精品解析：浙江省宁波六校联盟2025-2026学年高二上学期期中联考数学试题

2025学年第一学期宁波六校联盟高二期中联考 高二年级数学学科 试题 考生须知 1．本卷共6页满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字． 3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效． 4．考试结束后，只需上交答题纸． 选择题部分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知直线过点，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由即可求解. 【详解】设直线的倾斜角为， ， 所以， 故选：D 2. 过点且垂直于直线的直线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据两条互相垂直的直线的斜率相乘等于，先求出斜率，再根据点斜式写出直线方程即可. 【详解】因为直线的斜率为，所以与其垂直的直线的斜率， 又因为直线过点，所以直线方程为，即. 故选：A 3. 如图，空间四边形中，，，，点N在上，且，点M为BC中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间向量线性运算的几何意义求解即可. 【详解】因为，所以， 又点M为BC中点，所以， 所以 故选：C. 4. 双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由双曲线的离心率，求出的比值，再根据渐近线方程求解即可. 【详解】已知双曲线的离心率，即， 所以，所以， 所以其渐近线方程为. 故选：D 5. 圆与圆的公共弦长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先两圆相减求公共弦所在直线方程，再代入弦长公式，即可求解. 【详解】圆与圆，相减得， 圆心到直线的距离，又 则公共弦长为． 故选：C． 6. 下列说法正确是（ ） A. 若，则的夹角是钝角 B. 若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 C. 直线经过点，则到的距离为 D. 直线的方向向量，平面的法向量，则 【答案】B 【解析】 【分析】对于A，由，得到是钝角或平角判断；对于B，假设三个向量共面，由是否成立判断；对于C，易得，从而即为所求；对于D，由与是否共线判断. 【详解】对于A，若，则的夹角是钝角或平角，故A错误； 对于B，假设三个向量共面，则， 所以，又是空间的一组基底， 所以，无解，即不共面，所以也是空间的一组基底，故B正确； 对于C，因为，，，则，，，故到的距离为，故C错误； 对于D，因为直线的方向向量，平面的法向量， 则，故与不共线，即不成立，故D错误； 故选：B 7. 19世纪法国著名数学家加斯帕尔·蒙日，创立了画法几何学，推动了空间几何学的独立发展，提出了著名的蒙日圆定理：椭圆的两条切线互相垂直，则切线的交点位于一个与椭圆同心的圆上，称为蒙日圆，椭圆的蒙日圆方程为．若圆与椭圆的蒙日圆有且仅有一个公共点，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求得椭圆的蒙日圆，然后根据圆与圆的位置关系求得. 【详解】对于椭圆，， 所以椭圆的蒙日圆为， 此圆的圆心为，半径为. 圆的圆心为，半径为， 由于圆与椭圆的蒙日圆有且仅有一个公共点， 所以，无解， 或，解得. 故选：D 8. 数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微，”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决．例如，与相关的代数问题，可以转化为点与点之间的距离的几何问题．结合上述观点，对于函数，下列结论正确的是（ ） A. 方程有两个解 B. 方程无解 C. 的最小值为 D. 的最大值为 【答案】A 【解析】 【分析】将函数变形为，分析出其几何意义是轴上的动点到两个定点和的距离之和，求出的值域，即可判断A，B，C，D. 【详解】因为， 所以的几何意义是轴上的动点到两个定点和的 距离之和，即. 作点关于轴的对称点，则， 当三点共线时，取到最小值 ， 所以有最小值； 当点向轴正、负方向无限移动时，距离之和无限增大， 所以. 因为，所以方程有互为相反数的两个解，故A正确，B错误； 因为有最小值，故C错误；因为无最大值，故D错误. 故选：A 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 已知直线l：与n：，下列选项正确的是（ ） A. 若，则或 B. 若，则 C. 直线l恒过点 D. 若直线n在x轴上的截距为6，则直线n的斜截式为 【答案】AC 【解析】 【分析】运用两直线平行性质可判断A项，运用两直线垂直的性质可判断B项，提取参数后计算可判断C项，由截距定义可求得a的值进而可判断D项. 详解】对于A项，若，则，解得或， 经检验，均符合，故A项正确； 对于B项，若，则，解得或，故B项不成立； 对于C项，因为， 则由得，所以l恒过点，故C项正确； 对于D项，若直线n在x轴上的截距为6，即直线n过点， 则，得， 所以直线n的方程为，斜截式为，故D项不成立． 故选：AC. 10. 已知椭圆的离心率为，长轴长为6，分别是椭圆的左、右焦点，是一个定点，是椭圆上的动点，则下列说法正确的是（ ） A. 焦距为4 B. 椭圆的标准方程为 C. D. 的最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】首先根据条件先求椭圆的方程，再判断选项AB，由两点间距离公式判断C，D选项利用椭圆的定义，将距离的和转化为距离差的最大值，利用数形结合，即可判断. 【详解】由条件可知，，得， 所以椭圆的焦距，椭圆的标准方程为，故A正确 ，B错误； ，，，故C正确； ， 当点三点共线，且点在之间时，等号成立，故D正确. 故选：ACD 11. 清初著名数学家孔林宗曾提出一种“蒺藜形多面体”，其可由两个正交的正四面体组合而成，如图1，也可由正方体切割而成，如图2．在图2所示的“蒺藜形多面体”中，若，则给出的说法中正确的是（ ） A. 该几何体的表面积为 B. 该几何体的体积为4 C. 二面角的余弦值为 D. 若点P，Q在线段BM，CH上移动，则PQ的最小值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据正四面体的表面积即可求解A，利用割补法，结合体积公式即可求解B，根据二面角的定义，结合余弦定理即可求解C，建立空间坐标系，利用点点距离即可求解D. 【详解】因为，所以．蒺藜形多面体的表面可看作是八个全等的棱长为的小正四面体构成，故该几何体的表面积为，A错误． 该几何体的体积为，B正确． 设EF的中点为，连接OB，OH，则, 则即二面角的平面角．，，C正确． 建立如图所示的空间直角坐标系，设， ，当且仅当，时，等号成立．故PQ的最小值为，D正确． 故选：BCD 非选择题部分 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 向量，且，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】先利用向量垂直和平行的条件求出、，再计算向量的模长. 【详解】由，得，解得. 由，设，即，得，. 故，，则，其模长为. 故答案为： 13. 设点，直线关于直线的对称直线为，已知与圆有公共点，则的取值范围为___________． 【答案】 【解析】 【分析】首先利用对称求出直线的方程，再利用直线与圆的位置关系即可求解. 【详解】 根据题意可知，直线与直线相交， 则关于直线的对称点为， 直线过，， 直线的方程为，即， 圆，圆的圆心为，半径为， 与圆有公共点， ，解得，则的取值范围为. 故答案为：. 14. 已知椭圆与双曲线有相同的焦点，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，点为椭圆与双曲线的第一象限的交点，且，则的取值范围是___________. 【答案】 【解析】 【分析】设，则由椭圆和双曲线的定义结合余弦定理可得，设，则可得，然后根据正弦函数的性质可得其范围 【详解】解：设， 由椭圆的定义得①， 由双曲线的定义得②， ①②得，， ①②得，， 由余弦定理可得， 所以③， 设，则，解得 所以， 当时，最大值为时，值为2， 所以的取值范围是. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知顶点、、. （1）求边的垂直平分线的方程； （2）若直线过点，且的纵截距是横截距的2倍，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据，，即可得的中点及斜率，进而根据点斜式可得其垂直平分线方程； （2）当直线过坐标原点时可直接求得直线方程；当直线不过坐标原点时，可根据直线的截距式进行求解. 【小问1详解】 由、可知中点为，且， 设边的垂直平分线的斜率为， 所以垂直平分线斜率满足，即， 所以边的垂直平分线的方程为，即； 【小问2详解】 当直线过坐标原点时，其斜率，此时直线方程为，符合题意； 当直线不过坐标原点时，由题意设直线方程为， 由过点，则，解得， 所以直线方程为， 综上所述，直线的方程为或. 16. 如图，在空间四边形中，，点为的中点，设. （1）试用向量表示向量； （2）若，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先把表示出来，然后由点E为的中点得，化简即得结果； （2）把、用表示，然后利用数量积的运算律结合已知条件即可求出结果. 【小问1详解】 因为，所以， 所以， 因为点E为的中点，所以 . 【小问2详解】 因为，， 所以 = 17. 已知圆外有一点，过点作直线． （1）当直线与圆相切时，求直线的方程； （2）点为圆上任意一点，已知，求的最小值． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）通过斜率存在和不存在两种情况讨论求解即可； （2）设，得到．由表示圆上的点与点的距离的平方，即可求解. 【小问1详解】 由题知，圆心坐标为，半径为， 当斜率不存在时，直线的方程为； 当斜率存在时，设直线的方程为，则， 解得． 所以直线的方程为． 综上，直线的方程为或； 【小问2详解】 设，则 ． 设，则表示圆上的点与点的距离的平方，可知， 又，则点在圆外面． 所以， 则． 则的最小值为． 18. 在中，，分别是上的点，满足且，将沿折起到的位置，使，是的中点，如图所示． （1）求证：平面； （2）求与平面所成角的大小； （3）在线段上是否存在点，使平面与平面成角余弦值为？若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）存在；的长度为0 【解析】 【分析】（1）通过证明、证得平面. （2）建立空间直角坐标系，利用向量法求得与平面所成角的大小. （3）假设在线段上存在点符合题意，根据平面与平面成角余弦值列方程，由此求得，进而求得. 【小问1详解】 因为在中，，且， 所以，则折叠后，， 又平面， 所以平面，平面，所以， 又已知且都在面内，所以平面； 【小问2详解】 由（1）知，以为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系， 因为，故， 由几何关系可知，， 故， ， 设平面的法向量为，则，即， 不妨令，则，故平面的一个法向量为， 设与平面所成角的大小为， 则有，所以， 即与平面所成角的大小为； 【小问3详解】 假设在线段上存在点，使平面与平面成角余弦值为， 在空间直角坐标系中，设，其中，则， 设平面的法向量为，则有，即， 不妨令，则，故平面的法向量为， 由（2）知平面的一个法向量为， 若平面与平面成角余弦值为， 则满足， 化简得，解得或（舍去），即与重合，， 故在线段上存在这样的点，使平面与平面成角余弦值为， 此时的长度为0． 19. 在平面直角坐标系中，利用公式①（其中为常数），将点变换为点的坐标，我们称该变换为线性变换，也称①为坐标变换公式，该变换公式①可由组成的正方形数表唯一确定，我们将称为二阶矩阵，矩阵通常用大写英文字母…表示． （1）如图，在平面直角坐标系中，将点绕原点按逆时针旋转得到点（到原点距离不变），求坐标变换公式及对应的二阶矩阵； （2）在平面直角坐标系中，求双曲线通过二阶矩阵进行线性变换后得到的双曲线方程； （3）已知由（2）得到的双曲线，上顶点为，直线与双曲线的两支分别交于两点（点在第一象限），与轴交于点，设直线的倾斜角分别为，求证：为定值． 【答案】（1）坐标变换公式为，二阶矩阵为 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）设，可得， 则由，，即可得到坐标变换公式及对应的二阶矩阵； （2）根据坐标变换公式求出，再相减可得，整理即可得到双曲线的方程； （3）法一：设直线方程为，联立方程组消去，由韦达定理得到及的范围，求出的值，再结合的范围即可得证；法二：分直线斜率存在和不存在两种情况考虑，直线斜率存在时，设直线的方程为，联立方程组消去，由韦达定理得到及的范围，再分和两种情况分别求出或即可得证；当直线斜率不存在时，得到两点坐标，同理求出即可得证； 【小问1详解】 设，可得， 所以， ， 则坐标变换公式为，所以对应的二阶矩阵为； 【小问2详解】 设曲线上任意一点变换后所得点坐标为， 即，此时， 整理得，则双曲线的方程为； 【小问3详解】 法一：由题意可知，设直线方程为， 联立，消去得， 此时，解得，由韦达定理得. 又因为点在不同两支，故，解得. 可知 ， 因为点在第一象限，所以， 又因为，所以，则； 法二：当直线斜率存在时，设直线的方程为， 联立，消去并整理得， 此时，解得，由韦达定理得. 当时，此时，取，则， 所以直线的方程为. 联立，消去并整理得， 解得或，所以， 所以，则，所以； 当时，设直线斜率分别为， 此时， 所以， ， 所以． 因为点在第一象限，所以， 又因为，所以，则； 当直线斜率不存在时， 此时，可得， 所以，同理可得． 综上所述，为定值，定值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第一学期宁波六校联盟高二期中联考 高二年级数学学科 试题 考生须知 1．本卷共6页满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字． 3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效． 4．考试结束后，只需上交答题纸． 选择题部分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知直线过点，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 过点且垂直于直线的直线方程为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，空间四边形中，，，，点N在上，且，点MBC中点，则（ ） A. B. C. D. 4. 双曲线离心率为，则其渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 5. 圆与圆的公共弦长为（ ） A. B. C. D. 6. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则的夹角是钝角 B. 若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 C. 直线经过点，则到距离为 D. 直线的方向向量，平面的法向量，则 7. 19世纪法国著名数学家加斯帕尔·蒙日，创立了画法几何学，推动了空间几何学独立发展，提出了著名的蒙日圆定理：椭圆的两条切线互相垂直，则切线的交点位于一个与椭圆同心的圆上，称为蒙日圆，椭圆的蒙日圆方程为．若圆与椭圆的蒙日圆有且仅有一个公共点，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微，”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决．例如，与相关的代数问题，可以转化为点与点之间的距离的几何问题．结合上述观点，对于函数，下列结论正确的是（ ） A. 方程有两个解 B. 方程无解 C. 的最小值为 D. 的最大值为 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 已知直线l：与n：，下列选项正确的是（ ） A. 若，则或 B. 若，则 C. 直线l恒过点 D. 若直线n在x轴上的截距为6，则直线n的斜截式为 10. 已知椭圆的离心率为，长轴长为6，分别是椭圆的左、右焦点，是一个定点，是椭圆上的动点，则下列说法正确的是（ ） A. 焦距为4 B. 椭圆的标准方程为 C. D. 的最大值为 11. 清初著名数学家孔林宗曾提出一种“蒺藜形多面体”，其可由两个正交的正四面体组合而成，如图1，也可由正方体切割而成，如图2．在图2所示的“蒺藜形多面体”中，若，则给出的说法中正确的是（ ） A. 该几何体的表面积为 B. 该几何体的体积为4 C. 二面角的余弦值为 D. 若点P，Q在线段BM，CH上移动，则PQ的最小值为 非选择题部分 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 向量，且，则___________． 13. 设点，直线关于直线的对称直线为，已知与圆有公共点，则的取值范围为___________． 14. 已知椭圆与双曲线有相同的焦点，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，点为椭圆与双曲线的第一象限的交点，且，则的取值范围是___________. 四、解答题：本题共5小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知顶点、、. （1）求边的垂直平分线的方程； （2）若直线过点，且的纵截距是横截距的2倍，求直线的方程. 16. 如图，在空间四边形中，，点为的中点，设. （1）试用向量表示向量； （2）若，求的值. 17. 已知圆外有一点，过点作直线． （1）当直线与圆相切时，求直线方程； （2）点为圆上任意一点，已知，求的最小值． 18. 在中，，分别是上的点，满足且，将沿折起到的位置，使，是的中点，如图所示． （1）求证：平面； （2）求与平面所成角的大小； （3）在线段上是否存在点，使平面与平面成角余弦值为？若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由． 19. 在平面直角坐标系中，利用公式①（其中为常数），将点变换为点的坐标，我们称该变换为线性变换，也称①为坐标变换公式，该变换公式①可由组成的正方形数表唯一确定，我们将称为二阶矩阵，矩阵通常用大写英文字母…表示． （1）如图，在平面直角坐标系中，将点绕原点按逆时针旋转得到点（到原点距离不变），求坐标变换公式及对应的二阶矩阵； （2）在平面直角坐标系中，求双曲线通过二阶矩阵进行线性变换后得到的双曲线方程； （3）已知由（2）得到的双曲线，上顶点为，直线与双曲线的两支分别交于两点（点在第一象限），与轴交于点，设直线的倾斜角分别为，求证：为定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $