精品解析：山东省莱西市第一中学2025-2026学年高二上学期期中数学模拟试题

莱西一中2024级高二(上)期中 数学模拟试题 本试卷共19题. 全卷满分150分. 考试用时120分钟. 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 回答非选择题时，将答案写在答题卡上. 写在本试卷上无效. 3．考试结束后，请将答题卡上交. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 过点与点的直线的倾斜角为（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据斜率的两点式求出斜率，即可得出倾斜角. 【详解】， 故直线的倾斜角为. 故选：A. 【点睛】本题考查已知两点求直线的倾斜角，熟记斜率计算公式即可，属于基础题型. 2. 已知向量，且，则的值为（ ） A. 4 B. 2 C. 3 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间向量垂直得到，解方程即可. 【详解】因为，所以， 因为向量，， 所以，解得， 所以的值为4. 故选：A. 3. “直线与直线平行”是“”的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】 根据平行求出实数的值，再利用充分条件和必要条件的定义判断即可. 【详解】若，则，即，解得或. 因此，“直线与直线平行”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 【点睛】考查充分条件、必要条件的判断，考查直线与直线平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 4. 已知A（0，0，2），B（1，0，2），C（0，2，0），则点A到直线BC的距离为（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用向量的模，向量的夹角及三角函数即可求出点到直线的距离. 【详解】∵A（0，0，2），B（1，0，2），C（0，2，0）， ＝（1，0，0），＝（﹣1，2，﹣2）， ∴点A到直线BC的距离为： d＝ ＝1×＝． 故选：A 【点睛】本题主要考查了向量坐标的运算，向量的模，向量的夹角，属于容易题. 5. 已知空间中三点，，，则（ ） A. 与是共线向量 B. 与向量方向相同的单位向量是 C. 与夹角的余弦值是 D. 平面的一个法向量是 【答案】D 【解析】 【分析】根据共线向量定理，单位向量，法向量，向量夹角的定义，依次计算，即可得到答案； 【详解】对A，，又不存在实数，使得，与不是共线向量，故A错误； 对B，，与向量方向相同的单位向量是，故B错误； 对C，，，故C错误； 对D，设为面的一个法向量，，，取，平面的一个法向量是，故D正确； 故选：D 6. 过点引直线，使，到它的距离相等，则这条直线的方程是（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】设所求的直线为，则直线平行于或直线过线段的中点，分情况讨论即可求解. 【详解】设所求的直线为，则直线平行于或直线过线段的中点， 因为，，所以， 所以过点且与平行的直线为：即， 因为，，所以线段的中点为， 所以过点与线段的中点为的直线的方程为：， 即， 所以这条直线的方程是：或， 故选：D. 7. 设P是椭圆上一点，M，N分别是两圆：和上的点，则的最小值、最大值分别为 A. 18，24 B. 16，22 C. 24，28 D. 20，26 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆心恰好是椭圆的两个焦点，由圆心的距离及椭圆的定义即可求得最大值与最小值． 【详解】椭圆的两个焦点坐标为，且恰好为两个圆的圆心坐标为 所以，两个圆的半径相等且等于1 所以 所以选C 【点睛】本题考查了椭圆的定义及性质的简单应用，圆中最大值与最小值的求法，属于中档题． 8. 已知矩形中，，，将矩形沿对角线折起，使平面与平面垂直，则（ ）． A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】过点，分别向作垂线，垂足分别为，，由，平方后结合长度和垂直关系可得解. 【详解】 过点，分别向作垂线，垂足分别为，， 则可得，，，，． 由于， 所以 ， 所以． 故选:A． 【点睛】本题主要考查了空间向量数量积的应用，属于基础题. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线l的一个方向向量为，且l经过点，则下列结论中正确的是（ ） A. l的倾斜角等于 B. l在x轴上的截距等于 C. l与直线垂直 D. l与直线平行 【答案】CD 【解析】 【分析】由直线的方向向量可求得直线的斜率，从而可求出直线的倾斜角和直线方程，依次判断即可 【详解】因为直线的一个方向向量为， 所以直线的斜率为， 设直线的倾斜角为（），则，所以，所以A错误； 因为经过点，所以直线的方程为，令，则，所以在轴上的截距为，所以B错误； 因为直线的斜率为，直线的斜率为， 所以，所以与直线垂直，所以C正确； 因为直线的斜率为，直线的斜率也为，且两直线截距不等，故两直线平行，所以D正确. 故选：CD 10. 已知椭圆，，分别为它的左右焦点，，分别为它的左右顶点，点是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（ ） A. 存在使得 B. 的最小值为 C. ，则的面积为9 D. 直线与直线斜率乘积为定值 【答案】ABC 【解析】 【分析】设椭圆短轴顶点为根据得的最大角为钝角即可判断A；记，则，结合余弦定理与基本不等式求解判断B；结合题意得，进而计算面积判断C；设，直接求解即可判断D. 【详解】解：设椭圆短轴顶点为，由题知椭圆：中，， 所以，，，，， 对于A选项，由于，， 所以的最大角为钝角，故存在P使得，A正确； 对于B选项，记，则， 由余弦定理： ，当且仅当时取“=”，B正确； 对于C选项，由于，故 ， 所以，C正确； 对于D选项，设，则，，于是，D错误. 故选：ABC 11. 如图，已知斜三棱柱中，，，，，，点是与的交点.下列选项中正确的有( ) A. B. C. 直线与所成的角的余弦值 D. 平面与平面不垂直 【答案】AC 【解析】 【分析】A：根据依次改写即可； B：根据计算即可； C：根据计算即可； D：取的中点，连接，证AE⊥BC，即可. 【详解】A：，故A正确； B：∵， ∴ ， ∴，故B错误； C：， ，，故C正确； D：取的中点，连接，，，且， 又＝0，， ∵，平面，平面， 又平面，平面与平面，故D错误. 故选：AC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知椭圆的右焦点为F，点M在C上，点N为线段MF的中点，点O为坐标原点，若，则C的离心率为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据椭圆的定义以及三角形的中位线定理，求出的值，然后计算即可得解. 【详解】设椭圆C的左焦点为，由椭圆定义得， 即（*）， ∵O为线段的中点，N为线段MF的中点， 由中位线的性质得，代入（*）式，解得， 故其离心率. 故答案为：. 【点睛】本题考查椭圆定义的应用，以及椭圆的简单几何性质，考查逻辑思维能力和计算能力，属于常考题. 13. 点在动直线上的投影为点M，若点，那么的最小值为________. 【答案】 【解析】 【分析】易知直线过定点，再由在动直线上的投影为点M，得到，进而得到的轨迹是以为直径的圆求解. 【详解】解：因为直线过定点，且， 所以的轨迹是以为直径的圆，且圆心为，半径， 所以， 故答案为：. 14. 已知异面直线所成角为60°，直线垂直于直线且分别与直线交于、两点.点直线a，点直线b，，，，则 _____. 【答案】或2 【解析】 【分析】利用向量的加法运算可得，再由向量的模长及数量积运算即可求解. 【详解】， 所以 ， 由题意得与的夹角为或， 当夹角为时，， 此时，所以； 当夹角为时，， 此时，所以； 故答案为：或2. 四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知平面内两点. （1）求过点且与直线平行的直线的方程; （2）一束光线从点射向（1）的直线，若反射光线过点，求反射光线所在的直线方程. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）根据平行得出斜率，从而由点斜式求出直线方程； （2）求得点关于直线的对称点的坐标，然后求出斜率，再由点斜式求出 【详解】（1）， ，直线的斜率， 过点且与直线平行的直线的方程：， 即； （2）设点关于直线的对称点为， 则 ，解得： ，即， 点在反射光线上，所以, 所以反射光线所在直线方程是，即. 【点睛】关键点点睛：本题考查根据两直线平行求直线方程以及求反射光线所在的直线方程，若两直线平行，则这两直线的斜率相等，关键是求点关于直线的对称点的求法，考查计算能力，是基础题. 16. 在①圆经过，②圆心在直线上，③ 圆截轴所得弦长为8且圆心E的坐标为整数；这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，进行求解. 已知圆E经过点，且_________； （1）求圆E的方程； （2）求以为中点的弦所在的直线方程. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】 （1）设出圆的一般方程，若选①：将点，，代入，解方程组即可求解，若选②：将点，代入圆的一般方程，求出圆心坐标代入即可求出，进而可得圆的一般方程，若选③：将点，代入圆的一般方程，再令中的得可得，即可求解. （2）求出直线的斜率，则弦所在直线的斜率，，即可求斜率，利用点斜式即可得直线的方程. 【详解】（1）选条件①，设圆的方程为， 依题意有， 解得，，， 所以圆的方程为， 即为：. 选条件②，设圆的方程为， 因为圆E经过点，，且圆心在直线上 依题意有， 解得，，， 所以圆E的方程为. 选条件③，设圆E的方程为， 由圆E经过点，， 故， 又因为圆截y轴所得弦长为8， 故方程的两个实数根，的差的绝对值为8. 所以， 即 解方程组， 得，，或，，， 由于圆心E的坐标为整数， 故圆E的方程为. （2）由（1）知圆心，弦中点为， 所以， 弦所在直线的斜率， 所以弦所在直线方程为，即. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是利用待定系数法求圆的方程，设圆的一般方程，再利用已知条件列方程，圆心与弦中点的连线与弦垂直，可求弦所在直线的斜率.由点斜式即可得方程. 17. 如图，在四棱锥中，平面，，，，,为的中点，点在上，且． （1）求证：平面; （2）求二面角的余弦值； （3）设点在上，且．判断直线是否在平面内，说明理由． 【答案】（1）因为平面，平面，则， 由题意可知，且， 由线面垂直的判定定理可得平面. （2） （3）直线是否在平面内，理由如下： 易知，，由，可得， 则，由平面的一个法向量为， 其中，且点在平面内，故直线在平面内. 【解析】 【分析】（Ⅰ）由题意利用线面垂直的判定定理即可证得题中的结论； （ⅠⅠ）建立空间直角坐标系，结合两个半平面的法向量即可求得二面角的余弦值； （ⅠⅠⅠ）首先求得点的坐标，然后结合平面的法向量和直线的方向向量可判断直线是否在平面内. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以点为坐标原点，平面内与垂直的直线为轴， ，方向为轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 易知：，，， 由可得，点的坐标为， 由可得，，设平面的法向量为：， 则， 据此可得平面的一个法向量为：， 很明显平面的一个法向量为， 得到， 而二面角的平面角为锐角，故二面角的余弦值为. 【小问3详解】 略 18. 在①离心率，②椭圆过点，③为椭圆上一点，面积的最大值为，这三个条件中任选一个，补充在下面（横线处）问题中，解决下面两个问题.设椭圆的左、右焦点分别为、，已知椭圆的短轴长为，______. （1）求椭圆的方程； （2）过的直线交椭圆于、两点，请问的内切圆的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及直线的方程，若不存在，请说明理由. 【答案】（1）；（2）存在直线，的内切圆的面积最大值为. 【解析】 【分析】（1）选①离心率，得到方程组，解之即可求出结果； 选②椭圆过点，得到方程组，解之即可求出结果； 选③先分析出面积的最大时，点为椭圆得上顶点或者下顶点，得，解之即可求出结果； （2）根据题意分析出当最大时，也最大，内切圆的面积也最大，因此只需要求出的最大面积，设出直线方程，与椭圆的方程联立，结合韦达定理表示出的面积，换元法结合导数求出函数的最值，进而求出结果. 【详解】解：（1）选①离心率， 依题意，解得， 所以椭圆的方程为; 选②椭圆过点， 依题意，解得，所以椭圆的方程为; 选③为椭圆上一点，面积的最大值为，由于面积的最大时，点为椭圆得上顶点或者下顶点，所以，解得，所以椭圆的方程为; （2）设内切圆的半径为，则的面积 ， 当最大时，也最大，内切圆的面积也最大， 设，，，，，， 则， 显然直线得斜率不为0，所以设直线的方程为 由，得， ， ，， ，所以， 令，则，且， 有，因为 令， 当时，，则在，上单调递增，有， ，即当，时，有最大值3，得， 这时所求内切圆的面积为， 所以存在直线，的内切圆的面积最大值为. 【点睛】（1）解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系． （2）涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形． 19. 已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为和的中点，D为棱上的点． （1）证明：； （2）当为何值时，面与面所成的二面角的正弦值最小? 【答案】（1）[方法一]：几何法 因为，所以． 又因为，，所以平面．又因为，构造正方体，如图所示， 过E作的平行线分别与交于其中点，连接， 因为E，F分别为和的中点，所以是BC的中点， 易证，则． 又因为，所以． 又因为，所以平面． 又因为平面，所以． [方法二] 【最优解】：向量法 因为三棱柱是直三棱柱，底面， ，，，又，平面．所以两两垂直． 以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图． ，． 由题设（）． 因为， 所以，所以． [方法三]：因为，，所以，故，，所以，所以． （2） 【解析】 【分析】（1）方法二：通过已知条件，确定三条互相垂直的直线，建立合适的空间直角坐标系，借助空间向量证明线线垂直； （2）方法一：建立空间直角坐标系，利用空间向量求出二面角的平面角的余弦值最大，进而可以确定出答案； 【详解】（1）略 （2）[方法一]【最优解】：向量法 设平面的法向量为， 因为， 所以，即． 令，则 因为平面的法向量为， 设平面与平面的二面角的平面角为， 则． 当时，取最小值为， 此时取最大值为． 所以，此时． [方法二] ：几何法 如图所示，延长交的延长线于点S，联结交于点T，则平面平面． 作，垂足为H，因为平面，联结，则为平面与平面所成二面角的平面角． 设，过作交于点G． 由得． 又，即，所以． 又，即，所以． 所以． 则， 所以，当时，． [方法三]：投影法 如图，联结， 在平面的投影为，记面与面所成的二面角的平面角为，则． 设，在中，． 在中，，过D作的平行线交于点Q． 在中，． 在中，由余弦定理得，，， ，， 当，即，面与面所成的二面角的正弦值最小，最小值为． 【整体点评】第一问，方法一为常规方法，不过这道题常规方法较为复杂，方法二建立合适的空间直角坐标系，借助空间向量求解是最简单，也是最优解；方法三利用空间向量加减法则及数量积的定义运算进行证明不常用，不过这道题用这种方法过程也很简单，可以开拓学生的思维. 第二问：方法一建立空间直角坐标系，利用空间向量求出二面角的平面角是最常规的方法，也是最优方法；方法二：利用空间线面关系找到，面与面所成的二面角，并求出其正弦值的最小值，不是很容易找到；方法三：利用面在面上的投影三角形的面积与面积之比即为面与面所成的二面角的余弦值，求出余弦值的最小值，进而求出二面角的正弦值最小，非常好的方法，开阔学生的思维． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 莱西一中2024级高二(上)期中 数学模拟试题 本试卷共19题. 全卷满分150分. 考试用时120分钟. 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 回答非选择题时，将答案写在答题卡上. 写在本试卷上无效. 3．考试结束后，请将答题卡上交. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 过点与点的直线的倾斜角为（ ） A. B. C. 或 D. 2. 已知向量，且，则的值为（ ） A. 4 B. 2 C. 3 D. 1 3. “直线与直线平行”是“”的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知A（0，0，2），B（1，0，2），C（0，2，0），则点A到直线BC的距离为（ ） A. B. 1 C. D. 5. 已知空间中三点，，，则（ ） A. 与是共线向量 B. 与向量方向相同的单位向量是 C. 与夹角的余弦值是 D. 平面的一个法向量是 6. 过点引直线，使，到它的距离相等，则这条直线的方程是（ ） A. B. C. 或 D. 或 7. 设P是椭圆上一点，M，N分别是两圆：和上的点，则的最小值、最大值分别为 A. 18，24 B. 16，22 C. 24，28 D. 20，26 8. 已知矩形中，，，将矩形沿对角线折起，使平面与平面垂直，则（ ）． A. B. C. D. 2 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线l的一个方向向量为，且l经过点，则下列结论中正确的是（ ） A. l的倾斜角等于 B. l在x轴上的截距等于 C. l与直线垂直 D. l与直线平行 10. 已知椭圆，，分别为它的左右焦点，，分别为它的左右顶点，点是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（ ） A. 存在使得 B. 的最小值为 C. ，则的面积为9 D. 直线与直线斜率乘积为定值 11. 如图，已知斜三棱柱中，，，，，，点是与的交点.下列选项中正确的有( ) A. B. C. 直线与所成的角的余弦值 D. 平面与平面不垂直 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知椭圆的右焦点为F，点M在C上，点N为线段MF的中点，点O为坐标原点，若，则C的离心率为________. 13. 点在动直线上的投影为点M，若点，那么的最小值为________. 14. 已知异面直线所成角为60°，直线垂直于直线且分别与直线交于、两点.点直线a，点直线b，，，，则 _____. 四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知平面内两点. （1）求过点且与直线平行的直线的方程; （2）一束光线从点射向（1）的直线，若反射光线过点，求反射光线所在的直线方程. 16. 在①圆经过，②圆心在直线上，③ 圆截轴所得弦长为8且圆心E的坐标为整数；这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，进行求解. 已知圆E经过点，且_________； （1）求圆E的方程； （2）求以为中点的弦所在的直线方程. 17. 如图，在四棱锥中，平面，，，，,为的中点，点在上，且． （1）求证：平面; （2）求二面角的余弦值； （3）设点在上，且．判断直线是否在平面内，说明理由． 18. 在①离心率，②椭圆过点，③为椭圆上一点，面积的最大值为，这三个条件中任选一个，补充在下面（横线处）问题中，解决下面两个问题.设椭圆的左、右焦点分别为、，已知椭圆的短轴长为，______. （1）求椭圆的方程； （2）过的直线交椭圆于、两点，请问的内切圆的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及直线的方程，若不存在，请说明理由. 19. 已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为和的中点，D为棱上的点． （1）证明：； （2）当为何值时，面与面所成的二面角的正弦值最小? 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $