折叠的性质折痕EF垂直平分AC，取AC的中点格点O，根据AC是直角边长分别为2，4的直角三角形的斜边，要找过O与AC垂直的直线需找过点O且直角边长分别为2，4的直角三角形的斜边，取格点H,连接HO并延长分别交AD，BC于点F，E，则点E，F，为所求. 根据点D的对应点为Q，可知点D和点Q得关于OH对称，则OH垂直平分DQ，需QD//AC，QF=DF，取格点M使AM=2=CD，连接DM可得DM//AC；根据，可得DF=1.5，则PF=1.5，QF=1.5，则需 PQ⊥DQ，所以取点N连接BN即可 【点睛】本题主要考查了应用与设计作图，相似三角形的性质与判定以及勾股定理的运用，解题时首先要理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图． 4．（2025·上海青浦·模拟预测）如图，是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，仅用无刻度的直尺，在给定网格中完成下列画图∶ (1)在图1中，已知是格点，点C在线段上，请画出点E，使 (2)如图2，已知是格点，请画出点D关于 的对称点E． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了作图，相似三角形的判定和性质． （1）找一格点F，构造两个包含点的的矩形方格，并使，在上找一格点O，使，延长与交于点E，由于，则，故点E就是符合条件的点． （2）观察直角三角形，其两条直角边之比为，于是找到适当格点，构造，连结，相交于点E，由相似三角形的性质可得，于是可证，再由可知点D与点E到的距离相等，因此点D关于的对称点是点E，故点E就是符合条件的点． 【详解】（1）如图，点E即为所求； （2）如图，点E即为所求； 【经典例题六 相似三角形——动点问题】 【例6】（2025·上海松江·模拟预测）中，．点从出发以向移动秒，当为等腰三角形时，的值为（    ）． A．0 B．1 C．0或1 D．1或 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是关键． 根据题意分类讨论：当时；当时；当时，设，则，可证，解得，；由此即可求解． 【详解】解：当时，， ∴； 当时，点重合，，此时与矛盾，不符合题意，舍去； 当时，设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 解得，， 检验，当时，原分式方程有意义， ∴， ∴； 综上所述，当为等腰三角形时，的值为或， 故选：D ． 1．（24-25九年级上·上海金山·期末）如图，在钝角三角形中，，动点D从A点出发到B点止，动点E从C点出发到A点止．点D运动的速度为/秒，点E运动的速度为/秒．如果两点同时运动，那么当以点A、D、E为顶点的三角形与相似时，运动的时间是（    ） A．3秒或4.8秒 B．3秒 C．4.5秒 D．4.5秒或4.8秒 【答案】A 【分析】此题考查了相似三角形的性质，解题时要注意此题有两种相似形式，别漏解；还要注意运用方程思想解题． 根据相似三角形的性质，由题意可知有两种相似形式，和，可求运动的时间是3秒或4.8秒． 【详解】解：根据题意得：设当以点A、D、E为顶点的三角形与相似时，运动的时间是x秒， ①若，则， ∴， 解得：； ②若，则， ∴， 解得：． ∴当以点A、D、E为顶点的三角形与相似时，运动的时间是3秒或4.8秒． 故选：A 2．（24-25九年级·上海松江·阶段练习作业）如图，中，，，，点是边上一点，将沿经过点的直线折叠，使得点落在边上的处，若恰好和相似，则此时的长为 ． 【答案】或． 【分析】先利用30º角直角三角形的性质求出斜边AB=4，再由勾股定理求直角边BC=2，当PA′∥AC和PA′⊥AB时两种情况证明三角形相似，利用相似，列出比例构造方程，求出AP即可 【详解】解：在中，，，， ，， ∵将沿经过点的直线折叠，使得点落在边上的处， ∴AP=A′P， 设． ①如图1中，当PA′∥AC时， ，， ， ， ， ， ∴； ②如图2中，当PA′⊥AB时， ，， ∴， ， ， ， ∴， 综上所述，满足条件的值为或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查直角三角形，相似三角形的判定与性质，掌握直角三角形的性质，和相似三角形的判定方法，会利用相似三角形的性质构造方程，利用方程解决问题是关键 3．（2025·上海虹口·模拟预测）如图是一个量角器和一个含30°的直角三角板放置在一起的示意图，其中点B在半圆O的直径DE的延长线上，AB切半面O于点F，且BC＝OE＝2．若以O、B、F为顶点的三角形与△ABC相似，则OB的长为 ． 【答案】或4 【分析】根据相似三角形的性质分情况讨论列方程即可得到结论． 【详解】解：若△OBF∽△ACB， ∴， ∴OB＝， ∵∠A＝30°，∠ABC＝90°，BC＝OE＝2， ∴AC＝4，AB＝2． 又∵OF＝OE＝2， ∴OB＝＝； 若△BOF∽△ACB， ∴， ∴OB＝， ∴OB＝＝4； 综上，OB＝或4； 故答案为或4． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质，切线的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键． 4．（24-25九年级上·上海长宁·开学考试）在中，．现有动点P从点A出发，沿向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段也向点B方向运动．如果点P的速度是秒，点Q的速度是秒，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动的时间为ｔ秒，求： (1)用含t的代数式表示的面积S； (2)当秒时，这时，P，Q两点之间的距离是多少？ (3)当t为多少秒时，以点C，P，Q为顶点的三角形与相似？ 【答案】(1) (2) (3)秒或秒 【分析】此题是相似形综合题，主要考查了直角三角形的面积公式，勾股定理，相似三角形的性质，解本题的关键时用分类讨论的思想和方程思想解决问题． （1）由点，点的运动速度和运动时间，又知的长，可将、用含的表达式求出，代入直角三角形面积公式求解； （2）在中，当秒，可知、的长，运用勾股定理可将的长求出； （3）应分两种情况：当时，根据，可将时间求出；当时，根据，可求出时间． 【详解】（1）解：由题意得， 则， ∴的面积为； （2）解：由题意得， 则， 当秒时，， 在中，由勾股定理得； （3）解：由题意得， 则， ∵． ∴①当时，， 即， 解得秒； ②当时，， 即， 解得秒． ∴秒或秒时，以点、、为顶点的三角形与相似． 【经典例题七 相似三角形实际应用】 【例7】（2025·上海青浦·模拟预测）如图，不等臂跷跷板的支撑点O到地面的高度为，当的一端A碰到地面时，另一端B到地面的高度为；当AB的一端B碰到地面时，另一端A到地面的高度为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设点B到地面的距离为，点A端到地面的距离为，根据题意，得，，，列比例式计算解答即可． 本题考查了三角形相似的应用，熟练掌握三角形相似的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：设点B到地面的距离为，点A端到地面的距离为， 根据题意，得， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴ ∴ 解得， 故选：D． 1．（24-25九年级上·上海静安·期末）阿基米德曾说过“给我一个支点，我能撬动整个地球．”这句话生动体现了杠杆原理：通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物．这一原理在生活中随处可见，比如用撬棍撬石头、用剪刀剪纸，甚至开瓶器开啤酒，都是杠杆的巧妙运用．如图①，这是杠杆撬动石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端会翘起，石头就撬动了．如图②所示，的距离为，动力臂米，阻力臂，则的长度为（   ）． A．50 B．80 C．90 D．100 【答案】C 【分析】本题考查相似三角形的应用，根据题意构造出相似三角形，然后根据相似三角形的对应边成比例求得的长度．解题的关键是正确判定相似三角形并运用相似三角形的性质列出比例式． 【详解】解：，， ， ， ， 的距离为，动力臂，阻力臂， ， ， 的长为． 故选：C． 2．（24-25九年级上·上海宝山·期中）如图是木杆在路灯下形成影子的示意图，路灯和木杆均垂直于地面，经测量，，木杆的影子．若，则路灯的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，根据题意可得，即得，进而根据即可求解，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（24-25九年级上·上海杨浦·期末）如图1是液体沙漏的平面示意图，经过一段时间后如图2所示，此时液面 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了相似三角形的实际应用．画出截面图，过点C作交于点G，交于点F，由，列出等量关系式，即可求解． 【详解】解：如图所示为沙漏横截面，过点C作交于点G，交于点F， 由题意得：，，， ， ，分别为，边上的高， ， ， 相似三角形对应边的高之比等于相似比， ，即， 解得， 故答案为：． 4．（2025·上海宝山·模拟预测）如图是古代测量工具“水平真尺”的示意图，在尺子的表面有一条凹槽用来盛水，尺子两端各有一个小孔，通过这两个小孔去观察远处的目标，如果两个小孔和水面在同一水平线上，那么通过小孔看到的远处目标也在同一水平线上．如图，小明利用自制水平真尺测量池塘对面楼房的高度．小明在B处安置一根与地面垂直的标杆，利用水平真尺在点A处测得点A，B，楼房底端点C在同一水平线上，此时点A，标杆上的点D，楼房顶端点E恰在同一直线上．小明往后退5米到点F处，利用水平真尺测得点F，B，C在同一水平线上，此时点F，标杆顶点G，楼房顶端点E在同一直线上．测量得到米，米，米．请据此计算出楼房的高度． 【答案】楼房的高度为10米 【分析】本题考查相似三角形的实际应用，解题关键是根据相似三角形的性质“对应边成比例”，列方程求解． 根据题意，可分别证明，，利用相似三角形对应边成比例，分别得到与的关系，进而求解． 【详解】解：楼房和标杆均与地面垂直， ， ， ， ，即， 整理，得， ，， ， ， 即， 又， 整理，得， 解得， 答：楼房的高度为10米． 【经典例题八 相似三角形的判定与性质综合】 【例8】（24-25九年级上·上海闵行·阶段练习）如图在中，点分别在上，若，，则的值为（   ） A．9 B．8 C．7 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了三角形相似的判定和性质，熟练掌握三角形相似的判定是关键． 根据已知证明，可得结论． 【详解】解：∵， ， ， ， ， ， ， 故选：A． 1．（24-25九年级上·上海杨浦·期末）如图，已知与位似，点为位似中心，，下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了位似的性质，根据位似图形的性质判断解答即可，掌握位似的性质是解题的关键． 【详解】解：、∵与位似，点为位似中心， ∴，原选项正确，不符合题意； 、∵与位似，点为位似中心， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，原选项正确，不符合题意； 、∵与位似，点为位似中心， ∴， ∴，原选项错误，符合题意； 、∵， ∴， ∴，原选项正确，不符合题意； 故选：． 2．（24-25九年级上·上海·阶段练习）四边形均为正方形，若，则长为 ． 【答案】 【分析】连接对角线和，与分别是四边形 和的角平分线，可得，再证，则，即可求出结果. 【详解】解：如图，连接对角线和， ∵四边形 和都是正方形， ∴与分别是四边形 和的角平分线， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 即： 解得： 【点睛】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，正确画出辅助线，耐心推理是解题的关键． 3．（24-25九年级上·上海奉贤·期末）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，是圆的内接三角形，顶点B，C在格点上． （1）的长等于 ； （2）E是线段与网格线的交点，P是外接圆上的动点，点F在线段PB上，且满足．当取得最大值时，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出点P，并简要说明点P的位置是如何找到的 ．（不要求证明） 【答案】 取格点D，连接与圆相交于点H，连接；圆与网格线的交点M，G，连接与相交于点O；连接并延长与圆相交于点P，点P即为所求． 【分析】本题主要考查网格与勾股定理，圆心的确定，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质，数形结合思想是关键． （1）根据格点，运用勾股定理求解即可； （2）根据题意得到当时，，当最大时，的值最大，当是直径时，的值最大，根据特点，用无刻度直尺确定圆心即可求解． 【详解】解：（1）； （2）如图所示， 在格点中取，格点，由格点特点得到，， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴当时，， ∴当最大时，的值最大， ∴当是直径时，的值最大， 如图所示，取格点D，连接与圆相交于点H，连接； 圆与网格线的交点M，G，连接与相交于点O，则点O为圆心； 连接并延长与圆相交于点P，点P即为所求． 4．（24-25九年级上·上海虹口·开学考试）如图，四边形和四边形都是平行四边形，点R为的中点，分别交，于点P，Q． (1)求证：； (2)求． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质．熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）由平行四边形的性质得出，，，证明，得出，则可得出结论； （2）证明，由相似三角形的性质得出，则，再证明得出，则，可得出答案． 【详解】（1）证明：∵四边形和为平行四边形， ∴，，， ∴， ∵点R为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【拓展训练一 运用相似三角形的性质解决动点问题】 1．（24-25九年级上·上海崇明·期中）如图，在中，，，动点P从点A开始沿边运动，速度为，动点Q从点B开始沿边运动，速度为，如果P、Q两动点同时运动，那么经过多少秒时，以B、Q、P为顶点的三角形与相似． 【答案】当秒或秒时，以、、为顶点的三角形与相似 【分析】本题考查了相似三角形的性质，设运动的时间为秒，则，，，再分两种情况：当时，当时，分别利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：设运动的时间为秒，则，，， 当时， ，即， 解得：； 当时， ，即， 解得：； 综上所述，当秒或秒时，以、、为顶点的三角形与相似． 2．（24-25九年级上·上海宝山·期末）如图，已知，在中，，，点P从A点出发，沿以的速度向点B运动；同时点Q从C点出发，沿以的速度向A点运动，设运动时间为x， (1)当时，x为何值？ (2)能否与相似，若能，求出的长，若不能，请说明理由． (3)当时，求．（直接写答案） 【答案】(1) (2)能，的长为或 (3) 【分析】本题考查了几何中的动点问题，涉及了相似三角形的判定与性质、平行线分线段成比例等知识点，掌握相关结论即可． （1）根据平行线分线段成比例得即可求解； （2）根据，分类讨论，即可求解； （3）根据题意可得，，进而求得，；推出，据此即可求解． 【详解】（1）解：由题意得， ∵， ∴， （2）解：存在．理由如下： ， ， 时： ． 即： 解得：， ∴ 时： ， 即： 解得：（舍去） ， ∴的长为或 （3）解：∵， ，， ∴ ∴， ∴，， ∴ ∴ 3．（24-25九年级上·上海青浦·阶段练习）如图，中，，，，动点从点出发，在边上以每秒的速度向点匀速运动，同时动点从点出发，在边上以每秒的速度向点匀速运动，运动时间为秒，连接． (1)若与相似，求的值； (2)当为何值时，四边形的面积最小，最小值是多少？ 【答案】(1)或 (2)当时，四边形的面积最小，最小值为18 【分析】此题是相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，二次函数的性质求最值． （1）根据勾股定理求出，分、两种情况，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可； （2）作于点M，根据相似三角形的性质列出比例式，用t表示出，设四边形的面积为y，根据三角形的面积公式计算得，再根据二次函数的性质求最值即可； 【详解】（1）解：根据题意知：，，， ∵，，， ∴， 分两种情况讨论： ①当时，， ∴， 解得，； ②当时，， ∴， 解得，， 综上所述，或时，与相似； （2）解：作于点M， 则， ∴，即， 解得，， 设四边形的面积为y， 由题意得：， ∴当时，y有最小值18， 即当时，四边形的面积最小，最小值为18． 【拓展训练二 运用相似三角形的性质解决最值问题】 1．（2025·上海金山·模拟预测）如图，在等腰直角三角形中，，，，点M是的中点，点D和点N分别是线段和上的动点． (1)当点D和点N分别是和的中点时，求a的值； (2)当时，以点C，D，N为顶点的三角形与相似，求的值； (3)当时，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）勾股定理求出的长，中点求出的长，的长，根据，求出的值即可； （2）设，得到，，进而得到，分和两种情况进行讨论，列出比例式进行求解即可； （3）作于点，连接，易得为等腰直角三角形，得到，，进而得到四边形为平行四边形，得到，将绕点旋转90度得到，连接，证明，得到，进而得到，得到，勾股定理求出的长即可． 【详解】（1）解：∵等腰直角三角形中，，，，， ∴， ∵点D和点N分别是和的中点， ∴，， ∵， ∴； （2）∵，， ∴， 设，则：，， ∵等腰直角三角形中，，， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， 当点C，D，N为顶点的三角形与相似时，分两种情况： ①当时，则：， ∴， 此方程无解，不符合题意； ②当时，则：， ∴， 解得：（不符合题意，舍去）或； ∴； 综上：； （3）∵，， ∴， 作于点，连接， 则：， ∴为等腰直角三角形， ∴，， ∴，， 又， ∴四边形为平行四边形， ∴， 将绕点旋转90度得到，连接，则：， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当点在线段上时，的值最小为的长， 在中，， ∴， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查等腰直角三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理，求线段和的最小值，熟练掌握相关知识点，合理添加辅助线，构造特殊图形，是解题的关键． 2．（24-25九年级上·上海徐汇·阶段练习）如图1，∠AOB＝90°，OA＝4，OB＝3，点E在线段OA上，EP⊥OA交AB于点N，PM⊥AB，直线PB与AO交于点F． （1）若AN＝3，S△PBN＝8，求PN的长； （2）设△PMN的周长为C1，△AEN的周长为C2，若△PFE～△BAO且＝，求OE的长； （3）如图2，若OE＝2，将线段OE绕点O逆时针旋转得到OE'，旋转角为α （0°＜α＜90°），连接E'A、E'B，求E'A+E'B的最小值． 【答案】（1）PN＝10；（2）OE＝；（3） 【分析】（1）证明△PMN∽△AOB，可得，由此即可解决问题． （2）如图1﹣2中，作BK⊥PN于K，设PN＝6k．利用等腰三角形的性质证明PK＝KN＝3k，BK＝4k，BN＝5k，由△PMN∽△AEN，且，推出，推出AN＝10k，可得AB＝15k＝5，解得k＝，由此即可解决问题． （3）如图3中，在BO上取一点的K，使得OK＝，连接KE′，KA．证明△OKE′∽△OE′B，推出E′K：BE′＝OE′：OB＝2：3，推出E′K＝BE′，推出AE′+BE′＝AE′+KE′，由AE′+KE′≥AK，求出AK即可解决问题． 【详解】解：（1）如图1﹣1中， 在Rt△AOB中，∵OB＝3，OA＝4， ∴AB＝， ∵AN＝3， ∴BN＝AB﹣AN＝2， ∵PM⊥AM， ∴S△PBN＝＝8， ∴PM＝8， ∵PE⊥OA， ∴∠AEN＝∠AOB＝∠M＝90°， ∴OB∥PN， ∴∠ABO＝∠PNM， ∴△PMN∽△AOB， ∴， ∴， ∴PN＝10． （2）如图1﹣2中，作BK⊥PN于K，设PN＝6k． ∵△PFE∽△BAO， ∴∠F＝∠A， ∵PK∥AF， ∴∠PBK＝∠∠KBN＝∠A， ∴∠PBK＝∠KBN， ∵BK⊥PN， ∴∠BKP＝∠BKN＝90°， ∴∠BPK+∠PBK＝90°，∠BNK+∠KBN＝90°， ∴∠BPK＝∠BNK， ∴BP＝BN， ∴PK＝KN＝3k，BK＝4k，BN＝5k， ∵△PMN∽△AEN，且， ∴， ∴AN＝10k， ∴AB＝15k＝5， ∴k＝， ∴BK＝， ∵四边形BOEK是矩形， ∴OE＝BK＝． （3）如图3中，在BO上取一点的K，使得OK＝，连接KE′，KA． ∵OE′2＝4，OK•OB＝×3＝4， ∴OE′2＝OK•OB， ∴， ∵∠KOE′＝∠BOE′， ∴△OKE′∽△OE′B， ∴E′K：BE′＝OE′：OB＝2：3， ∴E′K＝BE′， ∴AE′+BE′＝AE′+KE′， ∵AE′+KE′≥AK，AK＝， ∴AE′+BE′≥， ∴E'A+E'B的最小值为． 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定与性质，难度系数较大，第三问关键在于构造出一个三角形利用三角形边的性质来解决本题. 3．（24-25九年级上·上海崇明·阶段练习）【教材呈现】如图是华师版九年级上册数学教材第页的部分内容． 【定理应用】 (1)如图，点、、分别是三边中点，若的周长为，则的周长是_____； (2)如图，、是的中线，，点、分别是和的中点，若，那么的长为_____； (3)如图，在矩形中，将线段绕点旋转一定的角度，得到线段'，连结，点，分别是和的中点，连结，，，已知，，则的面积最大值为_____． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】点、、分别是三边中点，所以、、是的三条中位线，根据中位线定理即可求出的周长为； 连接，并延长交于点，根据勾股定理可以求出，点、分别是、的中点，是的中位线，所以可证，根据相似三角形的性质可证点是的中点，从而可证点是的中点，从而可证是的中位线，利用三角形中位线定理即可求出的长度； 根据三角形的中位线定理可证，所以当的面积最大时，的面积最大，在的旋转过种中当时，的面积最大，所以可求的最大面积是，所以的最大面积是． 【详解】（1）解：点、、分别是三边中点， 、、是的三条中位线， ，，， 的周长为， 的周长为， 的周长为， 故答案为：； （2）解：在中，，， ， 如下图所示，连接，并延长交于点， 点、分别是、的中点， 是的中位线， ， ， ， 又点是的中点， ， ， 点是的中点， ， 点、、分别是、、的中点， ，， 点是的中点， ， ， 点是的中点， 又点是的中点， 是的中位线， ； （3）解：点，分别是和的中点， ，， ， ， 当的面积最大时，的面积最大， 当时，的面积最大， 此时， ， 故答案为：. 【点睛】本题考查三角形的中位线定理，勾股定理，旋转的性质．熟练掌握三角形的中位线平行且等于第三边的一半，是解题的关键． 【拓展训练三 相似三角形中折叠问题】 1．（24-25九年级上·上海宝山·阶段练习）如图，折叠矩形的一边，使点D落在边上的点F处，已知，． (1)求证：； (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了矩形的性质，折叠的性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握矩形对边相等，四个角都是直角；折叠前后对应边相等，对应角相等；相似三角形对应边成比例． （1）根据矩形的性质得出，再根据折叠的性质得出，则，根据，推出，即可求证； （2）根据矩形的性质得出，设，则，由折叠的性质得出，根据相似三角形对应边成比例得出，进而得出，最后根据，列出方程求解即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∵沿折叠得到， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴； （2）解：∵四边形是矩形， ∴， 设， ∵， ∴， ∵沿折叠得到， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴． 2．（24-25九年级上·上海徐汇·期末）如图，将等边三角形折叠，使点A落在边上的点D处（不与B、C重合），折痕为． (1)求证：； (2)若，，直接写出，的周长； (3)在（2）的条件下，求的长． 【答案】(1)见详解 (2)14，10 (3) 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、折叠的性质、相似三角形的判定、相似三角形的性质等知识点，掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键． （1）由等边三角形的性质、折叠的性质以及三角形外角的性质可得、即可证明结论； （2）有已知条件可得，由等边三角形的性质可得，再由折叠的性质可得，，最后根据三角形周长的定义即可解答； （3）根据相似三角形的性质列式求解即可． 【详解】（1）证明：∵等边三角形 ∴ ∵三角形折叠，使点A落在边上的点D处 ∴ ∵， ∴ ∵ ∴． （2）∵， ∴ ∵等边三角形 ∴ ∵三角形折叠，使点A落在边上的点D处 ∴， ∴的周长为： 的周长为：． （3）∵． 又∵的周长为：14，的周长为：10 ∴， ∵， ∴， ∴． 3．（24-25九年级上·上海虹口·阶段练习）如图，△OAB是等腰直角三角形，∠AOB＝90°，OA＝OB＝4．折叠该纸片，使点A落在线段OB上，折痕与边OA交于点C，与边AB交于点D． （1）若折叠后使点A与点O重合，此时OC＝ ； （2）若折叠后使点A与边OB的中点重合，求OC的长度； （3）若折叠后点A落在边OB上的点为E，且使DE∥OA，求此时OC的长度． 【答案】（1）2;（2）1.5；（3）. 【分析】（1）当折叠后使点A与点O重合，可知AC=CO=AO=2． （2）由折叠可知，AC=EC，设AC=EC=x，则OC=4-x，在Rt△OCE中，利用勾股定理构建方程求解即可． （3）利用相似三角形的性质证明OC=OE，设OC=OE=m，构建方程求解即可． 【详解】解：（1）∵折叠后使点A与点O重合， ∴AC=CO=AO=2， 故答案为2． （2）如图1中， 由折叠可知，AC=EC，设AC=EC=x，则OC=4-x， ∵OE=EB=OB=2， 在Rt△OCE中，∵∠O=90°， ∴OC2+OE2=EC2， ∴（4-x）2+22=x2， 解得x=2.5， ∴OC=4-2.5=1.5． （3）如图2中， ∵DE∥AC， ∴∠OCE=∠CED， 由折叠可知，∠A=∠CED， ∴∠A=∠OCE， ∴EC∥AB， ∴△OCE∽△OAB， ∴， ∵OA=OB， ∴OC=OE， 设OC=OE=m，则EC=AC=4-m， 在Rt△OCE中，∵EC2=OC2+OE2， ∴（m-4）2=m2+m2， 解得m= 或（不合题意舍弃）， ∴OC=． 【点睛】本题考查了翻折变换，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，平行线的判定和性质等知识，利用数形结合的数学思想，准确画出图形，假设未知数列出方程是解题的关键. 【拓展训练四 相似三角形的综合问题】 1．（2025·上海崇明·模拟预测）如图，内接于，是直径，为中点，连接，，过点作，交的延长线于点． (1)试判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若，，求的长． 【答案】(1)直线与相切，理由见解析 (2)． 【分析】（1）连接，由垂径定理可得，再由，得到，据此可得结论； （2）证明，得到，由是直径，得到，则，证明，进而证明，则可求出，，则． 【详解】（1）解：直线与相切，理由如下； 如图所示，连接， ∵为中点， ∴， ∵， ∴， ∵是的半径， ∴直线与相切； （2）解：∵为中点， ∴， ∴， ∴， ∵是直径， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了切线的判定，垂径定理，相似三角形的性质与判定，勾股定理，圆周角定理，掌握以上知识点是解题的关键． 2．（24-25九年级上·上海松江·期末）如图，已知O是坐标原点，点B、点C的坐标分别为． (1)以O点为位似中心，在y轴的左侧将放大到原来的2倍得到； (2)在（1）的条件下，若面积为m，则的面积为 　　． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】本题主要考查了位似作图、相似三角形的性质等知识点，掌握相似三角形面积之比等于相似比的平方是解题的关键． （1）如图：延长到点，使，延长到点，使，连接，即可得到； （2）根据相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：如图，为所求； （2）解：∵将放大到原来的2倍得到， ∴相似比为2， ∴的面积的面积的4倍， ∴的面积为． 故答案为：． 3．（2025·上海普陀·模拟预测）九年级数学项目式学习小组通过学习知道太阳光是平行光，可以借助太阳光线构成两个相似三角形，来计算出一些没办法直接测量的物体的高度．学习小组利用可伸缩的标杆和卷尺展开了测量物体高度的学习． (1)如图1，若垂直于地面的标杆米，它的影长米，同一时刻，旗杆的影长米，则旗杆的高度为______米； (2)如图2，学习小组计划测量运动场围墙外的电线杆的高度，但受围墙的阻碍，没办法直接测量电线杆的影长．同学们进行了如下操作：①在某一时刻，垂直于地面的2米标杆的端点C的影子恰好与电线杆的端点A的影子重合于点E，测得米；②把标杆缩短为1.2米，记作，过了一段时间，标杆的端点D的影子恰好与电线杆的端点A的影子重合于点F，测得米．请求出电线杆的高度． 【答案】(1)12 (2)10米 【分析】此题考查了相似三角形的性质和判定的应用，解题的关键是掌握相似三角形的性质． （1）首先证明出，得到，然后代数求解即可； （2）证明出，得到，推出，然后表示出，同理证明出，得到，然后代数求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴电线杆的高度为10米． 1．（2025九年级上·上海松江·专题练习）如图，，则下列比例式正确的是（　　）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平行线分线段成比例定理即可判断选项A和B，根据相似三角形的性质即可判断选项C和D． 【详解】A．∵， ∴， 故A符合题意； B．∵， ∴， 故B不符合题意； ∵， ∴. ， ∴， 故C不符合题意； D．∵， ∴， ∴， 故D不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理和相似三角形的性质，熟练掌握平行线分线段成比例定理和相似三角形的性质是解题的关键． 2．（2025·上海奉贤·模拟预测）如图，网格中每个小正方形的边长均为1，则图中与阴影三角形相似的三角形是（  　　）    A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】根据两组边对应成比例且夹角相等的判定方法即可得解． 【详解】解：观察图象可知，阴影三角形的是直角三角形且两条直角边之比为2:3， 选项A中的三角形是直角三角形且两条直角边之比为3:4≠2:3，故选项A错误； 选项B中的三角形是直角三角形且两条直角边之比为4:5≠2:3，故选项B错误； 选项C中的三角形是直角三角形且两条直角边之比为4:6＝2:3，故选项C正确． 选项D中的三角形是不是直角三角形，不能与题干直角三角形相似，故选项D错误； 故选：C． 【点睛】本题考查相似三角形的判定方法，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法，属于中考常考题型． 3．（2025·上海闵行·模拟预测）若，，的周长是8，则的周长是（   ） A．27 B．18 C．15 D．12 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的性质，根据周长比等于相似比即可求解，掌握相似三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∴的周长的周长， 故选：D． 4．（24-25九年级上·上海宝山·期末）如图，矩形中，，，动点P从A点出发，按的方向在和上移动，记，点D到直线的距离为y，则y关于x的函数图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】①点P在AB上时，点D到AP的距离为AD的长度，②点P在BC上时，根据同角的余角相等求出∠APB=∠PAD，再利用相似三角形的列出比例式整理得到y与x的关系式，从而得解． 【详解】解：①当点P在AB上运动时，D到PA的距离， ∴当时，， ②当P在BC上运动时， ∵∠APB+∠BAP=90°， ∠PAD+∠BAP=90°， ∴∠APB=∠PAD， 又∵∠B=∠DEA=90°， ∴△ABP∽△DEA， ∴，即：， ∴当时，， ∴， 即当时，函数图象为平行于x轴的线段，且； 当时，函数图象为反比例函数， 故选项A符合题意， 故选：A． 【点睛】本题考查动点问题函数图象，解题关键是利用相似三角形的判定与性质，难点在于根据点Ｐ的位置分情况讨论． 5．（2025·上海静安·模拟预测）如图是利用凹透镜做实验时的光路示意图，已知平行于主光轴l的光线经凹透镜折射后，其折射光线的反向延长线过焦点，经过凹透镜光心O的光线传播方向不改变，与的交点C即为点A的像点．若，点A到主光轴l的距离，则点C到主光轴l的距离为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似形综合应用，分别证明和，运用相似三角形的性质可求解． 【详解】解：由题意知，， ∴， ∴，即， ∴； 又，， ∴， ∴， ∴, ∴， ∴． 故选：C． 6．（24-25九年级上·上海闵行·期中）如图，五边形\五边形，它们的相似比为3：4．已知，则 cm． 【答案】6.4 【分析】本题主要考查了相似多边形的性质， 根据相似多边形对应边的比等于相似比解答即可． 【详解】解：五边形五边形，它们的相似比为，， ， 解得． 故答案为：6.4． 7．（24-25九年级上·上海松江·课后作业）如图，在△ABC中，AB＝9，AC＝6，D为AB边上一点，且△ABC∽△ACD，则AD＝ ． 【答案】4． 【分析】根据相似三角形性的性质得到对应边成比例，列式求出AD的长． 【详解】∵△ABC∽△ACD，∴， ∵AB＝9，AC＝6，∴，解得：AD＝4． 故答案为：4． 【点睛】本题考查相似三角形的性质，解题的关键是掌握相似三角形的性质． 8．（2025·上海长宁·模拟预测）如图，在中，，点分别在边上，连接，将沿折叠，使点落在边上的点处，且使折叠后的四边形面积为面积的2倍，则的长为 ． 【答案】 【分析】该题考查了折叠的性质，相似三角形的性质和判定，根据折叠可得，．根据，得出．证明，得出，即可求解． 【详解】解：∵将沿折叠使点落在边上的点处， ∴（折叠前后对应点的连线被折痕垂直平分），（折叠前后两部分图形全等）． ∵， ． 在 和中，∵，， ∴， ， 即， 解得：（负值已舍去）． 故答案为：． 9．（24-25九年级上·上海闵行·期中）如图，中，，，.动点M从点B出发，在BA边上以每秒的速度向定点A运动，同时动点N从点C出发，在CB边上以每秒的速度向点B运动，运动时间为t秒（），连接MN，若，则t的值为 ． 【答案】或/3或1 【分析】根据，求得面积关于的表达式，解方程即可 【详解】过点作交于点，且， ∴， ∴ 根据题意可知：，，， ∴， ∴， ∵ ∴， 化简整理得：， 解得：， 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和三角形的面积公式，熟练运用知识点是解决问题的关键 10．（24-25九年级上·上海闵行·期末）如图①，春臼（chōngjiù）是利用了杠杆原理给谷物种子进行脱壳的一种传统工具，图②是该春臼的侧面简易示意图，点是支点，点距地面cm，且，在春臼使用过程中，若端上升至距地面cm处，则端此时距地面 cm． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．过作地面于，过作地面于，过作地面于，过作于交于，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】解：过作地面于，过作地面于，过作地面于，过作于交于，则，    由题意得， ∴， 则cm， ∵， ∴， ∴， ∵cm， ∴cm， ∴， ∴cm， ∴cm， 答：端此时距地面cm． 故答案为：． 11．（24-25九年级上·上海长宁·阶段练习）如图，的面积为，求的面积．    【答案】的面积为 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，根据相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， 解得，， ∴的面积为． 12．（2025九年级·上海松江·专题练习）在中，D为上的一点，E为延长线上的一点，交于F．求证： 【答案】见解析 【分析】过D作交于G，证明和相似， 和相似，列出比例式变形，比较，即可解决问题． 【详解】证明：过D作交于G，则和相似， ∴， ∵， ∴， 由可得和相似， ∴即， ∴ 【点睛】本题考查了相似三角形的证明和性质的使用，熟知以上知识是解题的关键． 13．（24-25九年级上·上海徐汇·阶段练习）在的网格中，画一个格点三角形（三角形的顶点都在虚线的交点上），使得它与相似但不全等，请画出两种不同相似比的情况．（所画图形不能超出虚线范围） 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了在网格中画相似三角形，勾股定理，熟知相似三角形的性质与判定是解题的关键． （1）利用勾股定理画出一个使得，且相似比为2即可； （2）利用勾股定理画出一个使得，且相似比为即可． 【详解】解：如图(1)所示，即为所求； ∵，，， ，，， ∴， ∴， ∴即为所求； 如图(2)所示，即为所求； ∵，，， ，，， ∴， ∴， ∴即为所求． 14．（24-25九年级上·上海虹口·期末）如图，在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度运动，点从点沿边向点以的速度运动．若点、点同时出发，当某点到终点时，另一点立即停止运动．运动时间为．    (1)_________，_________；（用含的代数式表示） (2)请计算当点运动多少秒时，以、、为顶点的三角形与相似． 【答案】(1)； (2)秒或秒 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，三角形的面积， （1）根据路程＝速度×时间以及线段的和差，即可列出代数式； （2）分两种情况，或，分别得到关于的方程，求出的值，即可解决问题； 掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：∵点从点开始沿边向点以的速度运动，点从点沿边向点以的速度运动，，， ∴，， 故答案为：；； （2）设点运动秒时，以、、为顶点的三角形与相似， ∵点从点开始沿边向点以的速度运动，点从点沿边向点以的速度运动，点、点同时出发，当某点到终点时，另一点立即停止运动，，， ∴点运动到终点所需时间为：， 点运动到终点所需时间为：， ∴的取值范围是：， ∵， ∴可分两种情况： 当时， ∴， ∴， ∴； 当时， ∴， ∴， ∴； ∴当点运动2.4秒或秒时，以、、为顶点的三角形与相似． 15．（24-25九年级上·上海松江·期末）如图，是位于校园内的旗杆，在学习了27章“相似”之后，学生们积极进行实践活动，小丽和小颖所在的数学兴趣小组测量旗杆的高度，有以下两种方案： 方案一：如图1，在距离旗杆底点远的处竖立一根高的标杆，小丽在处站立，她的眼睛所在位置、标杆的顶端和塔顶点三点在一条直线上．已知小丽的眼睛到地面的距离，，，，，点、、在同一直线上． 方案二：如图2，小颖拿着一根长为的木棒站在离旗杆的地方（即点到的距离为）．他把手臂向前伸，木棒竖直，，当木棒两端恰好遮住旗杆（即、、在一条直线上，、、在一条直线上），已知点到木棒的距离为． 请你结合上述两个方案，选择其中的一个方案求旗杆的高度． 【答案】12米 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用．若选择方案一：如图，过点E作，垂足为，交于点，求出（米），（米）， （米），进而求出（米），再证明得到，据此求出（米），进而可得到（米）；若选择方案二：如图，过点作，垂足为，交于点，则，证明，得到，即，可得（米）． 【详解】解：若选择方案一：如图，过点E作，垂足为，交于点， 由题意得：，（米），（米）， （米）， （米），， 又， ， ，即， （米）， （米） 答：旗杆的高度为12米； 若选择方案二： 如图，过点作，垂足为，交于点，则 ， ， ， 由题意得：（厘米）（米），（厘米）（米），（米）， ， ， ，即， （米） 答：旗杆的高度为12米． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 相似三角形的性质重难点题型专训 （1个知识点+8大题型+4大拓展训练+自我检测） 题型一 利用相似三角形的性质求解 题型二 重心的有关性质 题型三 证明三角形的对应线段成比例 题型四 利用相似求坐标 题型五 在网格中画与已知三角形相似的三角形 题型六 相似三角形——动点问题 题型七 相似三角形实际应用 题型八 相似三角形的判定与性质综合 拓展训练一 运用相似三角形的性质解决动点问题 拓展训练二 运用相似三角形的性质解决最值问题 拓展训练三 相似三角形中折叠问题 拓展训练四 相似三角形的综合问题 知识点一：相似三角形的性质 性质1 相似三角形的对应边成比例，对应角相等。 性质2 相似三角形的周长比等于相似比。 ∽，则 由比例性质可得： 类似地，我们还可以得到：相似多边形周长的比等于相似比。 性质3 相似三角形的面积比等于相似比的平方。 ∽，则分别作出与的高和，则 要点诠释：相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的。 如果把两个相似多边形分成若干个相似的三角形，我们还可以得到： 相似多边形面积的比等于相似比的平方。 性质4 相似三角形的对应高的比、对应中线的比、对应角平分线之比等于相似比。 要点诠释：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段。 【即时训练】 1．（24-25九年级上·上海杨浦·阶段练习）两个相似三角形的周长比是：，则这两个三角形的相似比是（ ） A． B． C． D． 2．（2025·上海松江·模拟预测）如图，已知，且，若，则 ． 【经典例题一 利用相似三角形的性质求解】 【例1】（24-25九年级上·上海杨浦·期末）如图，已知，点，，在同一条直线上，点在边上．若，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 1．（24-25九年级上·上海青浦·阶段练习）如图，点，，分别是三边上的中点，若的面积为12，则的面积为（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 2．（24-25九年级上·上海·开学考试）如果两个相似三角形对应高之比是，那么它们的对应中线之比等于 ． 3．（2025·上海静安·模拟预测）如图，在中，，，．将折叠，使点B的对应点落在边上，折痕分别与交于点D，E．若与相似，则的长为 4．（24-25九年级上·上海静安·阶段练习）如图，已知，分别是它们对应的高线，已知，若，求的长． 【经典例题二 重心的有关性质】 【例2】（2025·上海闵行·模拟预测）如图，的两条中线，相交于点．若的面积为1，则的面积为（　　） A．3 B．2 C． D．1 1．（24-25九年级上·上海宝山·期末）如图所示，已知G为直角△ABC的重心，，且，，则△AGD的面积是（    ） A．9cm2 B．12cm2 C．18cm2 D．20cm2 2．（24-25九年级上·上海虹口·期中）如图，点是的重心，连接交于，则 ． 3．（24-25九年级上·上海闵行·期中）如图，在中，G是的重心，过点G且，，则 ． 4．（24-25九年级上·上海金山·期末）发现与探究：三角形的重心．三角形三条中线的交点叫三角形的重心．重心是个物理名词，从效果上看，我们可以认为物体所受重力的合力集中于一点，这一点叫物体的重心．如图1，如果取一块均匀的三角形纸板，用一根细线绳从重心O处将三角形提起来，纸板就会处于水平状态．关于三角形的重心还有哪些性质呢？希望你经过下面的探索过程能得到答案． (1)如图2，是的中线，与等底等高，可以得到它们面积的大小关系为：______（填、或）； (2)如图3，若三条中线、、交点为G，则也是的中线，利用上述结论可得：，同理，．若设，，，猜想x，y，z之间的数量关系为：______； (3)如图3，被三条中线分成六个小三角形，点G为的重心，则______； (4)如图4，点D、E在的边、上，、交于G，G是的重心，，，，求四边形的面积． 【经典例题三 证明三角形的对应线段成比例】 【例3】（24-25九年级上·上海松江·期中）已知与相似，且，那么下列结论中，一定成立的是（   ） A． B． C．相似比为 D．相似比为 1．（24-25九年级上·上海静安·期中）如图， ∽ ，且 ，则 与 的相似比为（    ） A．2:3 B．3:2 C．2:1 D．1:2 2．（24-25九年级上·上海松江·单元测试）如果两个相似三角形的周长的比为1∶4，那么周长较小的三角形与周长较大的三角形对应角平分线的比为 ． 3．（24-25九年级上·上海嘉定·期中）如图，一个半径为2的圆P与x正半轴相切，过原点O作圆P的切线，切点为T，直线分别交轴的正半轴于两点，且P是线段的三等分点，则圆心P的坐标为 ．    4．（25-26九年级上·上海松江·课后作业）如图，在中，，垂足为． (1)这四条线段是否是成比例线段？请说明理由． (2)在图中还能找出成比例的其他四条线段吗（线段可以重复）？若有，请写出一种情况，并说明理由． 【经典例题四 利用相似求坐标】 【例4】（24-25九年级上·上海奉贤·期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形OEFG与矩形ABCD是位似图形,C（﹣4，4），F（2，1），则位似中心的坐标是（    ） A．（0，2） B．（0，2.5） C．（0，3） D．（0，4） 1．（24-25九年级上·上海普陀·期末）如图，线段AB两个端点的坐标分别为A（6，6），B（8，2），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，则线段CD的长为（　　） A．2 B． C．3 D． 2．（24-25九年级上·上海青浦·期末）在直角坐标系中，已知点A（-2，0），B（0，4），C（0，3），过点C作直线交x轴于点D，使得以D，O，C为顶点的三角形与△AOB相似，点D的坐标为 ． 3．（24-25九年级上·上海松江·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，，，则点坐标为 ． 4．（2025·上海松江·模拟预测）（1）尺规作图：如图，、是平面上两个定点，在平面上找一点，使构成等腰直角三角形，且为直角顶点.（画出一个点即可） （2）在（1）的条件下，若，，则点的坐标是________. 【经典例题五 在网格中画与已知三角形相似的三角形】 【例5】（24-25九年级上·上海嘉定·期末）如图，在正方形网格中，下列正方形网格中的阴影图形与相似的是（   ） A． B． C． D． 1．（24-25九年级上·上海宝山·阶段练习）如图，在正方形网格上有个斜三角形：①，②，③，④，⑤，⑥．在②～⑥中，与①相似的三角形有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（2025·上海徐汇·模拟预测）如图，△ABC的顶点在1×3的正方形网格的格点上，在图中画出一个与△ABC相似但不全等的△DEF（△DEF的顶点在格点上），则△DEF的三边长分别是 ． 3．（2025·上海嘉定·模拟预测）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点都在格点上． （Ⅰ）AC的长是 ； （Ⅱ）将四边形折叠，使点C与点A重合，折痕EF交BC于点E，交AD于点F，点D的对应点为Q，得五边形.请用无刻度的直尺在网格中画出折叠后的五边形，并简要说明点的位置是如何找到的 . 4．（2025·上海青浦·模拟预测）如图，是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，仅用无刻度的直尺，在给定网格中完成下列画图∶ (1)在图1中，已知是格点，点C在线段上，请画出点E，使 (2)如图2，已知是格点，请画出点D关于 的对称点E． 【经典例题六 相似三角形——动点问题】 【例6】（2025·上海松江·模拟预测）中，．点从出发以向移动秒，当为等腰三角形时，的值为（    ）． A．0 B．1 C．0或1 D．1或 1．（24-25九年级上·上海金山·期末）如图，在钝角三角形中，，动点D从A点出发到B点止，动点E从C点出发到A点止．点D运动的速度为/秒，点E运动的速度为/秒．如果两点同时运动，那么当以点A、D、E为顶点的三角形与相似时，运动的时间是（    ） A．3秒或4.8秒 B．3秒 C．4.5秒 D．4.5秒或4.8秒 2．（24-25九年级·上海松江·阶段练习作业）如图，中，，，，点是边上一点，将沿经过点的直线折叠，使得点落在边上的处，若恰好和相似，则此时的长为 ． 3．（2025·上海虹口·模拟预测）如图是一个量角器和一个含30°的直角三角板放置在一起的示意图，其中点B在半圆O的直径DE的延长线上，AB切半面O于点F，且BC＝OE＝2．若以O、B、F为顶点的三角形与△ABC相似，则OB的长为 ． 4．（24-25九年级上·上海长宁·开学考试）在中，．现有动点P从点A出发，沿向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段也向点B方向运动．如果点P的速度是秒，点Q的速度是秒，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动的时间为ｔ秒，求： (1)用含t的代数式表示的面积S； (2)当秒时，这时，P，Q两点之间的距离是多少？ (3)当t为多少秒时，以点C，P，Q为顶点的三角形与相似？ 【经典例题七 相似三角形实际应用】 【例7】（2025·上海青浦·模拟预测）如图，不等臂跷跷板的支撑点O到地面的高度为，当的一端A碰到地面时，另一端B到地面的高度为；当AB的一端B碰到地面时，另一端A到地面的高度为（   ） A． B． C． D． 1．（24-25九年级上·上海静安·期末）阿基米德曾说过“给我一个支点，我能撬动整个地球．”这句话生动体现了杠杆原理：通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物．这一原理在生活中随处可见，比如用撬棍撬石头、用剪刀剪纸，甚至开瓶器开啤酒，都是杠杆的巧妙运用．如图①，这是杠杆撬动石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端会翘起，石头就撬动了．如图②所示，的距离为，动力臂米，阻力臂，则的长度为（   ）． A．50 B．80 C．90 D．100 2．（24-25九年级上·上海宝山·期中）如图是木杆在路灯下形成影子的示意图，路灯和木杆均垂直于地面，经测量，，木杆的影子．若，则路灯的长为 ． 3．（24-25九年级上·上海杨浦·期末）如图1是液体沙漏的平面示意图，经过一段时间后如图2所示，此时液面 ． 4．（2025·上海宝山·模拟预测）如图是古代测量工具“水平真尺”的示意图，在尺子的表面有一条凹槽用来盛水，尺子两端各有一个小孔，通过这两个小孔去观察远处的目标，如果两个小孔和水面在同一水平线上，那么通过小孔看到的远处目标也在同一水平线上．如图，小明利用自制水平真尺测量池塘对面楼房的高度．小明在B处安置一根与地面垂直的标杆，利用水平真尺在点A处测得点A，B，楼房底端点C在同一水平线上，此时点A，标杆上的点D，楼房顶端点E恰在同一直线上．小明往后退5米到点F处，利用水平真尺测得点F，B，C在同一水平线上，此时点F，标杆顶点G，楼房顶端点E在同一直线上．测量得到米，米，米．请据此计算出楼房的高度． 【经典例题八 相似三角形的判定与性质综合】 【例8】（24-25九年级上·上海闵行·阶段练习）如图在中，点分别在上，若，，则的值为（   ） A．9 B．8 C．7 D．6 1．（24-25九年级上·上海杨浦·期末）如图，已知与位似，点为位似中心，，下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·上海·阶段练习）四边形均为正方形，若，则长为 ． 3．（24-25九年级上·上海奉贤·期末）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，是圆的内接三角形，顶点B，C在格点上． （1）的长等于 ； （2）E是线段与网格线的交点，P是外接圆上的动点，点F在线段PB上，且满足．当取得最大值时，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出点P，并简要说明点P的位置是如何找到的 ．（不要求证明） 4．（24-25九年级上·上海虹口·开学考试）如图，四边形和四边形都是平行四边形，点R为的中点，分别交，于点P，Q． (1)求证：； (2)求． 【拓展训练一 运用相似三角形的性质解决动点问题】 1．（24-25九年级上·上海崇明·期中）如图，在中，，，动点P从点A开始沿边运动，速度为，动点Q从点B开始沿边运动，速度为，如果P、Q两动点同时运动，那么经过多少秒时，以B、Q、P为顶点的三角形与相似． 2．（24-25九年级上·上海宝山·期末）如图，已知，在中，，，点P从A点出发，沿以的速度向点B运动；同时点Q从C点出发，沿以的速度向A点运动，设运动时间为x， (1)当时，x为何值？ (2)能否与相似，若能，求出的长，若不能，请说明理由． (3)当时，求．（直接写答案） 3．（24-25九年级上·上海青浦·阶段练习）如图，中，，，，动点从点出发，在边上以每秒的速度向点匀速运动，同时动点从点出发，在边上以每秒的速度向点匀速运动，运动时间为秒，连接． (1)若与相似，求的值； (2)当为何值时，四边形的面积最小，最小值是多少？ 【拓展训练二 运用相似三角形的性质解决最值问题】 1．（2025·上海金山·模拟预测）如图，在等腰直角三角形中，，，，点M是的中点，点D和点N分别是线段和上的动点． (1)当点D和点N分别是和的中点时，求a的值； (2)当时，以点C，D，N为顶点的三角形与相似，求的值； (3)当时，求的最小值． 2．（24-25九年级上·上海徐汇·阶段练习）如图1，∠AOB＝90°，OA＝4，OB＝3，点E在线段OA上，EP⊥OA交AB于点N，PM⊥AB，直线PB与AO交于点F． （1）若AN＝3，S△PBN＝8，求PN的长； （2）设△PMN的周长为C1，△AEN的周长为C2，若△PFE～△BAO且＝，求OE的长； （3）如图2，若OE＝2，将线段OE绕点O逆时针旋转得到OE'，旋转角为α （0°＜α＜90°），连接E'A、E'B，求E'A+E'B的最小值． 3．（24-25九年级上·上海崇明·阶段练习）【教材呈现】如图是华师版九年级上册数学教材第页的部分内容． 【定理应用】 (1)如图，点、、分别是三边中点，若的周长为，则的周长是_____； (2)如图，、是的中线，，点、分别是和的中点，若，那么的长为_____； (3)如图，在矩形中，将线段绕点旋转一定的角度，得到线段'，连结，点，分别是和的中点，连结，，，已知，，则的面积最大值为_____． 【拓展训练三 相似三角形中折叠问题】 1．（24-25九年级上·上海宝山·阶段练习）如图，折叠矩形的一边，使点D落在边上的点F处，已知，． (1)求证：； (2)求的长． 2．（24-25九年级上·上海徐汇·期末）如图，将等边三角形折叠，使点A落在边上的点D处（不与B、C重合），折痕为． (1)求证：； (2)若，，直接写出，的周长； (3)在（2）的条件下，求的长． 3．（24-25九年级上·上海虹口·阶段练习）如图，△OAB是等腰直角三角形，∠AOB＝90°，OA＝OB＝4．折叠该纸片，使点A落在线段OB上，折痕与边OA交于点C，与边AB交于点D． （1）若折叠后使点A与点O重合，此时OC＝ ； （2）若折叠后使点A与边OB的中点重合，求OC的长度； （3）若折叠后点A落在边OB上的点为E，且使DE∥OA，求此时OC的长度． 【拓展训练四 相似三角形的综合问题】 1．（2025·上海崇明·模拟预测）如图，内接于，是直径，为中点，连接，，过点作，交的延长线于点． (1)试判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若，，求的长． 2．（24-25九年级上·上海松江·期末）如图，已知O是坐标原点，点B、点C的坐标分别为． (1)以O点为位似中心，在y轴的左侧将放大到原来的2倍得到； (2)在（1）的条件下，若面积为m，则的面积为 　　． 3．（2025·上海普陀·模拟预测）九年级数学项目式学习小组通过学习知道太阳光是平行光，可以借助太阳光线构成两个相似三角形，来计算出一些没办法直接测量的物体的高度．学习小组利用可伸缩的标杆和卷尺展开了测量物体高度的学习． (1)如图1，若垂直于地面的标杆米，它的影长米，同一时刻，旗杆的影长米，则旗杆的高度为______米； (2)如图2，学习小组计划测量运动场围墙外的电线杆的高度，但受围墙的阻碍，没办法直接测量电线杆的影长．同学们进行了如下操作：①在某一时刻，垂直于地面的2米标杆的端点C的影子恰好与电线杆的端点A的影子重合于点E，测得米；②把标杆缩短为1.2米，记作，过了一段时间，标杆的端点D的影子恰好与电线杆的端点A的影子重合于点F，测得米．请求出电线杆的高度． 1．（2025九年级上·上海松江·专题练习）如图，，则下列比例式正确的是（　　）    A． B． C． D． 2．（2025·上海奉贤·模拟预测）如图，网格中每个小正方形的边长均为1，则图中与阴影三角形相似的三角形是（  　　）    A．   B．   C．   D．   3．（2025·上海闵行·模拟预测）若，，的周长是8，则的周长是（   ） A．27 B．18 C．15 D．12 4．（24-25九年级上·上海宝山·期末）如图，矩形中，，，动点P从A点出发，按的方向在和上移动，记，点D到直线的距离为y，则y关于x的函数图象大致是（    ） A． B． C． D． 5．（2025·上海静安·模拟预测）如图是利用凹透镜做实验时的光路示意图，已知平行于主光轴l的光线经凹透镜折射后，其折射光线的反向延长线过焦点，经过凹透镜光心O的光线传播方向不改变，与的交点C即为点A的像点．若，点A到主光轴l的距离，则点C到主光轴l的距离为（       ） A． B． C． D． 6．（24-25九年级上·上海闵行·期中）如图，五边形\五边形，它们的相似比为3：4．已知，则 cm． 7．（24-25九年级上·上海松江·课后作业）如图，在△ABC中，AB＝9，AC＝6，D为AB边上一点，且△ABC∽△ACD，则AD＝ ． 8．（2025·上海长宁·模拟预测）如图，在中，，点分别在边上，连接，将沿折叠，使点落在边上的点处，且使折叠后的四边形面积为面积的2倍，则的长为 ． 9．（24-25九年级上·上海闵行·期中）如图，中，，，.动点M从点B出发，在BA边上以每秒的速度向定点A运动，同时动点N从点C出发，在CB边上以每秒的速度向点B运动，运动时间为t秒（），连接MN，若，则t的值为 ． 10．（24-25九年级上·上海闵行·期末）如图①，春臼（chōngjiù）是利用了杠杆原理给谷物种子进行脱壳的一种传统工具，图②是该春臼的侧面简易示意图，点是支点，点距地面cm，且，在春臼使用过程中，若端上升至距地面cm处，则端此时距地面 cm． 11．（24-25九年级上·上海长宁·阶段练习）如图，的面积为，求的面积．    12．（2025九年级·上海松江·专题练习）在中，D为上的一点，E为延长线上的一点，交于F．求证： 13．（24-25九年级上·上海徐汇·阶段练习）在的网格中，画一个格点三角形（三角形的顶点都在虚线的交点上），使得它与相似但不全等，请画出两种不同相似比的情况．（所画图形不能超出虚线范围） 14．（24-25九年级上·上海虹口·期末）如图，在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度运动，点从点沿边向点以的速度运动．若点、点同时出发，当某点到终点时，另一点立即停止运动．运动时间为．    (1)_________，_________；（用含的代数式表示） (2)请计算当点运动多少秒时，以、、为顶点的三角形与相似． 15．（24-25九年级上·上海松江·期末）如图，是位于校园内的旗杆，在学习了27章“相似”之后，学生们积极进行实践活动，小丽和小颖所在的数学兴趣小组测量旗杆的高度，有以下两种方案： 方案一：如图1，在距离旗杆底点远的处竖立一根高的标杆，小丽在处站立，她的眼睛所在位置、标杆的顶端和塔顶点三点在一条直线上．已知小丽的眼睛到地面的距离，，，，，点、、在同一直线上． 方案二：如图2，小颖拿着一根长为的木棒站在离旗杆的地方（即点到的距离为）．他把手臂向前伸，木棒竖直，，当木棒两端恰好遮住旗杆（即、、在一条直线上，、、在一条直线上），已知点到木棒的距离为． 请你结合上述两个方案，选择其中的一个方案求旗杆的高度． 学科网（北京）股份有限公司 $$