精品解析：海南省海口市龙华区第五学区2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题

海南省海口市龙华区第五学区2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题 时间：100分钟 满分：120分 一、单选题（每小题3分，共36分） 1. 下列选项中，一定是二次根式的是（ ） A B. C. D. 2. 下列各组中的四条线段成比例的是（ ） A. 1、2、3、5 B. 2、3、6、8 C. 3、4、5、6 D. 4、3、8、6 3. 若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则下面结论成立的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 用配方法解一元二次方程的过程中，配方正确的是（ ） A B. C. D. 7. 已知一元二次方程的两根为，则的值是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在平行四边形中，E是边上一点，已知与的周长之比为，则为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，是的中位线，若，则等于（ ） A 5 B. 4 C. 3 D. 2 10. 如图，点，，将线段平移得到线段．若，，则点的坐标为（　　） A. B. C. D. 11. 如图，为了美化环境，某公园计划在一块长为，宽为的矩形空地上修建三条同样宽的小道，剩余的空地上种植花卉，使花卉的种植面积为，设小道的宽为，则下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 12. 如图，在矩形中，，，点E在边上，，垂足为F．若，则线段的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 二、填空题（每小题3分，共12分） 13. k______时，关于x的方程有两个相等的实数根。 14. 若化简的结果为______． 15. 如图，小东用长2米的竹竿CD作测量工具，测量学校旗杆的高度AB，移动竹竿，使竹竿、旗杆顶端的影子恰好落在地面的同一点O．此时，OD＝3米，DB＝9米，则旗杆AB的高为_____米． 16. 如图，在正方形中，是的中点，与交于点，则的值为_______，若阴影部分的面积为3，则正方形的边长是________． 三、解答题（共72分） 17. 计算 （1）； （2）； （3） 18. 解下列方程 （1）； （2）； （3）． 19. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为． （1）画出与关于轴对称的； （2）以原点为位似中心，画一个，使它与的相似比为； （3）内有一点，写出经过（2）位似变换后的对应点的坐标． 20. 传统中秋节俗中保存最完整的是馈送月饼的节俗，月饼成为中秋佳节的象征，也是紫金人民最热爱的糕点之一．超市销售某品牌的月饼，平均每天可售出20盒，每盒盈利40元，临近中秋节，为了扩大销量，增加盈利，超市采取了降价措施．经过一段时间后，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2盒． （1）若降价8元，则平均每天销售数量为______盒； （2）尽快减少库存，要使超市每天销售利润为1200元，每盒月饼应降价多少元？ 21. 如图，在中，过点作于点，连结为线段上一点，且． （1）求证：； （2）若，，，求的长． 22. 如图1，在等腰三角形中，，，有两动点P、Q分别在边上运动，点的速度为每秒1个单位长度，点的速度为每秒2个单位长度，它们分别从点和点同时出发，点沿线段按方向向终点运动，点沿线段按方向向终点运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动时间为秒，请解答下列问题： （1）秒后，请用含有代数式表示以下线段的长：______；____． （2）如图1，当为何值时，； （3）当为何值时，以点P、B、Q为顶点的三角形与相似； （4）如图2，点P、Q在运动过程中，是否存在这样的，使得的面积等于4？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 海南省海口市龙华区第五学区2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题 时间：100分钟 满分：120分 一、单选题（每小题3分，共36分） 1. 下列选项中，一定是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的定义，熟练掌握二次根式定义是解题的关键．二次根式需满足被开方数非负且根指数为2．选项A被开方数为，符合；选项B被开方数x可能为负；选项C根指数为3；选项D被开方数为负，均不符合二次根式定义． 【详解】解：A、，所以是二次根式，故A选项符合题意． B、x可能小于0，所以不是二次根式，故B选项不符合题意． C、是三次方根不是二次根式，故C选项不符合题意． D、，所以不是二次根式，故D选项不符合题意． 故选：A． 2. 下列各组中的四条线段成比例的是（ ） A. 1、2、3、5 B. 2、3、6、8 C. 3、4、5、6 D. 4、3、8、6 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查比例线段，理解比例线段的概念，注意在线段相乘时，要让最小的和最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等进行判断．根据比例线段的概念，让最小的和最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等即可得出答案． 【详解】解：A、，故此选项中四条线段不成比例，故本选项不符合题意； B、，故此选项中四条线段不成比例，故本选项不符合题意； 、，故此选项中四条线段不成比例，故本选项不符合题意； 、四个数排序后为3、4、6、8，因为，故此选项中四条线段成比例，故本选项符合题意； 故选：D． 3. 若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，求不等式的解集，根据二次根式在实数范围内有意义的条件是被开方数大于或等于零，进行求解即可． 【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义， ∴被开方数， ∴． 故择：B． 4. 已知，则下面结论成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查比例性质，先把等积式化为比例式一一与各选项相比较即可得．掌握等式的变形性质，化等积式为比例式是解题关键． 【详解】解：A．∵，得，故选项A不成立； B．∵，得，故选项B不成立； C．∵，得，故选项C成立； D．由可知x、y可以为，故选项D不一定成立． 故选：C． 5. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】本题考查二次根式的运算，正确运算是解决本题的关键． 根据二次根式的运算法则，逐一验证各选项的正确性即可． 【分析】解：选项A：，故错误． 选项B：二次根式加法需满足同类根式才能合并，而与非同类根式，无法直接相加，故错误． 选项C：，故正确． 选项D：，故错误． 故选：C． 6. 用配方法解一元二次方程的过程中，配方正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是利用配方法求解． 【详解】解：， ， ， ， 故选B． 7. 已知一元二次方程的两根为，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程，根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的两个根，，满足，．根据一元二次方程根与系数的关系进行解答即可． 【详解】解：设方程的两根为， ∵， ∴， ， ∴． 故选：D． 8. 如图，在平行四边形中，E是边上一点，已知与的周长之比为，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据相似三角形周长的比就是相似比直接求解即可 【详解】∵四边形是平行四边形， ∴, ∴，， ∴，且与的周长之比为 ∴，且， ∴， 故选：B 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质相似比，掌握相似比的计算是解题的关键 9. 如图，是的中位线，若，则等于（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三角形的中位线定理和相似三角形的判定和性质，解题的关键是根据是的中位线，可得，可得，再利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，可求出． 【详解】解：是的中位线， ，， ， ， 又， ． 故选B． 10. 如图，点，，将线段平移得到线段．若，，则点的坐标为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形的变换—平移，相似三角形的判定和性质，过点作轴于点，先证明，根据相似三角形的性质可得，求出点的坐标，构造相似三角形是解题的关键． 【详解】解：过点作轴于点，如图所示： 则， ∵点，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴点坐标， 故选：A． 11. 如图，为了美化环境，某公园计划在一块长为，宽为的矩形空地上修建三条同样宽的小道，剩余的空地上种植花卉，使花卉的种植面积为，设小道的宽为，则下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是由道路的宽为，可得出种植草坪的部分可合成长为，宽为的矩形，根据草坪的面积为，即可得出关于的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：道路的宽为， 种植草坪的部分可合成长为，宽为的矩形． 根据题意得：． 故选：A． 12. 如图，在矩形中，，，点E在边上，，垂足为F．若，则线段的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】证明△AFD∽△EBA，得到，求出AF，即可求出AE，从而可得EF. 【详解】解：∵四边形ABCD矩形， ∴AB=CD=3，BC=AD=10，AD∥BC， ∴∠AEB=∠DAF， ∴△AFD∽△EBA， ∴， ∵DF=6， ∴AF=， ∴， ∴AE=5， ∴EF=AF-AE=8-5=3. 故选B. 【点睛】本题考查了矩形性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法. 二、填空题（每小题3分，共12分） 13. k______时，关于x的方程有两个相等的实数根。 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式．一元二次方程根的判别式．一元二次方程有两个不相等的实数根，；一元二次方程有两个相等的实数根，；一元二次方程没有实数根，．熟练掌握是解决问题的关键． 化成一般形式，根据一元二次方程有两个相等实数根，令根的判别式等于0，解k的方程即得 【详解】解：∵x的方程，即有两个相等的实数根， ∴． ∴． 故答案为：4． 14. 若化简的结果为______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了利用二次根式的性质化简，化简绝对值，熟练掌握和运用利用二次根式的性质化简是解决本题的关键．首先根据二次根式的性质化简，再根据化简绝对值，据此即可求解． 【详解】解：， ∵， ∴， 故答案为：3． 15. 如图，小东用长2米的竹竿CD作测量工具，测量学校旗杆的高度AB，移动竹竿，使竹竿、旗杆顶端的影子恰好落在地面的同一点O．此时，OD＝3米，DB＝9米，则旗杆AB的高为_____米． 【答案】8 【解析】 【分析】图中正好构成两个相似三角形，△OCD∽△OAB，即=，代入数据求解即可. 【详解】∵△OCD∽△OAB，∴=，∵OD=3，DB=9，CD=2，∴AB===8.故答案为8. 【点睛】掌握相似三角形的相关性质是解题的关键. 16. 如图，在正方形中，是的中点，与交于点，则的值为_______，若阴影部分的面积为3，则正方形的边长是________． 【答案】 ①. ## ②. 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，相似三角形的判定与性质，正确理解题意是解题的关键．根据正方形的性质得出，进而得出，根据阴影部分面积求出，再根据中线的性质得出，得出正方形的面积为18，即可得出答案． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∴，， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴； ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴正方形的边长为． 故答案：；． 三、解答题（共72分） 17. 计算 （1）； （2）； （3） 【答案】（1） （2）2 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式混合运算，二次根式的性质，熟练掌握运算法则，是解题的关键． （1）根据二次根式性质进行化简，然后根据二次根式加减运算法则，进行计算即可； （2）根据二次根式混合运算法则，进行计算即可； （3）根据二次根式混合运算法则，结合完全平方公式，进行计算即可． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 【小问3详解】 解： ． 18. 解下列方程 （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）； （2）； （3） 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法等，熟练掌握并灵活运用适当的方法是解题关键． （1）直接开平方得出两个一元一次方程，解这两个方程即可得答案； （2）利用公式法解方程即可； （3）先移项，再利用因式分解法解方程即可． 【小问1详解】 解： 直接开平方得：， 解得：． 【小问2详解】 解： 【小问3详解】 解： 整理得：， 因式分解得：， 解得：． 19. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为． （1）画出与关于轴对称的； （2）以原点为位似中心，画一个，使它与的相似比为； （3）内有一点，写出经过（2）位似变换后的对应点的坐标． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化——位似变换、轴对称变换，根据题意正确作图是解题的关键． （）根据轴对称变换的特点，得到点的位置，然后连接即可； （）把、、的横、纵坐标都乘以得到坐标，，，然后描点，连接即可； （3）根据位似图形的性质进行求解即可． 【小问1详解】 解：如图，为所作； 【小问2详解】 解：如图，为所作； 【小问3详解】 解：∵与的相似比为， ∴与的位似比为， ∴点的对应点的坐标为． 20. 传统中秋节俗中保存最完整的是馈送月饼的节俗，月饼成为中秋佳节的象征，也是紫金人民最热爱的糕点之一．超市销售某品牌的月饼，平均每天可售出20盒，每盒盈利40元，临近中秋节，为了扩大销量，增加盈利，超市采取了降价措施．经过一段时间后，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2盒． （1）若降价8元，则平均每天销售数量为______盒； （2）为尽快减少库存，要使超市每天销售利润为1200元，每盒月饼应降价多少元？ 【答案】（1） （2）元 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，读懂题意，找到等量关系，列出一元二次方程是解题的关键． （1）根据销售单价每降低元，平均每天可多售出盒，可得降价元，则平均每天可多售出盒，即平均每天销售数量为盒； （2）设每盒月饼降价x元，则每天可售出盒，每盒利润元，根据总利润每盒利润销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解方程后根据题意取舍即可得出结论． 【小问1详解】 解：当降价8元，平均每天销售数量盒， 故答案为：； 【小问2详解】 解：设，每盒月饼应降价元， ， 解得：，， 又∵尽快减少库存， ∴， 答：每盒月饼应降价元． 21. 如图，在中，过点作于点，连结为线段上一点，且． （1）求证：； （2）若，，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质： （1）根据平行四边形的性质和相似三角形的判定解答即可； （2）根据相似三角形的性质和勾股定理解答即可． 【小问1详解】 证明：如图， 在中，，， ，， 又，且 ， ， ； 【小问2详解】 解： ， 即， ， ， ， 又， ， 在中， 22. 如图1，在等腰三角形中，，，有两动点P、Q分别在边上运动，点的速度为每秒1个单位长度，点的速度为每秒2个单位长度，它们分别从点和点同时出发，点沿线段按方向向终点运动，点沿线段按方向向终点运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动时间为秒，请解答下列问题： （1）秒后，请用含有的代数式表示以下线段的长：______；____． （2）如图1，当为何值时，； （3）当为何值时，以点P、B、Q为顶点的三角形与相似； （4）如图2，点P、Q在运动过程中，是否存在这样的，使得的面积等于4？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2）； （3）或； （4）存在，． 【解析】 【分析】（1）根据即可得到，直接利用速度乘以时间表示出； （2）根据平行线的性质判定，得到，表示出，，代入比例式，解方程即可； （3）分和分别讨论即可； （4）过作，垂足为，作边上的高，利用三线合一和勾股定理求出AD，证明，得到，表示出，再根据三角形的面积得出关于的方程，解之即可． 【小问1详解】 解：，， 故答案为：；； 【小问2详解】 解：当时，， ， ， ， ， 解得：， 当时，； 【小问3详解】 解：， 当时， 同（1）可得：； 当时， ，即， 解得：； 综上：当或时，以点P、B、Q为顶点的三角形与相似； 【小问4详解】 解：存在，理由是： 如图，过P作，垂足为D，作边上的高， 即 解得：或， 当时，，故不合题意， ，即存在，使得的面积等于4． 【点睛】本题考查了三角形综合题，相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形三线合一，解一元二次方程，分类讨论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $