专题03 相似三角形的判定重难点题型专训（1个知识点+6大题型+3大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年九年级数学上册重难点专题提升精讲精练（沪教版）

专题03 相似三角形的判定重难点题型专训 （1个知识点+6大题型+3大拓展训练+自我检测） 题型一 利用平行判定相似 题型二 利用两角对应相等判定相似 题型三 利用三边对应成比例判定相似 题型四 利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似 题型五 相似三角形的判定综合 题型六 选择或补充条件使两个三角形相似 拓展训练一 相似三角形判定与网格问题 拓展训练二 相似三角形判定的证明问题 拓展训练三 相似三角形判定的综合应用 知识点一： 相似三角形的判定 预备定理 平行于三角形的一边的直线与其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似． 判定1 有两个角对应相等的两个三角形相似． 判定2 两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似． 判定3 三边对应成比例的两个三角形相似 直角三角形 的特殊判定 若一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似． 【即时训练】 1．（25-26九年级上·上海松江·课后作业）如图所示的三个三角形，相似的是（   ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的判定定理. 分别把三个三角形的内角计算出来，利用两角对应相等判断三角形相似. 【详解】解：分别把三个三角形的内角都计算出来. ①：由，所以三个内角分别为，，. ②：由，所以三个内角分别为，，. ③：由，所以三个内角分别为，，. 所以只有①②的内角都相等，符合相似三角形的判定定理. 故选：A． 2．（24-25九年级上·上海崇明·期中）如图，在正方形网格中有四个三角形，其中与相似（不包括本身）的三角形有 个． 【答案】1 【分析】本题考查的是相似三角形的判定，利用网格特点得到为，第2个图中含，然后利用两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可判断第2个图形与相似． 【详解】解：∵为，三个图形中只有第2个图中含， 且夹的两组对应边成比例， ∴与相似（不包括本身）的三角形有1个． 故答案为：1． 【经典例题一 利用平行判定相似】 【例1】（24-25九年级上·上海宝山·开学考试）将一副三角板按图叠放，则与的周长比为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，直角三角形的性质，解题的关键在于利用相似三角形的性质和特殊直角三角形的边长关系，确定相似比，进而求出周长比．先证明与相似，再根据相似三角形的性质求出它们的周长比即可． 【详解】设， 是等腰直角三角形，且， ， 在中，， ， ， ， 即， ， ， 与的周长比为：． 故选：D． 1．（24-25九年级上·上海松江·阶段练习）如图是一张三角形纸片，沿边上的中线折叠，点落在点处，与相交于点，若与垂直，且，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了图形的变换—折叠，三角形中位线的性质、三角形全等的判定及性质、三角形相似的判定及性质，熟练掌握以上知识点、会添加适当的辅助线是解题的关键．取的中点，连接交于点，构造为的中位线， 得到，，即，，得出，由折叠的性质得，进而证明，得出，，由，得，即，推出，即可得出答案． 【详解】解：如图所示，取的中点，作射线交于点， 为的中线， 为的中点， 为的中点， ，， 与垂直，， ，， ， 三角形沿边上的中线折叠， ，，， ， ，， ， ， ， ， 故答案为． 2．（2025·上海普陀·模拟预测）如图，中，已知、分别是、的中点，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查考查相似三角形的判定，中位线的性质，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．方法一：利用先得出，再结合即可证明；方法二：先证明是的中位线，得出，即可证明． 【详解】证明：方法一：、分别是、的中点， ，， ， ， ； 方法二：、分别是、的中点， ， ． 3．（2025九年级上·上海松江·专题练习）如图，在中，点、在上，点、分别在、上，且， ，交于点图中与相似的三角形有多少个？把它们表示出来，并说明理由． 【答案】图中与相似的三角形有个，，， 【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 根据相似三角形的判定推出答案即可． 【详解】解：图中与相似的三角形有个，，，， 理由：， ，， ， ， ． 4．（2025·上海徐汇·模拟预测）在数学文化长河中，蕴藏着诸多精妙的比例关系，除广为人知的黄金分割外，白银分割亦是一颗璀璨的明珠．白银分割是指：若存在两点C、D将线段分割为两条等长的较长线段及一条较短线段，满足比例关系：，则称线段被点C、D白银分割，点C、D叫做线段的白银分割点，该比值叫做白银比． 根据分割形态差异，可分为两类经典情形： 对称型分割——当两条等长的较长线段分居较短线段两侧时（如图1），构成对称型白银分割； 邻接型分割——当两条等长的较长线段相邻排列时（如图2），构成邻接型白银分割． (1)以对称型分割为例，类比黄金比的求解方法探究白银比．如图1，设，．求x的值，写出必要的解答过程（结果保留根号）． (2)如图3，点C为线段靠近点A的白银分割点，在只考虑对称型分割的情形下请利用尺规作图，作出线段靠近点A的白银分割点P．不写作法，保留作图痕迹． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了白银分割的概念及应用、一元二次方程的求解以及尺规作图，解题关键是理解白银分割的比例关系并据此列出方程求解，同时利用尺规作图的基本原理作出符合要求的图形． （1）根据线段设定及白银分割定义，用含x的式子表示各线段长度，依据白银分割比例关系列出方程，将方程化为一元二次方程标准形式，利用求根公式求解，根据线段长度非负性舍去不合理的值． （2）连接，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交、于点、 ；以点为圆心，同样的半径画弧，交于点，用圆规量取的长度，以点为圆心，长为半径画弧，交之前所画弧于点，用直尺连接并延长，与相交于点，此时，根据同位角相等，两直线平行，可得，点就是线段靠近点的白银分割点． 【详解】（1）解：，， ， ， 解得：，（舍去）； （2）如图所示：点P即为所求． 【经典例题二 利用两角对应相等判定相似】 【例2】（24-25九年级上·上海松江·随堂练习）在判断“有一个锐角相等的两个直角三角形”是否相似时，甲、乙同学的观点如下：甲：相似；乙：不相似．对于两人的观点，下列说法正确的是（　　） A．两人都对 B．两人都不对 C．甲对，乙不对 D．甲不对，乙对 【答案】C 【分析】此题考查了相似三角形的判定，根据两角分别相等的两个三角形相似进行解答即可． 【详解】解：有一个锐角相等，同时直角相等，根据两角分别相等的两个三角形相似即可判定两个直角三角形相似， 故甲对，乙不对， 故选：C 1．（24-25九年级上·上海长宁·期末）在中，D、E分别是、上的点，、交于点F，下列不能判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形相似的判定定理，判断解答即可． 本题考查了三角形相似的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键． 【详解】解：若，已经具备的条件是一对公共角相等即， 故A. ，符合两边对应成比例且夹角相等，故能判定    ，不符合题意； B. 即，由，得，得，故能判定，不符合题意； C. ，，能判定，不符合题意；     D. ，夹角不相等，无法判定相似，错误，符合题意， 故选：D． 2．（2025·上海奉贤·模拟预测）如图，中，是上一点，连接．请你补充一个条件 ，使． 【答案】（或或或）（答案不唯一） 【分析】本题考查两个相似三角形的判定定理，涉及两角分别相等的两个三角形相似、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似判定即可得到答案．熟记两个相似三角形的判定定理是解决问题的关键． 【详解】解：在和中，， 是的一个外角， ， 即，且， ， 当时，；或当时，；或当时，； 故答案为：（或或或）（答案不唯一）． 3．（2025九年级上·上海奉贤·模拟预测）如图，点、分别在的边、上，且，则图中相似三角形有 对． 【答案】4/四 【分析】本题考查相似的判定，熟练掌握相似的判定条件是解题的关键． 是、、的公共角，然后根据所给的相等的角，可找出图中的相似三角形； 再根据，可知，可得出，即可判定出，看共有几组即可． 【详解】解：∵，， ∴； ∵，， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴图中相似三角形有4对． 故答案为：4． 4．（24-25九年级上·上海虹口·期末）如图，在中，，点D是边的中点，连接，点E在上，连接，且． (1)求证：； (2)求证：； (3)如果，求证：． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)见解析． 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是确定相似三角形，并证明三角形相似： （1）根据，证明即可； （2）先得到，等量代换得到，推出，得到，即可； （3）证明，推出，再根据，代换后即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， （2）证明：， ∴， ∵是中点， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （3）证明：由（1）知：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵为中点， ∴， ∴， ∴． 【经典例题三 利用三边对应成比例判定相似】 【例3】（24-25九年级上·上海金山·期中）已知的三边长分别为的一边长为，当的另两边长是下列哪一组时，这两个三角形相似（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的性质．根据相似三角形对应边成比例逐项验证即可． 【详解】解：A.∵，∴选项不符合题意； B.∵，∴选项不符合题意； C.∵，∴选项符合题意； D.∵，∴选项不符合题意； 故选：C． 1．（24-25九年级上·上海杨浦·期末）如图，在方格中，点，，，，点均在格点上，若与相似，则符合条件的格点是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】C 【分析】本题考查了网格与勾股定理、相似三角形的判定，先分别算出每条边的长度，再根据三边成比例进行判定两个三角形相似，据此进行作答即可． 【详解】解：依题意，，，， 则 ∵， ∴与不相似， 故A选项不符合题意； 则 ∵， ∴与不相似， 故B选项不符合题意； 则 ∵， ∴与相似， 故C选项符合题意； 则 ∵， ∴与不相似， 故D选项不符合题意； 故选：C． 2．（24-25九年级上·上海松江·随堂练习）如图，将方格纸分成6个三角形，在②③④⑤⑥5个三角形中，与三角形①相似的三角形是 ．（填序号） 【答案】③ 【分析】本题考查了相似三角形的判定定理，勾股定理，设方格纸的每个小正方形的边长，结合勾股定理计算得出每个三角形的三边长，再结合相似三角形的判定定理即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：设方格纸的每个小正方形的边长为， 则①的三边长为，，， 的三边长为，，， 的三边长为2，，， 的三边长为，，4， 的三边长2，，， 的三边长为，，， 故和①三边对应成比例的只有③，故三角形①相似的三角形是③， 故答案为：③． 3．（24-25九年级上·上海·阶段练习作业）如图，在边长为1个单位的方格纸上，有与．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了勾股定理和相似三角形的判定，先计算出三角形的各个边的长，再根据三边对应成比例的两个三角形相似证明即可． 【详解】证明：由图知：，，， ，，． ， ． 4．（24-25九年级上·上海静安·期末）在边长为1的小正方形网格中，的顶点、、均落在格点（小正方形的顶点）上，请只用无刻度的直尺按要求完成作图． (1)将绕点按逆时针方向旋转，得到，请在图1中作出．（点与点是对应点） (2)请在图2中画一个三角形，使得该三角形与相似（不全等）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了旋转作图，相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握旋转的性质和相似三角形的判定定理． （1）根据旋转的性质，先作出点B、C的对应点、，然后再顺次连接即可； （2）根据相似三角形的判定求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，为所求作的三角形； （2）解：如图所示， 【经典例题四 利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似】 【例4】（24-25九年级上·上海金山·期末）如图，在的方格中，画有格点（阴影部分）与相似的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似．利用两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似对各选项进行判断． 【详解】解：， A选项中，三条线段的长为，因为，此三角形为直角三角形，长直角边与短直角边的比为2，所以A选项的方格中所画格点三角形（阴影部分）与相似；而B选项中长直角边与短直角边的比为3，C、D选项中的两直角边的比为． 故选：A． 1．（24-25九年级上·上海奉贤·期中）如图，已知，点在上，添加下列条件后，仍无法判定与相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定，能熟记相似三角形的判定定理是解此题的关键．根据求出，再根据相似三角形的判定定理逐个判断即可． 【详解】解：A．， ， 即， 又，符合相似三角形的判定定理，能推出，故本选项不符合题意； B．， ， 又，符合相似三角形的判定定理，能推出，故本选项不符合题意； C．，，符合相似三角形的判定定理，能推出，故本选项不符合题意； D．，，不符合相似三角形的判定定理，不能推出，故本选项符合题意； 故选：D． 2．（24-25九年级上·上海·期中）如图， 已知点D、E分别在的边和上， 如果 那么 得到． （填“能”或“不能”） 【答案】不能 【分析】本题考查相似三角形的判定定理，根据条件无法判断，据此即可得到结论． 【详解】解：∵，不能判断， ∴不能得到， 故答案为：不能． 3．（24-25九年级上·上海青浦·阶段练习）如图，在中，点在上，连接．已知，求证，． 【答案】见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似．通过计算可得，加上为公共角，则根据相似三角形的判定方法可判断． 【详解】证明：，，， ，， ， ， 4．（24-25九年级上·上海宝山·期末）如图是由边长为 1 的小正方形组成的 的网格，每个小正方形的顶点叫做格点 三个顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成两个画图任务． (1)在图 1 中，画 ，使点 在格点上，且 与 相似；（只需画出一个即可） (2)在图 2 中，线段 上找一点 ，使 ． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了格点作图，三角形相似的判定和性质，平行线分线段成比例定理，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法． （1）根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，进行画图即可； （2）取格点E，连接，交于点D，则点D即为所求作的点． 【详解】（1）解：点E即为所求作的点，如图所示： ∵，， ∴； ∵，， ∴； （2）解：点D即为所求作的点，如图所示： ∵， ∴， ∴， 即． 【经典例题五 相似三角形的判定综合】 【例5】（2025九年级上·上海松江·专题练习）如图，中，，，．将沿图示中的虚线剪开，按下面四种方式剪下的阴影三角形与原三角形相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定定理是解答本题的关键． 根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可． 【详解】阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似； 阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似； ，，，两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似； 两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似； 故选：A． 1．（2025·上海闵行·模拟预测）定义：如果一个四边形的两条对角线将它分成的四个小三角形都是相似三角形，那么称这样的四边形为“全相似四边形”．如图，在四边形中，，，下列条件能使四边形成为“全相似四边形”的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查相似图形，全等三角形的判定和性质．如图，连接交于点O．证明，推出，再证明当时符合题意即可． 【详解】解：如图，连接交于点O． 在和中， ， ∴， ∴， 当时，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴，同法可证， 故选项B符合题意． 当或或时都不符合题意． 故选：B． 2．（24-25九年级上·上海宝山·期末）如图，已知，则图中相似三角形是 ．    【答案】 【分析】本题考查相似三角形的判定，掌握两角对应相等的两个三角形相似是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：． 3．（24-25九年级上·上海闵行·阶段练习）如图，方格纸中每个小正方形的边长为1，的顶点都在格点上，点、、、、、、是边上的7个格点，请在这7个格点中任意选取3个点作为三角形的顶点，使构成的三角形与相似，符合题意的三角形共有 个． 【答案】5 【分析】本题考查了相似三角形的判定，勾股定理与网格．欲求有几个符合条件的三角形与相似，先利用勾股定理求出的三边的长度，然后再去求以，，为顶点构成的三角形的三边长，比较对应三边时否成比例，便可判定是不符合．按这种方法一一计算判定可得结论． 【详解】解：则，，． 连接， ，，． ， ． 同理可找到，，，和相似，共5个． 故答案为：5． 4．（25-26九年级上·上海松江·课后作业）如下图，在和中，． (1)判断这两个三角形是否相似，并说明理由． (2)在这两个三角形中，能否分别过点A，D各作一条辅助线，使分割成的两个三角形与分割成的两个三角形分别对应相似？如果能，证明你的结论；如果不能，请说明理由． 【答案】(1)不相似，理由见解析 (2)能，证明见解析 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． （1）由题意可得，根据两个三角形对应边的比值是否相等即可判断； （2）作和，则；根据有两个角对应相等的两个三角形相似即可证得． 【小题1】解：不相似，理由如下： ， ， ， ， 与不相似． 【小题2】（2）能作辅助线进行分割．证明如下： 如图，作，交于点；作，交于点， 则． ， ． ， ， ． 故能作辅助线进行分割． 【经典例题六 选择或补充条件使两个三角形相似】 【例6】（24-25九年级上·上海静安·期中）如图，是的边上一点，下列条件中，不能判定与相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查相似三角形的判定，由是公共角，利用有两角对应相等的三角形相似，即可得A与B正确；又由两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，即可得C正确，继而求得答案，掌握三角形相似的判定方法是解题的关键． 【详解】∵是公共角， ∴当或时，与相似（有两角对应相等的三角形相似），故A与B正确，不符合题意； 当时，与相似（两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似），故C正确，不符合题意； 当时，不是夹角，故不能判定与相似，故D错误，符合题意． 故选：D． 1．（2025·上海虹口·模拟预测）如图，已知与中，，点E在AB上，那么添加下列一个条件后，仍然不能判定与相似的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】】根据相似三角形的判定方法逐项判断即可． 【详解】解：A．由∠C=∠AED=90°，∠CAB=∠D，可知△ACB∽△DEA，本选项不符合题意； B．设，即， 又∵∠C=∠AED=90°， ∴△ACB∽△DEA，本选项不符合题意； C．由BCAD，可得∠B=∠DAE，由∠C=∠AED=90°，可得△ACB∽△DEA，本选项不符合题意； D．由，无法判断三角形相似，本选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定，属于中考常考题型． 2．（24-25九年级上·上海普陀·期末）如图，在中，D，E分别是，上的点，请你添加一个条件 ，使得．    【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查相似三角形的判定，由条件可知和有公共角，根据三角形相似的判定方法可再添加一组角对应相等，或添加和的两边对应成比例，即可使得． 【详解】解：在和中，， 添加一组对应角相等可得，添加条件为：，或； 添加和的两边对应成比例，可得，添加条件为， 添加，可证，，也可得； 因此添加的条件可以是：或或或． 故答案为：（答案不唯一）． 3．（24-25九年级上·上海静安·期末）如图，点D为△ABC外一点，AD与BC边的交点为E，AE＝3，DE＝5，BE＝4，要使△BDE∽△ACE，且点B，D的对应点为A，C，那么线段CE的长应等于 ． 【答案】. 【分析】根据对顶角相等得到∠AEC=∠BED，则根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，当时，△BDE∽△ACE，然后利用比例性质计算CE的长． 【详解】解：∵∠AEC＝∠BED， ∴当时，△BDE∽△ACE， 即 ∴CE＝ 故答案为． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，此判定方法要合理使用公共角或对顶角． 4．（24-25九年级上·上海闵行·期中）如图1，在中，是边上的一点，联结．要使，还需要补充的一个条件是______，或______．    请回答： (1)补充的条件是______，或______； (2)请你参考上面的图形和结论，探究、解答下面的问题： 如图2，在中，，．求的度数． 【答案】(1)，，或； (2)． 【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．运用两个角对应相等或者夹角相等，两边对应成比例即可证明（1）；延长到点D，使，易得，然后由相似三角形的对应角相等，求得，则可求得的度数，继而求得（2）中的的度数． 【详解】（1）解：由是公共角，可得要使， 所以还需要补充的一个条件是：，，或； （2）解：如图，延长到点D，使，    ∵， 即 ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴， ∴． 【拓展训练一 相似三角形判定与网格问题】 1．（24-25九年级上·上海杨浦·期中）如图，在4×4的正方形网格纸中，和的顶点都在边长为1的小正方形的格点上．求证：．    【答案】见解析 【分析】此题主要考查学生对勾股定理和相似三角形的判定的理解和掌握．根据已知条件，结合网格可以求出和的度数，利用勾股定理求出相关线段的长；根据相似三角形的判定定理，夹角相等，对应边成比例即可证明与相似． 【详解】证明：∵，， ，，，， ∴，， ∴， ∴． 2．（24-25九年级上·上海普陀·期中）如图是最小方格边长为1的网格．    (1)求证：； (2)和是位似三角形吗？如果是，在图中画出位似中心点；如果不是，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)和是位似三角形，理由见解析，画图见解析 【分析】（1）用勾股定理分别求出和的三边长，再根据三边对应成比例的三角形相似进行求解即可． （2）看对应点的连线是否交于一点即可得到结论． 【详解】（1）证明：由勾股定理得， ， ∴， ∴； （2）解：和是位似三角形，理由如下： 如图所示，分别连接，并延长，可以发现三者的延长线交于格点O， ∴和是位似三角形，点O即为位似中心．    【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，位似三角形的定义，找位似三角形的位似中心，勾股定理等等，熟知相关知识是解题的关键． 3．（24-25九年级上·上海青浦·阶段练习）如图1是的正方形网格（其中每个小正方形的边长均为1），点A，B，C均在格点上，连接，，，我们称三个顶点都在格点上的三角形为格点三角形． （1）________，的面积为________．（本小题直接写出答案即可） （2）请你仅用一把没有刻度的直尺，在图1中画出的重心G，保留作图痕迹； （3）如果存在格点，使得，且与的相似比为，请你在图2中画出这样的格点．（无需解答过程，只需画出一个满足题意的格点三角形，并标注相应的字母） 【答案】（1），5；（2）见解析；（2）见解析 【分析】（1）根据勾股定理得出、和的长，再利用勾股定理的逆定理即可得出的度数，再利用三角形的面积公式得出的面积； （2）利用重心的定义和网格的特点即可画出； （3）利用三边对应成比例两三角形相似，再结合网格的特点即可画出； 【详解】解：（1）由勾股定理得：，，， ∴， ∴， ∴的面积=； （2）如图所示：取点D和E，连接BE和CD相交于G； （3）如图所示： ，，， ，，， ∴与的相似比为， 【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理，三角形的重心，相似三角形的判定，熟练掌握网格特点和相关的知识是解题的关键． 【拓展训练二 相似三角形判定的证明问题】 1．（24-25九年级上·上海虹口·期末）在综合与实践课上，老师组织同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．有一张矩形纸片如图所示，点在边上，现将矩形折叠，折痕为，点对应的点记为点，若点恰好落在边上，请判断与是否相似？如果不相似，请说明理由；如果相似，请证明． 【答案】相似，证明见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定，矩形的性质；根据矩形的性质得出，根据折叠的性质得出，进而证明进而即可得证． 【详解】解：相似 证明：四边形是矩形， ， ， 由折叠的性质可得：， ， ， ， 2．（24-25九年级上·上海闵行·期末）如图，在中，，，的三条角平分线交于点O，过O作的垂线分别交于点D，E． (1)下面给出了几个结论，其中正确的是______（填序号）； ①  ②  ③ (2)请从（1）选择一个你认为正确的选项进行证明． 【答案】(1)①②③ (2)见解析 【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，相似三角形的判定． （1）根据题意即可判断； （2）选③，由角平分线的性质得，进而得，，分别求出和的度数，可得，再根据，得到，即可得到，进而可进行判断． 【详解】（1）解：①②③都是正确的， 故答案为：①②③； （2）解：选③， ∵平分，平分， ，， ， ∵， ∴， ∴， ； ∵， ， 平分， ， 同理可得， ， ， ， ， ∴； 选①， ∵，， ∴； 选②， ∵，， ∴． 3．（2025·上海静安·模拟预测）求证：两角分别相等的三角形相似． 要求： (1)在给出的△ABC与△A'B'C'中，∠B＝∠B′，∠C＝∠C′，在AB边上截取AE＝A′B′，以AE为边作∠AEF＝∠B′，交AC于点F．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)借助（1）中所作图形，证明：两角分别相等的三角形相似．（写出已知、求证和证明过程） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据要求作出图形即可； （2）证明△AEF≌△A′B′C′，再证明EF//BC，可得结论． 【详解】（1）图形如图所示： （2）∵∠A＝180°﹣∠B﹣∠C，∠A′＝180°﹣∠B′﹣∠C′，∠B＝∠B′，∠C＝∠C′， ∴∠A＝∠A′， 在△AEF和△A′B′C′中， ， ∴△AEF≌△A′B′C′， ∵∠AEF＝∠B′，∠B＝∠B′， ∴∠AEF＝∠B， ∴EF//BC， ∴△AEF∽△ABC， ∴△A′B′C′∽△ABC． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，平行线的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图． 【拓展训练三 相似三角形判定的综合应用】 1．（24-25九年级上·上海宝山·阶段练习）如图，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查相似三角形的判定，根据角之间的关系可得，再根据相似三角形判定定理即可证明． 【详解】证明：， ， ， 又， ． 2．（24-25九年级上·上海普陀·期末）如图，在四边形中，． (1)求证：． (2)若，点P从A点出发，以的速度沿向终点B匀速运动，同时点Q从B点出发，以的速度沿向终点C匀速运动.当其中一点到达终点时，两点都停止运动，设运动时间为 ①t为何值时，四边形的面积等于？ ②是否存在某一时刻t，使得以B，P，Q为顶点的三角形与相似？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)①当或时，四边形的面积等于；②存在，或时，以B，P，Q为顶点的三角形与相似． 【分析】（1）由可得，进而得到；再根据可得，最后根据两组对应角相等的三角形为相似三角形即可解答； （2）①如图，过点Q作于H．由勾股定理可得；再根据可得，进而得到的长；用t表示出，再证明可求得，最后根据列关于t的方程求解即可；②分和两种情况分别利用相似三角形的性质列关于t的方程求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． （2）解：①如图，过点Q作于H． 在中，，由勾股定理，得． ∵， ∴， ∴，解得． 由题意可得． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴，即，可得 ∴ ，解得， ∴当或时，四边形ACQP的面积等于． ②当时， ∴．即，解得， 当时， ∴．即，解得． 综上，或时，以B，P，Q为顶点的三角形与相似． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、四边形综合、勾股定理等知识点，掌握数形结合和分类讨论思想是解答本题的关键． 3．（24-25九年级上·上海徐汇·开学考试）点是菱形边上一点，是等腰三角形，，，，交边于点，，连接． (1)如图1，当时， ①证明； ②若，，请直接写出的长． (2)如图2，当时，若，，求的面积． (3)当时，连接，若，当为等腰三角形时，求的长． 【答案】(1)①见解析；② (2) (3)或 【分析】（1）①通过构造全等三角形，利用菱形（正方形）的边与角的性质，推导的度数；②借助辅助线构造全等三角形，结合相似三角形的比例关系计算长度； （2）通过构造全等三角形确定角度与边长，再利用相似三角形求出，进而计算的面积； （3）分情况讨论为等腰三角形的三种可能（），结合菱形性质与三角函数求解的长． 【详解】（1）解：（1）①在上截取，使， ∵ 四边形是菱形且， ∴ 四边形是正方形， ，， ， ， ∠，， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形，， ，即， 又， ． ②过点F作于M。由①知， 在中，， 故， 由①，得， ， 又， ， ， ， ， ，即 又， ， 同理，， ， 相似比， 故，即， 又， ，解得， ． （2）在AB上截取，使，连接， ∵ ， ∴ ， ，且， ， 又， ， ， 在中，， ， ，即， 又， ， 过点N作 于点Ｋ， 在中，， ， 在中，，， 过点F作（，故），则， ，， 在中，，， ， ， ，即， 又， ，即：， 同理，， ，即, 又， ， ， ， ； （3）分情况讨论： 当时，如图，过点A作交的延长线于点P，设，则， 在中，，则， 过点N作于Q， 在中，， 在中，，（结论：在等腰三角形中，若顶角是，则底边是腰的倍）， 由得，， 在中，，则， 在在中，，则，即： 由，得，则，即， ， ， ； 当时， 在中，， ， ， ， ，即， 在中，，， ， 在中，，则， 在中，，则， 当时， 点是等腰三角形底边上的点，， 不成立． 综上，当为等腰三角形时，求的长为或． 【点睛】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，相似三角形判定和性质，三角函数的定义，构造辅助线构造全等三角形和相似三角形及运用分类讨论思想是解题的关键． 1．（24-25九年级上·上海长宁·阶段练习）如图，当的值为多少时，（　　） A．20 B．27 C．36 D．45 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键．根据根据题意当时，即可求解． 【详解】解：根据题意可知，当时，， 由图可知，，，，，，， ∴， ∴， 故选：C． 2．（24-25九年级上·上海闵行·期末）已知如图所示，则下列三角形中，与相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查相似三角形的判定，等腰三角形的性质，是等腰三角形，顶角是，看各个选项是否符合相似的条件即可． 【详解】解：∵由图可知，， A、三角形各角的度数都是， B、三角形各角的度数分别为， C、三角形各角的度数分别为， D、三角形各角的度数分别为， ∴只有C选项中三角形各角的度数与题干中三角形各角的度数相等， 故选：C． 3．（24-25九年级上·上海奉贤·期中）已知图中有两组三角形，其边长和角的度数已在图上标注．对于各组中的两个三角形，下列说法正确的是（   ） A．①组和②组的两个三角形都相似 B．①组和②组的两个三角形都不相似 C．只有①组的两个三角形相似 D．只有②组的两个三角形相似 【答案】A 【分析】本题考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键． 根据相似三角形的判定去判断两个三角形是否相似即可． 【详解】解：在图①中：第一个三角形三个角分别为：，，；第二个三角形的两个角分别为：，；故根据两个角分别相等的两个三角形相似，得两个三角形相似； 在图②中：，， ∴， ∵， ∴， 故①组和②组的两个三角形都相似． 故选：A． 4．（24-25九年级上·上海长宁·期末）在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下： 甲：将三角形按图①的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为1，则新三角形与原三角形相似． 乙：将矩形按图②的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形相似． 丙：将菱形按图③的方式向外扩张，得到新的菱形，他们的对应边间距均为1，则新菱形与原菱形相似． 对于三人的观点，下列说法正确的是（    ）    A．甲对，丙、乙不对 B．甲、乙都对，丙不对 C．甲、丙都对，乙不对 D．甲、乙、丙都对 【答案】C 【分析】根据边数相同的两个多边形，如果对应角相等，且对应边成比例，那么这两个多边形相似即可判断． 【详解】解：如图所示，    据题意得：，，， ∴，， ∴， ∴新三角形与原三角形相似，甲说法正确． 乙：设原矩形边长为，． 向外扩张一个单位后边长变为，． 则 ∴新矩形与原矩形不相似，乙说法不正确； 丙：将边长为的菱形按图③的方式向外扩张，得到新菱形，各边与原菱形边平行，因此各角与原菱形角对应相等，扩张后四条边依然相等，即新菱形与原菱形相似， 故丙正确， 故选：C． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，相似多边形的性质，菱形的性质，矩形的性质，熟练掌握相似多边形的判定是解题的关键． 5．（24-25九年级上·上海虹口·期末）如图，中，点是边上一点，下列条件中，不能判定与相似的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由图可知，∠B是△ABC与△ABD的公共角，所以再添加一组角相等或者添加夹∠B的两边成比例即可判断． 【详解】解：A．∵AB2=BD•BC， ∴ ， ∵∠B=∠B， ∴△BAD∽△BCA， 故A不符合题意； B．∵∠BDA=∠BAC，∠B=∠B， ∴△BAD∽△BCA， 故B不符合题意； C．∵∠ADC=∠C+∠B，∠ADC=∠BAD+∠B， ∴∠C=∠BAD， ∵∠B=∠B， ∴△BAD∽△BCA， 故C不符合题意； D．∵AD•BC=AB•AC， ∴， ∵∠B≠∠BAD， ∴不能判定△ABC与△ABD相似， 故选：D． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，结合图形分析并熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键． 6．（24-25九年级上·上海静安·期中）如图，是的斜边上的高，图中与相似的三角形为 （填一个即可）． 【答案】或（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了直角三角形的两个锐角互余，相似三角形的判定等知识点，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键． 首先，利用两角对应相等可证得，然后由，可得，进而可证得，于是得解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：或（答案不唯一）． 7．（2025九年级上·上海松江·专题练习）如图，，，圆O的半径为，P是圆O上一动点，的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查勾股定理，相似三角形的性质以及三角形三边关系等知识，延长到，使，连接，证明，求得，由三角形三连关系可得结论． 【详解】解：延长到，使，连接，如图， ∴ 又， .∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：. 8．（24-25九年级上·上海闵行·期末）如图，在中，是斜边上的高，于点．除自身外，图中与相似的三角形的个数是 ． 【答案】 【分析】根据是斜边上的高，于点，得，，再根据相似三角形的判定，即可． 【详解】∵是斜边上的高，于点， ∴，， 在和中， ∵， ∴； 在和中， ∵， ∴； ∵， ∴， ∴； ∵，， ∴， 在和中， ， ∴； ∴图中与相似的三角形有个． 故答案为：． 【点睛】本题考查相似三角形的判定，解题的关键是掌握相似三角形的判定定理． 9．（2025·上海长宁·模拟预测）如图，在的正方形网格中，图中的点都在网格线的交点上．将点分别与点，连接，得到和，这四个三角形中与相似的是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定，分别计算出每个三角形的边长，依据三边对应成比例进行判断即可得出结论． 【详解】解：的三边长分别为：，，； 的三边长分别为：，，， ∵， ∴与不相似； 的三边长分别为：，，； ∴， ∴； 的三边长分别为：，，， ∴， ∴与不相似； 的三边长分别为：，，, ∴， ∴与不相似； 故答案为：． 10．（24-25九年级上·上海松江·单元测试）如图，已知P是边长为5的正方形内一点，且，于，若在射线上找一点M，使以点B，M，C为顶点的三角形一定与相似，则的值为 ．    【答案】3或 【分析】由于，同时减去后可得到，若以点，，为顶点的三角形与相似，那么必有：或，可据此求得的值． 【详解】解：四边形是正方形 ，； 又， ； 若以点，，为顶点的三角形与相似， 则：①如图1中，，即， 解得； ②如图2中，，即， 解得． 综上所述，满足条件的的值为3或． 故答案为：3或．    【点睛】此题主要考查的是相似三角形的判定和性质，应注意相似三角形的对应顶点不明确时，要分类讨论，不要漏解． 11．（24-25九年级上·上海普陀·阶段练习）如图，相交于点O，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定．根据相似三角形的判定定理解答即可． 【详解】证明：∵交于点O， ∴， ∵， ∴． 12．（2025·上海虹口·模拟预测）如图，在中，已知，，，点在上．连结，过点作交于点，交于点． (1)求证：． (2)过点作交于点，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． （1）利用两角对应相等证明； （2）先证，推出，再证，推出，设，则，，根据求出x值，即可求解． 【详解】（1）证明：， ， ， ， 又， ； （2）解：， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， 设，则，， ， ， ． 13．（24-25九年级上·上海奉贤·期末）已知：如图，在△ABC中，点D在AC上（点D不与A，C重合）．若再添加一个条件，就可证出△ABD∽△ACB．    （1）你添加的条件是 ； （2）根据题目中的条件和添加上的条件证明△ABD∽△ACB． 【答案】（1）∠ABD=∠C（或∠ADB=∠ABC或，答案不唯一）；（2）见解析 【分析】（1）根据图形得到△ABD与△ACB有一公共角，故添加另一组对应角相等或是添加公共角的两边对应成比例即可； （2）根据条件证明即可. 【详解】（1）∵△ABD与△ACB有一公共角∠A， ∴当∠ABD=∠C时，△ABD∽△ACB， 或∠ADB=∠ABC时，△ABD∽△ACB， 或时，△ABD∽△ACB， 故答案为：∠ABD=∠C（或∠ADB=∠ABC或，答案不唯一）； （2）∵∠ABD=∠C，∠A=∠A, ∴△ABD∽△ACB； ∵∠ADB=∠ABC，∠A=∠A ∴△ABD∽△ACB； ∵，∠A=∠A， ∴△ABD∽△ACB. 【点睛】此题考查相似三角形的判定定理，熟记定理并运用解题是关键. 14．（24-25九年级上·上海闵行·期末）如图是由小正方形组成的8×8网格，每个小正方形的顶点叫做格点，图中A，B，C都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图． (1)在图1中，作平行四边形； (2)在图2中，作关于的对称图形； (3)在图3中，E是格点，在上画点F，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）点B向右平移5个单位，再向上平移1个单位得到点C，只需将点A向右平移5个单位，再向上平移1个单位得到点D，即可得到所求的平行四边形； （2）取格点Q，连接，则，取格点P，连接，则，且共线， 取格点M，连接，则，根据平行线分线段成比例定理，得与的交点即为所求． （3）取格点T，连接，取格点N，连接，交于点F，得，故，即可得到结论． 本题考查了平行四边形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，三角形相似的判定和性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意，点B向右平移5个单位，再向上平移1个单位得到点C，只需将点A向右平移5个单位，再向上平移1个单位得到点D，即可得到所求的平行四边形，画图如下： 则平行四边形即为所求． （2）解：取格点Q，连接， 则，取格点P，连接，则，且共线， 取格点M，连接，则， 根据平行线分线段成比例定理，得与的交点为， 连接, 则即为所求． （3）解：取格点T，连接，取格点N，连接，交于点F， 得， 故， 得， 则点F即为所求． 15．（24-25九年级上·上海虹口·阶段练习）结论：基本不等式 ，当且仅当a=b时等号成立，它是解决最值问题的有力工具． （1）我们可以利用所学的几何知识证明这个结论： 已知：在中，，点为的中点，，垂足为，设，， 求证：； （2）可以直接利用（1）的结论，求的最小值． 【答案】（1）见解析；（2）6 【分析】（1）先证明△BAE∽△ACE，可以得到对应边乘比例，即能得到AE2=BE·EC，求出AE= ，根据点D为斜边BC的中点，求出AD= ，因为在Rt△ADE中，AD≥AE，所以得到≥，即可解决； （2）因为，当时，可以求得y的最小值，即可解决． 【详解】解：（1）证明：在中，， ∴∠AEB=∠AEC=90° ∵ ∴∠BAE+∠CAE=∠BAE+∠B=90° ∴∠CAE=∠B ∴△BAE∽△ACE ∴ ∴AE2=BE·EC ∵BE=a，EC=b ∴AE2=ab ∴AE= ∵在中，点D为斜边BC的中点 ∴AD=BC=（BE+CE）= 在Rt△ADE中，AD≥AE ∴≥ 当且仅当 即时取等号． （2）当 ∴ ∴当且仅当时，即x=5时，y有最小值6． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定以及性质，能够读懂题意并结合相似知识点是解决本题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 相似三角形的判定重难点题型专训 （1个知识点+6大题型+3大拓展训练+自我检测） 题型一 利用平行判定相似 题型二 利用两角对应相等判定相似 题型三 利用三边对应成比例判定相似 题型四 利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似 题型五 相似三角形的判定综合 题型六 选择或补充条件使两个三角形相似 拓展训练一 相似三角形判定与网格问题 拓展训练二 相似三角形判定的证明问题 拓展训练三 相似三角形判定的综合应用 知识点一： 相似三角形的判定 预备定理 平行于三角形的一边的直线与其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似． 判定1 有两个角对应相等的两个三角形相似． 判定2 两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似． 判定3 三边对应成比例的两个三角形相似 直角三角形 的特殊判定 若一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似． 【即时训练】 1．（25-26九年级上·上海松江·课后作业）如图所示的三个三角形，相似的是（   ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 2．（24-25九年级上·上海崇明·期中）如图，在正方形网格中有四个三角形，其中与相似（不包括本身）的三角形有 个． 【经典例题一 利用平行判定相似】 【例1】（24-25九年级上·上海宝山·开学考试）将一副三角板按图叠放，则与的周长比为（　　） A． B． C． D． 1．（24-25九年级上·上海松江·阶段练习）如图是一张三角形纸片，沿边上的中线折叠，点落在点处，与相交于点，若与垂直，且，则的长为 ． 2．（2025·上海普陀·模拟预测）如图，中，已知、分别是、的中点，求证：． 3．（2025九年级上·上海松江·专题练习）如图，在中，点、在上，点、分别在、上，且， ，交于点图中与相似的三角形有多少个？把它们表示出来，并说明理由． 4．（2025·上海徐汇·模拟预测）在数学文化长河中，蕴藏着诸多精妙的比例关系，除广为人知的黄金分割外，白银分割亦是一颗璀璨的明珠．白银分割是指：若存在两点C、D将线段分割为两条等长的较长线段及一条较短线段，满足比例关系：，则称线段被点C、D白银分割，点C、D叫做线段的白银分割点，该比值叫做白银比． 根据分割形态差异，可分为两类经典情形： 对称型分割——当两条等长的较长线段分居较短线段两侧时（如图1），构成对称型白银分割； 邻接型分割——当两条等长的较长线段相邻排列时（如图2），构成邻接型白银分割． (1)以对称型分割为例，类比黄金比的求解方法探究白银比．如图1，设，．求x的值，写出必要的解答过程（结果保留根号）． (2)如图3，点C为线段靠近点A的白银分割点，在只考虑对称型分割的情形下请利用尺规作图，作出线段靠近点A的白银分割点P．不写作法，保留作图痕迹． 【经典例题二 利用两角对应相等判定相似】 【例2】（24-25九年级上·上海松江·随堂练习）在判断“有一个锐角相等的两个直角三角形”是否相似时，甲、乙同学的观点如下：甲：相似；乙：不相似．对于两人的观点，下列说法正确的是（　　） A．两人都对 B．两人都不对 C．甲对，乙不对 D．甲不对，乙对 1．（24-25九年级上·上海长宁·期末）在中，D、E分别是、上的点，、交于点F，下列不能判定的是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·上海奉贤·模拟预测）如图，中，是上一点，连接．请你补充一个条件 ，使． 3．（2025九年级上·上海奉贤·模拟预测）如图，点、分别在的边、上，且，则图中相似三角形有 对． 4．（24-25九年级上·上海虹口·期末）如图，在中，，点D是边的中点，连接，点E在上，连接，且． (1)求证：； (2)求证：； (3)如果，求证：． 【经典例题三 利用三边对应成比例判定相似】 【例3】（24-25九年级上·上海金山·期中）已知的三边长分别为的一边长为，当的另两边长是下列哪一组时，这两个三角形相似（    ） A． B． C． D． 1．（24-25九年级上·上海杨浦·期末）如图，在方格中，点，，，，点均在格点上，若与相似，则符合条件的格点是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 2．（24-25九年级上·上海松江·随堂练习）如图，将方格纸分成6个三角形，在②③④⑤⑥5个三角形中，与三角形①相似的三角形是 ．（填序号） 3．（24-25九年级上·上海·阶段练习作业）如图，在边长为1个单位的方格纸上，有与．求证：． 4．（24-25九年级上·上海静安·期末）在边长为1的小正方形网格中，的顶点、、均落在格点（小正方形的顶点）上，请只用无刻度的直尺按要求完成作图． (1)将绕点按逆时针方向旋转，得到，请在图1中作出．（点与点是对应点） (2)请在图2中画一个三角形，使得该三角形与相似（不全等）． 【经典例题四 利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似】 【例4】（24-25九年级上·上海金山·期末）如图，在的方格中，画有格点（阴影部分）与相似的是（　　） A． B． C． D． 1．（24-25九年级上·上海奉贤·期中）如图，已知，点在上，添加下列条件后，仍无法判定与相似的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·上海·期中）如图， 已知点D、E分别在的边和上， 如果 那么 得到． （填“能”或“不能”） 3．（24-25九年级上·上海青浦·阶段练习）如图，在中，点在上，连接．已知，求证，． 4．（24-25九年级上·上海宝山·期末）如图是由边长为 1 的小正方形组成的 的网格，每个小正方形的顶点叫做格点 三个顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成两个画图任务． (1)在图 1 中，画 ，使点 在格点上，且 与 相似；（只需画出一个即可） (2)在图 2 中，线段 上找一点 ，使 ． 【经典例题五 相似三角形的判定综合】 【例5】（2025九年级上·上海松江·专题练习）如图，中，，，．将沿图示中的虚线剪开，按下面四种方式剪下的阴影三角形与原三角形相似的是（   ） A． B． C． D． 1．（2025·上海闵行·模拟预测）定义：如果一个四边形的两条对角线将它分成的四个小三角形都是相似三角形，那么称这样的四边形为“全相似四边形”．如图，在四边形中，，，下列条件能使四边形成为“全相似四边形”的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·上海宝山·期末）如图，已知，则图中相似三角形是 ．    3．（24-25九年级上·上海闵行·阶段练习）如图，方格纸中每个小正方形的边长为1，的顶点都在格点上，点、、、、、、是边上的7个格点，请在这7个格点中任意选取3个点作为三角形的顶点，使构成的三角形与相似，符合题意的三角形共有 个． 4．（25-26九年级上·上海松江·课后作业）如下图，在和中，． (1)判断这两个三角形是否相似，并说明理由． (2)在这两个三角形中，能否分别过点A，D各作一条辅助线，使分割成的两个三角形与分割成的两个三角形分别对应相似？如果能，证明你的结论；如果不能，请说明理由． 【经典例题六 选择或补充条件使两个三角形相似】 【例6】（24-25九年级上·上海静安·期中）如图，是的边上一点，下列条件中，不能判定与相似的是（   ） A． B． C． D． 1．（2025·上海虹口·模拟预测）如图，已知与中，，点E在AB上，那么添加下列一个条件后，仍然不能判定与相似的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·上海普陀·期末）如图，在中，D，E分别是，上的点，请你添加一个条件 ，使得．    3．（24-25九年级上·上海静安·期末）如图，点D为△ABC外一点，AD与BC边的交点为E，AE＝3，DE＝5，BE＝4，要使△BDE∽△ACE，且点B，D的对应点为A，C，那么线段CE的长应等于 ． 4．（24-25九年级上·上海闵行·期中）如图1，在中，是边上的一点，联结．要使，还需要补充的一个条件是______，或______．    请回答： (1)补充的条件是______，或______； (2)请你参考上面的图形和结论，探究、解答下面的问题： 如图2，在中，，．求的度数． 【拓展训练一 相似三角形判定与网格问题】 1．（24-25九年级上·上海杨浦·期中）如图，在4×4的正方形网格纸中，和的顶点都在边长为1的小正方形的格点上．求证：．    2．（24-25九年级上·上海普陀·期中）如图是最小方格边长为1的网格．    (1)求证：； (2)和是位似三角形吗？如果是，在图中画出位似中心点；如果不是，请说明理由． 3．（24-25九年级上·上海青浦·阶段练习）如图1是的正方形网格（其中每个小正方形的边长均为1），点A，B，C均在格点上，连接，，，我们称三个顶点都在格点上的三角形为格点三角形． （1）________，的面积为________．（本小题直接写出答案即可） （2）请你仅用一把没有刻度的直尺，在图1中画出的重心G，保留作图痕迹； （3）如果存在格点，使得，且与的相似比为，请你在图2中画出这样的格点．（无需解答过程，只需画出一个满足题意的格点三角形，并标注相应的字母） 【拓展训练二 相似三角形判定的证明问题】 1．（24-25九年级上·上海虹口·期末）在综合与实践课上，老师组织同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．有一张矩形纸片如图所示，点在边上，现将矩形折叠，折痕为，点对应的点记为点，若点恰好落在边上，请判断与是否相似？如果不相似，请说明理由；如果相似，请证明． 2．（24-25九年级上·上海闵行·期末）如图，在中，，，的三条角平分线交于点O，过O作的垂线分别交于点D，E． (1)下面给出了几个结论，其中正确的是______（填序号）； ①  ②  ③ (2)请从（1）选择一个你认为正确的选项进行证明． 3．（2025·上海静安·模拟预测）求证：两角分别相等的三角形相似． 要求： (1)在给出的△ABC与△A'B'C'中，∠B＝∠B′，∠C＝∠C′，在AB边上截取AE＝A′B′，以AE为边作∠AEF＝∠B′，交AC于点F．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)借助（1）中所作图形，证明：两角分别相等的三角形相似．（写出已知、求证和证明过程） 【拓展训练三 相似三角形判定的综合应用】 1．（24-25九年级上·上海宝山·阶段练习）如图，．求证：． 2．（24-25九年级上·上海普陀·期末）如图，在四边形中，． (1)求证：． (2)若，点P从A点出发，以的速度沿向终点B匀速运动，同时点Q从B点出发，以的速度沿向终点C匀速运动.当其中一点到达终点时，两点都停止运动，设运动时间为 ①t为何值时，四边形的面积等于？ ②是否存在某一时刻t，使得以B，P，Q为顶点的三角形与相似？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由． 3．（24-25九年级上·上海徐汇·开学考试）点是菱形边上一点，是等腰三角形，，，，交边于点，，连接． (1)如图1，当时， ①证明； ②若，，请直接写出的长． (2)如图2，当时，若，，求的面积． (3)当时，连接，若，当为等腰三角形时，求的长． 1．（24-25九年级上·上海长宁·阶段练习）如图，当的值为多少时，（　　） A．20 B．27 C．36 D．45 2．（24-25九年级上·上海闵行·期末）已知如图所示，则下列三角形中，与相似的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·上海奉贤·期中）已知图中有两组三角形，其边长和角的度数已在图上标注．对于各组中的两个三角形，下列说法正确的是（   ） A．①组和②组的两个三角形都相似 B．①组和②组的两个三角形都不相似 C．只有①组的两个三角形相似 D．只有②组的两个三角形相似 4．（24-25九年级上·上海长宁·期末）在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下： 甲：将三角形按图①的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为1，则新三角形与原三角形相似． 乙：将矩形按图②的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形相似． 丙：将菱形按图③的方式向外扩张，得到新的菱形，他们的对应边间距均为1，则新菱形与原菱形相似． 对于三人的观点，下列说法正确的是（    ）    A．甲对，丙、乙不对 B．甲、乙都对，丙不对 C．甲、丙都对，乙不对 D．甲、乙、丙都对 5．（24-25九年级上·上海虹口·期末）如图，中，点是边上一点，下列条件中，不能判定与相似的是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25九年级上·上海静安·期中）如图，是的斜边上的高，图中与相似的三角形为 （填一个即可）． 7．（2025九年级上·上海松江·专题练习）如图，，，圆O的半径为，P是圆O上一动点，的最小值为 ． 8．（24-25九年级上·上海闵行·期末）如图，在中，是斜边上的高，于点．除自身外，图中与相似的三角形的个数是 ． 9．（2025·上海长宁·模拟预测）如图，在的正方形网格中，图中的点都在网格线的交点上．将点分别与点，连接，得到和，这四个三角形中与相似的是 ． 10．（24-25九年级上·上海松江·单元测试）如图，已知P是边长为5的正方形内一点，且，于，若在射线上找一点M，使以点B，M，C为顶点的三角形一定与相似，则的值为 ．      11．（24-25九年级上·上海普陀·阶段练习）如图，相交于点O，，求证：． 12．（2025·上海虹口·模拟预测）如图，在中，已知，，，点在上．连结，过点作交于点，交于点． (1)求证：． (2)过点作交于点，若，求的长． 13．（24-25九年级上·上海奉贤·期末）已知：如图，在△ABC中，点D在AC上（点D不与A，C重合）．若再添加一个条件，就可证出△ABD∽△ACB．    （1）你添加的条件是 ； （2）根据题目中的条件和添加上的条件证明△ABD∽△ACB． 14．（24-25九年级上·上海闵行·期末）如图是由小正方形组成的8×8网格，每个小正方形的顶点叫做格点，图中A，B，C都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图． (1)在图1中，作平行四边形； (2)在图2中，作关于的对称图形； (3)在图3中，E是格点，在上画点F，使． 15．（24-25九年级上·上海虹口·阶段练习）结论：基本不等式 ，当且仅当a=b时等号成立，它是解决最值问题的有力工具． （1）我们可以利用所学的几何知识证明这个结论： 已知：在中，，点为的中点，，垂足为，设，， 求证：； （2）可以直接利用（1）的结论，求的最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $$