精品解析：河南省周口市商水县希望初级中学2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题

九年级期中考试数学 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 对于点P和线段，给出如下定义：若将线段绕点P旋转可以得到的弦（，分别是A，B的对应点），则称线段是的以点P为中心的“和谐线段”．如图，在平面直角坐标系中，的半径为1，点的，连接，已知线段是的以点P为中心的“和谐线段”，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 已知点，，在抛物线上，则，，大小关系是（　　） A. B. C. D. 4. 将抛物线向右平移1个单位，再向上平移2个单位，所得的新抛物线的表达式为（　　） A B. C. D. 5. 抛物线的对称轴是（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 6. 若将二次函数的图象向下平移2个单位，再向左平移3个单位，那么所得这个函数解析式为（ ） A B. C. D. 7. 下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 8. 如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为，宽为．停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为．求车道的宽度（单位：）．设停车场内车道的宽度为，根据题意所列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何．”其大意是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步？设这个矩形的宽为步，根据题意可列方程为（　　） A B. C. D. 2 10. 九年级（1）班学生毕业时，每名同学都要给其他同学写一份毕业留言作为纪念，全班学生共写了份留言．如果全班有名学生，根据题意，列出方程为  （ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是____________ 12. 如图，将绕点A顺时针旋转，得到，且点B的对应点M恰好落在上，则的度数为______度． 13. 如果一条抛物线的形状与的形状相同，且顶点坐标是，那么它的函数解析式为________． 14. 某药品原价是50元，经过连续两次降价后，价格变为32元，如果每次降价的百分率是相同的，那么每次降价的百分率是________. 15. 如果抛物线的开口向下，那么的取值范围是_________． 三、解答题（共8题，共75分） 16. 万州商场有型、型两款最受顾客喜爱的手机充电器，已知每台型充电器的售价比每台型充电器售价少40元，商家用1200元购入型充电器的数量与用1440元购入型充电器的数量相等． （1）每台型充电器与每台型充电器的售价分别为多少元？ （2）每台型充电器的进价为140元，据统计，商场每月卖出型充电器100台．国庆前夕，为了尽快减少库存，商场决定对型充电器进行降价促销活动，调查发现，每台型充电器的售价每降低10元，那么平均每月可多售出20台，若商家要想每月销售型充电器的利润达到10000元，则每台型充电器应降价多少元？ 17. 已知：如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为，与y轴交于点，点P是直线下方的抛物线上一动点． （1）求这个二次函数的表达式； （2）过P点作y轴平行线交直线于点E，求线段的最大值． 18. 【定义】若二次函数的顶点在直线上，则此二次函数叫做直线的开心函数．例如：二次函数的顶点为在直线上，所以二次函数是直线的开心函数． （1）若二次函数是直线的开心函数，求k的值； （2）若二次函数是直线的开心函数． ①求用含m的代数式表示； ②若当时，y的最小值为，求m的值． 19. 如图所示，在平面直角坐标系中，已知． （1）在平面直角坐标系中画出，则的面积是_____； （2）若点与点关于原点对称，则点的坐标为______； （3）已知为轴上一点，若面积为4，求点的坐标． 20. 为弘扬达州地方文化，让更多游客了解巴人故里，某文旅公司推出多款文创产品．已知某款巴小虎吉祥物的成本价是30元，当售价为40元时，每天可以售出60件，经调查发现，售价每降价1元，每天可以多售出10件． （1）设该款巴小虎吉祥物降价x元，则每天售出的数量是_______件； （2）为让利于游客，该款巴小虎吉祥物应该降价多少元，文旅公司每天的利润是630元； （3）文旅公司每天售卖该款巴小虎吉祥物的利润为W元，当售价为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？ 21. 在二次函数中，x与y的几组对应值如下表所示． x … 0 1 … y … 1 … （1）求二次函数的表达式； （2）求二次函数图象的顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系中画出二次函数的图象． 22. 今年抚州市广昌县白莲喜获丰收，该县某村委会在网上直播销售A，B两种优质白莲礼包． （1）已知今年7月份销售A种白莲礼包包，8、9月该礼包十分畅销，销售量持续走高，在售价不变的基础上，9月份的销售量达到包．若设8、9两个月销售量的月平均增长率为，求的值． （2）若B种白莲礼包每包成本价为30元，当售价为每包50元时，每月销量为包．为了尽快减少库存，该村准备在10月进行降价促销，经调查发现，若B种白莲礼包每包每降价1元，月销售量可增加包，当B种白莲礼包每包降价多少元时，该村销售B种白莲礼包在10月份可获利元． 23. 解下列方程： （1） （2） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级期中考试数学 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查轴对称及中心对称的定义，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念，要注意：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合． 根据轴对称图形与中心对称图形的概念逐选项判断即可． 【详解】解：根据轴对称图形与中心对称图形的概念可知： A选项是轴对称图形而不是中心对称图形； B选项不是轴对称图形是中心对称图形； C选项是轴对称图形而不是中心对称图形； D选项是中心对称图形也是轴对称图形； 故选：D． 2. 对于点P和线段，给出如下定义：若将线段绕点P旋转可以得到的弦（，分别是A，B的对应点），则称线段是的以点P为中心的“和谐线段”．如图，在平面直角坐标系中，的半径为1，点的，连接，已知线段是的以点P为中心的“和谐线段”，则点的坐标是（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—旋转，圆的基本特点，根据题意可得都在上，由，可得点B只能在C、D这两个位置，同理点A只能在，这两个位置，进而确定或，再确定对应情形下旋转的角度即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵的半径为1， ∴都在上， 如图， ∵， ∴劣弧（不包括端点）上的任意一点到点P的距离都小于1，优弧（不包括端点）上任意一点到点P的距离大于1， ∴点B只能在C、D这两个位置， 同理可得点A只能在，这两个位置， ∴或， 当时，此时旋转角度为180度，符合题意， 当，此时点A旋转到其对应点时的旋转角度大于90度，点B旋转到其对应点时的旋转角为90度，不符合题意， ∴， 故选：B． 3. 已知点，，在抛物线上，则，，大小关系是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，熟悉掌握二次函数的图象性质是解题的关键． 求出对称轴后分析点的位置即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线对称轴为直线 ∵， ∴抛物线的开口向上， ∴越靠近直线，值越小， ∵距直线，2个单位；2距直线，1个单位；距直线，少于1个单位； ∴， 故选：C． 4. 将抛物线向右平移1个单位，再向上平移2个单位，所得的新抛物线的表达式为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用抛物线平移规律：上加下减，左加右减进而得出平移后的解析式． 【详解】解：∵将抛物线向右平移1个单位，再向上平移2个单位， ∴平移后的抛物线的解析式为：． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了二次函数图象的平移变换，正确掌握平移规律是解题关键． 5. 抛物线的对称轴是（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数顶点式的性质，解题的关键是掌握，对称轴为直线，据此即可解答． 【详解】解：∵， ∴对称轴为直线， 故选：A． 6. 若将二次函数的图象向下平移2个单位，再向左平移3个单位，那么所得这个函数解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与几何变换．根据“上加下减，左加右减”的平移规律进行解答即可． 【详解】解：由“上加下减，左加右减”的规律可知， 将抛物线向下平移2个单位，再向左平移3个单位所得的抛物线的表达式是． 故选：A． 7. 下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了中心对称与轴对称图形的识别，熟悉掌握图形的识别是解题的关键． 根据中心对称与轴对称图形的理解逐一判断即可． 【详解】A：是中心对称图形，不是轴对称图形，故A错误； B：不是中心对称图形，是轴对称图形，故B错误； C：即是中心对称图形，又是轴对称图形，故C正确； D：不是中心对称图形，是轴对称图形，故D错误； 故选：C． 8. 如图是某地下停车场平面示意图，停车场的长为，宽为．停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为．求车道的宽度（单位：）．设停车场内车道的宽度为，根据题意所列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解答本题的关键． 由停车场的长、宽及停车场内车道的宽度，可得出停车位（图中阴影部分）可合成长为，宽为的矩形，结合停车位的占地面积为，即可列出关于的一元二次方程，即可求解． 【详解】解：若设停车场内车道的宽度为，则停车位（图中阴影部分）可合成长为，宽为的矩形， 根据题意得：， 故选：C． 9. 中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何．”其大意是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步？设这个矩形的宽为步，根据题意可列方程为（　　） A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查根据实际问题列一元二次方程，根据题意，设宽为x步，则长为步，利用矩形面积公式即可列出方程. 【详解】解：设宽为x步，则长为步 由题意，得：， 故选：A. 10. 九年级（1）班学生毕业时，每名同学都要给其他同学写一份毕业留言作为纪念，全班学生共写了份留言．如果全班有名学生，根据题意，列出方程为  （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了列一元二次方程解决实际问题，解题的关键是理解题意，找准等量关系． 假设全班有名学生，根据留言的数量，列出方程即可． 【详解】解：假设全班有名学生，根据题意得， 故选：C． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是____________ 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式，一元二次方程的定义，根据题意得出，且，即可求解． 【详解】解：关于的一元二次方程有实数根， ，且 解得且； 故答案为：且． 12. 如图，将绕点A顺时针旋转，得到，且点B的对应点M恰好落在上，则的度数为______度． 【答案】108 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，等角对等边，三角形的内角和定理，由旋转得，，根据等角对等边以及三角形的内角和定理，可得，进而根据邻补角的定义即可求解． 【详解】解：由旋转得， ∴， ∴， 故答案为：108． 13. 如果一条抛物线的形状与的形状相同，且顶点坐标是，那么它的函数解析式为________． 【答案】或 【解析】 【分析】先把解析式设为顶点式，再根据抛物线形状相同，则二次项系数相同，据此可得答案． 【详解】解：设该抛物线解析式为， ∵抛物线的形状与的形状相同， ∴， ∴该抛物线解析式为或， 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键在于熟知抛物线形状相同，则二次项系数相同． 14. 某药品原价是50元，经过连续两次降价后，价格变为32元，如果每次降价的百分率是相同的，那么每次降价的百分率是________. 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的降低率问题，熟练掌握解题模型是解题的关键． 设每次降价的百分率为，用含有x的代数式表示两次降价后的售价，与已知变化后的售价是相等的，从而列方程求解即可． 【详解】解：设药品每次降价的百分率为， 根据题意，得， 解得，（不合题意，舍去）． 答：这件药品每次降价的百分率是． 故答案为： 15. 如果抛物线的开口向下，那么的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】由抛物线的开口向下，可得：＜，解不等式可得答案． 【详解】解： 抛物线的开口向下， ＜， ＜ 故答案为：． 【点睛】本题考查的是抛物线的开口方向，掌握＞，抛物线的开口向上，＜，抛物线的开口向下，是解题的关键． 三、解答题（共8题，共75分） 16. 万州商场有型、型两款最受顾客喜爱的手机充电器，已知每台型充电器的售价比每台型充电器售价少40元，商家用1200元购入型充电器的数量与用1440元购入型充电器的数量相等． （1）每台型充电器与每台型充电器的售价分别为多少元？ （2）每台型充电器的进价为140元，据统计，商场每月卖出型充电器100台．国庆前夕，为了尽快减少库存，商场决定对型充电器进行降价促销活动，调查发现，每台型充电器的售价每降低10元，那么平均每月可多售出20台，若商家要想每月销售型充电器的利润达到10000元，则每台型充电器应降价多少元？ 【答案】（1）A型号充电器的售价为200元，则B型号充电器的售价为240元． （2）每台B型充电器应降价50元． 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的应用、一元二次方程的应用等知识点，审清题意、正确列出分式方程和一元二次方程是解题的关键． （1）设A型充电器的售价为x元，则B型号充电器的售价为元，根据顾客用1200元购入A型充电器的数量与用1440元购入B型充电器的数量相等，据此列分式方程求解即可； （2）设每台B型充电器应降价m元，根据“每台B型充电器的进价为140元，商场每月卖出B型充电器100台．为了尽快减少库存，商场决定对B型充电器进行降价促销活动，每台B型充电器的售价每降低10元，那么平均每月可多售出20台，商场要想每月销售B型充电器的利润达到10000元”，据此列出一元二次方程求即可． 【小问1详解】 解：设A型充电器的售价为x元，则B型号充电器的售价为元， 根据题意得：，解得：， 检验：当时，． 所以，原分式方程的解为． 则B型号充电器的售价为． 答：A型充电器的售价为200元，则B型充电器的售价为240元． 【小问2详解】 解：设每台B型充电器应降价m元． 根据题意有：， 整理得：，解得：，， ∵为了尽快减少库存 ∴． 答：每台B型充电器应降价50元． 17. 已知：如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为，与y轴交于点，点P是直线下方的抛物线上一动点． （1）求这个二次函数的表达式； （2）过P点作y轴的平行线交直线于点E，求线段的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数综合，求二次函数解析式，正确理解题意求出对应的函数解析式是解题的关键． （1）将两点坐标代入解析式即可求得抛物线解析式； （2）根据坐标求出所在直线解析式为，设，，进而求得，再根据二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：∵二次函数的图象经过点和点， ∴， ∴， ∴这个二次函数的表达式为． 【小问2详解】 解：∵点P是直线下方的抛物线上一动点， ∴设，， 设直线的解析式为， 将点和点代入得， ∴， ∴直线的解析式为． ∵过P点作y轴平行线交直线于点E， ∴， ∴ ， ∵， ∴当时，有最大值为， ∴线段的最大值为． 18. 【定义】若二次函数的顶点在直线上，则此二次函数叫做直线的开心函数．例如：二次函数的顶点为在直线上，所以二次函数是直线的开心函数． （1）若二次函数是直线的开心函数，求k的值； （2）若二次函数是直线的开心函数． ①求用含m的代数式表示； ②若当时，y的最小值为，求m的值． 【答案】（1） （2）①；②或3 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到待定系数法求函数表达式，新定义等，分类求解是解题的关键． （1）由函数的表达式知，顶点坐标为：，将代入，即可求解； （2）①由函数的表达式知，顶点坐标为：，将代入得：，即可求解； ②当时，则抛物线在时，取得最小值，即，则舍去或3，即；当或时，同理可解． 【小问1详解】 解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为：， 将代入得：， ∴； 【小问2详解】 ①∵， ∴抛物线的顶点坐标为：， 将代入得：， ∴； ②由①知，抛物线的表达式为：，顶点坐标为：， 当时，， 当时，同理可得：， 当，即：时，则抛物线在时，取得最小值， 即，则舍去或3，即； 当，即：时，则抛物线在顶点，取得最小值， 即，则； 当，即：时，时，函数取得最小值， 即，无解， 综上，或 19. 如图所示，在平面直角坐标系中，已知． （1）在平面直角坐标系中画出，则的面积是_____； （2）若点与点关于原点对称，则点的坐标为______； （3）已知为轴上一点，若的面积为4，求点的坐标． 【答案】（1）作图见解析，4 （2） （3）点坐标为或 【解析】 【分析】（1）利用描点法在平面直角坐标系中描出即可得到，在网格中求出三角形面积即可得到答案； （2）根据关于原点对称的点的坐标特征即可得到答案； （3）根据网格中三角形面积的求法，列方程求解即可得到答案． 【小问1详解】 解：在平面直角坐标系中描点，如图所示： 将放在矩形中求面积，如图所示： ； 故答案为：4； 【小问2详解】 解：点与点关于原点对称，如图所示： ， 点坐标为， 故答案为：； 小问3详解】 解：如图所示： ∵为轴上一点，若的面积为4， ∴ ， 设，则，即或， ∴点的横坐标为：或， P点坐标为：或． 【点睛】本题考查网格中作三角形、网格中求三角形面积、点关于原点对称、由网格中三角形面积求点的坐标等知识，熟练掌握网格中三角形面积的求法是解决问题的关键． 20. 为弘扬达州地方文化，让更多游客了解巴人故里，某文旅公司推出多款文创产品．已知某款巴小虎吉祥物的成本价是30元，当售价为40元时，每天可以售出60件，经调查发现，售价每降价1元，每天可以多售出10件． （1）设该款巴小虎吉祥物降价x元，则每天售出的数量是_______件； （2）为让利于游客，该款巴小虎吉祥物应该降价多少元，文旅公司每天的利润是630元； （3）文旅公司每天售卖该款巴小虎吉祥物的利润为W元，当售价为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）3元 （3）售价为38元时，每天的利润最大，最大利润是640元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用和二次函数的应用，正确理解题意、列出方程与函数关系式是解题的关键； （1）根据原来每天售出的60件，再加上多售出的件数即可得到答案； （2）设该款巴小虎吉祥物降价x元，根据每件的利润×销售数量=销售利润即可列出方程，解方程即可得解； （3）设该款巴小虎吉祥物降价x元，根据每件的利润×销售数量=销售利润即可列出二次函数关系式，再根据二次函数的性质解答即可． 【小问1详解】 解：设该款巴小虎吉祥物降价x元，则每天售出的数量是件； 故答案为：； 【小问2详解】 解：设该款巴小虎吉祥物降价x元， 根据题意可得：， 整理可得：， 解得：， 由于要让利于游客，舍去， ∴该款巴小虎吉祥物降价3元时文旅公司每天的利润是630元. 【小问3详解】 解：设该款巴小虎吉祥物降价x元， 则 ， ∵， ∴当时，取最大值为640元，此时销售价为38元， 答：售价为38元时，每天的利润最大，最大利润是640元． 21. 在二次函数中，x与y的几组对应值如下表所示． x … 0 1 … y … 1 … （1）求二次函数的表达式； （2）求二次函数图象的顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系中画出二次函数的图象． 【答案】（1） （2）顶点坐标为，见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质、画二次函数的图象等知识点，掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）直接利用待定系数法求解即可； （2）利用配方法把解析式变形为顶点式，即可确定顶点坐标，然后再画出函数图象即可． 【小问1详解】 解：把点代入得： ， 解得：， ∴二次函数的解析式为． 【小问2详解】 解：∵， ∴二次函数图象的顶点坐标为，对称轴为直线， ∴点关于直线的对称点为， 画出函数图象如图： 22. 今年抚州市广昌县白莲喜获丰收，该县某村委会在网上直播销售A，B两种优质白莲礼包． （1）已知今年7月份销售A种白莲礼包包，8、9月该礼包十分畅销，销售量持续走高，在售价不变的基础上，9月份的销售量达到包．若设8、9两个月销售量的月平均增长率为，求的值． （2）若B种白莲礼包每包成本价为30元，当售价为每包50元时，每月销量为包．为了尽快减少库存，该村准备在10月进行降价促销，经调查发现，若B种白莲礼包每包每降价1元，月销售量可增加包，当B种白莲礼包每包降价多少元时，该村销售B种白莲礼包在10月份可获利元． 【答案】（1） （2）当B种白莲礼包每包降价6元时，该村销售B种白莲礼包每包降价在10月份可获利元． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）利用9月份的销售量=7月份的销售量月平均增长率，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出x的值； （2）设B种白莲礼包每包降价m元，则每包的销售利润为元，月销售量为包，利用总利润=每包的销售利润×月销售量，即可得出关于m的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【小问1详解】 解：依题意得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：的值为． 【小问2详解】 解：设B种白莲礼包每包降价m元，则每包销售利润为元，月销售量为包，依题意得：， 整理得：， 解得：，. ∵为了尽快减少库存， ∴． 答：当B种白莲礼包每包降价6元时，该村销售B种白莲礼包每包降价在10月份可获利元． 23. 解下列方程： （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法并灵活运用是解答的关键． （1）利用因式分解法解方程即可； （2）利用配方法解方程即可． 【小问1详解】 解：方程化为 则 ∴或 ∴，； 【小问2详解】 解：移项，得 配方，得 即 开方，得 ∴，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $