精品解析：四川省成都市新都一中2025-2026学年高三上学期期中考试数学试题

2025-2026学年度新都一中高2023级高三上高三上学期期中考试 数学学科试题 考试时间：120分钟 满分：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则中元素的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 已知点，，．则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 3. 在复平面内，复数对应的点的坐标是，则的共轭复数（ ） A. B. C. D. 4. 已知为球的球面上的三个点，⊙为 的外接圆，若⊙的面积为，，则球的表面积为（ ） A. B. C. D. 5. 设O为正方形ABCD的中心，在O，A，B，C，D中任取3点，则取到的3点共线的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在四面体OABC中，，，．点M在OA上，且，N为BC中点，则等于（ ） A. B. C. D. 7. 已知、是平面内两个不同的定点，则“为定值”是“动点 的轨迹是双曲线”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 已知等差数列 与等差数列 的前 项和分别为 与 , 且, 则（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.（全选对得6分，选对但不全得部分分，有选错得0分） 9. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. 将的图象向右平移个单位长度，得到的图象 C. 直线为图象的一条对称轴 D. 直线与的图象相交，存在两个交点的横坐标，使得 10. 如图，正方体的中心为分别为的中点，分别为线段上的动点（包含端点），则（ ） A. 对于任意点平面 B. 存在点 ，使得平面平面 C. 三棱锥的体积为定值 D. 存在点，使得平面 11. 如图，已知倒心形曲线与 轴交于两点，点 是曲线 上的一个动点，则（ ） A. 点与均在曲线 上 B. 点 的纵坐标的最小值为 C. 恒成立 D. 曲线 内（含边界）共有13个整点（横，纵坐标均为整数的点） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 双曲线的右焦点到直线的距离为________． 13. 在数列，，，则_______. 14. 若不等式对恒成立，则实数的取值范围是__________． 四、解答题：本题共5小题，共7分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）求的值； （2）在△ABC中，若，求的最大值. 16. 已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16.现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查. （I）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？ （II）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查. （i）用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X的分布列与数学期望； （ii）设A为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A发生的概率. 17. 如图，平面四边形ABCD中，，，，，，点E，F满足，，将沿EF翻折至，使得． （1）证明：； （2）求平面PCD与平面PBF所成的二面角的正弦值． 18. 在平面直角坐标系中，椭圆C过点，焦点，圆O的直径为． （1）求椭圆C及圆O的方程； （2）设直线l与圆O相切于第一象限内的点P． ①若直线l与椭圆C有且只有一个公共点，求点P的坐标； ②直线l与椭圆C交于两点．若的面积为，求直线l的方程． 19. 已知函数. （1）试比较与2022的大小关系，并给出证明； （2）设函数，若函数的图像恒在函数的图像上方，求实数a的取值范围； （3）函数在上的最小值记为，求函数的值域. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度新都一中高2023级高三上高三上学期期中考试 数学学科试题 考试时间：120分钟 满分：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则中元素的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】先求得，从而求得正确答案. 【详解】，，所以. 故选：B 2. 已知点，，．则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量的坐标公式，结合投影向量的定义进行求解即可. 【详解】因为，，． 所以，， ， 所以向量与的夹角为钝角， 因此量在上的投影向量与方向相反， 而，， 所以在上的投影向量为， 故选：C 3. 在复平面内，复数对应的点的坐标是，则的共轭复数（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的几何意义先求出复数，然后利用共轭复数的定义计算. 【详解】在复平面对应的点是，根据复数的几何意义，， 由共轭复数的定义可知，. 故选：D 4. 已知为球的球面上的三个点，⊙为 的外接圆，若⊙的面积为，，则球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由已知可得等边 的外接圆半径，进而求出其边长，得出的值，根据球的截面性质，求出球的半径，即可得出结论. 【详解】设圆半径为，球的半径为，依题意， 得， 为等边三角形， 由正弦定理可得， ，根据球的截面性质平面， ， 球的表面积. 故选：A 【点睛】 本题考查球的表面积，应用球的截面性质是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题. 5. 设O为正方形ABCD的中心，在O，A，B，C，D中任取3点，则取到的3点共线的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】列出从5个点选3个点的所有情况，再列出3点共线的情况，用古典概型的概率计算公式运算即可. 【详解】如图，从5个点中任取3个有 共种不同取法， 3点共线只有与共2种情况， 由古典概型的概率计算公式知， 取到3点共线的概率为. 故选：A 【点晴】本题主要考查古典概型的概率计算问题，采用列举法，考查学生数学运算能力，是一道容易题. 6. 如图，在四面体OABC中，，，．点M在OA上，且，N为BC中点，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用给定的基底，结合空间向量线性运算求出. 【详解】依题意有. 故选：B. 7. 已知、是平面内两个不同的定点，则“为定值”是“动点 的轨迹是双曲线”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】利用特例法、双曲线的定义以及充分条件、必要条件的定义判断可得出结论. 【详解】若，则，此时，点 的轨迹是线段的垂直平分线， 所以，“为定值”“动点 的轨迹是双曲线”； 若动点 的轨迹是双曲线，则为定值， 所以，“为定值”“动点 的轨迹是双曲线”. 因此，“为定值”是“动点 的轨迹是双曲线”的必要不充分条件. 故选：B. 8. 已知等差数列 与等差数列 的前 项和分别为 与 , 且, 则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由等差数列性质可得，由等差数列前项和公式可得、，即可令，代入计算即可得. 【详解】因为数列、都是等差数列, 所以, 又，， 故，，即有, 在中，令，得， 故. 故选：D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.（全选对得6分，选对但不全得部分分，有选错得0分） 9. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. 将的图象向右平移个单位长度，得到的图象 C. 直线为图象的一条对称轴 D. 直线与的图象相交，存在两个交点的横坐标，使得 【答案】ABD 【解析】 【详解】根据图象求出函数的解析式，利用三角函数的性质及函数图象的平移变换，即可判断各项正误. 【分析】由图知，，即，所以. 将代入，得，解得， 又，当时，，所以. A，，正确； B，将的图象向右平移个单位长度，得的图象，正确； C，，所以直线不是对称轴，错误； D，由三角函数的性质知，或， 所以，显然存在两个交点的横坐标使，正确. 故选：ABD 10. 如图，正方体的中心为分别为的中点，分别为线段上的动点（包含端点），则（ ） A. 对于任意点平面 B. 存在点 ，使得平面平面 C. 三棱锥的体积为定值 D. 存在点，使得平面 【答案】BC 【解析】 【分析】选项A，当 与重合时，可判断； 选项B，当 为 的中点时，可证明平面（平面），即可判断； 选项C，先证明平面，再由点到平面的距离为定值，而的面积是定值，可判断； 选项D，先证明平面平面，即可判断. 【详解】 选项A，连接 ，当 与重合时，平面平面，此时直线与平面相交，A错误； 选项B， 四边形 为正方形，，当 为 的中点时，， 平面平面， 平面（平面），平面平面平面B正确； 选项C，在正方体中， 四边形为平行四边形，平面平面平面， 点到平面的距离为定值，而的面积是定值，则三棱锥的体积为定值，正确； 选项D，平面，同理 平面，且平面平面平面，又平面平面，D错误． 故选：BC． 11. 如图，已知倒心形曲线与 轴交于两点，点 是曲线 上的一个动点，则（ ） A. 点与均在曲线 上 B. 点 的纵坐标的最小值为 C. 恒成立 D. 曲线 内（含边界）共有13个整点（横，纵坐标均为整数的点） 【答案】BCD 【解析】 【分析】点坐标代入曲线方程可得选项A错误；分析时函数最值可得选项B正确；利用三角换元结合三角恒等变换求最值可得选项C正确；利用曲线方程和曲线对称性列举出整点可得选项D正确. 【详解】令 ，可得，则. 对于A，将代入曲线 的方程，可得成立， 则点在曲线 上， 将代入曲线 的方程，可得不成立，则点不在曲线 上，故A错误； 对于B，曲线 关于 轴对称，且点 的纵坐标的最小值小于， 当且点 在 轴下方时，， 即， 当且仅当，即时取等号，所以当时， 可以取得最小值， 且最小值为，故B正确； 对于C，曲线 关于 轴对称，当时，恒成立, 等价于点 恒在椭圆内（含边界）， 设，则1， 整理得，即（其中），该式恒成立， 同理当时原不等式也成立，故C正确； 对于D，由曲线 的方程可得，再结合选项和曲线 的对称性, 可知曲线 内（含边界）的整点有，，，，， ，，，，，，，，共13个，故D正确. 故选：BCD. 【点睛】关键点点睛：解决选项C的关键是应用三角换元，结合三角恒等变换化简，利用三角函数值域求最值. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 双曲线的右焦点到直线的距离为________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出右焦点坐标，再利用点到直线的距离公式求解. 【详解】由已知，，所以双曲线的右焦点为， 所以右焦点到直线的距离为. 故答案为： 13. 在数列，，，则_______. 【答案】 【解析】 【分析】用累加法直接求解即可. 【详解】在数列，，，所以 累加得：，所以． 故答案为：． 14. 若不等式对恒成立，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】当时显然成立，当时，构造，则原不等式等价于，利用导函数求单调性可得对恒成立，再构造求最大值即可. 【详解】当，时，，， 所以恒成立； 当，时，恒成立； 当，时，由可得对恒成立， 构造，则， 所以当时，，单调递减，当时，，单调递增， 又，，， 由单调性可知，整理得对恒成立， 令，，则， 所以当时，，单调递增， 所以， 综上，实数的取值范围为. 故答案为：. 【点睛】导函数中常用的两种转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极（最）值问题处理，本题的关键是利用同构的思路，将不等式变形为，再构造函数，问题就会迎刃而解. 四、解答题：本题共5小题，共7分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）求的值； （2）在△ABC中，若，求的最大值. 【答案】（1）1 （2） 【解析】 【分析】（1）利用诱导公式、倍角公式与辅助角公式将函数解析式化简，再可求的值即可； （2）由A，B为三角形的内角，，可求得 ，从而，展开后利用三角函数的辅助角公式即可求得的最大值. 【小问1详解】 ∵ ， ∴. 【小问2详解】 由题意可知，， 而可得：，即， ∴， ∵，∴，， ∴的最大值为. 16. 已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16.现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查. （I）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？ （II）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查. （i）用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X的分布列与数学期望； （ii）设A为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A发生的概率. 【答案】（Ⅰ）从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人．（Ⅱ）（i）答案见解析；（ii）． 【解析】 【详解】分析：（Ⅰ）由分层抽样的概念可知应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人． （Ⅱ）（i）随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3．且分布列为超几何分布，即P（X=k）=（k=0，1，2，3）．据此求解分布列即可，计算相应的数学期望为． （ii）由题意结合题意和互斥事件概率公式可得事件A发生的概率为． 详解：（Ⅰ）由已知，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为3∶2∶2， 由于采用分层抽样的方法从中抽取7人， 因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人． （Ⅱ）（i）随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3． P（X=k）=（k=0，1，2，3）． 所以，随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 P 随机变量X的数学期望． （ii）设事件B为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有1人，睡眠不足的员工有2人”； 事件C为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有2人，睡眠不足的员工有1人”， 则A=B∪C，且B与C互斥， 由（i）知，P(B)=P(X=2)，P(C)=P(X=1)， 故P(A)=P(B∪C)=P(X=2)+P(X=1)=． 所以，事件A发生的概率为． 点睛：本题主要在考查超几何分布和分层抽样.超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数．超几何分布的特征是：①考查对象分两类；②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个个体，考查某类个体个数X的概率分布，超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型．进行分层抽样的相关计算时，常利用以下关系式巧解：(1) ；(2)总体中某两层的个体数之比＝样本中这两层抽取的个体数之比． 17. 如图，平面四边形ABCD中，，，，，，点E，F满足，，将沿EF翻折至，使得． （1）证明：； （2）求平面PCD与平面PBF所成的二面角的正弦值． 【答案】（1） 由， 得，又，在中， 由余弦定理得, 所以，则，即， 所以，又平面， 所以平面，又平面， 故； （2） 【解析】 【分析】（1）由题意，根据余弦定理求得，利用勾股定理的逆定理可证得，则，结合线面垂直的判定定理与性质即可证明； （2）由（1），根据线面垂直的判定定理与性质可证明，建立如图空间直角坐标系，利用空间向量法求解面面角即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接 ，由，则， 在中，，得， 所以，由（1）知，又平面 ， 所以平面 ，又平面 ， 所以，则两两垂直，建立如图空间直角坐标系， 则， 由 是 的中点，得， 所以， 设平面和平面的一个法向量分别为， 则，， 令，得， 所以， 所以， 设平面和平面所成角为，则， 即平面和平面所成角的正弦值为. 18. 在平面直角坐标系中，椭圆C过点，焦点，圆O的直径为． （1）求椭圆C及圆O的方程； （2）设直线l与圆O相切于第一象限内的点P． ①若直线l与椭圆C有且只有一个公共点，求点P的坐标； ②直线l与椭圆C交于两点．若的面积为，求直线l的方程． 【答案】（1），；（2）①；②． 【解析】 【分析】（1）根据条件易得圆的半径，即得圆的标准方程，再根据点在椭圆上，解方程组可得a,b，即得椭圆方程； （2）方法一：①先根据直线与圆相切得一方程，再根据直线与椭圆相切得另一方程，解方程组可得切点坐标；②先根据三角形面积得三角形底边边长，再结合①中方程组，利用求根公式以及两点间距离公式，列方程，解得切点坐标，即得直线方程. 【详解】（1）因为椭圆C的焦点为， 可设椭圆C的方程为．又点在椭圆C上， 所以，解得 因此，椭圆C的方程为． 因为圆O的直径为，所以其方程为． （2）［方法一］：【通性通法】代数法硬算 ①设直线l与圆O相切于，则， 所以直线l的方程为，即． 由，消去y，得（*）， 因为直线l与椭圆C有且只有一个公共点， 所以． 因为，所以，因此，点P的坐标为． ②因为三角形OAB的面积为，所以，从而． 设，由（*）得， 所以． 因为，所以，即， 解得舍去），则，因此P的坐标为． 综上，直线l的方程为． ［方法二］： 圆的参数方程的应用 设P点坐标为． 因为原点到直线的距离，所以与圆O切于点P的直线l的方程为． 由消去y，得． ①因为直线l与椭圆相切，所以． 因为，所以，故，． 所以，P点坐标为． ②因为直线与圆O相切，所以中边 上的高，因为的面积为，所以． 设，由①知 ， 即， 即． 因为，所以，故，所以． 所以直线l的方程为． ［方法三］：直线参数方程与圆的参数方程的应用 设P点坐标为，则与圆O切于点P的直线l的参数方程为：（t为参数）， 即（t为参数）． 代入，得关于t的一元二次方程． ①因为直线l与椭圆相切，所以，， 因为，所以，故，． 所以，P点坐标为． ②同方法二，略． 【整体点评】（2）方法一：①直接利用直线与圆的位置关系，直线与椭圆的位置关系代数法硬算，即可解出点的坐标；②根据三角形面积公式，利用弦长公式可求出点的坐标，是该题的通性通法； 方法二：①利用圆的参数方程设出点，进而表示出直线方程，根据直线与椭圆的位置关系解出点的坐标；②根据三角形面积公式，利用弦长公式可求出点的坐标； 方法三：①利用圆的参数方程设出点，将直线的参数方程表示出来，根据直线与椭圆的位置关系解出点的坐标；②根据三角形面积公式，利用弦长公式可求出点的坐标． 19. 已知函数. （1）试比较与2022的大小关系，并给出证明； （2）设函数，若函数的图像恒在函数的图像上方，求实数a的取值范围； （3）函数在上的最小值记为，求函数的值域. 【答案】（1），证明见解析 （2） （3）值域为R 【解析】 【分析】（1）构造函数，求导确定单调性得，代入即可求解； （2）令函数，求导，当时，由，当时由导数确定单调性，进而求得，令解出的范围即可； （3）直接求导，讨论的范围，结合单调性求出不同范围上的最小值，可得为关于的分段函数，由单调性分别求出不同解析式对应的值域，再求并集即可. 【小问1详解】 .证明如下：令函数，求导得，由得，即函数在上单调递增； 由得，即函数在上单调递减，所以，即，当且仅当 时等号成立， 从而，即，即. 【小问2详解】 由已知，恒成立，即：恒成立， 整理得：.令函数， 求导得： ①时，由于，即无法恒大于0.所以不合题意. ②时，易知在区间上单调递减，在区间上单调递增，为使函数恒成立， 只需，由此解得：；综上： 【小问3详解】 由求导得. ①当时，在区间上单调递增，所以函数在区间上的最小值为； ②当时，由得，即函数在区间和上分别单调递增； 由得，即函数在区间单调递减，所以函数在区间上的最小值为； ③当时，函数在区间上单调递减，所以函数在区间上的最小值为. 即，易知当时，单减，； 时，单减，；当时，，则， 由（1）证明过程得知，即，所以函数在上单调递减，此时， 综上，函数的值域为R. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $