精品解析：云南省昆明市官渡区云大附中星耀学校2025-2026学年九年级上学期期中考试数学试卷

云大附中星耀学校2025—2026学年上学期期中考试 九年级数学试卷 （考试时间：120分钟 总分：100分） 一、选择题（每小题2分，共30分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，根据中心对称图形和轴对称图形的定义判断即可，掌握中心对称图形和轴对称图形的定义是解题的关键． 【详解】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故选项不符合题意； B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故选项不符合题意； C、是轴对称图形，也是中心对称图形，故选项符合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项不符合题意； 故选：C． 2. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义判断即可，掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 【详解】解：A、是一元二次方程，故选项符合题意； B、不是一元二次方程，故选项不符合题意； C、不是一元二次方程，故选项不符合题意； D、不是一元二次方程，故选项不符合题意； 故选：A． 3. 下列成语描述的事件为随机事件的是（ ） A. 水涨船高 B. 水中捞月 C. 守株待兔 D. 缘木求鱼 【答案】C 【解析】 【分析】根据事件发生的可能性大小判断．本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件，不可能事件，随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 【详解】解：A、水涨船高，是必然事件，不符合题意； B、水中捞月，是不可能事件，不符合题意； C、守株待兔，是随机事件，符合题意； D、缘木求鱼，是不可能事件，不符合题意； 故选：C． 4. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. （﹣1，2） B. （﹣1，﹣2） C. （1，﹣2） D. （1，2） 【答案】D 【解析】 【分析】根据顶点式，顶点坐标是（h，k），即可求解. 【详解】∵顶点式，顶点坐标是（h，k）， ∴抛物线的顶点坐标是（1，2）． 故选：D． 5. ⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离OA＝3cm，则点A与⊙O的位置关系为(　　) A. 点A在⊙O上 B. 点A在⊙O内 C. 点A在⊙O外 D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【详解】解：将点到圆心的距离记为d，圆的半径记为r, ∵d=OA=3, ∴d<r， ∴点A在圆内， 故选：B． 6. 如图，将△ABC绕点A逆时针旋转120°，得到△ADE．若点D在线段BC的延长线上，则的大小为（ ） A. 30° B. 40° C. 50° D. 60° 【答案】A 【解析】 【分析】根据旋转的性质得AB=AD，由等腰三角形性质得∠B=∠ADB，由旋转角为120°得∠BAD=120°，由三角形内角和定理得∠B+∠ADB+∠BAD=180°，由此可求出∠B的度数． 【详解】解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转120°，得到△ADE， ∴AB=AD，∠BAD=120°， ∴∠B=∠ADB， ∵∠B+∠ADB+∠BAD=180°， ∴∠B=∠ADB==30°． 故选A． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理．解题的关键是理解并能够熟练运用旋转的性质． 7. 将二次函数的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的函数图象的表达式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移，根据平移的规律“左加右减，上加下减”进行求解即可得答案． 【详解】解：将二次函数的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的函数图象的表达式是， 故选：C． 8. 如果一个正多边形的中心角为，那么这个正多边形的边数是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：根据正多边形的中心角与边数的关系，其边数为． 考点：正多边形的中心角定义及求法． 9. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，若它的一个外角∠DCE＝65°，则∠A的度数为（　　） A. 112° B. 68° C. 65° D. 52° 【答案】C 【解析】 【分析】圆的内接四边形内对角互补． 【详解】解：由题意得，∠A+∠BCD=180°， 又∠DCE +∠BCD=180°， 所以∠A=∠DCE=65°， 故选：C． 【点睛】本题考查圆的内接四边形，是基础考点，掌握相关知识是解题关键． 10. 根据下列表格的对应值，判定方程（a，b，c是常数，且）的一个解x的范围是（ ） x A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程，通过观察二次函数值的变化，当函数值由负变正时，方程在该区间内有一个解，熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系是解此题的关键． 【详解】解：令， 由表格可得：当时，，当时，， 即在范围内，的值由负变正， ∴方程的一个解的范围是． 故选：C． 11. 某厂家2020年1～5月份的口罩产量统计如图所示．设从2月份到4月份，该厂家口罩产量的平均月增长率为x，根据题意可得方程（　　） A. 180（1﹣x）2=461 B. 180（1+x）2=461 C. 368（1﹣x）2=442 D. 368（1+x）2=442 【答案】B 【解析】 【分析】本题为增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），如果设这个增长率为x，根据“2月份的180万只，4月份的产量将达到461万只”，即可得出方程． 【详解】解：从2月份到4月份，该厂家口罩产量的平均月增长率为x，根据题意可得方程：180（1+x）2=461， 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用，理解题意是解题关键． 12. 若一元二次方程有实数解，则m的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】由于关于的一元二次方程有实数根，根据一元二次方程根与系数的关系可知，且，据此列不等式求解即可． 【详解】解：由题意得，，且， 解得，，且. 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键．当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根． 13. 一个扇形的半径为6，圆心角为120°，则该扇形的面积是( ) A. 2π B. 4π C. 12π D. 24π 【答案】C 【解析】 【分析】根据扇形的面积公式S=计算即可． 【详解】S=， 故选C． 【点睛】本题考查的是扇形面积的计算，掌握扇形的面积公式S=是解题的关键． 14. 点P1（﹣1，），P2（3，），P3（5，）均在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】∵， ∴对称轴为x=1，P2（3，），P3（5，）在对称轴的右侧，y随x的增大而减小， ∵3＜5， ∴， 根据二次函数图象的对称性可知，P1（﹣1，）与（3，）关于对称轴对称， 故， 故选：D． 15. 如图，排球运动员站在点处练习发球，将球从点正上方的处发出，把球看成点，其运行的高度与运行的水平距离满足关系式．已知球网与点的水平距离为，高度为，球场的边界距点的水平距离为．下列判断正确的是（ ） A. 球运行的最大高度是 B. C. 球会过球网但不会出界 D. 球会过球网并会出界 【答案】D 【解析】 【分析】根据顶点式的特征即可判断A选项；将点代入函数解析式中即可求得的值，即可判断选项；分别求出和的函数值，再分别和、比较大小即可判断、选项． 【详解】解：球的运行的高度与运行的水平距离满足关系式， 当时，取得最大值， 运行的最大高度时，故A错误； 球从点正上方的A处发出， 的图象经过点， ， 解得：，故B错误； 当时，， ， 球会过球网， 当时，， ， 球会出界，故C选项错误，D选项正确． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，掌握用待定系数求二次函数解析式以及将实际问题转化为二次函数问题是解题关键． 二、填空题（每小题2分，共8分） 16. 点关于原点对称的点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标特征． 根据关于原点对称的点的坐标特征，横坐标和纵坐标均取相反数作答即可． 【详解】点关于原点对称的点的坐标是． 故答案为：． 17. 抛物线y=﹣x2+bx+c的部分图象如图所示，若y＞0，则x的取值范围是_____． 【答案】－3＜x＜1 【解析】 【分析】根据抛物线的对称轴为x=﹣1，一个交点为（1，0），可推出另一交点为（﹣3，0），结合图象求出y＞0时，x的范围． 【详解】解：根据抛物线的图象可知： 抛物线的对称轴为x=﹣1，已知一个交点为（1，0）， 根据对称性，则另一交点为（﹣3，0）， 所以y＞0时，x的取值范围是﹣3＜x＜1． 故答案为：﹣3＜x＜1． 【点睛】考点：二次函数的图象． 18. 若，是一元二次方程的两个实数根，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，一元二次方程根与系数的关系，由题意得，，代入求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴ ， 故答案为：． 19. 如图，在ABC中，AB=AC，∠B=30°，以点A为圆心，以3cm为半径作⊙A，当AB=_____cm时，BC与⊙A相切． 【答案】6． 【解析】 【详解】试题分析：如图，过点A作AD⊥BC于点D．∵AB=AC，∠B=30°，∴AD=AB，即AB=2AD．又∵BC与⊙A相切，∴AD就是圆A的半径，∴AD=3cm，则AB=2AD=6cm．故答案为6． 考点：切线的判定． 三、解答题（共8小题，满分62分） 20. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）把方程左边利用十字相乘法分解因式，再解方程即可； （2）先移项，再把方程左边利用提公因式法分解因式，再解方程即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴或， 解得； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得． 21. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(-2，3)，B(-4，1)，C(-1，2)． （1）画出以点O为旋转中心，将△ABC顺时针旋转90°得到△A'B'C' （2）求点C在旋转过程中所经过的路径的长． 【答案】（1）如图， （2） 【解析】 【分析】（1）根据网格结构找出点A、B、C绕点O顺时针旋转90∘后的对应点的位置，然后顺次连接即可． （2）在旋转过程中，C所经过的路程为下图中扇形的弧长，即利用扇形弧长公式计算即可． 【详解】（1）连接OA、OB、OC并点O为旋转中心，顺时针旋转90°得到A'、B'、C'，连接A'B'、B'C' 、A'C'，△A'B'C'就是所求的三角形． （2）C在旋转过程中所经过的路程为扇形的弧长； 所以 【点睛】 本题考查了旋转作图以及扇形的弧长公式的计算，作出正确的图形是解本题的关键． 22. 在某次数学活动中，如图有两个可以自由转动的转盘A、B，转盘A被分成四个相同的扇形，分别标有数字1、2、3、4，转盘B被分成三个相同的扇形，分别标有数字5、6、7．若是固定不变，转动转盘（如果指针指在等分线上，那么重新转动，直至指针指在某个扇形区域内为止） （1）若单独自由转动A盘，当它停止时，指针指向偶数区的概率是　 　． （2）小明自由转动A盘，小颖自由转动B盘，当两个转盘停止后，记下各个转盘指针所指区域内对应的数字，请用画树状图或列表法求所得两数之积为10的倍数的概率． 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）根据概率公式列式计算即可得解； （2）画出树状图，然后根据概率公式列式计算即可得解． 【详解】解：（1）∵指针指向1、2、3、4区是等可能情况， ∴指针指向偶数区的概率是：＝； （2）根据题意画出树状图如下： 一共有12种情况，两数之积为10的倍数的情况有2种， 所以，P（两数之积为10的倍数）＝＝． 【点睛】本题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 23. 如图，利用一面墙（墙的长度不限），另三面用篱笆围成一个矩形场地，篱笆总长． （1）围成一个面积为的矩形场地，求矩形场地的长和宽； （2）可以围成一个面积为的矩形场地吗？如果能，求出矩形场地的长和宽；如果不能，请说明理由． 【答案】（1）矩形场地的长为，宽为； （2）不能围成一个面积为的矩形场地，理由如下： 设垂直于墙的边长为，则平行于墙的边长为， 依题意，得：， 整理，得：， ∵， ∴不能围成一个面积为的矩形场地． 【解析】 【分析】（1）根据题意列出一元二次方程，求解即可； （2）根据题意列出以面积作等量的一元二次方程，计算△的值，通过△的值判定有无解，来确定结果即可． 【详解】解：（1）设垂直于墙的边长为xm，则平行于墙的边长为， 依题意，得：， 整理，得：， 解得：， ∴． 答：矩形场地的长为，宽为． （2） 略 【点睛】本题考查一元二次方程的应用及根的判别式，这类问题要注意不要设长宽，要设垂直于墙面的边或者平行于墙面的边． 24. 如图1所示，圆形拱门屏风是中国古代家庭中常见的装饰隔断，既美观又实用，彰显出中国元素的韵味．图2是一款拱门的示意图，其中拱门最下端分米，为中点，为拱门最高点，圆心在线段上，分米，求拱门所在圆的半径． 【答案】分米 【解析】 【分析】本题主要考查了垂径定理的实际应用，勾股定理，连接，根据垂径定理求得分米，设圆的半径为分米，则分米，米，根据勾股定理即可求得，进而可得答案． 【详解】解：连接， ∵过圆心，为的中点， ∴， ∵分米，C为的中点， ∴分米， 设圆的半径为x分米，则分米， ∵分米， ∴分米， 在中，由勾股定理， ∴， ∴， 即拱门所在圆的半径是15分米． 25. 专卖店卖某品牌文化衫．如果每件利润为30元（市场管理部门规定，该品牌文化衫每件利润不能超过50元），每天可售出50件．根据市场调查发现，销售单价每增加2元，每天销售量会减少1件．设销售单价增加元，每天售出件． （1）请写出与之间的函数解析式；（写出自变量的范围） （2）设超市每天销售这种文化衫可获利元，当为多少时最大，最大值是多少元？ 【答案】（1），，且x为偶数 （2）当为20时最大，最大值是2000元 【解析】 【分析】（1）根据“每天可售出50件．根据市场调查发现，销售单价每增加2元，每天销售量会减少1件”列函数关系式即可； （2）根据题意得到w的表达式，根据二次函数的性质即可得到结论． 本题考查一次函数表达式的求解及二次函数的性质的应用． 【小问1详解】 解：设销售单价增加x元，每天售出y件． 根据题意，得， ∵该品牌文化衫每件利润不能超过50元， ∴，， ∴，其中，且x为偶数； 【小问2详解】 解：根据题意得，， ∵， ∴当时，w随x的增大而增大， ∴当时，． ∴当x为20时w最大，最大值是2000元． 26. 如图，点在以为直径的上，平分交于点，交于点，过点作交的延长线于点． （1）求证：直线是的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：连接． 平分， ， ， ； ， 为半径， 是的切线． （2） 【解析】 【分析】本题属于圆综合题，考查了垂径定理，圆周角定理，平行线的判定，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线解决问题． （1）连接，证明，可得结论； （2）过点作于点．求出，得出，，利用得出，再利用三角函数求出即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：是直径， ， ，， ， ， ， ， ， ， ． 27. 在平面直角坐标系中，存在抛物线． （1）如图，若抛物线与轴交于点，，求抛物线的解析式． （2）在（1）的条件下，若抛物线与轴交于点，点是抛物线在轴上方的动点，且满足，求出点的坐标． （3）点，在抛物线上，抛物线的对称轴为直线．若，当时，都有，直接写出的取值范围． 【答案】（1）； （2）点或； （3）或． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数综合运用，涉及到二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）由待定系数法即可求解； （2）由，即，即，即可求解； （3）当点在对称轴的左侧时，，得到，，即可求解，当点在对称轴右侧时，即，同理可解． 【小问1详解】 解：把点，代入，得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：当时，， ∴， ∴， ， 即，即， 解得：， ∴， 解得：， ∴点或； 【小问3详解】 解：， ∴抛物线开口向上， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴当时，y随x的增大而增大， ∵当时，都有， 在对称轴的右侧， 当点M在对称轴的左侧时，即， ， ∴， 解得：， 即， 当点M在对称轴右侧时，即， ， ∴， 解得：， 综上，或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 云大附中星耀学校2025—2026学年上学期期中考试 九年级数学试卷 （考试时间：120分钟 总分：100分） 一、选择题（每小题2分，共30分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列成语描述的事件为随机事件的是（ ） A. 水涨船高 B. 水中捞月 C. 守株待兔 D. 缘木求鱼 4. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. （﹣1，2） B. （﹣1，﹣2） C. （1，﹣2） D. （1，2） 5. ⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离OA＝3cm，则点A与⊙O的位置关系为(　　) A. 点A在⊙O上 B. 点A在⊙O内 C. 点A在⊙O外 D. 无法确定 6. 如图，将△ABC绕点A逆时针旋转120°，得到△ADE．若点D在线段BC的延长线上，则的大小为（ ） A. 30° B. 40° C. 50° D. 60° 7. 将二次函数的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的函数图象的表达式是（ ） A. B. C. D. 8. 如果一个正多边形的中心角为，那么这个正多边形的边数是（ ）． A. B. C. D. 9. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，若它的一个外角∠DCE＝65°，则∠A的度数为（　　） A. 112° B. 68° C. 65° D. 52° 10. 根据下列表格的对应值，判定方程（a，b，c是常数，且）的一个解x的范围是（ ） x A. B. C. D. 11. 某厂家2020年1～5月份的口罩产量统计如图所示．设从2月份到4月份，该厂家口罩产量的平均月增长率为x，根据题意可得方程（　　） A. 180（1﹣x）2=461 B. 180（1+x）2=461 C. 368（1﹣x）2=442 D. 368（1+x）2=442 12. 若一元二次方程有实数解，则m的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 13. 一个扇形的半径为6，圆心角为120°，则该扇形的面积是( ) A. 2π B. 4π C. 12π D. 24π 14. 点P1（﹣1，），P2（3，），P3（5，）均在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 15. 如图，排球运动员站在点处练习发球，将球从点正上方的处发出，把球看成点，其运行的高度与运行的水平距离满足关系式．已知球网与点的水平距离为，高度为，球场的边界距点的水平距离为．下列判断正确的是（ ） A. 球运行的最大高度是 B. C. 球会过球网但不会出界 D. 球会过球网并会出界 二、填空题（每小题2分，共8分） 16. 点关于原点对称的点的坐标是______． 17. 抛物线y=﹣x2+bx+c的部分图象如图所示，若y＞0，则x的取值范围是_____． 18. 若，是一元二次方程的两个实数根，则的值是______． 19. 如图，在ABC中，AB=AC，∠B=30°，以点A为圆心，以3cm为半径作⊙A，当AB=_____cm时，BC与⊙A相切． 三、解答题（共8小题，满分62分） 20. 解方程： （1）； （2）． 21. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(-2，3)，B(-4，1)，C(-1，2)． （1）画出以点O为旋转中心，将△ABC顺时针旋转90°得到△A'B'C' （2）求点C在旋转过程中所经过的路径的长． 22. 在某次数学活动中，如图有两个可以自由转动的转盘A、B，转盘A被分成四个相同的扇形，分别标有数字1、2、3、4，转盘B被分成三个相同的扇形，分别标有数字5、6、7．若是固定不变，转动转盘（如果指针指在等分线上，那么重新转动，直至指针指在某个扇形区域内为止） （1）若单独自由转动A盘，当它停止时，指针指向偶数区的概率是　 　． （2）小明自由转动A盘，小颖自由转动B盘，当两个转盘停止后，记下各个转盘指针所指区域内对应的数字，请用画树状图或列表法求所得两数之积为10的倍数的概率． 23. 如图，利用一面墙（墙的长度不限），另三面用篱笆围成一个矩形场地，篱笆总长． （1）围成一个面积为的矩形场地，求矩形场地的长和宽； （2）可以围成一个面积为的矩形场地吗？如果能，求出矩形场地的长和宽；如果不能，请说明理由． 24. 如图1所示，圆形拱门屏风是中国古代家庭中常见的装饰隔断，既美观又实用，彰显出中国元素的韵味．图2是一款拱门的示意图，其中拱门最下端分米，为中点，为拱门最高点，圆心在线段上，分米，求拱门所在圆的半径． 25. 专卖店卖某品牌文化衫．如果每件利润为30元（市场管理部门规定，该品牌文化衫每件利润不能超过50元），每天可售出50件．根据市场调查发现，销售单价每增加2元，每天销售量会减少1件．设销售单价增加元，每天售出件． （1）请写出与之间的函数解析式；（写出自变量的范围） （2）设超市每天销售这种文化衫可获利元，当为多少时最大，最大值是多少元？ 26. 如图，点在以为直径的上，平分交于点，交于点，过点作交的延长线于点． （1）求证：直线是的切线； （2）若，，求的长． 27. 在平面直角坐标系中，存在抛物线． （1）如图，若抛物线与轴交于点，，求抛物线的解析式． （2）在（1）的条件下，若抛物线与轴交于点，点是抛物线在轴上方的动点，且满足，求出点的坐标． （3）点，在抛物线上，抛物线的对称轴为直线．若，当时，都有，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $