精品解析：内蒙古自治区通辽市奈曼旗第四中学联考 2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题

2025-2026学年第一学期期中教学质量检测 数学（九年级） 注意事项： 1.本试卷共4页，20小题，满分100分，考试时间90分钟． 2.本试卷的所有试题均按要求在答题卡上做答，答在本试卷上的答案无效． 一、单选题 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 关于的方程有实数根，则满足（ ） A. B. 且 C. 且 D. 3. 若一次函数的图象经过第二、三、四象限，则二次函数的图象只可能是（ ） A. B. C. D. 4. 九年级（1）班学生毕业时，每名同学都要给其他同学写一份毕业留言作为纪念，全班学生共写了份留言．如果全班有名学生，根据题意，列出方程为  （ ） A. B. C. D. 5. 如图，把绕点A逆时针旋转，得到，点恰好落在边上，连接，则的度数为（   ） A. 30度 B. 40度 C. 20度 D. 90度 6. 已知二次函数，则下列关于这个函数的图象和性质的说法错误的是（ ） A. 图象的开口向下 B. 与轴有2个交点 C. 当时，随的增大而减小 D. 对称轴是直线 7. 如图，是的直径，C、D是上的点，若，则等于（ ）． A. B. C. D. 8. 如图是二次函数图象的一部分，图象过点，对称轴为直线，给出以下结论： ①；②；③；④若、为函数图象上的两点，则；⑤当时，， 其中正确的结论是（ ）．（填写代表正确结论的序号） A. ②③ B. ①③⑤ C. ②③⑤ D. ①②⑤ 二、填空题 9. 若是方程的两个根，则的值为_______． 10. 某段公路上汽车紧急刹车后前行的距离s（单位：）关于行驶时间t（单位：）的函数解析式是，遇到刹车时，汽车从刹车后到停下来前进了______________． 11. 在平面直角坐标系中，将点 绕点 逆时针旋转 后，得到的点 的坐标为 _____________． 12. 如图，是的直径，是上的点，过点作的切线交的延长线于点．若，则______． 三、解答题 13. 解方程： （1）； （2） 14. 在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． （1）画出关于原点 O 成中心对称的； （2）画出将 绕点 O 顺时针旋转 后得到的，并写出点 的坐标． 15. 如图有一座抛物线形拱桥，已知桥下在正常水位时，水面宽为，当水位上升到达处，此时水面宽为．若水位继续以的速度上升，求从处淹到拱桥顶还需要多少小时． 16. 综合与实践：制定商品定价策略 【素材】某班计划在校园义卖中出售手工编织手链，所有收入将捐赠给环保项目．已知每只手链的成本为元，初始定价为元时，预计每天可售出只．若定价每提高元，销量会减少只；每降低元，销量增加只．为最大化公益收益，班级需制定科学定价策略． 【问题解决】 任务：设手链定价为元（），销量为________只（用的代数式表示）． 任务：①若班级希望每天利润为元，那么这手链的定价为多少元？ ②当手链定价为多少元时，每天利润有最大值，并求出利润的最大值为多少元． 17. 如图，，交于点C，D，是半径，且于点F． （1）求证：； （2）若，求的半径． 18. 如图，抛物线经过点，与轴交于点． （1）求抛物线的函数解析式及点坐标； （2）是抛物线上一点，且当时，的最大值为，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期期中教学质量检测 数学（九年级） 注意事项： 1.本试卷共4页，20小题，满分100分，考试时间90分钟． 2.本试卷的所有试题均按要求在答题卡上做答，答在本试卷上的答案无效． 一、单选题 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形与中心对称图形的定义，运用分析推理思想，根据两个定义逐一分析选项；解题关键是准确理解轴对称和中心对称的判定条件；易错点是对中心对称图形旋转重合的判定错误；根据轴对称图形和中心对称图形的定义，逐一分析每个选项是否同时满足两个条件． 【详解】A．是轴对称图形，但不是中心对称图形； B．是轴对称图形，但不是中心对称图形； C．是轴对称图形，但不是中心对称图形； D．既是轴对称图形（有对称轴），又是中心对称图形（绕中心旋转后与自身重合）； 故选：D． 2. 关于的方程有实数根，则满足（ ） A. B. 且 C. 且 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，根据一元二次方程有实数根得出判别式是解题关键．注意分类讨论，避免漏解．关于的方程有实数根，那么分两种情况：①当时，方程一定有实数根；②当时，方程成为一元二次方程，利用判别式即可求出的取值范围． 【详解】解：分类讨论： ①当，即时，方程变为，此时方程为一元一次方程，一定有实数根； ②当，即时，此时方程为一元二次方程， ∵关于x的方程有实数根， ∴， 解得． ∴的取值范围为． 故选：A． 3. 若一次函数的图象经过第二、三、四象限，则二次函数的图象只可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一次函数的图像及性质，二次函数的图像及性质．根据一次函数的图像经过的象限确定，，进而根据二次函数的图像的开口方向及对称轴，即可解答． 【详解】解：∵一次函数的图像经过第二、三、四象限， ，， ∴二次函数的图像开口向下，， ∴对称轴在y轴左侧，则符合题意的选项为C． 故选：C． 4. 九年级（1）班学生毕业时，每名同学都要给其他同学写一份毕业留言作为纪念，全班学生共写了份留言．如果全班有名学生，根据题意，列出方程为  （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了列一元二次方程解决实际问题，解题的关键是理解题意，找准等量关系． 假设全班有名学生，根据留言的数量，列出方程即可． 【详解】解：假设全班有名学生，根据题意得， 故选：C． 5. 如图，把绕点A逆时针旋转，得到，点恰好落在边上，连接，则的度数为（   ） A. 30度 B. 40度 C. 20度 D. 90度 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 由旋转的性质得，，，，再利用等腰三角形和直角三角形的性质分别求出，，最后利用角的和差即可求出的度数． 【详解】解：由旋转的性质得，，，， ，， ， 的度数为20度． 故选：C． 6. 已知二次函数，则下列关于这个函数的图象和性质的说法错误的是（ ） A. 图象的开口向下 B. 与轴有2个交点 C. 当时，随的增大而减小 D. 对称轴是直线 【答案】C 【解析】 【分析】将表达式化为顶点式，再分别判断开口方向，根的判别式，对称轴以及增减性即可求解． 【详解】解：， ∵， ∴图象的开口向下，故A正确，不合题意； 令，则， ， 抛物线与轴有两个交点，故B正确，不合题意； ∵对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小，故C错误，符合题意；D正确，不合题意； 故选C． 【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，抛物线与轴的交点，将二次函数与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程根的判断是解题的关键． 7. 如图，是的直径，C、D是上的点，若，则等于（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、圆周角定理等知识点，掌握直径所对的圆周角是直角、同弧所对圆周角相等是解题的关键． 如图，连接，根据直径所对圆周角是直角得到，再根据三角形内角和得到的度数，再根据同弧所对的圆周角相等即可解答． 【详解】解：如图，连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴（同弧所对圆周角相等）． 故选：B． 8. 如图是二次函数图象的一部分，图象过点，对称轴为直线，给出以下结论： ①；②；③；④若、为函数图象上的两点，则；⑤当时，， 其中正确的结论是（ ）．（填写代表正确结论的序号） A. ②③ B. ①③⑤ C. ②③⑤ D. ①②⑤ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，解题的关键是灵活应用图中信息解决问题．利用抛物线的开口方向得到，根据对称轴方程得到，则可对①进行判断；利用抛物线与轴有两个交点，对②进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与轴的另一个交点为，则，把代入得到，则可对③进行判断；利用二次函数的性质对④进行判断；利用抛物线在轴上方对应的自变量范围可对⑤进行判断． 【详解】解：由图象可知，，，， ，故①错误； 抛物线与轴有两个交点， ，故②正确； 抛物线对称轴为，与轴交于， ，， ，， ，故③正确； 、为函数图象上的两点， ，故④错误； 抛物线对称轴为，与轴交于， 抛物线与轴另一个交点是 由图象可知，时，，故⑤正确． 综上，正确的有②③⑤， 故选：C． 二、填空题 9. 若是方程的两个根，则的值为_______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则，据此可得答案． 【详解】解：∵是方程的两个根， ∴， 故答案为：2． 10. 某段公路上汽车紧急刹车后前行的距离s（单位：）关于行驶时间t（单位：）的函数解析式是，遇到刹车时，汽车从刹车后到停下来前进了______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，根据题意可得s的最大值即为汽车从刹车后到停下来前进的距离，据此求解即可． 【详解】解：， ∴遇到刹车时，汽车从刹车后到停下来前进了， 故答案为：． 11. 在平面直角坐标系中，将点 绕点 逆时针旋转 后，得到的点 的坐标为 _____________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握旋转前后对应边相等，对应边的夹角等于旋转角．根据题意画出图形，再利用旋转的性质即可求解． 【详解】解：如图，过作轴于点，过作轴于点， ∴， ∵，， ∴，，， 由旋转性质可知：，， ∴， ∴， ，， ∴， 故答案为：． 12. 如图，是的直径，是上的点，过点作的切线交的延长线于点．若，则______． 【答案】##28度 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，切线的性质，直角三角形的性质等，连接，可得，即得，又由切线的性质得，再根据直角三角形的性质即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴ ∴， 故答案为：． 三、解答题 13. 解方程： （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（）把右式移到左边，再利用因式分解法解答即可； （）利用因式分解法解答即可； 本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， 解得； 【小问2详解】 解：∵， ∴， 解得． 14. 在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． （1）画出关于原点 O 成中心对称的； （2）画出将 绕点 O 顺时针旋转 后得到的，并写出点 的坐标． 【答案】（1） 解：如图，即为所求． （2） 解：如图，即为所求， ∴． 【解析】 【分析】本题考查的是画中心对称图形，画旋转图形． （1）分别确定关于原点 O 对称的，再顺次连接即可． （2）分别确定绕点 O 顺时针旋转 后得到的对称点，再顺次连接，再根据的位置可得其坐标． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 15. 如图有一座抛物线形拱桥，已知桥下在正常水位时，水面宽为，当水位上升到达处，此时水面宽为．若水位继续以的速度上升，求从处淹到拱桥顶还需要多少小时． 【答案】5小时 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用；以抛物线的对称轴所在直线为y轴，经过抛物线的顶点O且垂直于对称轴的直线为x轴，建立平面直角坐标系，设抛物线的解析式为，由题意设，则得，从而可求出二次函数解析式及点D的坐标，即可求出顶点到的距离，即可求解． 【详解】解：如图，以抛物线的对称轴所在直线为y轴，经过抛物线的顶点O且垂直于对称轴的直线为x轴，建立平面直角坐标系， 设抛物线的解析式为， 由题意设，则； 把B、D两点坐标代入函数解析式中，得，解得：， ∴，， ∴顶点到的距离为1， ∴从处淹到拱桥顶需要的时间为（小时）， 答：从处淹到拱桥顶还需要5小时． 16. 综合与实践：制定商品定价策略 【素材】某班计划在校园义卖中出售手工编织手链，所有收入将捐赠给环保项目．已知每只手链的成本为元，初始定价为元时，预计每天可售出只．若定价每提高元，销量会减少只；每降低元，销量增加只．为最大化公益收益，班级需制定科学定价策略． 【问题解决】 任务：设手链定价为元（），销量为________只（用的代数式表示）． 任务：①若班级希望每天利润为元，那么这手链的定价为多少元？ ②当手链定价为多少元时，每天利润有最大值，并求出利润的最大值为多少元． 【答案】任务：；任务：①元或元，②当手链定价为元时，利润最大为元 【解析】 【分析】任务：根据题意列出代数式即可； 任务：①根据题意列出方程，解方程即可求解；②设利润为元，求出与之间的函数关系，再根据二次函数的性质解答即可求解； 本题考查了列代数式，一元二次方程的应用，二次函数的应用，根据题意列出方程和函数解析式是解题的关键． 【详解】解：任务：当时，销量为只；当时，销量为只， 综上，销量为只， 故答案为：； 任务：①解：由题意得，， 整理得，， 解得，， 答：若要每天获利元，这条手链的定价为元或元； ②设利润为元， 由题意得，， ∵， ∴ 当手链定价为元时，利润最大为元． 17. 如图，，交于点C，D，是半径，且于点F． （1）求证：； （2）若，求的半径． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． （2） 【解析】 【分析】本题主要考查垂径定理、勾股定理、等腰三角形的性质等知识点，掌握垂径定理和等腰三角形的性质是解题的关键． （1）由垂径定理得到，由等腰三角形的性质得到，再根据线段的和差即可证明结论； （2）如图：连接，设的半径是r，则，由垂径定理得到，再根据勾股定理列方程求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图：连接， 设的半径是r，则， ∵， ∴， ∵， ∴，解得： ， ∴的半径是． 18. 如图，抛物线经过点，与轴交于点． （1）求抛物线的函数解析式及点坐标； （2）是抛物线上一点，且当时，的最大值为，求的值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（）利用待定系数法求出函数解析式，再根据解析式求出点坐标即可； （）把代入函数解析式求出的所有值，进而根据二次函数的图象和性质得出符合题意的值即可； 本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数图象与坐标轴的交点，二次函数的图象和性质，熟知二次函数的图象和性质是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵抛物线经过点， ∴， 解得， ∴抛物线的函数解析式为， 当时，， ∴； 【小问2详解】 解：把代入得，， 解得，， ∴或， ∵， ∴二次函数的顶点坐标为，函数的最大值为， ∵当时，的最大值为， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $