精品解析：河北省沧州市肃宁县第一中学2025-2026学年高三上学期11月期中考试数学试题

数学 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在试题卷和答题卡上． 2．作答时，将答案写在答题卡上对应的答题区域内．写在试题卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．考试结束后，本试题卷和答题卡一并上交． 一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】解不等式求出集合 、，再求. 【详解】， 或， 则或. 故选：D. 2. 焦点在轴上的双曲线的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设焦点在轴上的双曲线的标准方程为，由，可得，可求双曲线的渐近线方程. 【详解】设焦点在轴上的双曲线的标准方程为，又离心率为2， 所以，所以，所以，所以， 所以该双曲线的渐近线方程为. 故选：A. 3. “样本数据的平均数为8”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】利用样本平均数求出，利用对数函数性质求出的范围，再利用充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】由样本数据的平均数为8，得，解得， 当时，； 由，知必有成立，不等式，因此， 所以“样本数据的平均数为8”是“”的充分不必要条件. 故选：B 4. 已知圆锥的母线长为6，侧面展开图是圆心角为的扇形，则该圆锥的表面积为（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据扇形的弧长公式可得，进而求圆锥的表面积. 【详解】设圆锥的底面半径为， 则，解得， 所以该圆锥的表面积为. 故选：A. 5. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，向量的起点和终点均在格点上，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】方法一根据投影向量公式结合平面向量数量积运算律计算求解；方法二应用投影向量的性质计算求解. 【详解】（方法一）如图，建立平面直角坐标系， 可得，则， 向量在向量上的投影向量为. （方法二）向量在向量上的投影向量等于向量在向量上的投影向量加上向量在向量上的投影向量， 根据投影向量的概念可知向量在向量上的投影向量为， 向量在向量上的投影向量为， 所以向量在向量上的投影向量为. 故选：A. 6. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由已知条件可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，利用两角差的正弦公式可求得的值，再利用二倍角的余弦公式可求得的值. 【详解】由可得，即， 由题意可得，解得， 所以. 因此. 故选：D. 7. 已知，，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】根据对数的运算性质与运算法则，结合对数函数的单调性，化简运算，即可求解. 【详解】由对数的运算性质，可得， 则； 又由，则， 因为，可得，所以，所以. 故选：A. 8. 在等比数列中，，，且数列的前项和，则此数列的项数等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据等差数列性质，，解得和的取值，再求公比，利用前项和求得的取值. 【详解】因为是等比数列，所以，又， 所以和是方程，的两根，解得或， 若递增数列，则，，因为， 所以，解得， 所以，解得； 若是递减数列，则，， 因为，所以，解得， 所以，解得， 综上，数列的项数等于 故选：B 二､多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知实数满足，复数，则（ ） A. 为纯虚数 B. 的虚部为 C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据复数的乘法运算求出a，即可写出z从而判断A选项，将z的虚部变为相反数可写出从而判断B选项，代入公式求出复数的模判断C选项，利用复数的乘法公式求出判断D选项. 【详解】因为，所以，则，A错误； ，的虚部为，B正确；，C正确； ，D错误. 故选：BC 【点睛】 10. 声音源于物体振动所产生的、能够激发听觉的波动．为了有效地消除噪声，人类研发了主动降噪的技术，该技术的原理是通过电子设备模拟产生一种与目标噪声频率，振幅完全相同，但相位恰好相反（即相位差为的奇数倍）的声音，理论上就可以和噪声完全抵消．某一目标噪声的数学模型函数是，则可以作为降噪模拟声的数学函数模型有（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】根据题意结合诱导公式可得出合乎题意的模型. 【详解】由题意可知，可以作为降噪模拟声的数学函数模型为，， 或，， AB选项满足题意， 故选：AB. 11. 已知函数，则（ ） A. 当时，不等式的解集为 B. 当时，是的极值点 C. 当时，曲线的对称中心在直线上 D. 当时，的所有零点都小于0 【答案】ACD 【解析】 【分析】对A：因式分解后计算即可得；对B：举出反例即可得；对C：求出三次函数导数图象的对称轴，即可得三次函数图象的对称中心横坐标，再借助其横坐标计算纵坐标即可得；对D：求导后，借助根的判别式分类讨论该函数单调性，结合零点的存在定理判断该函数的所有零点正负即可得. 【详解】对A：当时，， 由，则当时，有或，解得，故A正确； 对B：当时，，则在上单调递增， 即无极值点，故B错误； 对C：当时，，， 则的图象关于直线对称， 有， 事实上有 ， 即曲线的对称中心为， 故曲线的对称中心在直线上，故C正确； 对D：当时，，， 当，即时， 恒成立，则在上单调递增， 又，， 故存在唯一零点，且该零点小于； 若，即或时， 令两根分别为，且； 当时，，当时，， 即在、上单调递增，在上单调递减， 若，则，，即， 又，故当时，，故不存在非负零点； 若，则，，即， 有，即， 即，故， 则 ， 又，故当时，，故不存在非负零点； 当时，，故存在负零点； 综上所述，的所有零点都小于，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：D选项中关键点在于借助根的判别式，对的单调性进行讨论，从而结合零点的存在性定理探究零点的正负，难点在于当时，如何得到的正负. 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设等差数列的前项和为，若，，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】利用等差数列的通项公式和求和公式即可求解. 【详解】利用等差数列中的等差中项性质可知：， 由等差数列的通项公式可得：， 所以， 则， 故答案为： 13. 已知椭圆的焦点分别是，，点在椭圆上，如果，那么点到轴的距离是______. 【答案】 【解析】 【分析】设，从而根据可得，联立椭圆的方程可解出的值，从而得出点到轴的距离． 【详解】由椭圆方程得，，，设， 则：，； 由得： （1）； 又点在椭圆上，可得（2）； （1）（2）联立消去得，；即； 故点到轴的距离是． 故答案为：． 14. 将1，2，3，4，5，6随机填入如图所示的三角形图形中的 6 个圈中，每个数恰好出现一次，则三角形三边上的数字之和均相等的概率为_____. 【答案】 【解析】 【分析】三角形三边上的数字之和可能为，分类讨论，结合列举法、分类加法、分步乘法计数原理求解即可. 【详解】将1，2，3，4，5，6填入三角形图形中的6个圈中的填法共有6!种. 设每条边上的3个数之和为，则， ，所以，解得. ①当时，3个顶点所填的3个数只能为1，2，3， 如图（1）.此时共有填法种； ②当时，设3个顶点所填的3个数之和为， 则. 而， ，， 则3个顶点所填的3个数只能为，或. 当3个顶点所填的3个数为时， 由于顶点分别填3，4的这条边上的3个数之和为10， 从而这条边中间只能填3，这与每个数恰出现一次矛盾，此时没有适合条件的填法， 同样道理，3个数为时也没有适合条件的填法，只能为1，3，5， 如图（2），此时共有填法种； ③当时，3个顶点所填的3个数应为2，4，6，此时共有填法种； ④当时，3个顶点所填的3个数应为4，5，6，此时共有填法种. 综上，满足条件的填法共有种，故所求的概率为. 图（1） 图（2） 【点睛】方法点睛：元素较少的排列组合问题可以考虑枚举法；特殊位置优先排，例如本题中，可以先考虑3个顶点的排法，再考虑剩余3个位置的排法. 四､解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤． 15. 记 的内角 、、 的对边分别为、、，已知． （1）求 ； （2）若，，求 的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理结合余弦定理可求出的值，结合角 的取值范围可得出角 的值； （2）利用余弦定理结合已知条件求出的值，再结合三角形的面积公式可求得 的面积. 【小问1详解】 由及正弦定理可得，即， 由余弦定理可得， 因为，故. 【小问2详解】 因为，即， 所以 的面积为. 16. 甲､乙两人共同参加某公司的面试，面试分为初试和复试，若初试不通过，则不用参加复试，复试通过则被录用，否则不被录用.已知甲通过初试和复试的概率分别为，乙通过初试和复试的概率均为，两人是否通过面试相互独立. （1）求甲､乙两人至少有1人通过初试且没有通过复试的概率； （2）设两人中被录用的人数为，求的分布列及数学期望. 【答案】（1） （2） X 0 1 2 P 【解析】 【分析】（1）通过独立事件乘法公式及对立事件概率计算公式即可求解； （2）确定的取值，求得对应概率，即可求解. 【小问1详解】 记“甲､乙两人至少有1人通过初试且没有通过复试”为事件A， 甲通过初试且没有通过复试的概率为， 乙通过初试且没有通过复试的概率为， 所以， 即甲､乙两人至少有1人通过初试且没有通过复试的概率为. 【小问2详解】 由题意知的所有可能取值为. 甲被录用的概率为， 乙被录用的概率为， 所以， ， ， 则的分布列为 X 0 1 2 P 17. 已知抛物线的焦点为 ，为 上的一个动点（不与坐标原点重合），设． （1）求 的方程； （2）过 作 的切线，过 作的垂线交 于点，求的最小值． 【答案】（1） （2）9 【解析】 【分析】（1）根据抛物线的标准方程，可得抛物线的准线方程，由定义建立方程，可得答案 （2）利用导数以及直线垂直求得直线方程，联立求交点，利用基本不等式，可得答案. 【小问1详解】 设 的准线方程为，∴，又，可得， 即，，解得，∴ 的方程为. 【小问2详解】 ∵，∴点 处的切线斜率为，∴直线斜率为，∴直线， 与联立可得，，解得， 即的横坐标为，∴的纵坐标为， ∴，时取等号． 18. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，，是中点，平面，. （1）求四棱锥体积的最大值； （2）设， 为线段上的动点. ①求平面与平面的夹角余弦值的取值范围； ②四棱锥的外接球记为球，当 为线段中点时，求平面截球所得的截面面积. 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）设，用表示四棱锥体积，分析函数的单调性，可求四棱锥体积的最大值. （2）①建立空间直角坐标系，设点 的坐标，用空间向量求二面角的余弦，结合二次函数的值域，可得二面角余弦的取值范围. ②先确定球心，求出球心到截面的距离，利用勾股定理可求截面圆的半径，进而得截面圆的面积. 【小问1详解】 设则， 所以四棱锥体积，. 所以：. 由；由. 所以在上单调递增，在上单调递减. 所以四棱锥体积的最大值为. 【小问2详解】 ①以为原点，建立如图空间直角坐标系. 则，，，, 所以，，. 设平面的法向量为，则 . 令，则. 取平面的法向量. 因为平面与平面所成的二面角为锐角，设为. 所以. 因为，，所以. ②设，则，即，解得， 则，，此时平面的法向量， 所以点到平面的距离为：， 设四棱锥的外接球半径为，则, 所以平面截球所得的截面圆半径. 所以平面截球所得的截面面积为：. 【点睛】关键点点睛：平面截球的截面面积问题，要搞清球心的位置，球的半径，球心到截面的距离，再利用勾股定理，求出截面圆的半径. 19. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）当时，恒成立，求实数a的取值范围； （3）设m，n是两个不相等的正数，且，证明：. 【答案】（1）在上单调递增，在上单调递减 （2） （3）证明：要证，只需证： 由，只需证： 不妨设，则有：； 两边取指数得，化简得 设，则 由（1）得在上单调递减，在上单调递增（如图所示）， 要使且， 则，即，从而． 要证，只需证： 由于在上单调递增，只需证：， 又，只需证： 只需证：． 设，则 设，则在上单调递增． 所以，从而 所以在上单调递减，从而，则， 所以 【解析】 【分析】（1）首先求导函数的零点，再根据导数与函数单调性的关系，即可求解函数的单调区间； （2）法一：由不等式化简得在上恒成立，再构造函数，利用导数求函数的最小值，再讨论，即可求解；法二：由不等式恒成立，转化为在上恒成立，再变形为在上恒成立，通过构造函数，利用导数求函数的最小值，再讨论，即可求解； （3）由分析法，转化为证明，再由已知条件构造函数，再根据函数的图象，结合函数的图象和性质，转化为证明，再代入后转化为构造函数，利用导数求函数的最小值. 【小问1详解】 的定义域为 由，解得 所以当及时，，故在上单调递减； 当时，，故在上单调递增 【小问2详解】 法一：由题知不等式在上恒成立， 等价于不等式在上恒成立 设， 则，解得， 当，，单调递减，当，，单调递增， 所以在上有最小值 ①当时，因为，所以不等式恒成立： ②当时，因为，而，此时不满足恒成立； 综上所述， 法二：由题知不等式在上恒成立， 等价于不等式在上恒成立 即在上恒成立． 设，则，解得， 当，，单调递减，当，，单调递增， 所以在上有最小值． 因为，所以，即 ①当时，因为，所以不等式恒成立； ②当时，因为，而，此时不满足恒成立； 综上所述， 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在试题卷和答题卡上． 2．作答时，将答案写在答题卡上对应的答题区域内．写在试题卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．考试结束后，本试题卷和答题卡一并上交． 一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 或 2. 焦点在轴上的双曲线的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 3. “样本数据的平均数为8”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知圆锥的母线长为6，侧面展开图是圆心角为的扇形，则该圆锥的表面积为（ ）． A. B. C. D. 5. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，向量的起点和终点均在格点上，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知，，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 8. 在等比数列中，，，且数列的前项和，则此数列的项数等于（ ） A. B. C. D. 二､多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知实数满足，复数，则（ ） A. 为纯虚数 B. 的虚部为 C. D. 10. 声音源于物体振动所产生的、能够激发听觉的波动．为了有效地消除噪声，人类研发了主动降噪的技术，该技术的原理是通过电子设备模拟产生一种与目标噪声频率，振幅完全相同，但相位恰好相反（即相位差为的奇数倍）的声音，理论上就可以和噪声完全抵消．某一目标噪声的数学模型函数是，则可以作为降噪模拟声的数学函数模型有（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数，则（ ） A. 当时，不等式的解集为 B. 当时，是的极值点 C. 当时，曲线的对称中心在直线上 D. 当时，的所有零点都小于0 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设等差数列的前项和为，若，，则___________. 13. 已知椭圆的焦点分别是，，点在椭圆上，如果，那么点到轴的距离是______. 14. 将1，2，3，4，5，6随机填入如图所示的三角形图形中的 6 个圈中，每个数恰好出现一次，则三角形三边上的数字之和均相等的概率为_____. 四､解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤． 15. 记的内角、、的对边分别为、、，已知． （1）求； （2）若，，求的面积． 16. 甲､乙两人共同参加某公司的面试，面试分为初试和复试，若初试不通过，则不用参加复试，复试通过则被录用，否则不被录用.已知甲通过初试和复试的概率分别为，乙通过初试和复试的概率均为，两人是否通过面试相互独立. （1）求甲､乙两人至少有1人通过初试且没有通过复试的概率； （2）设两人中被录用的人数为，求的分布列及数学期望. 17. 已知抛物线的焦点为，为上的一个动点（不与坐标原点重合），设． （1）求的方程； （2）过作的切线，过作的垂线交于点，求的最小值． 18. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，，是中点，平面，. （1）求四棱锥体积的最大值； （2）设，为线段上的动点. ①求平面与平面的夹角余弦值的取值范围； ②四棱锥的外接球记为球，当为线段中点时，求平面截球所得的截面面积. 19. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）当时，恒成立，求实数a的取值范围； （3）设m，n是两个不相等的正数，且，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $