精品解析：安徽省淮南市凤台县2025-2026学年上学期九年级数学期中试卷

九年级数学（人教版） 1. 下列图案中，是中心对称图形，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】试题解析：A. 不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意，故此选项错误； B. 不是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意，故此选项错误； C. 是中心对称图形，不是轴对称图形，符合题意，故此选项正确； D. 是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意，故此选项错误. 故选C. 点睛：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 如果一个图形绕某一点旋转180°后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心． 2. 若抛物线（是常数）开口向下，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象的开口方向与二次项系数的关系，熟记“开口向下时二次项系数小于0”是解题关键． 根据二次函数的性质，抛物线开口向下时，二次项系数小于零得到，进而求解即可． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴二次项系数， 解得 ． 故选：A． 3. 如图，点在上，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理，在同圆中，同弧或等弧所对的圆周角度数是圆心角度数的一半，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， 故选：B． 4. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 无实数根 【答案】D 【解析】 【分析】先计算判别式值，然后根据判别式的意义进行判断． 【详解】解：∵， ∴方程没有实数根． 故选：D． 【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根． 5. 下列命题中，正确的是（ ） A. 平分一条直径的弦必垂直于这条直径 B. 平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦 C. 弦垂线必经过这条弦所在圆的圆心 D. 在一个圆内平分一条弧和平分它所对的弦的直线必经过这个圆的圆心 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是垂径定理，熟知平分弦的直径垂直这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键．根据垂径定理对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A、两条直径互相平分，但不一定垂直，故本选项错误，不符合题意； B、平分一条弧的直径垂直于这条弧所对的弦，故本选项错误，不符合题意； C、弦的垂直平分线必经过这条弦所在圆的圆心，故本选项错误，不符合题意； D、在一个圆内平分一条弧和平分它所对的弦的直线必经过这个圆的圆心，故本选项正确，符合题意． 故选：D． 6. 如图，在中，，将绕点A按逆时针方向旋转得到．若点恰好落在边上，且，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，三角形内角和定理，三角形的外角性质，等腰三角形的性质．由旋转的性质可得，，由等腰三角形的性质可得，根据三角形外角的性质可得，再利用三角形内角和定理求得即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵将绕点A按逆时针方向旋转得到， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 7. 已知抛物线与直线交于点和点，则关于的方程的解是（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象与一次函数图象的交点问题，将变形为，则该方程的解即为抛物线与直线交点的横坐标． 详解】解：∵ 抛物线与直线交于点和点， ∴当或时，成立， 即方程的解为或． 故选：D． 8. 如图，已知的半径为3，内接于，，则的长为（ ） A. 3 B. C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，勾股定理，解答本题的关键是添加合适的辅助线，合理利用圆内接四边形的性质以及圆周角定理解题．设点D为优弧上一点，连接，，，，根据圆内接四边形的性质求得，再根据圆周角定理求出，最后根据勾股定理求解即可． 【详解】解：设点D为优弧上一点，连接，，，， 四边形是圆内接四边形， ， ， ， ， ． 故选：B． 9. 如图，菱形的对角线交于原点，，．将菱形绕原点逆时针旋转，每次旋转，则第2025次旋转结束时，点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据菱形的性质及旋转的规律，可得第次旋转结束时，点C所在象限，再根据菱形的性质及全等三角形的判定，即可求得C点的坐标即可求解． 【详解】解：∵将菱形绕原点O逆时针旋转，每次旋转，， ∴旋转4次后回到原来的位置， ∵， ∴第次旋转结束时，点C在第一象限， 如图：过点A作轴于点E，延长到点，使，过点作轴于点F， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ， ，， ∴，， ∴， ∴第次旋转结束时，点C的坐标为， 故选：A． 【点睛】本题考查了菱形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，以及坐标与图形的性质，直角三角形的性质，解题关键是找出旋转规律． 10. 如图，在两个全等和中，，，，斜边，在一条直线上且点与重合，保持不动，以每秒2个单位长度的速度向右移动，直到点与点重合即停止运动，若两个三角形重叠部分的面积为个单位面积，的移动时间为秒，则关于的函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是动点图象问题，二次函数的图象和性质，平移的性质，含30度角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 根据题意分两种情况讨论，结合含30度角的直角三角形的性质和三角形面积公式求得y与x的函数表达式，根据二次函数的图象与性质可得答案． 【详解】解：当时，如图，设与相交于点O， 由平移性质得，则， 在中，，， ∴，则， ∴重叠部分面积， ∴函数图象是抛物线，开口向上，位于对称轴y轴右侧图象的一部分， 当时，，此时点D与点A重合； 当时，如图，则， 在中，，， ∴，则， ∴重叠部分面积， ∴函数y的图象是抛物线开口向上，位于对称轴左侧图象的一部分， 故选项C符合题意． 故选：C． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是___________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标．根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数解答． 【详解】解：点关于原点对称的点的坐标是， 故答案为：． 12. 已知抛物线与轴的交点为和，则该抛物线的对称轴是直线_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，根据抛物线的对称性求解即可． 【详解】解：由题意，抛物线与x轴的交点为和，则和关于对称轴对称， ∴抛物线的对称轴为直线． 故答案为：． 13. 如图是一个管道的横截面，管道截面的半径为，管道内水的最大深度，则截面圆中弦的长为_____． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理．连接，则，可得，然后根据勾股定理求出的长，再根据垂径定理，即可求解． 【详解】解：如图，连接，则， 由题意，， 在中，， ∴， ∴． 故答案为：8． 14. 如图，等边三角形中，，线段绕点在平面内旋转，为的中点．若，则的最大值为________，最小值为________． 【答案】 ①. ； ②. 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质、等边三角形的性质、三角形的中位线、勾股定理等，解题的关键是识别出隐圆模型，作出合适的辅助线． 取的中点，连接，，根据三角形中位线的性质确定，再根据等边三角形的性质和勾股定理得出的值，当点在同一条直线上时，出现最大值和最小值． 【详解】解：如图，取的中点，连接，， 则为的中位线， ． 是等边三角形， ． 又是的中点， ． 在中，由勾股定理， 得， 当点在同一条直线上时，出现最大值和最小值． 的最大值为，的最小值为． 故答案为；． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上4进行配方，进而解方程即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得，． 16. 已知抛物线经过点和． （1）求，的值； （2）判断点是否在这个抛物线上，并说明理由． 【答案】（1） （2）点不在这个抛物线上，理由见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了求二次函数关系式， 对于（1），将点代入关系式得出二元一次方程组，求出解； 对于（2），将点的坐标代入关系式即可判断． 【小问1详解】 解：∵抛物线经过点， ∴， 解得； 【小问2详解】 解：由（1）得抛物线的关系式为， 当时，， ∴抛物线经过点， 则点不该抛物线上． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 国庆期间，全国各影院上映多部爱国影片，某影院每天运营成本为400元，该影院每天售出的电影票数量（单位：张）与售价（单位：元/张）之间满足一次函数关系（，且是整数），若该影院每天的利润为（单位：元），（利润票房收入运营成本）． （1）求与之间的函数关系式； （2）该影院将电影票售价定为多少时，每天获利最大？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）当定价为40元时，每天获得利润最大，最大利润为2800元 【解析】 【分析】本题主要考查了求二次函数关系式，求二次函数的最大值， 对于（1），根据销售利润等于票房收入减去成本可得答案； 对于（2），将二次函数关系式配方得出顶点式，再根据二次函数图象的性质讨论最大值即可． 【小问1详解】 解：根据题意，得； 【小问2详解】 解：， ∵， ∴抛物线开口向下，函数值最大值，即当时，（元）， 所以当定价为40元时，每天获得利润最大，最大利润为2800元． 18. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，的顶点均为格点（网格线的交点），已知点，，的坐标分别为，，． （1）画出绕点逆时针旋转后得到的； （2）画出关于原点的对称图形； （3）若连接，则线段的长度为 ． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查了旋转作图，中心对称，勾股定理，正确掌握相关性质是解题的关键． （1）根据旋转的性质分别找出点，再依次连接，即可作答． （2）根据中心对称的性质分别找出点，再依次连接，即可作答． （3）运用勾股定理列式计算，即可作答． 【小问1详解】 解：如图，即为所求； 【小问2详解】 解：如图，即为所求； 【小问3详解】 解：线段长度． 故答案为：． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 如图是一张长，宽的长方形纸板，将纸板四个角各剪去一个同样的边长为的正方形，然后将四周突出部分折起，可制成一个无盖的长方体纸盒． （1）无盖方盒盒底的长为 ，宽为 （用含x的式子表示）． （2）若要制作一个底面积是的无盖的长方体纸盒，求剪去的正方形边长． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，正确理解题意是解题关键． （1）根据图形即可求解； （2）求解方程即可． 【小问1详解】 由图示可知：无盖方盒盒底的长为，宽为 故答案为：， 【小问2详解】 由题意得：， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去） ∴剪去的正方形边长为 20. 如图，在中，，将绕点A逆时针旋转到的位置，使得． （1）请判断的形状，并说明理由． （2）求的度数． 【答案】（1）为等腰三角形．理由见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质可知 即可求解； （2）根据旋转的性质得到，进而得到，由（1）得，由，得到，进而得到的度数即可求解． 本题考查了旋转的基本性质、三角形内角和定理、等腰三角形的判定与性质等知识，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 【小问1详解】 解：为等腰三角形． 理由如下： ∵绕点A逆时针旋转到的位置， ∴， ∴为等腰三角形； 【小问2详解】 解：∵绕点A逆时针旋转到的位置，， ∴， ∴， ∴ 由（1）得， ∵，， ∴． ∴， ∴． 六、（本题满分12分） 21. 如图，AC为的直径，BD是弦，且于点E，连接AB、OB、BC． （1）求证：； （2）若，，求弦的长． 【答案】（1）见解析； （2）弦的长为． 【解析】 【分析】（1）利用垂径定理得到，则根据圆周角定理得到，根据，得出，从而得到； （2）先计算出，再利用勾股定理计算出，然后利用垂径定理得到，从而可求出的长． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴的半径为， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， 答：弦的长为． 【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径．也考查了垂径定理． 七、（本题满分12分） 22. 已知抛物线与轴交于点，点（点在点的左侧），与轴交于点． （1）求点，，的坐标； （2）设点是抛物线在第四象限部分上的动点，连接、、、，如图，设的面积为，的面积为，当的值最大时，求点的坐标； 【答案】（1），，； （2）点D坐标为 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质、二次函数图象与坐标轴的交点问题、坐标与图形，熟练掌握二次函数的性质是解答的关键． （1）令可求得点C坐标，令可求得点A、B坐标； （2）设，根据坐标与图形性质和三角形的面积公式可得，利用二次函数的性质可求解． 【小问1详解】 解：当时，， 令，由解得，， ∴，，； 【小问2详解】 解：设， 由（1）知，，， ∴ ， ∵， ∴当时，最大，最大值为． 此时，， ∴点D坐标为． 八、（本题满分14分） 23. 综合与实践 【问题背景】某数学兴趣小组针对高铁检票问题、研究了排队人数与安检时间，检票闸口数之间的关系． 【模型构建】收集数据：列车发车前15分钟开始检票，数学兴趣小组根据收集到的候车总人数（人）与安检时间（分钟）之间部分对应值并制成下表： 0 5 10 15 25 150 225 250 （1）以，的每组对应值作为点的坐标在给出的平面直角坐标系中描点，用光滑的曲线顺次连接各点； （2）根据图象，在我们学过的一次函数、二次函数和反比例函数中与之间满足 函数关系； （3）求与之间的函数表达式（写出自变量的取值范围）； 【模型应用】 已知条件1：旅客排队检票上车，在任意时刻都满足：排队人数=候车总人数-已检票人数； 已知条件2：若该检票口最多可开放10条检票通道，平均每条通道每分钟可安检6人． 结合上述信息，请完成下述问题： （1）当开通3条检票通道，检票时间分钟时，已检票人数为 ，排队人数与检票时间的函数关系式为 ； （2）在（1）的条件下，排队人数在第几分钟达到最大值，最大人数为多少？ （3）为保证列车行车安全，车站规定列车开车前5分钟停止检票，同时为节省开支，尽量少安排检票通道，为保证候车室所有旅客都能安全检票上车，求至少应打开几条检票通道？ 【答案】[模型构建]（1）见解析；（2）二次；（3）；[模型应用]（1）；；（2）6，61；（3）至少应打开4条通道 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用，理解题意，掌握二次函数的性质是解答的关键． [模型构建] （1）在平面直角坐标系描点、连线即可画出图象； （2）根据所画图象为抛物线一部分，可得与之间满足二次函数关系； （3）利用待定系数法求解即可； [模型应用] （1）根据题意求解即可； （2）利用二次函数的性质求解即可； （3）设应打开m条检票通道，可保证候车室所有旅客都能安全检票上车，则，根据题意，得到当时，,进而求解即可． 【详解】解：[模型构建] （1）如图： （2）根据所画图象为抛物线一部分，可得与之间满足二次函数关系， 故答案为：二次； （3）设与之间的函数表达式为， 将，，代入，得， 解得 ∴与之间的函数表达式为； [模型应用] （1）由题意，当开通3条检票通道，检票时间分钟时，已检票人数为，排队人数 与检票时间的函数关系式为， 故答案为：；； （2）， ∵，， ∴当时，w有最大值，最大值为61， 答：排队人数在第6分钟达到最大值，最大人数为61人， 故答案为：6，61； （3）设应打开m条检票通道，可保证候车室所有旅客都能安全检票上车， 则， ∵车站规定列车开车前5分钟停止检票， ∴当时，且，即且， 解得， ∵，m为正整数， ∴应至少打开4条检票通道，可保证候车室所有旅客都能安全检票上车． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学（人教版） 1. 下列图案中，是中心对称图形，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若抛物线（是常数）开口向下，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，点在上，若，则的度数是（ ） A B. C. D. 4. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 无实数根 5. 下列命题中，正确的是（ ） A. 平分一条直径的弦必垂直于这条直径 B. 平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦 C. 弦的垂线必经过这条弦所在圆的圆心 D. 在一个圆内平分一条弧和平分它所对的弦的直线必经过这个圆的圆心 6. 如图，在中，，将绕点A按逆时针方向旋转得到．若点恰好落在边上，且，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 已知抛物线与直线交于点和点，则关于的方程的解是（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 8. 如图，已知的半径为3，内接于，，则的长为（ ） A. 3 B. C. D. 4 9. 如图，菱形对角线交于原点，，．将菱形绕原点逆时针旋转，每次旋转，则第2025次旋转结束时，点的坐标为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在两个全等的和中，，，，斜边，在一条直线上且点与重合，保持不动，以每秒2个单位长度的速度向右移动，直到点与点重合即停止运动，若两个三角形重叠部分的面积为个单位面积，的移动时间为秒，则关于的函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是___________________． 12. 已知抛物线与轴的交点为和，则该抛物线的对称轴是直线_____． 13. 如图是一个管道的横截面，管道截面的半径为，管道内水的最大深度，则截面圆中弦的长为_____． 14. 如图，等边三角形中，，线段绕点在平面内旋转，为中点．若，则的最大值为________，最小值为________． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 解方程：． 16. 已知抛物线经过点和． （1）求，的值； （2）判断点是否在这个抛物线上，并说明理由． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 国庆期间，全国各影院上映多部爱国影片，某影院每天运营成本为400元，该影院每天售出的电影票数量（单位：张）与售价（单位：元/张）之间满足一次函数关系（，且是整数），若该影院每天的利润为（单位：元），（利润票房收入运营成本）． （1）求与之间的函数关系式； （2）该影院将电影票售价定为多少时，每天获利最大？最大利润是多少？ 18. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，的顶点均为格点（网格线的交点），已知点，，的坐标分别为，，． （1）画出绕点逆时针旋转后得到的； （2）画出关于原点的对称图形； （3）若连接，则线段的长度为 ． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 如图是一张长，宽的长方形纸板，将纸板四个角各剪去一个同样的边长为的正方形，然后将四周突出部分折起，可制成一个无盖的长方体纸盒． （1）无盖方盒盒底的长为 ，宽为 （用含x的式子表示）． （2）若要制作一个底面积是的无盖的长方体纸盒，求剪去的正方形边长． 20. 如图，在中，，将绕点A逆时针旋转到的位置，使得． （1）请判断的形状，并说明理由． （2）求的度数． 六、（本题满分12分） 21. 如图，AC为的直径，BD是弦，且于点E，连接AB、OB、BC． （1）求证：； （2）若，，求弦的长． 七、（本题满分12分） 22. 已知抛物线与轴交于点，点（点在点的左侧），与轴交于点． （1）求点，，的坐标； （2）设点是抛物线在第四象限部分上的动点，连接、、、，如图，设的面积为，的面积为，当的值最大时，求点的坐标； 八、（本题满分14分） 23. 综合与实践 【问题背景】某数学兴趣小组针对高铁检票问题、研究了排队人数与安检时间，检票闸口数之间的关系． 【模型构建】收集数据：列车发车前15分钟开始检票，数学兴趣小组根据收集到的候车总人数（人）与安检时间（分钟）之间部分对应值并制成下表： 0 5 10 15 25 150 225 250 （1）以，每组对应值作为点的坐标在给出的平面直角坐标系中描点，用光滑的曲线顺次连接各点； （2）根据图象，在我们学过的一次函数、二次函数和反比例函数中与之间满足 函数关系； （3）求与之间的函数表达式（写出自变量的取值范围）； 【模型应用】 已知条件1：旅客排队检票上车，任意时刻都满足：排队人数=候车总人数-已检票人数； 已知条件2：若该检票口最多可开放10条检票通道，平均每条通道每分钟可安检6人． 结合上述信息，请完成下述问题： （1）当开通3条检票通道，检票时间分钟时，已检票人数为 ，排队人数与检票时间的函数关系式为 ； （2）在（1）的条件下，排队人数在第几分钟达到最大值，最大人数为多少？ （3）为保证列车行车安全，车站规定列车开车前5分钟停止检票，同时为节省开支，尽量少安排检票通道，为保证候车室所有旅客都能安全检票上车，求至少应打开几条检票通道？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $